ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελίδα 86 Α Σχολικό βιβλίο σελίδα 4 Α i γ) ii δ) Α4 α) Συνεχής,, f( ) β) Υπάρχει το f '() lim g'(), θετικό,,, γ),, Α5 i A ii Έστω P() Για lim ( ) και ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ lim f() έχουμε P() ( ) Επειδή είναι lim P() lim ( ) lim ( ) ΘΕΜΑ Β Β α) Τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΝΜ είναι όμοια ΝΜ / /ΒΓ οπότε έχουμε: ΒΓ ΑΔ 5 ΜΝ ΑΕ (ΜΝ) 5 (ΜΝ) (5 ), με (5 ) 5 και Το εμβαδό του ορθογωνίου είναι Ε ΜΝ ΝΚ και η περίμετρος του Π ΜΝ ΝΚ Οπότε Ε() (5 ), (,5) και Π() (5 ), (,5) β) Η συνάρτηση Ε() είναι παραγωγίσιμη στο Δ (,5) ως άθροισμα παραγωγίσιμων, άρα και συνεχής Είναι E () 5 4, με E () 4 Πίνακας προσήμου της E () Άρα, E () στο 5 5, και E () στο 5,5, οπότε η Ε παρουσιάζει μέγιστο στο
Δηλαδή το εμβαδό του ορθογωνίου μεγιστοποιείται όταν το ύψος του ΚΝ είναι βάση του είναι 5 (ΚΛ) (ΜΝ) 5 5cm (t) (t) () και Π(t) (t), άρα (ΚΛ) (ΚΝ) 5cm / sc 5 cm και η γ) Εφόσον ο ρυθμός αύξησης του εμβαδού Ε είναι, έχουμε E (t) 5, t χρόνος σε sc Οπότε E(t) () με E (t) 4(t) (t) (t) () και Π (t) (t) (4) Από () και () είναι 4(t) (t) (t) 5 (5) Το εμβαδό του τριγώνου ΑΒΓ είναι (ΑΒΓ) (ΒΓ) (ΑΔ), άρα (ΑΒΓ) 5 5cm () Έστω σε έχουμε E(t ) 5 (t ) (t ) 8 (t ) ή (t ) 4 t t Τότε από την (5) με απορρίπτεται γιατί το εμβαδό αυξάνεται στο t t και (t ) 5, 5 έχουμε 4 (t ) (t ) 5 (t ) 6 Άρα ο ρυθμός μεταβολής του ύψους του ορθογωνίου σε t t είναι 5 cm / sc και της 6 5 5 περιμέτρου του από την (4) είναι cm / sc 6 Β Η συνάρτηση C() 6ν ν C() 6ν ν C() 6ν ν είναι παραγωγίσιμη στο, ως άθροισμα παραγωγίσιμων, άρα και συνεχής, με C () 6ν ν 6( ν) Πίνακας προσήμου C () Άρα C () στο (,ν), C () στο (ν, ), οπότε η C παρουσιάζει ελάχιστο στο ν Δηλαδή για να έχει η βιοτεχνία ελάχιστο κόστος πρέπει να παράγονται ημερησίως ν μονάδες προϊόντος Εφόσον το κέρδος να μονάδα προϊόντος είναι Π(ν) ν, το κέρδος από τις ν μονάδες είναι Κ(ν) ν( ν) Κ(ν) 4ν 4ν με ν (,] Η συνάρτηση Κ(ν) είναι παραγωγίσιμη ως άθροισμα παραγωγίσιμων στο (,], άρα και συνεχής
Κ (ν) 4ν 4ν 4 8ν Πίνακας προσήμου Κ (ν) Άρα Κ (ν) στο (,5), Κ (ν) στο (5,), οπότε η Κ παρουσιάζει μέγιστο στο Επομένως η βιοτεχνία έχει μέγιστο κέρδος όταν απασχολεί 5 εργάτες Τότε το μέγιστο κέρδος θα είναι Κ(5) ευρώ, με αντίστοιχο κόστος ν 5 C() 6 5 5 5 ευρώ Οπότε τα έσοδα της βιοτεχνίας είναι 5 5 ΘΕΜΑ Γ Γ α) Στο f () lim, θέτουμε f () h() f () ( )h(), με lim h() Οπότε lim f () lim( )h() Η f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) άρα και συνεχής Επομένως Για κάθε, y ισχύει f(y) f(y) yf() f(y) yf() f(y) () Θέτουμε φ() f(y) yf () f (y), (, ), οπότε () φ() f (y) yf () f (y) y Τότε () φ() φ(), για κάθε Άρα η φ παρουσιάζει ελάχιστο στο εσωτερικό σημείο του (, ) Η φ είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως άθροισμα, γινόμενο και σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων με φ () f (y) yf () f (y) f (y) yf () yf (y) f () lim f () () Άρα από το θεώρημα Frmat ισχύει φ () f (y) yf () yf (y) () Έχουμε () f () f () f () f () lim lim (δεδομένο) Άρα από την () προκύπτει f (y) y yf (y) (y ) f () f(),,
f () f () β) Για κάθε, είναι: f () f () f (), ln συνεχείς, υπάρχει σταθερά c f () ln c f () ln c Από () έχουμε f() ln c c Άρα f() ln, Η f είναι συνεχής στο (, ) f () και εφόσον ln τέτοια ώστε για κάθε να ισχύει f () ln ln, και f παραγωγίσιμη στο (, ), με γ) Έχουμε f () ln Άρα η f είναι κυρτή στο (, ), επομένως καθώς το αυξάνεται η εφαπτομένη της C f στρέφεται κατά τη θετική φορά δ) Έστω α β Ισχύει α β α β γιατί : α α β β α β, οπότε ορίζονται διαστήματα α β Δ α,, α β Δ,β Η f είναι συνεχής στα Δ,Δ (, ) Η f είναι παραγωγίσιμη στα α β α β α,,,β α β Άρα από ΘΜΤ υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ α, τέτοιο ώστε f f ξ ξ α β f f (α) α β και ένα τουλάχιστον ξ,β β α α β f(β) f β α τέτοιο ώστε
α β Είναι α ξ ξ β και f γνησίως αύξουσα στο (, ), αφού f κυρτή, οπότε α β α β f f (α) f (β) f f ξ f ξ β α β α α β α β α β f f (α) f (β) f f f (α) f (β) α β f f (α) f (β) Αν α β α β ισχύει f f (α) f (β) α β Άρα ισχύει f f (α) f (β) όταν α β Γ Για την g ισχύει το θεώρημα Roll στο [,], οπότε πρέπει: Η g να είναι συνεχής στο [,] Έχουμε ότι: Η g είναι συνεχής στο [,) Άρα πράγματι η g είναι συνεχής στο [,] lim g() lim λ g() ως πολυώνυμο και H g είναι παραγωγίσιμη στο (,), που ισχύει αφού είναι άθροισμα παραγωγίσιμων g () λ λ και g( ) g() ( ) λ( ) λ Γ α) g(), ln,, Τα κρίσιμα σημεία της g στο Δ [,] είναι τα εσωτερικά σημεία Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγος της είναι ίση με Είναι, g () ln, Εξετάζουμε αν η g είναι παραγωγίσιμη στο
g() g() ln lim lim lim ln Άρα η g δεν είναι παραγωγίσιμη στο, οπότε Βρίσκουμε τις ρίζες της g στα,,, είναι κρίσιμο σημείο της Αν (,) είναι g (), δεκτή Αν (,) είναι g () ln, δεκτή Οπότε τα,, είναι κρίσιμα σημεία της g στο Δ β) Από το ερώτημα έχουμε ότι η είναι συνεχής στο [,] Επίσης η f είναι συνεχής στο (,] και ln lim g() lim ln lim lim είναι συνεχής και στο Τελικά η g είναι συνεχής στο [,] Δ ln lim lim ( ) g(), άρα η g Οι πιθανές θέσεις τοπικών ακροτάτων της g στο Δ είναι οι αριθμοί:,,,, (δηλαδή τα κρίσιμα σημεία που βρήκαμε στο α) και τα άκρα του διαστήματος Δ) Εφόσον g συνεχής στο Δ, ισχύει g(δ) [m,m] όπου m το ελάχιστο της στο Δ και Μ το μέγιστο της g στο Δ Είναι: g( ), και 4 άρα μόνο για g, g() 4, g και g() g Δ, και ισχύει g() () για κάθε Δ, με την ισότητα να ισχύει Οπότε αφού κ ισχύει η () άρα κ g()d d g()d κ κ κ
ΘΕΜΑ Δ Δ Δίνεται f () 4, για κάθε Η f ορίζεται αν και μόνο αν 4 Άρα [, ) Η f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) παραγωγίζοντας κατά μέλη έχουμε : και η 4 είναι επίσης παραγωγίσιμη στο (, ), οπότε [f ()]' (4)' f()f '() 4 f()f '() f '() () (γιατί άρα και f() Έστω ) (,f( )) σημείο επαφής της C f με την εφαπτομένη με f '( ) Τότε η εξίσωση της εφαπτομένης είναι : f( ) ( ) : y f( ) f '( )( ) y f( ) ( ) f( ) Ισχύουν: f ( ) 4 () f( ) A(,) ( ) : f( ) ( ) f ( ) ( ) 4 ( ) f() για () και Από () f ( ) 4 f( ) Άρα τα σημεία επαφής και οι αντίστοιχες εφαπτόμενες σε αυτά είναι :,, ( ): y ( ) y (, ), ( ): y ( ) y Δ Η f είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη στο (, ) και εφόσον είναι συνεχής και στο, η f είναι συνεχής στο [, ) Για κάθε, η () f() (4) Έστω f() Άρα f() για κάθε (, ) και f συνεχής στο (, ), άρα η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (, ) Αν f() στο (, ), τότε από την (4) προκύπτει f() f(), Αν f() στο (, ), τότε από την (4) προκύπτει f() f(), και επειδή f() έχουμε και επειδή f() έχουμε
Το ζητούμενο εμβαδόν Ε είναι το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων : που ορίζεται από την f (), την και τον άξονα ' και που ορίζεται από την f (), την και τον άξονα ' Η καμπύλη της συνάρτησης f () 4 y 4 έχε άξονα συμμετρίας τον ' οπότε οι είναι συμμετρικές ως προς τον ' Επίσης και οι ευθείες, C,C f f είναι συμμετρικές ως προς τον ', οπότε τα δυο χωρία είναι ισεμβαδικά, δηλαδή ( ) ( ), οπότε (5) Παρατηρούμε ότι το προκύπτει από το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που ορίζονται : Από την τους άξονες ', y'y και είναι τρίγωνο με εμβαδόν και Από την την C και τις ευθείες, άρα f 4 4 ( )d ( )d [ ] 6
και από την (5) έχουμε 6 Άρα 4 4 Δ Έστω 5 το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από τις,, και τον άξονα y'y με βάση το ευθύγραμμο τμήμα που έχει για άκρα τα σημεία (,),(,), άρα μήκος και ύψος ( ) Είναι 5, οπότε για την ευθεία πρέπει να ισχύει Το τρίγωνο που σχηματίζουν οι ευθείες,, και έχει βάση ΒΓ με,, άρα έχουν συντεταγμένες (, ), (, ), οπότε ( ) ( ), ύψος ΑΔ με ( ) και εμβαδόν ( )( ) ( ) 6 Πρέπει 6 ( ) Δ4
i ii I d ( )'d [ ] ( )' d d I Δίνεται g g'() D [, ) f() με g' D [, ) και f() για κάθε, άρα f() g'() και α) Η g' είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως σύνθεση των παραγωγίσιμων συναρτήσεων u και u, με g''() ( )', β) Για είναι g'() και η g είναι συνεχής στο [, ), άρα είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) και παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το g() Από α) έχουμε ότι g''(), και αφού η g είναι συνεχής στο [, ), είναι κυρτή και δεν παρουσιάζει σημεία καμπής γ) g()d ()' g()d [g()] g'()d g() d (6) Για το d θέτουμε u u άρα d udu και για u, 4 ενώ για u Οπότε : i u u u udu u du I [ I ] I [ I ] 4 8 8 8 8 8 u u u u du [u ] du 4 4 4 4 4 Οπότε από την (6) προκύπτει g()d g() 4 4