Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Συναρτήσεις Όρια 19/10/2014 Απαντήσεις. Θέμα A. Θέμα Β

Σχετικά έγγραφα
Απαντήσεις Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Διαφορικός Λογισμός (μέχρι 2.7) 03/01/2014. Θέμα A. Θέμα Β

Β 1 α τρόπος Έστω z=x+yi. Τότε για την δοσμένη σχέση έχουμε:

AΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. z z 0 που είναι τριώνυμο με διακρίνουσα. 2 Re z 4Im z R. x 2 y x y 2

Α4. δ. Α5. (i) Λάθος (ii) Λάθος (iii) Λάθος (iv) Σωστό (v) Λάθος. Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 1. g x. και. f x g x έχουμε: Για την συνάρτηση

ΛΥΣΕΙΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 09/03/14

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 05 ΜΑΙΟΥ 2016 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2015 ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Ημερομηνία: 03 Μαρτίου 2019 Απαντήσεις

Γ. Να δοθεί ο ορισμός του μέτρου ενός μιγαδικού αριθμού z x yi. Δ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν,γράφοντας στο γραπτό σας

ΛΥΣΕΙΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ο κύκλος με κέντρο

z 3i w = z +3i + z 3i. z 3i άρα z 3i = z 3i = z 3i=w. Άρα w IR. z 3i =z-3i+ z 3i (z 3i)(z 3i) z 3i z 3i Β4. z w x yi 2x x yi ( x) y x y z

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ/ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΑΠΑNTHΣΕΙΣ ΣΤA ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ 2012

Απαντήσεις στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Ημερομηνία:

ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 16 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Μαθηματικά Β Λυκείου Εξεταζόμενη Ύλη: Διανύσματα Ευθεία Κύκλος Ημερομηνία: 01/03/2015. Θέμα Β. Θέμα Α. Α 1. Σχολικό Βιβλίο σελίδα 73.

Π Ρ Ο Ο Π Τ Ι Κ Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2015 ΘΕΜΑ Α. Α1. Απόδειξη σελίδα 194. Α2. Ορισμός σελίδα 188. Α3. Ορισμός σελίδα 259

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

έχει μοναδική ρίζα στο. β. Να δείξετε ότι για κάθε x. x 2

2η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ

Υψώνουμε την δοσμένη σχέση στο τετράγωνο οπότε

Τομέας Mαθηματικών "ρούλα μακρή"

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Δευτέρα ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ. Α4.) α) Λάθος, β) Σωστό, γ) Λάθος, δ) Σωστό, ε) Σωστό

ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ. είναι μιγαδικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι:

α) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 23 OKTΩΒΡΙΟΥ 2016 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. e γν.αύξουσα 1 e e 0 e 1 e 1 0 e 1 e 1

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Α2. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Fermat. (Απάντηση : Θεώρημα σελ. 260 σχολικού βιβλίου) Μονάδες 4

Απαντήσεις Διαγωνίσματος Μαθηματικών Προσανατολισμού Γ Λυκείου 03/11/2018

ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 28 ΜΑΪΟΥ 2012

= R {x συν x = 0} ισχύει: 1 ( εφ x)' = συν

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

1 ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2012 ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

f(x) 0 (x f(x) g(x), lim f(x) lim g(x).

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1,

f (x ) f (x ) f (x )f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) 1 f (x )f (x )

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ., στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f x

ΘΕΜΑ Α : Α1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 253. Α2. Σχολικό βιβλίο σελίδα 191. Α3. Σχολικό βιβλίο σελίδα 150. Α4. Α)Σ β)σ γ)λ δ)λ ε)λ ΘΕΜΑ Β : Β1.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

ΜΑΘΗΜΑ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑ Β ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ɶ = = α = + + = = z1 z2 = = Οπότε. Έχουµε. ii) γ) 1ος Τρόπος. Οπότε Ελάχιστη απόσταση είναι:

x είναι f 1 f 0 f κ λ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 25 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

β) Μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x)=y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

x R, να δείξετε ότι: i)

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. β α

β) Μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x)=y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

f (x ) f (x ) f (x )f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) 1 f (x )f (x )

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Σχολικό βιβλίο σελ Α2 Σχολικό βιβλίο σελ. 28 Α3. α σωστό, β σωστό, γ λάθος, δ λάθος, ε σωστό. ΘΕΜΑ Β

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημ/νία: 27 Μαΐου 2013

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 3 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ(ΟΜΑΔΑΣ Β )

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2016

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

( ) ( ) ΘΕΜΑ Β Β1. Θέτουμε z = x + yi, x, y ΙR Είναι: 2 x + y + 2xi 4 2i = 0 2x + 2y 4 + (2x 2)i = 0. 2y = 2 y = 1 ήy= 1 = = = Άρα = 1+ i, z2. z 1 Β2.

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης, Ημερομηνία: 25 Μαΐου 2015

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΝΕΟ & ΠΑΛΑΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 25/5/2015 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ: ΘΕΜΑ Α: ΘΕΜΑ Β:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

Transcript:

Θέμα A Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Εξεταζόμενη Ύλη: Μιγαδικοί Αριθμοί Συναρτήσεις Όρια 19/10/014 Απαντήσεις Α 1. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελίδα 98 Α.(α) Θεωρία σχολικό βιβλίο σελίδα 150 (β) Θεωρία σχολικό βιβλίο σελίδα 141 (γ) Θεωρία σχολικό βιβλίο σελίδα 169 Α 3. i) Λάθος, ii)λάθος, iii)λάθος, iv)λάθος, 5)Λάθος. Θέμα Β Β 1. f:[ ) με f() = + 6 + 7. i. Έστω 1, [ ) τέτοια ώστε: f ( ) f ( ) 1 6 7 6 7 1 1 6 9 6 9 1 1 1, 3 3 3 1 3 3 1 1 Άρα η f είναι 1 1, όποτε και αντιστρέψιμη. ii. Έστω = f() 6 7 6 9 3 ( 3), 3 Οπότε f 1 ( ) 3, D [, ) f 1 Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 1

iii. Το δοσμένο όριο γίνεται: 0 1 0 f ( ) 3 3 3 lim lim lim 7 7 7 7 7 7 3 9 1 1 lim lim 7 7 7 3 3 6 Β. f 3 () + 5f() + 1 = 0, (1) για κάθε i. Η σχέση (1) γίνεται f 3 () + 5f() = 1. Έστω h() = 3 + 5, με D h = Έστω 1, D h τέτοια ώστε: 1 < 1 < 5 1 < 5 (+) h( 1 ) < h( ) Οπότε η h είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της. Παρατηρώ ότι η σχέση (1) γίνεται: ii. Έστω 1, D f τέτοια ώστε: h(f()) = 1 1 1 1 1 h. ύ h f h f f ( ) f ( ) 1 1 Οπότε f γνησίως αύξουσα. Θέτοντας στην (1) = 0 έχουμε: f 3 (0) + 5f(0) 0 + 1 = 0 f(0)(f (0) + 5) = 0 f(0) = 0 ή f (0) = 5, άτοπο Οπότε το 0 = 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, η οποία μάλιστα είναι και μοναδική αφού η f είναι γνησίως αύξουσα. Αν < 0 Aν > 0 f. ύ f ( ) f (0) f ( ) 0 f. ύ f ( ) f (0) f ( ) 0 Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα

Θέμα Γ iii. f(g(ln) ) = f( + ln 3), για κάθε > 0. Γ 1. f(z) = iz 1, z f ( g(ln ) ) f ( ln 3) f 11 g(ln ) ln 3 g(ln ) ln 1 Θέτοντας στην παραπάνω σχέση = ln = έχουμε: g() = + 1 Άρα η ζητούμενη συνάρτηση είναι: g() = + 1 i. Αφού f(z) = f( ) Οπότε z iz 1 i z 1 i z 1 iz 1 iz 1 i z 1 iz 1 i z 1 zz iz i z 1 zz i z iz 1 i z z 0 z z ii. Αφού f(z) = 3 f ( z) 3 iz 1 3 i z i 3 z i 3 Οπότε ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι κύκλος με κέντρο Κ(0, 1), ακτίνα ρ = 3 και καρτεσιανή εξίσωση C 1 : + ( + 1) = 9. iii. Αφού για τους μιγαδικούς αριθμούς z 1,z ισχύει η σχέση του ερωτήματος (ii) έπεται ότι θα ανήκουν στον γεωμετρικό τόπο C 1. Άρα η μέγιστη απόσταση που μπορούν να βρεθούν είναι: z 1 z ma = ρ = 6 Άρα z 1 z 6. Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 3

iv. w = 4i + ημθ iσυνθ, Έστω z = + i,,, όποτε έχουμε: + i = ημθ + i(4 συνθ), όποτε από την ισότητα μιγαδικών έχουμε: 4 4 4 4 4 Προσθέτοντας κατά μέλη τις (1) και () έχουμε: (1) 4 4 4 4 4 Οπότε ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w είναι ο κύκλος C με κέντρο Λ(0,4) και ακτίνα r = () v. Παρατηρώ ότι d(k,λ) = 5 = ρ + r. Οπότε οι κύκλοι C 1 και C εφάπτονται εξωτερικά. Άρα θα έχουν μόνο ένα κοινό σημείο (το Δ), όποτε και η εξίσωση z = w θα έχει μοναδική λύση τον μιγαδικό με εικόνα Δ. Γ. Αν z 1 < 1 και z < 1, Ν.Δ.Ο. z 1 z < 1 z z z z 1 z z 1 z z z z1 z z 1 z z z z < 1 z z 1 1 1 1 1 1 1 1 z z z z z z z z 1 z z z z z z z z 1 1 1 1 1 1 1 1 z z z z 1 0 1 1 z 1 z 1 z 0 1 1 1 0 1 z 1 z z 1 z 1 0, ύ 1 1 Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 4

Αφού: 1 0, z έ z ύ έ z z z1 z1 z1 έ 1 0, ' 1 0, z1 1 0, ' ύ έ Θέμα Δ Δ 1. f() = ln και g ( ) 1 1. 1 1 1 1 0, 1 1 i. D g =, η g() γράφεται: g ( ) 1 1 1 1 1 Έστω 1, D g τέτοια ώστε: 1 < 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 g( 1) g( ) 1 1 1 Άρα g γνησίως αύξουσα. ii. ( +ln 1)( + 1) = ( ln + 1)( 1) ln ln 1 1 1 ( 1) g 11 ln 1 1 g( ln ) g(1) ln 1 1 ln 1 Έστω φ() = + ln 1, με D φ = (0, + ) Παρατηρώ ότι φ(1) = 0, οπότε το 1 είναι ρίζα της παραπάνω εξίσωσης. Αρκεί να δείξουμε ότι αυτή είναι και μοναδική. Έστω 1, D φ τέτοια ώστε 1 < ln 1 <ln 1 1< 1 φ( 1 ) < φ( ) άρα η φ είναι γνησίως αύξουσα, οπότε η ρίζα θα είναι και μοναδική. Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 5

iii. h = ( ) έχουμε: D g g() D f 1 1 0 1 0 0 0 Οπότε D fog = (0, ) και (fog)() = f(g()) = ln Έστω = (fog)() 1 1 1 1 ln 1 1 1 1 1 1,(1 0 0) 1 1 1 ln ln, 0 1 0 0 1 1 1 ln 1 Οπότε h() = ( ) ( ) = 1 ln, με 1 D (,0) fog 1 Δ. f(f()) + = f() f() f(f()) = (1) i. Έστω 1, D f με f( 1 ) = f( ) f ( f ( 1)) f ( f ( )) f ( 1) f ( ) f( 1 ) f(f( 1 )) = f( ) f(f( )) 1 = Άρα η f είναι 1 1 ii. Θέτοντας στην (1) = 0 έχουμε: f(f(0)) = f(0) Άρα η ζητούμενη εξίσωση γίνεται: f ( 3 ) f (0) f ( 3 ) f (0) ή 3 0 1 f 11 Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 6

iii. f( ) lim mm, 0, lim f( ) 014 014 014 Αφού lim f( ) 014 έπεται ότι f() > 0 κοντά στο 014. Οπότε η σχέση 014 (1) γίνεται: f ( f ( )) f ( ) f f f f ( f ( )) f ( ) f ( f ( )) f ( ) f ( ) 1 1 () f ( ) lim u f ( ) 014, u014 f ( f ( )) f ( u) lim m f ( ) u 014 014 Οπότε η () γίνεται: f ( f ( )) f ( ) f ( ) lim 1 lim 014 f ( ) 014 mm 1 m m 1 Τις απαντήσεις επιμελήθηκαν οι καθηγητές: Γασπαράτος Ανδρέας Ίμπος Χρήστος Νταντίνος Γιώργος Παπαθανασίου Νίκος Σιταρίδης Σπύρος Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 7