A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο, όταν lim ( ( Για παράδειγμα, η συνάρτηση ( είναι συνεχής στο, αφού lim ( Σχόλια : α Έστω οι συναρτήσεις, g, h των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα παρακάτω σχήματα C h 6 ( C g( C g O (a O Παρατηρούμε ότι: Η συνάρτηση είναι ορισμένη στο και ισχύει : ( (β Η συνάρτηση g είναι ορισμένη στο αλλά lim g( g( O (γ Η συνάρτηση h είναι ορισμένη στο αλλά δεν υπάρχει το όριό της Από τις τρεις γραφικές παραστάσεις του σχήματος μόνο η γραφική παράσταση της δε διακόπτεται στο Είναι, επομένως, φυσικό να ονομάσουμε συνεχή στο μόνο τη συνάρτηση β Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό, μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της όταν: i Δεν υπάρχει το όριό της στο ή ii Υπάρχει το όριό της στο, αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της, (, στο σημείο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 8

Για παράδειγμα,, αν Η συνάρτηση ( δεν είναι συνεχής στο, αφού, αν lim(, ενώ lim(, οπότε δεν υπάρχει το όριο της στο Η συνάρτηση (, αν δεν είναι συνεχής στο, αφού 3, αν ( ( lim lim(, ενώ ( 3 (9 γ Μία συνάρτηση που είναι συνεχής σε όλα τα σημεία του πεδίου ορισμού της, θα λέγεται, συνεχής συνάρτηση δ Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση Ρ είναι συνεχής, αφού για κάθε lim P( P( R ισχύει Κάθε ρητή συνάρτηση P είναι συνεχής, αφού για κάθε του πεδίου ορισμού της Q ισχύει P( P( lim Q( Q( Οι συναρτήσεις ( ημ και ( συν lim ημ ημ και lim συν συν Οι συναρτήσεις ( α και ( log g είναι συνεχείς, αφού για κάθε g, α α είναι συνεχείς R ισχύει Να διατυπώσετε πρόταση που αφορά τη συνέχεια και τις πράξεις συναρτήσεων Απάντηση : Για τη συνέχεια και τις πράξεις συναρτήσεων ισχύει το παρακάτω θεώρημα : Αν οι συναρτήσεις και g είναι συνεχείς στο, τότε είναι συνεχείς στο και οι συναρτήσεις : i g, ii c, όπου c R, iii g, iv, v και vi με την προϋπόθεση ότι ορίζονται σε ένα διάστημα που περιέχει το g Σχόλιο :Τα αντίστροφα των i, iii, iv, v, και ii, για c, δεν ισχύουν Δηλαδή, μπορεί οι συναρτήσεις : g, g,,, να είναι συνεχείς στο και οι, g να μην είναι συνεχείς στο g ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 9

,, Για παράδειγμα : ( και g( Προφανώς οι συναρτήσεις,, και g δεν είναι συνεχείς στο, όμως οι συναρτήσεις : ( g(,, ( g(,, (,, g (,, (, είναι συνεχείς στο Να διατυπώσετε πρόταση που αφορά τη συνέχεια σύνθετης συνάρτησης Απάντηση : Για τη συνέχεια σύνθετης συνάρτησης ισχύει το παρακάτω θεώρημα : Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο (, τότε η σύνθεσή τους go είναι συνεχής στο 3 Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, και πότε στο κλειστό διάστημα [, ] Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 8,, ΕΣΠ, 7 Μια συνάρτηση λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα ( αβ,, όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (, Μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ, ], όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (, και επιπλέον : lim ( ( και lim ( ( Σχόλιο : Ανάλογοι ορισμοί διατυπώνονται για διαστήματα της μορφής (, ], [, Παρατηρήσεις : Αν η συνάρτηση είναι συνεχής σε καθένα από τα ξένα διαστήματα (, και (,, τότε η είναι συνεχής στο σύνολο (, (, Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο περιοχή του, δεν είναι υποχρεωτικά συνεχής και σε μια ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 3

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής : Εξηγούμε γιατί είναι συνεχής κάθε κλάδος της συνάρτησης ξεχωριστά, στα ανοιχτά διαστήματα που ορίζεται Εξετάζουμε (με τον ορισμό τη συνέχεια στα σημεία που αλλάζει ο τύπος Αν ( τότε η είναι συνεχείς στο, αλλιώς όχι Τονίζουμε ότι για την εύρεση του εργαζόμαστε με πλευρικά όρια Η δεν είναι συνεχείς στο, αν : Δεν υπάρχει κάποιο από τα πλευρικά όρια ή Τα πλευρικά όρια στο υπάρχουν αλλά είναι διαφορετικά ή Τα πλευρικά όρια στο είναι ίσα, όχι όμως ίσα με το ( ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : (Άσκηση σελ 97 Α Ομάδας σχολικό βιβλίο Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο τις παρακάτω συναρτήσεις : 4, i ( αν = 3,, ii ( αν = 3,, iii ( αν =- 3, i Είναι : lim( 4 8, lim( 3 8, Άρα ( 8 άρα η ( είναι συνεχής στο ii Είναι : lim(, lim 3, Άρα ( άρα η ( είναι συνεχής στο ( ( i Είναι : lim lim lim( 3, Άρα ( 3 άρα η ( είναι συνεχής στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 3 (Άσκηση 4 σελ 98 Α Ομάδας σχολικό βιβλίο Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις συναρτήσεις : 3, i (,, ii (, ( 3 8 ( 3 ( 3

i Αν, ( 3 είναι συνεχής ως πολυωνυμική Αν, ( είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών Θα εξετάσω τώρα αν η ( είναι συνεχής στο (σημείο αλλαγής τύπου ( ( lim lim ( ( ( Άρα η ( δεν είναι συνεχής στο ii Αν, ( είναι συνεχής ως πηλίκο συνέχων Αν, ( είναι συνεχής Θα εξετάσω τώρα αν η ( είναι συνεχής στο (σημείο αλλαγής τύπου ( Άρα η ( είναι συνεχής στο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: lim( 3 lim lim ( ( lim lim 3 Στα παρακάτω σχήματα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις δυο συναρτήσεων Να βρείτε τα σημεία στα οποία αυτές δεν είναι συνεχείς 3 O 3 3,5 O 3 4 Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση : ln (, 3 3, 5 Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τη συνάρτηση : 3, 3 4 (, 3 3 (, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 3

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 33 6 Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια στο τις παρακάτω συναρτήσεις : i στο = ii στο =- 7 Να μελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις παρακάτω συναρτήσεις και μετά να χαράξετε τη γραφική τους παράσταση, αν i,, ( ii, 5, 6 5 ( iii, ln, ( iv,, ( e 8 Να εξετάσετε ως προς τη συνέχεια τις παρακάτω συναρτήσεις : i ii iii,, ln( ( e iv,, ( e v e e (,, 9 Αν η συνάρτηση : είναι συνεχής στο χ = με (=, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση είναι συνεχής στο,, ( 3,, ( 3,, 3 ( 3, 5, 3 ( 3,, ( ( g

, Δίνεται η συνάρτηση (, e, i Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη συνέχεια ii Να βρείτε τα όρια και Δίνεται η συνάρτηση ( e ln i Να δείξετε ότι η είναι συνεχής ii Να βρείτε τα όρια : α β Να ελέγξετε αν είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους οι παρακάτω συναρτήσεις Για αυτές που δεν είναι να βρείτε τα σημεία ασυνέχειας i ( 5 4 ii ( iii ( iv ( ln( v ( e vi ( ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Αν μια συνάρτηση μας δίνεται ότι είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της και ζητείται να προσδιορίσω κάποιες παραμέτρους τότε κάνω χρήση του ορισμού : H είναι συνεχείς στο τότε ( Αν χρειαστεί κάνω χρήση του ορισμού με τα πλευρικά όρια :H είναι συνεχείς στο τότε : ( ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 3 Για ποια τιμή του α η συνάρτηση α, αν ( ημ είναι συνεχής;, αν Στο διάστημα (, η έχει τύπο ( και επομένως είναι συνεχής ως πολυωνυμική Στο διάστημα (, η έχει τύπο συνεχών συναρτήσεων ημ ( και επομένως είναι συνεχής ως πηλίκο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 34

Για να είναι η συνεχής, αρκεί να είναι συνεχής και στο, δηλαδή αρκεί ημ ( Έχουμε όμως : lim(, lim και ( Επομένως, αρκεί 4 (Άσκηση σελ 99 B Ομάδας σχολικό βιβλίο ( (, Αν (, να προσδιορίσετε το κ, ώστε η 5, ( να είναι συνεχής στο Η ( είναι συνεχής στο ( lim( ( Άρα lim( 5 5 ( ( ( 4 4 5 lim( 5 (Άσκηση σελ 99 B Ομάδας σχολικό βιβλίο, Αν ( 5,, να βρείτε τις τιμές των,, για τις οποίες η, ( να είναι συνεχής στο Η ( είναι συνεχής στο ( lim( ( 5 ( 5 5 4, ή, 3 Για 4, ( : 5 4 Για 3, ( : 5 3 8 4 lim( 5,( Άρα 5,( ( : 5 5 ( ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 35

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ:, 6 Δίνεται η συνάρτηση (, Να βρείτε την τιμή των α, β ώστε η να a, είναι συνεχής e, 7 Δίνεται η συνάρτηση ( (, Να βρείτε την τιμή των ln( (, α, β ώστε η να είναι συνεχής 8 Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου α ώστε να είναι συνεχής οι συναρτήσεις :, i ( ii 3, 3, (,, a e ln, 9 Δίνεται η συνάρτηση ( Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α, 3a3 ln(3 e, ώστε η να είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3 ( : ΕΥΡΕΣΗ ΤΙΜΗΣ Ή ΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΤΗΣ Όταν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο D, τότε ( Άρα αν μας ζητείται η τιμή αν μας ζητείται το (, τότε αρκεί να βρούμε το, τότε αρκεί να βρούμε το αν η είναι συνεχής στο και μας δίνεται μια ανισοτική σχέση, τότε το ( το βρίσκουμε χρησιμοποιώντας πλευρικά όρια και καταλήγοντας στις σχέσεις (, (, οπότε ( ( ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Έστω συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : ( ( 5 6 για κάθε Να βρείτε την τιμή ( Στη συνέχεια να βρείτε τον τύπο της ( ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 36

Είναι ( ( 5 6 για κάθε 5 6 Αν τότε ( ( 5 6 ( Για να βρούμε το ( θα χρησιμοποιήσουμε την συνέχεια της ( Δηλ Η ( είναι συνεχής για κάθε, άρα η ( συνεχής και στο άρα ισχύει : 5 6 ( ( 3 ( lim lim lim( 3 5 6, Άρα για τον τύπο της ( ισχύει : (, Έστω η συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : ( ( ( για κάθε Να βρείτε το ( Επειδή η ( είναι συνεχής για κάθε, άρα η ( συνεχής και στο άρα ισχύει : ( ( ( Για έχω : ( ( ( ( ( κοντά στο Άρα ( ( ( ( lim ( lim lim έ * u ( u ( ( 3 ( (* lim lim ό :, u u ό : u Για έχω : ( ( ( ( ( κοντά στο Άρα ( ( ( ( lim ( lim lim * ( ( 3 (3 Άρα από ( και (3 έχω ότι ( 3 Αν η συνάρτηση ( είναι συνεχής στο να βρεθεί η τιμή ( όταν ( ( ( lim 4 ( ( ( Έστω : g( με [, (, και limg( 4 έτσι : ( ( ( g( ( ( g( ( ( g( ( ( (, άρα είναι g( ( lim ( ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 37

Επειδή όμως η ( είναι συνεχής στο, ισχύει : lim ( ( 3 έ u ( u (* lim lim ό :, u u ό : u 3 Δίνεται η συνάρτηση :, για την οποία ισχύει : Να δείξετε ότι η είναι συνεχής στο 3 3 Για κάθε έχουμε ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( για κάθε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 38 3 ( Είναι : ( για κάθε, καθώς για κάθε ( (, ( ( ( ( Επομένως : ( ( Έτσι : lim lim από κριτήριο παρεμβολής : Επίσης : (, άρα (, άρα η είναι συνεχής στο ( ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: 4 Έστω συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : ( ( 7 3 για κάθε Να βρείτε την τιμή ( 5 Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει ( 3, για κάθε Αν η είναι συνεχής στο, να βρείτε το ( 6 Έστω συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : ( ( 3 για κάθε Να βρείτε τον τύπο της 7 Έστω συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : * * g( ( ( lim lim lim g( ( lim ( ( g( lim ( ( για κάθε Να βρείτε τον τύπο της 8 Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει ( (, για κάθε Αν (=4, να δείξετε ότι η είναι συνεχής στο g( ( ( ( ( 4 3

9 Δίνεται συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει (, για κάθε, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο (,4 i Να βρείτε τις τιμές των, ii Να βρείτε τον τύπο της 3 Δίνεται συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει (, για κάθε, της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο (,3 i Να βρείτε τις τιμές των, ii Να βρείτε τον τύπο της 3 Έστω συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : ( 4 για κάθε Να βρείτε το ( 3 Έστω συνάρτηση : με την ιδιότητα : ( ( για κάθε i Να βρείτε το ( ii Να βρείτε το και να εξετάσετε αν η είναι συνεχής στο 33 Μια συνάρτηση : έχει την ιδιότητα : ( ( 3 για κάθε Αν συνεχής στο, να βρεθεί η τιμή ( 34 Έστω συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : ( 3 για κάθε Να βρείτε το ( 35 Έστω συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : κάθε * Να βρείτε το ( ( 3 για 36 Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει : Να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής στο 3 ( 3 για κάθε 37 Αν η συνάρτηση :[, είναι συνεχής στο 4, να βρεθεί η τιμή (4 όταν για κάθε, ισχύει : 4 8 ( 4 ( 4 38 Δίνεται συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : ( ( lim Να βρεθεί το ( 39 Δίνεται συνάρτηση : Αν η είναι συνεχής στο, και ισχύει : ( 3 lim να βρεθεί το ( ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 39

4 Δίνεται συνάρτηση : της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ(, Αν επιπλέον ισχύει : είναι συνεχής στο ( ( 3 lim 3 9 6 να αποδείξετε ότι η ( 3 4 Δίνεται συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : lim 8 4 Να βρείτε σε ποιο σημείο τέμνει η γραφική παράσταση της τον άξονα 4 Αν η συνάρτηση ( είναι συνεχής στο να βρεθεί η τιμή ( όταν ( ( lim 3 ( 43 Δίνεται συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : κάθε i Να βρείτε το ( ii Να βρείτε το, ώστε η συνάρτηση : συνεχής στο ( 3 3 για (, g(, να είναι 44 Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει ( 6 ( 9 για κάθε Να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής στο 45 Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει : ( 4 ( 3 για κάθε i Να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής στο ( ii Να βρείτε το lim 46 Έστω : (, μια συνάρτηση, ώστε 3 ( ( ln (, για κάθε Να δείξετε ότι η είναι συνεχής στο ( 47 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : με lim ( i Να βρείτε το ( ii Να βρείτε το α ώστε lim 3 ( ( 48 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : με lim ( ( i Να βρείτε το ( και το lim ii Να βρείτε το λ ώστε lim 3 3 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 4

49 Δίνεται η συνάρτηση : η οποία είναι συνεχής στο, περιττή και ( lim 3 ( i Να βρείτε το (, ii να δείξετε ότι η είναι συνεχής στο ( 3 ii Να βρείτε το lim ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 ΣΧΕΣΕΙΣ : ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΕΣ Όταν μια συνάρτηση δίνεται μέσα από μια συναρτησιακή σχέση και γνωρίζουμε ότι είναι συνεχής σε ένα σημείο α, τότε για να δείξουμε ότι είναι συνεχής σε όλο το πεδίο ορισμού Α, αποδεικνύουμε ότι είναι συνεχής σε τυχαίο σημείο, χρησιμοποιώντας τη συναρτησιακή σχέση με αλλαγή μεταβλητής στην εύρεση του ορίου Ισχύει ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής στο, αν και μόνο αν : ( ( ( lim lim ( h ( h ή lim ( h ( h (στο όριο θέτω (στο όριο θέτω h ή h ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: 5 Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει : ( ( ( για κάθε, i Να βρείτε το ( ii Αν η είναι συνεχής στο, να αποδείξετε ότι : α η είναι συνεχής στο, β η είναι συνεχής στο 5 Δίνεται συνάρτηση : για την οποία ισχύει : ( ( ( για κάθε, (,, να δείξετε ότι : i Αν η είναι συνεχής στο, τότε η είναι συνεχής στο (, ii Αν η είναι συνεχής στο α με, τότε η είναι συνεχής στο (, 5 Δίνεται συνάρτηση :, η οποία είναι συνεχής Να βρείτε την τιμή : ( h ( ( i (, όταν lim και στη συνέχεια να βρείτε το όριο : lim h h 4 (3h ii (3, όταν lim 6 και στη συνέχεια να βρείτε τα όρια : h h ( (3 ( α lim και β lim 3 7 4 3 3 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 4

8Β ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Β ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO 4 Να διατυπώσετε το θεώρημα του Bolzano Απάντηση : (3 ΟΜΟΓ, 4 ΕΣΠ Β Έστω μια συνάρτηση, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ] Αν: η είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει ( (, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (, τέτοιο, ώστε ( Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης ( στο ανοικτό διάστημα (, Σχόλια : Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό, τότε αυτή ή είναι θετική για κάθε ή είναι αρνητική για κάθε, δηλαδή διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ (> O a β O a (< β (α Μια συνεχής συνάρτηση διατηρεί πρόσημο σε καθένα από το διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της (β ρ + ρ ρ 3 + ρ 4 + ρ 5 Αυτό μας διευκολύνει στον προσδιορισμό του προσήμου της για τις διάφορες τιμές του Παρατηρήσεις : Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα [, ] και ισχύει ( ( τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, [, ] τέτοιο, ώστε ( Το αντίστροφο του θεωρήματος Bolzano, δεν ισχύει πάντα Δηλαδή, υπάρχει συνάρτηση : [, ] που έχει ρίζα στο (α,β αλλά δεν είναι συνεχής στο [α,β] ή δεν ισχύει ( ( Αν δεν ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Bolzano, δεν έχουμε ως συμπέρασμα ότι η δεν έχει ρίζα στο (α,β ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 4

5 Να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το θεώρημα του Bolzano Απάντηση : Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνεχούς συνάρτησης στο [ α, β] Επειδή τα σημεία A ( α, ( α και B ( β, ( β βρίσκονται εκατέρωθεν του άξονα, η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο (β O a 64 B(β,(β β (a Α(α,(α ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΚΑΙ ΥΠΑΡΞΗ ΡΙΖΑΣ Έστω μια συνάρτηση, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ α, β] Αν: η είναι συνεχής στο [ α, β] και, επιπλέον, ισχύει ( α ( β, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ( α, τέτοιο, ώστε β ( Δηλαδή, υπάρχει μια, τουλάχιστον, ρίζα της εξίσωσης ( στο ανοικτό διάστημα ( α, β ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Α Για να αποδείξουμε ότι μια εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα σε ένα διάστημα (α,β ακολουθούμε τα εξής βήματα : φέρνουμε όλους τους όρους στο α μέλος θεωρούμε το α μέλος ως μια συνάρτηση εξασφαλίζουμε για την τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano στο [α,β] Υποπερίπτωση : Αν θέλω να δείξω ότι η εξίσωση ( g( ή ( έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α,β θεωρώ νέα συνάρτηση h( ( g( ή h ( ( αντίστοιχα και εφαρμόζω ΘBolzano στην h ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 53 Να δείξετε ότι η εξίσωση 4 3 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα (,π Έχω 4 3, έστω ( 4 3, D, θα δείξω ότι η εξίσωση ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (,π Εφαρμόζω Θ Bolzano για την ( στο [,π] ( συνεχής στο [,π] ως πράξεις συνέχων (πσ (, ( 4 3 4 3 4 5 Άρα ( ( και άρα από ΘΒ η εξίσωση ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (,π ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 43

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 54 Να δειχθεί ότι έχουν μια τουλάχιστον ρίζα, στο αντίστοιχο διάστημα, οι παρακάτω εξισώσεις : i 3 3 3 4 στο (, ii 3 ln 4 στο (,e iii ln ln στο (,e iv 3 στο (, 55 Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο διάστημα (,π (Υποδ H τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο άρα η εξίσωση ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα 3 56 Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης ( 4 4 6 τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο διάστημα (,3 57 Να δείξετε ότι αν η συνάρτηση ( είναι συνεχής στο, ώστε ( και ( 3, τότε η εξίσωση ( e έχει τουλάχιστον μια λύση στο (, 58 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ln και g ( e 3 Να δειχθεί ότι γραφικές παραστάσεις των των, g έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο με τετμημένη που ανήκει στο διάστημα (,e (Υποδ Οι C και C έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο αν η εξίσωση ( g( έχει τουλάχιστον μια ρίζα Θεωρώ τη συνάρτηση h( ( g( και εφαρμόζοντας Θ Bolzano για την h ( δείχνω ότι η εξίσωση h( ( g( ( g( έχει μια τουλάχιστον ρίζα 59 Δίνονται οι συναρτήσεις ( και g ( ln 3 Να δειχθεί ότι γραφικές παραστάσεις των των, g έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο με τετμημένη που ανήκει στο διάστημα (,e 6 Για κάθε μία από τις παρακάτω πολυωνυμικές συναρτήσεις, να βρείτε έναν ακέραιο α τέτοιον, ώστε στο διάστημα ( α, α η εξίσωση ( να έχει μία τουλάχιστον ρίζα 3 5 i ( ii ( 4 3 iii ( 4 iv ( g C 6 Η συνάρτηση είναι συνεχής στο και για κάθε ισχύει ( Να δειχθεί ότι η εξίσωση ( ( έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, 6 Έστω η συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : 3 3 ( ( ( 6 για κάθε, όπου, με 3 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, (Πανελλήνιες 63 Δίνονται οι συναρτήσεις και g συνεχής στο [α,β] Η είναι γνησίως φθίνουσα και ισχύει g ( για κάθε [, ] Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( g( ( g( έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα (α,β ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 44

ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Β Αν θέλουμε να αποδείξουμε ότι η εξίσωση έχει περισσότερες ρίζες, τότε εφαρμόζουμε την παραπάνω διαδικασία σε περισσότερα διαστήματα, είτε χωρίζοντας το αρχικό διάστημα, είτε εντοπίζοντας νέα διαστήματα Τα διαστήματα δεν πρέπει να έχουν κοινά εσωτερικά στοιχεία ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 64 Να δείξετε ότι η εξίσωση 4 έχει τουλάχιστον δυο ρίζες στο διάστημα (-, Έχω 4 4, έστω (, D, θα δείξω ότι η εξίσωση ( έχει τουλάχιστον δυο ρίζες στο (-, Εφαρμόζω ΘBolzano για την ( στα [-,] & [,] ΘBolzano για την ( στα [-,] ( συνεχής στο [-,] ως πολυωνυμηκή (, ( Άρα ( ( και άρα από ΘΒ η εξίσωση ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (-, ΘBolzano για την ( στα [,] ( συνεχής στο [,] ως πολυωνυμηκή (, ( Άρα ( ( και άρα από ΘΒ η εξίσωση ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (, Άρα τελικά η εξίσωση ( έχει τουλάχιστον δυο ρίζες στο (-, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 65 Να δειχθεί ότι έχουν δυο τουλάχιστον ρίζες οι επόμενες εξισώσεις : 3 i 4 3 8 6 στο (, 3 5 στο (, 3 ii (3 ln 5 5 στο (,4 66 Να δείξετε ότι η συνάρτηση ( ( e ( i μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (,3 ii δυο τουλάχιστον ρίζες αντίθετες έχει : ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Γ Αν η εξίσωση περιέχει παρανομαστές και η συνάρτηση δεν ορίζεται σε κάποιο άκρο, τότε πρώτα απαλείφουμε τους παρανομαστές και μετά θέτουμε συνάρτηση ( ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 67 (Άσκηση 5β σελ Ομάδας σχολικού βιβλίου e ln Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (, Αν θέσουμε ως συνάρτηση ( το ο μέλος της εξίσωσης δεν θα ορίζονται τα (, ( με αποτέλεσμα να μην μπορώ να εφαρμόσω ΘΒ Γι αυτό κάνω πρώτα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 45

e ln απαλοιφή παρανομαστών : e ( ln (, έστω ( e ( ln (, D (,, θα δείξω ότι η εξίσωση ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (, Εφαρμόζω Θ Bolzano για την ( στο [,] ( συνεχής στο [,] ως πσ ( e, ( ln Άρα ( ( και άρα από ΘΒ η εξίσωση ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 68 Να δειχθεί ότι έχουν μια τουλάχιστον ρίζα, στο αντίστοιχο διάστημα, οι παρακάτω εξισώσεις : : 4 3 e i στο (, ii στο (, ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Δ Αν ζητείται να δείξουμε ότι η εξίσωση ( έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [α,β] (Δηλ ότι υπάρχει [, ] τέτοιο ώστε ( τότε αρκεί να δείξουμε ότι ( ( και διακρίνω τις περιπτώσεις αν ( (, τότε θεωρούμε ή αν ( ( τότε ισχύει το Bolzano ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 69 Μια συνάρτηση είναι ορισμένη και συνεχής σε ένα διάστημα [-3,3] και για κάθε [3,3] ισχύει ( 3 Να αποδειχτεί ότι η εξίσωση ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [-3,3] Έχω (, έστω g( (, D [3,3], θα δείξω ότι η εξίσωση g ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [-3,3] Εφαρμόζω ΘBolzano για την g ( στο [-3,3] g ( συνεχής στο [-3,3] ως πσ Από εκφώνηση : ( 3 3 ( 3 ( για κάθε [3,3] Άρα g ( 3 ( 3 3 ( Από ( : 3 ( 3 3 ( 3 3 6 Και g ( 3 (3 3 ( Από ( : 3 (3 3 6 (3 3 Άρα g ( 3 g(3 Αν g( 3 g(3 g( 3 το -3 είναι ρίζα της εξίσωσης g ( ή g(3 το 3 είναι ρίζα της εξίσωσης g ( Αν g ( 3 g(3 από ΘΒ η εξίσωση g ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (-3,3 Άρα σε κάθε περίπτωση η εξίσωση g ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [-3,3] ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 7 Έστω συνεχής συνάρτηση στο [α,β] με ( ( Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [α,β] g ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 46

7 Έστω : συνεχής συνάρτηση με ( ( 7 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( 4 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [,] 7 Έστω : [,6] συνεχής συνάρτηση Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( 6 ( 9 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [,] ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Ε Αν σε κάποιο άκρο (ή και στα δυο δεν ορίζεται η ( τότε μπορούμε να προσδιορίσουμε το πρόσημο της τιμής της από όριο : αν l, τότε υπάρχει α κοντά στο τέτοιο ώστε ( αν l, τότε υπάρχει α κοντά στο τέτοιο ώστε ( αν αν, τότε υπάρχει α κοντά στο τέτοιο ώστε (, τότε υπάρχει α κοντά στο τέτοιο ώστε ( ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 73 Να δείξετε ότι η εξίσωση ln έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, Έστω ( ln, D (, (,, θα δείξουμε ότι η εξίσωση ( έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, limln ( τέτοιο, ώστε (, οπότε υπάρχει α κοντά στο limln (, οπότε υπάρχει β κοντά στο τέτοιο, ώστε ( Η είναι συνεχής στο [, ] (, και επιπλέον ( (, άρα από Θ Bolzano η εξίσωση ( έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, (, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 74 Να δείξετε ότι η εξίσωση ln έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, 75 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln 4 έχει μια τουλάχιστον λύση στο (, 76 Να δείξετε ότι η εξίσωση ln( (, έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 47

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΥΠΑΡΞΗ (, ΠΟΥ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙ ΜΙΑ ΙΣΟΤΗΤΑ Για να αποδείξουμε ότι υπάρχει (, (ή (, που να ικανοποιεί μια ισότητα, εργαζόμαστε ως εξής : Στην ισότητα που δίνεται, (αν χρειάζεται κάνουμε απαλοιφή παρανομαστών μεταφέρουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος και θέτουμε όπου το Θεωρούμε συνάρτηση g ( το πρώτο μέλος Εφαρμόζουμε Θ Bolzano για την g ( στο [α,β] και δείχνουμε ότι υπάρχει (, τέτοιο ώστε g ( Από την ισότητα g ( οδηγούμαστε στη ζητούμενη ισότητα ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 77 Δίνεται συνεχής συνάρτηση : [, ], της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο (, Να αποδειχτεί ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (,, ώστε : ( ( Θα δείξω ότι η εξίσωση ( ( (α,β Έστω ( ( ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο g, D [, ], άρα θα δείξω ότι η εξίσωση g ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (α,β ΘΒ για τη g ( στο [α,β] g ( συνεχής στο [, ] ως πσ Η γραφική παράσταση της διέρχεται από το (, άρα (, g ( ( ( ( ( άρα και g ( ( ( ( ( ( Άρα έχω g ( g( και άρα από ΘΒ η εξίσωση g ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (α,β 78 Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο [, ] και για κάθε ισχύει ( ( ( Να αποδειχτεί ότι υπάρχει [, ] ώστε να είναι g ( ( Θα δείξω ότι η εξίσωση ( ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [, ] Έστω g ( ( (, D, άρα θα δείξω ότι η εξίσωση g ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [, ] ΘΒ για τη g ( στο [, ] g ( συνεχής στο [, ] ως πσ g( ( ( ( ( g( ( ( g ( ( ( ( ( [ ( ( ] Άρα έχω g ( g( [ ( ( ] Αν g( g( g( το α- είναι ρίζα της εξίσωσης g ( ή g( το α+ είναι ρίζα της εξίσωσης g ( Αν g ( g( από ΘΒ η εξίσωση g ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (, Άρα σε κάθε περίπτωση η εξίσωση g ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο [, ] ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 48

79 Αν οι συναρτήσεις, g είναι ορισμένες και συνεχείς στο [,] και πληρούν τις σχέσεις ( g( και ( g(, να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (, τέτοιο ώστε ( g( 8 **Έστω : συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει : ( 4 ( ( (4 Να αποδείξετε ότι : i ( (4 ii Υπάρχει ένα τουλάχιστον [,] τέτοιο ώστε : ( ( 8 Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (, τέτοιο ώστε : 3 8 Δίνονται οι συναρτήσεις, g που είναι συνεχείς στο [α,β] Αν ( g( και ( g(, να αποδεδειχθεί ότι υπάρχει (, τέτοιο ώστε ( g( 83 Έστω η συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : 3 ( 4 ( 5 ( 3 για κάθε Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα (, ώστε ( 84 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύουν ( και Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε ( e ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3 : ΜΟΝΑΔΙΚΗ ΡΙΖΑ ΣΤΟ (α,β Για να δείξω ότι η εξίσωση (= έχει ακριβώς μια ρίζα στο (α,β: ο Βήμα : Δείχνω ότι η εξίσωση (= έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (α,β με Θ Bolzano ο Βήμα : Αποδεικνύουμε ότι η είναι γνησίως μονότονη στο (α,β, οπότε η παραπάνω ρίζα είναι μοναδική ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 85 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : e έχει μοναδική ρίζα στο (, Έχω : e e, έστω ( e, D, θα δείξω ότι η εξίσωση ( έχει ακριβώς μια ρίζα στο (, ο Βήμα : θδο η εξίσωση ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (, ΘΒ για την ( στο [,] ( συνεχής στο [,] ως πσ (, ( e άρα ( ( και άρα από ΘΒ η εξίσωση ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (, ο Βήμα : θδο η ( είναι γνησίως μονότονη Έστω, με : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 49

(, προσθέτω κατά μέλη τις ( και ( και έχω : e e ( e ( ( e άρα η ( είναι γνησίως αύξουσα οπότε η εξίσωση ( έχει το πολύ μια ρίζα Άρα τελικά η εξίσωση ( έχει ακριβώς μια ρίζα στο (, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 86 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : e 3 έχει μοναδική ρίζα στο (, 87 Δίνεται η συνάρτηση ( 3ln Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα σε ένα μόνο σημείο, του οποίου η τετμημένη ανήκει στο (,e 88 Δίνονται οι συναρτήσεις ( 3 και g( 5 5 Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των,g τέμνονται σε ένα μόνο σημείο του οποίου η τετμημένη ανήκει στο διάστημα (,3 89 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ( ( ( ( (, όπου,, και, έχει δυο ρίζες άνισες, μια στο διάστημα (, και μια στο (, ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ Θ BOLZANO ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 9 Ένας πεζοπόρος ξεκάνει από ένα χωριό Α στις 6 πμ και φτάνει σε ένα άλλο χωριό Β στις πμ Την επόμενη μέρα ξεκάνει από το χωριό Β στις 6 πμ και φτάνει στο χωριό Α στις πμ, κάνοντας την ίδια διαδρομή Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο της διαδρομής στο οποίο βρίσκεται την ίδια ώρα και τις δυο ημέρες 9 Ένα αυτοκίνητο ξεκάνει στις 7 πμ από μια πόλη Α και φτάνει στις μμ σε μια πόλη Β Την επόμενη μέρα ξεκάνει στις 7 πμ από την πόλη Β και φτάνει στις μμ στην πόλη Α ακλουθώντας την ίδια διαδρομή Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σημείο της διαδρομής στο οποίο βρίσκεται την ίδια ώρα και τις δυο ημέρες 9 Δίνεται το τετράγωνο ΟΑΒΓ του διπλανού σχήματος και μία συνεχής στο [,] συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο αυτό i Να βρείτε τις εξισώσεις των διαγωνίων του τετραγώνου ii Να αποδείξετε με το θεώρημα του Bolzano ότι η C τέμνει και τις δύο διαγώνιες Γ(, Ο(, Β(, Α(, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 5

8Γ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Γ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ BOLZANO 6 Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα του ενδιαμέσων τιμών Διατύπωση : Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ] Αν: η είναι συνεχής στο [, ] και ( ( τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των ( και ( υπάρχει ένας, τουλάχιστον (, τέτοιος, ώστε ( Απόδειξη : ( ΟΜΟΓ, 5, ΕΣΠ Β, 3 ΕΣΠ, 5 Ας υποθέσουμε ότι ( ( Τότε θα ισχύει ( ( (Σχ 67 Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση g( (, [, ], παρατηρούμε ότι: η g είναι συνεχής στο [, ] και g( g(, Αφού g( ( και g( ( Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει (, τέτοιο, ώστε g( (, οπότε ( (β η (a Α(α,(α 67 B(β,(β =η O a β Γεωμετρική ερμηνεία Αν η είναι συνεχής συνάρτηση στο [α,β] και τα σημεία (, ( και (, ( βρίσκονται εκατέρωθεν της ευθείας, τότε η C τέμνει την ευθεία σε ένα τουλάχιστον σημείο (, με τετμημένη (, Σχόλια : α Αν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής στο διάστημα [α,β], τότε δεν παίρνει υποχρεωτικά όλες τις ενδιάμεσες τιμές β Η εικόνα ( ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης είναι διάστημα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 5

Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ( a O β (α O ( a β (β Μ Μ m m O [ a (γ β O [ a (δ ] β 7 Να διατυπώσετε το θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής Απάντηση : Στην ειδική περίπτωση που το Δ είναι ένα κλειστό διάστημα [α, β ], ισχύει το παρακάτω θεώρημα : Αν είναι συνεχής συνάρτηση στο [, ], τότε η παίρνει στο [, ] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m Δηλαδή, υπάρχουν, [, ] τέτοια, ώστε, αν m ( και M (, να ισχύει m ( M, για κάθε [ α, β] Σχόλιο : Από το παραπάνω θεώρημα και το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει ότι το σύνολο τιμών μιας συνεχούς συνάρτησης με πεδίο ορισμού το [, ] είναι το κλειστό διάστημα [ m, M ], όπου m η ελάχιστη τιμή και Μ η μέγιστη τιμή της Για παράδειγμα, η συνάρτηση ( ημ, [, ] έχει σύνολο τιμών το [, ], αφού είναι συνεχής στο [, ] με m και 3π/ O π/ π π Τέλος, αποδεικνύεται ότι: Aν μια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (,, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (, (Σχ 7α, όπου lim ( και lim ( Αν, όμως, η είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο (,, τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (, (Σχ 7β ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 5

B Α 7 A Β O ( a β (α O ( a β (β Για παράδειγμα, Το σύνολο τιμών της ( ln, (, e, η οποία είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής συνάρτηση (Σχ 7, είναι το διάστημα (,, αφού και e 7 73 O e O Το σύνολο τιμών της (, (,, η οποία είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής συνάρτηση, (Σχ 73 είναι το διάστημα (,, αφού και Ανάλογα συμπεράσματα έχουμε και όταν μια συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως μονότονη σε διαστήματα της μορφής [, ], [, και (, ] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 53

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΘΕΤ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ & ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ Α Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ] Αν: η είναι συνεχής στο [, ] και ( ( τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των ( και ( υπάρχει ένας, τουλάχιστον (, τέτοιος, ώστε : η Όταν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παίρνει δυο τιμές διαφορετικές μεταξύ τους, τότε η παίρνει και όλες τις ενδιάμεσες (ΘΕΤ Άρα αν η δεν είναι σταθερή, τότε το σύνολο τιμών της (Δ είναι επίσης διάστημα Β Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο [α,β], τότε η παίρνει και μέγιστη και ελάχιστη τιμή Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν, [, ] ώστε : ( ( ( για κάθε [, ] που σημαίνει ότι τα μ, Μ είναι αντίστοιχα η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή της στο [, ] Γ Ένα θεωρητικό συμπέρασμα που προκύπτει από τα παραπάνω θεωρήματα είναι ότι «Αν η είναι συνεχείς και - σε διάστημα Δ, τότε είναι και γνησίως μονότονη στο Δ» ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ( 93 Δίνεται η συνάρτηση 5 3 ( 5 Να αποδείξετε ότι υπάρχει (, τέτοιο ώστε ( 5 ος Τρόπος : Εφαρμόζω ΘΕΤ για την ( ( συνεχής στο [,] ως πολυωνυμική ( ( (αφού ( 5, ( 8 Άρα από ΘΕΤ, αφού ( 5 (, η εξίσωση ( 5 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (, ος Τρόπος : Έστω g( ( 5, θδο η εξίσωση g( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (, Εφαρμόζοντας ΘΒolzano στη g( στο [,] 94 Η συνάρτηση είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [,] Αν (= και (=4 να δείξετε ότι : i Η ευθεία =3, τέμνει τη C, σε ένα ακριβώς σημείο με τετμημένη (, 3 4 5 5 5 5 ii Υπάρχει (, τέτοιο ώστε : ( ( Ο 4 i Αρκεί νδο η εξίσωση ( 3 έχει ακριβώς μια ρίζα στο (, ος Τρόπος : Εφαρμόζω ΘΕΤ για την ( ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 54

( συνεχής στο [,] ( ( (αφού (, ( 4 Άρα από ΘΕΤ, αφού ( 3 (, η εξίσωση ( 3 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (, και επειδή η ( είναι γνησίως αύξουσα θα είναι και μοναδική ος Τρόπος : Έστω g( ( 3, θδο η εξίσωση g( έχει ακριβώς μια ρίζα στο (, ΘΒ στη g( στο [,] και μονοτονία ii Επειδή η είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο [,], έχουμε : ( ( ( για κάθε (, Άρα : ( ( ( 5 ( ( ( 5 3 ( ( (3 5 4 ( ( (4 5 Αν προσθέσω κατά μέλη τις (, (, (3, (4 έχω : 3 4 3 4 5 5 5 5 4 ( 4 ( ( ( 5 5 5 5 4 Από το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών, προκύπτει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον 3 4 5 5 5 5 (, τέτοιο ώστε : ( 4 95 Δίνεται συνεχής συνάρτηση :[,4] Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον [,4] ( ( ( 3 (4 6 Επειδή η είναι συνεχής στο [,4], από ΘΜΕΤ θα έχει μέγιστη τιμή Μ και ελάχιστη τιμή m επομένως θα ισχύει m ( για κάθε [,4 ] Άρα : m ( ( m ( m ( ( m (4 3m 3 (3 3 (3 Αν προσθέσω κατά μέλη τις (, (, (3, έχω : 6m ( ( 3 (3 6 ( ( 3 (3 m Επειδή η είναι συνεχής στο [,4 ], το σύνολο 6 τιμών της θα είναι το διάστημα ( [ m, ] Έτσι ο αριθμός ( ( 3 (4 ανήκει στο σύνολο τιμών της, έτσι υπάρχει ένα, 6 τουλάχιστον, [,4 ] τέτοιο, ώστε : ( ( 3 (4 ( 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 55

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 5 3 96 Δίνεται η συνάρτηση ( 5 Να αποδείξετε ότι υπάρχει (, τέτοιο τέτοιο ώστε ( 5 97 Έστω η συνεχής συνάρτηση :[,3] με και ( (3 Να δείξετε ότι η εξίσωση ( 4 έχει μια τουλάχιστον λύση στο (,3 98 Έστω : μια συνεχής συνάρτηση με ( (3 5 ( (4 Να αποδείξετε ότι υπάρχουν,, ώστε 5 και ( ( 5 99 Δίνεται συνεχής συνάρτηση :[,5] Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον τουλάχιστον [,5] 3 ( 5 (3 7 (4, τέτοιο ώστε : ( 5 Μια συνάρτηση είναι συνεχής στο [,4] Να αποδειχθεί ότι υπάρχει τέτοιο ώστε ( 3 ( 4 (3 9 ( Μια συνάρτηση είναι συνεχής στο [,4] Να αποδειχθεί ότι υπάρχει τέτοιο ώστε ( ( 3 (3 6 ( [,4] (,4 Έστω συνάρτηση συνεχής και [, ] Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ( ( (, τέτοιο ώστε ( 3 3 Έστω συνεχής και γνησίως μονότονη στο [,4] με ( 4 και ( 7 i Να βρεθεί το είδος μονοτονίας της ii Αν [,7] να δείξετε ότι η ( έχει μοναδική ρίζα στο [,4] iii Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό (,4 τέτοιο ώστε : ( ( 3 ( 5 (3 9 4 Στο διπλανό σχήμα η καμπύλη C είναι η B(β,(β γραφική παράσταση μιας συνάρτησης που Μ (, είναι συνεχής στο [ α, β] και το Μ(, είναι ένα σημείο του επιπέδου Μ(,( i Να βρείτε τον τύπο της απόστασης d( ( MM Α(α,(α του σημείου M (, από το σημείο M (, ( της C για κάθε [ α, β] O a β ii Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση d είναι συνεχής στο [ α, β] και στη συνέχεια ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, σημείο της C που M απέχει από το λιγότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της και ένα, τουλάχιστον, σημείο της C που απέχει από το M περισσότερο από ότι απέχουν τα υπόλοιπα σημεία της ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 56

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Μια συνεχής συνάρτηση διατηρεί πρόσημο σε κάθε ένα από τα διαστήματα, στα οποία χωρίζουν το πεδίο ορισμού οι διαδοχικές ρίζες της Η διαδικασία που ακολουθούμε ώστε να βρούμε το πρόσημο μιας συνεχούς συνάρτησης είναι η εξής : Λύνουμε την εξίσωση (, D Σε πίνακα πρόσημου χωρίζουμε το πεδίο ορισμού σε διαστήματα, τοποθετώντας τις ρίζες και τα ανοικτά άκρα του πεδίου ορισμού Σε καθένα από τα υποδιαστήματα που δημιουργούνται επιλέγουμε κατάλληλο αριθμό και βρίσκουμε το πρόσημο της τιμής ( Το πρόσημο αυτό έχει η σε ολόκληρο το αντίστοιχο διάστημα ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 5 Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης : ( ημ συν, [, ] Αρχικά υπολογίζουμε τις ρίζες της ( στο [, ] Έχουμε ( ημ συν ημ συν εφ, 4 και 5 [, ] άρα ή 4 4 Έτσι οι ρίζες της χωρίζουν το πεδίο ορισμού της στα διαστήματα :, 5,, 4 4 4 5 και, Η είναι συνεχής στο [, ], επομένως διατηρεί σταθερό πρόσημο 4 σε καθένα από τα διαστήματα που οι διαδοχικές ρίζες χωρίζουν το [, ], δηλαδή στα διαστήματα :, 5 5,, και, 4 4 4 4 Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα αποτελέσματα του ελέγχου του προσήμου της σε κάθε διάστημα Διάστημα, 5, 4 4 4 Επιλεγμένος αριθμός ( ( 5, 4 ( Πρόσημο Επομένως, στα διαστήματα, 4 5 4 είναι (,, 4 5, 4 είναι (, ενώ στο διάστημα ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 57

6 Να βρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης 3 6 ( ( 3 6, πρέπει 3 3 ( και 6 [ 4,4] ( άρα από ( και ( [3,4] D 3 6 ( 3 3 3 δεκτή ή 6 6 4 δεκτή ή 4 απορ 3 6 3 6 ( 3 4 - + + + - + Άρα : ( για κάθε [ 3,, ( για κάθε (,4 και ( όταν, ή, 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 7 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : με : ( 9 για κάθε i Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της ii Να βρεθούν οι ρίζες της (= iii Να αποδειχθεί ότι η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα (-3,3 8 Να βρείτε το πρόσημα της συνάρτησης για όλες τις πραγματικές τιμές του, όταν: i ( εφ 3, (, ii ( ημ συν, [, ] 9 Δίνεται η συνάρτηση ( ( i Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, ii Να λύσετε την εξίσωση ( στο [,π] iii Να βρείτε το πρόσημο της στο [,π] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 58

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 3 : ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ Όταν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα και δε μηδενίζεται σε αυτό, τότε η διατηρεί σταθερό πρόσημο σε αυτό Αυτή η διαπίστωση μας βοηθάει να βρούμε τον τύπο μιας συνεχούς συνάρτησης η οποία ικανοποιεί μια δοσμένη σχέση ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : ( για κάθε Έστω : μια συνάρτηση με ( 3, η οποία είναι συνεχής και ισχύει : ( 9, για κάθε Να βρείτε τον τύπο της Για κάθε, ( 9 ( 9 ( 9, ( Όμως 9, για κάθε, άρα από ( έχουμε : ( (, για κάθε και συνεχής, άρα η διατηρεί σταθερό πρόσημο για κάθε Είναι ( 3, συνεπώς ( για κάθε Τελικά η ( γίνεται ( 9, Έστω : μια συνάρτηση με ( 3, η οποία είναι συνεχής και ισχύει : ( 9 6 (, για κάθε Να βρείτε τον τύπο της Για κάθε, ( 9 6 ( ( 6 ( 9 ( 6 ( 9 9 9 ( 3 9 9 ( 3 9 9 ( Έστω η συνάρτηση : g( ( 3, η οποία είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων Οπότε η ( γίνεται : g ( 9 9, ( Όμως 9 9, για κάθε, άρα από ( έχουμε : g ( g(, για κάθε και g συνεχής, άρα η g διατηρεί σταθερό πρόσημο για κάθε Είναι g ( ( 3, συνεπώς ( για κάθε Τελικά η ( γίνεται g( 9 9 g( 9 9 ( 3 9 9, ( 3 9 9 ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ : ( για κάθε ανήκει στο εσωτερικό το Α και μηδενίζει στα άκρα του Α (Άσκηση 7 σελ Ομάδας σχολικό βιβλίο Έστω μια συνεχή συνάρτηση στο διάστημα [-,], για την οποία ισχύει : ( για κάθε [, ] i Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης ( ii Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (-, iii Να βρεθεί ποιος μπορεί να είναι ο τύπος της συνάρτησης iv Αν (, να βρείτε την ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 59

i Έχω ( (, ( (, ή, ii Στο διάστημα (-, η ( είναι συνεχής και δεν μηδενίζει (αφού οι μόνες ρίζες της ( είναι οι, ή, άρα η ( διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (-, iii Η ( διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (-, άρα ( για κάθε (, ή ( για κάθε (, Αν ( στο (,, τότε : ( ( ( ( για κάθε (, και από τη σχέση ( [,] παίρνουμε : ( (,έτσι έχουμε ( για κάθε Αν ( στο (,, τότε : ( ( από τη σχέση ( ( ( για κάθε [, ] ( ( για κάθε (, παίρνουμε : ( ( και,έτσι έχουμε iv Επειδή (, είναι ( για κάθε (, Άρα (, [, ] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 6

3 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : με ( 3 4 για κάθε i Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α ii Να λύσετε την εξίσωση ( iii Αν η γραφική παράσταση της τέμνει τον στο σημείο με τεταγμένη -, να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης i Για κάθε είναι : ( 3 4, όμως ( άρα πρέπει 3 4 [,4] οπότε : [,4] ii ( ( 3 4 ή 4 iii C Η γραφική παράσταση της τέμνει τον στο σημείο με τεταγμένη -, δηλ το σημείο (, ( Επίσης : ( 3 4 ( 3 4 Όμως η είναι συνεχής στο (,4 και ( για κάθε (,4, άρα η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα (,4 και ( άρα ( για κάθε (,4 Επίσης είναι ( (4, οπότε : ( για κάθε [,4] Έτσι έχουμε : ( 3 4 ( 3 4 ( 3 4 για κάθε [,4] ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ 3 : H μηδενίζει σε κάποιο εσωτερικό σημείο του Α και ( για κάθε 4 Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις : για τις οποίες ισχύει ότι : ( για κάθε Έχουμε : (, ( (, δηλ ( Η συνάρτηση στο διάστημα (, είναι συνεχής και δε μηδενίζεται σε αυτό άρα η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (, Αν ( στο (, τότε : ( ( ( ( ( Αν ( στο (, τότε : ( ( ( ( Ομοίως η συνάρτηση στο διάστημα (, είναι συνεχής και δε μηδενίζεται σε αυτό άρα η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (, Αν ( στο (, τότε : ( ( ( ( (3 Αν ( στο (, τότε : ( ( ( (4 Συνδυάζοντας τα παραπάνω η : έχει έναν από τους παρακάτω τύπους : ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 6

ον, από (, (3 ( αφού για, (, ον, από (, (4 ( ( για κάθε αφού για,, ( 3 ον, από (, (3 ( ( για κάθε αφού για,, ( 4 ον, από (, (4 ( αφού για, (, 5 Δίνεται η συνάρτηση g( e, η οποία παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις : που ικανοποιούν την σχέση : ( e για κάθε ΘΕΜΑ Γ (6 Η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο, το g(, δηλ g( g( g( για κάθε και το «=» ισχύει μόνο για Είναι : Για είναι : Για είναι : ( άρα g( άρα ( και συνεχής, άρα η διατηρεί πρόσημο στο (, Αν ( τότε ( g( ( Αν ( τότε ( g( ( Για είναι : ( άρα g( άρα ( και συνεχής, άρα η διατηρεί πρόσημο στο (, Αν ( τότε ( g( (3 Αν ( τότε ( g( (4 Τελικά : ( g( e ( g ( ( g( ( g( ( g( ( ( ον από (, (3 ( e, αφού για, ( e, ον από (, (4 ( αφού για, ( e, e, 3 ον από (, (3 ( αφού για, ( e, 4 ον από (, (4 ( e, αφού για, ( ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 6

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : με ( 4 για κάθε i Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α ii Να λύσετε την εξίσωση ( iii Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (-, iv Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης 7 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : με ( 9 για κάθε i Να βρεθεί το πεδίο ορισμού Α ii Να λύσετε την εξίσωση ( iii Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (-3,3 iv Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης 8 Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις : οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση : για κάθε 9 Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις : οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση : ( e ( για κάθε Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις : οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση : ( ( 4 ( ( για κάθε i να αποδείξετε ότι ( ii να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν τέμνει τον χ χ iii να δείξετε ότι η διατηρεί σταθερό πρόσημο iv να βρείτε τον τύπο της Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις : για τις οποίες ισχύει ότι : ( για κάθε Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση για την οποία ισχύουν : ( ( για κάθε και ( 3 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : με την ιδιότητα : ( ( για κάθε i να δείξετε ότι η συνάρτηση g(=( - διατηρεί σταθερό πρόσημο ii αν (=, τότε α να βρείτε τον τύπο της β να υπολογίσετε το όριο Α= lim ( 4 Δίνεται συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι : ( ( 5 για κάθε Επίσης η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Μ(,- i Να αποδείξετε ότι η ( για κάθε ii Να βρείτε τον τύπο της iii Να βρεθεί το όριο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 63

* 5 **Δίνεται συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι : 4 ( 6 ( 5 4 για κάθε Να βρείτε : i την τιμή ( ii τον τύπο της iii lim ( ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6 Δίνεται συνεχής συνάρτηση :[,4] με ( για κάθε [,4], της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(-,-5 i Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( 6 ( έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (-,4 ii Να βρεθεί το όριο lim 3 ( 5 3 i Η γραφική παράσταση της διέρχεται από το σημείο Α(-,-5, άρα ( 5 Επίσης η είναι συνεχής στο [,4] και ( για κάθε [,4], άρα η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [,4] Όμως ( 5, άρα ( για κάθε [,4] Έστω g ( ( ( 6 με [,4], θα δείξω ότι η εξίσωση g( έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (-,4 ΘBolzano για τη g ( στο [,4] Η g ( είναι συνεχής στο [,4], ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων g( ( ( 4 6 g( 4 4 (4 (4 66 6 (4 καθώς ( για κάθε [,4] Άρα g( g(4 Οπότε από ΘBolzano η εξίσωση g( έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (-,4 3 3 3 ii lim ( 5 3 lim ( καθώς ( και lim ( ΣΥΝΕΧΗΣ ΚΑΙ ( Όταν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα και δε μηδενίζεται σε αυτό, τότε η διατηρεί σταθερό πρόσημο σε αυτό Αυτή η διαπίστωση μας βοηθάει να βρούμε τον τύπο μιας συνεχούς συνάρτησης η οποία ικανοποιεί μια δοσμένη σχέση 7 Δίνεται συνεχής συνάρτηση : η οποία είναι συνεχής Οι αριθμοί και 3 είναι διαδοχικές ρίζες της και ( Να υπολογίσετε το όριο lim e Επειδή η είναι συνεχής στο και οι αριθμοί και 3 είναι διαδοχικές ρίζες της εξίσωσης (, η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (,3 Επιπλέον το (,3 και (, άρα (, για κάθε (,3 3 ( ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 64

Στο όριο έτσι : lim lim e 3 3 ( ( ή, θέτω (3 ( 3 Τελικά lim e lim e 3 ( και ( κοντά στο 3, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 8 Δίνεται συνεχής συνάρτηση : [,] με ( για κάθε [, ] Να ( ( αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, 9 Δίνεται συνεχής συνάρτηση :[, ] με ( για κάθε [, ] Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (,, ώστε : ( 3 Δίνεται συνεχής συνάρτηση :, με ( για κάθε για την οποία ( ( ισχύει ότι : lim 8 3 i Να βρείτε την τιμή ( ii Να βρείτε το όριο lim 3 ( 3 5 3 Δίνεται συνεχής συνάρτηση :, με ( για κάθε για την οποία ( 3 ισχύει ότι : lim 6 4 i Να βρείτε την τιμή ( ii Να βρείτε το όριο lim ( 3 3 3 Δίνεται συνεχής συνάρτηση :[,4] με ( για κάθε [,4 ], της οποίας η γραφική παράσταση διέρχεται από το σημείο Α(,5 i Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( 6 ( έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (,4 ii Να βρεθεί το όριο lim 5 3 (3 5 33 Δίνεται συνεχής συνάρτηση :, με ( για κάθε Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : ( ( 4 e έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα (-, 34 Δίνεται συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει ότι : 3 5 ( ( για κάθε i Να βρείτε το ( ii Να αποδείξετε ότι ( για κάθε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 65

35 Δίνεται συνεχής συνάρτηση :, με ( για κάθε Επίσης η γραφική παράσταση της διέρχεται από το σημείο Α(3, Να αποδείξετε ότι : i (, για κάθε ii υπάρχει (, τέτοιο ώστε ( 36 Δίνεται η συνάρτηση :, για την οποία ισχύουν : ( 7 (6 και ( για κάθε Να αποδείξετε ότι η δεν είναι συνεχής ( 3 37 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : για την οποία ισχύει : lim και η εξίσωση ( έχει μοναδικές ρίζες τις - και 3 Να βρείτε : i Την τιμή ( ii Το όριο lim ( eln iii Το όριο lim 3 ( ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ Για να βρούμε το σύνολο τιμών (Δ μιας συνάρτησης σε ένα διάστημα Δ=(α,β κάνω τα εξής : Διαπιστώνω ότι η είναι συνεχής και γνησίως μονότονη στο διάστημα Δ=(α,β Βρίσκω τα όρια : και οπότε : (Δ=(Α,Β, αν η είναι γνησίως αύξουσα ή (Δ=(Β,Α, αν η είναι γνησίως φθίνουσα Αν κάποιο από τα άκρα του Δ είναι κλειστό, τότε και το αντίστοιχο του (Δ θα είναι κλειστό ΜΟΡΦΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΤΗΣ [α,β] Γνησίως Αύξουσα (, ( [α,β] Γνησίως Φθίνουσα (, ( (α,β] Γνησίως Αύξουσα, ( (α,β] [α,β [α,β (α,β (α,β Γνησίως Φθίνουσα Γνησίως Αύξουσα Γνησίως Φθίνουσα Γνησίως Αύξουσα Γνησίως Φθίνουσα (, (, lim lim (, ( (,, lim ( ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 66

ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 38 Δίνεται η συνάρτηση ( e ln Να βρείτε το σύνολο τιμών της Πρέπει και άρα (, ] (,], έστω (, ] με : ( e e e ( (3, προσθέτω κατά μέλη τις (, ( και (3 και έχω: e ln e ln ( ( άρα η ( είναι γνησίως φθίνουσα Η ( είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο (, ] άρα ( [ (,, lim( e ln άρα ( [ e, ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 39 Δίνεται η συνάρτηση ( ln e i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία iii Να βρείτε το σύνολο τιμών της 4 Δίνεται η συνάρτηση ( 5 ln i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία iii Να βρείτε το σύνολο τιμών της 4 Δίνεται η συνάρτηση ( 5 i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία iii Να βρείτε το σύνολο τιμών της 4 Να βρεθεί το σύνολο τιμών των παρακάτω συναρτήσεων στο αντίστοιχο διάστημα i ( 3 στο [-,] ii, στο [,e] iii ( e στο [, e ln ln ln ln ( e ( ln e( ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 67

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 5 : ΓΙΑ ΝΔΟ Η ΕΞΙΣΩΣΗ (= ΕΧΕΙ ΜΙΑ ΤΟΥΛΑΧΙΣΤΟΝ ΡΙΖΑ ος Τρόπος Με προφανή ρίζα ος Τρόπος Αν ζητείται να δείξω ότι η (= έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α,β τότε εφαρμόζω το ΘBolzano για την Υποπερίπτωση : Αν θέλω να δείξω ότι η εξίσωση ( g( ή ( έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α,β θεωρώ νέα συνάρτηση h( ( g( ή h( ( αντίστοιχα και εφαρμόζω ΘBolzano στην h 3 ος Τρόπος Με τη βοήθεια του συνόλου τιμών Αν το ( τότε η εξίσωση (= έχει μια τουλάχιστον ρίζα Γενικότερα αν το ( τότε η εξίσωση (=κ, έχει μια τουλάχιστον ρίζα Υποπερίπτωση : Αν θέλω να δείξω ότι η εξίσωση ( g( έχει μια τουλάχιστον ρίζα θεωρώ νέα συνάρτηση h( ( g( και βρίσκω το h( ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 6 : ΓΙΑ ΝΔΟ Η ΕΞΙΣΩΣΗ (= ΕΧΕΙ ΑΚΡΙΒΩΣ ΜΙΑ ΡΙΖΑ ο Βήμα δείχνω ότι η (= έχει τουλάχιστον μια ρίζα με έναν από τους παραπάνω τρόπους ο Βήμα δείχνω ότι η (= έχει το πολύ μια ρίζα (συνήθως με μονοτονία οπότε συμπεραίνω ότι έχει ακριβώς μια ρίζα ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 43 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln( e έχει μια μόνο ρίζα Στη συνέχεια να βρεθεί η ρίζα αυτή ln( e ln( e, έστω ( ln( e με (,, θα δείξω ότι η εξίσωση ( έχει ακριβώς μια ρίζα στο (, έστω, (, με : ln( ln( προσθέτω κατά μέλη τις ( και ( και έχω: ln( e ln( e ( ( άρα η ( είναι γνησίως αύξουσα Η είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο (, άρα Για να βρούμε τη ρίζα θα ψάξουμε να βρούμε την προφανή ρίζα Παρατηρώ ότι για, έχω ( ln( e ln, άρα η ρίζα της ( και επειδή η ( είναι γνησίως αύξουσα είναι και μοναδική ( e e e e ( (, lim(ln( e, lim (ln( e άρα ( (, Το ( άρα η εξίσωση ( έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (, και επειδή η είναι γνησίως αύξουσα είναι και μοναδική ( ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 68

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 44 (ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση : (, είναι συνεχής και -, τότε η είναι γνησίως μονότονη 45 Δίνεται η συνάρτηση ( ln e i Να αποδειχθεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii Να βρεθεί το σύνολο τιμών της iii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln e έχει μια μόνο ρίζα iv Να βρεθεί η ρίζα της παραπάνω εξίσωσης 46 Δίνεται η συνάρτηση ( e e i Να αποδειχθεί ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii Να βρεθεί το σύνολο τιμών της iii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( έχει μια μόνο ρίζα 47 3 Για κάθε δίνεται η συνάρτηση : ( i Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο (,] να βρείτε το (Δ ii Για κάθε (4,5 να δείξετε ότι η εξίσωση ( 5 έχει ακριβώς μια ρίζα 48 Δίνεται η συνάρτηση ( ln e i Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii Να δείξετε ότι η εξίσωση ( έχει μια ακριβώς θετική ρίζα 49 Δίνεται η συνάρτηση ( ln(9 i Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii Να δείξετε ότι η εξίσωση ( e έχει μια ακριβώς ρίζα 5 Δίνεται η συνάρτηση ( ln i Να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα ii Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα σε μόνο ένα σημείο 5 Δίνεται η συνάρτηση ( e ln i Να δείξετε ότι η είναι γνησίως φθίνουσα ii Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα σε μόνο ένα σημείο 5 Δίνεται η συνάρτηση ( e i Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει τον άξονα σε μόνο ένα σημείο iii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση : e e έχει ακριβώς μια ρίζα 53 Σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων και g έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο i ( e και g( ii ( ln και g( ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 69