ΘΕΜΑ Α Σελίδα από 8 (α) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε όλες οι συναρτήσεις της μορφής G() F() C, C είναι παράγουσες της στο και κάθε άλλη παράγουσα G της στο παίρνει τη μορφή G() F() C, C (α) α. Να χαρακτηρίσετε τον παρακάτω ισχυρισμό ψευδή ή αληθή. «Αν η συνάρτηση είναι συνεχής στο (α) ΘΕΜΑ Β Τότε και η συνάρτηση είναι συνεχής στο» α. Να δικαιολογήσετε την απάντηση του παραπάνω ισχυρισμού. Να αντιγράψετε στην κόλλα σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα να γράψετε το γράμμα Σ αν η πρόταση είναι σωστή ή το γράμμα Λ αν η πρόταση είναι λάθος. g g. Ισχύει ()() d()d()d. Η γραφική παράσταση μιας εκθετικής συνάρτησης δεν έχει οριζόντια εφαπτομένη. Όταν μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής, τότε δεν έχει αρχική συνάρτηση 4. Η ευθεία είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης, τότε η συνάρτηση δεν είναι συνεχής 5. Αν η εξίσωση () 0 έχει μόνο μια ρίζα στο, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο Δίνεται η συνάρτηση συνεχής στο και με και, ακόμα για κάθε ισχύει ln ln ln ln ( β ) Να βρείτε το e ( β ) Να αποδείξετε ότι e e ( β ) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης ( β4 ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση, ως προς τη μονοτονία
Σελίδα από 8 ΘΕΜΑ Γ Οι γραμμές Α, Β, Γ του σχήματος είναι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων,, ( γ ) Να αντιστοιχίσετε κάθε μία από τις γραφικές παραστάσεις Α, Β, Γ στις,, αιτιολογώντας την απάντηση σας A 6 Y B Γ ( γ ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και την Ε κυρτότητα ( γ ) Να βρείτε το όριο lim ( γ4 ) Αν το εμβαδόν του χωρίου Ε είναι τριπλάσιο από το εμβαδόν Ε Ε α X του χωρίου Ε, τότε να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση με συνεχή παράγωγο στο, για την οποία ισχύουν ln ( δ ) Να βρείτε το ( δ ) Να βρείτε την εφαπτομένη στη Αν επιπλέον ισχύει e, τότε C στο e 0 0 ( δ ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, ώστε e ( δ4 ) Να βρείτε τον τύπο της
Σελίδα από 8 ενδεικτικές απαντήσεις ΘΕΜΑ Α (α) Σχολικό βιβλίο σελίδα 86 (α) α. αληθης. α. lim Αν,τότε lim 0 Όμως και από το κριτήριο παρεμβολής lim 0 Αν,τότε 0 Οπότε Αν,τότε Οπότε lim, κοντά στο 0, κοντά στο lim lim lim lim (α) ΘΕΜΑ Β Σ Σ - Λ Λ Λ ( β ) Να βρείτε το e ln ln ln ln e lne lne lne lne, άρα e 0 ( β ) Να αποδείξετε ότι e e ln ln ln ln ln ln ln οπότε η e μοναδική ρίζα οπότε υπάρχει, ώστε 0, άρα e e. e e e e e
Σελίδα 4 από 8 e e e e e, που ισχύει ( β ) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης ln ln, η είναι συνεχής και e μοναδική ρίζα, άρα η διατηρεί πρόσημο στο e e,, e και, άρα 0 e και διατηρεί πρόσημο στο και ln 0 e, οπότε ln ln e και, άρα 0 e, και ln 0 e, τελικά, οπότε ln ln 0, ln ln ( β4 ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση, ως προς τη μονοτονία Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη ως αποτέλεσμα πράξεων μεταξύ παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με ln ln ln ln ln ln ln [ ] [ ln ln ] ln ln 0, ln 0 και το τριώνυμο ως προς ln είναι θετικό ln ln 0 0,, γιατί άρα 0, είναι γνησίως αύξουσα στο 7 ln, οπότε η συνάρτηση
Σελίδα 5 από 8 ΘΕΜΑ Γ ( γ ) Να αντιστοιχίσετε κάθε μία από τις γραφικές παραστάσεις Α, Β, Γ στις,, Αν η ευθεία Β είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης τότε η συνάρτηση είναι σταθερή οπότε C, αιτιολογώντας την απάντηση σας, άτοπο Αν η ευθεία Β είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης τότε η συνάρτηση οπότε C, άτοπο είναι σταθερή άρα η γραμμή Β είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης Αν η ευθεία Α είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης τότε η συνάρτηση είναι κυρτή στο άρα, άτοπο οπότε η γραφική παράσταση της είναι η γραμμή Γ και η γραμμή Α είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης A 6 Y B Ε Ε Ε α Γ X ( γ ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα Είναι, οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο [,) οπότε η είναι κυρτή στο [,) (,] οπότε η είναι κοίλη στο (,]
Σελίδα 6 από 8 ( γ ) Να βρείτε το όριο lim DLH DLH lim lim lim 0 ( γ4 ) Αν το εμβαδόν του χωρίου Ε είναι τριπλάσιο από το εμβαδόν του χωρίου Ε, τότε να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης Είναι d 4 Η ευθεία Β διέρχεται από τα σημεία και, οπότε η εξίσωση της είναι y 6 6 Έχει τύπο 6 6 6 6, άρα 6 C οπότε C, άρα, οπότε η συνάρτηση, άρα A,για 0 6 άρα C,,για 0 οπότε C και 4, άρα 4 d, άρα 6 Y B Ε Ε Ε α Γ X
Σελίδα 7 από 8 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται ln Αφού ορίζεται το ln ηοπότε Δ, έχουμε ότι, οπότε πόσυ δ ) Να βρείτε το η( πόθεσυθεη είναι συνεχής, άρα Η είναι συνεχής, άρα στο 0, άρα 0 0 0 lim 0 lim 0 0 0 lim 0 και η ln είναι συνεχής 0 lim ln ln 0, οπότε είναι lim lim ln 0 ln 0 0 όμως, άρα ln 0 0 e ( δ ) Να βρείτε την εφαπτομένη στη C στο 0 0 ln ln, 0, lim lim 0 0 DLH ln lim lim, άρα, 0 0 0, οπότε η y, εφάπτεται στη C Αν επιπλέον ισχύει e, τότε ( δ ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον, ώστε e Η ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ στο [0,], άρα υπάρχει ένα τουλάχιστον, ώστε e
Σελίδα 8 από 8 ( δ4 ) Να βρείτε τον τύπο της ln, 0 ln ln ln 0 για κάθε Με 0 ln ln ln 0, οπότε ln e ln 0, άρα ln C C ln Με 0 ln ln ln 0, οπότε ln e ln 0, άρα ln C C ln lim lim e. Τελικά e 0 0 e e,