6 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ 5 Να γράψετε τις ιδιότητες του άπειρου ορίου στο o Απάντηση : Όπως στην περίπτωση των πεπερασμένων ορίων έτσι και για τα άπειρα όρια συναρτήσεων, που ορίζονται σε ένα σύνολο της μορφής (, (,, ισχύουν οι παρακάτω ισοδυναμίες: α f( f( f( β f( f( f( γ Αν δ Αν f(, τότε f( κοντά στο, ενώ αν f(, τότε ( f(, ενώ αν f(, τότε f( κοντά στο f(, τότε ( f( ε Αν f( ή, τότε f( στ Αν f( και f( κοντά στο, τότε, ενώ αν f( f( και f( κοντά στο, τότε f( ζαν f( ή, τότε f( η Αν f(, τότε k f( θ i και γενικά *, N ii ν, N και, N 6 Να γράψετε τα Θεωρήματα του άπειρου ορίου στο o Απάντηση : Για το άθροισμα και το γινόμενο ισχύουν τα παρακάτω θεωρήματα : ΘΕΩΡΗΜΑ ο (όριο αθροίσματος Αν στο R το όριο της f είναι: α R α R - - και το όριο της g είναι: - - - τότε το όριο της f είναι: g - - ; ; ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 96
ΘΕΩΡΗΜΑ ο (όριο γινομένου Αν στο R, το όριο της f είναι: α> α< α> α< + + - - και το όριο της g είναι: τότε το όριο της f g είναι: + + - - + - + - + - + - - + ; ; + - - + Πράξεις στο σύνολο, (Με βάση τις ιδιότητες των απείρων ορίων, επεκτείνουμε τις πράξεις του στο σύνολο, ( ( και ( ( ( και (, για κάθε ( ( και ( ( και ( (, ( και,, για κάθε (,, Σχόλιο Στους πίνακες των παραπάνω θεωρημάτων, όπου υπάρχει ερωτηματικό, σημαίνει ότι το όριο (αν υπάρχει εξαρτάται κάθε φορά από τις συναρτήσεις που παίρνουμε Στις περιπτώσεις αυτές λέμε ότι έχουμε απροσδιόριστη μορφή Δηλαδή, απροσδιόριστες μορφές για τα όρια αθροίσματος και γινομένου συναρτήσεων είναι οι : ( ( και ( Επειδή f g f ( g και f f, απροσδιόριστες μορφές για τα όρια της διαφοράς g g και του πηλίκου συναρτήσεων είναι οι : ( (, (, ( (, ( (,, Για παράδειγμα: αν πάρουμε τις συναρτήσεις f ( και g(, τότε έχουμε: f (, g( και ( f ( g( ενώ, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 97
αν πάρουμε τις συναρτήσεις ( f και g(, τότε έχουμε: f (, g( και ( f ( g( (8 Β Ανάλογα παραδείγματα μπορούμε να δώσουμε και για τις άλλες μορφές ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ f ( Με το συμβολισμό εννοούμε ότι έχουμε όριο της μορφής με g( g( και f (, Για να υπολογίσουμε ένα τέτοιο όριο εργαζόμαστε ως εξής : παραγοντοποιώ τον παρανομαστή και απομονώνω τον παράγοντα που τον μηδενίζει f ( δηλ " " ( ( g ( υπολογίζω το όριο του περισσεύματος υπολογίζω το ( α αν ( κοντά στο τότε : β αν ( κοντά στο τότε : γ αν ( ( ( αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του, κάνουμε χρήση πλευρικών ορίων και διαπιστώνουμε ότι το δεν υπάρχει, αφού τα πλευρικά ( θα είναι το ένα και το άλλο f ( 4 Υπολογίζουμε το όριο από την ( εκτελώντας τις πράξεις g( Συμπέρασμα : όριο της μορφής είναι είτε, είτε, είτε δεν υπάρχει ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : (ΕΦΑΡΜΟΓΗ σελ 8 σχολικό βιβλίο Να βρεθούν τα όρια : 5 6 i ii ( Λύση ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 98
i ii 5 6 ( 5 6 έχω : και κοντά στο, άρα ( 5 6 Άρα ( 5 6 4 ( ( έχω : ( ( και ( κοντά στο, άρα ( ( 4 Άρα ( ( 4 ( (ΕΦΑΡΜΟΓΗ σελ 8 σχολικό βιβλίο Δίνεται η συνάρτηση f ( Να εξετάσετε αν υπάρχει το f ( Λύση : f ( ( ( αλλά το δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο κοντά στο, οπότε πρέπει να διακρίνω περιπτώσεις : Αν τότε και ( άρα f ( ( Αν τότε και ( άρα f ( ( Παρατηρούμε ότι τα πλευρικά όρια δεν είναι ίσα αφού f (, f ( Άρα το f ( δεν υπάρχει Να βρείτε αν υπάρχει το 4 6 Λύση : 6 4 6 4 (4 (4 4 4 4 (4 αλλά το 4 δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο κοντά στο 4, οπότε 4 πρέπει να διακρίνω περιπτώσεις : Αν 4 4 τότε και 4 4 4 4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 99 6 8 4
άρα 4 4 4 4 6 Αν 4 4 τότε και 4 4 4 4 8 4 άρα 4 4 4 4 Παρατηρούμε ότι τα πλευρικά όρια δεν είναι ίσα άρα το 4 6 δεν υπάρχει ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: 4 Να βρεθούν τα όρια : i 4 4 ( 4 (Απ ii ( (Απ iii ( ( i (Απ i ii iii i 4 6 9 (Απ (Απ 5 Δίνεται η συνάρτηση : f ( Να βρεθεί το f ( (Απ 6 Δίνεται η συνάρτηση : f ( Να βρεθεί το f ( (Απ Δεν υπάρχει 7 Να βρείτε (αν υπάρχει το όριο της f στο όταν: 5 i f (, 4 ii f (, 4 4( iii f (, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα
8 Να βρείτε (αν υπάρχει το όριο της f στο, όταν : 4 i f (, ii f (, iii f (, 9 Να βρεθούν αν υπάρχουν τα παρακάτω όρια i (Απ Δεν υπάρχει ii 7 4 (Απ Δεν υπάρχει iii 5 6 (Απ Δεν υπάρχει i i ii Να βρείτε (εφόσον υπάρχει το 4 9 4 8 Να αποδείξετε ότι: i Η συνάρτηση f ( εφ δεν έχει όριο στο ii Η συνάρτηση f ( σφ δεν έχει όριο στο ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Ζητείται πλήρης διερεύνηση για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων Όπως και στα μη παραμετρικά παραγοντοποιώ τον παρανομαστή και απομονώνω τον παράγοντα που f ( τον μηδενίζει δηλ " " και υπολογίζω το όριο για τις ( g ( διάφορες τιμές των παραμέτρων ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να βρείτε, εφόσον υπάρχει, το όριο για τις διάφορες τιμές του (Διερεύνηση Λύση : ( ( ( Έχω, πρέπει να ξέρω το πρόσημο του «περισσεύματος» καθώς θα επηρεάσει το τελικό όριο, γι' αυτό διακρίνω περιπτώσεις : Αν, (, άρα ( Αν, (, άρα ( Αν, τότε ( ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα ( ( ( αλλά το δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο κοντά στο, οπότε πρέπει να διακρίνω περιπτώσεις : Αν τότε και ( Αν τότε και ( Παρατηρούμε ότι τα πλευρικά όρια δεν είναι ισα άρα το δεν υπάρχει (Άσκηση σελ 8 σχολικό βιβλίο Β Ομάδας ( Δίνεται η συνάρτηση f ( Να βρείτε το ώστε να υπάρχει στο το f ( Λύση : ( ( ( f ( ( (
( Έχω, πρέπει να ξέρω το πρόσημο του «περισσεύματος» καθώς θα επηρεάσει το τελικό όριο, για αυτό διακρίνω περιπτώσεις : Αν, τότε : ( αλλά το δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο κοντά στο, οπότε πρέπει να διακρίνω περιπτώσεις : Αν τότε, άρα f ( Αν τότε, άρα f ( Παρατηρούμε ότι τα πλευρικά όρια δεν είναι ισα άρα το f ( δεν υπάρχει Αν, τότε : ( αλλά το δεν διατηρεί σταθερό πρόσημο κοντά στο, οπότε πρέπει να διακρίνω περιπτώσεις : Αν τότε, άρα f ( Αν τότε, άρα f ( Παρατηρούμε ότι τα πλευρικά όρια δεν είναι ισα άρα το f ( δεν υπάρχει ( ( Αν τότε f ( ( ( Άρα το f ( υπάρχει στο μόνο αν ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: 4 Για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων, να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια : i, ii iii i ( 5 Αν, να βρεθεί το α 5 6 Αν, να βρεθεί το α ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Όταν γνωρίζουμε το όριο μιας παράστασης που περιέχει μια συνάρτηση f ( και θέλουμε να βρούμε το f (, τότε εργαζόμαστε ως εξής : θέτουμε με g ( την παράσταση του ορίου που γνωρίζουμε, λύνουμε ως προς f ( και υπολογίζουμε το f ( ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 7 (Άσκηση 4 σελ 8 σχολικό βιβλίο Β ΟΜΑΔΑΣ Να βρείτε το f (, όταν : 4 f ( i ii iii [ f ( ( ] f ( Λύση : 4 4 i Έστω g(, άρα g(, έχω g ( g( f ( 4 f ( f ( 4 f ( ( g( κοντά στο g( αφού g( 4 Άρα f ( g( f ( f ( ii Έστω h (, άρα h(, έχω h ( f ( h( ( Άρα f ( [ h( ( ] iii Έστω ( f ( (, άρα ( ( ( f ( ( f ( ( Άρα f ( ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ: ( κοντά στο f ( 8 Έστω συνάρτηση f ( με Να βρείτε το f ( (Απ 9 Έστω η συνάρτηση : όρια : i f ( ii f για την οποία ισχύει : ( f f ( iii f ( να βρείτε τα **Έστω η συνάρτηση : βρείτε τα όρια: i f ( (Απ f για την οποία ισχύει ( ( f ii f ( f ( 5 f ( f ( 4 (Απ να ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 4
iii f ( f ( f ( f ( (Απ i f ( 4 f ( f ( (Απ Έστω η συνάρτηση : βρείτε τα όρια: i f ( ii f για την οποία ισχύει ( 6 9 ( f 5 6 f ( 7 f ( 8 f ( f ( να f ( Έστω η συνάρτηση f : για την οποία ισχύει 4 όρια: i f ( ii f ( 5 f ( f ( f ( 7 5 Έστω η συνάρτηση f : για την οποία ισχύει f ( f ( 4 όρια: i f ( ii iii f ( 4 f ( 4 f ( 4 να βρείτε τα να βρείτε τα 4 Δίνεται η συνάρτηση f : για την οποία ισχύει f ( υπάρχει το όριο: κοντά στο ενώ αν 4 f ( f ( να βρείτε αν (υποδ αν f (, τότε f ( f (, τότε f ( κοντά στο (Απ 5 Δίνεται η συνάρτηση f : για την οποία ισχύει f ( f ( 4 υπάρχει το όριο: (Απ f ( f ( 5 να βρείτε αν f ( 6 Δίνεται συνάρτηση f : για την οποία ισχύει Να βρείτε τα όρια : i f ( (Απ ii (Απ f ( ( f f ( 5 f ( f ( ii (Απ i (Απ f ( f ( f ( f ( ( ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 5
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : f ( g( Αν ισχύει f ( g( κοντά στο και g(, τότε ισχύει Αποδ Είναι g(, άρα κοντά στο ισχύει ότι g( Από τη σχέση f ( g( προκύπτει ότι ισχύει f ( κοντά στο Έτσι κοντά στο έχουμε : f ( g( Όμως, άρα από το κριτήριο f ( g( g( παρεμβολής ισχύει ότι f ( Άρα είναι : f (, διότι και κοντά στο f ( f ( f ( f ( Αν ισχύει f ( g( κοντά στο και g(, τότε ισχύει Αποδ (Όμοια με παραπάνω f ( ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 7 Δίνεται η συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ( 4 4 f ( 5 για κάθε Να βρείτε το f ( Λύση : Για κοντά στο έχουμε : 5 ( 4 4 f ( 5 ( f ( 5 f ( ( ( 5 ( ( 5 ( ( 5 ( καθώς : ( και ( κοντά στο, άρα από ( προκύπτει ότι : f ( ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 8 Αν f : (, με 9 Αν f : (, με f (,, να βρείτε το f ( f (,, να βρείτε το f ( Αν f (, για κάθε, να βρείτε το f ( ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 6
Δίνεται η συνάρτηση f : για την οποία ισχύει ( 6 9 f ( 5 για κάθε Να βρείτε το f ( Δίνεται η συνάρτηση f : για την οποία ισχύει f ( για κάθε Να βρείτε τα όρια : i f ( (Απ ii ( f ( (Απ f ( 4 Δίνεται η συνάρτηση f : για την οποία ισχύει f ( ( για κάθε Να βρείτε τα όρια : f ( iii f ( (Απ ii (Απ f ( f ( 7 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ wwwpitetragonogr Σελίδα 7