1 4.1 ΥΙΣ ΚΙ Ι ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΩΡΙ 1. Το πίπδο: ίναι έννοια πρωταρχική για τα µαθηµατικά δηλαδή έννοια που δν πιδέχται ορισµό. H ικόνα του πιπέδου ίναι γνωστή από την µπιρία µας. Την έχουµ ταυτίσι µ τη µορφή που έχι ένα λίο πάτωµα, ένας καθρέφτης, ο πίνακας του σχολίου µας κλπ. 2. Στοιχία που καθορίζουν τη θέση νός πιπέδου πό τρία µη συνυθιακά σηµία ορίζται ένα µόνο πίπδο. πό δύο τµνόµνς υθίς ορίζται ένα µόνο πίπδο. δ πό δύο παράλληλς υθίς ορίζται ένα µόνο πίπδο. δ Σηµίωση : Κάθ πίπδο προκτίνται απριόριστα προς όλς τις κατυθύνσις 3. Σχτικές θέσις δύο διαφορτικών πιπέδων ύο διαφορτικά πίπδα ή ίναι παράλληλα ή τέµνονται. αράλληλα ίναι όταν δν έχουν κοινά σηµία. Τέµνονται όταν έχουν κοινά σηµία. Όταν τα πίπδα τέµνονται τα κοινά τους σηµία βρίσκονται σ µία υθία την οποία ονοµάζουµ τοµή των δύο πιπέδων. στο παρακάτω σχήµα τα πίπδα και Ρ ίναι παράλληλα νώ τα Σ και Κ τέµνονται αράλληλα πίπδα Τµνόµνα πίπδα Ρ υθία ίναι η τοµή των πιπέδων Σ και Κ Σ Κ
2 4. Σχτικές θέσις δύο διαφορτικών υθιών ύο διαφορτικές υθίς µπορί να ίναι ή παράλληλς ή να τέµνονται ή να ίναι ασύµβατς. αράλληλς ίναι όταν βρίσκονται στο ίδιο πίπδο και δν έχουν κοινό σηµίο. Τέµνονται όταν βρίσκονται στο ίδιο πίπδο και έχουν ένα µόνο κοινό σηµίο. σύµβατς ίναι όταν βρίσκονται σ διαφορτικά πίπδα Στα παρακάτω σχήµατα στο πρώτο φαίνονται δύο παράλληλς υθίς, στο 2 ο δύο τµνόµνς και στο 3 ο δύο ασύµβατς. 3 ο 1 ο 2 ο 1 2 1 2 1 2 5. Σχτικές θέσις υθίας και πίπδου Μία υθία µπορί ή να πριέχται σ ένα πίπδο, ή να ίναι παράλληλη στο πίπδο, ή να τέµνι το πίπδο σ ένα µόνο σηµίο. υθία πριέχται στο πίπδο όταν δύο σηµία της ίναι σηµία του πιπέδου. υθία ίναι παράλληλη στο πίπδο όταν δν έχι κοινά σηµία µ το πίπδο. υθία τέµνι το πίπδο όταν έχι µ το πίπδο ένα µόνο κοινό σηµίο. Στην τλυταία πρίπτωση το κοινό σηµίο το λέµ ίχνος της υθίας στο πίπδο. Στα παρακάτω σχήµατα, στο πρώτο η υθία πριέχται στο πίπδο, στο δύτρο ίναι παράλληλη στο πίπδο και στο τρίτο τέµνι το πίπδο 1 ο 2 ο 3 ο 2 6. υθία κάθτη σ πίπδο Μία υθία ίναι κάθτη σ ένα πίπδο όταν ίναι κάθτη σ δύο υθίς που διέρχονται από το ίχνος της 1 2 7. πόσταση σηµίου από πίπδο : Λέµ το κάθτο τµήµα που φέρουµ από το σηµίο στο πίπδο.
3 8. πόσταση παραλλήλων πιπέδων : Ονοµάζται η απόσταση νός σηµίου του νός πιπέδου από το άλλο πίπδο. ΣΧΟΛΙ 1. υθία σ πίπδο : ν µία υθία ανήκι σ ένα πίπδο τότ όλα τα σηµία της ανήκουν στο πίπδο αυτό. 2. υθία κάθτη σ πίπδο: ν µια υθία ίναι κάθτη σ ένα πίπδο τότ ίναι κάθτη σ κάθ υθία του πιπέδου που διέρχται από το ίχνος της. ΣΚΣΙΣ 1. Χαρακτηρίστ τις παρακάτω προτάσις µ ένα (Σ) αν ίναι σωστές και µ ένα (Λ) αν ίναι λανθασµένς. α) πό τρία µη συνυθιακά σηµία διέρχονται άπιρα πίπδα. Λ β) ν µία υθία βρίσκται σ ένα πίπδο τότ µόνο δύο σηµία της υθίας βρίσκονται στο πίπδο. Λ γ) πό δύο σηµία διέρχται ένα µόνο πίπδο. Λ δ) πόσταση νός σηµίου από ένα πίπδο ονοµάζται το κάθτο τµήµα που φέρουµ από το στο. Σ ) ύο υθίς που δν βρίσκονται στο ίδιο πίπδο ίναι παράλληλς Λ στ) ν µια υθία δν ανήκι σ ένα πίπδο τότ ίναι παράλληλη σ αυτό Λ ζ) πόσταση δύο παραλλήλων πιπέδων ονοµάζουµ ένα υθύγραµµο τµήµα µ άκρα ένα σηµίο του νός πιπέδου και ένα σηµίο του άλλου πιπέδου. Λ η) Μία υθία ίναι κάθτη σ ένα πίπδο όταν ίναι κάθτη σ µία υθία του πιπέδου που πρνάι από το ίχνος της. Λ θ) ύο υθίς κάθτς στο ίδιο πίπδο ίναι παράλληλς. Σ ι) ύο υθίς νός πιπέδου µπορί να ίναι ασύµβατς. Λ α) Λάθος, διέρχται µόνο ένα. β) Λάθος, όλα τα σηµία της βρίσκονται στο πίπδο. γ) Λάθος, από δύο σηµία διέρχται µία µόνο υθία και από την υθία αυτή διέρχονται άπιρα πίπδα. δ) Σωστό, όπως προκύπτι από τη θωρία. ) Λάθος, οι παράλληλς υθίς βρίσκονται πάντα στο ίδιο πίπδο. στ) Λάθος, µπορί να τέµνι το πίπδο σ ένα σηµίο. ζ) Λάθος, ίναι το κάθτο τµήµα που φέρνουµ από ένα σηµίο του νός προς το άλλο η) Λάθος, πρέπι να ίναι κάθτη σ δύο υθίς που πρνάν από το ίχνος της.
4 θ) Σωστό, διότι ίναι κάθτς στην υθία που διέρχται από τα ίχνη τους. ι) Λάθος οι ασύµβατς βρίσκονται πάντα σ διαφορτικά πίπδα. 2. Στο διπλανό ορθογώνιο παραλληλπίπδο να βρίτ α) υθίς που ίναι παράλληλς στην β) υθίς κάθτς στη γ) υθίς ασύµβατς µ την α),, και β),, και ωρία 4 γ),, και 3. Οι διαστάσις του διπλανού ορθογωνίου παραλληλπιπέδου ίναι = α, = β και = γ. α) Να δίξτ ότι ισχύι 2 = α 2 + β 2 + γ 2 β) Να υπολογίστ το µήκος της διαγωνίου όταν α = 3, β = 4 και γ = 12 α) γ Σχόλιο 2 υθαγόριο στο ορθογώνιο τρίγωνο : 2 = 2 + 2 = α 2 + β 2 (1) υθαγόριο στο : 2 = 2 + 2 (1) = γ 2 + α 2 + β 2 β) ια α = 3, β = 4 και γ = 12 έχουµ 2 = 3 2 + 4 2 + 12 2 = 169 άρα = 169 = 13 α β 4. Στο διπλανό ορθογώνιο παραλληλπίπδο, να σχδιάστ το πίπδο που ορίζται από τις παράλληλς υθίς και και να βρίτ την τοµή αυτού µ τα πίπδα και. ωρία 2 ίναι το κίτρινο πίπδο του διπλανού σχήµατος. Οι τοµές αυτού µ τα πίπδα και ίναι οι υθίς και αντίστοιχα.
5 5. Στο διπλανό ορθογώνιο παραλληλπίπδο, να σχδιάστ τα πίπδα που ορίζονται από τις παράλληλς υθίς και καθώς πίσης και από τις και και να βρίτ την τοµή αυτών. ωρία 2-3 ίναι τα κίτρινο και πράσινο πίπδα του διπλανού σχήµατος. τοµής τους ίναι η υθία ΚΛ Κ Λ 6. Στο διπλανό σχήµα δίνονται οι ηµιυθίς Ο, Ο, Ο οι οποίς δν βρίσκονται και οι τρίς στο ίδιο πίπδο. Να σχδιάστ τα πίπδα που ορίζονται από τις ηµιυθίς και να βρίτ την τοµή καθνός µ τα υπόλοιπα. ίναι τα γκρίζο, πράσινο και το τρίτο που δν Φαίνται και το οποίο ορίζται από τις ηµιυθίς Ο και Ο. Τοµή του γκρίζου µ το πράσινο ίναι η Ο. Τοµή του γκρίζου µ αυτό που δν φαίνται ίναι η Ο. Τοµή του πράσινου µ αυτό που δν φαίνται ίναι η Ο. Ο 7. Στο διπλανό σχήµα τα τµήµατα και ίναι οι αποστάσις των και από το πίπδο. ν ίναι = 15, = 12 και = 5, να υπολογίστ το τµήµα. Φέρουµ το τµήµα Κ Τότ Κ = Κ = = = Κ = 15 12 = 3 υθαγόριο στο ορθογώνιο τρίγωνο Κ : Κ 2 = 2 Κ 2 = = 25 9 = 16 Άρα Κ = 4 και αφού το Κ ίναι ορθογώνιο θα ίναι και = 4.
6 8. Στο διπλανό ορθογώνιο παραλληλπίπδο ίναι = 12, = 5 και = 9. Το Μ ίναι το µέσο του. Να υπολογίστ τα µέτρα των γωνιών 9 Μ ɵ και Μ 12 υθαγόριο στο ορθογώνιο τρίγωνο : 2 = 2 + 2 = = 12 2 + 5 2 = = 144 + 25 = 169 άρα = 13 πό το ορθογώνιο τρίγωνο έχουµ ότι φ = ɵ 9 13 0,6923 Και µ τη βοήθια πινάκων βρίσκουµ ότι ɵ = 35 ο Στο ορθογώνιο τρίγωνο Μ ίναι Μ = 2,5 και φ Μ = Οπότ Μ = 72 ο 9 2,5 = 3,6 5 9. Στο διπλανό ορθογώνιο παραλληλπίπδο ίναι = 12, = 8 και = 9. 9 α) Να ξηγήστ γιατί η ίναι κάθτη στη. β) Να βρίτ τα µήκη των πλυρών και τα µέτρα των γωνιών του τριγώνου. Σχόλιο 2 α) ίναι και άρα στο πίπδο. Συνπώς β) υθαγόριο στο : 2 = 2 + 2 = = 9 2 + 12 2 = = 81 + 144 = 225 άρα = 15 υθαγόριο στο : 2 = 2 + 2 = = 8 2 + 15 2 = 289 άρα = 17 και = 8 12 8 φ ɵ = = 8 15 0,5333 άρα ɵ = 28 ο ɵ = 90 ο 28 ο = 62 ο και προφανώς = 90 ο
7 10. Μία υθία έχι µ ένα πίπδο µοναδικό κοινό σηµίο το. Να ξηγήστ γιατί η δν ίναι παράλληλη σ καµία υθία του ωρία 4 πιδή η έχι µ το µοναδικό κοινό σηµίο το, η δν ανήκι στο. ποµένως δν µπορί να ίναι παράλληλη σ καµία υθία του