ΑΠΟΛΤΣΗΡΙΕ ΕΞΕΣΑΕΙ Γ ΣΑΞΗ ΗΜΕΡΗΙΟΤ ΓΕΝΙΚΟΤ ΛΤΚΕΙΟΤ ΣΕΣΑΡΣΗ 9 ΜΑΪΟΤ ΕΞΕΣΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΘΕΣΙΚΗ & ΣΕΦΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΣΕΤΘΤΝΗ Ε Ν Δ Ε Ι Κ Σ Ι Κ Ε Α Π Α Ν Σ Η Ε Ι Θ Ε Μ Α Σ Ω Ν Θ Ε Μ Α Α Α : Θεώρημα ςελ. 3 (Σχολικό βιβλίο) Α : Οριςμόσ ςελ. 79 (Σχολικό βιβλίο) Α 3 : Οριςμόσ ςελ. 73 (Σχολικό βιβλίο) Α : α. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Σ Θ Ε Μ Α Β Β. Με z έχουμε ιςοδύναμα: z z z z z z Η () έχει πραγματικούσ ςυντελεςτέσ και διακρίνουςα Δ, άρα έχει ρίζεσ τουσ μιγαδικούσ: z και z Β. Έχουμε ότι: z z 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
Β 3. Επειδή z, έχουμε ότι: z w 3 w 3 απ όπου προκύπτει ότι ο γεωμετρικόσ τόποσ των εικόνων των w ςτο μιγαδικό K, 3 και ακτίνα ρ =. επίπεδο είναι ο κύκλοσ με κέντρο το ςημείο Β. (α τρόπος) Επειδή w 3, 3 69 5 από την τριγωνική ανιςότητα: w 3 3 (β τρόπος) και w w 3 3 έχουμε w 3 3 w 3 3 5 w 5 3 w Αν Μ η εικόνα του w τότε OM Γεωμετρία γνωρίζουμε ότι: OA OM OB Επειδή OK 69 5, έχουμε: OA OK KA 5ρ 3 OB OK KB 5ρ 7 Άρα η () γίνεται : 3 w 7. 7 w και από τη Θ Ε Μ Α Γ Γ. Η έχει πεδίο οριςμού το IR και είναι παραγωγίςιμη ςε αυτό με ( ) () για κάθε IR, διότι : +> για κάθε IR και ++> για κάθε IR αφού Δ=-=-3< και α=>. Επομένωσ η είναι γνηςίωσ αύξουςα ςτο IR. Γ. Επειδή (3-) +> και +> για κάθε IR, η εξίςωςη γράφεται ιςοδύναμα: 6 ln 3 ) ln ln (3 ) ln 3 ) 3 ) 3 διότι η είναι 3 ή
Γ 3. Η είναι παραγωγίςιμη ( ) με: (), Το πρόςημο τησ είναι το πρόςημο τησ παράςταςησ - και φαίνεται ςτον πίνακα IR Από τον πίνακα προκύπτει ότι η είναι: κοίλη ςτο (, ] κυρτή ςτο [-,] κοίλη ςτο [, ) και παρουςιάζει καμπή ςτα ςημεία Α(-,(-)) και B(,()) H εφαπτομένη (ε ) τησ C ςτο Α έχει εξίςωςη: y ( ) ( )( ) ή y ln Ενώ η εφαπτομένη τησ C ςτο Β έχει εξίςωςη: y () ()( ) ή y 3 ln Το ςημείο τομήσ αυτών έχει ςυντεταγμένεσ τισ λύςεισ του ςυςτήματοσ: y 3 ln... y ln y ln Άρα τέμνονται πάνω ςτον. Γ. Είναι I ()d ( ln( 3 = 3 ln( )d ' ( ) = ln( )d 3 3 = ln = (ln ln ) 3 = = 3. ))d d 3
Θ Ε Μ Α Δ Δ. Είναι 3 Επειδή η ςυνάρτηςη d είναι ςυνεχήσ ςτο IR έπεται ότι η ςυνάρτηςη Φ d είναι παραγωγίςιμη ςτο IR με: Φ. Επομένωσ, η είναι παραγωγίςιμη ςτο IR ωσ άθροιςμα των παραγωγίςιμων +3 και Φ(). Και, IR. Δ. Η g είναι παραγωγίςιμη ςτο IR ωσ πράξεισ παραγωγίςιμων, με: g Και επειδή g για κάθε IRέπεται ότι η g είναι ςταθερή. Δηλαδή, g c () για κάθε IR. Επίςησ από την 3 d για = προκύπτει 3 Και από την () για προκύπτει ότι: g c 3 c, διότι g 3 Επομένωσ, g 9 για κάθε IR. Δ 3. Έχουμε ότι 9 9 Όμωσ η ςυνάρτηςη g για κάθε IR 9 9 είναι: ςυνεχήσ ςτο IR και για κάθε IR 9
Άρα, διατηρεί το πρόςημό τησ. Και επειδή: Έχουμε ότι: Και η () γράφεται: 3 για κάθε IR. 9 9, IR. Δ. Θεωρούμε τη ςυνάρτηςη: d, IR Η ανιςότητα: d d γράφεται ιςοδύναμα: d d d d d d d d T Αρκεί να δειχθεί ότι ιςχύει η (Τ). Για κάθε IR,, ιςχύουν οι προώποθέςεισ του θεωρήματοσ Μέςησ Τιμήσ, διότι η είναι παραγωγίςιμη ςτο IR, με Επομένωσ υπάρχουν:, : 3, : Επίςησ η είναι παραγωγίςιμη ςτο IR με: για κάθε IR Διότι : όπωσ δείξαμε ςτο Δ 3 και ςτα διαςτήματα και 9. Αν ιςχύει. Στη ςυνέχεια διακρίνουμε τισ περιπτώςεισ: 5
6. Αν τότε 9 9 9 αληθήσ. Άρα, για κάθε IR. Επομένωσ η IR και επειδή έχουμε:, λόγω των (3) και () Δηλαδή αποδείχθηκε η (Τ), άρα και η (Α). ος Τρόπος: Για κάθε, έχουμε: διότι ςτο IR. Επειδή η ιςότητα ιςχύει μόνο για και άρα: d d d d d d d Για κάθε, έχουμε: διότι ςτο IR. Επειδή η ιςότητα ιςχύει μόνο για και, άρα: d d d d d d d Από τισ () και (): d d για κάθε IR.
3 ος Τρόπος: g d, IR τότε : Έςτω d d d g d, IR και g, IR Δείχνουμε ότι η είναι γνηςίωσ αύξουςα. Οπότε για κάθε Άρα g IR. Έτςι για κάθε IR, είναι: g για κάθε IR IRιςχύει: g g d d 7