MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011.

MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011.

Matematika 2 1. Funkcije više varijabli 2. Višestruki integral 3. Vektorska Analiza 4. Obi cne diferencijalne jednadbe MATEMATIKA 2 1

Literatura: Petar Javor, Matematicka analiza 2, Element, Zagreb, 2002.; B. Cervar i B. Jadrijević, Matematika 2, Fesb-Split 2006.; S. Kurepa. Matematicka analiza 1, 2, 3, Tehnicka knjiga, Zagreb, 1990. http://lavica.fesb.hr/mat2 i http://lavica.fesb.hr/mat3 http://www.pmfst.hr/zavodi/matematika/scripta/ visa_matematika.pdf B. P. Demidovic, Zadaci i riješeni primjeri iz više matematike s primjenom na tehnicke nauke, Tehnicka knjiga, Zagreb, 1995. Antunac-Majcen, Borozan, Devidé,...,Riješeni zadaci iz više matematike, svezak III, IV, Školska knjiga, Zagreb, 1991. MATEMATIKA 2 2

1. FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI MATEMATIKA 2 3

1.1 Koordinatni sustavi u ravnini i prostoru Ravninski koordinatni sustavi Zadamo li u ravnini pravokutni (Kartezijev) koordinatni sustav (O;! i ;! j ) (O; x; y) : T 2! T (x; y) x; y 2 R; Polarni koordinatni sustav: N Neka je p 2 pravac i neka je na njemu zadan koordinatni sustav (O;! i ) (O; x); N Neka je T 2 tocka, T 6= O;!i! ' = ] ; OT ; (' mjerimo u pozitivnom smjeru); N Neka je = d(o; T ) udaljenost od O do T ; N T = O =) ' def:!i! = ] ; OO = 0; N T 2! T ('; ); ' 2 [0; 2i ; 2 [0; 1i ; MATEMATIKA 2 4

N Tocku O = (0; 0) nazivamo ishodištem (ili polom), a zraku odre denu s O i! i - polarnom osi polarnoga koordinatnog sustava pod oznakom (O; '; ) Veza: Zadamo li u ravnini i pravokutni koordinatni sustav (O;! i ;! j ) (O; x; y) tako da se pozitivna x- os podudara s polarnom osi y y T=(ϕ,ρ) ρ O 0 1 ϕ x x onda je veza izme du Kartezijevih (x; y) i polarnih koordinata ('; ) bilo koje tocke T 2 : ( x = cos ' y = sin ' ; tg ' = y x = p x 2 + y : 2 Pri odre divanju ' iz tg ' = y x predznaku x, y. treba voditi racuna o MATEMATIKA 2 5

Prostorni koordinatni sustavi Zadamo li u prostoru E pravokutni (Kartezijev) koordinatni sustav (O;! i ;! j; ~ k) (O; x; y; z) : T 2 E! T (x; y; z) x; y ; z 2 R; Cilindricni koordinatni sustav: N Neka je 2 E ravnina i neka je na njoj zadan polarni sustav (O; '; ); N Neka je q pravac koji prolazi tockom O okomit na ravninu i neka je na q dan koordinatni sustav (O;! k ) (O; z) (q pravac - z-os); N Time je u prostoru deniran cilindricni koordinatni sustav (O; '; ; z) ; N T 2 E! T ('; ; z); ' 2 [0; 2i ; 2 [0; 1i ; z 2R; gdje su ' i polarne koordinate, u sustavu MATEMATIKA 2 6

(O; '; ), okomite projekcije T 0 tocke T na ravninu, a z je koordinata, u sustavu (O; z), okomite projekcije T 00 tocke T na pravac q: z z T'' T=(ϕ,ρ,z) 1 O ϕ ρ y y Π x x T'=(ϕ,ρ) Veza pravokutnih i cilindri cnih koordinata : 8 9 < x = cos ' = T ('; ; z)! y = sin '! T (x; y; z) : ; z = z T (x; y; z)! 8 < : = p x 2 +y 2 tg ' = y x z = z 9 = ;! T ('; ; z) MATEMATIKA 2 7

Koordinatne ravnine N U Kartezijevom koordinatnom sustavu (O; x; y; z) se tocka T 0 = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) dobiva kao presjek koordinatnih ravnina x = x 0 ; y = y 0 i z = z 0 : N U cilindricnom koordinatnom sustavu (O; '; ; z) tocka T 0 = (' 0 ; 0 ; z 0 ) dobiva se kao presjek "koordinatnih ravina": ' = ' 0 (poluravnina odre dena sa z-osi i tockom T 0 ); = 0 (to je cilindar, tj. sve tocke u prostoru za koje je udaljenost od z- osi jednaka 0 ), z = z 0 (ravnina) z z 0 T'' 0 z 0 =z 0 ravnina z T 0 =(ϕ 0,ρ 0,z 0 ) ρ =ρ 0 cilindar y x ϕ 0 ρ 0 T 0 ' ϕ =ϕ 0 poluravnina MATEMATIKA 2 8

Sferni koordinatni sustav: N Neka je 2 E ravnina i neka je na njoj zadan polarni sustav (O; '; ); N Neka je q pravac koji prolazi tockom O okomit na ravninu i neka je na q dan koordinatni sustav (O;! k ) (O; z); N Neka je T 0 okomita projekciju na ravninu tocke T 2 E, T 6= O; N Neka je: r = d(o; T ) > 0; # 2 [0; ] - kut izme du radijus-vektora! OT i! k ; ' 2 [0; 2i - kut izme du! i i radijus-vektora! OT 0 : N Time je u prostoru deniran sferni koordinatni sustav (O; '; #; r) ; N T 2 E! T ('; #; r); ' 2 [0; 2i ; # 2 [0; ]; r 2 [0; 1i : MATEMATIKA 2 9

z z T'' 1 i k O ϕ θ ρ r T=(ϕ,θ,r) y Π y x x T'=(ϕ,ρ) Ako je T na pozitivnoj zraci z-osi onda su joj sferne koordinate (0; 0; r), a na negativnoj - (0; ; r). Ishodištu O se pridijeljuju sferne koordinate (0; 0; 0)). Koordinatne ravnine N U sfernom koordinatnom sustavu (O; '; #; r) tocka T 0 (' 0 ; # 0 ; r 0 ) dobiva se kao presjek "koordinatnih ravina": ' = ' 0 (poluravnina odre dena sa z-osi i tockom T 0 ); # = # 0 - stoac s vrhom u ishodištu O, r = r 0 - sfera sa središtem u ishodištu O i radijusa r 0. MATEMATIKA 2 10

z ϕ = ϕ 0 poluravnina θ 0 T 0 θ =θ 0 sto ac x ϕ 0 y r = r 0 sfera Veza pravokutnih i sfernih koordinata : Zadamo li u prostoru pravokutni koordinatni sustav (O; x; y; z) i sferni sustav (O; '; #; r) tako da se pozitivna x -os podudara s polarnom osi, te da im se podudaraju z-osi, moemo odrediti veze izme du pravokutnih (x; y; z) i sfernih ('; #; r) koordinata bilo koje tocke T : T ('; #; r)! 8 < : x = r sin # cos ' y = r sin # sin ' z = r cos #! T (x; y; z); MATEMATIKA 2 11

8 tg ' = y x # = arccos >< T (x; y; z)! >: r = p x 2 +y 2 +z 2! T ('; #; r): z p x2 +y 2 +z 2 Pri odre divanju kuta ' iz tg ' = y x racuna o predznaku tih koordinata. treba voditi Primjer. Tocka T 1 = 0; 2 p 3; 2 zadana u pravokutnom koordinatnom sustavu ima u sfernom koordinatnom sustavu prikaz T 1 = 2 ; 2 3 ; 4 jer je tg ' = y 1 = 2 p 3 ) ' x 1 0 1 = 2 ; z 1 # 1 = arccos p x 2 1 + y1 2 + z2 1 r r 1 = qx 21 + y21 + z21 = 0 2 + = arccos 1 2 = 2 3 ; 2 p 3 2 + ( 2)2 = 4: MATEMATIKA 2 12

1.2. Neke plohe Ravnina u prostoru Ponoviti - sami: vektorska jednadbe ravnine ~n (~r ~r 1 ) = 0; jednadba ravnine kroz tri tocke x x 1 y y 1 z z 1 x 2 x 1 y 2 y 1 z 2 z 1 x 3 x 1 y 3 y 1 z 3 z 1 = 0; jednadba ravnine jednom tockom T 1 = (x 1 ; y 1 ; z 1 ) : A(x x 1 ) + B(y y 1 ) + C(z z 1 ) = 0; opći oblik jednadbe ravnine : ili (vektorski): Ax + By + Cz + D = 0;! n! r + D = 0: gdje je! n = fa; B; Cg normala te ravnine, a T 1 = (x 1 ; y 1 ; z 1 ) 2 i T = (x; y; z) 2 ; tj.! r 1 = fx 1 ; y 1 ; z 1 g i! r = fx; y; zg MATEMATIKA 2 13

z n 0 T 1 x O r 1 r T y segmentni oblik jednadbe ravnine x a + y b + z c = 1: Plohe drugog reda Neka je u prostoru zadan pravokutni koordinatni sustav (O; x; y; z). Pod plohom drugoga reda (ili kvadrikom) podrazumijevamo skup svih tocaka T = (x; y; z) u prostoru cije koordinate zadovoljavaju jednadbu drugoga stupnja Ax 2 +By 2 +Cz 2 +Dxy + Exz + F yz+ +Gx + Hy + Jz + K = 0; s realnim koecijentima A, B, C, D, E, F, G, H, J i K, pod uvjetom da je barem jedan od A, B, C, D, E ili F razlicit od nule. Posebno će nas zanimati samo neke kvadrike. MATEMATIKA 2 14

Jednadba (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = R 2 predstavlja kuglinu plohu (ili sferu) sa središtem S = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) i polumjerom (ili radijusom) R > 0. Neprazni presjek ove plohe ravninom paralelnom s koordinatnom ravninom jest ili krunica ili tocka, što povlaci da se krunica u prostoru moe zadati i kao presjek sfere i ravnine. z x Sl. 1. y Za dane realne ne nul-konstante a, b i c, jednadba (x x 0 ) 2 a 2 + (y y 0) 2 b 2 + (z z 0) 2 c 2 = 1 odre duje plohu koju nazivamo elipsoidom. Njegove su osi usporedne s koordinatnim osima, a duljine su im redom 2jaj, 2jbj i 2jcj. MATEMATIKA 2 15

Neprazni elipsoidovi presjeci ravninama usporednim s koordinatnim osima jesu ili krunice ili elipse ili tocke. Primijetimo da u slucaju a = b = c elipsoid postaje sferom. Nadalje, jednadba x 2 a 2 + y2 b 2 z 2 c 2 = 1 opisuje jednokrilni elipti cni hiperboloid (Sl 2. (a)). Njegovi neprazni presjeci ravninama usporednima sa z-osi jesu ili hiperbole ili tocke, dok su mu presjeci ravninama usporednim s xy-ravninom elipse. Ciklickim zamjenama x y; y z; z x i a b; b c; c a dobivamo jednadbu "iste" plohe u drugom poloaju (y-os je "povlaštena"): z 2 c 2 + x2 a 2 y 2 b 2 = 1; a još jednom takvom zamjenom dobivamo jed- MATEMATIKA 2 16

nadbu ("povlaštena" je x-os): y 2 b 2 + z2 c 2 x 2 a 2 = 1: z z x y x y (a) Sl. 2. (b) Jednadba x 2 a 2 y 2 b 2 + z2 c 2 = 1 opisuje dvokrilni elipti cni hiperboloid (Sl 2. (b)). Njegov neprazni presjek ravninom usporednom sa z-osi jest hiperbola, dok mu je neprazni presjek ravninom usporednom s xy-ravninom ili elipsa ili tocka. MATEMATIKA 2 17

Ciklicki izmijenjujući koordinate (varijable) x; y; z, kao i pripadne konstante a; b; c, dobivamo jednadbe "iste" plohe u razlicitim poloajima: z 2 c 2 x 2 a 2 + y2 b 2 = 1; y 2 b 2 z 2 c 2 + x2 a 2 = 1: z z x (a) y x (b) y Sl. 3. Jednadba x 2 a 2 + y2 b 2 = 2z opisuje plohu koju nazivamo elipti cnim paraboloidom (Sl 3. (a)). Faktor 2 u monomu 2z nije bitan, ali je tehnicki (algebarski) pogodan. Karakteristicni presjeci ove plohe prikladnim ravninama koje su paralelne koordinatnim ravninama jesu elipse ili parabole. Odgovarajućim ciklickim izmjenama dobivamo još MATEMATIKA 2 18

dvije jednadbe "iste" plohe u razlicitim poloajima. Jednadba y 2 b 2 x 2 a 2 = 2z odre duje hiperboli cni paraboloid (Sl 3.(b)). Analogni komentari (o ciklickim zamjenama) vrijede i za ove plohe. Jednadba x 2 a + y2 2 b = z2 2 c 2 opisuje stoastu (ili konusnu) plohu (Sl 4.). Opet su moguće još dvije (ciklicke) varijante. z x y Sl. 4. MATEMATIKA 2 19

Nadalje, jednadbe x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 x 2 a 2 z 2 c 2 = 1 z = 2ay 2 opisuju redom elipti cne, hiperboli cne i paraboli cne valj caste (ili cilindri cne) plohe (Sl 5.). Dakako da su i u ovim jednadbama moguće prije spominjane ciklicke izmjene. Ove valjcaste plohe su samo vrlo posebni primjeri (opće) valjcaste plohe z z z x y x Sl. 5. y x y MATEMATIKA 2 20

Denicija 1.1. Neka je u ravnini dana krivulja K; te neka je p pravac koji probada. Promatrajmo skup svih pravaca u prostoru koji sijeku krivulju K i usporedni su s pravcem p. Tretirajući svaki pravac tockovnim skupom, pripadnu (tockovnu) uniju nazivamo valj castom (ili cilindricnom) plohom. Pritom govorimo da je pravac p izvodnica (ili generatrisa), a krivlja K ravnalica (ili direktrisa) te valjcaste plohe. Primjerice, elipticnoj valjcastoj plohi x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 jedna izvodnica jest z-os, a ravnalica joj je elipsa x 2 a + y2 = 1; z = 0: 2 b2 Primijetimo da je svaka ravnina (trivijalna) valjcasta ploha (za krivulju K treba uzeti odgovarajući pravac k). MATEMATIKA 2 21

Napomenimo i to da se prostorna krivulja cesto zadaju presjekom dviju ploha. Primjer. Skicirati tijelo V ome deno plohama z 2 = x 2 y 2 z = p x 2 + y 2 (dio u cijelosti sadran u gornjem poluprostoru) i opisati ga u pravokutnom i cilindricnom koordinatnom sustavu. Tijelo V odre deno je plohama z 2 = x 2 y 2 (paraboloid) i z = p x 2 + y 2 (stoasta ploha). z z=2 x 2 y 2 z= x 2 +y 2 y x Odredimo projekciju V xy tijela V na xy-ravninu: MATEMATIKA 2 22

Odredimo projekciju krivulje koja se nalazi u presjeku promatranih ploha. Eliminacijom izraza x 2 + y 2 iz z 2 = x 2 y 2 i z = p x 2 + y 2 dobivamo z 2 + z 2 = 0 =) z 1 = 1; z 2 = 2: Dakle, mora biti z = 1, pa je x 2 + y 2 = 1: Drugim rijecima, presjecna krivulja je krunica x 2 + y 2 = 1; z = 1; i projekcija presjecne krivulje na xy-ravninu je krunica x 2 + y 2 = 1. Traena projekcija V xy je krug D = (x; y) j x 2 + y 2 1 : MATEMATIKA 2 23

Ukoliko tocka T = (x; y; z) pripada tijelu V; tada njena projekcija T 0 = (x; y; 0) na xy-ravninu mora pripadati krugu D; a to znaci p da za njezine koordinate vrijedi 1 x 1 i 1 x2 y p 1 x 2 : Konacno, za z- koordinatu tocke T = (x; y; z) 2 V vrijedi p x 2 + y 2 z (tocka T lei iznad stoaste plohe) i z 2 x 2 y 2 (tocka T lei ispod plohe paraboloida). Dakle, V = n (x; y; z) j 1 x 1; p o x2 + y 2 z 2 x 2 y 2 : p p 1 x 2 y 1 x 2 ; U cilindricnom koordinatnom sustavu koordinate projekcije T 0 = ('; r; 0) tocke T = ('; r; z) 2 V mora leati u krugu D; dakle za njezine koordinate vrijedi 0 ' 2; 0 1: Uvjet za z-kordinatu p x2 + y 2 z 2 x 2 y 2 prelazi u z 2 2 : Dakle, V = n ('; ; z)j 0 ' 2; 0 1; z 2 2o : MATEMATIKA 2 24

1.3. Funkcije više varijabli Denicija 1.2. Neka je D R m R R: Funkciju f : D! R nazivamo realnom funkcijom od m realnih varijabla. (x 1 ; x 2 ; :::; x m ) 2 D f! u = f (x 1 ; x 2 ; :::; x m ) 2 R (Svakoj ure denoj m torci (x 1 ; x 2 ; :::; x m ) 2 D pravilom f pridruen je jedan i samo jedan realan broj u 2 R:) Kao i funkciju jedne varijable, funkciju više varijabla (skalarnu funkciju) moemo zadati analiti cki, tabli cno, gra cki, parametarski, implicitno,... Dakle: Ako je D R 2 ; funkciju f : D! R nazivamo funkcijom dviju varijabli. (x; y) 2 D f! z = f(x; y) 2 R MATEMATIKA 2 25

f [D] = f z j z = f(x; y); (x; y) 2 Dg slika funkcije, x; y nezavisne varijable, z zavisna vrijabla. Funkciju obicno zadajemo u eksplicitnom obliku z = f(x; y): Budući da, u tom slucaju, nije naznacena domena, podrazumijevamo da je domena maksimalan podskup D f od R 2 za koji pravilo f "ima smisla". Skup f = f (x; y; f(x; y)) j (x; y) 2 Dg R 3 nazivamo graf funkcije f : D! R; D R 2 : Graf u prostoru predstavlja neku plohu. Primjer. Zapis z = ln(x + y 2) denira funkciju f : D f! R; D f R 2 ; f(x; y) = ln(x + y 2); pri cemu je denicijsko podrucje D f odre deno nejednadbom x + y 2 > 0, tj. D f = (x; y) 2 R 2 j y > x + 2 MATEMATIKA 2 26

y 2 0 2 x Neka je D R 3 : Funkciju f : D! R nazivamo funkcijom triju varijabli. (x; y; z) 2 D f! u = f(x; y; z) 2 R f [D] = f u j u = f(x; y; z); (x; y; z) 2 Dg funkcije, x; y; z u nezavisne varijable, zavisna vrijabla. slika u = f(x; y; z) eksplicitni oblik (domena D f - maksimalan podskup od R 3 za koji pravilo f ima smisla) graf funkcije f : D! R; D R 3 je f = f (x; y; z; f(x; y; z)) j (x; y; z) 2 Dg R 4 MATEMATIKA 2 27

(ne moemo nacrtati) Primjer. Pravilo u = arcsin(x 2 + y 2 + z 2 funkciju 2) denira f : D f! R; D f R 3 ; (x; y; z) 7! f(x; y; z) = arcsin(x 2 + y 2 + z 2 2); pri cemu je denicijsko podrucje D f odre deno nejednadbama 1 x 2 + y 2 + z 2 2 1: Dakle, D f = (x; y; z) 2 R 3 j 1 x 2 + y 2 + z 2 3 : Graf f funkcije moguće je nacrtati (djelomicno) samo za m 2. U slucaju m = 2 crtanjem isticemo samo neke njegove vane podskupove. To su, najcešće, presjeci f odabranim ravninama u prostoru R 3. Ako su te ravnine usporedne s ravninom z = 0 (koordinatnom xy-ravninom), dobivene presjeke nazivamo razinskim (ili nivo-) krivuljama funkcije f (ili grafa f). Po tomu, svaki broj z 0 2 f [D] odre duje jednu razinsku krivulju jednadbom f(x; y) = z 0. MATEMATIKA 2 28

z z=z 0 z 0=f(x,y) x z=f(x,y) y Dakle, na svakoj razinskoj krivulji su funkcijske vrijednosti nepromijenjive. Primjer. Funkcijski graf G f za funkciju f(x; y) = p x 2 + y 2 crtamo isticući njegove presjeke s koordinatnim ravninama ili ravninama usporednim s njima: ravninom x = 0 (to su zrake: z = y, z 0, x = 0; z = y, z 0, x = 0); ravninom y = 0 (to su zrake: z = x, z 0, y = 0; z = x, z 0, y = 0); ravninom z = 1 (to je razinska krivulja (krunica) x 2 + y 2 = 1, z = 1). Primijetimo da je G f stoasta ploha MATEMATIKA 2 29

z= x 2 +y 2 z z=1 x 2 +y 2 =1, z=1 x y Slicno se u slucaju f : D! R, D R 3 ; dakle f R 4, govori o razinskim plohama (ili nivoplohama) funkcije f. Pritom svaka jednadba f(x; y; z) = u 0 ; u 0 2 f [D] ; odre duje tocno jednu pripadnu razinsku plohu na kojoj su sve funkcijske vrijednosti jednake u 0. Primjer. Razinske plohe za funkciju f : D! R; D = R 3 n f(x; y; z) j z = 0g ; f(x; y; z) = x2 + y 2 ; z su paraboloidi (bez "tjemena") z = 1 u 0 x 2 + y 2 ; u 0 2 R n f0g. MATEMATIKA 2 30

z x y 1.4. Grani cna vrijednost i neprekidnost Najprije treba denirati što u R 3 (R 2 ) znaci "biti blizu", tj. što će biti "mala okolina" po volji odabrane tocke. Posluit ćemo se standardnom udaljenošću d(t; T 0 ) me du tockama, tj. za T = (x; y; z) ; T 0 = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) 2 R 3 udaljenost d(t; T 0 ) deniramo sa d (T; T 0 ) = p (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 ; za T = (x; y) ; T 0 = (x 0 ; y 0 ) 2 R 2 sa d (T; T 0 ) = p (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 ; MATEMATIKA 2 31

koja se za T = (x); T 0 = (x 0 ) (slucaj m = 1) svodi na standardnu udaljenost u R d(t; T 0 ) = p (x x 0 ) 2 = jx x 0 j: Sve pojmove i tvrdnje dajemo u dimenziji m = 2 uz napomenu da iskazano vrijedi i za slucaj m = 3 (dakako i za m = 1): Denicija 1.3. Za bilo koju tocku T 0 2 R 2 i bilo koji broj " > 0, skup K(T 0 ; ") ft 2 R 2 j d (T 0 ; T ) < "g R 2 nazivamo ( otvorenom) kuglom polumjera " oko tocke T 0. K(T 0,ε) K(T 0,ε) K(T 0,ε) Kugle Reći ćemo da je skup U R 2 okolina tocke T 0 2 U ako postoji neki " > 0 takav da je kugla K(T 0 ; ") U. MATEMATIKA 2 32

Za skup D R 2 ćemo reći da je otvoren ako je on okolina svake svoje tocke (napomena: on tada ne sadri niti jednu tocku "ruba"). Neotvoreni skup sadri tocke kojima nije okolina (napomena: on tada sadri barem jednu tocku "ruba"). y otvoren skup neotvoren skup 0 x Reći ćemo da je tocka T 0 gomilište skupa D ako svaka okolina od T 0 sijece skup D n ft 0 g. Za skup D kaemo da je zatvoren ako sadri sva svoja gomilišta (napomena: on tada sadri i sve tocke "ruba"). Ako za tocku T 2 D postoji neka okolina koja ne sijece skup D n ft g onda kaemo da je T izolirana tocka skupa D Skup D R 2 je zatvoren ako je njegov komplement D c = R 2 r D otvoren skup. Napokon, reći ćemo da je skup D ome den ako postoji neka kugla koja ga sadri. MATEMATIKA 2 33

Granicna vrijednost realne funkcije više varijabli: Intuitivna denicija: Kaemo da je L 0 2 R limes funkcije f u neizoliranoj tocki T 0 = (x 0 ; y 0 ) (podrucja denicije od f), i pišemo lim f(x; y) = L 0; (x;y)!(x 0 ;y 0 ) ako vrijednosti f(x; y) tee prema L 0 kad (x; y) tei prema (x 0 ; y 0 ) : Denicija 1.4. Neka su dani funkcija f : D! R, D R 2 ; i tocka T 0 koja nije izolirana tocka od D. Reći ćemo da je broj L 0 2 R granicna vrijednost funkcije f u tocki T 0 ako (8" > 0)(9 > 0)(8T 2 D n ft 0 g) d(t; T 0 ) < ) jf(t ) L 0 j < ": ( Primijetimo da se uvjet provjerava u tockama T 2 K(T 0 ; ), T 6= T 0!) U tom slucaju pišemo lim f(t ) = L 0 ili limf(t ) = L 0 : T!T 0 T0 MATEMATIKA 2 34

Napomena 1.5. Kod funkcija jedne varijable smo imali lim f(x) = x!x 0 +0 te lim f(x) 6= lim x!x 0 +0 lim f(x) = L =) lim f(x) = L; x!x 0 0 x!x 0 f(x) =) lim f(x) ne postoji. x!x 0 0 x!x 0 Ovdje je situacija sloenija. Puteva kako ići u (x 0 ; y 0 ) ima beskonacno. No, jasno je da limes ne smije ovisiti o putanji. Napomena 1.6. Ukoliko je lim f(x; y) = L 1 i lim f(x; y) = L 2 (x;y)!(x 0 ;y 0 ) (x;y)!(x 0 ;y 0 ) c1 c2 te L 1 6= L 2 tada lim f(x; y) ne postoji. Ovo je (x;y)!(x 0 ;y 0 ) postupak kako utvrditi da limes ne postoji (to je puno lakše nego utvrditi da postoji). MATEMATIKA 2 35

0.5 2 0 2 0.25 0 0.25 0.5 2 0 2 1.z = xy x 2 + y 2 Primjer. Ispitajte granicnu vrijednost funkcije f(x; y) = xy x 2 + y 2 u tocki (0; 0): Ukoliko (x; y)! (0; 0) ide po putevima koje odre duju pravci y = kx imamo x kx lim f(x; y) = lim (0;0) x!0 x 2 + k 2 x = 2 y=kx k 1 + k 2 i traeni limes ne postoji jer za razlicite k dobijamo razlicite vrijednosti. MATEMATIKA 2 36

4 4 0.4 0.2 2 2 z 0.0 0 0 0.2 y2 0.4 2x 4 4 Graf funkcije f (x; y) = xy x 2 +y 2 0.4 4 0.2 2 2 z 0.0 0 0 0.2 x 2 0.4 2y 4 4 4 MATEMATIKA 2 37

Primjer. Funkcija f : R 2 n f(0; 0)g! R; f(x; y) = sin x2 + y 2 x 2 + y 2, ima u tocki (0; 0) granicnu vrijednost 1, lim (0;0) f(x; y) = 1. Ukoliko (x; y)! (0; 0) ide po putevima koje odre duju pravci y = kx imamo lim f(x; y) = lim sin x2 +k 2 x 2 (0;0) x!0 x 2 +k 2 x 2 y=kx sin x 2 1 + k 2 = lim x!0 x 2 1 + k 2 = 1; što znaci da limes postoji i da je jednak 1. MATEMATIKA 2 38

2 0 2 1 0.5 0 2 0 2 2.z = sin (x 2 +y 2 ) x 2 +y 2 Zadatak se moe riješiti i prijelazom na polarne koordinate. Budući je x = cos ' i y = sin ', tada (x; y)! (0; 0) ako i samo ako! 0: Imamo lim (0;0) sin x 2 +y 2 x 2 +y 2 sin 2 = lim = 1:!0 2 Budući da dobiveni rezultat ne ovisi o '; tj. o kutu pod kojim "dolazimo" u tocku (0; 0); dakle ne ovisi o krivulji po kojoj dolazimo u tocku (0; 0); zakljucujemo da limes postoji i da je jednak 1. MATEMATIKA 2 39

Teorem o uzastopnim limesima za funkciju dviju varijabla: Teorem 1.7. Neka je L = lim f (x; y) (x;y)!(x 0 ;y 0 ) Ako postoje uzastopni limesi L 1 = lim lim f (x; y) y!y0 x!x 0 i L 2 = lim lim f (x; y) x!x0 y!y 0 onda je L 1 = L = L 2 : Postojanje i jednakost uzastopnih limesa L 1 i L 2 znaci samo postojanje i jednakost granicne vrijednosti funkcije za dva od beskonacno mnogo putova pribliavanja tocki (x 0 ; y 0 ) ; što ne osigurava postojanje limesa L: Podsjetimo se da L 1 6= L 2 postoji. povlaci da limes L ne MATEMATIKA 2 40

Primjer 1. Budući da je L 1 = lim lim y!0 x!0 L 2 = lim x!0 lim y!0 x y x + y x y x + y = lim y!0 ( 1) = 1; = lim x!0 1 = 1; to ne postoji limes lim (x;y)!(0;0) x y x + y. Primjer 2. Vrijedi sljedeće: L 1 = lim lim y!0 x!0 L 2 = lim x!0 lim y!0 xy x 2 + y 2 xy x 2 + y 2 = lim y!0 0 = 0; = lim x!0 0 = 0: Dakle uzastopni limesi postoje i me dusobno su jednaki, a ipak ne postoji limes lim (x;y)!(0;0) xy x 2 + y 2; što smo već vidjeli u jednom ranijem primjeru. MATEMATIKA 2 41

Denicija 1.8. Neka je dana funkcija f : D f! R; D f R 2 : Ako je lim f(x; y) = f(x 0; y 0 ) (x;y)!(x 0 ;y 0 ) kaemo da je funkcija f neprekidna u tocki (x 0 ; y 0 ) 2 D f : Ako je f neprekidna u svakoj tocki (x; y) 2 D f kaemo da je f neprekidna funkcija. MATEMATIKA 2 42

Primjer. Funkcija 8 >< f(x; y) = >: je neprekidna. Jer je lim (x;y)!(0;0) sin(x 2 +y 2 ) x 2 +y 2 ; (x; y) 6= (0; 0) 1; (x; y) = (0; 0) sin x 2 + y 2 x 2 + y 2 = 1 = f(0; 0): Napomena. Limes i neprekidnost funkcija triju varijabli se slicno denira. Napomena. Zbroj f + g, razlika f g, umnoak f g i kolicnik f g (kad god su denirani) neprekidnih skalarnih funkcija jesu neprekidne skalarne funkcije. MATEMATIKA 2 43

1.5. Parcijalne derivacije Promatrajmo funkciju f : D! R, D R 2 i po volji odabranu tocku T 0 = (x 0 ; y 0 ) 2 D: Oznacimo ravnine Nadalje, neka je y0 ::: y = y 0 i x0 ::: x = x 0 : D y0 = y0 \ D D i D x0 = x0 \ D D Ocito je D y0 6=?; D x0 6=?; jer sadre barem tocku T 0. Restrikcije fj Dy0 f 1 : D y0! R; f 1 (x) = f (x; y 0 ) fj Dx0 f 2 : D x0! R; f 2 (y) = f (x 0 ; y) smijemo smatrati funkcijama jedne varijable, jer se mijenja samo koordinata x, odnosno y, redom. z f 1 (x 0 )=f(x 0,y 0 ) z=f(x 0,y)=f 2 (y) z=f(x,y) z=f(x,y 0 )=f 1 (x) x D T=(x 0,y 0 ) D x0 y D y0 MATEMATIKA 2 44

Denicija 1.9. Neka je f : D! R; D R 2 ; funkcija dviju varijabli i (x 0 ; y 0 ) 2 D: Ako postoji limes f 1 (x 0 +x) f z } { 1 (x 0 ) z } { f(x 0 + x; y 0 ) f(x 0 ; y 0 ) lim x!0 {z x } f 0 1 (x 0) = @f @x (x 0; y 0 ) = f 0 x(x 0 ; y 0 ) onda f 0 x(x 0 ; y 0 ) nazivamo prva parcijalna derivacija po x funkcije f u tocki (x 0 ; y 0 ): Ako postoji limes f 2 (y 0 +y) z } { f(x 0 ; y 0 + y) f 2 (y 0 ) z } { f(x 0 ; y 0 ) lim y!0 {z y } f2 0(y 0) = @f @y (x 0; y 0 ) = f 0 y(x 0 ; y 0 ) onda f 0 y(x 0 ; y 0 ) nazivamo prva parcijalna derivacija po y funkcije f u tocki (x 0 ; y 0 ): Ako ovi limesi postoje za sve (x; y) 2 D dobivamo dvije funkcije dviju varijabli: fx 0 : D! R D 3 (x; y) f 0 x 7! f 0 x(x; y) 2 R prva parcijalna derivacija od f po x; MATEMATIKA 2 45

i f 0 y : D! R D 3 (x; y) f 0 y 7! f 0 y(x; y) 2 R prva parcijalna derivacija od f po y: Koriste se još i oznake: f 0 x = f x = D x f; f 0 y = f y = D y f: Napomena. Ako elimo naći fx 0, tada u izrazu f(x; y) varijablu y treba tretirati kao konstantu i derivirati po x: Analogno, ako traimo fy; 0 tada u izrazu f(x; y) varijablu x treba tretirati kao konstantu i derivirati po y: MATEMATIKA 2 46

Napomena. (Geometrijska interpretacija parcijalnih derivacija funkcije f(x; y):) Graf funkcije dviju varijabli je ploha z=f(x; y). Presjecemo li tu plohu ravninom x = x 0 ili y = y 0 dobit ćemo ravninske krivulje 2 odnosno 1; redom. Prisjetimo se da je 1 graf restrikcije f 1 polazne funkcije f; a 2 graf restrikcije f 2 polazne funkcije f: Geometrijska interpretacija parcijalnih derivacija fx(x 0 0 ; y 0 ) i fy(x 0 0 ; y 0 ): to su koecijenti smjera tangente na 1; odnosno na 2 u tocki T 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 =f(x 0 ; y 0 )). t y0 t x0 z Γ 1 Γ 2 z=f(x,y) (x 0,y 0 ) x α y β Slika 3. MATEMATIKA 2 47

Napomena. Analogno se deniraju i parcijalne derivacije funkcija tri i više varijabli. Npr. za u = f(x; y; z) imamo lim x!0 f(x 0 + x; y 0 ; z 0 ) f(x 0 ; y 0 ; z 0 ) x = f 0 x(x 0 ; y 0 ; z 0 ) Slicno, f 0 y(x 0 ; y 0 ; z 0 ); f 0 z(x 0 ; y 0 ; z 0 ): Tehnika deriviranja ostaje ista: deriviramo po varijabli x; tretirajući y i z kao konstante, pa dobivamo f 0 x(x; y; z): Neka je T 0 = x 0 1 ; x0 2; :::; x 0 n 2 D R n i f : D! R: Ako postoji limes lim x i!0 f x 0; :::; x0 1 i + x i; x 0 i+1; :::; x0 n x i f x 0; :::; x0 1 i ; :::; x0 n onda taj limes nazivamo parcijalna derivacija funkcije f po varijabli x i u tocki T 0 i oznacavamo f 0 x i (T 0 ) = @f @x i (T 0 ) : Ako funkcija f ima u tocki T 0 parcijalnu derivaciju po svakoj varijabli onda kaemo da je funkcija f derivabilna u tocki T 0. Ako je f derivabilna u svakoj tocki T 2 D; nazivamo ju derivabilnom funkcijom. MATEMATIKA 2 48

Sjetimo se da za realne funkcije jedne varijable derivabilnost povlaci neprekidnost. Sada ćemo pokazati da za funkcije više varijabla to, općenito, ne vrijedi. Primjer. Pokazali smo da je funkcija f : R 2! R zadana propisom 8 xy >< x f(x; y) = 2 + y2, (x; y) 6= (0; 0) >: 0, (x; y) = (0; 0) prekidna u tocki (0; 0) ( lim (x;y)!(0;0) f(x; y) ne postoji). Ona je, me dutim, derivabilna u tocki (0; 0). Naime f 0 x(0; 0) = f (0 + x; 0) f(0; 0) lim x!0 x = lim x!0 (x)0 (x) 2 +0 2 0 x = 0; a slicno se pokae da je i f 0 y(0; 0) = 0. Dakle prve parcijalne derivacije zadane funkcije f su redom funkcije: MATEMATIKA 2 49

f 0 x : R 2! R f 0 x(x; y) = i f 0 y : R 2! R f 0 y(x; y) = 8 < : 8 < : y y2 x 2 (x 2 + y 2 ) 2, (x; y) 6= (0; 0) 0, (x; y) = (0; 0) x x2 y 2 (x 2 + y 2 ) 2, (x; y) 6= (0; 0) 0, (x; y) = (0; 0) MATEMATIKA 2 50

Denicija 1.10. Parcijalnim deriviranjem prvih parcijalnih derivacija f 0 x(x; y) i f 0 y(x; y) (to su opet funkcije dviju varijabli), dobivamo parcijalne derivacije drugog reda: @ @x @ @y @ @x @ @y @f @x @f @x @f @y @f @y def = @2 f @x 2 = f 00 xx = D xx f def = @2 f @y@x = f 00 xy = D xy f def = @2 f @x@y = f 00 yx = D yx f def = @2 f @y 2 = f 00 yy = D yy f - druga parcijalna derivacija po x 9 >= >; - druge mješovite parcijalne derivacije - druga parcijalna derivacija po y Ovo su opet funkcije dviju varijabli. Parcijalnim deriviranjem ovih funkcija dolazimo do parcijalnih derivacija trećeg reda itd. Analogno se deniraju parcijalne derivacije višeg reda funkcija od tri ili više varijabli. MATEMATIKA 2 51

Cesto puta se doga da da su mješovite derivacije neke funkcije f; tj. funkcije fxy 00 i fyx 00 me dusobno jednake. Postavlja se pitanje: Uz koje uvjete na funkciju f to vrijedi? Odgovor na to pitanje dan je u narednom teoremu: Teorem 1.11. (Schwarzov teorem) Neka funkcija f : D R 2! R ima u nekoj u nekoj okolini K (T 0 ; ") tocke T 0 neprekidne parcijalne derivacije prvog reda fx 0 i fy 0, i neka u toj okolini postoje mješovite parcijalne derivacije drugog reda fxy 00 i f yx 00. Ako su druge mješovite parcijalne derivacije fxy 00 i f yx 00 neprekidne u tocki T 0, onda su one i jednake u T 0 ; tj. vrijedi f 00 xy(t 0 ) = f 00 yx(t 0 ): (Nije bitan poredak deriviranja!) Napomena. Schwarzov teorem moemo poopćiti i na više derivacije (ako su neprekidne), tj. opet nije bitan poredak deriviranja. MATEMATIKA 2 52

Primjer. Odredimo sve parcijalne derivacije drugoga reda i treće parcijalne derivacije po x, y i x redom, te po x, x, i y redom (ondje gdje postoje) za funkciju f : D! R; D R 2 ; f(x; y) = x 2 y + x ln y: Denicijsko podrucje D je otvorena poluravnina (x; y) 2 R 2 j y > 0 i funkcija f je derivabilna. Pritom je, u bilo kojoj tocki (x; y) 2 D, f 0 x(x; y) = 2xy + ln y; f 0 y(x; y) = x 2 + x y : Primijetimo da su i obje parcijalne derivacije derivabilne funkcije, tj. da je funkcija f dvaput derivabilna, i da je f 00 xx(x; y) = 2y; f 00 yx(x; y) = 2x + 1 y ; f 00 xy(x; y) = 2x + 1 y ; f 00 yy(x; y) = x y 2: Napokon, ocito je da je f i triput (zapravo, po volji mnogo puta) derivabilna i da je fxyx(x; 000 y) = 2 = fyxx(x; 000 y): MATEMATIKA 2 53

Primjer. Promatrajmo funkciju f : R 2! R zadanu propisom 8 < xy x2 y 2 f(x; y) = x : 2 + y2, (x; y) 6= (0; 0) : 0, (x; y) = (0; 0) Funkcija f je derivabilna na R 2 n f(0; 0)g i pritom je x fx(x; 0 2 y 2 y) = y x 2 + y + 4x2 y 2 ; 2 (x 2 + y 2 ) 2 f 0 y(x; y) = x x 2 y 2 4x 2 y 2 : x 2 + y 2 (x 2 + y 2 ) 2 Nadalje, obje ove parcijalne derivacije su derivabilne funkcije (na R 2 n f(0; 0)g) i vrijedi fyx(x; 00 y) = x2 y 2 1 + 8x2 y 2 = f x 2 + y 2 (x 2 + y 2 ) xy(x; 00 y): 2 Pogledajmo sada što je s derivabinošću u tocki (0; 0)! MATEMATIKA 2 54

Budući da je f(x; 0) = 0 za svaki x 2 R i f(0; y) = 0 za svaki y 2 R, to je f derivabilna i u (0; 0) i f 0 x(0; 0) = 0 = f 0 y(0; 0): Primijetimo da je f 0 x(x; 0) = 0; f 0 y(x; 0) = x; f 0 x(0; y) = y; f 0 y(0; y) = 0; pa za druge mješovite parcijalne derivacije od f u (0; 0) dobivamo: f 00 xy(0; 0) = f lim x(0; 0 0 + 4y) fx(0; 0 0) 4y!0 4y = = lim 4y!0 4y 0 = 1; 4y f 00 yx(0; 0) = fy(0 0 + 4x; 0) fy(0; 0 0) lim 4x!0 4x = 4x 0 = lim 4x!0 4x = 1; Dakle, funkcija f je dvaput derivabilna. Me dutim, "mješovite" druge parcijalne derivacije fyx(0; 00 0) i fxy(0; 00 0) su me dusobno razlicite! Uzrok, dakako, lei u prekidnosti funkcije fxy(x; 00 y) u tocki (0; 0). MATEMATIKA 2 55

1.6. Tangencijalna ravnina. Diferencijal funkcije. Neka je funkcija f : D R 2! R, derivabilna u tocki (x 0 ; y 0 ) 2 D. Tada postoje parcijalne derivacije fx(x 0 0 ; y 0 ) i fy(x 0 0 ; y 0 ): Graf funkcije je ploha dana jednadbom z=f(x; y). Presjecemo li tu plohu ravninom x = x 0 ; odnosno y = y 0 ; dobit ćemo ravninske krivulje 2, odnosno 1 ; redom. t y0 t x0 z Γ 1 Γ 2 z=f(x,y) (x 0,y 0 ) x α y β Slika 3. Parcijalna derivacija f 0 x(x 0 ; y 0 ) je koecijent smjera tangente t 1 na 1 u tocki T 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 =f(x 0 ; y 0 )) : t 1 ::: z z 0 = f 0 x(x 0 ; y 0 )(x x 0 ); y = y 0 ; (na slici oznacena sa t y0 ) MATEMATIKA 2 56

a parcijalna derivacija f 0 y(x 0 ; y 0 ) je koecijent smjera tangente t 2 na 2 u tocki T 0 : t 2 ::: z z 0 = f 0 y(x 0 ; y 0 )(y y 0 ); x = x 0 : (na slici oznacena sa t x0 ). denirane tangentama t 1 i t 2 Jednadba ravnine dana je sa ::: z z 0 = f 0 x(x 0 ; y 0 )(x x 0 )+f 0 y(x 0 ; y 0 )(y y 0 ): () t y0 t x0 z Γ 1 Γ 2 z=f(x,y) (x 0,y 0 ) x α y β Slika 3. U dovoljno maloj okolini tocke (x 0 ; y 0 ) ; ova ravnina i ploha dana jednadbom z=f(x; y); imaju samo jednu zajednicku tocku T 0 ; pa ravninu danu s () nazivamo tangencijalna ravnina na plohu z = f(x; y) u tocki T 0 : MATEMATIKA 2 57

Primjer. Odredimo jednadbu tangencijalne ravnine na plohu zadanu funkcijom u tocki T 0 = (1; 1; 3): f(x; y) = 2x 2 y 2 Kako je f 0 x(x; y) = 4x; f 0 y(x; y) = 2y; imamo da je f 0 x(1; 1) = 4 i f 0 y(1; 1) = 2: Jednadba tangencijalne ravnine glasi odnosno z + 3 = 4(x 1) 2(y 1); z = 4x 2y + 3: Uvjerimo se da u maloj okolini tocke (1; 1) tangencijalna ravnina dobro aproksimira funkciju. Zaista, u tocki (1:1; 0:95) imamo da je f(1:1; 0:95) = 2(1:1) 2 (0:95) 2 = 3:3225; z(1:1; 0:95) = 4 1:1 2 0:95 + 3 = 3:3; i zaista se radi o dobroj aproksimaciji. MATEMATIKA 2 58

Denicija 1.12. Funkcija L(x; y) = f(x 0 ; y 0 )+f 0 x(x 0 ; y 0 )(x x 0 )+f 0 y(x 0 ; y 0 )(y y 0 ) naziva se linearizacijom funkcije f u (x 0 ; y 0 ); a aproksimacija f(x; y) f(x 0 ; y 0 )+f 0 x(x 0 ; y 0 )(x x 0 )+f 0 y(x 0 ; y 0 )(y y 0 ) linearnom aproksimacijom od f u (x 0 ; y 0 ): Gornju aproksimaciju nazivamo linearnom jer je to aproksimacija zadane funkcije polinomom prvog stupnja u varijablama x i y: U ovoj aproksimaciji funkcijske vrijednosti f (x; y) zadane funkcije aproksimiramo vrijednostima koordinate z (aplikate) tocaka u tangencijalnoj ravnini za odgovarajuće parove (x; y) ; tj. u dovoljno maloj okolini oko tocke T 0 (x 0 ; y 0 ; z 0 =f(x 0 ; y 0 )) graf funkcije f aproksimiramo tangencijalnom ravninom. MATEMATIKA 2 59

Primjer. Pokazali smo da funkcija f(x; y) = ( xy x 2 + y2, (x; y) 6= (0; 0) 0, (x; y) = (0; 0) ima parcijalne derivacije f 0 x(0; 0) = 0; f 0 y(0; 0) = 0 pa linearizacija od f u (0; 0) glasi L(x; y) = f(0; 0) + 0(x 0) + 0(y 0) = 0: U ovom slucaju linearizacija nije dobra aproksimacija za f. (Npr. f u tockama pravca y = x poprima vrijednost f(x; x) = 1 2 što je daleko od vrijednosti L(x; x) = 0): Prirodno se sada postavlja pitanje: Što moramo pretpostaviti za f da bi linearna aproksimacija bila dobra? MATEMATIKA 2 60

Za funkciju f jedne varijable, derivabilnu u x 0 : Denirali smo 4f(x) = f(x 0 +4x) f(x 0 ) i f 0 (x 0 ) = lim 4x!0 Oznacimo sa 4f(x) 4x : " = 4f(x) 4x f 0 (x 0 ) Ako je f derivabilna u x 0 ; onda je 4f(x) lim " = lim f 0 (x 0 ) = f 0 (x 0 ) f 0 (x 0 ) = 0: 4x!0 4x!0 4x Nadalje iz " = 4f(x) 4x f 0 (x 0 ) slijedi 4f(x) = f 0 (x 0 )4x + " 4x: To znaci da za derivabilnu funkciju f u x 0 vrijedi gdje je lim 4x!0 " = 0: 4f(x) = f 0 (x 0 )4x {z } df(x 0 )(4x) + " 4x MATEMATIKA 2 61

Po ovom uzoru i prirast 4f(x; y) = f(x 0 + 4x; y 0 + 4y) f(x 0 ; y 0 ) moemo opisati sa Denicija 1.13. Funkcija z = f (x; y) je diferencijabilna funkcija u tocki (x 0 ; y 0 ) ako se prirast z = 4f(x; y) = f (x 0 + x; y 0 + y) f (x 0 ; y 0 ) dade zapisati u obliku z = f 0 x(x 0 ; y 0 ) (x x 0 ) + f 0 y(x 0 ; y 0 ) (y y 0 ) + + " q (4x) 2 + (4y) 2 gdje "! 0 kad (x; y)! (0; 0) : Napomena. Ako postoje prve parcijalne derivacije od z = f (x; y) onda kaemo da je z = f (x; y) derivabilna. Derivabilnost funkcije ne jamci i diferencijabilnost (kod funkcija jedne varijable ti su pojmovi ekvivalentni). MATEMATIKA 2 62

Teorem 1.14. Ako parcijalne derivacije f 0 x i f 0 y postoje u okolini tocke (x 0 ; y 0 ) i ako su neprekidne u tocki (x 0 ; y 0 ) tada je funkcija z = f (x; y) diferencijabilna funkcija u tocki (x 0 ; y 0 ) : Primjer. Pokaimo da je funkcija f(x; y) = xe xy diferencijabilna u tocki T 0 = (1; 0) i odredimo njenu linearnu aproksimaciju. Kako je f 0 x(x; y) = @ @x (xexy ) = e xy + xye xy ; f 0 x(1; 0) = 1; f 0 y(x; y) = @ @y (xexy ) = x 2 e xy ; f 0 y(1; 0) = 1; vidimo da su parcijalne derivacije neprekidne na R 2 ; dakle i u tocki T 0, pa je f(x; y), po prethodnom teoremu, diferencijabilna funkcija u tocki T 0. Njezina linearna aproksimacija je L(x; y) = f(1; 0) + 1 (x 1) + 1 (y 0) = x + y; a to znaci da moemo pisati f(x; y) = xe xy x + y = L(x; y) u nekoj maloj okolini tocke T = (1; 0): Npr., MATEMATIKA 2 63

f(1:1; 0:1) 1:1 0:1 = 1: (f(1:1; 0:1) = 1:1 e (1:1)( 0:1) 0:985 42). Dakle, da bi linearna aproksimacija od f u okolini tocke (x 0 ; y 0 ) bila dobra, funkcija f mora biti diferencijabilna funkcija u tocki (x 0 ; y 0 ) : Denicija 1.15. Totalni diferencijal df (x 0 ; y 0 ) funkcije f u tocki (x 0 ; y 0 ) deniramo kao df (x 0 ; y 0 ) = f 0 x (x 0 ; y 0 ) dx + f 0 y (x 0 ; y 0 ) dy gdje su dx i dy diferencijali nezavisnih varijabli x i y: Napomena. Budući je 4x = dx i 4y = dy; onda linearnu aproksimaciju moemo zapisati kao f(x; y) L(x; y) = f(x 0 ; y 0 ) + df(x 0 ; y 0 ): MATEMATIKA 2 64

Geometrijska interpretacija totalnog diferencijala Sjetimo se, kod funkcije jedne varijable imali smo da je diferencijal df(x) = f 0 (x)dx i njega smo interpretirali kao prirast do tangente, tj. prirast ordinate y na tangenti za prirast nezavisne varijable x za dx. Po analogiji, totalni diferencijal df (x; y) = f 0 x (x; y) dx + f 0 y (x; y) dy je prirast do tangencijalne ravnine, tj. prirast aplikate z u tangencijalnoj ravnini za priraste nezavisnih varijabli x i y redom za dx i dy: z df(x,y) x x (x,y) y f(x,y) y (x+dx,y+dy) MATEMATIKA 2 65

Primjer. Odredimo totalni diferencijal funkcije f(x; y) = x 2 + 3xy y 2 : u bilo kojoj tocki (x; y): Imamo: df(x; y) = (2x + 3y)dx + (3x 2y)dy: Promotrimo promjenu 4f(x; y) pri promjeni tocke (2; 3) u tocku (2 + 0:05; 3 0:04) (dakle, 4x = dx = 0:05; 4y = dy = 0:04) 4f(2; 3) = [f(2:05; 2:96) f(2; 3)] = [(2:05) 2 +32:052:96 (2:96) 2 ] [2 2 323 3 2 ] = 0:6449: df(2; 3) = (22+33)0:05+(32 23)( 0:04) = 0:65 vidimo da je 4f(2; 3) df(2; 3); ali i da je racun puno jednostavniji. Sada je i f(2:05; 2:96) f(2; 3) + df(2; 3) = = 2 2 3 2 3 3 2 + 0:65 = 22: 35: MATEMATIKA 2 66

Napomena. Pojmovi: linearna aproksimacija i totalni diferencijal, analogno se deniraju i za funkcije od tri i više varijabli. Npr. za f(x; y; z) linearna aproksimacija je f (x; y; z) L (x; y; z) = f (x 0 ; y 0 ; z 0 ) + f 0 x(x 0 ; y 0 ; z 0 ) (x x 0 ) +f 0 y(x 0 ; y 0 ; z 0 ) (y y 0 ) + f 0 z(x 0 ; y 0 ; z 0 ) (z z 0 ) a totalni diferencijal kao df (x 0 ; y 0 ; z 0 ) = f 0 x(x 0 ; y 0 ; z 0 )dx + f 0 y(x 0 ; y 0 ; z 0 )dy + f 0 z(x 0 ; y 0 ; z 0 )dz: Napomena. Osnovna pravila za diferenciranje, što smo ih dali za funkcije jedne varijable, ostaju valjana i za funkcije više varijabla kad god imaju smisla: (a) d(f + g)(t 0 ) = df(t 0 ) + dg(t 0 ); (b) d(f g)(t 0 ) = g(t 0 ) df(t 0 ) + f(t 0 ) dg(t 0 ); f (c) d (T 0 ) = g(t 0) df(t 0 ) f(t 0 ) dg(t 0 ) ; g g(t 0 ) 2 (d) d(' f)(t 0 ) = ' 0 (f(t 0 )) df(t 0 ): MATEMATIKA 2 67

1.7. Diferencijal višeg reda Neka je D R 2 otvoren skup i f : D! R diferencijabilna na D; tada razmatramo funkciju df = f 0 xdx+f 0 ydy na skupu D : (x; y) 7! df (x; y) Ako je funkcija df diferencijabilna, a fxy 00 i f yx 00 neprekidne, onda diferencijal drugog reda funkcije f glasi: d 2 f = d (df) = Schwarz formalno = d f 0 xdx + f 0 ydy = f 00 xx (dx) 2 + f 00 yxdydx + f 00 xydxdy + f 00 yy (dy) 2 = fxx 00 (dx) 2 + 2fxydxdy 00 + fyy 00 (dy) 2 2 dx @ @x @y + dy @ f Ako je funkcija d 2 f diferencijabilna na D i ako su sve mješovite derivacije 3. reda od f neprekidne, onda diferencijal trećeg reda funkcije f glasi: d 3 f = d d 2 f = d f 00 xx (dx) 2 + 2f 00 xydxdy + f 00 yy (dy) 2 = fxxx 000 (dx) 3 + 3fxxy 000 (dx) 2 dy + 3fxyydx 000 (dy) 2 + f 000 3 = dx @ @x @y + dy @ f yyy (dy) 3 MATEMATIKA 2 68

Neka funkcija f ima u nekoj okolini K (T; ") D sve parcijalne derivacije do ukljucivo (n 1)-vog reda. Ako su sve parcijalne derivacije (n 1)-vog reda diferencijabilne u tocki T; i njihove derivacije neprekidne onda totalni diferencijal n-tog reda funkcije f u tocki T glasi: d n f (T ) = dx @ @x + dy @ n f (T ) @y = nx k=0 n @ n f (T ) k @x n k @y k (dx)n k (dy) k. (a + b) n = nx k=0 n a n k k b k n k = n! (n k)!k! MATEMATIKA 2 69

1.8. Deriviranje sloenih funkcija Kod derivacije sloene funkcije jedne varijable imamo: Ako je y = f(x) i x = g(t); gdje su f i g diferencijabilne funkcije, onda imamo: Sada imamo: dy dt = dy dx dx dt Teorem 1.16. Neka su u : I! R i v : I! R diferencijabilne funkcije na I R, u(i) v(i) D R 2 i f : D! R diferencijabilna funkcija. Tada je dobro denirana kompozicija z f (u; v) : I! R; z(t) = f(u(t); v(t)); t 2 I; koja je diferencijabilna i vrijedi dz dt = @f @u du dt + @f @v dv dt : Dokaz: Uvedimo oznake z = f(x; y), x = u(t); y = v(t) pa treba dokazati formulu dz dt = @f @x dx dt + @f @y dy dt : MATEMATIKA 2 70

Neka je (x 0 ; y 0 ) = (u(t 0 ); v(t 0 )) 2 D bilo koja tocka: Funkcija f je diferencijabilna funkcija, pa je 4z = 4f(x; y) moguće zapisati u obliku 4z = @f(x 0; y 0 ) @x 4x+ @f(x q 0; y 0 ) 4y+" (4x) 2 + (4y) 2 ; @y gdje "! 0 kada (4x; 4y)! (0; 0): Sada dijeljenjem s 4t imamo 4z 4t =@f(x 0 ; y 0) 4x @x 4t +@f(x 0 ; y 0) @y 4y 4t +" q (4x) 2 + (4y) 2 4t Neka sada 4t! 0: Tada imamo 4x = u(t 0 + 4t) u(t 0 )! 0 i 4y = v(t 0 + 4t) v(t 0 )! 0 (jer su u i v neprekidne), pa stoga i "! 0: Imamo dz dt (t 0) = lim + @f(x 0 ; y 0) 4y @y 4t +" 4x 4t + q (4x) 2 + (4y) 2 (@f(x 0 ; y 0) 4t!0 @x 4t ) = : MATEMATIKA 2 71

@f(x 0 ; y 0 ) @x Dakle, vrijedi a to se i tvrdilo. 4x lim 4t!0 {z 4t } dx dt (t 0) + @f(x 0; y 0 ) @y 4y lim + 4t!0 {z 4t } dy dt (t 0) s 4x 2 2 4y + lim " lim + 4t!0 4t!0 {z } 4t 4t {z } 0 p(x 0 (t 0 )) 2 +(y 0 (t 0 )) 2 dz dt = @f @x dx dt + @f @y dy dt MATEMATIKA 2 72

Primjer. Odrediti z 0 (0) ako je Vrijedi z = x 2 y + 3xy 4 i x = sin 2t; y = cos t: dz dt = 2xy + 3y4 (2 cos 2t) + x 2 + 12xy 3 ( Kako je x(0) = 0; y(0) = 1 imamo da je sin t): z 0 (0) = dz(0) dt = 2xy + 3y 4 (x;y)=(0;1) [(2 cos 2t)] t=0 + + x 2 + 12xy 3 (x;y)=(0;1) [( sin t)] t=0 = 6: Racun provjeriti deriviranjem funkcije z(t) = sin 2 2t cos t + 3 sin 2t cos 4 t: MATEMATIKA 2 73

Teorem 1.17. Neka je z = f (x; y) diferencijabilna funkcija po varijablama x i y, te neka su x = g(u; v) i y = h(u; v) diferencijabilne funkcije po varijablama u i v; tada je Dijagram: @z @u = @z @x @x @u + @z @y @y @u @z @v = @z @x @x @v + @z @y @y @v : z x y u v u v Primjer. Odrediti @z @u i @z @v sloene funkcije z = x y ; x = u 2 v 2 ; y = e uv : @z @u = @z @x @x @u +@z @y @y @u = yxy 1 (2u) + x y ln x (ve uv ); @z @v = @z @x @x @v +@z @y @y @u = yxy 1 ( 2v) + x y ln x (ue uv ): MATEMATIKA 2 74

Napomena. Rezultat Teorema 1.17 lako se poopćuje. Npr. ako imamo w = f (x; y; z; t) i x = x(u; v), y = y(u; v); z = z(u; v) i t = t(u; v) onda je: @w @u = @w @x @x @u + @w @y @y @u + @w @z @z @u + @w @t @t @u @w @v = @w @x @x @v + @w @y @y @v + @w @z @z @v + @w @t @t @v : Dijagram: w x y z t u v u v u vu v Primjer. Ako je u = x 4 y + y 2 z 3 ; x = rse t ; y = rs 2 e t ; z = r 2 s sin t izracunati @u @s Pripadni dijagram je u tocki (r; s; t) = (2; 1; 0): u x y z r s t r s t r s t MATEMATIKA 2 75

pa je traena derivacija @u @s = @u @x @x @s + @u @y @y @s + @u @z @z @s = = 4x 3 y re t + x 4 + 2yz 3 2rse t + 3y 2 z 2 r 2 sin t: Kako je x(r; s; t) = rse t ; x(2; 1; 0) = 2; y(r; s; t) = rs 2 e t ; y(2; 1; 0) = 2; z(r; s; t) = r 2 s sin t; z(2; 1; 0) = 0 imamo @u(2; 1; 0) = 4 2 3 2 2e 0 + 2 4 +2 2 0 3 2 2 1 e 0 @s + 3 2 2 0 2 2 2 sin 0 = 192: Graf funkcije z = F (x; y) općenito prestavlja neku plohu u prostoru. Pretpostavimo da je s F (x; y) = 0 implicitno zadana funkcija y = f(x): To znaci da je F (x; f(x)) = 0 za svaku tocku x iz domene funkcije f: Primjenom Teorema 1.16. imamo (deriviranjem po x) MATEMATIKA 2 76

što povlaci @F @x dx {z} dx 1 + @F @y dy dx = 0: dy dx = @F @x @F @y = F x 0 : Fy 0 Ovo vrijedi ako je @F @y 6= 0 i ako je s F (x; y) = 0 implicitno deniran y kao funkcija od x: Ovo nije uvijek moguće. Sljedeći teorem govori koje uvjete mora zadovoljavati funkcija F da bi preko nje y denirali kao funkciju od x: Teorem 1.18. (Teorem o implicitnoj funkciji) Neka je F denirana na otvorenom skupu U R 2 koji sadri tocku T 0 = (x 0 ; y 0 ) i neka je F (x 0 ; y 0 ) = 0 i Fy 0 (x 0 ; y 0 ) 6= 0: Ako su Fx 0 i F y 0 neprekidne funkcije na U; tada jednadba F (x; y) = 0 implicitno denira y kao funkciju od x na nekoj okolini od x 0 i pri tome je derivacija dy dx = F x 0 : Fy 0 MATEMATIKA 2 77

Primjer. Sa F (x; y) = y y 3 x 2 y + x 2 y 3 = 0 denirana je implicitna funkcija y kao funkcija u varijabli x u nekoj otvorenoj okolini tocke x 0 = 0 (jer je F (0; 1) = 0 i jer su Fx(x; 0 y) = 2xy 3 2xy; Fy(x; 0 y) = 3x 2 y 2 3y 2 x 2 + 1 neprekidne funkcije te Fy(0; 0 1) 6= 0). Derivacija te funkcije je dy dx = F 0 x F 0 y = 2xy 3 2xy 3x 2 y 2 3y 2 x 2 + 1 : Poopćenje prethodnog rezultata daje teorem: Teorem 1.19. (Teorem o implicitnoj funkciji) Neka je u = F (x; y; z) funkcija denirana na otvorenom skupu U R 3 koji sadri tocku T 0 = (x 0 ; y 0 ; z 0 ): Ako je F (T 0 ) = 0; Fz(T 0 0 ) 6= 0 i ako su Fx; 0 Fy; 0 Fz 0 neprekidne funkcije na U; tada jednadba F (x; y; z) = 0 implicitno denira funkciju z = f(x; y) u nekoj okolini tocke (x 0 ; y 0 ) i njene parcijalne derivacije su @z @x = F x 0 ; Fz 0 @z @y = F 0 y F 0 z : MATEMATIKA 2 78

Primjer. Odrediti parcijalne derivacije implicitno zadane funkcije @z @x, @z @y F (x; y; z) = x 3 + y 3 + z 3 + 6xyz 1 = 0: Funkcija F denirana je na citavom R 3 : Budući da je F (0; 0; 1) = 0 i da je F 0 z(0; 0; 1) = 3 6= 0; to je u okolini tocke (0; 0) gornjom jednadbom implicitno zadana funkcija z = f(x; y): Odredimo još derivacije te funkcije: @z @x = @F @x @F @z = 6yz + 3x2 2yz x2 = 6xy + 3z2 2xy + z ; 2 @z @y = @F @y @F @z = 2xz y2 2xy + z 2 : MATEMATIKA 2 79

1.9. Teorem srednje vrijednosti Podsjetimo se Lagrangeovog teorema (teorema srednje vrijednosti) za funkcije jedne varijable: Teorem 1.20. Neka je funkcija f : D! R; D R neprekidna na segmentu [a; b] D a derivabilna na intervalu ha; bi : Tada postoji tocka c 2 ha; bi takva da je f (b) b f (a) a = f 0 (c) : () Lagrangeova formula () se moe zapisati na više nacina: f (b) f (a) = f 0 (c) (b a) = f 0 (a + (b a)) (b a) ; 0 < < 1 ili uz a = x 0 i b = x 0 + x f = f (x 0 + x) f (x 0 ) = f 0 (x 0 + x) x; gdje je 0 < < 1: MATEMATIKA 2 80

Denicija 1.21. Za skup S R n kaemo da je konveksan ako je za bilo koje dvije tocke A; B 2 S i njihova spojnica sadrana u S; tj ako je [A; B] := fa + t (B A) : t 2 [0; 1]g S Poopćenje Lagrangeovog teorema za funkcije više varijabli dano je sljedećim dvama teoremima. Prvi je iskazan za funkcije dviju varijabla: Teorem 1.22. Neka je R 2 otvoren i konveksan skup, A (x 0 ; y 0 ) 2 i B (x 0 + x; y 0 + y) 2 : Neka funkcija f :! R ima na neprekidne parcijalne derivacije fx 0 i fy: 0 Tada postoji tocka C 2 [A; B] ; C 6= A; C 6= B takva da je f (x 0 + x; y 0 + y) f (x 0 ; y 0 ) = f 0 x (C) x+f 0 y (C) y: Pritom je C = (x 0 + tx; y 0 + ty) za neki t 2 h0; 1i : MATEMATIKA 2 81

Općenito vrijedi teorem srednje vrijednosti za funkciju n varijabli: Teorem 1.23. Neka je R n otvoren i konveksan skup, A (a 1 ; :::; a n ) 2 i B (b 1 ; :::; b n ) 2 : Neka funkcija f :! R ima na sve parcijalne derivacije prvog reda i neka su one neprekidne. Tada postoji tocka C 2 [A; B] ; C 6= A; C 6= B takva da je f (b 1 ; :::; b n ) f (a 1 ; :::; a n ) = nx fx 0 i (C) (b i a i ) : i=1 Pritom je C = (a 1 + t (b 1 a 1 ) ; :::; a n + t (b n a n )) za neki t 2 h0; 1i : MATEMATIKA 2 82

1.10. Taylorova formula Podsjetimo se, za funkcije jedne varijable imamo: Neka funkcija f : I R! R ima na intervalu ha; bi I derivaciju (n + 1)-og reda i neka je x 0 2 ha; bi bilo koja tocka. Tada za svaki x 2 ha; bi vrijedi Taylorova formula: f (x) = f (x 0 ) + f 0 (x) 1! (x x 0 ) + ::: + f (n) (x) n! (x x 0 ) n + R n (x) = f (x 0 ) + nx k=1 f (k) (x) k! (x x 0 ) k + R n (x) ; R n (x) = f (n+1) (c) (n+1)! (x x 0 ) n+1 : gdje je c = x 0 + (x x 0 ) ; 0 < < 1; a R n (x) ostatak (Lagrangeov oblik) n-tog reda u Taylorovoj formuli. Za funkcije dviju varijabli Taylorova formula dana je sljedećim teoremom: MATEMATIKA 2 83

Teorem 1.24. Ako funkcija f : D R 2! R ima na nekoj okolini K (T 0 ; ") D tocke T 0 = (x 0 ; y 0 ) 2 D neprekidne derivacije do ukljucivo (n + 1)-og reda, onda za svaku tocku T = (x; y) 2 K (T 0 ; ") vrijedi Taylorova formula: f (T ) = f (T 0 ) + nx p=1 1 p! (x x 0 ) @ @x + (y y 0) @ @y p f (T 0 ) +R n (T ) ; gdje je R n (T ) = 1 (n + 1)! (x x 0 ) @ @x + (y y 0) @ @y (n+1) f (T ); T = (x 0 + (x x 0 ) ; y 0 + (y y 0 )) ; 0 < < 1; i pri cemu je (x x 0 ) @ @x + (y y 0) @ @y p f (T 0 ) = = px k=0 p @ p f (T 0 ) k @x p k @y (x x 0) p k (y y k 0 ) k : MATEMATIKA 2 84

Dakle, prema Taylorovoj formuli imamo da je f (T ) = P n (T ; f) + R n (T ) ; gdje je P n (T ; f) Taylorov polinom (n-tog stupnja) funkcije f. Za n = 2 imamo: f (T ) = f (T 0 ) + 1 1! f 0 x (T 0 ) (x x 0 ) + f 0 y (x 0 ) (y y 0 ) + 1 2! h f 00 xx (T 0 ) (x x 0 ) 2 + 2f 00 xy (T 0 ) (x x 0 ) (y y 0 ) + f 00 yy (T 0 ) (y y 0 ) 2i + R 2 (T ) gdje je R 2 (T ) = 1 3! h f 000 xxx (T ) (x x 0 ) 3 + 3f 000 xxy (T ) (x x 0 ) 2 (y y 0 ) +3f 000 xyy (T ) (x x 0 ) (y y 0 ) 2 + f 000 yyy (T ) (y y 0 ) 3i Ocekivamo da će ostatak R n (T ) biti to manji što je tocka T blia tocki T 0. MATEMATIKA 2 85

Moe se pokazati da za q = d (T; T 0 ) = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 vrijedi: R n (T ) lim = 0;!0 n što znaci da ostatak Taylorove formule R n (T )! 0 bre od n ; zato ponekad za R n (T ) koristimo oznaku O ( n ) : Ako funkcija f : D R 2! R ima na nekoj okolini K (T 0 ; ") D tocke T 0 neprekidne derivacije po volji visokog reda i ako niz ostataka R n (T )! 0 kad n! 1; onda Taylorova formula prelazi u Taylorov red: f (T ) = f (T 0 )+ 1X p=1 1 p! (x x 0 ) @ @x + (y y 0) @ @y U slucaju T 0 = (0; 0) Taylorovu formulu nazivamo Maclaurinovom formulom, a Taylorov red Maclaurinovim redom. Analogno se Taylorova formula i Taylorov red mogu iskazati i općenito za funkcije n varijabli, n 3. p f (T 0 ) : MATEMATIKA 2 86

1.11. Ekstremi funkcija više varijabli Denicija 1.25. Za funkciju f : D! R; D R m ; kaemo da ima lokalni maksimum (minimum) u tocki T 0 2 D, ako postoji "-okolina K(T 0 ; ") D tocke T 0 sa svojstvom da je f (T ) < f (T 0 ) ; za svaku tocku T 2 K(T 0 ; ") n ft 0 g ( f (T ) > f (T 0 ) ; za svaku tocku T 2 K(T 0 ; ")nft 0 g) Ukoliko je f (T ) f (T 0 ) ; za svaki T 2 D ( f (T ) f (T 0 ) ; za svaki T 2 D) onda kaemo da f ima globalni maksimum (minimum) u tocki T 0 2 D. Kao i do sada promatrat ćemo funkcije dviju varijabli. MATEMATIKA 2 87

Primjer. Funkcije f 1 (x; y) = x 2 + y 2 i f 2 (x; y) = p x 2 + y 2 imaju minimum (lokalni i globalni) u tocki (0; 0): Primijetimo da je za prvu funkciju tocka (0; 0; 0) tjeme paraboloida (grafa) i da ona u toj tocki ima parcijalne derivacije, a da je za drugu funkciju ta tocka vrh stošca (grafa) i da ne postoje parcijalne derivacije u toj tocci. Teorem 1.26. (Nuan uvjet za lokalni ekstrem) Ako funkcija f : D! R, D R 2 ; ima u tocki T 0 = (x 0 ; y 0 ) 2 D lokalni ekstrem i ako je u toj tocki derivabilna, onda je f 0 x(x 0 ; y 0 ) = 0; f 0 y(x 0 ; y 0 ) = 0: Tocka u kojima se prve parcijalne derivacije poništavaju naziva se stacionarna tocka. Stacionarna tocka je kandidat za ekstrem. Cemu je jednak diferencijal funkcije u stacionarnoj tocki i kakva je tangencijalna ravnina na plohu grafa funkcije u toj tocki? MATEMATIKA 2 88

Teorem 1.27. (Dovoljan uvjet za lokalni ekstrem) Neka je T 0 = (x 0 ; y 0 ) 2 D stacionarna tocka funkcije f : D! R; D R 2 ; i neka su druge parcijalne derivacije funkcije f neprekidne na nekoj "-kugli K(T 0 ; ") D. Neka je (T 0 ) = fxx(t 00 0 ) f 00 yy (T 0 ) [f xy(t 0 )] 2 = = f xx(t 00 0 ) fxy(t 00 0 ) fxy(t 00 0 ) fyy(t 00 0 ) : Tada vrijedi: Ako je (T 0 ) > 0 i f xx (T 0 ) > 0; tada je f u tocki T 0 ima lokalni minimum f (T 0 ) ; Ako je (T 0 ) > 0 i f xx (T 0 ) < 0; tada je f u tocki T 0 ima lokalni maksimum f (T 0 ) ; Ako je (T 0 ) < 0; tada f u tocki T 0 nema ekstrem. Napomena. Ako je (T 0 ) = 0 ne moemo zakljuciti ništa o ekstremu. U ovom slucaju moemo imati ekstrem, ali i sedlastu tocku. Tu je potrebno daljnje ispitivanje. MATEMATIKA 2 89

Primjer. Odrediti ekstreme funkcije f(x; y) = x 4 + y 4 4xy + 1: Vrijedi: fx(x; 0 y) = 4x 3 4y = 4 x 3 y = 0 ) x 3 = y; Slijedi f 0 y(x; y) = 4y 3 4x = 4 y 3 x = 0 ) y 3 = x: x 9 x = x (x 1) (x + 1) x 2 + 1 x 4 + 1 = 0; i x 1 = 0; x 2 = 1; x 3 = tocke su 1 su nultocke: Stacionarne Budući da je T 1 = (0; 0); T 2 = (1; 1); T 3 = ( 1; 1): f 00 xx(x; y) = 12x 2 ; f 00 xy(x; y) = 4; f 00 yy(x; y) = 12y 2 ; imamo: (x; y) = 12x2 4 4 12y 2 = 144x2 y 2 16 MATEMATIKA 2 90

(0; 0) = 144x 2 y 2 16 (x;y)=(0;0) = 16 i funkcija f u T 1 nema ekstrem; (1; 1) = 144x 2 y 2 16 (x;y)=(1;1) = 128; f 00 xx(1; 1) = 12 i funkcija f u T 2 ima lokalni minimum z min = 1; ( 1; 1) = 144x 2 y 2 16 (x;y)=( 1; 1) = 128; f 00 xx( 1; 1) = 12 i funkcija f u T 3 ima lokalni minimum z min = 1: Slicno imamo za funkcije tri varijable. Teorem 1.26a) (Nuan uvjet za lokalni ekstrem) Ako funkcija f : D! R, D R 3 ; ima u tocki T 0 = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) 2 D lokalni ekstrem i ako je u toj tocki derivabilna, onda je f 0 x(x 0 ; y 0 ; z 0 ) = 0; f 0 y(x 0 ; y 0 ; z 0 ) = 0; f 0 z(x 0 ; y 0 ; z 0 ) = 0: MATEMATIKA 2 91