Skripta iz kvantitativnih metoda za poslovno upravljanje Kristina Perdić Strossmayerova 1a, Osijek www.anura.hr e-mail: kvante@anura.hr, anura@anura.hr mob.
<Sadržaj Sadržaj Sadržaj --------------------------------------------------------------------------------------------- 2 Uvod ---------------------------------------------------------------------------------------------------- 3 Linearno programiranje (simpleks metoda) --------------------- 4 Problem maksimuma ------------------------------------------------------------------------------------------------- 4 Računanje simpleks tablicom ---------------------------------------------------------------------------------------- 5 Problem minimuma --------------------------------------------------------------------------------------------------- 6 Posebni slučajevi kod linearnog programiranja ------------------------------------------------------------- 6 Pravila za računanje simpleks metodom ---------------------------------------------------------------------- 7 Grafičko prikazivanje ------------------------------------------------------------------------------------------------- 7 Dual --------------------------------------------------------------------------------------------------- 11 Pravila za računanje ------------------------------------------------------------------------------------------------ 11 Višekriterijalno programiranje ------------------------------------------- 13 Razlomljeno programiranje ------------------------------------------------ 14 Cjelobrojno programiranje ------------------------------------------------- 16 Ciljno programiranje --------------------------------------------------------------- 17 Transportni problem ------------------------------------------------------------------ 20 Posebni slučajevi u problemu transporta ------------------------------------------------------------------- 20 Asignacija --------------------------------------------------------------------------------------- 22 Posebni slučajevi u problemu asignacije -------------------------------------------------------------------- 22 Pravila za računanje ------------------------------------------------------------------------------------------------ 22 Trgovački putnik --------------------------------------------------------------------------- 24 Teorija igara--------------------------------------------------------------------------------- 25 Podjela igara ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- 25 Mrežno programiranje ------------------------------------------------------------ 28 Pravila za računanje ------------------------------------------------------------------------------------------------ 29 Modeli repova čekanja ------------------------------------------------------------- 32 Modeli zaliha -------------------------------------------------------------------------------- 35 Vrste modela zaliha ------------------------------------------------------------------------------------------------- 35 Literatura --------------------------------------------------------------------------------------- 39 2
Uvod Uvod Kvantitativne metode za poslovno upravljanje ili operacijska istraživanja su kompleksna znanstvena disciplina koja se bavi rješavanjem problema odlučivanja koji imaju podlogu u stvarnosti. Cilj kvantitativnih metoda za poslovno upravljanje je pronalazak najboljeg, tj. optimalnog smjera aktivnosti u problemu odlučivanja u okviru danih restrikcija i ograničenih kapaciteta. Bit kvantitativnih metoda za poslovno upravljanje mogao bi se podijeliti na slijedeće korake: 1. Formulacija problema, tj. postavljanje granica sustava koji se istražuje 2. Konstrukcija modela 3. Modelsko računanje 4. Primjena Izbor metode za rješavanje problema ovisi o modelu. U nekim slučajevima treba izraditi novu metodu za model, dok se u određenim slučajevima koristimo već poznatim metodama. Metode koje ćemo upoznati: 1. Dual 2. Višekriterijalno programiranje 3. Razlomljeno programiranje 4. Cjelobrojno programiranje 5. Ciljno programiranje 6. Transportni problem 7. Problem asignacije 8. Trgovački putnik 9. Teorija igara 10. Mrežno programiranje 11. Modeli repova čekanja 12. Modeli zaliha 3
Linearno programiranje (simpleks metoda) Linearno programiranje (simpleks metoda) Metode linearnog programiranja su trenutno najvažniji instrument operacijskih istraživanja. Postoji više metoda za rješavanje problema linearnog programiranja. Jedan od najuspješnijih razvio je Dantzig 1947. godine. Ta metoda zove se simpleks metoda. Linearna optimizacija se bavi minimiziranjem ili maksimiranjem linearne funkcije cilja ovisne o konačno mnogo varijabli koje zadovoljavaju konačno mnogo dodatnih uvjeta (restrikcija ili ograničenja) zadanih u obliku linearnih jednadžbi ili nejednadžbi, tj. pronalaženje optimalnog rješenja pomoću linearnog programiranja. Linearna optimizacija važna je jer se mnogi praktični problemi mogu formulirati kao problemi linearne optimizacije, a zatim na jednostavan način riješiti jer su teorija i metode rješavanja linearnih optimizacijskih problema su jednostavne i pregledne. Simpleks metoda je iterativna metoda. Ona polazi od nekog dopuštenog rješenja te ga u nizu koraka poboljšava dok se ne postigne optimalno rješenje. Problem maksimuma Opća matematička formulacija linearnog programiranja (problem maksimuma): max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 +... + c n x n a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 1j x j +... + a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 2j x j +... + a 2n x n b 2... a m1 x 1 + a m2 x 2 + a mj x j +... + a mn x n b m x 1, 2,... n 0 m broj restrikcija n obujam pojedinih aktivnosti a ij koeficijent koji govori koliko je potrebno jedinica proizvodnog faktora i za jedinicu aktivnosti x j b i ograničavajući faktor c j dobit po jedinici j koeficijent funkcije cilja x j nepoznata aktivnost j, nepoznata akcija usmjerena na izradu jedinice nekog proizvoda, strukturna varijabla Cilj linearnog programiranja je maksimalizacija profita, prihoda, dobiti... (problem maksimuma) ili minimalizacija troškova, vremena... (problem minimuma). Zadatak linearnog programiranja je utvrditi vrijednosti za varijable odlučivanja, koje će maksimalizirati ili minimalizirati funkciju cilja. Ograničenja ili restrikcije su zadani u obliku jednadžbi ili nejednadžbi. Sastoji se od 4 elementa: 1. Količina (desna strana) = konstanta 2. Algebarski znak (,, =) 3. Varijabla odlučivanja (x 1, x 2, x 3... ) 4. Parametri (vrijednosti uz varijable odlučivanja) Postoje tri tipa ograničenja: 1. sustavno sadrži dvije ili više varijabli odlučivanja 2. individualno sadrži samo jednu varijablu odlučivanja 3. uvjet nenegativnosti odnosi se na potencijalne vrijednosti koje mogu poprimiti varijable odlučivanja ('uvjet za x') Dopušteno rješenje je ono rješenje koje zadovoljava zadani skup ograničenja. Ako dopušteno rješenje ujedno i optimalizira vrijednost funkcije cilja tada ga nazivamo i optimalno rješenje (najbolja moguća kombinacija varijabli odlučivanja). Formuliranje modela linearnog programiranja: 1. identifikacija varijabli odlučivanja 2. formuliranje funkcije cilja 3. identifikacija ograničenja 4. određivanje vrijednosti za parametre 5. formuliranje modela 6. rješavanje modela linearnog programiranja 4
Linearno programiranje (simpleks metoda) Opći oblik simpleks tablice: x 1 x 2... x n y 1 y 2... y m z 1 a 11 a 12... a 1n 1 0... 0 b 1 a 21 a 22... a 2n 0 1... 0 b 2........................... a m1 a m2... a mn 0 0... 1 b m c 1 c 2... c n 0 0 0 0 1 0 U simpleks tablicu unose se restrikcije i funkcija cilja. U tablicu unosimo strukturne i dopunske varijable. One mogu biti bazične i nebazične. Strukturne varijable su x 1, x 2,... x n, a njihove vrijednosti koje unosimo u tablicu nalaze se u restrikcijama. Te vrijednosti koje unosimo u tablicu, koje se nalaze uz varijable odlučivanja u restrikcijama, nazivamo tehnički koeficijenti (a 11, a 12,... a mn ). Tehnički koeficijenti nam govore koliko je potrebno jedinica n-tog resursa za izradu jedne jedinice m-tog proizvoda. Dopunske varijable su y 1, y 2,... y m. One nam nisu zadane u zadatku već njih dodajemo kako bismo mogli primijeniti simpleks metodu, tj. kako bismo nejednadžbe pretvorili u jednadžbe. Njihov broj jednak je broju restrikcija, a one govore o (ne)iskorištenosti kapaciteta. Bazične varijable su varijable koje imaju u stupcu jednu vrijednost 1 i sve ostale vrijednosti 0. Njihovu vrijednost očitavamo u krajnjem desnom stupcu (obično su to varijable y). Nebazične varijable su sve ostale varijable i njihova vrijednost jednaka je 0. Slobodni članovi s desne strane u restrikcijama predstavljaju ograničenja ili kapacitete i upisuju se u krajnji desni stupac(b1, b2,... bm). U zadnji red, red funkcije cilja, upisujemo koeficijente uz varijable odlučivanja u funkciji cilja (c1, c2,... cn). Računanje simpleks tablicom 1. Prvi korak je izabrati pivot stupac, tj. stupac nebazične varijable koji mora dospjeti u bazu označimo ga sa s. To je onaj stupac koji ima najnegativniji kvocijent u redu funkcije cilja. Pivot stupac određujemo izrazom: Ako ne postoji niti jedan negativan element, računski postupak je završen jer je pronađen optimum. 2. Sada treba pronaći koja će bazična varijabla izaći iz baze, red te varijable zove se pivot red označimo ga s r. To nam je red u kojem se nalazi najmanji pozitivan kvocijent elemenata desne strane i elemenata pivot stupca. 3. Na sjecištu pronađenog pivot stupca i pivot reda nalazi se pivot element. Pivot element moramo svesti na jedinicu, a sve ostale elemente u pivot stupcu računamo pomoću izraza: Tim postupkom doveli smo pivot stupac u bazu. 4. Ostale koeficijente u tablici računamo prema pravilu: Nakon ova četiri koraka završena je prva iteracija. Postupak ponavljamo dok više ne možemo naći pivot stupac niti pivot red. 5
Linearno programiranje (simpleks metoda) Problem minimuma Osim problema maksimuma postoji i problem minimuma koji formuliramo ovako: min z=b 1 v 1 +b 2 v 2 +... +b m v m a 11 v 1 +a 21 v 2 +... +a m1 v m c 1 a 12 v 1 +a 22 v 2 +... +a m2 v m c 2... a 1n v 1 +a 2n v 2 +... +a mn v m c n v 1,2,... m 0 Na osnovi metoda za rješavanje problema maksimuma moguće je pronaći i rješenje za problem minimuma. Za taj postupak potrebno je problem minimuma pretvoriti u problem maksimuma tako da se promjeni predznak koeficijentima funkcije cilja pa zatim takvu funkciju cilja ( ) maksimizirati. Ako bi se željelo izbjeći pretvaranje problema minimuma u problem maksimuma tada bi se pravila računanja morala izmjeniti, npr. izabrao bi se stupac s pozitivnim elementima za pivot stupac. Svejedno je izmjene li se pravila računanja ili funkcija cilja. Između problema minimuma i problema maksimuma postoji simetrija te ove probleme nazivamo dualni. To se očituje u (problem maksimuma promatramo kao jedan problem, a problem minimuma kao drugi problem): 1. Matrica skupa restrikcija drugog problema (duala) predstavlja transponiranu matricu skupa restrikcija prvog (primarnog) problema. 2. Nejednakosti u skupu restrikcija suprotno su orijentirane. 3. Ulogu slobodnih članova u skupu restrikcija drugog problema imaju koeficijenti funkcije cilja iz prvog problema, a ulogu koeficijenata u funkciji cilja drugog problema imaju slobodni članovi iz skupa ograničenja prvog problema. 4. U drugom problemu (dualu) funkcija cilja se minimizira, dok se u prvom (primarnom) problemu maksimizira. Posebni slučajevi kod linearnog programiranja 1. Degeneracija (dualna i primarna) Do slučaja degeneracije dolazi kada nam se za izbor pivot stupca ili pivot reda javi više jednako dobrih elemenata. a. Dualna degeneracija javlja se kada se između više stupaca s jednakim negativnim vrijednostima u redu funkcije cilja treba odrediti pivot stupac. U tom se slučaju odabire bilo koji stupac po volji. b. Primarna degeneracija pojavljuje se kada imamo više redova s jednako malim najmanjim pozitivnim kvocijentom elemenata desne strane i elemenata pivot stupca. Tada možemo pokušati s izborom nekog po volji odabranog reda ili izabiremo slijedeći lijevi stupac (od krajnjeg desnog stupca) i dijelimo njegove elemente s elementima pivot stupca. Za pivot red uzimamo red s najmanjim kvocijentom koji samo u ovom posebnom slučaju smije biti i negativan (ili nula). 2. Neograničeno rješenje Pojavljuje se kada u pivot stupcu ne možemo odrediti pivot element jer nema pozitivnog kvocijenta elemenata desne strane i elemenata pivot stupca. Ovaj slučaj ne znači da zadatak nema rješenje, već samo to da ga mi ne možemo pronaći jer je područje dopuštenog rješenja otvoreno! U praksi se ovaj slučaj pojavljuje ako se ne vodi računa o konstrukciji modela. 3. Višestruki maksimum Do ovog slučaja dolazi kada postoji više sustava vrijednosti kojima postižemo isto optimalno rješenje, točnije, takvih rješenja ima beskonačno mnogo i sva su ravnopravna. Višestruki maksimum najlakše prepoznajemo grafičkim putem funkcija cilja nam se poklapa s restrikcijom. Tada su nam rješenje dvije točke i sve njihove linearno konveksne kombinacije. U tablici ovaj slučaj prepoznajemo po tome što će nebazična varijabla imati nulu u redu funkcije cilja. 6
Linearno programiranje (simpleks metoda) Pravila za računanje simpleks metodom 1) Slobodna varijabla - Cilj nam je dovesti ju u bazu (jedinica i nule) - Pivot stupac nam je po volji odabran stupac u kojem se nalazi slobodna, ali nebazična varijabla - Pivot red je neki po volji odabran red u kojem neka druga slobodna varijabla nije bazična 2) Artificijelna varijabla - Cilj nam je izbaciti ju iz baze - Pivot red je po volji odabran red u kojem je artificijelna varijabla bazična, tj. red u kojem artificijelna varijabla ima vrijednost 1 - Pivot stupac je po volji odabran stupac s neartificijelnom varijablom koja je nabazična 3) Nedopušteno rješenje - Negativan broj na desnoj strani, tj. u zadnjem desnom stupcu (stupcu slobodnih članova) - Pivot red je po volji odabran red u kojem slobodna varijabla nije bazična - Pivot stupac je po volji odabran stupac s neartificijelnom varijablom koja nije bazična te uz uvjet da pivot element mora biti negativan. Ako takav element ne postoji to je znak da zadatak nema rješenja 4) Negativan stupac - Negativan element u redu funkcije cilja (zadnji red) - Pivot stupac je stupac s neartificijelnom i nebazičnom varijablom, koji ima najnegativniji koeficijent u redu funkcije cilja - Pivot red je red u kojem slobodna varijabla nije bazična te red u kojem se nalazi najmanji pozitivni kvocijent elemenata desne strane i koeficijenata pivot stupca. U slučaju da takav, pozitivni kvocijent ne postoji, zadatak ima neograničeno rješenje Grafičko prikazivanje Uvjet za grafičko prikazivanje problema linearnog programiranja je postojanje samo dvije strukturne varijable. Grafičko rješenje prikazujemo u koordinatnom sustavu. Da bismo nacrtali graf prvo moramo restrikcije svesti na kanonski oblik. Ako su restrikcije jednadžbe one su predstavljene pravce, ako su nejednadžbe tada one dijele područje na područje dopuštenog rješenja i područje nedopuštenog rješenja. Nedopušteno područje je šrafirano. Osim restrikcija šrafiramo i ovisno o uvjetima nenegativnosti za strukturne varijable. 7
Linearno programiranje (simpleks metoda) Šrafiranje ovisno o strukturnim varijablama: x 2 x 2 x 1 x 1 x 1 slobodna x 2 0 x 2 x 2 x 1 x 1 x 1 0 x 2 - slobodna x 1,2 - slobodne Šrafiranjem definiramo područje dopuštenog rješenja koje može biti zatvoreno, otvoreno (neograničeno rješenje) ili ga ne mora biti (nema rješenja). U slučaju da nam se pojavi artificijelna varijabla dopušteno rješenje može biti samo dužina ili samo jedna točka. Ako u restrikcijama imamo jednadžbu ili jednadžbe tada nam grafički prikaz rješenja može biti: 1. Dužina (od A do B) A B 8
Linearno programiranje (simpleks metoda) 2. Točka (imamo dvije jednadžbe; samo presjek je jedino dopušteno i optimalno rješenje!) T 3. Nema rješenja (imamo dvije jednadžbe čiji je presjek izvan područja dopuštenog rješenja, tj. u području nedopuštenog rješenja određenog nejednadžbama!) T Sve točke dopuštenog rješenja dolaze u obzir kao rješenje. Naravno traži se optimalno rješenje koje je za maksimum maksimalni z, a za minimum minimalni z. Optimalno rješenje tražimo u rubnim točkama dopuštenog rješenja. Optimalno rješenje pronalazimo pomoću dva jednakovrijedna načina: A. Pristup funkcije cilja za z uvrstimo neku konstantnu vrijednost npr. z=0, tj. izjednačimo funkciju cilja s nulom. Taj pravac predstavlja prag dobitka. Obujam proizvodnje pri kojem ćemo postići maksimalan dobitak pronalazimo tako da vučemo paralelu ovog pravca do najudaljenije točke. B. Pristup ekstremnih troškova vrijednosti točaka uvrštavamo u funkciju cilja te tražimo najveći (za max!), tj. najmanji (za min!) rezultat. Zadaci Riješite probleme linearnog programiranja simpleks metodom i grafički: 1. max z = 6x 1 + 10x 2 3x 1 + 5x 2 15 5x 1 + 2x 2 10 9
Linearno programiranje (simpleks metoda) 2. max z = 2x 1 + 4x 2 3x 1 + 2x 2 6 x 1 x 2-1 -x 1 2x 2 1 3. max z = 2x 1 + 3x 2 x 1 4x 2 2 x 1 x 2 5-3x 1 + 2x 2 6 4. max z = 5x 1 + 6x 2 2x 1 + x 2 2 x 1 2 x 1 + x 2 = 4 5. min z = x 1 + x 2 5x 1 +4x 2 = 20 x 1 3 x 1 x 2 = 1 6. max z = x 1 + x 2 -x 1 + x 2 2 x 1 2x 2 2-2x 1 + x 2 1 7. max z = 20x 1 +30x 2 2x 1 + 4x 2 16 2x 1 + x 2 10 4x 2 12 8. max z = x 1 +x 2 x 1 +x 2 4 x 2 3 x 1 2 x 1,2 0 9. min z = -2x 1 +x 2 x 1 +x 2 2 x 1 +x 2 4 x 1,2 0 10
Dual Dual Svaki problem linearnog programiranja (primarni problem) ima svoj dualni problem. Koeficijenti funkcije cilja jednog problema čine desnu stranu ograničenja drugog. Svakoj slobodnoj varijabli odgovara uvjet sa znakom jednakosti (artificijelna varijabla), a svakoj artificijelnoj varijabli odgovara slobodna varijabla. Transformacija u dual ima prednosti u sljedećim slučajevima: a) ako je lakše naći rješenje preko dualnog problema, prelazi se sa primarnog na dualni problem b) ako je u primarnom problemu broj ograničenja puno veći od broja varijabli, onda se simpleks metodom dualni problem može riješiti s manje računskih operacija Za dual vrijede neka pravila: 1. Za svaki linearni problem optimiranja postoji dualni problem. 2. Dualni problem dualnog problema je primarni problem. 3. Ako za primarni problem postoji optimalno rješenje, onda ono postoji i za dualni i obrnuto. 4. Ako primarni problem ima neograničeno rješenje, tada ne postoji dopušteno rješenje dualnog problema i obrnuto. 5. Ako nema dopuštenog rješenja za primarni problem, tada je rješenje dualnog problema neograničeno i obrnuto. 6. Primarne vrijednosti primarnog problema su u početnom rješenju i u optimalnom rješenju jednake dualnim vrijednostima dualnog rješenja i obrnuto. 7. Dualne vrijednosti primarnog problema odgovaraju primarnim vrijednostima dualnog problema i obrnuto. 8. Ostali koeficijenti (osim primarnih i dualnih vrijednosti) razlikuju se u primarnom i dualnom problemu za predznak i u zamjeni redova stupcima. 9. Redovi primarnog problema, čije su bazične varijable artificijelne, pojavljuju se u dualu kao stupci s jednom slobodnom varijablom kao nebazičnom i obrnuto. 10. Stupci primarnog problema čije su nebazične varijable slobodne, pojavljuju se u dualu kao redovi s jednom artificijelnom bazičnom varijablom i obrnuto. Pravila za računanje PRIMARNI PROBLEM prva restrikcija jednadžba druga restrikcija jednadžba... x 1 slobodna varijabla x 2 slobodna varijabla... neograničeno rješenje nema rješenja max! min! DUAL v 1 slobodna varijabla v 2 slobodna varijabla... prva restrikcija jednadžba druga restrikcija jednadžba... nema rješenja neograničeno rješenje min! max! Zadaci 10. Odredite rješenja primarnog i dualnog problema: max z = 3x 1 4x 2 6x 1 + 3x 2 = 24 x 1 + 4x 2 32 x 1 2 11
Dual 11. Pronađite rješenje primarnog problema grafički, transformirajte te riješite dual: max z = x 1 + x 2 x 1 + x 2 2 x 2 = 4 x 1-2 x 1 slob., x 2 0 12. Odredite rješenje primarnog problema simpleks metodom, transformirajte u dual te riješite grafički: min z = 2x 1 4x 2 + 6x 3-2x 1 x 2 + x 3-1 x 1 4x 2 + x 3 = 3, x 3 slob. 13. Transformirajte u dual i riješite: min z = 24v 1 + 32v 2 + v 3 2v 1 + v 2 6 6v 1 3 4v 2 1 v 1 slob., v 2,3 0 14. Dokažite da nema optimalnog rješenja grafom i dualom: min z = 2x 1 + 5x 2 x 1 x 2 4 x 1 + x 2 7 -x 1 + x 2 5 15. Transformirajte i riješite dualom: min z = 2x 3-3x 1 + x 2 + x 3-9 x 3-10 4x 1 x 2-3 2x 1 + 3x 2 3 16. Zadani LP problem transformirajte u dual te ga riješite simpleks metodom: min z = 24v 1 + 32v 2 + v 3 2v 1 + v 2 6 6v 1 3 4v 2 1 v 1 slob, v 2,3 0 17. Pronađite rješenje ovog sustava preko dualnog problema: max z = 0x 1 + 0x 2 2x 1 + 3x 2 12-3x 1 + 2x 2-4 3x 1 5x 2 2 x 1 slob, x 2 0 18. Zadani LP model riješite simpleks metodom te ga transformirajte u dual i riješite! max z = 4x 1 + 12x 2 + x 3 2x 1 + x 3 24 4x 1 + x 2 + x 3 36 x 2 + x 3 18 x 1 slob, x 2,3 0 12
Višekriterijalno programiranje Višekriterijalno programiranje Višekriterijalno programiranje koristimo kada se istovremeno pojavi više ciljeva koje želimo optimizirati, tj. pronaći kompromis. Tako se u problemu planiranja proizvodnje može pojaviti više ciljeva, npr. potreba za maksimizacijom profita, maksimizacijom iskorištenja kapaciteta... Problem kod kojeg se moraju istovremeno maksimalizirati dvije ili više funkcija cilja zove se problem maksimuma vektorske funkcije cilja (PMV). Parametarsko optimiranje koristimo ga za pronalaženje optimalnog rješenja Funkcija cilja parametarskog optimiranja formira se kao stroga linearna konveksna kombinacija r funkcija cilja z 1, z 2,..., z r. Ako se radi samo o dvije funkcije cilja (r=2), tada se problem parametarskog optimiranja pojavljuje u obliku jednoparametarskog linearnog optimiranja: Za parametarski interval uzimamo interval. Karakteristično područje ima veliko značenje u parametarskom optimiranju. To je parametarski interval t s t t s+1 u kojem problem parametarskog optimiranja ima isto rješenje. Granice intervala t s i t s+1 nazivamo karakteristične točke. Rješenje parametarskog optimiranja daje mogućnost određivanja Pareto skupa. Paretto skup predstavlja tablični prikaz procesa parametarskog optimiranja. Vektorski optimum = Parettov optimum Zadaci Riješite probleme višekriterijalnog programiranja parametarskim optimiranjem i grafički: 19. max z 1 = x 1 + x 2 max z 2 = -4x 1 + x 2-2x 1 + x 2 2 x 1 + 2x 2 8 -x 1 + x 2 4 21. max z 1 = 2x 1 max z 2 = x 1 + x 2-3x 1 x 2-12 x 1 x 2 8-2x 1 + 4x 2 8 23. max z 1 = 3x 1 + x 2 max z 2 = -x 1 + 2x 2 x 1 + x 2 4 x 1 3 x 2 3 25. max z 1 = x 2 max z 2 = 2x 1 + 2x 2 2x 1 + x 2 9 x 1 4 x 2 7 20. max z 1 = 4x 1 + x 2 max z 2 = x 2 2x 1 + 6x 2 24 4x 1 + 2x 2 20 22. max z 1 = x 1 + 4x 2 max z 2 = x 1 x 2 x 2 3 x 1 x 2 1 x 1 + x 2 8 24. max z 1 = 6x 1 + 4x 2 max z 2 = x 2 3x 1 + 2x 2 12 x 1 + 2x 2 10 x 1 3 13
Razlomljeno programiranje Razlomljeno programiranje Ako nam je funkcija cilja zadana u obliku razlomka, to znači da imamo slučaj razlomljenog linearnog programiranja. Matematički model razlomljenog programiranja formuliramo ovako: Za računanje možemo koristiti tri metode: 1. Martosheva metoda B. Martosh je 1961. godine pokazao jedan 'algoritam sličan simpleksu' pomoću kojeg je tražio optimalno rješenje. Početna tabela postavlja se kao i kod linearnog programiranja s tim da funkcija cilja zauzima dva reda, u jedan red se unose koeficijenti iz brojnika, a u drugi iz nazivnika. Računamo koeficijente posljednjeg reda. Optimalno rješenje se postiže kada su svi koeficijenti negativni ili nule. 2. Charnes Cooperova metoda Charnes i Cooper riješili su problem pomoću transformacije 3. Dinkelbachova metoda Dinkelbach konstruira pomoćni problem ovako: Vrijednost funkcije cilja z računamo pomoću x 1 i x 2 (ne očitavamo iz tablice), ako je zadatak je riješen, ako je tada računamo dalje (z nam postaje novi z n!) te smanjujemo L, kada se on više ne može smanjiti optimalno rješenje je pronađeno ( ). Zadaci 26. Riješite pomoću sve tri metode: 27. Riješite pomoću Martosheve metode: 3x 1 + 6x 2 30 2x 1 + 8x 2 28 x 1 + x 2 5 2x 1 x 2 1 x 1 3x 2 1 14
Razlomljeno programiranje 28. Riješite pomoću sve tri metode: x 1 + 3x 2 12 4x 1 + x 2 24 29. Riješite slijedeći problem Martoshevom metodom: 2x 1 + x 2 16 x 1 + 4x 2 8 30. Riješite slijedeći problem Charnes-Cooperovom metodom: x 1-2x 2 + x 3 12 x 1 + 2x 2 8 x 1,2,3 0 31. Riješite slijedeći problem Dinkelbachovom metodom: x 1 + 4x 2 12 2x 1 + 2x 2 20 32. Riješite Martoshevom i Dinkelbachovom metodom: x 1 + 2x 2 3 3x 1 + 2x 2 6 15
Cjelobrojno programiranje Cjelobrojno programiranje Kod velikog broja problema linearnog programiranja postoji zahtjev da varijable imaju cjelobrojna rješenja. U sklopu cjelobrojnog programiranja moguće su tri vrste problema: 1. Čisto cjelobrojno programiranje (sve varijable moraju biti cijeli brojevi) 2. Mješovito cjelobrojno programiranje (samo neke varijable moraju biti cijeli brojevi) 3. Binarno programiranje (varijable moraju biti 0 ili 1) kada razmišljamo o alterantivama tipa da - ne Ove probleme rješavamo pomoću specijalnih algoritama koje možemo podijeliti u tri grupe: 1. Metode odsijecanja ravnina (Gomory metoda) koristi se za rješavanje čistog i mješovitog cjelobrojnog programiranja 2. Metode stabla odlučivanja (Metode grananja i ograđivanja) - koristi se za rješavanje čistog i mješovitog cjelobrojnog programiranja 3. Heurističke metode (Metoda enumeracije) za rješavanje problema binarnog programiranja Zadaci Pronađite rješenja za sljedeće zadatke: 33. max z = 21x 1 + 11x 2 7x 1 + 4x 2 +x 3 = 13 x 1,2,3 0 x 1,3 cjelobrojno 35. max z = 3x 1 + 3x 2 x 1 + 3x 2 6 3x 1 + 2x 2 36 x 2 13, cjelobrojno 37. max z = 4/3x 1 2x 2 2/3x 1 2/15x 2 18/15, cjelobrojno 39. max z = 4x 1 + x 2 3/2x 1 + 3/4x 2 13, cjelobrojno 41. max z = 4x 1 + 3x 2 x 1 2x 2 4 4x 1 + 6x 2 24 x 1 2, x 1 -cjelobrojno 34. max z = 4x 1 + 3x 2 x 1 2x 2 4 4x 1 + 6x 2 24 x 1 2, x 1 - cjelobrojno 36. max z = 9x 1 + 15x 2 2x 1 + 4x 2 12 6x 1 + 4x 2 24, cjelobrojno 38. max z = -4x 1 4x 2 3/2x 1 + x2 7, cjelobrojno 40. max z = 9x 1 + 15x 2 2x 1 + 4x 2 12 6x 1 + 4x 2 24, cjelobrojno 42. max z = 7x 1 + x 2 4x 1 4x 2 5 16x 1 12x 2 41, cjelobrojno 16
Ciljno programiranje Ciljno programiranje Kod određenih problema pojavljuje nam se potreba ne za maksimizacijom već za postizanjem određene vrijednosti za z, tj. neki cilj koji želimo postići. Potrebno je pronaći kompromisni program, tj. proizvodni mix ili kombinaciju x 1, x 2,... x n kojima ćemo postići naš cilj, tj. traženu veličinu za funkciju cilja z. U ovom problemu pojavljuju nam se varijable odstupanja: d + - devijacijska varijabla prebačaja (prekoračenja) d - - devijacijska varijabla podbačaja Postoji više modela za rješavanje problema ciljnog programiranja. Jedna od modifikacija formulirana je ovako: Zadaci 43. Management poduzeća je odustao od poljoprivrede i posvetio se proizvodnji dvaju proizvoda P1 i P2. Svaki proizvod prolazi kroz dvije faze F1 i F2. Za P1 potrebna su 2 h u F1 i 3 h u F2. Za P2 potrebno je raditi 6 h u F1 i 5 h u F2. Kapaciteti po fazama su ograničeni na 12 i 30 h, respektivno.prihod koji se ostvaruje je 7 i 6 NJ, respektivno. Zbog preseljenja na novu lokaciju management je odlučio da ne treba maximalizirati prihode, nego da treba napraviti proizvodni mix, koji će ostvariti da prihodi budu 30 NJ. Pronađite takav proizvodni mix! 44. U jednom poduzeću manageri se trebaju dogovoriti oko plana proizvodnje proizvoda A i B. Proizvod A zahtijeva 10 min obrade i 5 min montaže, a proizvod B 10 min obrade i 3 min montaže. Za kontrolu proizvoda A predviđena je 1 min kontrole, a za B 2 min. Na raspolaganju ukupno ima 40 sati za obradu, 20 sati za montažu i najviše 10 sati za kontrolu. Predviđa se da će proizvodi donositi profite od 4 i 2 NJ respektivno, ali i da je potrebno proizvesti više od 160 jedinica proizvoda A. Nakon pomnijeg proučavanja ustanovljeno je da treba postići razinu profita od 1600 NJ. Postavite model za ovaj problem LP-a! 17
Tekstualni zadaci linearno programiranje Tekstualni zadaci linearno programiranje 45. Za proizvodnju proizvoda C1 i C2 koriste se sirovine S1 i S2. Za jedan komad C1 treba utrošiti 8 kg/kom S1 i 4 kg/kom S2, dok za proizvodnju C2 treba utrošiti 4 kg/kom S1 i 4 kg/kom S2. Zbog uvjeta nabave potrebno je utrošiti najmanje 16 kg sirovine S1 i 32 kg sirovine S2. Od proizvoda C1 može se plasirati najviše 2 komada dnevno. a) Odredite dnevni plan proizvodnje ako je cilj maximalni obujam proizvodnje! b) Da li dual ovog modela ima moguće rješenje? 46. Odjel za nabavu jednog poduzeća dobio je zadatak ispitati uvjete nabave sirovine koja se pojavljuje u tri varijante A, B i C. Poslovna politika poduzeća nalaže obvezatno nabavljanje najmanje 800 t te sirovine. Sirovina se podvrgava doradi na grupi strojeva M, čiji je kapacitet rada 200 strojnih sati. U jednom satu doradi se ½ jedinice proizvoda A, 3 jedinice B i jedinica C. U gotove je proizvode potrebno ugraditi istu količini sirovina A i B. Formulirajte LP-model za navedeni problem koji će uvažiti kriterij minimiziranja nabavne vrijednosti sirovine uvjetima kada je nabavna cijena jedinice sirovine 24,30 i 28 NJ, respektivno. 47. Prodajom jedinice proizvoda A i B posredničko poduzeće može analizirati profit od 6 i 4 NJ, respektivno. Ponovljeno istraživanje tržišta je pokazalo da mu je potrebno proizvoda A u količini od 240 jedinica, dok proizvoda B treba između 560 i 1200 jedinica. Koliko bi proizvoda A i B poduzeće trebalo proizvesti ako želi maximalizirati profit uz uvažavanje ova dva tržišna zahtjeva? 48. Elektronska kompanija proizvodi dva proizvoda: svjetiljku i kuhalo. Oba proizvoda prolaze proces proizvodnje kroz faze montiranja i sastavljanja. Potrebno je 2 h za montiranje svake svjetiljke i 3 h za montiranje kuhala. Sastavljanje kuhala i svjetiljke zahtijeva 5, tj. 6 h, respektivno. Na raspolaganju je 12 h za montiranje i 30 h za sastavljanje. Svaka svjetiljka ostvaruje profit od 7 $, a kuhalo od 6 $. a) formulirajte ovaj problem LP-a i riješite ga grafički. b) riješite ovaj problem kao cjelobrojno programiranje. c) pretpostavimo da kompanija seli na novu lokaciju i da iz tog razloga maksimalizacija profita nije realan cilj. Stoga management u periodu novog prilagođavanja postavlja razinu profita od 30 $. Postavite i riješite ovaj problem. 49. Poduzeće x želi, plasirajući na tržište dva nova čaja, poboljšati svoju paletu čajeva. Novi čajevi namijenjeni su prvenstveno djeci, ali se preporučuju i odraslima. Voćni vitaminski čaj (x 2 ), te specijalni instant čaj (x 1 ) dobivaju se miješanjem slijedećih glavnih sastojaka: Sastojci (g) x 1 x 2 Plod šipka List kupine Divlja jabuka Kamilica 6 5 2-2 - - 8 TROŠKOVI (NJ) 8 10 najmanje 42 g ne više od 10 g ne više od 10 g najmanje 24 g Formulirajte LP-model koji će odrediti optimalne količine čajeva koje bi se trebale proizvesti uz uvažavanje zahtjeva za minimalnim troškovima! Ukoliko postoje ne iskorišteni sastojci, navedite koliko iznose. a) riješite problem grafički b) transformirajte problem u dual 50. Poduzeće x bavi se prodajom igračaka. Na tržište želi plasirati dvije nove igračke A i B. Obije igračke trebaju proći završnu fazu montaže. U jednom satu napravi se 10 igračaka A i 24 igračke B. Poduzeću stoji na raspolaganju samo 45 radnih sati. Istraživanje tržišta je pokazalo da je od igračke A potrebno najviše 800 komada, dok je igračaka B potrebno napraviti u količini ne većoj od 1000 komada. Prodaja igračaka A i B donosi 20 i 18 NJ respektivno. Koliko komada igračaka A i B treba proizvesti ako poduzeće želi maksimizirati prihode? Postavite LP-model te ga riješite grafičkim putem! 18
Tekstualni zadaci linearno programiranje 51. Potrebno je izračunati optimalnu mješavinu stočne hrane koja sadrži 4 hranjive komponente K 1, K 2, K 3 i K 4. Na zalihama se nalaze dvije vrste sočne hrane H 1 i H 2. U 1 kg H 1 nalazi se 10% K 1, 10% K 3 i 5% K 4. U 1 kg H 2 nalazi se 10% K 2, 5% K 3 i 10% K 4. Cijena H 1 je 1,2 NJ, a H 2 1 NJ po kg. Mješavina treba sadržavati najmanje 0,8 kg K 1, 1 kg K 2, 4 kg K 3 i 3,5 kg K 4. Odredite onu količinu H 1 i H 2 koju treba uzeti u mješavinu da bi troškovi prehrane bili minimalni. 19
Transportni problem Transportni problem Transportni problem obično predstavlja problem distribucije. Transportnim problemom rješavamo problem transporta te pronalazimo optimalni transportni plan koji ima minimalne transportne troškove transportiranja robe od ishodišta do odredišta uzevši u obzir ponudu ishodišnog mjesta, potrošnju odredišnog mjesta te transportne troškove. Rješenje transportnog problema sastoji se od utvrđenih količina koje se dodjeljuju različitim relacijama. Količine se kreću od nule (toj relaciji neće biti dodijeljena ni jedna količina) do maksimalne veličine, koja je jednaka manjoj od dvije količine u redu (ponuda) i stupcu (potražnja). Količine se dodjeljuju prema principu maksimalne moguće količine. Koristimo matricu oportunitetnih troškova. Rješavanje zadatka sastoji se od tri faze: 1. Postavljanje početnog transportnog plana. Metode: A. Metoda sjeverozapadnog ugla Ova metoda ne vodi računa o troškovima pa nije preporučljiva. Polazimo od gornjeg lijevog ugla (SZ) tako da tom polju dodjeljujemo maksimalnu moguću količinu, tj. manju od dvije moguće količine (uspoređujemo veličine S i D). Taj element nam predstavlja kamen na tom polju. Tada tu manju količinu križamo te ju oduzimamo od veće, razliku koju smo dobili upisujemo u slijedeće polje i tako dok ne dobijemo sve nule na mjestima vrijednosti S i D. B. Intuitivna metoda Na polje s najmanjim troškom u tablici upisujemo maksimalnu moguću količinu, tj. manju od dvije moguće. Precrtavamo cijeli zadovoljeni red ili stupac ili oboje, a preostalu ponudu ili potražnju moramo korigirati. Ponavljamo postupak dok sva polja nisu precrtana. C. Vogelova metoda Najčešće koristimo ovu metodu jer je početni transportni plan kojeg dobijemo pomoću ove metode najbliži optimalnom ako ne i optimalan. 2. Testiranje optimalnosti početnog transportnog plana. Metode: A. Metoda skakanja s kamena na kamen B. Modi metoda 3. Poboljšavanje transportnog plana Posebni slučajevi u problemu transporta 1. Degeneracija - Pojavljuje nam se kada imamo premalo kamenja (m+n-1). Tada dodajemo epsilon ( ) na polje s najvećim troškom u matrici. - Epsilon ili infinitezimalna jedinica predstavlja nam ekstremno malu količinu koja nam neće utjecati na promjenu ponude, potražnje ili troškova. Stavljamo ju kako bi mogli testirati prazna polja, tretiramo ju kao kamen. 2. Neprihvatljive relacije - Da bismo onemogućili ovu pojavu, u početnom transportnom planu potrebno je toj relaciji dodijeliti deset puta veći trošak od najvećeg troška u tablici. U slučaju da je potrebno poboljšanje plana tada vraćamo originalni trošak te dalje normalno računamo. 3. Ponuda različita od potražnje (S D) - Ako nam se pojavi S<D tada dodajemo fiktivni red, a ako imamo S>D tada dodajemo fiktivni stupac. - Cilj nam je izjednačiti ponudu i potražnju (S=D). - Na fiktivna polja (polja fiktivnog reda, tj. stupca) stavljamo nule, a razliku između S i D dopisujemo. - Nule u fiktivnom redu ili fiktivnom stupcu ne uzimamo u obzir prilikom računanja penala. 4. Problem maksimizacije - Ovaj problem pojavljuje se kada u matrici umjesto jediničnih troškova imamo jedinične profite. 20
Transportni problem - Uočavamo najveći profit u tablici te od njega oduzimamo sve ostale profite i njega samog od sebe. Kamenje prepisujemo. Na ovaj način dobili smo matricu oportunitetnih troškova te dalje normalno računamo. Zadaci 52. Za sljedeći transportni problem postavite matematički model te riješite problem: 6 8 12 60 8 8 14 80 12 6 10 100 4 5 8 80 100 200 40 53. Pronađite minimalne troškove za transportni plan: 5 8 4 7 3 6 S = 40, 60 D = 20, 50, 30 0 2 1 2 1 5 2 4 3 54. Riješite transportni problem: S = 5, 10, 5 D = 5, 5, 10 55. Da li je x optimalan plan troškova za matricu jediničnih troškova c? 17 15 0 7 5 9 x = 0 10 6 c = 10 8 6 0 0 10 15 12 10 56. Radionica tjestenine proizvodi u tri pogona u planskom razdoblju 70, 80 i 100 kg tijesta. Tijesto se dostavlja u 5 trgovina, čije su potrebe u planskom razdoblju 80, 40, 30, 60 i 30 kg tijesta. Minimalizirajte troškove, ako su jedinični troškovi dani tablicom: 6 13 6 14 20 12 10 8 10 18 14 18 7 12 16 57. Pronađite optimalan plan transporta koji će minimalizirati podatke zadane tablicom: 26 36 42 120 36 24 30 40 42 38 28 60 40 40 34 96 150 80 80 59. Riješite transportni problem: 4 3 5 80 10 1 2 140 3 8 6 110 100 150 80 58. Na temelju zadanog problema transporta postavite početno rješenje, testirajte ga i poboljšajte ukoliko je potrebno. Koliki su minimalni troškovi transporta: 16 24 48 20 32 16 20 40 40 26 30 60 32 48 26 100 80 60 60 60. Riješite transportni problem: 7 2 4 40 3 8 9 25 10 35 20 61. Petar bi želio danas popiti 4 limenke piva, a sutra 3. Marko je voljan prodati danas 5 limenki piva po cijeni od 80 kn/kom, a sutra po cijeni od 72 kn/kom. Pavle je voljan prodati danas maksimalno 4 limenke po cijeni od 77 kn/kom, a sutra po 75 kn/kom. Kako će Petar minimalizirati troškove prilikom realizacije svoje želje? 21
Asignacija Asignacija Asignacija je poseban problem transportnog problema. Problem asignacije je problem raspoređivanja. Primjer: potrebno je n ljudi rasporediti na n radnih mjesta, a da pri tome raspored bude optimalan (s minimalnim troškovima ili maksimalnom dobiti po radniku). Osnovne pretpostavke: 1. Jedan na jedan jedan radnik na jedno radno mjesto 2. Cilj je optimalizacija minimalizacija troškova, vremena... ili maksimalizacija profita, dobiti, prihoda...) 3. Troškovi (profiti) su poznati ili se mogu procijeniti 4. Problem asignacije rješavamo mađarskom metodom! U slučaju minimalizacije imamo matricu uspješnosti, dok u slučaju maksimalizacije imamo matricu profita. Posebni slučajevi u problemu asignacije 1. Višestruka optimalna rješenja Ovaj slučaj pojavljuje nam se kada imamo više redova sa jednakim brojem nula (dvije ili više). Tada markiramo nulu po volji, a u drugoj (identičnoj) matrici napravimo alternativni plan u kojem su različite dodjele (markirane nule), ali je jednak ukupni trošak. 2. Problem maximizacije Pojavljuje se kada imamo zadanu matricu profita te trebamo pronaći matricu oportunitetnih troškova. U svakom stupcu pronađemo najveći profit te od njega oduzmemo ostale elemente i njega samog od sebe. Po potrebi radimo redukciju po retku i dalje normalno računamo. 3. Broj redova različit od broja stupaca Broj redova i stupaca mora biti jednak! Ako to nije tako tada dodajemo fiktivni red ili fiktivni stupac čiji su elementi nula te dalje normalno računamo. 4. Neprihvatljive dodjele Pojavljuje se kada na nekim mjestima u matrici imamo relacije koje nisu prihvatljive te im je dodana oznaka M. Tu oznaku zanemarujemo te je do kraja samo prepisujemo. Pravila za računanje 1. Redukcija po stupcu: ako nemamo nulu u svakom stupcu tada radimo redukciju po stupcu pronađemo najmanji element u stupcu i oduzimamo ga od svih i od njega samog. 2. Redukcija po retku: ako nemamo nulu u svakom redu tada radimo redukciju po retku redove u kojima nemamo nulu reduciramo, pronalazimo najmanji element te ga oduzimamo od svih ostalih i njega samog, a redove u kojima imamo nulu samo prepisujemo, tj. oduzimamo nulu. 3. Mađarska metoda: pronalazimo red s najmanjim brojem nula te jednu nulu u tom redu markiramo. Ostale nule u redu i stupcu te, markirane nule, precrtavamo. Ponavljamo dok sve nule nisu markirane ili precrtane. 4. Označavamo sve redove koji nemaju markiranu nulu; označavamo stupce koji u označenim redovima imaju precrtanu nulu; u označenim stupcima tražimo markirane nule i označavamo njihove redove. 5. Precrtavamo sve neoznačene redove i označene stupce. 6. Pronalazimo najmanji među neprecrtanim elementima. Oduzimamo ga od svih ostalih neprecrtanih elemenata i njega samog od sebe, pribrajamo ga elementima na sjecištima linija, a sve ostale elemente (precrtane samo jednom linijom) prepisujemo. Zadaci 62. Pronađite optimalni plan dodjela koji će minimizirati troškove zadane matricom: 3 9 9 2 5 4 5 1 6 3 8 4 5 7 2 1 2 4 3 7 7 4 3 8 2 22
Asignacija 63. Za zadanu matricu profita načinite optimalni plan dodjela: 170 160 135 120 110 280 260 250 225 220 305 300 270 280 280 330 310 280 325 320 355 360 335 320 350 64. Pronađite plan kojim će se minimizirati troškovi: 18 14 16 12 12 18 14 20 6 M 8 18 M 10 10 6 65. Pronađite optimalni plan dodjela koji će minimizirati troškove zadane matricom: 4 10 18 12 16 20 16 16 10 10 18 16 24 18 16 14 66. Za zadanu matricu profita načinite optimalni plan dodjela: 26 32 48 26 52 64 26 38 46 40 38 24 38 38 28 20 67. Šestorici apsolvenata ponuđeno je neposredno prije završetka studija šest radnih mjesta. Svako mjesto nije jednako privlačno za svakog apsolventa. Zato im je ponuđena lista na kojoj svaki može ocijeniti privlačnost brojkama od 0 do 20: 4 8 16 20 12 0 16 20 8 0 4 12 0 12 4 16 20 8 4 0 16 12 20 8 20 16 12 0 4 8 12 16 0 8 20 4 Treba izvršiti raspored apsolvenata na radna mjesta da suma njihovog stupnja zadovoljstva bude maksimalna! 68. Dva radnika raspoređena su na dva radna mjesta. Produktivnost prvoga iznosi na prvom mjestu 4, a na drugom 2 jedinice. Produktivnost drugoga iznosi na prvom mjestu 3, a na drugom 5 jedinica. Izračunajte optimalni raspored kod kojega je ukupna produktivnost najveća. 23
Trgovački putnik Trgovački putnik Problem trgovačkog putnika zadan je matricom udaljenosti. Problem rješavamo mađarskom metodom. Primjer: Kojim redoslijedom putnik mora obići gradove ako se zna da mora krenuti iz grada A, obići sve gradove i vratiti se u grad A uz uvjet minimalizacije troškova? Drvo odlučivanja započinjemo čvorom koji sadrži sve cikluse te se grana na dva ciklusa: ciklus koji sadrži vezu, npr. A-B, i onaj koji ju ne sadrži. Za to, daljnje, grananje izabiremo ciklus koji u sebi sadrži grad iz kojeg putnik mora krenuti, a ako grad polaska nije zadan onda granamo prema ciklusu sa manjom ukupnom vrijednošću. Zadaci 69. Riješite problem trgovačkog putnika zadanog matricom udaljenosti A: 8 12 24 8 26 18 12 46 20 24 40 20 71. Riješite problem trgovačkog putnika zadanog matricom udaljenosti A: 16 12 10 8 4 12 6 8 14 12 16 20 70. Riješite problem trgovačkog putnika zadanog matricom udaljenosti A: 24 30 48 24 18 54 30 18 62 48 54 62 72. Riješite problem trgovačkog putnika zadanog matricom udaljenosti A: 8 12 22 8 18 16 12 18 14 22 16 14 73. Utvrdite kojim redoslijedom trgovački putnik treba obići predviđena mjesta ako želi minimalizirati troškove putovanja zadane slijedećom tablicom: 6 18 12 6 10 14 18 10 6 12 14 6 24
Teorija igara Teorija igara Cilj teorije igara je odrediti, tj. izabrati optimalnu strategiju. Elementi strategijske igre: 1. Igra skup pravila i dogovora po kojima se igrači ravnaju 2. Strategija skup uputa za igrača, koji sadrži sve poteze koji bi mogli doći u obzir tijekom jedne partije 3. Partija svaka pojedina realizacija igre Pravila igre: A. Jednim potezom igrač donosi samo jednu odluku B. Izbor jednog igrača nije poznat drugom igraču prije no što se ovaj odluči za vlastiti potez, ali su poznate sve mogućnosti izbora za oba igrača C. Visina dobitka (gubitka) dana je matricom plaćanja Podjela igara 1. Igre protiv protivnika igre između dva igrača. Igrači igraju jedan protiv drugoga na način da je dobitak jednoga ujedno i gubitak drugoga. A. Igre sa sedlom (striktno determinirane igre) igra je zadana matricom plaćanja. Igrači nastoje izborom svojih strategija maksimizirati svoj minimalni dobitak, odnosno minimalizirati svoj maksimalni gubitak. Primjenjujemo čistu strategiju. Za odabir optimalne strategije za svakog igrača koristimo: a. von Neumann-ov kriterij (minimax) b. dominaciju B. Igre bez sedla (nestriktno determinirane igre) primjena mješovite strategije. Koristimo Mϋller- Merbach-ovu metodu (LP model). Müller-Merbachova metoda Igrač A uvijek ostvaruje dobitak (nastoji maksimizirati svoj minimalni dobitak), a igrač B gubitak (nastoji minimalizirati svoj maksimalni gubitak). M = a b c d y 1 y 2 x 1 A 1 x 2 A 2 B 1 B 2 Igrač A: max D = v ax 1 + cx 2 v bx 1 + dx 2 v x 1 + x 2 = 1, v slob. Igrač B: min D = v ay 1 + by 2 v cy 1 + dy 2 v y 1 + y 2 = 1 y 1,2 0, v slob. 2. Igre protiv prirode igrač u igri protiv prirode igra svoju najbolju strategiju i pri tome je posve indiferentan prema prirodi. Optimalne strategije određuju se pomoću tri kriterija: A. Laplaceov kriterij po ovom kriteriju sve su vjerojatnosti iste i igrač za svoju strategiju bira red za koji vrijedi: max [1/n * a i1 + 1/n * a i2 +... + 1/n + a in ] n broj stupaca B. Hurwitzov kriterij optimizam igrača izražava se brojem alfa (α), takvim da je 0<α<1. Ako se uzme da je alfa bliže 1, igraču je stalo do reakcija prirode, a ako je alfa bliže 0 tada igraču nije stalo do reakcija prirode. Igrač za svoju strategiju bira red za koji vrijedi: max [α * A i + (1- α) * a i ] A i maksimalni element reda; a i minimalni element reda 25
Teorija igara C. Savage-ov kriterij radimo redukciju matrice tako da pronađemo najveći element svakog stupca i od njega oduzmemo sve ostale elemente i njega samog od sebe. Dobijemo matricu žaljenja! Zatim pronađemo najveći element svakog reda u novoj matrici, ispišemo ga sa strane i nađemo minimalni od tih maksimalnih elemenata (minimax). Taj broj predstavlja optimalnu strategiju za igrača. Zadaci 74. Odredite optimalnu strategiju za igrače: 8 0-6 -1 6 4 3 5 8-4 1 5 75. Riješite slijedeću matričnu igru (za oba igrača): -1 2 3 1 76. Matricom plaćanja zadana je igra. Ako se radi o igri sa sedlom, postavite LP-model, u suprotnom riješite matricu igre: 6 10 12 8 8 14 8 16 12 12 14 20 8 10 6 18 77. Zadana je igra protiv prirode. Pronađite optimalne strategije za igrača A prema svim kriterijima: PRIRODA A1 12 18 15 A2 17 10 14 A3 22 16 10 A4 14 14 14 78. Dvije konkurentske firme vrše EP u novinama i na plakatima. U svakom planskom periodu potrebno je odlučiti se za određenu soluciju. Manager A došao je do slijedećih zaključaka: - A će postići dobit od 100 NJ, ako se odluči za propagandu u novinama u slučaju da se B odluči za isto, a dobit će mu biti 0 ako B preferira plakat. - ako bi se A odlučio za propagandu plakatima mogao bi izgubiti 100 ili dobiti 200 NJ, ovisno o tome, preferira li B novine ili plakate. Koju će odluku donijeti manager A? 79. Poduzeće strojogradnje može se opredijeliti za tri vrste strojeva S1, S2 i S3. Od mogućih okolnosti poduzeće je u situaciji da uzme u obzir tri moguće O1, O2 i O3. Za tri moguće strategije i tri okolnosti poduzeće mora utvrditi pojedinačne efekte i to pomoću slijedećih kriterija: Neumann, Laplace, Savage i Hurwitz (α = 0,75). STRATEGIJA O1 O2 O3 S1=investicijska dobra 30 4-10 S2=aparati za domaćinstvo 15 12 0 S3=specijalni strojevi 6 6 6 80. Grafičkim putem riješite matričnu igru: 0 3 3 0 81. Pronađite rješenje igre zadane matricom plaćanja: 6 2 5 4 3 7 5 5 6 26
Teorija igara 82. Igrači A i B biraju nezavisno jedan od drugoga brojeve 1, 2 i 3. Ako obojica izaberu isti broj, A plaća tu svotu. Ako izaberu različite brojeve, tada B plaća igraču A svotu jednaku broju koji je izabrao igrač A. a) Konstruirajte matricu plaćanja za taj problem. b) Pronađite optimalnu strategiju za igrača A. 83. Grafičkim putem pronađite optimalne strategije za igrače: 4-2 1 3 27
Mrežno programiranje Mrežno programiranje Cilj mrežnog programiranja je uskladiti sve aktivnosti koje su potrebne za izvršavanje nekog projekta i pregledno ih grafički prikazati u mreži. Pri tome se mora paziti da se usklade sve vremenske zavisnosti između pojedinih aktivnosti jer metode mrežnog programiranja stavljaju u prvi plan strogo planiranje i kontrolu vremena. Da bismo nacrtali mrežni dijagram potrebno ja poznavati cjelokupni projekt, tj. ekonomske, organizacijske i tehničke mjere vezane za izradu novog projekta, sustava... Nakon toga proces se dijeli u aktivnosti te se zatim istražuju i utvrđuju zavisnosti među aktivnostima. Polazi se obično od završetka projekta i postavlja se pitanje koje se aktivnosti moraju završiti do te aktivnosti te koje aktivnosti mogu početi istovremeno s tom aktivnošću. Kada smo to utvrdili možemo sastaviti tablicu (kakve su nama zadane) na temelju koje crtamo mrežni dijegram. Kod crtanja mrežnih dijagrama treba se pridržavati pravila da svaka aktivnost (strijelica) mora početi i završiti događajem (čvorom). Prikazivanje i kontrola vremena sastoji se od dva koraka: I. Postavljanje aktivnosti u logičan redoslijed jedna aktivnost mora završiti da bi druga počela II. Analiza vremena - najranijeg početka aktivnosti, najkasnijeg završetka aktivnosti te utvrđivanja kritičnog puta, tj. optimalnog rješenja. Do optimalnog rješenja dolazimo metodama: A. Metoda kritičnog puta (CPM metoda Critical Path Method) Ova metoda ima jedno vrijeme trajanja aktivnosti t ij. Cilj ove metode leži u utvrđivanju trenutka početka i završetka određene aktivnosti i u izračunavanju završetka projekta (možemo ga očitati u zadnjem čvoru). U slučaju da više strijelica vodi u isti čvor, tada je najraniji početak nastupa događaja (lijevi broj u čvoru) jedna najvećem (max) krajnjem roku strijelice koja ulazi u njega. Biramo max zbog toga što sve aktivnosti koje vode u taj čvor moraju završiti da bi nova aktivnost mogla započeti. Na kraju se dobije najraniji završetak posljednjeg čvora koji ujedno pokazuje najraniji završetak čitavog projekta. Sve aktivnosti kod kojih su najkasniji dopustivi završni rokovi i najraniji mogući početni rokovi jednaki zovu se kritične aktivnosti i one čine kritični put (stazu) po čemu je metoda i dobila ime. Sve aktivnosti koje nisu kritične imaju vremensku rezervu koja se satoji od razlike najkasnijeg dopustivog roka i najranijeg mogućeg roka. Postoje tri vrste vremenske rezerve: a) Ukupna (totalna) vremenska rezerva ( ) pokazuje koliko se vremenskih jedinica može pomaknuti pojedina aktivnost (naprijed ili nazad) ako susjedne aktivnosti, s obzirom na ovo pomicanje zauzmu najpovoljniji položaj. b) Slobodna vremenska rezerva ( ) dobije se ako aktivnosti koje slijede i one koje prethode počnu što je prije moguće. c) Nezavisna vremenska rezerva ( ) dobije se ako sve aktivnosti koje slijede počnu što je prije moguće, a aktivnosti koje prethode završe toliko kasno koliko je dopušteno. B. PERT metoda Razlikuje se od CPM metode po vremenima trajanja aktivnosti. Dok kod CPM metode imamo samo jedno vrijeme aktivnosti, kod PERT metode imamo tri vremena trajanja aktivnosti, tj. postoje tri vremenske procijene, a to su: - a ij optimistično vrijeme najkraće moguće vrijeme u kojem se mogu izvršiti neke određene aktivnosti - m ij najvjerojatnije vrijeme trajanja aktivnosti - b ij pesimistično vrijeme najduže vrijeme koje bi bilo potrebno za izvršenje određene aktivnosti Na osnovi ovih vremena računamo očekivano vrijeme te pomoću njega crtamo mrežni dijagram kao i kod CPM metode te dobijemo kritični put. Varijanca pokazuje odstupanje od podataka koji se uzimaju kao reprezentativni. Što su odstupanja manja, to je vrijeme trajanja aktivnosti pouzdanije. 28