Tézy matematika 1. Množiny, základné pojmy a vzťahy 1. Vysvetlite obsah pojmov množina, prázdna množina, disjunktné množiny, popíšte vzťahy medzi množinami (podmnožina, rovnosť množín) a operácie s množinami pomocou Vennových diagramov.. Pre počty prvkov zjednotenia dvoch množín platí A B = A + B A B. Odvoďte vzťah pre počet prvkov zjednotenia troch množín. a) Dopravná hliadka kontrolovala technický stav bŕzd a riadenia. Za neuspokojivý stav riadenia z 5 kontrolovaných vodičov dali pokutu 15 vodičom, za zlý stav bŕzd pokutovali 1 vodičov. V poriadku bolo 0 vozidiel. Koľko vodičov platilo a) len za brzdy b) len za riadenie c) za brzdy aj riadenie? b) Dané sú množiny : A={x R; x 6}; B={x R; -1 x < 8}; C={x R; x < }. Určte: A B; B C; B C; (A C) R. c) Koľko čísel, ktoré nie sú deliteľné dvomi ani piatimi je medzi prirodzenými číslami od 1 do 000? d) Z dvoch príkladov v písomke vyriešilo len jeden príklad 16 žiakov, obidva príklady 7 žiakov a ani jeden z príkladov 1 žiakov. Prvý príklad pritom vyriešilo dvakrát viac žiakov ako druhý. Koľko žiakov vyriešilo druhý príklad?. Výroky a ich pravdivostné hodnoty 1.Vysvetlite obsah pojmov výrok, pravdivostná hodnota výroku, negácia výroku, výroky s kvantifikátormi, základné logické spojky, tautológie. Vyslovte negáciu výroku: Karol príde na oslavu práve vtedy, keď príde Jozef.. Dokážte pomocou tabuľky pravdivostných hodnôt, že De Morganove pravidlá pre negáciu zložených výrokov (A B, A B, A B, A B) sú tautologie. a) Stavbári tvrdili: Ak subdodávatelia A, B splnia včas svoje úlohy, dokončíme stavbu. Neskôr sa ukázalo, že ich tvrdenie nebolo pravdivé. Čo z toho možno usúdiť? b) Peter tvrdí: Ak príde Adam a Braňo, príde aj Cyril. Pavol tvrdí: Keď príde Adam a nepríde Cyril, nepríde ani Braňo. Hovoria to isté? c) Negujte výroky: Do školy prídu aspoň desiati. Prídu práve piati. Každé kladné číslo je párne. Najviac traja odídu. Prší a je zima. d) Mama sa chystá upiecť koláče. Ostatní členovia rodiny vyslovili želania: Otec: Upeč makovník alebo orechovník. Syn: Ak upečieš orechovník,tak upeč aj makovník alebo buchty. Dcéra: Ak upečieš buchty aj makovník, tak nepeč orechovník. Mama upiekla len orechovník. Komu splnila želanie?
Teória čísel 1. Vysvetlite pojmy deliteľnosť, deliteľ, násobok, prvočíslo, zložené číslo, nesúdeliteľné čísla, kritériá deliteľnosti, najväčší spoločný deliteľ, najmenší spoločný násobok. Objasnite princíp základných druhov dôkazov matematických viet (priamy, nepriamy, sporom, matematická indukcia).. a) Dokážte (priamo) : Pre každé prirodzené číslo n platí: ak n nieje deliteľné tromi, potom číslo n 4 + je deliteľné tromi. b) Dokážte (nepriamo): Pre každé prirodzené číslo n platí: ak n + je deliteľné tromi, potom n nieje deliteľné tromi. c) Dokážte (sporom): Ani jedna mocnina čísla sa nerovná súčtu piatich za sebou nasledujúcich prirodzených čísel. d) Dokážte (matematickou indukciou): Pre každé prirodzené číslo n platí: 1 1 1 n a) + +... + = 5 5.7 ( n 1. )( n + 1) n + 1 0 1 n 1 1 b) + + + + = 1 1!!! n! n! + 1 1 e) a, b R,( a + b). + 4. Dokážte sporom. a b a) Určte najväčší spoločný deliteľ a najmenší spoločný násobok čísel: 1. 910, 10. 6, 96, 196 b) Ak postavíme žiakov do štvorstupu, päťstupu, šesťstupu, osemstupu alebo deväťstupu, vždy nám zvýšia traja. Aký je najmenší počet žiakov? c) Určte všetky dvojice prirodzených čísel x, y, pre ktoré platí: D (x, y) = 6; n (x, y) = 7. 4. Kombinatorika 1. Vysvetlite kombinatorické pojmy: pravidlo súčtu, pravidlo súčinu, variácie, variácie s opakovaním, permutácie, kombinácie, faktoriál, kombinačné číslo, Pascalov trojuholník, binomická veta. n +. Dokážte, že pre každé n, k N 0, kde n k 0 platí: + n n 1 =. k k + 1 k + 1 Na základe tohto vzťahu ukážte, že platí: + 4 5 6 7 + + + =. a) a) Riešte rovnicu v množine prirodzených čísel: n n n n 4 44 79 + 7 = 0 1 n n n n b) Určte počet všetkých štvorciferných čísel deliteľných deviatimi, ktoré možno zostaviť z číslic 0, 1,, 5, 7, pričom sa číslice môžu opakovať. c) Dané sú dve rovnobežky p, q. Na priamke p zvoľte 5 rôznych bodov P 1,..., P 5 a na priamke q 4 rôzne body Q 1,..., Q 4. Koľko trojuholníkov s vrcholmi P 1... Q 4 existuje? d) Určte hodnotu výrazu ( + ) 4 pomocou binomického rozvoja. e) Ktorý člen binomického rozvoja výrazu obsahuje x 4? f) Koľkými nulami končí 100!? 1 1 x +, kde x 0, neobsahuje x, x
5. Úprava algebraických výrazov a mnohočlenov, binomická veta. 1. Zapíšte základné vzťahy využívané pri úpravách výrazov a mnohočlenov (vťahy pre rozklady výrazov: a b, ( a ± b) n - binomická veta, ax + bx + c, vťahy pre úpravy výrazov s absolutnymi hodnotami, mocninami a odmocninami, goniometrickými funkciami).. Dokážte, že zápis a(x x 1 ).(x x ) je zápis kvadratického trojčlena ax + bx + c. Zjednodušte výrazy: a) + 10 + 15 1 1 a b ab + a b a b 1 1 1 1 a b. ab + a b+ 1 b) ( )( ) c) x x + 1 5x x + 4 d) x sin x + sin 5x sin x e) cos x + cos5x cosx f) Nech P je množina všetkých riešení rovnice sin x cos x = a 1 s parametrom a R v R. Určte podmienky pre parameter a tak, aby množina riešení bola neprázdna. 6. Vlastnosti funkcie 1. Vysvetlite pojmy: funkcia, definičný obor a obor hodnôt funkcie, vlastnosti funkcie (monotónnosť, ohraničenosť, párnosť, extrémy funkcie, periodickosť, inverznosť, zložená funkcia). x + 1. Daná je funkcia f: y =. Určte jej definičný obor, obor hodnôt, monotónnosť a dokážte, že je x klesajúca na intervale (; ). x + x + a) Určte, či sa rovnajú funkcie f : y = a g : y = x x 1 b) Daná je funkcia f : y =. Určte jej definičný obor, párnosť a ohraničenosť. x + 1 c) Určte inverznú funkciu k funkcii f : y = x + 5 ; ak existuje, načrtnite jej graf. 4 d) - Aká funkcia vznikne zložením vonkajšej funkcie f: y = x x + 7 a vnútornej funkcie h: y = x 1? - Určte lineárnu funkciu g(x), ak f(x) = x + a g[f(x)] = x. e) Určte definičné obory funkcií f, g, h, ak: sin x h : y =. 1+ cos x 0 + x x f : y =, x 16 1 g : y =, x x
7. Lineárne funkcie, rovnice, nerovnice 1. Uveďte charakteristické vlastnosti lineárnej funkcie (predpis funkcie, konštantná funkcia, priama úmernosť, rastúca, klesajúca, smernica priamky, vplyv koeficientov na graf funkcie), popíšte spôsoby riešenia lineárnych rovníc, nerovníc a ich sústav (rovnice a nerovnice s absolútnou hodnotou, s odmocninou, s parametrom). x 5. Daná je funkcia f: y =. Určte D(f), H(f), a potom dokážte, že na intervale x + 1 (- ;-1) (6; ) platí: f(x) >1. x 1 x 7 5x a) Riešte rovnicu ( 1 4x) = v množine prirodzených čísel. 4 6 b) Riešte v R nerovnicu x + 1 + 1> x - c) Riešte rovnicu s parametrom t : t x - t = x - 1 v mn. reál. č. d) Riešte v RxRxR sústavu rovníc : x + y - z = -8 -x + y + z = 10 x - y + z = 5 e) Rozdeľte číslo 100 na tri sčítance tak, aby aritmetický priemer dvoch z nich bol 1 a aritmetický priemer druhých dvoch z nich bol 4 f) Urobte diskusiu o počte riešení rovnice x + 1 + x - = a, ak parameter a R. g) Určte inverznú funkciu f -1 + x k funkcii f: y =. Určte D(f -1 ), H(f -1 ). x 8. Kvadratické funkcie, rovnice a nerovnice 1. Definujte kvadratickú funkciu, uveďte jej charakteristické vlastnosti, popíšte jej graf, vysvetlite hľadanie vrcholu paraboly doplnením na druhú mocninu dvojčlena, prípadne pomocou derivácie, hľadanie priesečníkov paraboly s osami. Objasnite riešenie kvadratických rovníc (normovaná, rýdzokvadratická, bez absolútneho člena, diskriminant a počet koreňov) a nerovníc (doplnením na štvorec, rozkladom na súčin, graficky).. Dokážte (priamo) : Pre každé prirodzené číslo n platí: ak n nieje deliteľné tromi, potom číslo n 4 + je deliteľné tromi. a) Ak existuje, napíšte rovnicu kvadratickej funkcie, ak platí: f(0) = 4, f(-1) = 9, f(1) = Načrtnite jej graf a určte jej vlastnosti. b) Načrtnite grafy funkcií: f: y = x 4x - 1 a g: y = x + 4 x + a určte ich vlastnosti. c) Riešte rovnice s parametrom v R: (m 1)x + mx + 1 = 0 4x (a 4)x + 1 = 0. d) Graficky riešte nerovnicu v R: x 1x + 10 > x 1x + 10. e) Daná je funkcia f: y = -x + 4x Určte obsah množiny ohraničenej grafom f s osou o x pre x 0,. f) Vo funkcii f: y = x +px + q určte p, q R tak, aby funkcia nadobudla v bode x = 1 minimum s hodnotou y = Ako musíme zmeniť funkciu f, aby v bode x = 1 mala maximum s hodnotou y =?
9. Mocninové funkcie, mocniny a odmocniny, riešenie rovníc a nerovníc s mocninami a odmocninami. 1. Definujte mocninovú funkciu s celočíselným a racionálnym exponentom a porovnajte grafy funkcií y = x n pre rôzne hodnoty n Z(R) a určte jej vlastnosti. Vysvetlite pojmy: n-tá mocnina čísla a, základ mocniny, exponent, n-tá odmocnina čísla a, základ odmocniny, odmocniteľ. Zapíšte vzťahy pre počítanie s mocninami a odmocninami. 4 8 16. Dokážte, že.. = Zjednodušte: 1 1 a) x x + 4 x x x + x x x 1. 1 + + 7 +. 7 b) Riešte v R rovnicu: x + 5 + x 7 = x c) Načrtnite graf funkcie f : y = x + 1 4 4 d) Porovnajte čísla: ( 4 7 ) a ( 6 ) e) Riešte v R nerovnicu: 10x x < 6 x f) Načrtnite grafy funkcií f: y = x ; g: y = x -. Riešte v množine reálnych čísel nasledujúce rovnice a nerovnice: a. x - = x b. x - < x c. x - x 10. Goniometrické funkcie, rovnice a nerovnice. 1. Definujte goniometrické funkcie sínus, kosínus, tangens, kotangens pre α 0, π, pomocou grafov určte ich vlastnosti (definičné obory, obory hodnôt, monotónnosť, párnosť, ohraničenosť, periodičnosť). Určte hodnoty π π π π goniometrických funkcií v bodoch 0,,,, a popíšte na základe súmerností a periodičnosti grafov 6 4 určenie hodnôt goniometrických funkcií pre α R ako goniometrickú funkciu vhodného uhla β 0, π. Zapíšte vlastnosti a vzťahy využívané pri úpravách goniometrických výrazov. sin x + sin x. Dokážte, že platí: = cot gx ; pre každé x R k. π, k Z. cosx cos x π a) Načrtnite graf funkcie f : y = cos x, vysvetlite vplyv parametrov na graf funkcie danej rovnicou: y 4 = a.sinb(x c) + d. b) Určte definičné obory funkcií f a g, ak f : y = sin x, g : y = logtgx. c) Vyjadrite sin x, cos x pomocou funkcií uhla x. tgx d) Riešte v R rovnice: 1 tgx + tg x tg x +... = 1+ tgx sin x + sin x cos x = 0 e) Riešte v R nerovnicu: sin x + 1 < sin x
11. Exponenciálne a logaritmické funkcie, rovnice, nerovnice. 1. Definujte exponenciálnu a logaritmickú funkciu, načtnite grafy týchto funkcií s vyznačením ich význačných bodov [0, 1], [1, a], ([1, 0] [a, 1]), rozhodnite o raste, resp. klesaní funkcie a x (log a x) v závislosti od čísla a, rozhodnite o ohraničenosti funkcií, určte definičný obor a obor hodnôt funkcií. Vysvetlite pojmy: logaritmus, dekadický logaritmus, prirodzený logaritmus, zapíšte vzťahy pre počítanie s logaritmami.. Dokážte, že pre reálne čísla m > je funkcia f m : y = klesajúca. m + x a) Načtnite grafy funkcií: : y = x f, g : y = + log5 ( x + ) b) Riešte v R rovnice: 9 x+1-7.9 x+1 = 16. x+ 15 =. ( x + x-1 + x- +...) log x c) Riešte v R rovnice: = log 4x 15 u ( ) 8 4x + log u+ = log8 x < d) Riešte v R nerovnicu: ( ) 1 e) Určte x R, pre ktoré platí: f(x)<g(x), ak x 1 1 f : y =, 4 1 g : y = 8 x + 1. Zhodné zobrazenia, zhodnosť 1.Definujte zhodné zobrazenie v rovine, vysvetlite pojmy: samodružný bod, samodružný útvar, priama zhodnosť a nepriama zhodnosť. Popíšte zhodné zobrazenia ako zobrazenia vzniknuté zložením osových súmerností (osová súmernosť, identita, stredová súmernosť, posunutie, otočenie). Zapíšte vety o zhodnosti trojuholníkov.. Dokážte, že osi vnútorných uhlov rovnobežníka ohraničujú obdĺžnik. a) Dané sú rovnobežky a, b preťaté priečkou c, kde c X a,b. Zostrojte všetky štvorce ABCD tak, že A a, B, D b, C c. b) Dve rovnobežky a, b sú preťaté priečkou c. Zostrojte kružnicu k tak, aby sa dotýkala všetkých troch priamok. c) Daná je kružnica k, priamka p mimo nej a bod A tak, že A p, k. Zostrojte rovnostranný trojuholník ABC, pre ktorý platí, že B p, C k (využite otočenie). Aký môže byť počet riešení? d) Dané sú rôznobežky p, q a bod F, F p, q. Zostrojte štvorec ABCD so stredom F tak, že A p, C q. e) Opíšte, ako zostrojíme lichobežník ABCD, ak sú dané jeho základne a, c a uhlopriečky e, f. Vyjadrite uhol uhlopriečok e, f.
1 Podobné zobrazenia, podobnosť. 1.Definujte podobné zobrazenie v rovine, vysvetlite pojem koeficient podobnosti. Napíšte vety o podobnosti trojuholníkov. Definujte rovnoľahlosť, vysvetlite pojmy stred a koeficient rovnoľahlosti, samodružný bod, popíšte vlastnosti rovnoľahlosti.. Dokážte pomocou podobnosti trojuholníkov Euklidovu vetu o výške a odvesne. a) Dané sú rôznobežky a, b a bod M, ktorý nepatrí ani jednej z nich. Zostrojte všetky kružnice, ktoré prechádzajú bodom M a dotýkajú sa priamok a, b. b) Zostrojte trojuholník ABC, ak AB : AC = : 5, α = 60 a polomer kružnice vpísanej do trojuholníka je 1,8 cm. c) Zostrojte kosoštvorec, ak jeho strana a = 6 cm a pomer uhlopriečok e : f = : 4. d) Zostrojte použitím vety o podobnosti trojuholníkov úsečku b = cm, c = 5 cm. e) Zostrojte úsečku o veľkosti 15 pomocou: - Euklidovej vety o výške - Euklidovej vety o odvesne - Pytagorovej nety. 14. Planimetria, základné rovinné útvary. ab x =, ak sú dané veľkosti úsečiek: a = 4 cm, c 1. Popíšte vlastnosti lineárnych útvarov, kružnice a kruhu (dotyčnica, obvodový a stredový uhol), trojuholníka (vzťahy medzi stranami a uhlami, výška, ťažnica, stredná priečka, kružnica vpísaná a opísaná, Pytagorova veta, Euklidove vety, sínusová a kosínusová veta), štvoruholníkov a mnohouholníkov (rovnobežník, kosoštvorec, obdĺžnik, štvorec, lichobežník).. Súčet všetkých vnútorných uhlov konvexného n-uholníka je daný vzorcom: = ( n ). 180 správnosť tohto vzorca úvahou a dokážte pomocou matematickej indukcie. s n. Odôvodnite a) Vrcholy tetivového štvoruholníka ležia na kružnici a delia ju v pomere : : : 1. Vypočítajte veľkosti vnútorných uhlov štvoruholníka a uhol jeho uhlopriečok. b) Vypočítajte strany a vnútorné uhly trojuholníka ABC s pravým uhlom pri vrchole C, ak v c = 6 cm a úsek prepony c a = 4 cm. c) Zostrojte všetky trojuholníky ABC, ak AB = 4 cm, ACB = 60, v c = cm. Urobte diskusiu o počte riešení vzhľadom na veľkosť výšky trojuholníka v c. d) Tri kružnice s polomermi r 1 = 4, r = 5, r = 6, sa zvonku dotýkajú. Určte obsah trojuholníka S 1 S S, ak S 1, S, S sú stredy kružníc. e) V trojuholníku ABC je uhol α oproti strane a = dvojnásobkom uhla β oproti strane b = 1. Vypočítajte vnútorné uhly trojuholníka ABC.
15. Stereometria polohové úlohy. 1. Vysvetlite vzájomnú polohu dvoch priamok, dvoch rovín, priamky a roviny. Popíšte hľadanie priesečnice dvoch rovín, prieniku priamky a roviny, priamky a telesa, hľadanie rezu telesa rovinou.. Zistite, či v kocke ABCDEFGH platí: a) priamka EG je kolmá na rovinu BDH b) rovina BDF je kolmá na rovinu LCG, kde L je stred AB (použite uhol dvoch rovín) a) Zostrojte rez kvádra ABCDEFGH (a = 6 cm, b = 4 cm, c = 4 cm) rovinou MNP, ak M CG tak, že CM : MG = 1:, N je stred EH, P patrí polpriamke FB tak, že FP = 5 cm. b) Zostrojte rez pravidelného štvorbokého ihlana ABCDV rovinou MNP, ak M patrí polpriamke VB tak, že VB : BM = :1, N je stred BC a P je stred DV. Zostrojte štvoruholníkový rez daným ihlanom rovnobežný s daným rezom. c) Daný je kváder ABCDEFGH. Zobrazte rez rovinou MNP, kde M delí hranu EF v pomere EM : FM = :5, bod N leží na predĺžení hrany FG za bodom G (FG = GN) a bod P leží na predĺžení CD za bod C (PC : PD = 1:9). Potom zostrojte priesečnicu rovín MNP a EAD. d) Zostrojte prienik pravidelného štvorbokého ihlana ABCDV a priamky PQ, ak P je stred VS (S-stred podstavy) a C je stred DQ. e) V kocke ABCDEFGH určte priesečník priamky EX s rovinou BDH, ak X je stred BC. 16. Stereometria - metrické úlohy. 1. Vysvetlite: - princíp hľadania uhla dvoch priamok, dvoch rovín, priamky a roviny; - výpočet vzdialenosti bodu od priamky, bodu od roviny, dvoch rovnobežných priamok, dvoch mimobežných priamok, dvoch rovnobežných rovín; - kolmosť priamok a rovín, priamky kolmej na rovinu.. Body MN sú stredy hrán AE, CG kocky ABCDEFGH, S je stred úsečky BH. Dokážte, že priamka MN prechádza bodom S kolmo na priamku BH. a) V kocke ABCDEFGH určte vzdialenosť priamok MN, AC; ak M je stred EF a N je stred FG. Ako sa mení táto vzdialenosť pri rovnobežnom posúvaní priamky MN v rovine EFGH? Kedy dosiahne minimálnu a maximálnu veľkosť? b) Daný je pravidelný trojboký ihlan s veľkosťami podstavných hrán a = 6 a bočnými hranami b = 8. Nájdite uhol medzi bočnou stenou a podstavou. c) Daný je pravidelný štvorboký ihlan ABCDV; AB = a, výška ihlana je a. Vypočítajte vzdialenosť stredu hrany AD od roviny bočnej steny BCV. d) Daný je pravidelný trojboký hranol A 1 A A B 1 B B, kde hrana podstavy je 5 cm a výška hranola je 6 cm. Určte veľkosť uhla priamok A 1 B, A B 1. e) V kcke ABCDEFGH určte vzdialenosť rovín ACH a EBG.
17. Objemy a povrchy telies 1. Zapíšte vzťahy na výpočet objemov a povrchov telies (kocka, hranol, ihlan, zrezaný ihlan, rotačný valec, rotačný kužeľ, zrezaný rotačný kužeľ, guľa a jej časti). Na jednotlivých telesách vysvetlite pojmy: vrchol, hrana, stena, podstava, výška.. Dokážte, že pomer objemov gule opísanej a vpísanej kocke je konštantný a určte túto konštantu. a) Vypočítajte objem a povrch kvádra, ak dĺžky jeho podstavných hrán sú: a = 6, b = 4 a telesová uhlopriečka kvádra je 1. Ako sa zmení výška kvádra, ak číselné hodnoty povrchu a objemu kvádra sa rovnajú? b) Rotačný valec má povrch S = 0π dm. Uhlopriečka jeho osového rezu je u = 5 dm. Určte objem valca. c) Vypočítajte objem a povrch zrezaného kužeľa, ktorého podstavy sú kruhy (opísaný a vpísaný dvom stenám kocky s hranou a). d) Vypočítajte objem pravidelného 5-bokého ihlana ABCDEV, ak AB = 5, cm a roviny ABV a ABC zvierajú uhol 8. e) Určte hustotu drevenej gule, ktorá pláva na vode tak, že je ponorená do 5 svojho priemeru. 18. Vektorová algebra 1. Vysvetlite pojmy: vektor, umiestnenie vektora, súradnice vektora, vektor opačný k danému vektoru, nulový vektor, súčet a rozdiel dvoch vektorov, násobok vektora číslom (lineárna závislosť vektorov, kolineárnosť troch bodov, komplanárnosť štyroch bodov), dĺžka vektora, skalárny súčin vektorov (kolmosť vektorov).. Dokážte, že body A[5, -10, -1], B[-4,, 5], C[-7, 8, 5], D[, -7, ] ležia v jednej rovine. a) V kocke ABCDEFGH je S stred steny ADHE. Nech u = B-A, v = D-A, w = E-A. Pomocou vektorov u, v, w vyjadrite vektory: GB, AC, BF, DG, CE, CS ako ich lineárne kombinácie. b) Na osi o y nájdite bod, ktorého vzdialenosť od bodu A[4, 7] je rovná 5. Diskutujte o počte riešení, vzhľadom na prvú súradnicu bodu A. c) V trojuholníku ABC, kde A[, 1], B[5, 7], C[c 1, c ] je priesečník výšok V[4, 1]. Určte súradnice bodu C. d) V trojuholníku ABC, kde A[, -4, 9], B[-1, -4, 5], C[6, -4, 6] vypočítajte veľkosť uhla β.
19. Analytická geometria lineárnych útvarov. 1. Zapíšte parametrické vyjadrenie priamky v rovine a v priestore (smerový vektor priamky), všeobecnú rovnicu priamky v rovine (normálový vektor priamky), smernicový tvar rovnice priamky v rovine (smernica priamky), parametrické vyjadrenie roviny, všeobecnú rovnicu roviny, polroviny.. Dokážte, že priamka prechádzajúca bodom [x 1,y 1 ]a má smernicu k, má rovnicu: y y 1 = k. (x x 1 ). a) Napíšte parametrické vyjadrenie priamky p, ktorá prechádza bodom A[9, -, 1] a je rovnobežná s priamkou BC, ak B[-4, -7, 6], C[, -5, ]. Pretína priamka p rovinu xy súranicove sústavy? A ký by mohol byť smerový vector priamky p keby bola rovnobežná s rovinou xy? b) V trojuholníku ABC: A[1, -], B[-5, 7], C[, 5] určte všeobecnú rovnicu ťažnice na stranu a výšky na stranu b. c) Určte všeobecnú rovnicu roviny danej parametricky: x = 1 t + s, y = 7 + t s, z = - t + s; s,t R. Nájdite bod, ktorý v danej rovine leží (neleží). d) Napíšte všeobecnú rovnicu priamky p, ktorá prechádza bodom M[,4] a zviera s kladnou polosou osi x uhol 0. Potom napíšte všeobecnú rovnicu priamky kolmej na priamku p, ktorá prechádza bodom M. e) Zistite, či body K[, ], L[0, -5], M[6, -1], N[8, -], O[-, -1] ležia v tej istej polrovine s hraničnou priamkou p: x y + 7 = 0. 0. Vzájomná poloha priamok a rovín, vzdialenosti a odchylky lineárnych útvarov. 1. Opíšte vzájomnú polohu dvoch priamok v rovine a v priestore, dvoch rovín, priamky a roviny. Zapíšte vzťahy na výpočet uhla dvoch priamok, dvoch rovín, priamky a roviny, vzdialenosti bodu od priamky a vzdialenosti bodu od roviny.. Dokážte, že priamky p, q dané parametricky sú mimobežné. p: x = 1 t q: x = 1 + s y = + t y = -1 s z = t, t R z = + s, s R a) Určte podmienky pre parametre a, b, c tak, aby rovnice: x 5y + 4 = 0 ( a)x by + c = 0 vyjadrovali: - tú istú priamku - dve rôzne rovnobežky - dve rôznobežky. b) Dané sú body: M[-, ], A[5, -1], B[, 7]. Určte všetky priamky p, ktoré prechádzajú bodom M a majú od bodov A, B rovnakú vzdialenosť. Diskutujte o počte riešení. c) Určte všeobecnú rovnicu roviny ρ, ktorá prechádza bodom M[, 0, 5] a je kolmá na priamku p, ak priamka p je priesečnica rovín α: 5x y + z 5 =0 a β: x y z 1 = 0. d) V trojuholníku ABC, kde A[1, ], B[-, 0], C[4, -] určte výšku na stranu BC, výšku na stranu AC a ich uhol. e) Daný je štvorsten ABCD: A[0, 1, ], B[1, 0, ], C[-, -1, 5], D[0, -, -6]. Vypočítajte uhol priamky AD a roviny ABC, uhol rovín ABC a ABD.
1. Analytická geometria kvadratických útvarov 1. Definujte kružnicu a kruh ako množinu bodov v rovine, napíšte rovnicu kružnice a kruhu (stredový tvar, ak S[0, 0] a v posunutí, ak S[m, n] a všeobecnú rovnicu).. Odvoďte stredový a všeobecný tvar rovnice kružnice so stredom S[m, n] prechádzajúcej bodom X[x, y]. a) Pre ktoré m R je rovnica x + y x 6y m = 0 rovnicou kružnice? Zvoľte vhodné m a načrtnite a pomenujte rovinné útvary, ktoré vzniknú zámenou znamienka = v rovnici postupne znamienkami:, >,, <. b) Napíšte rovnicu kružnice opísanej trojuholníku ABC, ak A[7, 7], B[0, 8], C[-, 4]. c) Napíšte rovnicu kružnice, ak body A[, 5], B[, 6] ležia na kružnici a stred kružnice leží na priamke s danej rovnicou: x + y 4 = 0. d) Určte rovnice všetkých kružníc, ktoré prechádzajú bodom K[9, ] a dotýkajú sa oboch osí súradnicovej sústavy. e) Napíšte rovnicu kružnice so stredom S[0, ], ktorá sa dotýka priamky t danej rovnicou: x + y - 1 = 0.. Vzájomná poloha kružníc, kruhov a lineárnych útvarov. 1. Popíšte vzájomnú polohu kružníc, kruhov a lineárnych útvarov. Zapíšte analytické vyjadrenie dotyčnice kružnice v danom bode.. Odvoďte analytické vyjadrenie dotyčnice kružnice k so stredom S[m, n] v bode T[x 0, y 0 ]. a) Riešte vzájomnú polohu kružnice k so stredom S[0, ] a polomerom r = 5 a priamky MN, kde M[8, 4], N[5, ]. Určte prieniky: polpriamky NM a kružnice, polpriamky MN a kružnice, polpriamky SN a kružnice, priamky MN a kruhu, polpriamky SN a kruhu. b) Určte vzájomnú polohu dvoch kružníc: k 1 so stredom S 1 [, 9] a polomerom r 1 = 10 a k so stredom S [0, 10] a polomerom r = 5. c) Určte všetky m R, pre ktoré je priamka p daná rovnicou x + 4y + m = 0 dotyčnicou (sečnicou, nesečnicou) kružnice k: x + y = 5. d) Pod akým uhlom (uhol dotyčníc v priesečníkoch) sa pretínajú kružnice z príkladu c)? e) Pod akým zorným uhlom vidieť kružnicu k: (x + ) + (y ) = 5 z bodu M[, 7]?
Postupnosti, vlastnosti postupností, limita postupnosti. 1. Definujte nekonečnú a konečnú postupnosť, ako funkciu definovanú na množine všetkých prirodzených čísel, popíšte spôsoby určenia postupnosti (vymenovaním prvkov, predpisom, graficky, rekurentne), popíšte vlastnosti postupnosti (rastúca, klesajúca, nerastúca, neklesajúca, konštantná). Vysvetlite pojmy: konvergentná a divergentná postupnosť na základe limity postupnosti a zapíšte základné vzťahy pre počítanie limít postupností.. Dokážte, že postupnosť n + n + n + n 1 a) Daná je postupnosť { } = a n 8; a n < 49; 80 a n 180. n= 1 b) Napíšte príklad postupnosti, ktorá je - rastúca, ohraničená - klesajúca, zhoraohraničená - rastúca zdola ohraničená - klesajúca ohraničená - neohraničená je rastúca a ohraničená.. Určte n N, pre ktoré platí, že c) Napíšte niekoľko prvých členov postupnosti { 100 n } n= Vyslovte hypotézu a potom ju dokážte. n a potom usúďte, či je rastúca alebo klesajúca. 1 d) Nájdite rekurentné určenie postupnosti e) Vypočítajte limity postupností: n n n( 1 ) 5. 4 lim n n n 1 + lim, n n. ( )( ), n n + 1 n = 1 1+ + 5 +... + lim ( n 1) n + 4 + 6 +... + n. 4. Aritmetická postupnosť, geometrická postupnosť, nekonečný geometrický rad. 1. Definujte aritmetickú a geometrickú postupnosť pomocou diferencie a kvocientu. Zapíšte vzťahy na: výpočet n-tého člena postupnosti, výpočet r-tého člena pomocou s-tého člena postupnosti a súčtu prvých n členov postupnosti. Popíšte nekonečný rad a vysvetlite jeho konvergentnosť. Definujte nekonečný geometrický rad, zapíšte podmienku jeho konvergencie a vzťah na výpočet jeho súčtu.. Pre súčet prvých n členov aritmetickej postupnosti platí:. a n = a1 + ( n 1)d.. Dokážte pomocou matematickej indukcie. a) koľko sa zmení súčet prvých dvanástich členov aritmetickej postupnosti, ak zväčšíme jej diferenciu o? Ak súčet prvých 10 členov aritmetickej postupnosti je 10, aký bude tento súčet, ak sa diferencia postupnosti zmenší o? b) V geometrickej potupnosti je dané: a 1 =, q =, s n = 80. ( + 1). Vypočítajte n. c) V aritmetickej postupnosti určte a 10, ak s n = n.(n 5). d) V ktorej geometrickej postupnosti platí: a 1. a. a = 178 a 1 + a + a = 6? e) Riešte v R rovnicu:. x+ 15 =.( x + x-1 + x- +...).
5. Limita funkcie, diferenciálny počet geometrický význam derivácie. 1. Definujte deriváciu funkcie v bode x 0 pomocou limity. Zapíšte vzťahy pre derivácie elementárnych funkcií, deriváciu konštantnej funkcie, súčtu rozdielu, súčinu, podielu funkcií, zloženej funkcie, funkcie určenej implicine. Vysvetlite geometrický význam deriváciev danom bode.. Dokážte vťahy určené na derivovanie goniometrických funkcií (sin, cos, tg, cotg). a) Vyšetrite limitu a spojitosť funkcií, ktoré sú dané rovnicami: x. ( x 1) ( x )(. x 1) y =, y =. Načrtnite funkcie a vysvetlite rozdiel. x x b) V ktorých bodoch sa smernica dotyčnice ku krivke y = ax rovná? c) V ktorých bodoch krivky f: y = x + x je dotyčnica rovnobežná s priamkou 4x y + 10 = 0? d) Napíšte rovnicu dotyčnice ku krivke x 4 + y 4 xy = 0 v bode A[-1, 1] e) Dokážte sporom vetu: Funkcia má v bode a najviac jednu limitu. 9. Pravdepodobnosť. 1. Definujte pravdepodobnosť udalosti A Ω. Vysvetlite pojmy: náhodná udalosť, udalosť istá, nemožná, doplnková a určte ich pravdepodobnosti. Zapíšte vzťahy pre pravdepodobnosť zjednotenia a prieniku (nezávislé udalosti) dvoch udalostí A, B Ω.. Dokážte, že pre ľubovoľné množiny A, B Ω platí: a) P(A B) = P(A) + P(B), ak A B = b) P(A B) = P(A) + P(B) P(A B), ak A B. a) Hádžeme krát kockou. Aká je pravdepodobnosť, že aspoň raz padne 6? Vypočítajte pomocou udalosti A(aspoň raz padne 6) a pomocou opačnej udalosti A a porovnajte postupy. b) V urne sú 4 biele a modré guľky. Náhodne vytiahneme dve guľky. Aká je pravdepodobnosť, že : 1. obe guľky sú biele. jedna je biela, jedna modrá? c) Hádžeme troma hracími kockami. Aká je pravdepodobnosť, že súčet hodených čísel je väčší ako 5? d) Spoľahlivosť žiarovky je p = 0,8. Aká je spoľahlivosť dvoch žiaroviek zapojených: 1. sériovo. paralelne? e) Pravdepodobnosť vyrobenia chybnej súčiastky je 0,05. Aká je pravdepodobnosť, že medzi 60 súčiastkami budú najviac dve chybné?
0. Štatistika. 1. Vysvetlite pojmy: štatistický súbor, kvantitatívny znak, absolútna a relatívna početnosť znaku (grafické znázornenie stĺpcový, kruhový, spojitý graf), stredná hodnota (aritmetický priemer, geometrický priemer, modus, medián), smerodajná odchylka, rozptyl, koeficient korelácie.. Dokážte, že medzi aritmetickým, geometrickým a harmonickým priemerom dvoch kladných čísel a, b platia a + b a + b vzťahy: a. b,. 1 1 + a b a) V tabuľke sú uvedené výsledky piatich žiakov testovaných z matematiky a z fyziky. Z každého z testov sa dalo získať maximálne 15 bodov. Popíšte, čo vyjadruje smerodajná odchýlka v jednotlivých predmetoch. Odhadnite, pri ktorom predmete bude väčšia a hypotézu potvrďte výpočtom. Z1 Z Z Z4 Z5 matematika 9 11 15 1 8 fyzika 4 7 1 14 b) Priemerný vek ľudí sediacich v sále sa rovnal ich počtu. Potom, čo medzi nich prišiel 9 ročný muž, bol priemerný vek ľudí v sále rovný ich počtu. Koľko ľudí bolo priemerne v sále? c) Priemerný počet ročne prijatých študentov na istú fakultu za roky 1998 001 bol 5. Priemerný počet ročne prijatých študentov na tú istú fakultu za roky 1998 00 bol o 0% väčší. Koľko študentov prijali na túto fakultu v roku 00? d) Daný je usporiadaný súbor hodnôt:,, 5, 6, 7, x, 11, 11, y, 15. Ak jeho modus má hodnotu 11 a medián je 8, aké hodnoty môžu nadobúdať premenné x, y? e) Stĺpcový diagram znázorňuje rozdelenie kresiel v 80-člennom parlamente medzi politické strany. Novinár chce toto rozdelenie znázorniť kruhovým diagramom. Aké budú v tomto diagrame veľkosti uhlov, ktoré prislúchajú jednotlivým stranám? počet kresiel 5 0 5 0 15 10 5 0 0 18 10 Strana pokroku Centralisti Dem. Stred Liberáli