Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή και Αξιοποίηση των νέων Τεχνολογιών στην Εκπαίδευση» του Επιχειρησιακού Προγράµµατος Κοινωνία της

Σήµατα και Συστήµατα Το εκπαιδευτικό υλικό βασίζεται στο εγκεκριµένο από το Τµήµα Πληροφορικής και Επικοινωνιών περίγραµµα του µαθήµατος Σήµατα και Συστήµατα Συντάκτης: Αθανάσιος Νικολαΐδης Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 2

Εισαγωγή Σήµα: Σύνολο τιµών φυσικής ποσότητας που µεταβάλλεται Αναλογικό σήµα: εξαρτηµένη και ανεξάρτητη µεταβλητή µεταβάλλονται σε συνεχές σύνολο τιµών x Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 3

Εισαγωγή Ψηφιακό σήµα: εξαρτηµένη και ανεξάρτητη µεταβλητή µεταβάλλονται σε διακριτό σύνολο τιµών x 2 3 4 5 Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 4

Εισαγωγή Σήµα διακριτού χρόνου: ανεξάρτητη µεταβλητή µεταβάλλεται σε διακριτό σύνολο τιµών αλλά εξαρτηµένη µεταβλητή µεταβάλλεται σε συνεχές σύνολο τιµών y 2 2 3 4 5 Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 5

Εισαγωγή Σύστηµα: οντότητα που µετατρέπει ένα σήµα σε άλλο x F y Είδη συστηµάτων: αναλογικά, διακριτού χρόνου, ψηφιακά, υβριδικά Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 6

Ειδικές περιπτώσεις σηµάτων Περιοδικά σήµατα: x x T, R όπου T η βασική περίοδος του σήµατος Παράδειγµα: Ηµιτονοειδές σήµα x Ai Ω θ Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 7

Ειδικές περιπτώσεις σηµάτων Παράδειγµα: Μιγαδικό εκθετικό σήµα Im y Ae j Ω θ Αe jφ Ω> φωθ A Re Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 8

Ειδικές περιπτώσεις σηµάτων Μοναδιαία βηµατική συνάρτηση: u,, > < Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 9

Ειδικές περιπτώσεις σηµάτων Κρουστική συνάρτηση: δ d και δ, Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της

Ειδικές περιπτώσεις σηµάτων Ιδιότητες της κρουστικής συνάρτησης δ φ d φ δ α φ d δ φ d α α f dφ φ d f d d Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της

Κατηγορίες Συστηµάτων Στατικό: έξοδος εξαρτάται µόνο από είσοδο την ίδια στιγµή π.χ. ωµική αντίσταση υναµικό: έξοδος εξαρτάται από είσοδο και σε άλλες χρονικές στιγµές π.χ. χωρητική αντίσταση Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 2

Κατηγορίες Συστηµάτων Αιτιατό: έξοδος εξαρτάται από είσοδο την ίδια και προηγούµενες χρονικές στιγµές π.χ. χωρητική αντίσταση Μη-αιτιατό: έξοδος εξαρτάται και από µελλοντικές τιµές εισόδου Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 3

Κατηγορίες Συστηµάτων Γραµµικό: [ a x a x ] a F[ x ] a F[ x ] F 2 2 2 2 Μη-γραµµικό: δεν ισχύει η παραπάνω σχέση Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 4

Κατηγορίες Συστηµάτων Χρονικά αµετάβλητο: [ ] y F x Χρονικά µεταβαλλόµενο: δεν ισχύει η παραπάνω σχέση Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 5

Κρουστική απόκριση γραµµικών συστηµάτων Ισχύει x x τ δ τ dτ Αν x είσοδος σε γραµµικό σύστηµα, τότε έξοδος είναι: y [ δ τ ] dτ x τ F Αν επιπλέον σύστηµα είναιχρονικά αµετάβλητο, τότε η έξοδος είναι: [ δ ] y x τ h τ dτ, h F Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 6

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 7 Κρουστική απόκριση γραµµικών συστηµάτων Ολοκλήρωµα συνέλιξης: Συµβολίζεται όπου h η κρουστική απόκριση Αν ΓΧΑ σύστηµα είναικαιαιτιατό, τότε: τ τ τ τ τ τ d x h d h x y h x y τ τ τ d h x y

Κρουστική απόκριση γραµµικών συστηµάτων Γραφικός υπολογισµός συνέλιξης Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 8

Ιδιότητες της Συνέλιξης Αντιµεταθετική: f h h f Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 9

Ιδιότητες της Συνέλιξης Προσεταιριστική: [ f f ] [ f f ] f f 2 3 2 3 Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 2

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 2 Ιδιότητες της Συνέλιξης Επιµεριστική: [ ] 3 2 3 2 f f f f f f f

Ιδιότητες της Συνέλιξης Ταυτοτική: f δ f Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 22

Ευστάθεια Συστηµάτων ΦΕΦΕ ευσταθές σύστηµα: για κάθε φραγµένη είσοδο, η έξοδος είναι επίσης φραγµένη ΦΕΦΕ ευσταθές ΓΧΑ σύστηµα: h d < Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 23

Απόκριση ΓΧΑ Συστηµάτων σε ιεγέρσεις Απλής Συχνότητας Έστω ΓΧΑ σύστηµα µε είσοδο: Ηέξοδοςθαείναι: όπου H Ω h jω y AH Ω e jω e τ dτ τ j[ Ω φ Ω ] Άρα y A H Ω e jφ Ω όπου H Ω H Ω e ηλαδή η έξοδος είναι πάλι µιγαδικό εκθετικό σήµα µε άλλο πλάτος και άλλη φάση jω x Ae Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 24

Μετασχηµατισµός Fourier Ευθύς ΜF: X Ω Αντίστροφος ΜF: x e jω d x 2π j Ω X Ω e d Ω Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 25

Μετασχηµατισµός Fourier Παράδειγµα: τετραγωνικός παλµός Μετασχηµατισµός Fourier του παλµού Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 26

Μετασχηµατισµός Fourier Βασικά ζεύγη µετασχηµατισµών Fourier: δ u 2πδ Ω jω πδ Ω Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 27

Σύγκλιση του ΜF Συνθήκες Dirichle: x συνεχής ή µε πεπερασµένο πλήθος ασυνεχειών πεπερασµένου ύψους x φραγµένης κύµανσης x απόλυτα ολοκληρώσιµη: x d < Μόνο ικανές συνθήκες ύπαρξης ζεύγους ΜF Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 28

Ιδιότητες ΜF Γραµµικότητα Αν x X και x X τότε: αx Ω 2 2 Ω β x2 ax Ω β X 2 Ω, α, β R Χρονική ολίσθηση Αν x X Ω τότε x jω e X Ω, R Ολίσθηση στη συχνότητα jω Αν x X Ω τότε e x X Ω Ω, Ω R Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 29

Ιδιότητες ΜF Κλιµάκωση στο χρόνο και τη συχνότητα Αν τότε: και x X Ω x α x α α Ω X α α X α Ω, α R Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 3

Ιδιότητες ΜF υικότητα Αν x Παραγώγιση Αν και X Ω x X Ω d x d τότε τότε: X 2π x Ω jω X Ω d X Ω dω j x Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 3

Θεώρηµα Συνέλιξης Αν και τότε: και x X Ω h H Ω x h X Ω H Ω x h X Ω H Ω 2π Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 32

Φυσική σηµασία του ΜF ΟΜF είναι µιγαδικός µετασχηµατισµός: X Ω R Ω ji Ω Αν x πραγµατική συνάρτηση, τότε: R Ω R Ω I Ω I Ω X Ω X * Ω Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 33

Μετασχηµατισµοί Ηµιτόνου και Συνηµιτόνου Έστω x πραγµατική συνάρτηση Αν x άρτια τότε IΩ και x R Ω π Αν x περιττή τότε RΩ και x I Ωi ΩdΩ I Ω 2 π 2 R ΩcoΩdΩ x coωd x i Ωd Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 34

Μετασχηµατισµοί Ηµιτόνου και Συνηµιτόνου Αν x αιτιατή, δηλαδή x, < τότε x x 2 π 2 π R ΩcoΩdΩ, I Ωi ΩdΩ, > > Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 35

Θεώρηµα τουpareval εδοµένου ότι x h X Ω H Ω 2π και θέτοντας hx * προκύπτει ότι: x 2 d 2 X Ω dω 2π Ενέργεια σήµατος: E x d 2 Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 36

Απόκριση Συχνοτήτων Συστήµατος Έστω ΓΧΑ σύστηµα µε κρουστική απόκριση h, είσοδο x, έξοδο y: y x h Απόκριση συχνοτήτων: ο ΜF της h H Ω X Y Ω Ω Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 37

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 38 Περιγραφή ΓΧΑ Συστηµάτων µε ιαφορικές Εξισώσεις και ο ΜF ΓΧΑ σύστηµα: Με χρήση ΜF: M l l l l N k k k k d x d d y d β α Ω Ω Ω Ω Ω N k k k M l l l j j X Y H α β

Απόκριση ΓΧΑ Συστηµάτων σε Ηµιτονοειδείς Εισόδους Έστω ΓΧΑ σύστηµα µε είσοδο: x Aco Ω φ Αποδεικνύεται ότι η έξοδος είναι: [ Ω φ ] y A H Ω co θ Ω όπου HΩ είναι το µέτρο και θω η φάσητης απόκρισης συχνοτήτων Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 39

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 4 Τριγωνοµετρική Σειρά Fourier Έστω το ανάπτυγµα: µε Ω Ω i co b a a x K K,2,, i 2,2,, co 2 Ω Ω d x T b d x T a d x T a T T T

Τριγωνοµετρική Σειρά Fourier Το ανάπτυγµα υπάρχει όταν ισχύουν οι συνθήκες Dirichle: x συνεχής ή µε πεπερασµένο πλήθος ασυνεχειών πεπερασµένου ύψους x φραγµένης κύµανσης στο [, T] x απολύτως ολοκληρώσιµη: x d < T Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 4

Τριγωνοµετρική Σειρά Fourier Παράδειγµα: ηµιτονοειδές σήµα Συντελεστές σειράς Fourier του σήµατος Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 42

Εκθετική Σειρά Fourier Υπό τις ίδιες συνθήκες υπάρχει το ανάπτυγµα: όπου c Ισχύουν: T a a b c T x Ω c e j x e 2 jω j d c c c c c a jb,, 2, K Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 43

Σειρά Fourier για Άρτια και Περιττή Συµµετρία Αν x-x, δηλαδή άρτια, τότε b c c,, 2,K Αν x--x, δηλαδή περιττή, τότε α c c,,, 2,K Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 44

Θεώρηµα Pareval Αποδεικνύεται ότι: T T 2 T 2 x 2 d c 2 Ισχύς περιοδικού σήµατος: P x T 2 T T 2 x 2 d Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 45

Σχέση Σειράς Fourier - ΜF Για περιοδικά σήµατα ομf δεν υπάρχει, αλλά υπάρχει το ανάπτυγµα σεσειρά Fourier Για µη περιοδικάσήµατα: Αν ενδιαφέρει ανάπτυγµα για όλο το πεδίο ορισµού του σήµατος, χρησιµοποιούµε ΜF Αν ενδιαφέρει ανάπτυγµα για πεπερασµένο διάστηµα του πεδίου ορισµού, χρησιµοποιούµε σειράfourier Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 46

Μετασχηµατισµός Laplace Μονόπλευρος ΜL: X x e d Αµφίπλευρος ΜL: X x e d Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 47

Θεώρηµα Ύπαρξης του ΜL Μια συνάρτηση x είναι εκθετικής τάξης α, αν υπάρχουν σταθερές Μ> και α και κάποια τιµή τέτοιες ώστε: α α e x < M x < Me, Για να υπάρχει ο ΜL µιας συνάρτησης x πρέπει: η x να είναι τµηµατικά συνεχής σε πεπερασµένο διάστηµα b η x να είναι εκθετικής τάξης α για >b Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 48

ΜL Στοιχειωδών Συναρτήσεων L L L δ, Re L { u }, Re > {}, Re 2 > { } > { a e u }, Re > a a Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 49

Περιοχή Σύγκλισης του ΜL Έστω ότι ο ΜL µιας συνάρτησης x γράφεται: N X D Μηδενικά: οι ρίζες του N Πόλοι: οι ρίζες του D Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 5

Περιοχή Σύγκλισης του ΜL Πόλοι στο αριστερό ηµιεπίπεδο του αντιστοιχούν σε σήµατα µε παράγοντα e -α, α> jω e -α -α σ Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 5

Περιοχή Σύγκλισης του ΜL Πόλοι στο δεξιό ηµιεπίπεδο του αντιστοιχούν σε σήµατα µε παράγοντα e α, α> jω e α α σ Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 52

Περιοχή Σύγκλισης του ΜL Απλοί πόλοι στο φανταστικό άξονα αντιστοιχούν σε σήµατα των οποίων το πλάτος µένει σταθερό στο χρόνο jω σ Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 53

Περιοχή Σύγκλισης του ΜL Πολλαπλοί πόλοι στο φανταστικό άξονα αντιστοιχούν σε σήµατα πολλαπλασιασµένα µε δυνάµεις του jω διπλός u σ Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 54

Περιοχή Σύγκλισης του ΜL Μιγαδικοί συζυγείς πόλοι µε µηδενικό πραγµατικό µέρος αντιστοιχούν σε σήµατα που υφίστανται αµείωτη ταλάντωση jω iω Ω -Ω σ Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 55

Περιοχή Σύγκλισης του ΜL Μιγαδικοί συζυγείς πόλοι µε αρνητικό πραγµατικό µέρος αντιστοιχούν σε σήµατα που υφίστανται φθίνουσα ταλάντωση jω e -α iω Ω -α σ -Ω Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 56

Περιοχή Σύγκλισης του ΜL Μιγαδικοί συζυγείς πόλοι µε θετικό πραγµατικό µέρος αντιστοιχούν σε σήµατα που υφίστανται αύξουσα ταλάντωση jω e α iω Ω α σ -Ω Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 57

Ιδιότητες και Θεωρήµατα του ΜL Γραµµικότητα Αν και X X { x }, Re > { x2 }, Re > 2 L σ 2 L σ τότε L { a x a x } a X a X, Re > max σ, 2 2 2 2 σ 2 Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 58

Ιδιότητες και Θεωρήµατα του ΜL Χρονική ολίσθηση Αν X L{ x u }, Re > σ τότε, για >, L { x u } e X, Re > σ Μετατόπιση στη µιγαδική συχνότητα Αν X L{ x }, Re > σ τότε L x e X, Re > σ Re { } Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 59

Ιδιότητες και Θεωρήµατα του ΜL Κλιµάκωση στο χρόνο και στη µιγαδική συχνότητα Αν X L{ x }, Re > σ τότε L { x b } X, Re > bσ b b και L x X b, Re > σ b b b για b> Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 6

Ιδιότητες και Θεωρήµατα του ΜL Παραγώγιση στη µιγαδική συχνότητα Αν X L{ x }, Re > σ τότε L d X d { } x, Re > σ Ολοκλήρωση στη µιγαδική συχνότητα Αν X L{ x }, Re > σ τότε x L L X dd Kd, Re > σ Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 6

Ιδιότητες και Θεωρήµατα του ΜL Μετασχηµατισµός Laplace παραγώγου Αν x παραγωγίσιµη για και εκθετικής τάξης α, άρα υπάρχει ο Laplace αυτής X L{ x }, Re > α τότε dx L X x, Re > α d και, µε αντίστοιχες συνθήκες για τις παραγώγους, γενικά: d x L d X x 2 dx d L d x d, Re > α Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 62

Ιδιότητες και Θεωρήµατα του ΜL Μετασχηµατισµός Laplace ολοκληρώµατος { } Αν X L x, Re > σ τότε όπου { } X y x τ dτ L y x τ dτ Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 63

Ιδιότητες και Θεωρήµατα του ΜL Θεώρηµα αρχικήςτιµής Αν { x }, Re > X L σ τότε lim X x Θεώρηµα τελικήςτιµής { } Αν X L x, Re > σ τότε lim x lim X Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 64

Αντίστροφος Μετασχηµατισµός Laplace Ορισµός σ j x X e d, σ > σ 2π j σ j Ύπαρξη Αν η x είναι συνεχής συνάρτηση, τότε ο ΜL αυτής είναι µονοσήµαντος Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 65

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 66 Υπολογισµός Αντίστροφου Laplace Ανάπτυξη ρητής συνάρτησης σε απλά κλάσµατα Έστω ο ML γράφεται σαν ρητή συνάρτηση: όπου α i,b j πραγµατικοί αριθµοί a a a b b b b a b X m m m m L L

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 67 Υπολογισµός Αντίστροφου Laplace Ρίζες διακριτές και πραγµατικές όπου Τότε και συνεπώς c c X λ λ L j i R j i i,, λ λ λ i X c i i i,,, lim K λ λ { } u e c e c X L x λ λ L

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 68 Υπολογισµός Αντίστροφου Laplace Ύπαρξη πολλαπλών πραγµατικών ριζών δηλαδή η ρίζα λ εµφανίζεται µε πολλαπλότητα r Τότε και για τους υπόλοιπους συντελεστές c i, ir,, ισχύει ότι στην προηγούµενη περίπτωση. r r r r c c c c c X λ λ λ λ λ L L 2 2 [ ] r i X d d i r c r i r i r i,,,! lim K λ λ

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 69 Υπολογισµός Αντίστροφου Laplace Ύπαρξη πολλαπλών πραγµατικών ριζών συνέχεια Συνεπώς { } ]! 2 u e c e c e r c e c e c X L x r r r λ r λ λ λ λ L L

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 7 Υπολογισµός Αντίστροφου Laplace Ύπαρξη µιγαδικών ριζών όπου λ, λ * συζυγείς µιγαδικές ρίζες και, όπως στην πρώτη περίπτωση: εδοµένου ότι c 2 c *, θα έχουµε: c c c X λ λ λ L * 2 i X c i i i,,, lim K λ λ { } 3 * * u c e e c c e X L x i i i λ λ λ

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 7 Υπολογισµός Αντίστροφου Laplace Γενίκευση για degb degα Με διαίρεση πολυωνύµων έχω όπου Π είναι βαθµού m- και g βαθµού ως - Συγκεκριµένα, το Π είναι της µορφής Συνεπώς όπου L - {Π} είναι άθροισµα κρουστικών a g a b X Π m m m m b π π π Π L { } { } Π a g L L X L x

Θεωρήµατα Συνέλιξης Συνέλιξη στο χρόνο Έστω x και x 2 αιτιατές και: X L X 2 L Τότε ισχύει: L { x }, Re > σ { x2 }, Re > σ 2 { x x } X X, Re > max σ σ 2 2, 2 Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 72

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 73 Θεωρήµατα Συνέλιξης Συνέλιξη στη µιγαδική συχνότητα Αν Τότε ισχύει: όπου µε { } 2 2 2 X X j x x L π { } { } 2 2 2 Re, Re, σ σ > > x L X x L X j c j c dz z X z X X X 2 2 2 2 Re, Re σ σ σ σ < < > c

Μετασχηµατισµός Laplace Ηµιπεριοδικών Συναρτήσεων Ηµιπεριοδική συνάρτηση: x T, x, < x, T Έστω x, <, > T και L { x } X, Re > Αποδεικνύεται ότι X X, Re > T e Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 74

Σχέση ΜL και ΜF Έστω x αιτιατή µε ΜL τον X x e d, Re σ > σ και ΜF τον X jω jω F Ω x e d x e d Με Re από τον ML παίρνουµε τονmf, αν ο ML συγκλίνει για Re Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 75

Σχέση ΜL και ΜF σ >: Ο ML δεν ορίζεται για Re, άρα δεν υπάρχει ο MF σ <: Η ROC περιλαµβάνει το φανταστικό άξονα, άρα: X F Ω X σ σ : Ο ML έχει σηµεία ανωµαλίας στο φανταστικό άξονα. Τότε ο ML µπορεί να γραφτεί: X όπου η X α είναι αναλυτική X a b N k k jωk Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 76

Σχέση ΜL και ΜF σ συνέχεια: Τότε αποδεικνύεται ότι για τον MF τηςσυνάρτησηςισχύει: X Ω X jω π δ Ω Ω F b k k N k Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 77

Αµφίπλευρος Μετασχηµατισµός Laplace Ευθύς αµφίπλευρος Laplace: X x e d, σ > Re > σ 2 Αντίστροφος αµφίπλευρος Laplace: σ j x X e d, σ > σ > σ 2 2π j σ j Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 78

Αµφίπλευρος Μετασχηµατισµός Laplace Υπολογισµός αµφίπλευρου ML µέσω µονόπλευρου Έστω x x x2 όπου x u και x x Τότε ο αµφίπλευρος ML της x θα είναι: x u X X X 2 όπου και µονόπλευροι Laplace 2 X L{ x } X L{ x } 2 2 Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 79

Χρήση του ML στην Επίλυση Γραµµικών ιαφορικών Εξισώσεων Γενική µορφή γραµµικής διαφορικής εξίσωσης µε σταθερούς συντελεστές: d y d y dy a a a a y g L d d d όπου α i, i,,, σταθερές, και µε αρχικές συνθήκες: y b, y b, K, y b Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 8

Χρήση του ML στην Επίλυση Γραµµικών ιαφορικών Εξισώσεων Επίλυση της παραπάνω Γ Ε: Εφαρµόζουµε ML στα δύο µέλη της εξίσωσης χρήση ιδιότητας παραγώγισης στο χρόνο Λύνουµε εξίσωση ως προς Y ο ML της ζητούµενης συνάρτησης Υπολογίζουµε αντίστροφο ML της Y γενική λύση y µε χρήση µεθόδων που έχουν αναπτυχθεί Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 8

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 82 Χρήση του ML στην Ανάλυση ΓΧΑ Συστηµάτων Συνάρτηση Μεταφοράς Συστήµατος Ένα ΓΧΑ σύστηµα περιγράφεται από µια Γ Ε µε σταθερούς συντελεστές: όπου α i,b j πραγµατικές σταθερές x b d dx b d x d b d x d b y a d dy a d y d a d y d a m m m m m m L L

Χρήση του ML στην Ανάλυση ΓΧΑ Συστηµάτων Συνάρτηση Μεταφοράς Συστήµατος συνέχεια Αν οι αρχικές συνθήκες είναι µηδενικές, τότε εφαρµόζοντας ML έχουµε: H b a b m m m m a L a όπου H η συνάρτηση µεταφοράς του συστήµατος δηλ. ο ML της κρουστικής απόκρισης L b Y X Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 83

Χρήση του ML στην Ανάλυση ΓΧΑ Συστηµάτων Ευστάθεια Συστήµατος και Συνάρτηση Μεταφοράς Έστω αιτιατό ΓΧΑ σύστηµα Αν ο βαθµός του πολυωνύµου του αριθµητή του ML είναι µικρότερος ή ίσος αυτού του παρονοµαστή τότε: Αν υπάρχουν πόλοι στο φανταστικό άξονα ή στο δεξιό µιγαδικό ηµιεπίπεδο, το σύστηµα είναιασταθές Αν όλοι οι πόλοι είναι στο αριστερό µιγαδικό ηµιεπίπεδο, το σύστηµα είναι ευσταθές Αν ο βαθµός του πολυωνύµου του αριθµητή του ML είναι µεγαλύτερος αυτού του παρονοµαστή τότε το σύστηµα είναι ασταθές Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών, Μέτρο.2., Κοινωνία της 84