Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο.. Να γνωρίζει τις γραφικές παραστάσεις των βασικών συναρτήσεων. 3. Να μπορεί να βρίσκει το άθροισμα, το γινόμενο, το πηλίκο και τη σύνθεση απλών συναρτήσεων. 4. Να γνωρίζει την έννοια της συνάρτησης, τις βασικές ιδιότητες της και να κατανοήσουν την διαδικασία εύρεσης της αντίστροφης μιας απλής συνάρτησης. Να γνωρίζει, επιπλέον, οι γραφικές παραστάσεις δύο αντίστροφων συναρτήσεων είναι συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο της πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων. 5. Να μπορεί να εκφράζει, με τη βοήθεια συνάρτησης, τον τρόπο με τον οποίο συνδέονται οι τιμές δύο μεγεθών σε διάφορα προβλήματα. 6. Να μπορεί να βρίσκει το όριο μιας συνάρτησης στο, όταν δίνεται η γραφική της παράσταση. 7. Να γνωρίζει τις ιδιότητες του ορίου συνάρτησης και με τη βοήθειά τους να υπολογίζει τα όρια απλών συναρτήσεων. 8. Να μπορεί να διαπιστώνει την ύπαρξη μη πεπερασμένων ορίων συναρτήσεων από τη γραφική τους παράσταση. 9. Να μπορεί να υπολογίζει τα όρια πολυωνυμικών ή ρητών συναρτήσεων στο + και στο.. Να γνωρίζεί τις γραφικές παραστάσεις της εκθετικής και της λογαριθμι-

κής συνάρτησης και τα όρια τα σχετικά με τις συναρτήσεις αυτές.. Να γνωρίζει την έννοια της ακολουθίας και την έννοια του ορίου ακολουθίας.. Να γνωρίζει την έννοια της συνέχειας συνάρτησης σε σημείο του πεδίου ορισμού της. 3. Να αναγνωρίζει την συνέχεια μιας συνάρτησης f σε σημείο η διάστημα, από τη γραφική της παράσταση. 4. Να γνωρίζει τις βασικές συνεχείς συναρτήσεις και ότι το άθροισμα, η διαφορά, το γινόμενο, το πηλίκο καθώς και η σύνθεση συνεχών συναρτήσεων είναι συνεχής συνάρτηση. 5. Να γνωρίζει τα βασικά θεωρήματα: Bolzano, ενδιάμεσης τιμής και μέγιστης - ελάχιστης τιμής, όταν η συνάρτηση ορίζεται σε κλειστό διάστημα και να μπορεί να τα εφαρμόζει, στην εύρεση του προσήμου μιας συνεχούς συνάρτησης, στην εύρεση του συνόλου τιμών και του πλήθους των ριζών συναρτήσεων των οποίων είναι γνωστά τα διαστήματα μονοτονίας και το είδος της μονοτονίας.

Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια ( ) lim f () και lim g() υπάρχουν και είναι πραγματικοί αριθμοί τότε : lim f() + g() = lim f() + lim g() ( ) lim k f () = k lim f (), k R ( ) lim f () g() = lim f () lim g() ν ( ) ( ) lim f () = lim f (), ν Ν με v f lim f () lim =, lim g() g lim g() ( ) ( ) ν lim f () = lim f () ν lim f () ν lim f () με f() = κοντά στο, v Nμε v.

38. Όρια - Συνέχεια Τύποι - Βασικές έννοιες Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν και μόνον αν, ισχύει : lim f ( ) = f ( ) Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής (στο πεδίο ορισμού της), αν και μόνον αν, είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της. Συνέχεια βασικών συναρτήσεων - Κάθε πολυωνυμική συνάρτηση είναι συνεχής στο R. - Κάθε ρητή συνάρτηση είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της - Οι συναρτήσεις ημ, συν είναι συνεχείς στο R. - Οι συναρτήσεις e, α, ln, log είναι συνεχείς στο πεδίο ορισμού τους, με < α. Πράξεις με συνεχείς συναρτήσεις Αν οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού τους, τότε και f k οι συναρτήσεις: f + g, f g, λ f( λ R ), ( g( ) ), f, f ( f( ) ), κ Νμε g κ είναι συνεχείς στο. Θεώρημα Bolzano (Θ.Β.) Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν: η f είναι συνεχής στο [α,β] και f (α). f (β) <, f = τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον αβ ( ) τέτοιο ώστε ( ) δηλαδή υπάρχει μία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f( ) = στο (α,β). Γεωμετρική ερμηνεία Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη μεταξύ των α και β (σχ.). Θεώρημα ενδιάμεσων τιμών (Θ.Ε.Τ) Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν ισχύουν ότι: η f είναι συνεχής στο [α,β] και f α f β ( ) ( ) τότε για κάθε αριθμό n μεταξύ των f(α), f(β) υπάρχει ένα τουλά- α,β f = n. χιστον ( ) τέτοιο ώστε ( )

Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 39. Γεωμετρική ερμηνεία Η ευθεία y = n όπου n μεταξύ των f ( α ), f ( β ) τέμνει τη γραφική παράσταση της f τουλάχιστον σε ένα σημείο με τετμημένη μεταξύ των α και β. Θεώρημα μέγιστης και ελάχιστης τιμής Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [α,β] τότε η f παίρνει στο [α,β] μέγιστη τιμή Μ και ελάχιστη, α,β m= f και M = f οπότε: τιμή m, δηλαδή υπάρχουν [ ] τέτοια ώστε ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) =, για κάθε [ α,β] m f f f M. Ευρεση συνόλου τιμών Όπως ήδη αναφέρθηκε στο πρώτο σχόλιο είναι φανερό ότι το σύνολο τιμών μιάς συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε κλειστό [ α, β ] είναι το f ( α ),f( β) ( ) ( ) f β,f α αν η f είναι φθίνουσα. αν η f είναι αύξουσα και Αν η f είναι συνεχής στο ανοιχτό ( α,β ) τότε το σύνολο τιμών της στη περίπτωση που είναι ( + ) α β γνησίως αύξουσα είναι f ( A) im f ( ), im f ( ) γνησίως φθίνουσα είναι f( A) = imf( ), imf( ) = ενώ στη περίπτωση που είναι ( + β α ) Αν τέλος, η f είναι συνεχής και ορισμένη στα [ α,β ) ή ( α,β ] τότε (αν f γνησίως αύξουσα) + β α. Ενώ (αν f γνησίως φθίνουσα) το σύνολο τιμών της είναι f( A) = ( imf( ),f( α) ή β f ( β,imf ) ( + )). α το σύνολο τιμών της είναι: f ( A) = f( α, ) imf( ) ή f( Α) = imf(, ) fβ ( ) (

4. Όρια - Συνέχεια Βήμα ο C C f f µµ Oy. y µ Oy µ µ f µ C C f f µ µ. f ( ) y f ( y), µ M (, ) C f, µ (, ) C f -. µ, µ, µµ µ Oy µ : Oy.

Βήμα ο Όρια - Συνέχεια 4. C C f f µµ Oy. y µ Oy µ f, µ µ [, ]. : f [, ] f ( ) f ( ), µ µ f ( ) f ( ), (, ), f ( ) µ ( ) f ( ) f ( ). f ( ) f ( ) (. µ ). µ g( ) f ( ), [, ], µ : g [, ] g ( ) g( ), g( ) f ( ) g ( ) f ( ). µ, µ µ µ Bolzano, - (, ), g ) f ( ), f ( ). (

4. Όρια - Συνέχεια Βήμα ο Α. Από το σχολικό βιβλίο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ έκδοση 3.. Συναρτήσεις.3 Μονότονες-Αντίστροφη Συνάρτηση -Πεδίο ορισμού σελ. 34, εφαρμογή σελ. 45, άσκηση,5 σελ. 47, άσκηση,3,4 (Β ομάδα) -Γραφική παράσταση σελ. 4, εφαρμογή σελ. 45, άσκηση,3,6 -Ισότητα συναρτήσεων σελ. 46, άσκηση 7 -Πράξεις με συναρτήσεις σελ. 46, άσκηση 8 -Σύνθεση συναρτήσεων σελ. 43-44, εφαρμογή-σχόλια σελ. 46, άσκηση, σελ. 48, άσκηση 6,7,8,9 -Μονοτονία συνάρτησης σελ. 56, άσκηση σελ. 57, άσκηση 4 -- -Αντίστροφη συνάρτηση σελ. 55, εφαρμογή σελ. 56, άσκηση.4-.7 Όρια -Ιδιότητες ορίου σελ. 74, άσκηση σελ. 76, άσκηση 4 σελ. 8, άσκηση 4 σελ. 86, άσκηση

Βήμα ο Όρια - Συνέχεια 43. -Μορφή σελ. 75, άσκηση 4 σελ. 75-76, άσκηση (Β ομάδα) -Ασκήσεις με απόλυτα σελ. 76, άσκηση σελ. 87, άσκηση (Β ομάδα) -Κριτήριο παρεμβολής -Τριγωνομετρικά όρια σελ. 75, άσκηση 6,7 -Μορφή α σελ. 8, άσκηση, σελ. 8, άσκηση -Μορφή + σελ. 87, άσκηση 3i, iii (Α ομάδα) + -Μορφή ( + ) ( + ) σελ. 87, άσκηση 3ii (Α ομάδα) -Όρια εκθετικής-λογάριθμοι -Παραμετρικές ασκήσεις σελ. 75, άσκηση 9 σελ. 85, άσκηση 3 σελ. 87, άσκηση,,3 (Β ομάδα) -Γενικές ασκήσεις.8 Συνέχεια συνάρτησης -Συνέχεια σελ. 98, άσκηση 4,5 σελ. 99, άσκηση,3 (Β ομάδα) -Θεώρημα Bolzano σελ. 98-99, άσκηση 6,7,8,9 (Α ομάδα) σελ. 99, άσκηση 4 (Β ομάδα) σελ., άσκηση 5,6,7,8 -Ενδιάμεσων τιμών -Σύνολο τιμών σελ. 99, άσκηση -Ερωτήσεις κατανόησης σελ. -3

Βήμα 3 ο Όρια - Συνέχεια 45.. Να βρεθεί το όριο: Λύση: Για κάθε : 4 4 + + im. ( )( ) 4 ( ) 4 + + + + + + + = = + + + 4 4 4 4 4 4 4 ( ) 4 ( ) 4 + + + + + + + = = = 4 4 4 ( ) ( ) 4 + + + 4 + + + + + + 4 ( ) ( + + ) 4 ( )( ) = = 4 + + + 4 + + + 4 4 + = = 4 ( )( ) 4 + + + 4 + + + = 4 4 4 ( )( ) + + + + + + Άρα: im + + = im = ( + + + )( + + + ) 4 4 4 4 4 = = 4

46. Όρια - Συνέχεια Βήμα 3 ο + ( + α) f =. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β αν imf ( ) = β.. Θεωρούμε συνάρτηση ( ) Λύση: Η f() ορίζεται για [,) (, + ). ( ) ( ) Επίσης: ( ) + + α + + + α f = = + + ( + α) + ( + α) + 4α 4α = = = ( + + + α) ( + + + α) ( 4α 4α ) =. Δηλαδή: ( ) ( + + + α) Άρα: f ( ) ( + + + α) = 4α + 4α Τότε: ( ) ( ) [ ] im f + + + α = im 4α + 4α ή β = + 4α α= 4 4α 4α f = + + + α ( ) () Από τη σχέση (), για α = έχουμε: f ( ) = 4 4 + + + Άρα: ( ) 4 4 β= imf = im = =. + + + 8 3. Έστω z C, z και f:r R συνεχής συνάρτηση. Αν τα επόμενα όρια: zf ( ) 4 4 im και αριθμοί, να δείξετε ότι υπάρχει ξ [,] zf ( ) + im, υπάρχουν και είναι πραγματικοί τέτοιο ώστε f () ξ =.

Βήμα 3 ο Όρια - Συνέχεια 47. Λύση: ( ) Έστω ( ) zf 4 4 g = () Σύμφωνα με την εκφώνηση το img( ) υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. Επειδή η συνάρτηση f είναι συνεχής και η συνάρτηση zf ( ) 4 είναι επίσης συνεχής,αφού zf ( ) 4 = ( f ( ) 4) + y f ( ) όπου z = + yi με,y R. Από την () παίρνουμε: zf ( ) 4 = g( ) + 4 οπότε ( ) im zf ( ) 4 = im g( ) + 4 = 4 Άρα zf() 4 = 4 (), αφού η zf( ) 4 είναι συνεχής στο. Αν z = α+ βi η σχέση () γράφεται: ( αf() 4) + f() β = 4 f() α f() 8α+ f() β = Τότε ( f() =, άρα ξ= ) ή αf() 8α+ f() β = οπότε: 8α f() = () 3 α + β 4. Έστω συνάρτηση f:r R για την οποία ισχύει: f( ) κάθε R. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο. Λύση: Για κάθε R, f = ( ) (αφού ( ) f ( ) + δηλαδή για κάθε R, f( ). Όμως: ( ) im =, im = = ( ) f +, για f +, για κάθε R ) Άρα σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής θα ισχύει: ( ) imf = () Επίσης από την σχέση της υπόθεσης έπεται ότι: f() = = f + Από τις () και () συμπεραίνουμε ότι η f είναι συνεχής στο. () ()

48. Όρια - Συνέχεια Βήμα 3 ο 5. Έστω συνάρτηση f :[ α,β] R με α < συνεχής και τέτοια ώστε: ( ) + ( ) + = ( ( ) ( )) f α f β f α f β α,β :f = Να δείξετε ότι υπάρχει ( ) ( ) Λύση: Η σχέση της υπόθεσης γίνεται: f α f β f α f β ( ) + ( ) + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f α + f β + + f α + f β = ( ) f α = ( f ( α) ) + ( f() β + ) = και f () β = Θεωρούμε τη συνάρτηση g( ) = f( ), [ α,β] Για την g παρατηρούμε ότι: g συνεχής στο [α,β] ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων g( α) = f( α) α = α >, αφού α < g β = f β β = β = β + < () () ( ) Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano: α,β :g = f = f = υπάρχει ( ) ( ) ( ) ( ) 6. Να βρείτε τη συνεχή συνάρτηση f:r R Λύση: ( ) ( ) Για κάθε R: f ( ) f( ) με f() > ώστε: f f =, για κάθε R. = ( ) ( ) + = + f f ( ( ) ) f = + () Επομένως και f( ) για κάθε R. Θεωρούμε τη συνάρτηση g( ) = f( ), R: Για τη g παρατηρούμε ότι: g συνεχής στο R g( ) για κάθε R

Βήμα 3 ο Όρια - Συνέχεια 49. g= f > συμπεραί- Επομένως η g διατηρεί πρόσημο στο R και επειδή () () νουμε ότι g( ) >, για κάθε R δηλ. f( ) υποθ. >, για κάθε R. Οπότε λόγω και της () έπεται ότι: f( ) = +, για κάθε R ή ισοδύναμα f( ) = + +, για κάθε R. 7. Έστω f:r R συνεχής συνάρτηση ώστε f() > και f( ), για κάθε R. Δείξτε ότι: i. f( ) >,για κάθε R. ii. imf ( ) =+ Λύση: i. Θεωρούμε τη συνάρτηση g( ) f( ) g συνεχής στο R, g( ) για κάθε R =, R.Για τη g παρατηρούμε ότι: Επομένως η g διατηρεί πρόσημο στο R και επειδή g () = f () υποθ. >συμπεραί- νουμε ότι g( ) >, για κάθε R, δηλαδή f( ) >, για κάθε R ή f( ) >, για κάθε R ii. Είναι φανερό ότι: για κάθε R, f( ) > και άρα < f <, για ( ) * κάθε R. Όμως: im =, im = και επομένως σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής θα έχουμε: im =, οπότε im =+ (αφού >, για κάθε f( ) f( ) R ) f =+. δηλαδή im f ( ) ( ) 8. Έστω f:r R συνεχής συνάρτηση και τέτοια ώστε < f( ) < +, για κάθε R. Δείξτε ότι: f( R) = R.

5. Όρια - Συνέχεια Βήμα 3 ο Λύση: Αρκεί προφανώς να δείξουμε ότι κάθε πραγματικός αριθμός κ είναι τιμή της f. R:f = κ Δηλαδή ότι υπάρχει ( ) Προς τούτο θεωρούμε τη συνάρτηση g( ) = f( ) κ, R για την οποία παρατηρούμε ότι: g συνεχής στο [ κ,κ] R ( ) ( ) υποθ. g κ = f κ κ < κ + κ = ( ) ( ) υποθ. g κ = f κ κ > Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano: κ,κ R:g = f κ = f = κ ο.ε.δ. υπάρχει ( ) ( ) ( ) ( ) 9. Αν για τη συνάρτηση f:r R R Λύση: ισχύει f() = και * να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο. Από τη σχέση της υπόθεσης έπεται ότι: ( ( ) )( ( ) ) * ή f ( ) < για κάθε R, δηλ. f ( ) < για κάθε * Oπότε f ( ) <, για κάθε R. Άρα f( ) * ή ισοδύναμα < f( ) <, για κάθε R. Όμως: - im( ) im = =, f( ) <, για κάθε f( ) + f f + <, για κάθε R *. R <, για κάθε R Άρα σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής θα ισχύει: imf ( ) = () Όμως εξ υποθέσεως είναι f() = () Εκ των () και () έπεται ότι η f είναι συνεχής στο. * *. Έστω f :[ α,β] ένα [ α,β] R συνεχής συνάρτηση. Δείξτε ότι υπάρχει τουλάχιστον τέτοιο ώστε: ( ) f( ) f +, για κάθε [ α,β].

Βήμα 3 ο Όρια - Συνέχεια 5. Λύση: Η f ως συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] θα παίρνει μέγιστη τιμή σ αυτό (θεώρημα μέγιστης - ελάχιστης τιμής). Δηλαδή θα υπάρχει τουλάχιστον ένα [ α,β] τέτοιο ώστε: f( ) f( ), για κάθε [ α,β] ή ισοδύναμα f( ) f( ), για κάθε [ α,β] f( ) f( ) Οπότε, για κάθε [ α,β]. +. Έστω f:r R. συνάρτηση και τέτοια ώστε f() < f() < f() 3. Δείξτε ότι η f δεν είναι συνεχής. Λύση: Ισχυριζόμαστε ότι η f είναι συνεχής στο R. Από τις υποθέσεις του προβλήματος έπεται ότι: f συνεχής στο[,3] R f( ) f() 3 f() ( f( ),f() 3) Αρα σύμφωνα με το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών υπάρχει f" " ( ) ( ) (),3 :f = f =, που είναι άτοπο. Άρα η f δεν είναι συνεχής στο R..Έστω f συνεχής στο R και τέτοια ώστε να ισχύει: f ( + ) + f( ) = ( ),για κάθε R, f( ) f() Λύση: Nα δείξετε ότι υπάρχει ξ (, ) τέτοιο ώστε f () ξ f ( ξ ) = +. θεωρούμε g( ) = f( ) f( + ), που είναι συνεχής στο [, ] και ισχύουν: g( ) = f( ) f( ) και g( ) = f( ) f( 3). Όμως για f( ) + f( ) = f( ) = f( ). Για = έχουμε από την (): f() 3 + f() = f() 3 = f() ( ) = από την () έχουμε : ( ) Άρα g( ) = f( ) + f() = f( ) f() και g ( ) g ( ) = f ( ) f () < Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ξ στο (,) τέτοιο ώστε: f () ξ f( ξ+ ) = f() ξ = f( ξ+ )

5. Όρια - Συνέχεια Βήμα 3 ο 3. Αν f συνεχής στο [, 4 ], τότε υπάρχει: Λύση: ξ (, 4 ): 9f () ξ = f () + 3f () + 4f () 3 Αφού η f είναι συνεχής στο διάστημα [, 4 ] έχει μέγιστο και ελάχιστο δηλ. υπάρχουν, [,4] τέτοια ώστε: f( ε) f( ) f( μ), [,4] Άρα: ε μ ( ε) ( ) ( μ) ( ε) ( ) ( μ) ( ε) ( ) ( μ) f f f f f f f f 3 f Με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε : ( ε) ( ) ( μ) ( ε) ( ) ( μ) ( ε) ( ) ( μ) f f f 3f 3f 3f 4f 4f 3 4f ( ε) ( ) ( ) ( ) ( μ) 9f f + 3f + 4f 3 9f f( ) ε () + ( ) + () f 3f 4f 3 9 ( μ) f Σύμφωνα με το Θεώρημα Ενδιάμεσων τιμών υπάρχει ξ (,4) τέτοιο ώστε: f () + 3f ( ) + 4f () 3 f () ξ = 9f () ξ = f () + 3f ( ) + 4f () 3 9 4. Αν f:r R και για κάθε, δειχθεί ότι η f είναι συνεχής και να βρεθεί το Λύση: Με =, = έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( ) R είναι f( ) f( ) ( ) να f( ) f( 3) lim. 3 + 3 f f f f και επειδή lim = lim =, συμπεραίνουμε από το κριτήριο παρεμβολής ότι ( ) ( ) = ( ) = ( ) lim f f lim f f. Επειδή το είναι τυχαίο στοιχείο του R η f συνεχής σε κάθε R. Ομοίως με =, = 3έχουμε:

Βήμα 3 ο Όρια - Συνέχεια 53. ( ) f( ) f( 3) f f( 3) + 3 + 3 + 3 f( ) f( 3) + 3 + 3 + 3 lim + 3 = lim + 3 = συμπε- f( ) f( 3) ραίνουμε ότι: lim =. 3 + 3 5. Θεωρούμε συνάρτηση f:r R και επειδή [ ] 3 3 3 τέτοια ώστε : f ( ) + f ( ) = k, k > α. Να δειχθεί ότι η f είναι. f( ) f( ) β. Να δειχθεί ότι η f είναι συνεχής και να βρεθεί το lim. Λύση: α. Έστω f( ) = f( ) f 3 ( ) = f 3 ( ) Επομένως: 3 3 ( ) ( ) ( ) = f( ) f = f f ( ) ( ) ( ) ( ) με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε: f + f = f + f k = k = 3 3 που σημαίνει ότι η f είναι -. 3 3 β. Απο τις σχέσεις: ( ) ( ) ( ) ( ) f + f = k και f + f = k με αφαίρεση κατά μέλη,παίρνουμε: f 3 ( ) f 3 ( ) + f( ) f( ) = k( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f f f + f f + f + f f = k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () f f f + f f + f + = k αλλά ( ) ( ) ( ) ( ) f + f f + f > (τριώνυμο ως προς το f() με αρνητική διακρίνουσα). Οπότε ( ) ( ) ( ) f( ) f k( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = f + f f + f + k( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k f f = = k f + f f + f + ( ) ( ) k f f k

54. Όρια - Συνέχεια Βήμα 3 ο και επειδή lim k = lim k = σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής θα είναι και ( ) ( ) = ( ) = ( ) lim f f lim f f Επειδή η f είναι συνεχής στο τυχαίο θα είναι συνεχής στο R. Απο τη σχέση () έχουμε: ( ) ( ) f f k = () ( ) ( ) f + f f( ) + f ( ) + Επειδή η f είναι συνεχής στο R άρα και στο το ο μέλος της () μας δίνει: lim f ( ) + f ( ) f ( ) + f ( ) + k k k = = f + f f + f + 6f + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Άρα από () έχουμε: = ( ) ( ) f f k lim = 6f + (για = έχουμε:) ( ) f( ) f( ) k lim = 6f () +

Βήμα 4 ο Όρια - Συνέχεια 55. f( ). Αν lim = 5, lim g ( )( + ) = 3, να βρεθεί το : lim f ( ) g( ). Δίνεται η συνάρτηση f ( ) α + β, = + + > β α,.αν υπάρχει το limf ( ) και η γραφική παράσταση της f περνά απο το σημείο Α(,) να βρεθούν οι τιμές των α και β.

56. Όρια - Συνέχεια Βήμα 4 ο 3. Αν f ( ) α+ + β 4 = + 5 6 και lim f ( ) = να βρεθούν οι αριθμοί 3 α,β R 4. Να βρεθούν τα παρακάτω όρια: α. lim 4 3 + + β. lim 5 + 6 4 lim 6 + + 3 + + 3+ 5 +7+8 γ. + lim 9 + + + + +4 δ.

Βήμα 4 ο Όρια - Συνέχεια 57. 5. Να βρεθούν τα όρια των παρακάτω συναρτήσεων: 4. f ( ) = ημ, όταν και όταν ± 4 5. f ( ) = ημ, όταν και όταν ± 3 3. f ( ) = ημ, όταν και όταν ± 6 6. Να βρεθούν τα όρια των συναρτήσεων: + 3 + 5 + 7. f ( ) =, όταν + 4 3 + 6 e + 3 5 3 4 + +. f ( ) = 5, όταν 3 4 + 6

58. Όρια - Συνέχεια Βήμα 4 ο 7. Να προσδιοριστούν οι αριθμοί α,β R ώστε: + + = 3 lim 9 3 4 + α+β + 8. Να προσδιοριτεί ο α ώστε η συνάρτηση ( ) f = 4 + 5 + α να έχει όριο καθώς και να βρεθεί η τιμή του ορίου. 9. Έστω α R, f :R R με: α. ( f f)( ) = 4+ 3 και β. ( f f f)( ) = 8+ α για κάθε R. Βρείτε το α R και τη συνάρτηση f.

Βήμα 4 ο Όρια - Συνέχεια 59.. Έστω f:r Rτέτοια ώστε για κάθε R 3 : f ( ) + 3f ( ) = + 3 Δείξτε ότι: α. η f είναι -, β. υπάρχει η f την οποία να βρείτε.. Δίνονται οι συναρτήσεις f,g:r R. Δείξτε ότι: α. Αν f, g είναι - τότε η gof είναι - β. Αν f, g είναι αντιστρέψιμες τότε η gof είναι αντιστρέψιμη και ( ) g f = f g

6. Όρια - Συνέχεια Βήμα 4 ο. Θεωρούμε τη συνάρτηση f:r R κάθε R, δείξτε ότι: τέτοια ώστε ( f f)( ) = + για ( ) α. f()= β. η συνάρτηση g( ) = + f( ) δεν είναι - 3. Δίνεται η συνάρτηση f:r R γνήσια αύξουσα στο R, τέτοια ώστε ( f f)( ) = για κάθε R. Δείξτε ότι f( ) =. 4. Έστω f:r R και lim ( f ( ) ) = να βρεθούν αν υπάρχουν τα όρια: +

Βήμα 4 ο Όρια - Συνέχεια 6. α. lim f ( ) + β. f ( ) + lim + + f ( ) 5. Βρείτε τα α,β,γ R έτσι ώστε: + + + = γ 3 α β lim 3 6. Να βρεθεί το πολυώνυμο Ρ() και το α R αν: lim f ( ) =, lim f ( ) =, limf ( ) = 3 και f() = + + + α όπου f ( ) =. P( )

6. Όρια - Συνέχεια Βήμα 4 ο 7. Δίνεται η συνάρτηση f ( ) = 4 + + α + β βρείτε τα α,β R έτσι ώστε: lim f ( ) = 8. Δίνεται η συνάρτηση f:r R ( ) ( ) ( ) f ημ με limf ( ) = f ( ) και για κάθε R α. Βρείτε το f(). α + α -β+β -f () β. Αν g( ) =, α,β R. Βρείτε το limg( ).

Βήμα 4 ο Όρια - Συνέχεια 63. 9. Έστω f:r R συνεχής στο =. Αν f( ) lim = 3 f( ) f( ) α. Βρείτε το f(). β. Βρείτε το lim.. Δίνονται f,g:[ α,β] R συνεχείς, με f ([ α,β] ) g( [ α,β] ) υπάρχουν ξ,ξ [ α,β] τέτοια ώστε ( )( ) ( )( ) =. Δείξτε ότι gof ξ fog ξ = ξ ξ.. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) = + με f f α α α α α. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής. β. Δείξτε ότι η f είναι γνήσια μονότονη. γ. Λύστε την εξίσωση ( ) α + α α = α. δ. Βρείτε το σύνολο τιμών της f. < α, Α = R

64. Όρια - Συνέχεια Βήμα 4 ο. Δίνονται οι συναρτήσεις: ( ) ( ) f = α, g = με < α <. α. Μελετήστε τις f, g ως προς τη μονοτονία. β. Δείξτε ότι οι C f, C g έχουν μοναδικό σημείο τομής. 3. Δίνεται συνάρτηση f :[ α,β] ( ) R συνεχής και τα σημεία A α,f ( α ), Ββ,fβ ( ( )) τα οποία είναι σημεία τομής της C με την διχοτόμο της ης γωνίας των αξόνων. Δείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α,β) έτσι f ώστε: () () f ξ β f ξ α = ξ α ξ β

Βήμα 4 ο Όρια - Συνέχεια 65. 4. Έστω f :[ α,β] R συνεχής. Αν για κάθε [ α,β] υπάρχει y [ α,β] τέτοιο ώστε f( y) f( ), να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ [ α,β] ώστε f ( ξ) =. τέτοιο

66. Όρια - Συνέχεια Βήμα 5 ο Θέμα ο Α.α. Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] και f (α) f (β) αποδείξτε ότι, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει ένας τουλάχιστον (α,β) τέτοιος ώστε: f ( ) n (Μονάδες 4) β. Ποιο είναι το σύνολο τιμών της f ( ) = όταν (,) (Μονάδες ) Β. Αντιστοιχίστε σε καθένα από τα γράμματα Α,Β,Γ,Δ έναν αριθμό ώστε καθένα από τα σχήματα της πρώτης στήλης να ταιριάξει με τις κατάλληλες σχέσεις της δεύτερης στήλης.

Βήμα 5 ο Όρια - Συνέχεια 67. Στήλη Α Στήλη Β. im f ( ) f ( ) = im f ( ) +. im f ( ) = im f ( ) f ( ) + 3. im f ( ) = f ( ) im f ( ) + 4. im f ( ) im f ( ) f ( ) + A B Γ Δ (Μονάδες ) Β. Να χαρακτηρίσετε τις επόμενες προτάσεις με την ένδειξη Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος). α. Αν για μια συνεχή συνάρτηση στο (α,β) ισχύουν: im f () =, im f () = +, + α β τότε η f έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (α,β). (Μονάδες 3) β. Αν η f είναι συνεχής στο [-,] και f(-)=, f()=5, τότε υπάρχει πραγματικός (,), τέτοιος ώστε f ( ) = π. (Μονάδες 3) γ. Αν im f () =, im f () = +, τότε το πεδίο τιμών της f είναι το (, + ) + α β (Μονάδες 3)

68. Όρια - Συνέχεια Βήμα 5 ο Θέμα Α. Έστω f, g συναρτήσεις συνεχείς στο [α,β] και τέτοιες ώστε f () α < g() α, f () β > g() β. Να αποδείξετε ότι οι καμπύλες με εξισώσεις y = f ( ), y = g( ) τέμνονται τουλάχιστον σε ένα σημείο με τετμημένη ( α,β) (Μονάδες 5) Β. Σε ποιό από τα παρακάτω διαστήματα μπορούμε να ισχυριστούμε ότι υπάρχει 3 σίγουρα λύση της εξίσωσης = + Α. (, ) Β. (, ) Γ. (,) Δ. (, ) Ε. (, 3) (Μονάδες ) Θέμα 3 Α. Να προσδιορίσετε τα,β R Β. Με βάση το διπλανό σχήμα το α ώστε im ( 9 α β) + ( ) + im είναι ίσο με: f = (Μονάδες 5) Α. + Β. Γ. Δ. Ε. (Μονάδες )

Βήμα 5 ο Όρια - Συνέχεια 69. Θέμα 4 Το ποσοστό επί τοις εκατό του τιμάριθμου μιας χώρας μετά από t χρόνια, δίνεται t + 45 από τον τύπο: f () t =, t. t + 5 α. Πόσο είναι σήμερα ο τιμάριθμος; β. Να εξετάσετε αν στο μέλλον ο τιμάριθμος θα αυξηθεί ή θα μειωθεί. γ. Ποιός θα είναι ο τιμάριθμος μετά από πάρα πολλά χρόνια αν το ποσοστό επί τοις εκατό συνεχίζει να εκφράζεται από τον παραπάνω τύπο; (Μονάδες 5)