Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής
Περίληψη Ευστάθεια Συστημάτων Απόκριση ΓΧΑ Συστημάτων σε Διεγέρσεις Απλής Συχνότητας Ενέργεια και Ισχύς Σήματος ΠεριοδικάΣήματαΣυνεχούςΧρόνου Ασκήσεις
Ευστάθεια Συστημάτων Ηέννοιατηςευστάθειαςενόςσυστήματοςείναικεντρικήςσημασίαςστη Θεωρία Συστημάτων. Στην ουσία, η απαίτησή μας για ευστάθεια ενός συστήματος ταυτίζεται με την απαίτηση, τα εμπλεκόμενα σήματα να παραμένουν πεπερασμένα σε πλάτος. Υπάρχουν περισσότεροι του ενός ορισμοί της ευστάθειας. Στο παρόν κεφάλαιο θα ορίσουμε την λεγόμενη ευστάθεια φραγμένης εισόδου φραγμένης εξόδου (ΦΕΦΕ) (bounded input bounded output (BIBO)).
x(t) h(t) y(t) Ικανή και αναγκαία συνθήκη Δηλαδή, η κρουστική του απόκριση να είναι απόλυτα ολοκληρώσιμη.
Απόκριση ΓΧΑ Συστημάτων σε Διεγέρσεις Απλής Συχνότητας Έστω ένα ΓΧΑ σύστημα με κρουστική απόκριση h(t). Το ζητούμενο στο παρόν εδάφιο είναι ο υπολογισμός του σήματος εξόδου όταν η είσοδος του συστήματος είναι το μιγαδικό εκθετικό σήμα απλής συχνότητας: xt () = j 0t Ae Ω Ηέξοδοςδίνεταιαπότην () = ( ) ( ) y t h τ x t τ dτ = Α = Α ( τ ) ( τ ) ( t τ ) jω0 h e d jω t j τ 0 Ω0τ e h e d τ
Απόκριση ΓΧΑ Συστημάτων σε Διεγέρσεις Απλής Συχνότητας ή j 0 ( ) = ( Ω ) y t AH e Ω 0 t όπου H(Ω 0 ) η ανεξάρτητη του χρόνου (μιγαδική) ποσότητα jω0 ( ) ( τ ) H h e τ dτ Ω0 (1.46) Με άλλα λόγια, το σήμα στην έξοδο είναι το περιοδικό σήμα διαφορετικό πλάτος και φάση. Πράγματι η μιγαδική ποσότητα Η(Ω 0 ) γράφεται ως ( Ω ) = ( Ω ) ( ) j H 0 H 0 e ϕ Ω 0 j 0t e Ω αλλά με όπου Η(Ω 0 ) το μέτρο και φ(ω 0 ) η φάση, που εξαρτώνται προφανώς από τη συχνότητα Ω 0 του σήματος εισόδου. Άρα () = ( Ω ) y t A H e 0 ( ) j Ω t+ ϕ Ω 0 0 (1.47)
Απόκριση ΓΧΑ Συστημάτων σε Διεγέρσεις Απλής Συχνότητας Το πλάτος, δηλαδή, της εξόδου είναι Α Η(Ω 0 ) και η φάση του είναι μετατοπισμένη κατά φ(ω 0 ) σε σχέση μ αυτή του σήματος εισόδου. Όπως θα δούμε στο επόμενο κεφάλαιο, ηη(ω 0 ) δεν είναι τίποτε άλλο από ένα μαθηματικό μετασχηματισμό (που δρα πάνω στη συνάρτηση h(t) και δίνει μία άλλη συνάρτηση Η(Ω 0 ) ) υπολογισμένο στην τιμή Ω=Ω 0. y t = A H Ω e () ( ) 0 ( ) j Ω t+ ϕ Ω 0 0
Απόκριση ΓΧΑ Συστημάτων σε Διεγέρσεις Απλής Συχνότητας Η ιδιαιτερότητα αυτή των ΓΧΑ συστημάτων καθιστά τα μαθηματικά εργαλεία που θ αναπτύξουμε στα επόμενα κεφάλαια ιδιαίτερα εύχρηστα για μελέτη τέτοιων συστημάτων. Συγκεκριμένα, θα μελετήσουμε τρόπους περιγραφής ενός σήματος ως υπέρθεση σημάτων απλών συχνοτήτων. Έτσι η έξοδος του ΓΧΑ συστήματος θα είναι η υπέρθεση των ίδιων αυτών σημάτων, έχοντας βέβαια υποστεί την αλλαγή που επιβάλει το σύστημα στο πλάτος και φάση του κάθε σήματος χωριστά, ανάλογα με τη συχνότητά του.
Ενέργεια και Ισχύς Σήματος Υποθέτουμε ότι υ(t) είναι η τάση στα άκρα μίας αντίστασης, η οποία έχει τιμή R=1Ω. Είναι γνωστό ότι η στιγμιαία ισχύς Ρ(t) που καταναλώνεται στην (ωμική) αντίσταση R είναι: ( t) υ P() t t P t R = = υ = t () () υ (), αφού R=1Ω. Ητάσηυ(t) στα άκρα της αντίστασης αυτής είναι, γενικά, χρονικά μεταβαλλόμενη, δηλαδή είναι ένα σήμα συνεχούς χρόνου x(t). Με βάση την περίπτωση αυτή, ορίζεται η στιγμιαία ισχύς P x (t) του σήματος x(t) από τη σχέση: () = () = () () = () P t x t x t P t x t
Ενέργεια και Ισχύς Σήματος Θεωρούμε ότι το σήμα εισόδου είναι ένα περιοδικό σήμα με περίοδο Τ. Η ενέργεια του σήματος στο χρονικό διάστημα Ε τ = () x t dt t είναι: Ex, 1 καιημέσηισχύςστοίδιοδιάστημαείναι: P = P x() t dt = Σε γενικευμένη μορφή έχουμε: Η ολική ενέργεια του σήματος είναι: E = lim x() t dt 1 και η αντίστοιχη μέση ισχύς: P = lim x() t dt
Ενέργεια και Ισχύς Σήματος Αν η ολική ενέργεια Ε του σήματος είναι πεπερασμένη και μη μηδενική, τότε το σήμα αυτό είναι ένα ενεργειακό σήμα. Αν η μέση ισχύς P του σήματος είναι πεπερασμένη και μη μηδενική, τότε το σήμα αυτό είναι ένα σήμα ισχύος. Σημειώνουμε εδώ ότι ένα σήμα ισχύος έχει άπειρη ενέργεια, ενώ ένα ενεργειακό σήμα έχει μηδενική ισχύ.
Ενέργεια και Ισχύς Σήματος Σύμφωνα με τα παραπάνω, για να διαπιστώσουμε αν ένα σήμα είναι ενεργειακό ή είναι σήμα ισχύος, ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία: I. Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα: II. Υπολογίζουμε το όριο: lim () x t () x t dt dt Αν το όριο αυτό υπάρχει, είναι πεπερασμένο και διάφορο του μηδενός, τότε το σήμα x(t) είναι ενεργειακό. Αν το όριο αυτό δεν υπάρχει ή είναι ίσο με +, τότε:
Ενέργεια και Ισχύς Σήματος III. Υπολογίζουμε το όριο: lim 1 () x t dt Αν το όριο αυτό υπάρχει, είναι πεπερασμένο και διάφορο του μηδενός, τότε το σήμα x(t) είναι σήμα ισχύος. Φυσικά, αν δεν ισχύει τίποτα από τα παραπάνω, το σήμα x(t) δεν είναι σήμα ενέργειας, αλλά ούτε σήμα ισχύος.
ΠεριοδικάΣήματαΣυνεχούςΧρόνου Ένασήμασυνεχούςχρόνουx(t) θα ονομάζεται περιοδικό, όταν υπάρχει σταθερή Τ τέτοια ώστε για κάθε t να ισχύει: x(t+)=x(t) (1) Ο ελάχιστος θετικός αριθμός Τ για τον οποίο ισχύει η σχέση αυτή ονομάζεται περίοδος του περιοδικού σήματος x(t). Η γραφική παράσταση του περιοδικού σήματος x(t) περιόδου Τ, αποτελείται από τμήματα τα οποία επαναλαμβάνονται ανά χρονικά διαστήματα Τ. X(t) -3 - - 0 3 t
ΠεριοδικάΣήματαΣυνεχούςΧρόνου Παράδειγμα: Το σήμα x(t) =Α cos(ωt+φ), όπου Α, ω, φ είναι σταθερές, είναι περιοδικό με περίοδο: π ω = () Πράγματι είναι: x(t+) = Acos[ω(t+)+φ] = Αcos(ωt+ωΤ+φ) και επειδή σύμφωνα με τη σχέση () είναι ωτ=π, παίρνουμε: x(t+) = Αcos(ωt+π+φ) = Αcos(ωt+φ+π) = Αcos(ωt+φ) => x(t+) = x(t) αφού ισχύει: cos(α+π) = cosα
Ασκήσεις
Άσκηση 1 Να σχεδιαστεί η βασική περίοδος για καθένα από τα παρακάτω περιοδικά j0.5πt α) x t = e σήματα: 1 ( ) β) x () t = cos( 0.πt) γ ) x () t = cos( 0.1πt) + sin ( 0.πt) Λύση: () 3 π j t 8 α) Είναι x1 t = e άρα η βασική του περίοδος είναι Τ=8 π β) Η βασική περίοδος του x () t = cos( 0.πt) = cos t είναι Τ= 10 10 π γ) Η βασική περίοδος του cos( 0.1πt ) είναι 0 ενώ 0.1π = π αυτή του sin( 0.πt ) είναι 10 0.π = Επειδή το 0 είναι ακέραιο πολλαπλάσιο το 10, είναι και περίοδος του sin(0.πt). Άρα, η βασική περίοδος του x 3 (t) είναι 0.
Άσκηση Θεωρήστε ένα χρονικά αμετάβλητο σύστημα F( ) με είσοδο x(t) και έξοδο y(t). Δείξτε ότι εάν το x(t) είναι περιοδικό με περίοδο Τ, το ίδιο ισχύει και για το y(t). Δώστε ένα παράδειγμα γραμμικού χρονικά μεταβαλλόμενου συστήματος και μιας περιοδικής εισόδου στο σύστημα αυτό για την οποία η αντίστοιχη έξοδος δεν είναι περιοδική. Λύση: Έχουμε y(t)=f[x(t)]. Εφόσον το σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο, θα ισχύει και y(t+)=f[x(t+)]. Λόγω περιοδικότητας του x(t) με περίοδο Τ, x(t+)=x(t). Επομένως ( + ) = ( + ) = ( ) = ( ) y t F x t F x t y t Που σημαίνει ότι και έξοδος y(t) είναι περιοδική με περίοδο Τ.
Άσκηση (συνέχεια) Για να δούμε ότι το παραπάνω δεν ισχύει, γενικά, για χρονικά μεταβαλλόμενα συστήματα, ας θεωρήσουμε το σύστημα y(t) = G[x(t)] x(t ), που είναι γραμμικό και χρονικά μεταβαλλόμενο. Έστω η είσοδος x(t)=cos(πt), που είναι περιοδική με περίοδο Τ=1. Είναισαφέςότιηέξοδος y() t = cos ( πt ) δεν είναι περιοδική αφού δεν υπάρχει αριθμός Τ τέτοιος ώστε ( ) cos πt = cos π( t+ ) = cos πt + π( t + ) Κάτι τέτοιο θα απαιτούσε η ποσότητα Τ t+ να είναι ακέραιος για κάθε t.
Άσκηση 3 Να εξετάσετε αν καθένα από τα παρακάτω σήματα είναι περιοδικό ή απεριοδικό. Στην περίπτωση που είναι περιοδικό να βρεθεί η περίοδος Τ. (i) cos ωt (ii) e -t sint (iii) 3sint+cos6t
Άσκηση 3 (i) cos ωt Λύση Το σήμα αυτό, σύμφωνα με τον γνωστό τριγωνομετρικό τύπο 1+ cosϕ cos ϕ = γράφεται: ( ωt) 1+ cos 1 x() t = cos ωt = x() t = [ 1+ cos( ωt) ] () 1 Για να είναι το σήμα αυτό περιοδικό πρέπει να υπάρχει θετικός αριθμός Τ έτσι ώστε να ισχύει για κάθε t: 1 ( ) ( ) { ( ) } 1 x t+ = x t 1+ cos ω t+ = [ 1+ cos( ωt) ] cos( ωt+ ω) = cos( ωt) nπ Η σχέση αυτή ισχύει όταν: ω = nπ = ω όπου n=1,,3, αφού είναι Τ>0. Η ελάχιστη τιμή του Τ που προκύπτει για n=1 και είναι Τ=π/ω. Άρα το σήμα είναι περιοδικό με περίοδο Τ=π/ω.
(ii) e -t sint Άσκηση 3 Λύση Ελέγχουμε αν υπάρχει Τ>0 έτσι ώστε να ισχύει για κάθε t: x( t + ) = e e t e x( t) e sin(t + ) ( t+ ) = e sin(t + ) = sin t sin ( t t sin t + ) = e t sin t Ησχέσηαυτή, δενμπορείναισχύειγιακάθεt, οποιαδήποτε και αν είναι η τιμή της θετικής σταθερής Τ. t xt () = e sin t Άρα το σήμα: είναι απεριοδικό.
Άσκηση 3 (iii) 3sint+cos6t Λύση Ελέγχουμε αν υπάρχει θετική σταθερή Τ, έτσι ώστε να ισχύει: ( + ) = ( ) ( ) ( ) ( ) xt xt 3sin t+ + cos6 t+ = 3sint+ cos6t 3sin(t+ ) + cos 6t+ 6 = 3sin t+ cos 6t Ένας τρόπος να ισχύει αυτή για κάθε t είναι να ισχύουν συγχρόνως οι σχέσεις: = n π, 6 = m π Τ= nπ, Τ= { } mπ 3 όπου n, m είναι θετικοί ακέραιοι. Η ελάχιστη τιμή του Τ προκύπτει για τις μικρότερες τιμές των n, m για τις οποίες οι σχέσεις αυτές ισχύουν συγχρόνως. Αυτό ισχύει για n=1, m=3 οπότε Τ=π. Άρα το σήμα είναι περιοδικό με περίοδο ίση με π.
Άσκηση 4 Για καθένα από τα παρακάτω σήματα να εξετασθεί αν πρόκειται για σήμα ισχύος ή για σήμα ενέργειας: ( i) x( t) = Acos( ωt) ( ii) x( t) = Aexp( λ t ) ( iii) x( t) 0, t < 0 = λt Ae, t > 0 όπου Α, ω, λ είναι θετικές σταθερές.
( i) x( t) = Acos( ωt) Άσκηση 4 Λύση (i) Υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα: () cos ( ω ) cos ( ω ) E = x t dt = A t dt = A t dt f t cos Παρατηρούμε εδώ, ότι η ολοκληρωτέα συνάρτηση ( ) είναι άρτια, αφού, προφανώς, είναι f ( t) = f ( t) και ότι τα άκρα ολοκλήρωσης είναι αντίθετα. = ωt Άρα έχουμε: 0 ( ω ) E = A cos t dt (1)
Με βάση τη γνωστή τριγωνομετρική σχέση ϕ = ( + ϕ) η προηγούμενη σχέση (1) δίνει: ( ωt) ( ω) cos 1 cos 1+ cos A t = E 1 cos( ) sin( ) = A dt = A ωt dt A t ωt + = + ω 0 0 t = 0 E ( i) x( t) Acos( ωt) A A = + sin ω Άσκηση 4 (συνέχεια) = Λύση () Είναι όμως γνωστό ότι δεν υπάρχουν τα όρια των τριγωνομετρικών συναρτήσεων sinx, cosx για x +. ΆραδενυπάρχειτοόριοτηςΕ Τ για Τ +. Άρα το σήμα αυτό δεν μπορεί να είναι σήμα ενέργειας.
( i) x( t) Acos( ωt) Θεωρούμε το όριο: Άσκηση 4(συνέχεια) = Λύση 1 1 A A A A lim E = lim sin ( ) lim sin ( ) + ω ω ω = + ω = A A sin ( ω ) = + lim ω Όμως ισχύει: ( ω) 1 sin ( ω) sin lim = 0 αφού για + το 1 0. Άρατελικάείναι: lim 1 E A A = S = και, επομένως, το σήμα x(t) είναι σήμα ισχύος.
( ii) x( t) = Aexp( λ t ) Άσκηση 4 (ii) Λύση (ii) Έχουμε: λt λt () E = x t dt = A e dt = A e dt αφού είναι expu=e u. Όμως στο τελευταίο ολοκλήρωμα η ολοκληρωτέα συνάρτηση είναι άρτια και τα άκρα ολοκλήρωσης είναι αντίθετα. Άρα έχουμε: λ t λt A λt A λt E = A e dt = A e dt = e d( λt) = e λ λ 0 E A = λ 0 0 0 λτ ( 1 e ) Επειδή είναι λ>0, για + έχουμε e λ 0. Άρα είναι: A λτ A A lim E = lim ( 1 e ) = ( 1 0) lim E = λ λ λ Άρα το σήμα αυτό είναι ενεργειακό.
( iii) x( t) 0, t < 0 = λt Ae, t > 0 Άσκηση 4 (iii) Λύση (iii) Έχουμε: 0 λt λt () E = x t dt = 0 dt+ Ae dt = A e dt λ ( 1 e ) ( λ ) 0 0 λt A λt E = A e d t = e λ 0 E 0 A = λ Επειδή είναι λ>0, για + έχουμε e λ 0. Άρα : lim E = A λ Άρα το σήμα αυτό είναι προφανώς ενεργειακό.