Obsah 1 Počítame s kalkulačkou aj bez nej Počítame s kalkulačkou Zátvorky a poradie operácií Počítame spamäti a premieňame jednotky Zaokrúhľujeme Odhadujeme 2 Percentá, pomer, mierka, kurzy Percentá, promile a časti celku Rozdeľujeme v rôznych pomeroch Priama úmernosť Mierka Kurzy Nepriama úmernosť Elementárna finančná matematika 3 Číselné sústavy Mayské čísla Pozičná sústava Dvojková a šestnástková sústava Čísla v starovekom Egypte, Babylone a Ríme 4 Mocniny a vedecký zápis čísel Desatinné čísla Vedecký zápis čísel, práca s veľkými a malými číslami 5 Výroky Výrok a jeho pravdivostná hodnota Definície Podmienky a výrokové formy Negácia Množiny, Venove diagramy a negácia Intervaly Spojky a, alebo Negácia podmienok a tvrdení spojených spojkami a, alebo, buď alebo Spojky ak tak, len ak, len vtedy. Implikácia a ekvivalencia Kvantifikátory, všeobecné a existenčné výroky Deliteľnosť 6 Vzorce a vzťahy s písmenkami aj bez nich Slovný opis vzťahu a jeho zápis pomocou premenných Písmená pomáhajú pochopiť a vysvetliť 5... (222) 7... (222) 8... (222) 11... (223) 15... (224) 16... (224) 17... (225) 25... (225) 27... (226) 28... (226) 29... (226) 32... (227) 32... (227) 38... (228) 39... (228) 42... (229) 45... (230) 50... (231) 53... (232) 54... (232) 57... (233) 62... (234) 63... (235) 65... (235) 68... (235) 68... (236) 70... (236) 72... (237) 73... (237) 75... (237) 77... (238) 84... (239) 86... (240) 91... (241) 92... (242) 96... (243) 3
Obsah Čo ten vzorec vlastne vyjadruje? Ďalšie úlohy, hľadáme a odvodzujeme vzorce 7 Bez rovníc to nepôjde Lineárna rovnica s jednou neznámou Sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvomi neznámymi Zvládneme aj iné rovnice 8 Uhly, dĺžky, obsahy Uhly Zhodnosť trojuholníkov Talesova veta Trojuholníky, štvoruholníky, mnohouholníky a ich obsahy Podobnosť Tangens, sínus, kosínus 9 Koľko možností máme Niekoľko základných myšlienok (kombinatorické pravidlo súčtu a súčinu) Variácie Permutácie Matematický aparát potrebný pre kombinatoriku Kombinácie 10 Zobrazujeme priestor Zobrazujeme priestor a hráme sa s videním Priamky, roviny a ich vzájomné polohy Rovnobežné premietanie Bokorysy, pôdorysy a nárysy Ďalšie možnosti: vrstevnice a lineárna perspektíva 11 Funkcie a grafy Premenná a funkcia Znázorňujeme funkciu graficky Graf priamej úmernosti a lineárnej funkcie Čo možno zistiť z grafu funkcie Ďalšie úlohy 12 Kocka, hranoly a ihlany Objemy a povrchy Kocka Hranoly Ihlany 98... (243) 99... (243) 100... (244) 101... (244) 107... (245) 109... (245) 111... (246) 112... (246) 123... (248) 128... (250) 135... (252) 145... (254) 150... (255) 151... (256) 155... (256) 158... (256) 161... (257) 163... (257) 168... (257) 169... (258) 171... (258) 174... (259) 178... (261) 182... (262) 184... (263) 185... (263) 187... (264) 192... (267) 198... (271) 202... (273) 207... (274) 209... (275) 211... (275) 215... (276) 219... (276) 4
25. Adela a Aurel dostali na novej škole na konci prvého polroka od učiteľky matematiky nasledujúci koláčový diagram, ktorý znázorňoval percentuálny podiel všetkých ich získaných známok zo všetkých predmetov za daný polrok. Známky Aurela 3% 13% 20% 40% 24% Známky Adely 1% 3% 16% 32% 47% výborný chválitebný dobrý dostatočný nedostatočný c) d) Akých známok má najviac Aurel a akých Adela? Vyplýva z grafu, že Aurel a Adela mali rovnaký počet pätiek? Kto dostal dvakrát viac dvojok ako trojok? Môžeme z diagramov vyvodiť, kto bude mať lepší priemer známok na polročnom vysvedčení, ak každý z nich má približne rovnaký počet známok z každého predmetu? 26. Aký mám priemer známok, ak mám 90 % jednotiek, jednu dvojku a jednu trojku? 27. Podľa Airbusu záujem o leteckú prepravu po minuloročnom poklese o 2 % vzrastie v tomto roku o 4,6 %. Ako sa podľa prognóz zmení záujem o leteckú prepravu v porovnaní so stavom spred dvoch rokov? 28. Majiteľ sídliskových potravín pán Zárobkuchtivý chcel pre seba čo najvýhodnejšie predávať rožky, preto experimentoval. Zistil, že keď zvýši pôvodnú cenu rožka o 10 %, klesne mu počet predaných rožkov o 10 %. Keď zníži pôvodnú cenu rožka o 5 %, vzrastie mu počet predaných rožkov o 5 %. Ktorá z nových cien je preňho z hľadiska maximálnej tržby výhodnejšia? 29. Alena, Emil, Vilo a Soňa plánujú autovýlet z Banskej Bystrice do Benátok. Na internete našli nasledujúce údaje. Odkiaľ kam B. Bystrica Bratislava Bratislava Viedeň Viedeň Graz Graz Klagenfurt Klagenfurt Benátky Dĺžka trate 212,29 km 79,08 km 198,89 km 141,52 km 291,11 km Sú plány tejto štvorice také, aby sme mohli tvrdiť, že ich prestávky nie sú vo väčšom rozmedzí ako 3 % z celkovej dĺžky cesty? Alena: Prestávky sú ideálne, ak ich spravíme vždy po prejdení tretiny cesty. Emil: Stačí jedna prestávka, ale až keď budeme mať za sebou 60 % cesty. Vilo: Ja potrebujem aspoň tri prestávky, vo Viedni, v Grazi a nakoniec aj v Klagenfurte. Soňa: Ideálne by bolo zastaviť v polovici a potom tak 150 km pred cieľom. Kým sa ubytujeme, to chvíľu potrvá. Dosahujú niektoré plánované prestávky menšie rozmedzie ako 1 % z celkovej cesty? 22
5. Sami ste sa presvedčili, ako záleží na definícii. Od nej sa potom odvíja ďalšie rozhodovanie. Niekedy je dôležité vyjadrovať sa exaktne aj v situáciách, keď sa niekomu snažíme niečo opísať. Precvičte si to. Nakreslite si obrázok (tak, aby ho váš sused nevidel), na ktorom bude znázornený štvorec, obdĺžnik, lichobežník, kružnica a trojuholník. Vašou úlohou je opísať obrázok susedovi čo najpresnejšie tak, aby váš sused dostal po nakreslení na základe vášho opisu identický obrázok. Úlohy si potom vymeňte. Pre ilustráciu uvádzame možný obrázok. 6. c) d) Cenník vnútroštátnej prepravy Železničnej spoločnosti Slovensko, a. s., (rok 2010) pre žiacke cestovné lístky: Žiacke cestovné lístky sa vydávajú za účelom dochádzky do a zo školských zariadení v 2. vozňovej triede vlakov osobnej dopravy pre žiakov a študentov (aj pre zahraničných žiakov a študentov) v dennej forme štúdia na všetkých školách v SR a pre žiakov a študentov študujúcich v zahraničí, ktorých štúdium sa považuje za ekvivalent štúdia na školách zriadených v SR (táto zľava platí len po štátnu hranicu SR a len pre študentov s trvalým bydliskom na Slovensku). Zľavnené cestovné sa poskytuje žiakom a študentom najdlhšie do dovŕšenia 26. roku veku alebo maximálne do získania vysokoškolského vzdelania druhého stupňa. Za školu sa považuje každé vzdelávacie zariadenie registrované rozhodnutím MŠ SR, kde je vyučovanie pre žiaka upravené tak, že sa žiak zúčastňuje vyučovania aspoň 3 mesiace najmenej vo dvoch vyučovacích dňoch a ak je vyučovací čas aspoň 12 vyučovacích hodín týždenne. Zľavnené cestovné je poskytované počas trvania štúdia, pričom ukončenie 1. stupňa vysokoškolského štúdia sa považuje za ukončenie štúdia, tak isto ako ukončenie 2. stupňa VŠ štúdia. To znamená, že po skončení študijného programu prvého stupňa absolvent nie je študentom ani v prípade prijatia na štúdium študijného programu druhého stupňa, a to až do zápisu na toto ďalšie štúdium a nemá nárok na zľavnené cestovné študentov VŠ. Určte pravdivostnú hodnotu nasledujúcich výrokov. 21-ročná Ivana Zahraničná, ktorá denne cestuje vlakom z Trnavy do Viedne, kde študuje na Viedenskej univerzite, si môže uplatniť zľavu na cestovné pri ceste do školy len po Devínsku Novú Ves. 24-ročná Mária Bakalárska z Prievidze, ktorá v júni úspešne ukončila bakalárske štúdium na Fakulte matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského v Bratislave, môže koncom augusta cestovať vlakom na zápis do Bratislavy s nárokom na zľavnené cestovné. 17-ročný študent Dušan Košický, ktorý býva a študuje na obchodnej akadémii v Košiciach, má nárok na zľavnené cestovné na ceste k babke, ktorá býva v Žiline. 28-ročný Jano Dlhoštudujúci, ktorý býva v Piešťanoch a je denným študentom 66
44. Dajú sa nájsť také hodnoty m, aby rovnice: mali nekonečne veľa riešení? nemali žiadne riešenie? Ak také hodnoty m pre niektorú rovnicu existujú, nájdite ich. A) B) C) D) (m 1). x = m + 1 (m 2 + 1). x = m 2 1 2x 3. (x + m) = 3x 7m 2x m = m. (x + 1) 4 5x = π Sústavy dvoch lineárnych rovníc s dvoma neznámymi 1. Vyjadrite, čomu sa rovná x pomocou y (súčet čísel v dvoch susedných tehličkách sa nachádza v tehličke nad nimi). 18 18 x x y 2 b ) y 2 2. Dá sa nájsť taká dvojica čísel x a y, aby sa dali doplniť do oboch číselných pyramíd z predchádzajúceho príkladu? Ak áno, nájdite ich a doplňte do pyramíd všetky chýbajúce čísla. 3. 4. c) d) e) Z danej rovnice vyjadrite neznámu x pomocou neznámej y. x + 3y = 10 c) x + 5y = 2 1 3 5x + 2y = 7 d) x + y = 1 5 2 Vyriešte nasledujúce sústavy. 3x + y = 12 2x y = 8 0,7x 0,5y = 0,5 x + 3 y = 29 4x + 3y = 20 2x 3 y = 16 10x + y = 12,1 x + 10y = 2,2 1,2x 0,4y = 3 6x 2y = 10 f) g) h) x y + = 2 3 5 x 1 4 + y + 2 3 = 4 3x 7 + 2y 3 = 4 21 x y + = 3 2 3 x 3 + 7y 1 = 6 9 x 7y 1 11 + = 2 3 3 5. Doplňte do rovníc 4x + y =, x + y = 3 miesto štvorčekov čísla (môžu byť rôzne) tak, aby platilo: Riešením sústavy je x = 2, y = 1. Sústava má nekonečne veľa riešení. c) Sústava nemá žiadne riešenie. 107
28. Za najpohodlnejší sa považuje schod vysoký 170 mm a široký 290 mm, pričom pri navrhovaní výšky a šírky schodu sa dodržuje vzorec 2. výška + šírka = 630 mm. Aká je veľkosť uhla v tomto prípade medzi madlom nad schodmi a madlom nad podestou? 29. Dizajnérsky kúsok je polica, ktorá využíva efekt odrazu svetla. Uhol dopadu na zrkadlo sa rovná uhlu odrazu od zrkadla. Prvý lúč môžeme nasmerovať pod určitým uhlom α. Chceme, aby postupne odražajúci sa lúč končil až na konci police ako je znázornené na obrázku. Určte pod akým uhlom musíme nasmerovať lúč, keď vzdialenosť medzi dvoma odrazovými plochami je 40 cm a polica je 180 cm dlhá? α 30. Most SNP je jediný most v Bratislave, ktorý nemá žiadny pilier v prúde rieky Dunaj. Hneď po svojom otvorení v roku 1972 obsadil v kategórii najdlhších zavesených mostov štvrté miesto na svete. V užšej kategórii zavesených mostov, teda mosty iba s jedným pylónom a iba s jednou závesnou rovinou, mu svetové prvenstvo zostalo dodnes (rok 2012). Hlavný mostný objekt tvorí spojitý oceľový nosník dlhý 431,8 m, zavesený na lanách v troch bodoch. Tie vedú cez šikmý pylón a sú uchytené v kotevnom bloku. Oceľová konštrukcia mosta je dvojpodlažná. Hlavná úroveň je vyhradená pre autá. Po bokoch, na spodnej časti nosníka, sú chodníky pre peších a cyklistov. Vnútri oceľovej konštrukcie sú uložené inžinierske siete. Z obrázka odmerajte uhly, ktoré zvierajú laná s vozovkou. Určte v akej vzdialenosti sú laná približne pripevnené od pylóna. Počítajte so zjednodušenou situáciou: oblúk mosta berieme ako priamku, kotevný blok je vo výške približne 62,5 m od vozovky a jeho kolmý priemet na vozovku je od pylóna vzdialený 24 m. Ako sa vami vypočítané vzdialenosti líšia od skutočných dĺžok, ktoré sú: 51,5 m; 121,7 m a 204,3 m? Ako mohli tieto nepresnosti vzniknúť? 149
11 Overenie vedomostí Pracovný čas: 35 minút Funkcie a grafy 0 45 15 30 1. Pán Bohatý vlastní požičovňu áut. Za prvý deň požičania auta zákazník zaplatí 50 eur a za každý ďalší deň 30 eur. Počet dní (n) 1 2 3 4 5 Celková suma v eurách (S) c) d) e) f) Doplňte tabuľku, ktorá udáva celkovú sumu S v eurách, ktorú pánovi Bohatému nakoniec zaplatíme za požičanie auta po 5 dňoch. Načrtnite graf, ktorý bude zobrazovať závislosť medzi celkovou sumou, ktorú za požičanie auta zaplatíme a počtom dní. Do toho istého obrázka dokreslite druhý graf, ktorý bude znázorňovať zárobok pána Bohatého za požičanie auta, ak by sadzba za požičanie auta bola od začiatku rovnaká vo výške 40 eur za deň a neplatil sa žiaden úvodný poplatok. Po koľkých dňoch by celková suma za požičanie auta bola rovnaká v oboch prípadoch? Zapíšte vzťah medzi celkovou sumou S a počtom dní n pre obe sadzby. Ktorá sadzba sa pánovi Bohatému oplatí viac? Vysvetlite. 2. Nasledujúce grafy znázorňujú vývoj cien 1-, 2- a 3-izbových bytov počas rokov 2008 a 2009. Označenie Q predstavuje štvrťrok (kvartál), cena bytov sa udáva v na m 2 plochy bytu. Na základe grafov rozhodnite. Vývoj cien 1-, 2-, a 3-izbových bytov 2 000 1 800 1 600 1 400 1873 1793 1695 1655 1492 1447 1856 1672 1462 1701 1600 1408 1596 1508 1352 1503 1482 1424 1385 1286 1274 1465 1379 1254 1i 2i 3i 1.Q 08 2.Q 08 3.Q 08 4.Q 08 1.Q 09 2.Q 09 3.Q 09 4.Q 09 c) V ktorom štvrťroku bola cena bytov najvyššia, v ktorom najnižšia? V akom cenovom rozmedzí sa pohybovali ceny 2-izbových bytov v roku 2008 a v akom v roku 2009? V ktorom období mali ceny bytov klesajúcu tendenciu? 207
214 18. * 19. 20. 21. 22. 23. Strecha na stodole sa používa na odkladanie slamy. Strecha má tvar trojbokého hranola s podstavou rovnoramenného trojuholníka v ktorom sú uhly pri základni 65. Koľko slamy môze najviac gazda uložiť pod strechu stodoly, ak je stodola 10 m dlhá a 6 m široká? Podstavu kolmého hranola tvorí trojuholník s celočíselnými dĺžkami strán a pomerom strán 3 : 4 : 5. Výška hranola je o 3 cm kratšia ako obvod podstavy. Aký je jeho objem, ak je jeho povrch 6 4 cm 2? Hranol s podstavou rovnoramenného lichobežníka je štvorbokým hranolom. Ak ho vpíšeme do trojbokého hranola tvoriaceho šikmú strechu, je to klasické riešenie bytového priestoru v podkroví. Na dome s podstavou 7 x 12 m a hranolovitou šikmou strechou pod výškovým uhlom 50 (sklon strechy vzhľadom k dlážke) chceme riešiť bytový priestor v podkroví. Môžeme docieliť výšku podkrovného bytu 220 cm? Aká široká vznikne stropná plocha? Otec sa rozhodol, že strechu na babkinom dome treba vymeniť. Dĺžka domu je 12 m, šírka 7 m a sklon strechy je 45. Podľa predpisov počet škridiel závisí od sklonu strechy. Pre ten typ škridiel, ktorý si otec vopred vybral a sklon strechy 45, sa uvádza spotreba: 1 balík škridiel na 3 m 2 plochy. Koľko balíkov škridiel musí otec kúpiť na výmenu strechy, ak sa odporúča objednať o 15 % materiálu viac na pokrytie nároží a štartovacieho radu? Rodina Dobrodružných šla stanovať do kempu. Boli tam aj 15 žiaci z 1.B, ktorí sa s pánom Dobrodružným stavili, že sa do ich stanu zmestia všetci. Mohol si byť pán Dobrodružný istý, že stávku neprehrá? Rozložený stan rodiny Dobrodružných má tvar trojbokého hranola, kde podstava je rovnoramenný trojuholník s ramenami dĺžky 1,7 m a základňou dĺžky 1,5 m. Dĺžka bočnej hrany je 2,4 m. (Pri riešení úlohy počítajte s tým, že telo jedného žiaka budeme aproximovať kvádrom s rozmermi 1,7 x 0,4 x 0,3 m.) Pri opracovaní materiálov používame rôzne druhy dlát. Jedným z nich je aj dláto 4 s rovným ostrím s hodnotami uvedenými na nasledujúcom obrázku. Koľko m 3 je spotreba ocele pri výrobe 3 000 kusov dlát? 102 6 12
7. 496,4 m. 8. Stúpanie je medzi 14 a 15, klesanie medzi 16 a 17. a c) Nadmorská výška stanovišťa 14 je 769 m. Najvyššiu výšku dosiahne 889 m. Alebo môže nastať opačná situácia, klesanie medzi 14 a 15 a stúpanie medzi 16 a 17 a potom nadmorská výška stanovišťa 14 je 689 m, najvyššiu výšku dosiahne 729 m. Overenie vedomostí Zobrazujeme priestor 10 Pracovný čas: 40 minút 1. Pravda, Pravda, c) Nepravda 2. Hľadaná priamka je znázornená H G na obrázku a musí prechádzať bodmi K,L. (Pri pohľade zhora sú potom priamky F E p a q totožné). 3. Mimobežných priamok, ktoré sú určené vrcholmi kocky, q s priamkou AE je 12. S priamkou AE sú mimobežné tie, ktoré neprechádzajú D C bodmi A, E a nie sú s ňou rovnobežné. Vypisovaním: BC, CD, BD, FG, GH, FH, BG, CF, CH, DG, BH, DF. Pomocou kombinatoriky: Zostávajúcich bodov je 6 A B a pri dvojiciach bodov nezáleží na poradí lebo dva body vymenením poradia určujú stále tú istú priamku. Potom zistíme kombinačným číslom 6 6! =, ale z tohto počtu musíme 2 2!. 4! odpočítať tri priamky, ktoré sú z AE rovnobežné a to BF, CG, DH. Potom je ich 12. 4. Architekt používa lineárnu perspektívu. 5. Úpätie hrebeňa je v nadmorskej výške 1 228 m. Ak je vrchol hrebeňa vo výške 1 368 m a na obrázku je 5 vrstevníc medzi ktorými sú štyri odstupňovania po 35 metrov, tak 1 368 4.35 = 1 228 metrov. To je úpätie hrebeňa. 6. Obrázky sú zoradené nárys, pôdorys a pravý bokorys. 7. Obrázky sú zoradené nárys, pôdorys a pravý bokorys. 0 45 15 30 nárys pôdorys bokorys 11 Funkcie a grafy Premenné a funkcia 1. o = 3a; v = a. 3 ; c) S = a2. 3. 2. 0,35; 0,87; 1,99; 3,03; 5,2; 8,66; 114,32 3. Ak je 2 4 číslo nepárne, je mu priradená 1, ak je párne, tak 2. 4. S = a 2, C = c. l, kde c je cena za 1l benzínu, c) u = 6t, d) u = t 2, e) p = o. 2, f) M = n!, g) n u = 2 n, h) ak sú priamky rovnobežné rôzne (u = 0 ), tak počet priesečníkov je 0, ak sú priamky rovnobežné splývajúce (u = 180 ), tak majú nekonečne veľa priesečníkov, ak sú priamky rôznobežné (u (0, 90 >), tak majú 1 priesečník. 5. áno v prípade, že berieme do úvahy len jedného človeka, nie v prípade, že berieme do úvahy viac ľudí, pretože dvaja ľudia toho istého veku môžu mať rôzny počet vlasov na hlave, áno, c)nie vždy, pretože číslo jej topánky môže 263