Číslo a číslica Pojem čísla je jedným zo základných pojmov matematiky. Číslo je abstraktná entita (fil. niečo existujúce) používaná na opis množstva. Číslica (cifra) je grafický znak, pomocou ktorého zapisujeme číslo. Napr. v desiatkovej sústave sa používajú arabské číslice (1-jednotka, 2-dvojka, 3-trojka, 4-štvorka, 5-päťka, 6-šestka, 7-sedmička, 8-osmička, 9-deviatka a 0-nula), znaky, ktoré zároveň predstavujú aj čísla od nula do deväť. Pomenovanie číslice má koncovku ka, ktorá sa u nuly nepoužíva. 18 - osemnásť je číslo, pozostávajúce z číslic jednotky a osmičky. POZOR! Nemôžeme hovoriť osemnástka, nakoľko to nie je číslica ale číslo. Prvý veľký pokrok smerom k abstrakcii bolo použitie číslic na reprezentovanie čísel. Systém číslic umožnil zapisovať veľmi veľké čísla. Z histórie poznáme zapisovanie čísel aj inými znakmi, akými sú napríklad aj rímske číslice. Ďalší krok k abstrakcii sa udial oveľa neskôr. Bola ním myšlienka nuly ako čísla s vlastnou číslicou. Vo všeobecnosti pre nulu neexistovala žiadna rímska číslica. Namiesto toho sa používalo slovo označujúce nič (lat. nullae). Rímskymi číslicami sa čísla zapisujú veľmi špeciálnym spôsobom a to aj bez poznania znaku 0. Hodnoty znakov: Rímske Arabské Poznámka I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 Centum D 500 M 1000 Mille Pre ľahšie zapamätanie sa používa veta: LaCo je DoMa alebo Lacná Cibuľa Drahé Mäso, v poradí LCDM Pôvod rímskych čísel I Rímske čísla vznikli prirodzenou cestou. Rimania počítali na prstoch. Čísla ako 1, 2 a 3 a im odpovedajúce znaky I, II a III graficky vyjadrujú jednotlivé prsty. V a X Taktiež tieto dve čísla majú svoj pôvod v ľudskej ruke: 1
Rímska číslica V (5) je vyjadrením dlane s piatimi prstami - V tvorí tvar medzi palcom a malíčkom Rímska číslica X (10) sú dve dlane pri sebe (10 prstov). L a C Latinsky sto je centum. Odtiaľ C. Päťdesiat je polovica zo stovky. L teda vzniklo "rozpolením" znaku pre 100 (C): D a M Tisíc je latinsky mille (odtiaľ M pre 1000). Znak D pre 500 vznikol opäť grafickým "rozpolením" znaku M, tentoraz zvislo. Vznikol tak znak podobný písmenu D: Napríklad: XXX = 10 + 10 + 10 = 30 alebo MM = 2000 MCMLXXXVI = M + CM + L + XXX + V + I = 1000 + 900 + 50 + 30 + 5 + 1 = 1986 Pojem čísla sa v histórii postupne rozširoval a podobne v priebehu histórie matematiky stále vyvíjal a zovšeobecňoval, kde sa postupne vymedzili tieto druhy množiny čísel: Prirodzené čísla - {1, 2, 3,...} - slúžia k vyjadreniu počtu prvkov konečných neprázdnych množín alebo poradia prvkov v usporiadaných skupinách. Označenie: N N (lat. naturalis = prírodný alebo týkajúci sa prírody) Nula - {0} - slúži na vyjadrenie počtu prvkov prázdnej množiny. V niektorých prípadoch sa zaraďuje nula medzi prirodzené čísla. Celé čísla - {..., -2, -1, 0, 1, 2,... } - sú všetky prirodzené čísla doplnené o nulu a čísla k nim opačné. Umožňujú vyjadriť zmeny počtu prvkov a ich porovnávanie, prírastok, úbytok Označenie: Z Z (nem. Zahl = číslo) 2
Racionálne čísla - { v tvare p q p q ; p Z q N } - sú čísla, ktoré je možné zapísať, kde p je celé číslo a q je prirodzené číslo. Používajú sa k vyjadreniu počtu celkov a ich častí, zmien týchto počtov a pod. Označenie: Q Q (lat. rationalis = početný, podielový) Poznámka: Rationalis (lat.) znamená aj rozumný. Tento význam sa nevzťahuje na racionálne čísla, nakoľko v matematike sú všetky čísla rozumné. Iracionálne (transcendentné) čísla - {napr.:..., 2,.., 5,.., e= 2,71828..., π = 3,14..., atď } - sú čísla, ktoré sa nedajú zapísať v tvare zlomku ako čísla racionálne. Označenie: I I (iracionálny = neracionálny) Reálne čísla sú zjednotením množín všetkých čísiel racionálnych a iracionálnych. Označenie: R R = Q I Komplexné čísla - {a + bi; a, b R i 2 = -1 } - sú všetky reálne čísla a imaginárne čísla. Napr.: 7 2i; 3i = 0 + 3i; -17 = -17 + 0i Zložka i sa nazýva imaginárna jednotka. Konštanta, premenná, výraz a výroková forma Konštanta je symbol, ktorý označuje určitý (stále ten istý) objekt z danej množiny objektov. Napr.: 4 (označuje číslo 4), π (označuje Ludolfovo číslo 3,14...), g (označuje gravitačné zrýchlenie 9,81..., atď). Premenná je symbol, ktorý označuje ktorýkoľvek (ľubovoľný) objekt z danej množiny objektov. Spravidla je to písmeno x, y, z... Množina konštánt, ktoré zastupuje (nadobúda) premenná sa nazýva obor premennej. Prvky oboru premennej sa nazývajú hodnoty premennej. Algebraický výraz je matematický zápis obsahujúci konštanty, premenné, znamienka počtových operácií (sčítania, odčítania, násobenia, delenia, umocňovania a odmocňovania) a podľa potreby aj zátvorky (určujú poradie uskutočnenia operácií), ktoré sú zapísané podľa určitej tradície dohody. Napr.: (x 3) 2 a nie 2 )x 3( alebo )x 3( 2 3
Výrazy s premennou x označujeme napr.: A(x), s premennými x, y napr.: V(x, y). Príklad 1: Akú úlohu zohrávajú jednotlivé písmená vo výraze W(x, y, z) = 3x πaz + y 2k? x, y, z premenné a, k, π konštanty Príklad 2: Zapíšte pomocou premenných súčet druhých mocnín dvoch za sebou idúcich prirodzených čísel. Súčet:... +... Súčet dvoch druhých mocnín: (...) 2 + (...) 2 Dve za sebou idúce prirodzené čísla: x, x+1 Súčet druhých mocnín dvoch za sebou idúcich prirodzených čísel: (x) 2 + (x+1) 2 A keďže ide o prirodzené čísla, tak správne riešenie je: (x) 2 + (x+1) 2 ; x N Príklad 3: Rozhodnite, ktoré znaky vo výrazoch sú premennými a ktoré konštantami: a) 4x 2 y 5 ; x, y R b) S = πr 2 (obsah kruhu) a) konštanty: 2; 4 a 5; premenné: x, y; obor oboch premenných je množina R b) konštanty: 2 a π; premenné: S, r; obor premenných je množina R + Úlohy: 1. Zapíšte pomocou rímskych číslic čísla: 2011; 2043; 1975; 1998 2. Zapíšte pomocou premenných rozdiel dvojnásobku ľubovoľného celého čísla a tretej odmocniny ľubovoľného prirodzeného čísla. 3. Zapíšte pomocou premenných: a) súčet druhých mocnín troch po sebe idúcich ľubovoľných prirodzených čísel, b) tretiu mocninu súčtu dvoch ľubovoľných celých čísel, 4
c) druhá mocnina podielu súčtu a rozdielu dvoch reálnych čísel sa rovná 1. d) rozdiel druhých mocnín dvoch ľubovoľných reálnych čísel, e) tretiu mocninu súčtu dvoch ľubovoľných reálnych čísel, f) ľubovoľné párne, resp. nepárne číslo. 4. Pomocou premenných a kvantifikátorov vyjadrite formulácie: a) Druhá mocnina každého reálneho čísla je nezáporná. b) Existuje prirodzené číslo, ktoré je koreňom rovnice x 2 49 = 0. 5. Rozhodnite, ktoré písmená sú v daných výrazoch premennými a ktoré konštantami: a) V = πr 2 v (Vzorec pre objem rotačného valca) b) Q(x, y) = 3x ky + ax 2 6. Vyjadrite slovami: a) (a b) 2 ; a, b R b) a 3 + b 3 ; a, b R c) [3(a b)] 2 ; a, b R d) 2(a 3 + b 3 ); a, b R e) 2a 3 2b 3 ; a, b R f) (2n 1) + (2n + 1); n N g) x R; x 2 = x h) x R; (x + 1) 2 < 1 Hodnota výrazu Nahradenie premennej konštantou z oboru premennej v nejakom výraze nazývame dosadenie konštanty za premennú do daného výrazu. Výpočet hodnoty algebraického výrazu pre dané hodnoty premenných vykonáme dosadením daných hodnôt premenných za jednotlivé premenné a určením hodnoty takto vzniknutého číselného výrazu. Príklad 4: Vypočítajte hodnotu daných algebraických výrazov pre dané hodnoty premenných: 2x 3 3 a) V(x) = pre x {3; 1/2} 2 x 4 b) V(a) = 3 (2x 8) pre a {7; 2,5 } 5
a) V(3) = 2.3 3 2 3 3 4 15 =... = = 3 4 3 4 1 2. 3 1 17 5 V( ) = 2 3 =... = = 1 2 1 4 12 12 2 2 b) V(7)=3 (2 7 8)=...=18 V(2,5) = 3 (2 2,5 8) =... = 9 Príklad 5: V nasledujúcich matematických zápisoch nahraďte premenné konštantami a vypočítajte: a) x 2 + 9 = 6x ; x { 3; 2} b) 5z 8 = 3z + 6 ; z {0; 7} a) x = 3: (-3) 2 + 9 = -6.(-3)... 18 = 18 x = 2: 2 2 + 9 = -6.2... 13 = 12 b) z = 0: 5.0 8 = 3.0 + 6... 8 = 6 z = 7: 5.7 8 = 3.7 + 6... 27 = 27 Matematický zápis, v ktorom po nahradení premenných konštantami dostaneme a) konštantu, nazývame algebraický výraz b) výrok, nazývame výroková forma ( rovnice a nerovnice ) Matematizácia slovnej úlohy Matematizácia slovnej úlohy je matematické vyjadrenie textu slovnej úlohy, ktorá predstavuje fyzikálny, technický alebo iný problém. Postup je zvyčajne nasledovný: Vytvoríme matematický model danej úlohy, ktorým je najčastejšie aritmetická alebo algebraická úloha vyjadrená rovnicami resp. nerovnicami. Vyriešime matematickú úlohu: aritmetickú úlohu riešime úsudkom, algebraickú riešením rovníc resp. nerovníc. Získané výsledky prevedieme do reálnej situácie alebo vyberieme také riešenia matematickej úlohy, ktoré sú riešeniami daného problému. 6
Príklad 6: V triede je 30 žiakov. Z písomnej práce malo menej ako 20 bodov práve 70% žiakov a to 87,5% všetkých chlapcov a 50% všetkých dievčat. Koľko chlapcov a dievčat je v triede? Zvolíme si neznámu: napr. nech je v triede x dievčat. Obor premennej x je množina všetkých kladných celých čísel, t.j. Z + počet dievčat... x počet chlapcov... 30 x Celkový počet žiakov, ktorí mali menej ako 20 bodov je 70% z 30 žiakov, teda 0,7.30 = 21. Z toho chlapcov je 87,5% z počtu všetkých chlapcov, teda 0,875.(30 x)=26,25 0,875x a dievčat je 50% z počtu všetkých dievčat, teda 0,5x. Získali sme rovnicu: (26,25 0,875x) + 0,5x = 21... Po vyriešení x = 14 spĺňa podmienky riešiteľnosti, preto: počet dievčat... 14 počet chlapcov... 30 14 = 16 Odpoveď: V triede je 14 dievčat a 16 chlapcov. Poznámka: Slovná úloha má mať aj slovnú odpoveď a nie len 2 krát podčiarknutý výsledok. Úloha: 1. Zapíšte pomocou vhodne zvolenej premennej postup výpočtu v tejto zábavnej úlohe: "Zvoľte si ľubovoľné prirodzené číslo, pripočítajte k nemu 7, výsledok násobte piatimi, odpočítajte 30, výsledok násobte dvoma, získané číslo mi povedzte a ja vám poviem, ktoré číslo ste si pôvodne mysleli." Akým počtovým postupom možno zistiť pôvodné číslo z výsledku? Úlohy súhrn: 7
1) Zapíšte pomocou premenných: d) súčet druhých mocnín troch po sebe idúcich ľubovoľných prirodzených čísel, e) tretiu mocninu súčtu dvoch ľubovoľných celých čísel, f) druhá mocnina podielu súčtu a rozdielu dvoch reálnych čísel sa rovná 1. d) rozdiel druhých mocnín dvoch ľubovoľných reálnych čísel, e) tretiu mocninu súčtu dvoch ľubovoľných reálnych čísel, f) ľubovoľné párne, resp. nepárne číslo. 2) Vyjadrite slovami: a) [3(a b)] 2 ; a, b R b) 2(a 3 + b 3 ); a, b R c) 2a 3 2b 3 ; a, b R d) (2n 1) + (2n + 1); n N e) x R; x 2 = x f) x R; (x + 1) 2 < 1 3) Rozhodnite, ktoré písmená sú v daných výrazoch premennými a ktoré konštantami: a) V = πr 2 v (Vzorec pre objem rotačného valca) b) Roviny ω, ϕ sú navzájom kolmé. c) (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac. d) Bod A neleží na priamke a. Vymedzte obory všetkých premenných. 4) Určte hodnotu výrazu P(x) = 2x 3 + 4x 2 5x + 7 pre x = 2. 5) Určte ciferné súčty čísel: a) 28 b) 2001 c) 3245 d) 8.10 3 + 32.10 2 + 1.10 + 5 e) 3.10 5 + 2.10 2 + 3 f) 6.10 3 + 13.10 2 6) Súčet číslic dvojciferného čísla je 7. Ak zameníme poradie oboch číslic, dostaneme číslo, ktoré po vynásobení pôvodným bude 1462. Ktoré je to číslo? 8