ANALIZA NUMERICA ECUATII NELINIARE PE R (http://bavara.utclu.ro/~ccosm) ECUATII NELINIARE PE R. INTRODUCERE e D R D R : s sstemul: ( x x x ) ( x x x ) D () Daca se cosdera aplcata : D R astel ca: ( x x x ) ( ( x x x ) ( x x x ) ( x x x )) () sstemul () poate scrs s sub orma ecuate vectorale: ( ) D (3) ude este elemetul ul al spatulu R. I cotuare se vor prezeta tre metode de aproxmare a solutlor ue ecuat elare pe R.. Metoda aproxmatlor succesve (Metoda de puct x) e ma ta sstemul de ecuat elare scrs sub orma: x ϕ ( x x x ) ( x x x ) D (4) ude ϕ : D R sut uct cotue pe D s astel ct petru orce puct ( x x x ) D sa avem ( ϕ ( x x x ) ϕ ( x x x ) ϕ ( x x x )) D sau sub orma vectorala: Φ( ) D (5) x x Φ ϕ ϕ.. ude s x ϕ I coormtate cu metoda aproxmatlor succesve plecd de la o valoare de porre () ( se geereaza srul ) ude: ( + ) ( +) Φ (6) Daca srul (6) este coverget adca metoda Φ este covergeta s D este lmta lu atuc este solute a ecuate (5). Itr-adevar trecd la lmta (6) s avd vedere cotutatea ucte Φ se obte: ( + ) lm Φ lm (7) adca Φ( ).
ANALIZA NUMERICA ECUATII NELINIARE PE R (http://bavara.utclu.ro/~ccosm) Rame de studat problema covergete metode Φ. I acest scop poate olosta teorema Pccard-Baach s aume: Daca Φ : R R verca codta de cotracte: Φ ( ) Φ( Y) α Y Y R (8) cu < α < atuc exsta u elemet uc R solute a ecuate (5) s care este lmta srulu (6) eroarea comsa aproxmarea d evaluata pr: α () (9) α Observat: () Dupa cum s-a vazut s cazul ecuatlor R o codte suceta petru ca o aplcate Φ cotua s cu dervate partale de ordul I cote pe u domeu D R sa e cotracte este ca Φ q < pe D ude pr orma lu Φ se telege orma matrce Jacoba: ϕ Φ x () De exemplu: ϕ Φ max max () x D () Metoda aproxmatlor succesve poate aplcata s cazul ecuatlor de orma (3) ude este o ucte deta s cotua tr-o vecatate a vectorulu solute. Itr-adevar ecuata (3) poate scrsa sub orma: + M ( ) () ude M este o matrce patratca de dmesu x esgulara. Notd: + M ( ) Φ( ) (3) ecuata (3) deve Φ() orma sub care poate aplcata metoda aproxmatlor succesve. Urmeaza sa determam matrcea M astel ct metoda Φ sa covearga. I acest scop olosm codta Φ q < s observata evdeta ca procesul teratv coverge cu att ma rapd cu ct Φ este ma mca. D (3) se obte: ( ) I + M ( ) Φ (4) Coorm celor de ma sus determam matrcea M astel ct petru valoarea de porre sa avem Φ. Obtem: de ude poteza Daca ( ) I + M (5) ( ) rezulta ca: ( ) M (6). se alege o alta valoare de porre
ANALIZA NUMERICA ECUATII NELINIARE PE R (http://bavara.utclu.ro/~ccosm) 3. Metoda Newto Se cosdera d ou ecuata (). e D o solute a aceste ecuat ar o aproxmate a lu. Notam pr eroarea de aproxmare a lu pr : + (7) Avem dec: ( ) p + p (8) Presupud ca ucta este dervabla tr-u domeu covex ce cote pe s membrul ta al relate (7) poate aproxmat pr prm do terme d dezvoltarea sere Taylor a ucte vecatatea puctulu adca: ( + ) + ( ) (9) Astel relata (7) se aproxmeaza pr relata: ( ) + ( ) () care scrsa sub orma dezvoltata e coduce la sstemul lar algebrc ecuoscutele compoetele scalare ale vectorulu corecte : ( p ) ( ( p ) ( p ) ( p ) ) ( p ) x x x ( x ( p x x x ) x ( p ) x ( p ) ) ( p ) + + + ( x x x ) Itroducd otata: J( ) ( ) poteza ca matrcea J este esgulara se obte: ( ) ( ) J Se obte dec o valoare petru vectorul corecte ( p ) obtuta aplcd lu ( p+) corecta ( p ) () () (3) ( p+). Notd pr aproxmata sutem codus la metoda teratva: ( p+ ) ( ) ( ) p J (4) Rezulta usor pr trecerea la lmta (4) ca daca srul p este coverget s este lmta lu atuc este solute a ecuate cosderate. Prvd covergeta acestu sr avem urmatoarea teorema. 3
ANALIZA NUMERICA ECUATII NELINIARE PE R (http://bavara.utclu.ro/~ccosm) Teorema: e o aplcate cotua s cu dervabla pe u domeu D s S ( r) r { } D Daca sut deplta urmatoarele codt: (a) Exsta matrcea (b) M Atuc petru valoare de porre este solute a ecuate date s M J ( ) ( ) B / r (c) ( ) C S (d) η A B r R a.. s M A procesul teratv (4) este coverget vectorul: lm (5) p k k η B k (5) Drept crteru de covergeta a procedeulu teratv Newto se oloseste ua d urmatoarele codt sau amdoua: (a) δ ude: (b) δ x δ ( x ( k ) ( k ) ( k ) x ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) x x ) / x ( k ) ( ) x > 4. Metoda paslor descedet (Metoda gradetulu) Sstemul () () este ormat d egalarea cu zero a uctlor elare ( x x x ) cotue s dervable domeul de dete. Se cosdera ucta: U ( ( x x x )) (6) Soluta sstemulu () este o solute a ecuate U(). De asemeea soluta ecuate U() auleaza uctle. I elul acesta problema rezolvar sstemulu () se reduce la determarea mmulu absolut al ucte U() spatul -dmesoal. e prma aproxmate a solute sstemulu. Pr se traseaza supraata de vel U U. Petru determarea urmatoare aproxmat (ma bua) a a ucte solute sstemulu se parcurge ormala la supraata ( ) U U pa se tersecteaza 4
ANALIZA NUMERICA ECUATII NELINIARE PE R (http://bavara.utclu.ro/~ccosm) ( ) U U ude se ala puctul de coordoate (). I cotuare pord de la puctul () de-a lugul ormale la supraata U U se auge puctul de coordoate s.a.m.d. (v. g. ). Deoarece () o alta supraata de vel de ecuate U () ( ) > U ( ) > > U ( ) ucte rezulta evdet aproperea de puctul care valoarea U este cea ma mca. M () M () O () M U( () ) U( () ) g. Metoda gradetulu Gradetul ucte U ( ) este: U U U U ( ) (7) D trughul OM M (g.) rezulta: () λ ( ) (8) Petru calculul actorulu λ se cosdera ucta scalara: Φ ( λ ) ( ( U λ )) (9) care exprma varata velulu ucte U de-a lugul ormale la supraata de vel puctul. actorul λ trebue ales astel ct ucta Φ ( λ ) sa e mma: Φ U ( λ ( )) (3) λ λ Cea ma mca solute poztva a aceste ecuat este λ. Petru rezolvarea ecuate se poate presupue ca actorul λ are o valoare relatv mca raport cu utatea s se pot egla puterle. Cum: ( ( )) ( λ ) λ s pr dezvoltarea sere Taylor a ucte se obte: T Φ (3) 5
ANALIZA NUMERICA ECUATII NELINIARE PE R (http://bavara.utclu.ro/~ccosm) ( ) Φ ( λ ) λ (3) ude (33) Codta de mm a ucte Φ ( λ ) este dec: Φ ( ) ( ) λ ( ) (34) λ de ude rezulta medat: ( ) ( ) λ ( ) (35) I cotuare se poate scre: U ( ) ( ) ( ) Pr urmare expresa ala a actorul λ poate scrsa astel: s () T (36) T ( ) ( ) ( ) J ( ) ( ) T ( ) J( ) J ( ) ( ) T T J( ) J ( ) ( ) J( ) J ( ) ( ) ( ) T (37) λ (38) λ J sau ma geeral: ( k ) ( k ) T ( k ) ( k ) ( ) ( ) λ k J (39) ( k ) Se cosdera ca valorle reprezta soltle sstemulu daca: ( k ) ( ) < (4) Observate: I relata (38) s-a otat cu x y produsul scalar al vectorlor x s y: y ude ( x x x ); y ( y y ) x. y x x y (4) 6