Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Κ Ε Ρ Δ Ι Σ Ε Ε Ξ Υ Π Ν Α Μ Ο Ν Α Δ Ε Σ Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Κ Ε Ρ Δ Ι Σ Ε Ε Ξ Υ Π Ν Α Μ Ο Ν Α Δ Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Θ Ε Τ Ι Κ Η Σ Τ Ε Χ Ν Ο Λ Ο Γ Ι Κ Η Σ Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Πολλές φορές στις πανελλαδικές εξετάσεις ένα Θέμα που δεν γνωρίζουμε να το αναπτύξουμε μέχρι το τέλος δεν μπαίνουμε ούτε στο κόπο να το μεταφέρουμε από το πρόχειρο στο καλό και το παρατάμε θεωρώντας ότι δεν θα μας δώσει καμία μονάδα. Είναι όμως βαθμολογικά χαμένο εντελώς ; H απάντηση είναι όχι. Άλλες φορές πάλι θεωρούμε ότι έχουμε απαντήσει πλήρως ένα ερώτημα και στο τέλος αναρωτιόμαστε που χάσαμε πολύτιμες μονάδες. Στα παρακάτω παραδείγματα θα σου δείξουμε τον τρόπο να πάρεις έξυπνες μονάδες από θέματα που θα θεωρούσες χαμένα, και να μην χάσεις μονάδες από θέματα που ξέρεις να αναπτύξεις πλήρως. ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν Η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. Μονάδες 8 Θ Ε Μ Α Α ΠΩΣ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΣΟΥΜΕ

Α. AN ΓΡΑΨΕΙΣ (Αρκεί να αποδείξουμε ότι για οποιαδήποτε, ισχύει f ( ) f( ).) ΠΑΙΡΝΕΙΣ ΜΟΝΑΔΑ (Αν, τότε προφανώς f( ) f( ). ΠΑΙΡΝΕΙΣ ΜΟΝΑΔΑ (Αν, τότε στο διάστημα [, ] η f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής. Επομένως, υπάρχει, ) τέτοιο, ώστε f( ) f( ) f ( ). () ( Επειδή το ξ είναι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει f ( ),οπότε, λόγω της (), είναι f( ) f( ). ΠΑΙΡΝΕΙΣ ΜΟΝΑΔΕΣ 5 ΠΡΟΣΟΧΗ ΑΝ ΚΑΝΕΙΣ ΑΝΑΦΟΡΑ ΜΟΝΟ ΣΤΟ Θ.Μ.Τ ΠΑΙΡΝΕΙΣ 3 ΜΟΝΑΔΕΣ ΓΙΑΤΙ ΤΟ ΠΑΡΑΠΑΝΩ ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΙΝΑΙ ΣΥΝΕΠΕΙΑ ΤΟΥ Θ.Μ.Τ. (Αν, τότε ομοίως αποδεικνύεται ότι f() f( ). Σε όλες, λοιπόν, τις περιπτώσεις είναι ( ) f( ).) ΠΑΙΡΝΕΙΣ ΜΟΝΑΔΑ f Α. Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Πότε λέμε ότι η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ; Μονάδες 4 ΕΔΩ Η ΛΕΞΗ ΚΛΕΙΔΙ ΕΙΝΑΙ «εσωτερικό» (Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του Δ.) ΠΑΙΡΝΕΙΣ 4 ΜΟΝΑΔΕΣ

ΠΡΟΣΟΧΗ ΑΝ ΔΕΝ ΓΡΑΨΕΙΣ «εσωτερικό» ΧΑΝΕΙΣ ΜΟΝΑΔΑ 3 Α3. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α. Πότε λέμε ότι η f παρουσιάζει στο (ολικό ) μέγιστο, το f ( ) ; (Η συνάρτηση f παρουσιάζει στο όταν () f( ) για κάθε. ΠΑΙΡΝΕΙΣ 3 ΜΟΝΑΔΕΣ f Μονάδες 3 (ολικό) μέγιστο, το f( ), Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας,δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. ΠΡΟΣΟΧΗ ΔΙΑΒΑΣΕ ΚΑΛΑ ΤΙΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΨΕ «τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη» ΜΗΝ ΑΠΑΝΤΑΣ ΜΕ ΑΡΧΙΚΑ Σ, Λ. α. Για κάθε z C ισχύει z z lm(z). β. Αν lim f () ή τότε lim. f () Μονάδες Μονάδες γ. Αν μία συνάρτηση f παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτερο από τα τοπικά της μέγιστα. Μονάδες δ. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και α, β γ Δ, τότε ισχύει: f ()d f ()d f ()d Μονάδες

4 ε. Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ, τότε η παράγωγός της είναι υποχρεωτικά αρνητική στο εσωτερικό του Δ. Μονάδες α. Λάθος β. Σωστό γ. Σωστό δ.σωστό ε.λάθος Θ Ε Μ Α Β Δίνεται η εξίσωση z z z i 4 i, z C. Β. Να λύσετε την παραπάνω εξίσωση. (Αν z=+yi όπου,y R ) ΠΑΙΡΝΕΙΣ ΜΟΝΑΔΑ Μονάδες 9 z z zi 4 i y 4 i y ( ) i ΠΑΙΡΝΕΙΣ 3 ΜΟΝΑΔΕΣ y y ΠΑΙΡΝΕΙΣ 4 ΜΟΝΑΔΕΣ,y, ή,y, TO ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ (Άρα οι ρίζες της εξίσωσης είναι: ΠΑΙΡΝΕΙΣ ΜΟΝΑΔΑ z i και z i )

Β. Αν z 5 i και z i είναι οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης, τότε να αποδείξετε ότι ο αριθμός: είναι ίσος με 3i. w z 3 z 39 Μονάδες 8 ΑΝ ΚΑΝΕΙΣ ΜΙΑ ΑΠΛΗ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ 3 z 3 i w z i 39 39 ΠΑΙΡΝΕΙΣ ΜΟΝΑΔΑ 3 3 ( i).( i) 39 39 ( i) i ΠΑΙΡΝΕΙΣ 3 ΜΟΝΑΔΕΣ ΑΝ ΑΝΑΛΥΣΕΙΣ ΤΗΝ ΔΥΝΑΜΗ ΤΟΥ i 39 4.93 3 3i 3i 3 i ΠΑΙΡΝΕΙΣ 3 ΜΟΝΑΔΕΣ 3 i ΠΑΙΡΝΕΙΣ ΜΟΝΑΔΑ Β3. Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών u για τους οποίους ισχύει: u w 4z z i όπου w, z, z οι μιγαδικοί αριθμοί του ερωτήματος Β. Μονάδες 8

ΑΝ ΚΑΝΕΙΣ ΜΙΑ ΑΠΛΗ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΠΟΥ ΣΟΥ ΕΧΕΙ ΔΩΣΕΙ ΣΤΑ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΑ ( u w z z i u3i 4 ( i) ( i) i u3i 3 4i ) 4 ΠΑΙΡΝΕΙΣ ΜΟΝΑΔΕΣ u 3i 3 4 u3i 5 ΠΑΙΡΝΕΙΣ ΜΟΝΑΔΕΣ (Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z είναι ο κύκλος με κέντρο Κ(,3) και ακτίνα ρ=5) ΠΑΙΡΝΕΙΣ 4 ΜΟΝΑΔΕΣ 6 Θ Ε Μ Α Γ Θ Ε Μ Α Δίνεται η συνάρτηση Γ h() ln( ), R. Γ. Να μελετήσετε την h ως προς την κυρτότητα. Μονάδες 5 ΑΝ ΑΝΑΦΕΡΕΙΣ ΟΤΙ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ ΚΑΙ ΒΡΕΙΣ ΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟ (Η συνάρτηση h με () ln h, είναι παραγωγίσιμη στο R με χ h '() -, για κάθε R ) ΠΑΙΡΝΕΙΣ ΜΟΝΑΔΕΣ ΑΝ ΒΡΕΙΣ ΤΗΝ ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟ h () ΠΑΙΡΝΕΙΣ ΜΟΝΑΔΕΣ, για κάθε R

7 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ (Άρα η h είναι κοίλη στο R) ΠΑΙΡΝΕΙΣ ΜΟΝΑΔΑ Γ. Να λύσετε την ανίσωση: R. h(h ()), Μονάδες 7 ΠΑΙΡΝΕΙΣ ΜΟΝΑΔΑ hh'() hh'() ln ln h h'() h( ) (H h είναι γνησίως αύξουσα γιατί h'() ) ΠΑΙΡΝΕΙΣ 3 ΜΟΝΑΔΕΣ ( h'() h'() h'() h() γιατί η h () είναι γνησίως φθίνουσα αφού η h ()<) ΠΑΙΡΝΕΙΣ 3 ΜΟΝΑΔΕΣ Γ3. Να βρείτε την οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της h στο, καθώς και την πλάγια ασύμπτωτη της στο. Μονάδες 6

8 ( h() lim ln limln lim ) ΠΑΙΡΝΕΙΣ ΜΟΝΑΔΑ (Θέτουμε u ', u lim lim. ' Άρα από D L Hospital έχουμε lim ) ΠΑΙΡΝΕΙΣ ΜΟΝΑΔΑ (Επομένως limh() lim(lnu) ln. Άρα η ευθεία y= (ο άξονας ) είναι u οριζόντια ασύμπτωτη της ΠΑΙΡΝΕΙΣ ΜΟΝΑΔΑ C h στο. h() ln ( lim lim limln lim της z ln h() limln C h στο.) ΠΑΙΡΝΕΙΣ 3 ΜΟΝΑΔΕΣ ln lim ln και lim., γιατί.άρα η ευθεία y= είναι πλάγια ασύμπτωτη

Γ4. Δίνεται η συνάρτηση 9 h() ln, R. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της φ(), τον άξονα και την ευθεία =. (φ() h( ) ln h( ) ln h( ) ln h( ) h() Επειδή η h() είναι γνησίως αύξουσα άρα είναι -.) ΠΑΙΡΝΕΙΣ ΜΟΝΑΔΑ Μονάδες 7 (Η φ() είναι συνεχής στο, και φ(), για κάθε,, γιατί ln ln ln ln ln h () ln ln αφού.) ΠΑΙΡΝΕΙΣ ΜΟΝΑΔΕΣ Επομένως το ζητούμενο εμβαδόν Ε του χωρίου είναι :

E φ()d h() h()dln h() dln h() ln ln ()ln τ.μ. ΠΑΙΡΝΕΙΣ 4 ΜΟΝΑΔΕΣ h() ln d h()d lnd ln( ) ln-ln( ) ln Θ Ε Μ Α Δ Δίνεται η συνάρτηση f Θ Ε Μ Α Δ,, Δ. Να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο σημείο και στη συνέχεια, ότι είναι γνησίως αύξουσα. Μονάδες 7 ' (Είναι : lim lim '. Άρα από D L Hospital limf() lim f( ).Επομένως η f() είναι συνεχής στο σημείο.) ΠΑΙΡΝΕΙΣ ΜΟΝΑΔΕΣ

(Για κάθε, είναι f'(), γιατί: Θεωρούμε την συνάρτηση φ(), για κάθε R,η οποία είναι παραγωγίσιμη με φ' (), για κάθε R. φ'() φ() Το πρόσημο της φ (), η μονοτονία της φ() και το ελάχιστο της, φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. φ () + φ() ΠΑΙΡΝΕΙΣ 4 ΜΟΝΑΔΕΣ (Επομένως η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R, γιατί f'() για κάθε,, και η f() συνεχής στο R.) ΠΑΙΡΝΕΙΣ ΜΟΝΑΔA Δ.Δίνεται επιπλέον ότι η f είναι κυρτή. α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f () f (u)du έχει ακριβώς μία λύση, η οποία είναι η =. Μονάδες 7

* (Η f()>, για κάθε R,, ομόσημοι στο R.) ΠΑΙΡΝΕΙΣ ΜΟΝΑΔA (Έστω F() f(u)du, για κάθε R.Η F() είναι παράγουσα της συνεχούς f() στο R με F '() f() για κάθε R. Άρα η F() είναι γνησίως αύξουσα στο R.) ΠΑΙΡΝΕΙΣ ΜΟΝΑΔΕΣ f'() f(u)du Ff'() F( ) f'() f'() f'() f'( ) f() f( ) Γιατί : f'() lim lim lim lim lim ', αφού γνησίως αύξουσα οπότε και -, αφού η f() είναι κυρτή. ΠΑΙΡΝΕΙΣ 3 ΜΟΝΑΔΕΣ από D L Hospital και f '() β. Ένα υλικό σημείο Μ ξεκινά τη χρονική στιγμή t = από ένα σημείο A(,f ( )) με και κινείται κατά μήκος της καμπύλης y = f(), με = (t), y = y(t), t. Σε ποιο σημείο της καμπύλης ο ρυθμός

3 μεταβολής της τετμημένης (t) του σημείου Μ είναι διπλάσιος του ρυθμού μεταβολής της τεταγμένης του y(t), αν υποτεθεί ότι (t) > για κάθε t. Είναι f ( ( t)) ψ(t). ' f t t t Άρα (γιατί t Μονάδες 4 () ψ(t) f' t ' ψ(t) f' t ψ(t ) ' ( t ) ) f '( ( t )) ( ( t και ( t ) ) f '( ( t)) f '( ( t)) f () ( t) Οπότε f ( ( t)) f (). To σημείο είναι το Α(,). ΠΑΙΡΝΕΙΣ 4 ΜΟΝΑΔΕΣ Δ3. Θεωρούμε τη συνάρτηση g() (f () ) ( ), (, ) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g έχει δύο θέσεις τοπικών ελαχίστων και μία θέση τοπικού μεγίστου. Μονάδες 7

4 Έχουμε f (), για κάθε >., οπότε g()., για κάθε ΠΑΙΡΝΕΙΣ ΜΟΝΑΔΑ Βλέπουμε ότι μοναδική ρίζα γιατί ( )', άρα η ( ) είναι γνησίως αύξουσα. Επίσης ΠΑΙΡΝΕΙΣ ΜΟΝΑΔΑ ΑΝ ΕΦΑΡΜΟΣΕΙΣ BOLZANO Για την h(), για κάθε > έχουμε: Είναι συνεχής στο [,], h ( ).h( ).( ). Οπότε από θεώρημα Bolzano η h() άρα και η g () έχει μία τουλάχιστον ρίζα h στο, στο (,), η οποία είναι και μοναδική γιατί '() h είναι γνησίως αύξουσα στο,. ΠΑΙΡΝΕΙΣ ΜΟΝΑΔΕΣ Έχουμε :., οπότε η

5 -. h() h() h(). X g () - + - + g() τ.ε. τ.μ. τ.ε. To πρόσημο της g (), η μονοτονία της g() και τα σημεία που παρουσιάζει τα ακρότατα της φαίνονται στον προηγούμενο πίνακα Άρα η g() είναι γνησίως φθίνουσα σε καθένα από τα διαστήματα, και,, ενώ είναι γνησίως αύξουσα σε καθένα από τα διαστήματα, και,. Επομένως η g έχει δυο θέσεις τοπικών ελαχίστων στα και και μια θέση τοπικού μεγίστου στο. ΠΑΙΡΝΕΙΣ 3 ΜΟΝΑΔΕΣ Οι λύσεις των θεμάτων είναι ενδεικτικές υπάρχουν και άλλες βασικές προσεγγίσεις των παραπάνω θεμάτων.