Π Α Ν Ο Ρ Α Μ Α Κ Ω Ν Ι Κ Ω Ν Τ Ο Μ Ω Ν - (ΘΕΤΙΚΗ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ) Β ΛΥ Κ Ε Ι Ο Υ σελίδα 1 ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ C 1

Π Ν Ο Ρ Μ Κ Ω Ν Ι Κ Ω Ν Τ Ο Μ Ω Ν - (ΘΕΤΙΚΗ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΗ) Β ΛΥ Κ Ε Ι Ο Υ σλίδ 1 ΚΥΚΛΟ ΟΡΙΜΟ : Ονομάζτι ο ωμτικός τόπος (.τ.) των σημίων του πιπέδου που πέχουν στθή πόστση, ( > ), πό έν συκκιμένο σημίο Κ. Το Κ ονομάζτι κέντο του κύκλου κι ίνι η κτίν του. ΓΕΝΙΚΗ ΕΞΙΩΗ ΚΥΚΛΟΥ O Η νική μοφή της ξίσωσης νός O(, ) κύκλου (σχήμ 1) ίνι : M(, ) ( ) + ( ) = (1) Κ(, ) σχήμ 1 M(, ) όπου Κ(, ) ίνι το κέντου του κύκλου, ίνι η κτίν του κι Μ(, ) ίνι έν τυχίο σημίο του κύκλου. Ο τύπος (1) ισοδύνμ ίντι : + + A + B + Γ = (), μ + Β 4Γ > A B A + B 4Γ κφάζι πίσης κύκλο μ κέντο Κ,, =. Aν + Β A B 4Γ =, τότ ο () πιστάνι σημίο το Κ,. ν + Β 4Γ <, τότ ο τύπος () ίνι δύντος κι δν υπάχουν σημί Μ(, ), που τον πληθύουν. ΕΙΔΙΚΕ ΠΕΡΙΠΤΩΕΙ 1 ΕΦΠΤΟΜΕΝΗ ΕΥΘΕΙ ΚΥΚΛΟΥ A( 1, 1 ) O(, ) σχήμ M(, ) σχήμ 3 Ο κύκλος 1 μ κέντο την χή των ξόνων Ο(, ) κι κτίν (σχήμ ) έχι ξίσωση : + =, (3) ν πίσης η κτίν = 1, τότ ο κύκλος ονομάζτι μονδιίος. Η φπτομένη υθί () του κύκλου δίντι πό την (3) κι έχι σημίο πφής ( 1, 1 ) μ τον κύκλο, έχι ξίσωση : 1 + 1 =, (4) που Μ(, ) ίνι σημίο της () κι η κτίν του ντίστοιχου κύκλου. Η φπτομένη υθί () ίνι κάθτη στην κτίν του κύκλου. to+3_1/bl

Π Ν Ο Ρ Μ Κ Ω Ν Ι Κ Ω Ν Τ Ο Μ Ω Ν - (ΘΕΤΙΚΗ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΗ) Β ΛΥ Κ Ε Ι Ο Υ σλίδ ΠΡΒΟΛΗ ΟΡΙΜΟ : Ονομάζτι ο ωμτικός τόπος των σημίων του πιπέδου που ισπέχουν πό μι υθί δ κι έν σημίο Ε.. Η υθί δ ονομάζτι διυθτούσ κι το σημίο Ε στί της πολής. ΕΞΙΩΗ ΠΡΒΟΛΗ > E(, ) δ: = - : = M(, ) σχήμ 4 : = < E(, ) σχήμ 5 M(, ) Μι πολή έχι ξίσωση : =, (σχήμ 4, σχήμ 5), μ στί Ε, κι διυθτούσ υθί δ : = -. Έχουν κουφή Ο(, ) κι άξον (κάθτος στη διυθτούσ δ). Ισχύι (ΜΕ) = (Μ). Πάμτος της πολής ίνι το κι ΙΙ δηλώνι την πόστση της στίς Ε πό τη διυθτούσ δ. ν > τότ έχουμ την πολή «δξιά» του άξον (σχήμ 4) ν < τότ έχουμ την πολή «ιστά» του άξον (σχήμ 5) δ: = - > E(, ) : = δ: = - σχήμ 6 M(, ) Μι πολή έχι ξίσωση : = (σχήμ 6, σχήμ 7), μ στί Ε, κι διυθτούσ δ : = -. Έχουν κουφή Ο(, ) κι άξον (κάθτος στη διυθτούσ δ). Ισχύι (ΜΕ) = (Μ). ν > τότ έχουμ την πολή «πάνω» πό τον (σχήμ 6) ν < τότ έχουμ την πολή «κάτω» πό τον άξον (σχήμ 7) ΕΦΠΤΟΜΕΝΗ ΕΥΘΕΙ ΠΡΒΟΛΗ : = < σχήμ 7 Η ξίσωση της φπτομένης υθίς () της M(, ) πολής : = σ σημίο της ζ ( 1, 1 ) ίνι : 1 = ( + 1 ). (σχ. 8) ( 1, 1 ) ντίστοιχ, η φπτομένη της πολής φ : =, σ σημίο ( 1, 1 ), θ ίνι φ 1 : 1 = ( + 1 ). ΙΔΙΟΤΗΤΕ ΠΡΒΟΛΗ B(- 1, ) E(, ) : =, τ, ίνι ομόσημ. Τ Μ(, ), M (, -) νήκουν στην πολή : =. σχήμ 8 την φπτομένη () ισχύι φ 1 = φ κι διέχτι κι πό το σημίο Β( - 1, ) (σχήμ 8). Επίσης //. δ: = - E(, ) M(, )

Π Ν Ο Ρ Μ Κ Ω Ν Ι Κ Ω Ν Τ Ο Μ Ω Ν - (ΘΕΤΙΚΗ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΗ) Β ΛΥ Κ Ε Ι Ο Υ σλίδ 3 ΕΛΛΕΙΨΗ ΟΡΙΜΟ : Ονομάζτι ο ωμτικός τόπος των σημίων του πιπέδου που έχουν στθό άθοισμ των ποστάσών τους πό δύο δδομέν σημί Ε κι Ε κι μλύτο του μήκους ΕΕ. Δηλ. ν Μ σημίο του.τ. τότ (ΜΕ) + (ΜΕ ) = στθό, > (ΕΕ ) =. Τ σημί Ε, Ε ονομάζοντι στίς της έλλιψης κι το μήκος (ΕΕ ) στική πόστση. Ισχύι > >. ΕΞΙΩΗ ΕΛΛΕΙΨΗ (-, ) (, ) E (-, ) E(, ) (, ) Β (-, ) E(, ) Β(, ) Β (, -) (, -) E (, -) M(, ) Β(, ) σχήμ 1 M(, ) σχήμ 9 Η ξίσωση μις έλλιψης μ στίς Ε(, ), Ε (-, ) ίνι : + = 1 κι ισχύι >, > (σχήμ 9). Η ξίσωση μις έλλιψης μ στίς Ε(, ), Ε (, - ) ίνι : + = 1 (σχήμ 1). κι ισχύι >, >, ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΟΡΙΜΟ : Ονομάζτι ο ωμτικός τόπος των σημίων του πιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοάς των ποστάσών τους πό δύο δδομέν σημί Ε κι Ε ίνι στθή κι μικότη του μήκους ΕΕ. Δηλ. ν Μ σημίο του.τ. τότ Ι(ΜΕ) - (ΜΕ )Ι = στθό, < (ΕΕ ) =. Τ σημί Ε, Ε ονομάζοντι στίς της υπολής κι το μήκος (ΕΕ ) στική πόστση. Ισχύι < <. ΕΞΙΩΗ ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ε(-, ) Ε(, ) 4 ΙΔΙΟΤΗΤΕ ΕΛΛΕΙΨΗ Ε(, ) Μ(, ) Μ(, ) σχήμ 1 Ε(, - ) 1 3 σχήμ 11 Η ξίσωση μις υπολής μ στίς Ε(, ), Ε (-, ) ίνι : = 1 κι ισχύι < (σχήμ 11). Η ξίσωση μις υπολής μ στίς Ε(, ), Ε (, - ) ίνι : = 1 (σχήμ 1). κι ισχύι <

Π Ν Ο Ρ Μ Κ Ω Ν Ι Κ Ω Ν Τ Ο Μ Ω Ν - (ΘΕΤΙΚΗ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΗ) Β ΛΥ Κ Ε Ι Ο Υ σλίδ 4 M 3 (-, ) (, ) Β(, ) = Έστω : + = 1, > κι >,. Ισχύουν : ν Μ 1 (, ) νήκι στη, τότ κι τ Μ (, -), M 3 (-, ) κι Μ 4 (-, -) νήκουν στη. T (, ), (-, ), Β(, ) κι Β (, -), ονομάζοντι κουφές της έλλιψης. ( ) =, μάλος άξονς (ΒΒ ) =, μικός άξονς + = 1 = 1 1 -, ομοίως -. Η έλλιψη πιέχτι σ οθοώνιο που οίζτι πό τις υθίς =, = -, = κι = -. (σχήμ 13) Το σημίο Ο ονομάζτι κέντο της έλλιψης. ΕΚΚΕΝΤΡΟΤΗΤ ΕΛΛΕΙΨΗ M 1 M 4 M Β (, -) σχήμ 13 Οίζτι ως ο λόος =. Iσχύι < < 1, = 1 - = 1. Aν, τότ η έλλιψη τίνι ν ίνι κύκλος, φού. ν 1, τότ η έλλιψη τίνι ν κφυλιστί σ υθύμμο τμήμ, φού. Οι λλίψις μ ίδις κκντότητς ίνι όμοις. Έστω : = 1, <, =. Μ 3 Μ 1 Ισχύουν : Κ Λ ν Μ 1 (, ) νήκι στη, τότ κι τ Μ (, -), M 3 (-, ) κι Μ 4 (-, -) νήκουν στη. Ε(-, ) Ε(, ) T (, ), (-, ), ονομάζοντι κουφές της Ρ Ν Μ 4 Μ υπολής. Δν τέμνι τον. σχήμ 14 = 1 = 1+ 1 ή -. Τ σημί της υπολής ίσκοντι έξω πό την τινί των υθιών = κι = - κι ποτλίτι πό δύο κλάδους. (σχήμ 14) ν =, τότ η υπολή ονομάζτι ισοσκλής υπολή. Οίζτι ως οθοώνιο άσης της υπολής το οθοώνιο ΚΛΝΡ μ Κ(-, ), Λ(, ), Ν(, -) κι Ρ(-, -) Το σημίο Ο ονομάζτι κέντο της υπολής. ΕΚΚΕΝΤΡΟΤΗΤ ΥΠΕΡΒΟΛΗ Οίζτι ως ο λόος =. Iσχύι > 1, = 1 + = 1. ν 1, τότ το μικίνι, φού. την πίπτωση της ισοσκλούς υπολής, όπου = τότ =. Ι ΔΙΟΤΗΤΕ ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΕΦΠΤΟΜΕΝΗ ΕΥΘΕΙ ΕΛΛΕΙΨΗ

Π Ν Ο Ρ Μ Κ Ω Ν Ι Κ Ω Ν Τ Ο Μ Ω Ν - (ΘΕΤΙΚΗ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΗ) Β ΛΥ Κ Ε Ι Ο Υ σλίδ 5 M(, ) E ( -, ) E(, ) σχήμ 15 ζ Μ 1 ( 1, 1 ) Έστω : + = 1, > κι >, =. Η ξ ίσωση της φπτομένης υθίς () σ σημίο Μ 1 ( 1, 1 ) της έλλιψης ίνι : 1 1 : + = 1. (σχήμ 15) Η κάθτη υθί (ζ) στην φπτομένη υθί () διχοτομί τη ωνί Ε Μ 1 Ε. ντίστοιχ ι την έλλιψη : + = 1 >, > η ξίσωση της φπτομένης υθίς () σ σημίο Μ 1 (1, 1 ) της έλλιψης 1 1 ίνι : : + = 1. Γνικά σ όλς τις ξισώσις των φπτομένων των κωνικών τομών το ζύος ( 1, 1 ) δηλώνι τις συνττμένς του σημίου πφής, νώ το ζύος (, ) ίνι οι συνττμένς τυχίου σημίου της φπτομένης υθίς. Το σημίο πφ κωνική τομή κι στην φπτομένη ής νήκι κι στην υθί Ε ΦΠΤΟΜΕΝΗ ΕΥΘΕΙ ΥΠΕΡΒΟΛΗ Έστω : = 1, <, =. Η ξίσωση της φπτομένης () σ σημίο Μ 1 ( 1, 1 ) της υπολής ίνι : 1 1 : = 1. (σχήμ 16) Η φπτομένη υθί () διχοτομί τη ωνί Ε Μ 1 Ε. ντίστοιχ ι την έλλιψη : = 1 όπου = <, η ξίσωση της φπτομένης υθίς () σ σημίο 1 1 Μ 1 ( 1, 1 ) της έλλιψης ίνι : = 1. ΥΜΠΤΩΤΕ ΕΥΘΕΙΕ ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ε(-, ) Ε(, ) Οι σύμπτωτς υθίς της υπολής μ στίς Ε(, ) κι Ε (-, ) ίνι 1 : = κι : = - (σχήμ 11). Οι σύμπτωτς υθίς της υπολής μ στίς Ε(, ) κι Ε (, -) ίνι Μ 1 ( 1, 1 ) σχήμ 16 1 : = κι : = - (σχήμ 1). Οι σύμπτωτς υθίς ποτλούν τις διωνίους του οθοωνίου άσης (σχ.14)