Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje-2 1 / 43

Σχετικά έγγραφα
Integrali Materijali za nastavu iz Matematike 1

Ολοκλήρωση. Ολοκληρωτικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 1 1 / 72

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

4.1 Elementarne funkcije

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

Fourier Analysis of Waves

Αόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

2.7 Primjene odredenih integrala

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

Homework#13 Trigonometry Honors Study Guide for Final Test#3

Κεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

1.4 Tangenta i normala

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

radni nerecenzirani materijal za predavanja

d dx x 2 = 2x d dx x 3 = 3x 2 d dx x n = nx n 1

Iterativne metode - vježbe

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

(ii) x[y (x)] 4 + 2y(x) = 2x. (vi) y (x) = x 2 sin x

7 Algebarske jednadžbe

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

3 }t. (1) (f + g) = f + g, (f g) = f g. (f g) = f g + fg, ( f g ) = f g fg g 2. (2) [f(g(x))] = f (g(x)) g (x) (3) d. = nv dx.

Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, εαρινό εξάμηνο Φυλλάδιο ασκήσεων επανάληψης.

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

Αθ.Κεχαγιας. v Λογισµός Συναρτήσεων Μιας Μεταβλητής µε παράρτηµα Αναλυτικής Γεωµετρίας. Σηµειωσεις : Θ. Κεχαγιας.

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

RADNA VERZIJA. Matematika 2. Zbirka zadataka. Ivan Slapničar. Josipa Barić. w w w. f e s b. h r / m a t 2. Split, 2012.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

f(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2].

f(x) dx. f(x)dx = 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 7: Ολοκλήρωµα Riemann Α Οµάδα

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Λύσεις ασκήσεων Οµάδας 1

Author : Πιθανώς έχει κάποιο λάθος Supervisor : Πιθανώς έχει καποιο λάθος.

Review-2 and Practice problems. sin 2 (x) cos 2 (x)(sin(x)dx) (1 cos 2 (x)) cos 2 (x)(sin(x)dx) let u = cos(x), du = sin(x)dx. = (1 u 2 )u 2 ( du)

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΛ 2019

18. listopada listopada / 13

IZVODI ZADACI (I deo)

Παράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.

ΘΕΩΡΙΑ - ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations)

Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα 3

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

x3 + 1 (sin x)/x d dx (f(g(x))) = f ( g(x)) g (x). d dx (sin(x3 )) = cos(x 3 ) (3x 2 ). 3x 2 cos(x 3 )dx = sin(x 3 ) + C. d e (t2 +1) = e (t2 +1)

b proj a b είναι κάθετο στο

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

( , 2. kolokvij)

L A TEX 2ε. mathematica 5.2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ., x 1

MATEMATIKA 2. Ivan Slapničar Nevena Jakovčević Stor Josipa Barić. Zbirka zadataka.

Neodred eni integrali

Kaskadna kompenzacija SAU

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

3 + tanx 100 Differentiate G(t) = Answer: G (t) = Differentiate f (x) = lnx + ex 2. Differentiate F(s) = ln ( cos(2s) + 2 ) Answer: F (s) =

Asupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 3 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

6 Neodreženi integrali. F (x) = f(x). Primer 38 Funkcija F (x) = sin x je primitivna funkcija funkcije f(x) = cos x na (, + ), jer je

EE1. Solutions of Problems 4. : a) f(x) = x 2 +x. = (x+ǫ)2 +(x+ǫ) (x 2 +x) ǫ

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika 2 Poglavlje 6 1 / 60

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

Λύσεις στο Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

1 Integrali. 1.1 Pojam neodre denog integrala. Uvod u površinski problem

1.Να βρείτε την συνάρτηση f(x) για την οποία ισχύει ότι f 2 (x).f (χ)=χ 2 +1,χ 0 και περνάει από την αρχή των αξόνων.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Uvod Kako naći ortogonalne trajektorije. 1 Polje smjerova. 2 Eulerova metoda za rješavanje dif. jednadžbi prvog reda. 3 Ortogonalne trajektorije

298 Appendix A Selected Answers

4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Από το σχήμα που ακολουθεί, προκύπτει ότι σχύουν οι παρακάτω σχέσεις: x = ρ.cosθ y = ρ.sinθ (Π.2.α)

ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιμής) Έστω f: [α, β] R συνεχής και παραγωγίσιμη στο (α, β). Τότε υπάρχει ξ (α, β)

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΠΛΗΡΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Α4. α) Λάθος. Το θεώρημα ισχύει για διάστημα και όχι για ένωση διαστημάτων που είναι το σύνολο Α. Π.χ.

Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod

ψ (x) = e γ x A 3 x < a b / 2 A 2 cos(kx) B 2 b / 2 < x < b / 2 sin(kx) cosh(γ x) A 1 sin(kx) a b / 2 < x < b / 2 cos(kx) + B 2 e γ x x > a + b / 2

Μαθηματική Ανάλυση Ι

% APPM$1235$Final$Exam$$Fall$2016$

Transcript:

Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Ciljevi učenja Ciljevi učenja za predavanja i vježbe: Integral kao antiderivacija Prepoznavanje očiglednih supstitucija Metoda supstitucije-složeniji zadaci Parcijalna integracija Kombiniranje gornjih tehnika Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43

Sadržaj: Sadržaj Tablično integriranje Integriranje supstitucijom Očigledna supstitucija Supstitucija Supstitucija u odredenom integralu 3 Parcijalna integracija Kombiniranje parcijalne integracije i supstitucije Parcijalna integracija u odredjenom integralu Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 3 / 43 Tablično integriranje f(x) x f(x)dx ln x +c x a x ;a a+ a+ + c sinx cosx+ c cosx sinx+ c tgx+ c cos x ctgx+ c sin x b x bx lnb + c e x e x + c a x arcsin( x a ) f(x) f(x)dx a +x a arctg( x a )+c a x a ln a+x a x +c x +a ln(x+ x + a )+c x a shx chx sh x ch x ln(x+ x a )+c chx+ c shx+ c cthx+ c thx+ c Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 4 / 43

Tablično integriranje Zadaci Zadatak. Odredite sljedeće integrale: Rj. (a) ( x 3 + 7 x x )dx (b) ( x /3 + x) 5 dx (c) xdx. Zadatak. Odredite sljedeće integrale: (a) ( ) cosx 3 dx cos x (b) 5sin 3 x+4dx (c) π sin x 3 sinxdx. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 5 / 43 Tablično integriranje Zadaci Zadatak 3. Odredite sljedeće integrale: (a) ( ) + 3 dx 4 +x 7 x (b) ( ) + 3 dx 5 x (c) 4x dx (d) dx x +. 4+x Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 6 / 43

Tablično integriranje Zadaci Zadatak 4. Odredite sljedeće integrale: (a) ( 3 x + 3 x) dx (b) 5e 3x dx (c) x dx (d)odredite površinu na slici desno. e x Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 7 / 43 Tablično integriranje Zadaci Zadatak 5. Odredite sljedeće integrale: (a) π ( 3x + sinx e x) dx (b) ( ) 3 x+ dx x (c)odredite površinu na slici desno. sin x π cos x Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 8 / 43

Tablično integriranje Zadaci Rješenje : Zad. (a) x4 x 4 x+ c. (b) 3 5 x5/3 + 5ln x +c. (c) 4 3. Rješenje : (a) sinx 3tgx+ c. (b) 5cosx 4ctgx+ c. (c) 3. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 9 / 43 Tablično integriranje Zadaci Rješenje 3: (a) 3 arctg( x 3 )+ 7 ln 7+x 7 x +c. (b) arcsin( x 5 )+3ln(x+ x + 4)+c. ) (c) (x+ ln x 4 + c. (d) π 4. Rješenje 4: (a) ln3 3x + ln3 3x + c. (b) 5 3 e3x + c. (c) ln. (d) e e. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43

Tablično integriranje Zadaci Rješenje 5: (a) π 3 + 5 e π. (b) 3 4 + π. (c) P = π 4 (cosx sinx)=. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Integriranje supstitucijom Očigledna supstitucija Očigledna supstitucija Ako je u = u(x) onda je PRIMJER. x x dx =? f(u(x)) du dx dx = f(u)du Rješenje: x xdx = = 3 (x ) 3 + c. u=x du dx =x = u du dx dx = udu = 3 u3/ + c = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43

Integriranje supstitucijom Očigledna supstitucija Primjer. sin x cosxdx =? Rješenje: sin x cosxdx = u=sinx du dx =cosx = u du dx dx = u du = u3 3 + c = sin3 3 + c. Standardnija procedura: sin x cosxdx = u=sinx du=cosxdx = u du = u3 3 + c = sin3 3 + c. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 3 / 43 Integriranje supstitucijom Očigledna supstitucija Zadatak 6. Izračunajte sljedeće integrale: (a) cos x sinxdx (b) e x +e x dx (c) e x +e x dx (d) x 3 x 4 + dx (e) x cos(x 3 )dx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 4 / 43

Integriranje supstitucijom Očigledna supstitucija Rješenje 6: (a) cos x sinxdx = t=cosx dt= sinxdx dt=sinxdx (b) ln(+e x )+c (t = +e x ) (c) arctg(e x )+c (t = e x ) (d) 4 ln(x4 + )+c (t = x 4 + ) (e) 3 sin(x3 )+c (t = x 3 ) = t dt = t3 3 + c = cos3 3 + c. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 5 / 43 Integriranje supstitucijom Očigledna supstitucija Zadatak 7. Ako je f(x)dx = F(x)+c, koliko je: (a) f(x)dx (b) f(x 4)dx (c) f(3x+ )dx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 6 / 43

Integriranje supstitucijom Očigledna supstitucija Rješenje 7: (a) F(x) + c (b) F(x 4)+c (c) F(3x+) 3 + c Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 7 / 43 Integriranje supstitucijom Očigledna supstitucija Sljedeći zadaci se često koristi u primjenama. Zadatak 8. Izračunajte sljedeće integrale: (a) sin xdx (b) cos xdx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 8 / 43

Integriranje supstitucijom Očigledna supstitucija Rješenje 8: (a) Koristimo se poznatim trigonometrijskim identitetom sin xdx = x sin(x) 4 + c (b) Koristimo se identitetom cos xdx = = x + sin(x) 4 + c sin x = cos(x) cos(x)dx = ( cos(x))dx = (+cos(x))dx = dx cos x = +cos(x) dx+ cos(x)dx = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 9 / 43 Integriranje supstitucijom Supstitucija SUPSTITUCIJA Integral h(x)dx, pomoću supstitucije, izračunavamo sljedećim koracima: (a) Odaberemo novu varijablu u = g(x) i uvrstimo ju u integral (uz du = g (x)dx): (b)iz h(x) g (x) funkciju od u tj. h(x)dx = h(x) du g (x) pokušamo eliminirati x tako da h(x) h(x) g (x) = f(u). Dakle, h(x) du g (x) = g (x) f(u)du prepoznamo kao (c) f(u)du je sada jednostavniji integral u kojem, nakon izračunavanja, zamjenimo nazad u = g(x). Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43

Integriranje supstitucijom Supstitucija Primjer 3. x 3 +3 (x 4 +x) dx =? Rješenje: (a) Stavimo u = x 4 + x. Dakle du =(4x 3 + )dx: x 3 + 3 x 3 (x 4 + x) dx = + 3 du u (4x 3 + ) (b) U integralu kraćenjem se eliminira x x 3 + 3 u du 4(x 3 + 3) = 4 u du (c) 4 du = u u 4 + c = (x 4 +x) 4 + c = 4(x 4 +x) + c Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43 Integriranje supstitucijom Supstitucija Zadatak 9. Izračunajte sljedeće integrale: (a) x+ x +x+ dx (b) e x x dx Zadatak. (a) lnx+ x dx (b) cosϕ +sinϕ dϕ Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- / 43

Integriranje supstitucijom Supstitucija Zadatak. Izračunajte sljedeće integrale: (a) sin(lnt) t dt (b) e y +e y dy (c) x +x 4 dx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 3 / 43 Integriranje supstitucijom Supstitucija Rješenje 9: (a) x+ x dx = +x+ = x + x+ +c (b) e x + c (t = x ) Rješenje : (a) 3 (lnx+ ) 3 + c (t = lnx+ ) (b) ln +sinϕ +c Rješenje : (a) cos(lnt)+c t=x +x+ dt=(x+)dx dx= (x+) dt = x+ dt t (x+) = t (t = +sinϕ) (u = lnt) (b) ln(+ey ) (u = +e y ) (c) arctg(x ) (u = x ) dt = t + c = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 4 / 43

Integriranje supstitucijom Supstitucija u odredenom integralu SUPSTITUCIJA U ODREDENOM INTEGRALU Ako integral h(x)dx supstitucijom u = g(x) prelazi u integral f(u)du onda vrijedi: b a h(x)dx = g(b) g(a) Veza medu granicama integrala je dana sa x a b u g(a) g(b) f(u)du Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 5 / 43 Integriranje supstitucijom Supstitucija u odredenom integralu Primjer 4. Izračunajte integral e x e x + dx Rješenje: e x e x + dx = u=ex + du=e x dx x = +e u du =(lnu) +e = ln ( ) +e u +e Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 6 / 43

Integriranje supstitucijom Supstitucija u odredenom integralu Zadatak. Izračunajte sljedeće integrale: (a) π 8 cos(4x)dx (b) t t + dt (c) e x +e x dx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 7 / 43 Integriranje supstitucijom Supstitucija u odredenom integralu Rješenje : π 8 (a) cos(4x)dx = (b) t t + dt = e (c) x dx == +e x t=4x dt=4dx x π 8 t π u=t + du=tdt t u u=e x du=e x dx x u e π = = u du = e ) cost dt 4 = 4 (sint π = 4. = 3 (u3/ )= 3 ( 8 ) +u du = arctgu e = arctge π 4. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 8 / 43

Parcijalna integracija PARCIJALNA INTEGRACIJA Stavimo u = f(x), v = g(x) v Sa površina sa slike desno iščitavamo vezu: udv+ vdu = uv ud v vdu u Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 9 / 43 Parcijalna integracija Integral f(x)g (x)dx računamo na sljedeći način: f(x)g (x)dxdx = u=f(x) du=f (x)dx dv=g (x)dx v=g(x) = f(x)g(x) g(x)f (x)dx. =uv vdu = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 3 / 43

Parcijalna integracija Primjer 5. Izračunajte integral x cosxdx. Rješenje: }{{} x cos }{{ xdx } = u=x du=dx u dv = x sinx+ cosx+ c. dv=cosxdx v=sinx =uv vdu = x sinx sinxdx = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 3 / 43 Parcijalna integracija Primjer 6. Izračunajte integral lnxdx. Rješenje: }{{} lnx }{{} dx = u dv u=lnx du= x dx dv=dx v=x = x lnx dx = x lnx x+ c. =uv vdu =(lnx)x x xdx = Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 3 / 43

Parcijalna integracija Zadatak 3. Izračunajte sljedeće integrale: (a) xe x dx (b) x cosxdx Zadatak 4. Izračunajte sljedeće integrale: (a) (x+ )sinxdx (b) (x )e 3x dx (c) x lnxdx (d) x e 3x dx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 33 / 43 Parcijalna integracija Rješenje 3: (a) xe x dx = u=x du=dx dv=e x dx v=e x = xe x e x dx = xe x e x + c (b) x cosx dx = u=x du=xdx dv=cosxdx v=sinx = x sinx x sinxdx = = u=x du=dx =x sinx (x( cosx)+ cosxdx)= dv=sindx v= cosx = x sinx+ x cosx cosxdx = x sinx+ x cosx sinx+ c Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 34 / 43

Parcijalna integracija Rješenje 4: (a) (x+ )cosx+ sinx+ c (b) e 3x( 3 (x ) 9) + c (c) x3 x3 3 ln x 3 + c (d) e 3x ( x 3 x 9 + 7 ) + c Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 35 / 43 Parcijalna integracija Zadatak 5. Supstitucijom i parcijalnom integracijom izračunajte sljedeće integrale: (a) x 3 cos(x ) dx (b) e x sinx dx (c) arcsinx dx (d) xarctg x dx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 36 / 43

Parcijalna integracija Rješenje 5: (a) x 3 cos(x )dx = t=x = t cost dt = u=t du=dt dt=xdx dv=costdt v=sint = = t sint sint dt = t sint+ cost+ c = x sin(x )+cos(x )+c (b) e x sinx dx = u=e x du=e x dx dv=sinxdx v= cosx = cosx e x + e x cosx dx = u=e x du=e x dx dv=cosx dx v=sinx = cosx e x + sinxe x e x sinx dx e x sinx dx = cosx e x + sinxe x e x sinx dx = ex ( cosx+ sinx)+c (c) arcsinx dx = u=arcsinx du= x dx = x arcsinx x dx = dv=dx v=x x t= x = dt= x = x arcsinx+ dt = x arcsinx+ t+ c = x = x arcsinx+ x + c. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 37 / 43 Parcijalna integracija Rješenje 5: (d) xarctg x dx = = x arctg x u=arctg x du= +x dx dv=xdx v= x ( +x ) dx = = x arctg x = x arctg x x (+x ) dx = (x arctg x)+c. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 38 / 43

Parcijalna integracija Parcijalna integracija u odredjenom integralu PARCIJALNA INTEGRACIJA U ODREDENOM INTEGRALU b a b u dv = uv b a v du a Zadatak 6. Izračunajte integral: e lnx dx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 39 / 43 Parcijalna integracija Parcijalna integracija u odredjenom integralu Zadatak 7. Izračunajte površinu sa slike: y f (x)= x sin x x Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 4 / 43

Parcijalna integracija Parcijalna integracija u odredjenom integralu Rješenje 6: e lnx dx = Rješenje 7: 3π π x sinx dx = u=lnx du= x dx dv=dx v=x =xlnx e e u=x du=dx dv=sinxdx v= cosx x x dx =. = x cosx 3π π + 3π π cosx dx = 5π. Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 4 / 43 Parcijalna integracija Parcijalna integracija u odredjenom integralu Zadatak 8. Izračunajte sljedeće integrale: (a) 3 7 x 3 dx (b) dx x x+3 (c) x x +7 dx (d) tgx dx (e) π π 4 ctgx dx (f) 6x x sinx x 3 x +cosx dx Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 4 / 43

Parcijalna integracija Parcijalna integracija u odredjenom integralu Rješenje 8: (a) 7 ln3 (b) arcctg( x )+c (c) ln(x + 7)+c (d) ln cosx +c (e) ln( ) (f) ln x 3 x + cosx +c Katedra za matematiku (FSB, Zagreb) Matematika Poglavlje- 43 / 43