7. Aplikácia matematických metód v krízovom plánovaní 7. APLIKÁCIA MATEMATICKÝCH METÓD V KRÍZOVOM PLÁNOVANÍ Rozvoj ľudskej spoločnosti so sebou prináša aj negatívne dopady, medzi ktoré patrí stále väčšia pravdepodobnosť vzniku krízových javov a zväčšovanie rozsahu škôd a strát. Tento trend sa spoločnosť snaží zastaviť, ale nikdy ho nedokáže plne eliminovať. Pri odhaľovaní a eliminácii rizík, príprave preventívnych opatrení a postupov riešenia vlastných krízových situácií sa stále viacej uplatňujú vedecké poznatky z rôznych odborov ľudského poznania. Vzhľadom na to, že výskyt krízových javov podlieha značnému stupňu náhodilosti stochastičnosti, môžu zohrať významnú rolu v ich skúmaní a predpovedaní aj metódy matematickej štatistiky. Takisto v príprave opatrení na riešenie krízových situácií môžeme uplatniť niektoré matematické optimalizačné metódy, metódy hromadnej obsluhy a matematickej simulácie, vrátane počítačových simulačných technológií. 7.1. MATEMATICKÁ ŠTATISTIKA Metódy matematickej štatistiky a štatistickej analýzy nachádzajú stále širšie uplatnenie v najrôznejších odboroch. Štatistika je teoretickou disciplínou, ktorá skúma stav a vývoj číselne vyjadrených hromadných javov v rôznych oblastiach (osoby a ich činnosti, zvieratá, veci, organizácie, inštitúcie, spoločenstvá, výroba, riadenie, prírodné deje a ďalšie). Matematická štatistika sa nezaoberá len kvantitatívnou stránkou hromadných javov, ale skúma tiež stránku kvalitatívnu. Pomocou štatistických rozborov vie odhaliť rôzne vzájomné súvislosti, závislosti a vývojové tendencie. Základom každého štatistického skúmania je štatistický súbor. Ten sa skladá zo štatistických jednotiek (elementov, javov, dejov, prvkov, meraní a pod.). Môže byť základný (obsahuje všetky prvky), alebo výberový (obsahuje len určitú podmnožinu základného súboru). Rozsah súboru by mal byť čo najväčší a reprezentatívny, aby boli vylúčené nepodstatné alebo náhodné vplyvy. Skúmame napríklad frekvenciu vzniku dopravných nehôd, výskyt prírodných javov, zlyhania ľudského činiteľa a pod. Štatistické predpovedanie sa uskutočňuje prostredníctvom vyrovnania skúmaného súboru krivkou, ktorá sa čo najtesnejšie primyká k prvkom súboru. Funkcia tejto krivky umožňuje vykonať výpočet ukazovateľov súboru v iných, než nameraných intervaloch, tzn. vykonať matematické predpovedanie očakávaných javov (napr. v čase alebo v ich očakávanom množstve a intenzite). Štatistické skúmanie sa skladá zo štyroch základných častí, ktoré na seba navzájom nadväzujú: - 173 -
Krízové plánovanie (1) Štatistické zisťovanie (zber údajov). Používajú tieto základné metódy: - výkazy informácie od zberačov dát (napr. tabuľkový výkaz výskytu sledovaných dejov, činností a pod.), - meranie reálnych dejov (napr. dĺžka trvania dejov, činností, monitorovanie), - dotazníky vyplňované subjektmi. (2) Triedenie získaných údajov a výpočet základných charakteristík. (3) Štatistická analýza (v našom prípade korelačný a regresný počet). (4) Formulácia hypotéz a odhadov a ich testovanie Korelácia je štatistická závislosť dvoch alebo viacerých premenných. Takou môže byť napr. závislosť výskytu veterných javov na ročnom období, teplote alebo charaktere terénu. Mieru korelácie vyjadruje index korelácie (zhody) r, ktorý môže dosahovať hodnoty [-1 až 1]. Udáva, ako zodpovedajú namerané hodnoty hodnotám vyjadreným preloženou matematickou funkciou, tzv. spojnicou trendov. Funkcia najlepšie popisuje namerané dáta, +ľ ak sa index korelácie blíži hodnote <1>. Ak je: r = 0,0 0,3 je to slabá korelácia, r = 0,3 0,7 je to priemerná korelácia, r = 0,7 0,9 je to silná korelácia, r = 0,9 1,0 je to veľmi silná korelácia. Regresia určuje tvar štatistickej závislosti. Regresná analýza sa s využitím trendu používa na formuláciu predpovedí a hypotéz. Pomocou regresnej analýzy, sa dajú predpovedať hodnoty za, alebo pred zobrazenými dátami, napr. predpoveď výskytu tornád v závislosti od teploty vzduchu a smeru vetra. Ide o tzv. matematickú predpoveď. Presnosť matematickej predpovede je úmerná indexu korelácie. Na určenie koeficientov regresnej funkcie sa používajú metódy najmenších štvorcov, pričom hľadáme funkciu, ktorá má súčet štvorcov odchýlok nameraných údajov od teoretických čo najmenší. V geometrickej predstave to znamená, že hľadáme takú krivku, ktorá sa čo najtesnejšie približuje k jednotlivým bodom. Funkcia tejto krivky by mala byť čo najjednoduchšia, aby sa dala ľahko použiť na výpočet ďalších hodnôt. Spojnica trendov môže mať rôzny tvar. Najčastejšie to môžu byť funkcie: lineárne, exponenciálne, mocninové, logaritmické, polynomické. Najjednoduchšie vyrovnanie meraných veličín je vyrovnanie lineárnou funkciou. Dáta budú mať lineárnu závislosť, ak ich priebeh pripomína priamku. Lineárna funkcia y = a+ bx zobrazuje situáciu, v ktorej niečo rastie alebo klesá konštantnou mierou. Konštanta a predstavuje posunutie priamky oproti nulovému bodu, konštanta b predstavuje jej strmosť. - 174 -
7. Aplikácia matematických metód v krízovom plánovaní b Vyrovnanie mocninovou funkciou y = ax sa používa v prípade dát stúpajúcich hodnôt nameraných v určitých intervaloch. Napríklad zrýchlenie pretekárskeho auta v intervaloch po 1 sekunde. Mocninovú spojnicu dát nie je možné vytvoriť, ak dáta obsahujú nulové nebo záporné hodnoty. Vyrovnanie logaritmickou funkciou y = a ln( x) + b sa používa v prípade dát, ktoré rýchlo stúpajú alebo klesajú a postupne sa vyrovnávajú. Pri prekladaní dát logaritmickou funkciou je možné použiť kladné i záporné hodnoty. 2 6 Vyrovnanie polynomickou funkciou y = a+ b1 x+ b2 x +... + b6 x sa používa pre dáta, ktoré kolíšu a nedajú sa teda aproximovať jednoduchšou funkciou. Používa sa napríklad pri analýze ziskov a strát veľkej množiny dát. Stupeň polynómu môže byť daný počtom kolísaní v dátach alebo počtom zakrivení (maxím a miním) v krivke. Stupeň 2 má obvykle jeden vrchol. Stupeň 3 má obvykle jeden alebo dva vrcholy. Stupeň 4 má obvykle až tri vrcholy. bx Vyrovnanie exponenciálnou funkciou y = ae sa používa v prípade, že hodnoty dát stúpajú alebo klesajú v stále väčších krokoch. Funkciu nie je možné použiť, ak dáta obsahujú nulové alebo záporné hodnoty. 7.2. OPTIMÁLNE CESTY V GRAFOCH Optimálne cesty v grafoch tvoria základ teórie grafov. Medzi najzákladnejšie a najčastejšie používané úlohy patrí výpočet optimálnej cesty so súčtovou účelovou funkciou, ktorá je známa pod názvom minimálna (maximálna) cesta. Najčastejšie sa používajú pri riešení úloh súvisiacich s dopravou na vyhľadanie minimálnej cesty (s rôznym ohodnotením - vzdialenosť, náklady na dopravu, čas, spotreba pohonných hmôt a pod.). Maximálna cesta sa využíva pri riešení časových plánov organizácie prác v metódach CPM a PERT. Ide predovšetkým o tieto typy úloh: (1) optimálne cesty medzi dvoma vrcholmi grafu; (2) optimálne cesty z jedného do všetkých ostatných vrcholov grafu; (3) optimálne cesty medzi všetkými vrcholmi grafu; (4) optimálne cesty medzi vybratými vrcholmi grafu. Tieto metódy sú v krízovom plánovaní použiteľné napr. pri plánovaní evakuačných prepráv, rozvoze životne dôležitých výrobkov alebo pri optimalizácii obnovovacích a sanačných prác. Na riešenie optimálnych ciest v grafoch sa používa celý rad algoritmov. Základnými sú Floydov algoritmus na vyhľadanie optimálnej cesty medzi všetkými vrcholmi grafu a Dijkstrov algoritmus na vyhľadanie optimálnej cesty medzi dvoma vrcholmi grafu. Na riešenie úlohy (1) je najvýhodnejší Floydov algoritmus. - 175 -
Krízové plánovanie Všetky typy úloh (1), (2), (3), (4) sa dajú riešiť Dijkstrovým algoritmom. Tento sa aj najčastejšie používa. Princíp algoritmu je založený na vete: Pokiaľ existuje optimálna cesta medzi vrcholmi pv a kv a vrchol j leží na tejto ceste, potom minimálna cesta medzi vrcholmi pv a j je súčasťou optimálnej cesty medzi pv a kv. Táto veta umožňuje vyhľadávať optimálnu cestu postupne od počiatočného k ostatným vrcholom grafu. Súčasne s postupným zisťovaním hodnôt minimálnych ciest je možné tvoriť vektor predchádzajúcich vrcholov, v ktorom je zaznamenaný pre každý vrchol jeho predchodca v postupnosti vrcholov ležiacich na minimálnej ceste. To znamená, že nezískame iba hodnotu minimálnej cesty, ale z tohto vektoru aj jej priebeh v grafe. 7.3. METÓDY SIEŤOVEJ ANALÝZY CPM A PERT Na vypracovanie, alebo posúdenie už existujúcich technologických postupov riešenia nadväzných procesov, aplikovaných na špecifické situácie, ktoré musia byť riadené v časovej nadväznosti, je výhodné použiť metódy sieťovej analýzy. Sú to metódy, ktoré sa zaoberajú časovou analýzou nadväzných procesov. Metódy časovej analýzy sietí umožňujú modelovať zložité procesy, optimalizovať ich a prispôsobovať ich vonkajším aj vnútorným podmienkam a dosahovať stanovené ciele pri racionálnom vynaložení času. Základ jednotlivých metód sieťovej analýzy tvorí metóda kritickej cesty - CPM (Critical Path Method) a metóda vyhodnocovania a kontroly projektu - PERT (Program Evaluation and Review Technique). Iné metódy sieťovej analýzy sú (v podstate) modifikáciou obidvoch základných postupov. Jednou zo základných fáz použitia metód analýzy sietí je grafické znázornenie nadväzného procesu. Na analýzu je nutné poznať jeho logické a technologické závislosti, presne definovať všetky čiastkové činnosti potrebné na dosiahnutie určeného cieľa a vymedziť zodpovednosť za vykonanie jednotlivých častí procesu. Celý komplex prác a činností, potrebných na dosiahnutie určeného cieľa sa zväčša označuje ako projekt P, ktorý sa skladá z dvoch základných súborov elementov: množiny činností (y ij ), množiny časových uzlov (n). Grafickým modelom takéhoto projektu je hranovo orientovaný sieťový graf (obr. 7.1). V tejto súvislosti môžeme stotožniť všeobecne používané pojmy sieťový graf, projekt, prípadne sieťový diagram. V projekte P, znázornenom na obrázku 7.1. je n+1 uzlov a m činností (hrán). Predpokladáme číslovanie uzlov od 0 do n krokom 1 pri dodržaní zásad číslovania vrcholov grafu. - 176 -
7. Aplikácia matematických metód v krízovom plánovaní 2 y 2,5 5 y 1,2 y 2,4 y 4,5 y 5,8 y 0,1 0 1 y 4,7 y 7,8 y 8,9 4 7 8 9 y 1,3 y 3,4 y 3,7 y 6,7 y 6,8 y 3,6 3 6 Obr. 7.1. Sieťový diagram projektu P Každej činnosti (i,j) P je pri metóde CPM priradená očakávaná doba trvania - y ij. Je to čas, za ktorý bude činnosť najpravdepodobnejšie vykonaná pri zohľadnení všetkých vonkajších obmedzení. Tento čas považujeme pri metóde CPM za pevný odhad, prípadne normu, ktorú sa snažíme splniť. Na rozdiel od metódy CPM je PERT metódou stochastickou, kde doba trvania každej činnosti sa chápe ako náhodná veličina s určitým rozdelením pravdepodobnosti. To umožňuje vyjadriť mieru neistoty pomocou odhadov pravdepodobností s akými je možné očakávať ukončenie celého projektu alebo jeho dôležitých etáp v stanovených termínoch. Ak chceme určiť charakteristiky, respektíve samotný typ rozdelenia pravdepodobnosti náhodnej premennej, musíme pristúpiť k viacnásobnému opakovaniu náhodného procesu. V praxi nemáme vždy možnosť získať dostatočný štatistický materiál, na základe ktorého by bolo možné odhadnúť rozdelenie pravdepodobnosti a charakteristiky sledovaných veličín. Metóda PERT preto vychádza z kvalifikovaného odhadu troch dôb trvania činnosti: optimistického odhadu doby trvania činnosti a, pesimistického odhadu doby trvania činnosti b, odhadu pravdepodobnej doby trvania činnosti m. Optimistický odhad predpokladá, že činnosť bude vykonaná v najpriaznivejšej situácii. Ak by bola činnosť opakovaná v rovnakých podmienkach 100 krát, je vyhliadka, že by sa ju podarilo ukončiť v čase a práve jedenkrát. Pesimistický odhad je najdlhšia uvažovaná doba trvania činnosti. Činnosť v tejto dobe bude vykonaná vtedy, ak sa vyskytnú všetky možné ťažkosti. V prípade hypotetického opakovania činnosti je vyhliadka na výskyt času b taktiež 1:100. - 177 -
Krízové plánovanie Pravdepodobný odhad znamená, že v prípade možnosti viacnásobného opakovania činnosti v rovnakých podmienkach bude činnosť v čase m vykonaná najčastejšie. Je zrejmé, že odhad m je práve modus daného rozdelenia (čas s najväčšou hustotou pravdepodobnosti). Uvedené tri odhady (a, m, b) sa transformujú do jediného odhadu strednej hodnoty doby trvania činnosti t e, ktorý potom používame na výpočty termínových ukazovateľov projektu. Získané časové odhady umožňujú konštruovať hypotetickú krivku funkcie hustoty pravdepodobnosti približne v troch základných variantoch tak, ako je znázornené na obrázku 7.2. f(t) f(t) f(t) (t) a m t e b a t e m b (t) (t) a m = t e b Obr. 7.2. Krivky hustoty pravdepodobnosti Krivka hustoty pravdepodobnosti môže byť symetrická, ak te = m; v ostatných prípadoch je asymetrická vľavo alebo vpravo. V praxi sa najčastejšie vyskytuje prípad asymetrie vľavo. Aj keď modus m a rozpätie (b-a) sú dôležitými charakteristikami polohy a variability rozdelenia pravdepodobnosti, nemožno len s nimi ďalej pracovať, pretože iba na základe nich nemôžeme vykonávať odhady pravdepodobností ani výpočty termínových ukazovateľov projektu. Tieto odhady časov trvania činností (a,b,m) však predstavujú východiskové údaje na výpočet ďalších dvoch charakteristík, t. j. strednej hodnoty t e a smerodajnej odchýlky - δ te doby trvania činnosti, ktoré už spĺňajú požiadavky, ktoré sú na ne kladené. Metóda PERT pre svoje riešenie predpokladá β-rozdelenie pravdepodobnosti doby trvania činnosti. - 178 -
7.4. DOPRAVNÁ ÚLOHA 7. Aplikácia matematických metód v krízovom plánovaní Kategória dopravných úloh je najčastejšie charakterizovaná určením optimálneho plánu prepravy tovaru od zdrojov k spotrebiteľom. Táto charakteristika však nevystihuje všetky typy úloh, ktoré je možné riešiť pomocou algoritmov pre dopravnú úlohu. Dopravná úloha má široké použitie v procese optimalizácie rozhodnutí, vykonávaných pri plnení úloh dopravy a cestného zabezpečenia. Okrem optimalizácie dovozu materiálu je možné optimalizovať nasadenie strojov a techniky, rozmiestnenie špecialistov, pridelenie úloh jednotkám a útvarom atď. Svojimi vlastnosťami patrí medzi úlohy lineárneho programovania. Jej riešenie by bolo možné vykonať napr. simplexovou metódou. Existujú však efektívnejšie algoritmy. Dopravnú úlohu je možné formulovať nasledujúcim spôsobom. Rovnorodý materiál (tzn. výrobok rovnakých vlastností) sa nachádza v m miestach zdrojov Z(i) v známych množstvách a(i) a chceme ho dopraviť do každého z n miest spotreby S(j) v množstvách b(j). Poznáme ohodnotenie prepravnej náročnosti (sadzby) na jednotku množstva príslušného materiálu c(i,j) zo všetkých zdrojov k všetkým spotrebiteľom. Úlohou je určiť množstvá materiálu x(i,j) prepravovaného od jednotlivých zdrojov k jednotlivým spotrebiteľom tak, aby celkové náklady na prepravu, vyjadrené účelovou funkciou, boli optimálne (minimálne, maximálne). Pritom musia byť splnené tieto podmienky: Nezápornosť riešenia. Podmienka nezápornosti riešenia je logická a vyplýva z prirodzenej požiadavky, vyjadrenej napr. pri riešení dovozu obnovovacieho materiálu tým, že nie je možné prepraviť záporné množstvo materiálu. Vyrovnanosť úlohy. Aby úloha bola jednoznačne riešiteľná je nutné, aby množstvo materiálu vo všetkých zdrojoch odpovedalo množstvu požiadaviek na materiál všetkých spotrebiteľov. Kapacitné ohraničenie. Podmienky ohraničenia požiadaviek spotrebiteľov a kapacít zdrojov sú prirodzeným vyjadrením reálnych podmienok. Nie je možné zo zdroja rozviesť viac materiálu ako je kapacita zdroja. Rovnako spotrebiteľ nebude odoberať väčšie množstvo materiálu ako požaduje. Jednou z najefektívnejších metód na riešenie dopravnej úlohy je takzvaná maďarská metóda. Maďarská metóda nereaguje na degeneráciu riešenia, ktorá je slabým miestom iných algoritmov a nevyžaduje ani počiatočné riešenie získané inou (približnou) metódou. Celý algoritmus maďarskej metódy môžeme rozdeliť do štyroch etáp. Schematické znázornenia a nadväznosť etáp sú uvedené na obrázku 7.3. - 179 -
Krízové plánovanie REDUKCIA MATICE SADZIEB NÁJDENIE POČIATOČNÉHO RIEŠENIA TEST OPTIMALITY Je riešenie optimálne? nie ZLEPŠOVANIE RIEŠENIA áno PREZENTÁCIA VÝSLEDKOV Obr. 7.3. Schéma etáp riešenia dopravnej úlohy maďarským algoritmom 7.5. ROZHODOVACÍ STROM A ROZHODOVACIA TABUĽKA Rozhodovací strom je graf, ktorý má pomáhať pri rozhodovaní. Predstavuje grafický nástroj na zobrazenie dôsledkov vybraných alebo rizikových variantov. Skladá sa z uzlov a vetví, ktoré na seba nadväzujú podľa ich závislostí a väzieb. Uzly môžu predstavovať aj očakávanú udalosť s pravdepodobnosťou napísanou na vetvi. Na konci každej vetvy je potom uvedený výsledok, ktorý môžeme očakávať; ak pripustíme príslušnú pravdepodobnosť. Nájdenie optimálneho stromu pri zložitých činnostiach je veľmi náročné a zložité vzhľadom na počet činností a ich vzájomných väzieb. Obr. 7.4. Príklad jednoduchého rozhodovacieho stromu Rozhodovacia tabuľka sa používa na jednoduché rozhodovanie, pričom sa využíva jasne definované odpovede (napr. áno/nie) na väčšie množstvo otázok, kritérií alebo požadovaných vlastností. Najjednoduchšia rozhodovacia tabuľka obsahuje iba stĺpce a riadky. V riadkoch rozhodovacej tabuľky sa uvádzajú otázky, na ktoré hľadáme odpoveď (záhlavie tabuľky) a hodnotiace kritériá (ďalšie riadky). Odpovede na otázky sa uvádzajú do jednotlivých políčok. Pokiaľ odpoveď nepoznáme, môže byť pole prázdne. Známe odpovede budú napr. áno/nie, bodová hodnota, hodnoty +/ a pod. V poslednom riadku sa uvedie súhrn prevažujúcich odpovedí. - 180 -
7. Aplikácia matematických metód v krízovom plánovaní 7.6. STOCHASTICKÉ METÓDY OPERAČNEJ ANALÝZY Stochastičnosť (náhodnosť) zohráva v praktickom živote, vo všetkých jeho činnostiach, dejoch a procesoch významnejšiu úlohu, ako je na prvý pohľad zrejmé. Náhodnosti sú v činnosti ľudí, spôsobujú ich prírodné podmienky, vznikajú z technických príčin atď. Veľký vplyv na náhodnosti majú prírodné podmienky. Sú významné v dejoch, ktoré prebiehajú v otvorenom teréne ako práve doprava. Najviac sa náhodnosti prejavujú v dejoch, keď ľudia pôsobia zámerne proti sebe. Stochastické metódy operačnej analýzy uvažujú vo svojich výpočtoch s náhodnými faktormi. Preto majú uplatnenie pri riešení krízových situácií v doprave, vo vojenstve ale aj v diverznej, sabotážnej a teroristickej činnosti Medzi stochastické metódy operačnej analýzy patrí aj teória hromadnej obsluhy, teória zásob, teória obnovy a matematická simulácia. 7.6.1. TEÓRIA HROMADNEJ OBSLUHY ( TEÓRIA FRONT) Hromadnou obsluhou nazývame uspokojovanie náhodne prichádzajúcich požiadaviek v zariadení, ktoré nazývame systémom obsluhy vybaveným stanicami obsluhy. Takým zariadením môžu byť opravovne, čerpacie stanice, dopravné a obslužné systémy a iné, ktoré svojou činnosťou uspokojujú požiadavky vyžadujúce obsluhu. Vieme, že tieto systémy nemusia byť vždy schopné ihneď obslúžiť prichádzajúce požiadavky. V takých prípadoch sa hromadia vo fronte. Príčiny tohto stavu môžu byť rôzne, ale najčastejšie sú ovplyvnené nedostatočnou kapacitou systému obsluhy. Je zrejmé, že takú príčinu môžeme odstrániť rozšírením systému o ďalšie stanice obsluhy. Ale ak pridáme týchto staníc neúmerne veľa, stáva sa systém nerentabilný, pretože nebude dostatočne vyťažený. Preto optimálne činnosti systému je potrebné najskôr určiť a potom vypočítať kritériá kvality práce systémov a podľa nich ich oceniť. Až na ich základe je možné optimalizovať dimenzovanie systému. Teória hromadnej obsluhy určuje kritériá a rozpracováva matematické metódy kvantitatívneho vyjadrenia kvality práce systému. 7.6.1.1. Vstupy do výpočtov hromadnej obsluhy Proces obsluhy je charakterizovaný vlastnosťami prichádzajúcich požiadaviek, ktoré vytvárajú vstupný prúd a spôsobom ich obsluhy, ktorá závisí od štruktúry a chovania systému. Typickým príkladom je napríklad riešenie dopravnej obsluhy pri likvidácii rozsiahlych prírodných katastrof. Cieľom skúmania môžu byť obmedzené kapacity dopravných ciest alebo množstvo potrebných dopravných prostriedkov a strojov. Stanice obsluhy - 181 -
Krízové plánovanie budú v tomto prípade napríklad zúžené miesta dopravnej cesty, v ktorých bola obmedzená priepustná výkonnosť. Vstupný prúd požiadaviek budú vytvárať dopravné prostriedky, ktoré môžu pri obsadení tohto miesta čakať a vytvárať frontu. Klasifikácia systémov hromadnej obsluhy je založená na správaní sa týchto prvkov systému. Teória hromadnej obsluhy potrebuje na výpočet charakteristík systému vstupy. Sú to informácie o systéme, potrebné pre matematické spracovanie. Najdôležitejšie zo vstupov sú parameter vstupu λ (lambda) a parameter obsluhy µ (mi). S týmito parametrami počíta každý systém. Ďalšie vstupy sú používané len v určitých systémoch. n - počet staníc obsluhy, m - počet požiadaviek (v systémoch s obmedzeným počtom požiadaviek), N - maximálne prípustná dĺžka frontu (pri systéme s obmedzenou dĺžkou fronty). 7.6.1.2. Vstupný prúd požiadaviek Vstupným prúdom (tokom) požiadaviek nazývame postupnosť homogénnych javov vstupov požiadaviek (objednávok, zákazníkov, udalostí), prichádzajúcich jeden za druhým v nejakých časových okamihoch alebo intervaloch. Parameter vstupu λ vyjadruje počet vstupov požiadaviek za 1 jednotku času. λ =, kde tvst,p je priemerná doby medzi vstupmi dvoch t vst, p požiadaviek. Na popis rozdelenia príchodu požiadaviek sa používa Poissonovo rozdelenie. Počet udalostí, ktoré nastanú v elementárnom vstupnom toku za časový interval dĺžky t je Poissonova náhodná premenná s parametrom λ. Vlastnosti elementárneho vstupu požiadaviek sa dajú aplikovať napr. na výskyt dopravných nehôd, proces porúch mechanizmov, sled mimoriadnych udalostí, proces plnenia pracovných úloh a pod. Preto sa s elementárnym tokom stretávame vo väčšine úloh THO, aj v teórii spoľahlivosti. Tento prúd má nasledujúce vlastnosti: pravdepodobnosť vstupu určitého množstva požiadaviek v danom časovom rozmedzí závisí len od dĺžky tohto časového rozmedzia. Prúd je stacionárny, pravdepodobnosť vstupu do sústavy v ľubovoľnom malom časovom okamihu viac než jednej požiadavky je malá. Prúd je ordinárny, počet požiadaviek, ktoré vstúpili do sústavy po určitom okamihu nezávisí od počtu požiadaviek, ktoré do tejto sústavy vstúpili pred týmto okamihom. Prúd je bez následných účinkov. - 182 -
7. Aplikácia matematických metód v krízovom plánovaní Teória hromadnej obsluhy môže počítať s ľubovoľnými časovými jednotkami (minúty, hodiny, dni a pod.). Vstupný parameter λ sa v rôznych systémoch počíta rôzne. Zatiaľ čo v systémoch s neobmedzeným počtom požiadaviek sa vychádza z intervalu vstupu medzi dvoma za sebou nasledujúcimi požiadavkami, pri systéme s obmedzeným počtom požiadaviek, je to interval medzi dvoma vstupmi rovnakej (tej istej) požiadavky do systému. 7.6.1.3. Práca staníc obsluhy V závislosti na charaktere obsluhy je možné určiť, že k obsluhe konkrétnej požiadavky je potrebný určitý čas t obs. V dôsledku celého radu dôvodov sa táto doba bude náhodne meniť od požiadavky k požiadavke. V jednom prípade môže byť väčšia, inokedy menšia než priemerný čas t obs,,p,. Parameter obsluhy je priemerný počet obslúžených požiadaviek za jednotku času. Označujeme ho µ µ = t obs, p - 183-1, kde t obs,p - priemerná doba obsluhy jednej požiadavky (hod.). V teórii hromadnej obsluhy sa na popis rozdelenia doby obsluhy používa najčastejšie exponenciálna funkcia. Na popis doby obsluhy sa dajú využiť aj iné rozdelenia. Tie v niektorých prípadoch poskytujú presnejšie výsledky za cenu pracnejšieho výpočtu. Ich použitie je však predovšetkým vzhľadom na menší počet výstupných charakteristík, ktoré opisujú chovanie systému neúnosné. Exponenciálne rozdelenie vyjadruje pesimistické prípady. Jeho prijatie v tomto prípade znamená vytvorenie určitej neveľkej zálohy vo výkonnosti systému. 7.6.1.4. Klasifikácia systémov hromadnej obsluhy Systémy hromadnej obsluhy sa klasifikujú, rozdeľujú a označujú podľa počtu vstupujúcich požiadaviek, počtu staníc obsluhy a správania sa požiadaviek vo fronte ako je uvedené v tabuľke 7.1. Rozhodujúcim kritériom je obmedzený alebo neobmedzený počet požiadaviek a staníc obsluhy. Požiadavky môžu čakať a vytvárať neobmedzený front alebo vytvárať iba obmedzenú frontu až po odmietanie všetkých požiadaviek pokiaľ sú všetky stanice obsluhy obsadené. Systémy s ohraničeným čakaním sú také, pri ktorých požiadavka čaká, pokiaľ počet čakajúcich požiadaviek vo fronte, prípadne dĺžka čakania neprekročí určitú hodnotu. Po nesplnení podmienok čakania požiadavka odchádza neobslúžená.
Krízové plánovanie V uzatvorených systémoch sa za obmedzený (určitý) počet požiadaviek považuje menej než 10 12, ktorých vstupy do systému sa stále opakujú. Označenie systému HO Otvorené systémy Uzavreté systémy M/M/n M/M/1 M/M/n/N M/M/n M/M/1 Klasifikácia systémov hromadnej obsluhy Počet požiadaviek neobmedzený obmedzené Počet staníc obsluhy obmedzený 1 stanica obsluhy obmedzený obmedzený 1 stanica obsluhy Tab. 7.1. Správanie požiadaviek vo fronte požiadavky čakajú obmedzený počet požiadaviek vo fronte alebo doba čakania požiadavky čakajú 7.6.1.5. Kritériá efektívnosti v systémoch hromadnej obsluhy Teória hromadnej obsluhy určuje v každom systéme rôzne charakteristiky, ktoré spravidla predstavujú kritériá efektívnosti. Typy charakteristík závisia predovšetkým od typu systému a musia dať obraz o kvalite obsluhy a stupni využitia prvkov systému. Jednotlivé charakteristiky majú v posudzovaní efektívnosti systému v rôznych systémoch rôznu váhu. Konečné závery je potrebné vykonávať vo vzájomnej väzbe všetkých vypočítaných ukazovateľov s ohľadom na funkciu systému. Teória hromadnej obsluhy dokáže pomocou analytických vzťahov určiť pomerne veľké množstvo kritérií, ktoré spravidla dostatočne systém popisujú. Na výpočet charakteristík je vypracovaný pre jednotlivé systémy hromadnej obsluhy matematický aparát, dostupný v odbornej literatúre. Pri výpočtoch sa vychádza z pravdepodobnosti p k, že v systéme je k požiadaviek a pravdepodobnosti p o, že v systéme nie je žiadna požiadavka (pravdepodobnosť prázdneho systému). P O je charakteristika dôležitá pre analytické riešenie, ale nemá takmer žiadnu vypovedaciu hodnotu. Pokiaľ máme vypočítané p o, môžu sa počítať ďalšie charakteristiky. Pre skúsenejšieho analytika je dôležitou charakteristikou pravdepodobnosť čakania, alebo vzniku frontu. Označuje sa pi. Je to vlastne pravdepodobnosť, že v sústave bude buď n, n + 1, n + 2,..., počet požiadaviek. Táto charakteristika vlastne ukazuje mieru využitia systému. Najvyladenejšie systémy sú spravidla tie, v ktorých sa pi pohybuje v medziach 0,60-0,85. - 184 -
7. Aplikácia matematických metód v krízovom plánovaní Ďalšími charakteristikami sú: Stredný čas čakania vo fronte T (hod.) Je to ukazovateľ, ktorý je pre každého celkom zrejmý. Napriek tomu nie je celkom jednoznačný. Doba čakania je relatívna vzhľadom na dobu obsluhy a niekedy aj na dobu obratu vozidla. Priemerný počet vyťažených staníc obsluhy α Je to stredný počet obsadených liniek a zároveň stredný výkon, ktorý produkuje systém za jednotku času. Je pomerom parametra prúdu a obsluhy λ/ µ. Stredná dĺžka fronty M1, alebo stredný počet čakajúcich požiadaviek Táto charakteristika je vzhľadom na posudzovanie činnosti systému jednou z kľúčových, aj keď aj túto je potrebné sledovať v spojitosti s fungovaním celého systému s ostatnými charakteristikami. Je potrebné brať ohľad predovšetkým na hustotu vstupov požiadaviek a počet liniek obsluhy, ale aj iné ukazovatele. Aby nenastalo presýtenie systému (neustály rast fronty), musí platiť, že intenzita prevádzky δ, musí byť menšia ako 1, pričom δ = α/n. Priemerný počet požiadaviek v systéme M2 Toto kritérium efektívnosti systému je, ako vidieť z matematického vzťahu, súčtom dvoch pomerne ľahko pochopiteľných charakteristík. Slúži ako doplňujúci. Využíva sa pri skúmaní zložitejších systémov. Priemerný počet voľných staníc obsluhy M3 Ak udáva charakteristika α priemerný počet vyťažených staníc, potom priemerný počet voľných staníc je jeho doplnkom. Stredná doba pobytu požiadavky v systéme Ts Pravdepodobnosť, že čas čakania vo fronte bude väčší ako určený čas (t ) W(t ) Pre systém M/M/n/M môžeme zisťovať ďalšie charakteristiky ako: Pravdepodobnosť straty požiadaviek π N + n Pravdepodobnosť obslúženia požiadaviek bez čakania π n Pravdepodobnosť čakaniaπ c Stredná doba čakania vo fronte, ak nedošlo k odmietnutiu požiadavky T1 Stredná doba čakania vo fronte, keď došlo k odmietnutiu požiadavky T2 V uzatvorených systémoch je parameter vstupu λ počet vstupov jednej požiadavky za jednotku času. Špecifickými charakteristikami sú: Priemerný počet požiadaviek mimo systém M4 Priemerná doba pobytu požiadavky v systéme Ts - 185 -
Krízové plánovanie Priemerná dĺžka čakania vo fronte T Koeficient prestoja požiadavky Kpp Koeficient prestoja staníc obsluhy Kps Pravdepodobnosť, že počet požiadaviek vo fronte bude väčší ako s 7.6.1.6. Viacfázový systém hromadnej obsluhy (zložené systémy) Viacfázové systémy hromadnej obsluhy sú také, v ktorých na seba nadväzuje viacero jednotlivých vzájomné závislých alebo nezávislých systémov. Môže to byť napríklad výrobný alebo dopravný proces. Základný typ zloženého systému hromadnej obsluhy je taký, v ktorom sú jednotlivé podsystémy usporiadané do série a požiadavky cez ne postupne prechádzajú. Príkladom môže byť zriaďovacia stanica, kde požiadavky (železničné vozne) musia prejsť úkonmi po príchode vlaku, rozradením, spojením na relačných koľajniciach a úkonmi pred odchodom vlaku. Viacfázové systémy majú rôzne delenie. Viacfázové systémy bez blokovania majú neobmedzený front medzi jednotlivými podsystémami. Opačným prípadom sú systémy s blokovaním. V jednotlivých podsystémoch môže byť jedna, alebo viac liniek obsluhy, alebo ich môže byť rovnaký počet. Systémy môžu byť uzavreté, otvorené atď. 7.6.2. TEÓRIA ZÁSOB Zásoby sú predmety, ktoré sa uschovávajú na neskoršiu potrebu. Nevyhnutnosť ich tvorby je podmienená viacerými dôvodmi: výrobné cykly predmetov nie sú totožné s ich spotrebou, dodávka predmetov nie je totožná s ich spotrebou, doprava vyžaduje prepravu predmetov, ktoré neodpovedajú momentálnej spotrebe, výroba niektorých predmetov je sezónna, spotreba niektorých predmetov je sezónna. Uvedené rozpory sa riešia pomocou teórie zásob. Matematické nástroje teórie zásob sú využiteľné aj na riešenie krízových situácií pri vytváraní a distribúcii. Modely zásob možno deliť z viacerých hľadísk. Z hľadiska riešenia krízových situácií je zaujímavé nasledujúce delenie. podľa zohľadňovania náhodných vplyvov, prípadne podľa úplnosti informácií o jednotlivých veličinách na modely: deterministické, stochastické, podľa spôsobu zohľadňovania vývoja spotreby v čase na modely: - 186 -
7. Aplikácia matematických metód v krízovom plánovaní statické, pri ktorých berieme do úvahy len jeden dodávkový cyklus, dynamické, pri ktorých uvažujeme viac dodávkových cyklov, podľa stacionárnosti spotreby na modely: stacionárne, pri ktorých sa spotreba v jednotlivých cykloch nemení, nestacionárne, pri ktorých sa spotreba v jednotlivých cykloch mení, podľa spojitosti spotreby na modely: so spojitou spotrebou, s diskrétnou (nespojitou) spotrebou, Pri riešení krízových situácií prichádza do úvahy model, ktorý má vlastnosti stochastické, statické, (výnimočne dynamické), nestacionárne a diskrétne. Základný model teórie zásob sa skladá z troch hlavných častí: mechanizmu vstupu, mechanizmu skladovania, mechanizmu výstupu. Teória zásob rieši túto problematiku veľmi podrobne z hľadiska výroby, spotreby a skladovania s ohľadom predovšetkým na vynaložené náklady. Modely zásob sa dajú matematicky riešiť na základe teórie hromadnej obsluhy. Pri tom je možné postupovať v podstate dvoma spôsobmi: Požiadavky sú definované ako dodávka jednotlivých skladovaných predmetov. Obsluha predstavuje dodávku predmetov zo skladu. Dimenzovanie obslužného systému sa rovná určovaniu optimálnej veľkosti zásob. Požiadavky predstavujú spotrebu a vstupný prúd požiadaviek predstavuje príchod objednávok. Obsluha predstavuje príchod dodávok na sklad. Obidva spôsoby chápu vstupy a výstupy ako stochastické deje a predpokladajú, že majú Poissonovo rozdelenie. - 187 -
Krízové plánovanie 7.6.3. TEÓRIA OBNOVY Teória obnovy sa zaoberá problémami nahradzovania objektov (stroje, súčiastky strojov, zariadenia, dopravné prostriedky stavby a pod.), ktoré sa v dôsledku prevádzky opotrebovávajú, alebo zlyhávajú. Skúma zákonitosti medzi stavmi objektov, ich hodnotou, opotrebovaním a udržaním v produktívnom stave. Teória obnovy skúma tiež metódy na určenie časového rozvrhu opráv a výmeny objektov. Tieto metódy nazývame stratégie obnovy. Rozlišujeme dva základné modely teórie obnovy: Objekty sa vyraďujú vplyvom opotrebovania. V týchto modeloch berieme do úvahy opotrebovanie objektu, jeho klesajúcu hodnotu a rastúce náklady na jeho udržanie v produktívnom stave. Obvykle skúmame jednotlivé objekty samostatne, pričom prístup je väčšinou deterministický. Úlohou je určenie optimálnej životnosti, na základe stanovených ukazovateľov. Objekty sa vyraďujú na základe zlyhania. V takýchto modeloch sú objekty vyraďované v dôsledku poškodenia, ktoré je neopraviteľné, takže objekt sa musí nahradiť novým. Opotrebenie sa však môže objavovať nepriamo, prostredníctvom pravdepodobnosti zlyhania v určitom čase. Pri takomto prístupe obvykle skúmame celé súbory objektov a zaujímajú nás stredné (očakávané) počty objektov, ktoré je treba nahradiť po ich zlyhaní v určitom čase, novými. Neopraviteľné objekty sú schopné prevádzky, do doby vzniku poruchy, za predpokladu, že prvá porucha ukončí životnosť objektu. Čas bezporuchovej činnosti τ je životnosť objektu. V prípade opraviteľných objektov je τ čas od zaradenia objektu do prevádzky, až po jeho vyradenie (zlyhanie), keď oprava je nerentabilná. Diskrétne modely obnovy skúmajú dostatočne veľké súbory technických homogénnych objektov, pri ktorých sa opotrebovanie berie do úvahy pomocou pravdepodobnosti zlyhania v určitom období. Používajú sa tak na modelovanie neopraviteľných objektov, ako aj v prípadoch, keď sa pri opraviteľných objektoch (automobil, stroje) sleduje len konečné zlyhanie. Základný model sa zakladá na týchto predpokladoch: proces sa sleduje v rovnakých časových obdobiach, začiatočná veková štruktúra je rovnorodá, uvažuje sa len opotrebenie, ktoré vyvolá konečné zlyhanie objektu, súbor objektov sa skladá z technicky homogénnych objektov. Modely obnovy, v ktorých sa objekty opotrebúvajú skúmajú, kedy náklady na údržbu prestávajú byť rentabilné. V prípade týchto modelov sa jedná o určenie optimálnej doby životnosti, to je doby, počas ktorej je využívanie objektu ekonomické. Po uplynutí tejto doby je potrebné objekt vymeniť, pretože náklady na jeho údržbu sú neekonomické. - 188 -
7. Aplikácia matematických metód v krízovom plánovaní 7.6.4. MATEMATICKÁ SIMULÁCIA Jedným z cieľov súčasnej vedy je rozpracovanie a praktická aplikácia metód, ktoré skúmajú funkčnú dynamiku zložitých systémov hromadnej obsluhy a ktoré sa dajú v mieri riešiť len teoreticky. Na skúmanie činnosti týchto systémov sa používajú metódy matematického modelovania, alebo simulačné metódy. Podstata matematickej simulácie spočíva v zostavení modelu, ktorý pomocou počítača imituje chovanie prvkov systému a ich vzájomné interakcie pri rešpektovaní náhodných faktorov, ktoré majú na systém vplyv. Medzi prednosti tejto metódy patria: možnosť riešenia zložitých systémov, možnosť reagovania na mnoho rôznych špecifík a náhodných vplyvov, poskytnutie veľkého množstva informácií o chovaní jednotlivých častí systémov vo zvolenom okamihu, pomerná presnosť popisu dejov. Simulačné metódy sa v súčasnosti ukazujú ako jediná prakticky dostupná metóda na skúmanie fungovania zložitých plánovaných systémov, pokiaľ ich činnosť nie je možné overiť experimentom. Matematicky sa práca systému hromadnej obsluhy popisuje pomocou takzvaných udalostí, čo sú vlastne zmeny, ktoré v systéme nastali. Zmenami v systéme (udalosti) sú napríklad: vstup požiadavky do systému, zaradenie požiadavky do frontu, ukončenie pobytu požiadavky vo fronte, začiatok obsluhy, ukončenie obsluhy a pod. Algoritmus programu tieto udalosti registruje a vyhodnocuje v týchto okamihoch stav každého článku systému. Na generovanie časového radu vzniku jednotlivých udalostí sa využíva rad náhodných čísiel poskytovaný generátorom náhodných čísiel počítača, modifikovaný podľa rozdelenia náhodnej premennej najlepšie popisujúcej simulovaný dej. Náhodných dejov sa v krízových situáciách vyskytuje veľké množstvo. Je to spôsobené vplyvom chýb ľudského činiteľa, prírodnými vplyvmi, zlyhaniami techniky a technológií. Väčšina náhodných dejov sa dá popísať normálnym, poissonovým, exponenciálnym alebo rovnomerným rozdelením. Matematická simulácia je ale schopná použiť hocijaké rozdelenie stochastických dejov. Tým sa môže v maximálnej miere priblížiť reálnym podmienkam. - 189 -
Krízové plánovanie Normálne rozdelenia má najväčší výskyt udalostí okolo strednej hodnoty a symetricky klesá k nižším aj vyšším hodnotám. Typickým príkladom je napríklad kolísanie hmotnosti pekárenských výrobkov okolo ich predpísanej hmotnosti. Exponenciálne rozdelenie má najväčší výskyt udalostí vľavo od strednej hodnoty a vpravo od nej systematicky klesá k nulovej hodnote. Sú to napríklad meškania prostriedkov hromadnej dopravy, v rámci ktorých sa vyskytuje najviac malých meškaní. Početnosť veľkých meškaní systematicky klesá s ich veľkosťou. Rovnomerné rozdelenie sa praxi vyskytuje najmenej. Popisuje deje, v ktorých udalosti vznikajú v pravidelných intervaloch s minimálnym účinkom náhodných vplyvov. V simulačnej praxi sa často používa Erlangovo rozdelenie náhodnej premennej. Toto rozdelenie má tri parametre, je preto veľmi pružné a dobre využiteľné. Použitím parametrov a a b môže nahradiť takmer všetky rozdelenia. Pomocou pravidla 3δ je jednoducho definovateľné. Z meraného, alebo známeho súboru vypočítame parametre pomocou pravidla 3δ = 49,86 % plochy rozdelenia. Ak vychádzame z minimálnej hodnoty x min a maximálnej hodnoty x max (štatisticky alebo odhadom zistených hodnôt) potom smerodajná odchýlka δ = x max x min 6. Pri parametroch a = 1, b = 1 prechádza na exponenciálne rozdelenie, pri menších parametroch a sa javí ako šikmé vľavo, pri väčších parametroch a sa približuje normálnemu rozdeleniu. Použitie matematických metód zatiaľ nenašlo v procesoch krízového riadenia a krízového plánovania širšie uplatnenie. Môže ho nájsť najmä v dopravných a zásobovacích procesoch, pri plánovanej evakuácii obyvateľstva, stavebných, rekonštrukčných a obnovovacích činnostiach. Nie vždy, ale bude optimalizácia procesov, efektivita a ekonomika činností rozhodujúcim kritériom. Pokiaľ budú ohrozené životy a zdravie ľudí, môže sa stať práve činnosť na ich záchranu rozhodujúcim kritériom bez ohľadu na optimalizáciu procesov a finančne vyjadrenú efektívnosť. - 190 -
7. Aplikácia matematických metód v krízovom plánovaní 7.6.5. FAKTOROVÁ ANALÝZA Faktorová analýza sa využíva v prípadoch ak je potrebné redukovať rozsiahly údajový či dátový materiál získaný meraním, testovaním, dotazníkom, atď. na niekoľko čo najmenej závislých faktorov. Faktor sa tu chápe ako príčina vyvolávajúca zmenu, alebo udržiavajúca stav skúmaného systému, vzťahu atď. Dátový materiál zoskupujeme do hierarchií podľa ich vzájomnej závislosti. faktory meranie, testovanie realita Faktorová analýza používa veľké množstvo štatistických postupov slúžiacich na výber Obr. 7.5. Postupnosť krokov pri faktorovej analýze rozhodujúcich faktorov a na stanovenie hypotéz o ich závislosti. Vychádza z toho, že viaceré pozorované premenné majú vzájomnú závislosť, sú medzi sebou v silnej korelácii alebo na určenie ich determinácie je potrebná tretia eličina, ktorú nemôžeme merať. - 191 -
Krízové plánovanie - 192 -