HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #7 Μοντέλα διαφορικών εξισώσεων για ΓΧΑ Συστήματα Επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων Η γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης Παραδείγματα
Μοντέλα διαφορικών εξισώσεων (Differeial equaio models) Πολύ συχνά τα ΓΧΑ μοντελοποιούνται με συνήθεις γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ς( (liear ordiary differeial equaios) )με σταθερούς συντελεστές Παράδειγμα: x() y() S dy () d ay () = bx () Συνήθης: όχι μερικές παράγωγοι Γραμμική: όχι εξάρτηση η από (dy()/d) ) κλπ. Πρώτης τάξης: Διαφορικά πρώτης τάξης μόνο Σταθεροί συντελεστές
Μοντέλα διαφορικών εξισώσεων (Differeial equaio models) Ερώτηση: Η αναπαράσταση αυτή είναι γραμμική και χρονικά αμετάβλητη; Ναι, όταν το σύστημα βρίσκεται αρχικά σε ηρεμία, δηλ. η είσοδος και έξοδος είναι μηδενικές για < 0 όπου 0 κάποια χρονική στιγμή dy1() dy() ay1() = bx1(), ay() = bx() d d Γραμμική: ή Έστω x1 () = y1 () = 0, < 1 x () = y () = 0, < d ( a 1 y 1 ( ) + a y ( )) a ( a 1 y 1 ( ) + a y ( )) = b ( a 1 x 1 ( ) + a x ( )) d dy1() dy() a1( ay1( ) bx1( )) + a( ay( ) bx( )) = 0 y1( ) + y( ) = 0, < mi( 1, ) d d Χρονικά αμετάβλητη: dy() ay( ) = bx ( ) x ( ) = y( ) = 0, < d dy( 0) ay( ) = bx( ) y ( ) = y( ) = 0, < + d 0 0 0 0 1 1
Μοντέλα διαφορικών εξισώσεων Παραδείγματα: Κύκλωμα RC i() Va() x(), vc() y() x() = Ri() + y() dy() i () = C d dy() RC + y() = x() d Γραμμική διαφορική εξίσωση πρώτης τάξης
Μοντέλα διαφορικών εξισώσεων Κύκλωμα RLC V () x (),() i y() dy () 1 Ry () + L + y ( τ ) d τ = x () d C () () 1 () L d y + R dy + y() = dx d d C d Γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης
Μοντέλα διαφορικών εξισώσεων Μηχανικό σύστημα f () x(), y() d y () Fo () = m d dy () d y () x () r ky () M d = d d y() dy() M + r + ky() = x() d d
Μοντέλα διαφορικών εξισώσεων Γενική μορφή: Συνήθης γραμμική διαφορική εξίσωση τάξης με σταθερούς συντελεστές m d y() dy() d x() dx() a +... + a1 + a0y( ) = bm +... + b1 + b0x( ) m d d d d k m k d y () d x () ak = b k k k k= 0 d k= 0 d 1 dy d y d y με αρχικές συνθήκες: y(0), (0), (0),..., (0) 1 d d d Γενικά για τη λύση μιας διαφορικής εξίσωσης τάξης απαιτούνται αρχικές συνθήκες
Εξισώσεις διαφορών (Differece equaios) Σε διακριτό χρόνο: a y [ k ] + a y [ k + 1] +... + a y [ k ] = b x [ k m ] +... + b 1 0 m 0 a y[ k l] = b x[ k l] m k l= 0 l= 0 k με αρχικές συνθήκες y[ 1],y[ ], y[ ]. Για την επίλυση μιας εξίσωσης διαφορών τάξης απαιτούνται επίσης αρχικές συνθήκες.
Επίλυση διαφορικών εξισώσεων Η Ηγενική ήλύση της m d y() dy() d x() dx() a +... + a1 + a0y( ) = bm +... + b1 + b0x( ) m d d d d έχει τη μορφή: y () = y () + y () y () H H P Λύση ομογενούς διαφορικής εξίσωσης (homogeeous soluio) Φυσική απόκριση (aural respose) k = 0 a k k d yh k d () = 0 y () P Μερική λύση (paricular soluio) της εξίσωσης Βεβιασμένη απόκριση (Forced respose) Η συνολική λύση πρέπει να ικανοποιεί τις δοθείσες αρχικές συνθήκες
Επίλυση διαφορικών εξισώσεων m d y() dy() d x() dx() a +... + a1 + a0y( ) = bm +... + b1 + b0x( ) m d d d d Ειδικά στην περίπτωση ΓΧΑ συστημάτων, συχνά φέρνουμε τη λύση στη μορφή: y () = y ZI () + y ZS () yzi () Απόκριση μηδενικής εισόδου (zero ipu respose): Λύση ομογενούς διαφορικής εξίσωσης, η οποία επιπλέον ικανοποιεί τις δοθείσες αρχικές συνθήκες, δηλ. yzs () y ZI dyzi (0) dy(0) (0) = y(0), =,... d d Απόκριση μηδενικής κατάστασης (zero sae respose): Μερική λύση της εξίσωσης η οποία επιπλέον ικανοποιεί μηδενικές αρχικές συνθήκες, δηλ. y ZS dyzs (0) (0) = 0, = 0,... d
Επίλυση διαφορικών εξισώσεων a k m k d y() d x() = bk k d k k k= 0 d k= 0 Ισοδύναμα x () y () y () = y () + y () 1 dy d y d y 1 d d d () y(0), (0), (0),..., (0) ΓΧΑ ZI x() = 0 ZS ΓΧΑ y (0) y(0) y ZI x() + ΓΧΑ yzs () y (0) = 0
Η γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης d y () dy () 1 0 a + a + a y() = x() d d dy με αρχικές συνθήκες y(0), (0) d Ομογενής εξίσωση: d y() dy() a + a1 + a0y() = 0 d d Θα αναζητήσουμε λύσεις της μορφής: y = Ce λ H () Αντικαθιστώντας: Ca ( λ + a1λ+ a0) e λ = 0 Επομένως: Χαρακτηριστική εξίσωση ή aλ + a1λ+ a0 = 0 Χαρακτηριστικό πολυώνυμο Διακρίνουσα: Δ= a 4a a 1 0
Η γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης d y () dy () d 1 0 () 0 y dy a + a + a y = (0), (0) d d d a λ + a λ + a = 0 1 0 0 Ρίζες χαρακηριστικού πολυωνύμου Λύση ομογενούς εξίσωσης Δ>0 Δύο πραγματικές άνισες ρίζες ρζ λ 1, λ a1 ± Δ λ1, = a Δ=0 Μια πραγματική ρίζα πολλαπλότητας a1 λ1 = λ = λ = a Δ<0, Δύο άνισες μιγαδικές ρίζες λ 1, λ α 1 0 a1 ± j Δ λ1, = = σ ± jω a y () = Ce + C e H λ 1 λ 1 y () = Ce + C e H λ 1 λ σ y H () = e [ C cos( ω ) + C si( ω)] H 1 Δ<0, α 1 =0 Δύο φανταστικές ρίζες ± j Δ λ1, = =± jω a y () = C cos( ω ) + C si( ω ) H 1
0.5 Η γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης 1 σ < 0 e - cos(10) e - -e - σ y () = e cos( ω ) H 30 0 10 e cos(10) e -e σ > 0 0 0-0.5-10 -0-1 -30 0 0.5 1 1.5.5 3 0 0.5 1 1.5.5 3 1.5 1 0.5 με απόσβεση (uderdamped) σ = 0 cos(10) ασταθές (overdamped). λ1 ω. λ1 0-0.5-1 -1.5-0 0.5 1 1.5.5 3 χωρίς απόσβεση (criically damped). λ λ σ<0 σ>0. λ σ
Η γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης d y () dy () 1 0 a + a + a y() = 0 d d dy Οι σταθερές C 1 και C υπολογίζονται από τις αρχικές συνθήκες y (0), (0) d π.χ. για πραγματικές ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης και x()=0: y () Ce Ce λ 1 λ = + 1 C1+ C = y(0) C dy d 1λ1+ Cλ = (0) Η εύρεση της μερικής λύσης yp () μπορεί να γίνει με διάφορους τρόπους, από τους οποίους ο πιο απλός είναι η μέθοδος των προδιοριστέων συντελεστών (mehod of udeermied coefficies), σύμφωνα με την οποία η μερική λύση προσδιορίζεται ανάλογα με τη μορφή της συνάρτησης εξαναγκασμού/ εισόδου x(): Π.χ. για x()=k, ψάχνουμε επίσης για μερικές λύσεις της μορφής y P ()=C 3
Η γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης d y () dy () 1 0 a + a + a y () = x () d d Μορφή εισόδου Μορφή μερικής λύσης x()=k y P ()=C 3 x()=βe α x()=βcos(ω) y P ()=C 3 e α y P ()=C 3 cos(ω)+c 4 si(ω) x()=β k k +β k 1 k 1 + +β 0 y P ()=C k+ k +C k+1 k 1 + +C 3 όταν α 0 μη μηδενικό, αλλιώς y ()=(C k +C k 1 P (C k+ k+1 + +C C 3 ) x()=(β k k +β k 1 k 1 + +β 0 )e α x()=(β k k +β k 1 k 1 + +β 0 ) cos(ω) y P ()=(C k+ k +C k+1 k 1 + +C 3 )e α όταν α 0 μη μηδενικό αλλιώς y P()=(C k+ k +C k+1 k 1 + +C 3)e α y P ()=(C k+ k +C k+1 k 1 + +C 3 )cos(ω) όταν α 0 μη μηδενικό αλλιώς y P ()=(C k+ k +C k+1 k 1 + +C 3 ) cos(ω)
Παράδειγμα i() Κύκλωμα RC dy() RC + y() = x(), d R= 1 Ω, C = 1 F, x () = cos( () ), y (0) = V V () x (), v () y () dy() Ομογενής εξίσωση: + y () = 0 d Χαρακτηριστικό πολυώνυμο: λ + 1= 0 Γενικά, υπάρχουν δύο τρόποι λύσης: Α τρόπος: Αν μας ενδιαφέρει μόνο η συνολική ήλύ λύση y() Λύση ομογενούς εξίσωσης: y () = Ce Μερική λύση: = P = 1 + H x () cos() y C cos() C si() dyp () = C1si( ) + Ccos( ) d Αντικαθιστώντας: 1 1 1 1 C si( ) + C cos( ) + C cos( ) + C si( ) = cos( ) ( C + C )cos( ) + ( C C )si( ) = cos( ) a C
Παράδειγμα i() C + 1 C = 1 C = 1 C = C C1 = 0 1 1 y P () = cos( () + si( () Συνολική λύση 1 1 1 y () = y H () + y P () = Ce + cos( () + si( () V () x (), v () y () Η συνολική λύση πρέπει να ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες, άρα 1 3 y(0) = C+ = C = 3 1 1 y() = e + cos() + si() a C
Παράδειγμα i() Β τρόπος: Αν μας ενδιαφέρει η απόκριση μηδενικής εισόδου και μηδενικής κατάστασης Απόκριση μηδενικής εισόδου: V () x (), v () y () Λύση ομογενούς η οποία ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες, άρα: dyzi () + yzi () = 0 yzi () = Ce d yzi (0) = C = Απόκριση μηδενικής κατάστασης: Βρίσκουμε τη μερική ήλύση όπως πριν, δηλ: 1 1 y P () = cos( () + si( () Η απόκριση μηδενικής κατάστασης πρέπει να ικανοποιεί μηδενικές αρχικές συνθήκες. Για να συμβεί αυτό, τη γράφουμε ως γραμμικό συνδυασμό της μερικής λύσης και της ομογενούς: 1 1 yzs () = cos() + si() + De a C
1 1 yzs (0) = 0 + D= 0 D= Συνολική λύση 1 1 1 1 1 3 y () = yzi () + yzs () = e + cos() + si() e = cos() + si() + e Ίδιο αποτέλεσμα με πριν! Ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες. >> =0:0.01:0; >> y_zi=*exp(-); >> y_zs=0.5*cos()+0.5*si()-0.5*exp(-); >> plo (,y_zi,'b',,y_zs,'r',,y_zi+y_zs,'k'); >> leged ('y_z_i()','y_z_s()','y()');