Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja.................... 6 1.2.2 Derivacije višeg reda................... 11 1.3 Ekstremi realnih funkcija jedne realne variajble... 12 1.3.1 Algoritam za odredivanje lokalnih ekstrema funkcije pomoću derivacija višeg reda............... 12 1.3.2 Uvjeti za maksimizaciju profita............. 13 1.3.3 Alternativni pristup................... 14 1.4 Problemi optimuma........................ 14 1.4.1 Algoritam za odredivanje globalnih ektrema funkcije jedne varijable....................... 15 1.5 Ekonomske funkcije i diferencijalni račun............ 16 1.6 Funkcije više varijabli....................... 20 1.6.1 Parcijalni i ukupni prirast funkcije više varijabli.... 20 1.7 Parcijalne derivacije........................ 22 1.7.1 Parcijalne derivacije višeg reda.............. 23 1.7.2 Homogene funkcije.................... 25 1.7.3 Totalni diferencijal drugog reda............. 27 1.8 Lokalni ekstremi funkcija više varijabli............. 28 1.8.1 Algoritam za odredivanje lokalnih ekstrema funkcije dviju varijabli....................... 28 1.8.2 Druga metoda odredivanja lokalnih ekstrema...... 31 1.9 Optimum funkcija više varijabli................. 35 1.9.1 Metoda supstitucije.................... 36 1.9.2 Metoda Lagrangeovog množitelja (multiplikatora)... 37 1
SADRŽAJ 2 1.9.3 Uvjetni ekstrem...................... 39
Poglavlje 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Neka je < a, b > otvoren interval i f : < a, b > R realna funkcija jedne realne varijable zadana formulom y = f(x),gdje je x neovisna, a y ovisna varijabla. Neka je c < a, b > točka u kojoj funkcija f ne mora biti definirana. Kažemo da funkcija y = f(x) u točki c teži realnom broju L ako je razlika f(x) L po apsolutnoj vrijednosti malena ako je razlika x c po apsolutnoj vrijednosti dovoljno malena. Tada pišemo lim f(x) = L. x c Broj L zovemo granična vrijednost (limes) funkcije f u točki c. Za funkciju f kažemo da je neprekidna u točki c ako je f definirana u c,postoji limes funkcije f u točki c i vrijedi lim x c = f(c). Funkcija je neprekidna na intervalu < a, b > ako je neprekidna u svakoj točki c tog intrvala. Graf neprekidne funkcije na intervalu izgleda kao da je nacrtan jednim potezom. Primjer 1 1. 2. 3. lim 9 = 9 x 2 lim x 2 2x3 = 2 2 3 = 16 lim x 2 (x4 + 3x) = 2 4 + 3 2 = 22. 3
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 4 4. 5. Primjer 2 1. lim(x + 8)(x 5) = (4 + 8)(4 5) = 12 x 4 3x 2 5x lim x 4 x + 6 = 3 42 5 4 4 + 6 = 48 20 10 = 14 5 lim 6x3 + 1 = 6 2 3 + 1 = 49 = 7 x 2 2. x 2 49 lim x 7 x 7 = lim (x 7)(x + 7) x 7 x 7 = lim x 7 (x + 7) = 7 + 7 = 14 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable U ekonomiji se često važno znati kojom brzinom se neka ekonomska veličina mijenja u ovisnosti o promjeni veličine o kojoj ovisi. Neka je zadana realna funkcija jedne varijable y = f(x) na otvorenom intervalu < a, b >. Kada se x promjeni od početne vrijednosti x 0 u novu vrijednost x 0 + h, vrijednost funkcije y = f(x) promijeni se od f(x 0 ) u f(x 0 + h). Promjena varijable y po jedinici promjene varijable x može se predočiti kao kvocijent razlika y x = f(x 0 + x) f(x 0 ). x Kvocijent razlika predstavja prosječnu brzinu promjenu funkcije f na intervalu < x 0, x 0 +h >. Ako je y > 1, onda veličina y brže raste od veličine x x, a kada je 0 < y < 1, sporije. x Primjer 3 Neka je y = f(x) = 2x 2 3x. Tada je y = f(x 0 + h) f(x 0 ) = 2(x 0 + h) 2 3(x 0 + h) (2x 2 3x), y = 4x 0 h 3h + 2h 2, kvocijent razlika: y x = 4x 0h 3h+2h 2 h = 4x 0 3 + 2h. Za x 0 = 2 i h = 1 dobivamo da je y x = 4 2 3 + 2 1 = 7.
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 5 Dakle, prosječna brzina promjene funkcije f jednaka je 7, tj. kada se varijabla x promijeni sa 2 na 3, promjena varijable y je 7 jedinica po jedinici varijable x. Nedostatak kvocijenta razlika kao relativne mjere je u tome što ona ovisi i o veličini x 0 i promjeni h. Ako h teži nuli, onda ta veličina ovisi samo o varijabli x 0. Dakle, ako je zadana realna funkcija jedne variajable y = f(x), granična vrijednost kvocijenta razlika, kada promjena neovisne varijable teži nuli, y lim x 0 x predstavlja trenutnu brzinu promjene ovisne varijable y u ovisnosti o promjeni neovisne varijable. Neka je f : < a, b > R realna funkcija jedne realne varijable zadana u obliku y = f(x), te neka je x 0 < a, b > točka u kojoj je funkcija definirana. Ako postoji granična vrijednost kvocijenta prirasta funkcije f = f(x 0 + h) f(x 0 ) i prirasta nezavisne varijable h, kad prirast nezavisne varijable teži nuli, tada tu graničnu vrijednost nazivamo derivacijom funkcije f u točki x 0, i označavamo s pa je f (x 0 ) = lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h Za funkciju iz prethodnog primjera y = f(x) = 2x 2 3x dobili smo da je y x = 4x 0 3 + 2h, f (x 0 ) = lim h 0 (4x 0 3 + 2h) = 4x 0 3. f (2) = 4 2 3 = 5 Trenutna brzina promjene funkcije f u točki x = 2 je 5. Interpretacija: Ako se neovisna varijabla x u točki x = 2 poveća za 1 jedinicu, onda se ovisna varijabla y poveća za približno 5 jedinica. Definicija 1 Kažemo da je funkcija f : < a, b > R derivabilna ili diferencijabilna u točki x < a, b > u kojoj je definirana ako ima derivaciju f (x) = d f(x), koja je realan broj. Ona je derivabilna u intervalu dx < a, b > ako je derivabilna u svakoj točki x iz tog intervala.
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 6 1.2.1 Pravila deriviranja (1) y = f(x) = c, c R, f (x) = 0 π = 0 jer je π 3.14 broj (2) y = f(x) = x a, a R, f (x) = a x a 1 Posebice je x = 1 Općenito je: (u a ) = a u a 1 u (x 5 ) = 5x 5 1 = 5x 4 ( x) = (x 1 2 ) = 1x 1 2 1 = 1 2 2 x 1 2 = 1 2 x Općenito je: n xs = x s n. [ (x 2 2x 8) 2] = 2 (x 2 2x 8) 2 1 (x2 2x 8) = 2(x 2 2x 8) (2x 2) (3) y = f(x) = c x a, c R, a R, f (x) = c a x a 1 Posebice je: (cx) = c [ 6 x ] = ( ) 6 x 1 ( ) 2 = 6 1 2 x 3 2 = x x 3 (100x) = 100 (4) [f(x) ± g(x)] = f (x) ± g (x) Primjer 4 (2x 3 4x 2 + 5x 2) = 6x 2 8x + 5 jer je x = 1 Derivacija funkcije f(x) = 2x 3 4x 2 + 5x 2 u točki x = 2 je: f (2) = 6 2 2 8 2 + 5 = 13. Interpretacija:Ako se neovisna varijabla x na nivou x = 2, poveća za 1 jedinicu, onda se ovisna varijabla y = f(x) poveća za 13 jedinica. Primjer 5 [ax 3 + (b 2a)x 2 + (3a + b)x 2a ] = 3ax 2 + 2(b 2a) + 3a + b jer su a i b brojevi (konstante)
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 7 (5) [f(x) g(x)] = f (x) g(x) + f(x) g (x) Posebice je za realan broj k R [k f(x)] = k f (x) Primjer 6 [( x 2 + 1 )( 2x + 3 )] = ( x 2 + 1 ) ( 2x + 3 ) + ( x 2 + 1 )( 2x + 3 ) = = ( 2x )( 2x + 3 ) + ( x 2 + 1 ) 2 = 2 ( 3x 2 + 3x + 1 ) jer je ( 2x ) = 2 (6) [ f(x) ] [ ] g(x) [ ] f(x) f(x) g(x) = g(x) [g(x)] 2 Primjer 7 [ x 2 + x 3 2x ( ] x 2 + x 3 ) ( 2x x 2 + x 3 )( ) 2x = (2x) 2 = = ( ) ( 2x + 1 2x x 2 + x 3 )( 2 ) (2x) 2 = x2 + 3 2x 2 (7) Lančano pravilo: Ako imamo funkciju z = f(y), a y je ponovno funkcija neke druge varijable x, npr. y = g(x), tada je derivacija od z s obzirom na x jednaka umnošku derivacije od z s obzirom na x i derivacije od y s obzirom na x, tj. dz dx = dz dy dy dx Primjer 8 Ako je z = 3y 2, gdje je y = 2x 3 + 2, onda je dz dx = dz dy dy dx = 6y 6x2 = 6(2x 3 + 2) 6x 2 = 72x 5 + 72x 2
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 8 (8) (Derivacija logaritamske funkcije): y = f(x) = log a x, a > 0, a 1, x > 0 f (x) = 1 x log ae a = e = 2.71828... y = f(x) = lnx Općenito je (lnx) = 1 x [ln f(x)] = f (x) f(x) (xlnx) = x lnx + x(lnx) = 1 lnx + x 1 x = lnx + 1 (ln(x3 + x 2 ) = (x 3 +x 2 ) = 3x2 +2x x 3 +x 2 x 3 +x 2 (9) Derivacija eksponencijalne funkcije: a = e Općenito je: [ e f(x)] = e f(x) f (x) (1 + e x 1 e x ) = y = f(x) = a x, a > 0, a 1 f (x) = a x lna y = f(x) = e x (e x ) = e x ( 1 + e x ) ( 1 e x ) ( 1 + e x)( 1 e x) ( 1 e x ) 2 = = ex( 1 e x) ( 1 + e x)( e x) ( 1 e x ) 2 = 2e x ( 1 e x ) 2 Primjer 9 ( e 3x 2 +6x+4 ) = { f(x) = 3x 2 + 6x + 4 } = {[ e f(x)] = e f(x) f (x) } = = e 3x2 +6x+4 (3x 2 + 6x + 4) = e 3x2 +6x+4 (6x + 6)
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 9 Primjer 10 Izračunajte derivacije sljedećih funkcija: (a) f(x) = 16 (b) f(x) = 15 (c) f(x) = 5x + 13 (d) f(x) = 7x 7 Rješenje: (a) f (x) = 0, derivacija broja jednaka je nuli (b) f (x) = 0 (c) f (x) = 5, derivacija funkcije ax + b je a (d) f (x) = 7 Primjer 11 Odredite derivacije sljedećih funkcija u točki x 0 : (a) f(x) = 9x 4, x 0 = 1 (b) f(x) = 6x 7, x 0 = 1 (c) f(x) = 5x 2, x 0 = 1 (d) f(x) = 7 x = 7x 1, x 0 = 1 ( Općenito je 1 x n = x n ) (e) f(x) = x = x 1 2, x 0 = 4 (Općenito je r x s = x s r ) Rješenje: (a) f (x) = 9 4x 4 1 = 36x 3, f (1) = 36 1 3 f (1) = 36 (b) f (x) = 42x 6 f (1) = 42 (c) f (x) = 10x 3 = 10 x 3 (d) f (x) = 7x 2 f (1) = 7 f (1) = 10
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 10 (e) f (x) = 1 2 x 1 2 1 = 1 2 x 1 2 = 1 2 x f (4) = 12 4 = 1 4 Primjer 12 Odredite derivacije sljedećih funkcija: (a) f(x) = 5x 4 (3x 7) (b) f(x) = (x 8 + 8)(x 6 + 11) (c) f(x) = (4x 3 3)(2x 2 ) (d) f(x) = (2x 4 + 5)(3x 5 8) (e) f(t) = (3 12t 3 )(5 + 4t 6 ) Rješenje: Derivacija funkcije f(x) = g(x)h(x) je f (x) = g (x)h(x) + g(x)h (x) (a) f (x) = 20x 3 (3x 7) + 5x 4 (3) = 60x 4 140x 3 + 15x 4 = 75x 4 140x 3 (b) f (x) = (8x 7 )(x 6 + 11) + (x 8 + 8)(6x 5 ) = 14x 13 + 88x 7 + 48x 5 (c) f (x) = (12x 2 )(2x 2 ) + (4x 3 3)(4x) = 40x 4 12x (d) f (x) = (8x 3 )(3x 5 8) + (2x 4 + 5)(15x 4 ) = 54x 8 + 75x 4 64x 3 (e) d dt f(t) = ( 36t2 )(5 + 4t 6 ) + (3 12t 3 )(24t 5 ) = 432t 8 + 72t 5 180t 2 Primjer 13 Odredite derivacije sljedećih funkcija: (a) f(x) = 10x8 6x 7 2x (b) f(x) = 3x8 4x 7 4x 3 (c) f(x) = 4x5 1 3x (d) f(x) = 15x2 2x 3 +7x 3 (e) f(x) = 5x2 9x+8 x 2 +1 Rješenje:: Derivacija fukcije f(x) = g(x) h(x) je f (x) = g (x)h(x) g(x)h (x) [g(x)] 2
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 11 (a) f (x) = (80x7 42x 6 )2x (10x 8 6x 7 )2 (2x) 2 = 35x 6 18x 5 (b) f (x) = (24x7 28x 6 )(4x 3 ) (3x 8 4x 7 )(12x 2 ) = 15x4 16x 2 (4x 3 ) 2 4 (c) f (x) = 2x4 (1 3x) 4x 5 ( 3) = 20x4 48x 5 (1 3x) 2 (1 3x) 2 (d) f (x) = 30x(2x3 +7x 3) 15x 2 (6x 2 +7) (2x 3 +7x 3) 2 = 105x2 90x (2x 3 +7x 3) 2 (e) f (x) = (10x 9)(x2 +1) (5x 2 9x+8)2x = 9x 6x 9 (x 2 +1) 2 (x 2 +1) 2 1.2.2 Derivacije višeg reda f(x) = 3x 3 + 4x 2 + 5x 100 f (x) = 9x 2 + 8x + 5 f (x) = 18x + 8 druga derivacija funkcije f f (x) = 18 treća derivacija
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 12 1.3 Ekstremi realnih funkcija jedne realne variajble Funkcija f : D(f) R u točki c ima lokalni maksimum ako vrijednost te funkcije za sve točke x < c δ, c + δ >, x c, gdje je δ > 0, nije veća nego što je u točki c. Dakle, promatra se vrijednost funkcije u okolini točke c, a ne na cijelom području definicije D(f). Ako je f(x) f(c) za sve x D(f), x c, onda f ima globalni (apsolutni) maksimum. Funkcija f : D(f) R u točki c ima lokalni minimum ako vrijednost te funkcije za sve točke x < c δ, c + δ >, x c, gdje je δ > 0, nije manja nego što je u točki c. Ako je f(x) f(c) za sve x D(f), x c, onda f ima globalni (apsolutni) maksimum. 1.3.1 Algoritam za odredivanje lokalnih ekstrema funkcije pomoću derivacija višeg reda (1) Riješi se jednadžba f (x) = 0. Rješenja navedene jednadžbe x 1, x 2,... koja pripadaju domeni funkcije D(f) su kandidati za prvu koordinatu ekstrema. (2) Za svakog kandidata x 1, x 2,... za ekstrem provodi se sljedeći postupak: računa se vrijednost derivacije višeg reda dok se ne dode do broja k takvog da je f (k) (x i ) 0 (a) Ako je k paran broj, onda funkcija f u x i ima stogi lokalni ekstrem, i to: minimum ako je f (k) (x i ) > 0, a maksimum ako je f (k) (x i ) < 0 (b) Ako je k neparan broj, onda f u x i nema lokalni ekstrem. (3) Uzima se sljedeći kandidat za ekstrem i ponavlja navedeni postupak. Primjer 14 Odredite lokalne ekstreme funkcije f(x) = 2x 3 +3x 2 36x 10. Rješenje:
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 13 (1) f (x) = 6x 2 +6x 36 f (x) = 0 6x 2 +6x 36 = 0 x 1 = 3, x 2 = 2 Kandidati za prvu koordinatu ekstrema su: x 1 = 3, x 2 = 2. (2) f (x) = 12x + 6 f ( 3) = 30 0 (a) Kako je k paran broj, to funkcija f u x 1 = 3 ima strogi lokalni maksimum jer je f ( 3) = 30 < 0, a u x 2 = 2 f ima strogi lokalni minum jer je f (2) = 30 > 0. f( 3) = ( 3) 3 + 3( 3) 2 36 ( 3) 10 = 71 f(2) = 2 2 3 + 3 2 2 36 2 10 = 54 Dakle, M( 3, 71), m(2, 54). f (2) = 30 0 1.3.2 Uvjeti za maksimizaciju profita Funkcija profita(dobiti): D = π = π(q) = R(Q) T (Q), gdje su R(Q) i T (Q) funkcije ukupnog prihoda i ukupnih troškova. Primjer 15 Neka su R(Q) = 1200Q 2Q 2, T (Q) = Q 3 61.25Q 2 +1528.5Q+ 2000. Tada je funkcija profita: D = R(Q) T (Q) = Q 3 + 59.25Q 2 328.5Q 2000 D 3Q 2 + 118.5Q 3285 D = 0 3Q 2 + 118.5Q 328.5 = 0 Q 1 = 3, Q 2 = 36.5 Dakle, funkcija profita ima dvije stacionarne točke: Q 1 = 3, Q 2 = 36, 5. Kako je D (Q) = 6Q+1185 dobivamo D (3) > 0, π (36.5) < 0 slijedi da je točka Q = 36.5 proizvodnja koja maksimizira profit. (Druga proizvodnja Q=3 minimizira profit.) Uvrštavanjem Q u funkciju profita nalazimo da je D(36.5) = 16318.44.
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 14 1.3.3 Alternativni pristup Elementarna činjenica iz ekonomije: ako poduzeće želi maksimizirati profit, tada mora izjednačiti granični prihod i granični trošak. R(Q) = 1200Q 2Q 2, T (Q) = Q 3 61.25Q 2 + 1528.5Q + 2000 Granični prihod: granični trošak: R (Q) = 1200 4Q, T (Q) = 3Q 2 122.5Q + 1528.5 Izjednačavanjem tih dviju funkcija nalazimo kvadratnu jednadžbu identičnu sa π (Q) = 0, koja je dala navedene dvije stacionarne točke. 1.4 Problemi optimuma Definicija 2 Kažemo da funkcija y = f(x) postiže globalni maksimum M u točki x M na intervalu I ako je definirana na I i ako vrijedi: (a) x M I i f(x M ) = M (b) f(x) M za svaki x I. Definicija 3 Kažemo da funkcija y = f(x) postiže globalni minimum m u točki x m na intervalu I ako je definirana na I i ako vrijedi: (a) x m I i f(x m ) = m (b) f(x) m za svaki x I. Primjer 16 Funkcija f(x) = x 2 : (a) na intervalu <, + > postiže globalani minimum 0 u 0, ne postiže globalni maksimum (b) na intervalu [ 1, 1] postiže globalani minimum 0 u 0, a globalni maksimum 1 postiže u točkama x = 1 i x = 1 (c) na intervalu < 1, 1 > postiže globalani minimum 0 u 0, a globalni maksimum ne postiže
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 15 1.4.1 Algoritam za odredivanje globalnih ektrema funkcije jedne varijable Ako je funkcija y = f(x) definirana unutar intervala I, onda njene globalne ekstreme na tom intervalu nalazimo na sljedeći način: (1) Napravimo listu kandidata za ekstremem, koja sadrži krajeve intervala i kritične točke funkcije f smještene unutar tog intervala (Kritične točke funkcije su točke u kojima prva derivacija ne postoji ili je jednaka nuli; oba kraja intervala pripadaju intervalu ako je on zatvoren.) (2) Izračunamo vrijednosti funkcije f u točkama liste dobivene u prethodnom koraku, odnosno granične vrijednosti od f ako mu ti krajevi ne pripadaju. Najveća od izračunatih vrijednosti je globalni maksimum od f na I, ako točka u kojoj je izračunata vrijednost pripada tom intervalu. Ako se ona postiže na kraju koji ne pripada tom intervalu, onda f nema globalnog maksimuma na I. Analogno odredujemo globalni minimum. Primjer 17 Odredite globalne ekstreme funkcije f(x) = x 4 + 8x 3 + 16x 2 na intervalu [ 5, 1]. Rješenje: (1) Lista kandidata za ekstreme sadrži krajeve zadanog intervala 5 i 1, te kritične točke funkcije f u otvorenom intervalu < 5, 1 >. Kritične (stacionarne) točke funkcije f su rješenja jednadžbe f (x) = (x 4 + 8x 3 + 16x 2 ) = 4x 3 + 24x 2 + 32x = 0, tj. točke 2, 4 (točka 0 nije u zadanom intervalu). Konačna lista kandidata za ekstreme sadrži točke: 4, 2, 5, 1. (2) Vrijednosti funkcije f u točkama navedene liste su: x 4 2 5 1 f(x) 0 16 25 9 Dakle, funkcija f postiže globalni maksimum 25 u točki x = 5, a globalni minimum 0 u točki x = 4.
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 16 Primjer 18 Odredite globalne ekstreme funkcije f(x) = x 3 4x na intervalu [ 2, + >. Rješenje: (1) Lista kandidata za ekstreme sadrži samo jedan kraj zadanog intervala 2 te kritične točke funkcije f u otvorenom intervalu < 2, + >. Kritične (stacionarne) točke funkcije f su rješenja jednadžbe f (x) = (x 3 4x) = 3x 2 4 = 0, tj. točke 2 3, 2 3 i one obje pripadaju intervalu [ 2, + >. Konačna 2 lista kandidata za ekstreme sadrži točke: 3, 2 3, 2. (2) Vrijednosti funkcije f u točkama navedene liste su: x 2 2 3 2 3 x f(x) 0 64 3 9 64 3 9 f(x) Dakle, funkcija f postiže globalni minimum 64 3 u točki 3 2 a globalni 9 minimum 0 u točki x = 4. Funkcija ne postiže globalni maksimum, jer najveću vrijednost f postiže u + (dobivenu pomoću limesa u + ) u točki + koja ne pripada intervalu [ 2, + >. 1.5 Ekonomske funkcije i diferencijalni račun (1) Funkcija potražnje q = f(p) izražava ovisnost količine q tražene robe o cijeni p te robe. Funkcija potražnje je padajuća jer porastom cijene smanjuje se potražnja. (2 Funkcija ponude q 1 = f 1 (p) izražava ovisnost količine q 1 tražene robe o cijeni p te robe. Funkcija potražnje je rastuća jer porastom cijene ponuda raste. Na slobodnom tržištu (formira se tržišna cijena) tržišnu cijenu odreduje jednakost ponude i potražnje. Iz jednakosti f(p) = f 1 (p) nalazimo tržišnu cijenu p pri kojoj se postiže ravnoteža.
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 17 (3) Funkcija proizvodnje Q = f(n) izražava ovisnost fizičkog obujma Q proizvedene robe o vremenu n za koje je ta roba proizvedena. (4) Funkcija ukupnog prihoda R jednaka je produktu potražnje i cijene robe:r = q p = f(p) p = q p(q). (5) Funkcija graničnog prihoda GR je derivacija funkcije ukupnih prihoda R = f(p) p = q p(q) : r = GR = MR = dr = dr. dp dq (6) Funkcija ukupnih troškova T = f(q) izražava ovisnost ukupnih troškova T o veličini proizvodnje (usluge) Q. (7) Funkcija t = GT graničnih troškova je derivacija dunkcije ukupnih troškova T = f(q) : t = GT = T = dt dq. (8) Funkcija prosječnih troškova T = T Q = f 1(Q) izražava troškove po jedinici proizvoda (usluge). Primjer 19 Funkcija ukupnih troškova je T = 2Q 3 5Q 2 + 1. Odredite funkciju graničnih troškova za Q = 2. Rješenje: T = 2Q 3 5Q 2 + 1 t = GT = dt = T (Q) = 6Q 2 10Q dq Graninični troškovi za Q = 2 : t(q = 2) = 6 2 2 10 2 = 4 Primjer 20 Funkcija prosječnog prihoda je R = (1 p)(2 + p). Odredite funkciju ukupnog prihoda R, funkciju graničnog prihoda GR i vrijednost graničnog prihoda za p = 1. Rješenje: R = R p = (1 p)(2 + p)p = p 3 p 2 + 2p ukupan prihod GR = R (p) = dr = dp 3p2 2p + 2 granični prihod GR(p = 2) = 3 1 2 2 1 + 2 = 3 granični prihod za p=1 Primjer 21 Funkcija potražnje neke robe je q = p + 10 000. Odredite 3 funkciju ukupnog prihoda, funkciju graničnog prihoda i dobit za proizvodnju 3 000 komada, ako je funkcija ukupnih troškova T = 3q 2 + 3 000000.
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 18 q = p + 1 0000 p = 3q + 30 000 3 Funkcija ukupnog prihoda: R = q p = ( 3q + 30 000)q = 3q 2 + 30 000q Funkcija graničnog prihoda:gr = dr = dr = 6q + 30 000 dp dq Granični prihod za 3 000 komada: GR(q = 3 000) = ( 6) 3 000 + 30 000 = 12 000 Dobit D je razlika izmedu ukupnog prihoda i ukupnih troškova: R(3 000) = ( 3) 3 000 2 + 30 000 3 000 = 63 000 000 T (3 000) = 3 3000 2 + 3 000 000 = 30 000 000 D = R T = 63 000 000 30 000 000 = 33 000 000 Primjer 22 Odredite lokalni maksimum funkcije dobiti ako je funkcija ukupnih troškova T = Q 3 6Q 2 + 140Q + 750, a funkcija ukupnog prihoda R(Q) = 7.5Q 2 + 1400Q + 2010,gdje je Q količina proizvodnje. D(Q) = R(Q) T (Q) D(Q) = 7.5Q 2 + 1400Q + 2010 (Q 3 6Q 2 + 140Q + 750) D(Q) = Q 3 1.5Q 2 + 1260Q + 1260 D (Q) = 3Q 2 3Q+1260 D = 0 3Q 2 3Q+1260 = 0 Q 2 +Q 42 = 1± 1 0 Q 2 4 1 ( 420) 1,2 Q = 20 2 1 D (Q) = 6Q Q D (20) = 6 20 3 = 123 < 0 lokalni maksimum D(20) = 20 3 1.5 20 2 + 1260 20 + 1260 = 15 850 vrijednost maksimuma za Q = 20 D(20, 15 850) Primjer 23 Zadana je funkcija prosječnog prihoda R(Q) = Q + 200, gdje je Q količina proizvodnje. Izračunajte lokalni maksimum funkcije ukupnog prihoda. R(Q) = R(Q) Q R = R(Q) Q = Q 2 + 200Q R (Q) = 2Q + 200 R (Q) = 0 2Q + 200 = 0 Q = 100 R (Q) = 2 < 0 lokalni maksimum R(100) = 100 2 + 200 100 = 10 000 M(100, 10 000)
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 19 Primjer 24 Zadane su funkcije ukupnih prihoda i prosječnih troškova: R(Q) = 460 3200 Q, T (Q) = 2 + 100 Q. Za koji se opseg proizvodnje Q ostvaruje najveća dobit i koliko ona iznosi? Koliki su tada ukupni prihodi i ukupni troškovi? D(Q) = R(Q) T (Q) T (Q) = T (Q) T (Q) = T (Q) Q = (2 + 100 ) Q = 2Q + 100 D(Q) = Q Q R(Q) T (Q) = 460 3200 3200 (2Q + 100) = 360 2Q Q Q D = 3200 2 Q 2 D = 0 3200 2 = 0 Q = 40 Q 2 D (Q) = 6400 D(40) = 6400 < 0 maksimalna dobit Q 3 40 3 R(40) = 460 3200 40 = 380 T (Q) = 2 40 + 100 = 180 Primjer 25 Zadana je funkcija potražnje d = p 2 30p + 4000, gdje je p cijena po jedinici proizvoda. Izračunajte stopu promjene te funkcije u odnosu na cijenu p = 4. Izrazite funkciju ukupnog prihoda R(p) = d(p) p te izračunajte stopu promjene ukupnog prihpda za p = 4. Stopa promjene potražnje: r 1 = d (p) -derivacija potražnje po cijeni r 1 = 2p 30 r 1 (4) = 2 4 30 = 38 Interpretacija: Povećanje cijene, na nivou p = 4, za 1 jedinicu uzrokuje smanjenje potražnje za 38 jedinica. Ukuni prihod: R = d p = ( p 2 30p + 4000)p = p 3 30p 2 + 4000p Stopa promjene ukupnog prihoda: r 2 = R (p) -derivacija ukupnog prihoda po cijeni r 2 = 3p 2 60p + 4000 r 2 (4) = 3 4 2 60 4 + 4000 = 3712 Interpretacija: Povećanje cijene, na nivou p = 4, za 1 jedinicu uzrokuje povećanje ukupnog prihoda za 3712 jedinica.
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 20 1.6 Funkcije više varijabli U pravilu ekonomske veličine ne ovise o jednoj nego o više drugih ekonomskih veličina. Želimo li simbolički iskazati da veličina y ovisi o nekim drugim medusobno neovisnim veličinama x 1, x 2,..., x n, pišemo ovako: y = f(x 1, x 2,..., x n ). Pritom se ništa ne kaže o pravilu preslikavanja f kojim se uredenoj n-torci realnih brojeva (x 1, x 2,..., x n ) pridružuje realan broj y. Primjer 26 Neka je f(x, y) = x 3 3x 2 + xy 2 y 3. Odredite područje definicije (prirodnu domenu) funkcije f. Funkcija f ovisi o dvije medusobno neovisne varijable x i y. Budući da su sve naznačene operacije definirane u skupu R za sve uredene parove (x, y), to je područje definicije f Kartezijev produkt skupa R sa samim sobom, tj. D(f) = R R = R 2. 1.6.1 Parcijalni i ukupni prirast funkcije više varijabli Neka je zadana realna funkcija dviju (realnih) varijabli:z = f(x, y) Ako se poveća samo neovisna varijabla x za x (y ostaje nepromijenjen), onda se mijenja i vrijednost ovisne varijable, koja se promijenila sa f(x, y) na Razliku f(x + x, y). x z = f(x + x, y) f(x, y) zovemo parcijalni prirast funkcije z = f(x, y) po varijabli x. Analogno se definira parcijalni prirast funkcije z = f(x, y) po varijabli y: y z = f(x, y + y) f(x, y) Ukupni (totalni) prirast funkcije z = f(x, y) iznosi: z = f(x + x, y + y) f(x, y). Primjer 27 Odredite parcijalne priraste i ukupni prirast funkcije f(x, y) = x 2 + xy 2y 2 ako se x promijeni od 2 na 2.2 a y od 1 na 0.9
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 21 Ovdje su: x = 2.2 2 = 0.2, y = 0.9 1 = 0, 1 f(x, y) = 2 2 +2 1 2 1 2 = 4 Parcijalni prirast funkcije z = f(x, y) po varijabli x iznosi : x z = f(x + x, y) f(x, y) x z = 2.2 2 + 2.2 1 2 1 2 4 = 1.04. Parcijalni prirast funkcije z = f(x, y) po varijabli y iznosi : y z = f(x, y + y) f(x, y) y z = 2 2 + 2 0.9 2 0.9 2 4 = 0.18. Ukupni prirast funkcije z = f(x, y): z = f(x + x, y + y) f(x, y) z = 2.2 2 + 2.2 0.9 2 0.9 2 4 = 1.20
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 22 1.7 Parcijalne derivacije Promatramo funkciju dvije varijable z = f(x, y). Ako fiksiramo y, tada je f(x, y) funkcija jedne varijable x. Ako fiksiramo x, tada je f(x, y) funkcija jedne varijable y. Derivacije tih dviju funkcija nazivamo parcijalne derivacije funkcije f(x, y). Parcijalna derivacija funkcije z = f(x, y) po varijabli x je: z x = z x = lim x 0 f(x + x, y) f(x, y), x a parcijalna derivacija funkcije z = f(x, y) po varijabli y je: z y = z y = lim y 0 f(x, y + y) f(x, y). y Prilikom računanja parcijalne derivacije funkcije z = f(x, y) po varijabli x samo tu varijablu tretiramo kao varijablu koja se mijenja, a sve ostale varijable tretiramo kao konstante. Dakle, u slučaju funkcije dviju varijabli z = f(x, y) parcijalnu derivaciju funkcije z po varijabli x odredimo tako da koristimo pravila za deriviranje funkcije jedne varijable tretirajući y kao konstantu, a parcijalnu derivaciju funkcije z po varijabli y odredimo tako da varijablu x tretiramo kao konstantu. Totalni diferencijal funkcije z = f(x, y) definiramo na sljedeći naćin: dz = z x dx + z y dy. Primjer 28 Odredite parcijalne derivacije funkcije i totalni diferencijal funkcije z = x y. Pri računanju parcijalne derivacije z x varijablu y tretiramo kao konstantu: z x = yx y 1. Pri računanju parcijalne derivacije z y varijablu x tretiramo kao konstantu, pa moramo primijeniti pravilo za deriviranje eksponencijalne funkcije: z y = x y lnx. Totalni diferencijal funkcije z = f(x, y): dz = z x dx + z y dy = yx y 1 dx + x y lnxdy. Primjer 29 Odredite parcijalne derivacije funkcije u = x 6 y 4 + 3z 5.
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 23 Pri računanju parcijalne derivacije u x varijable y i z tretiramo kao konstante: u x = 6x 5. Pri računanju parcijalne derivacije u y varijable x i z tretiramo kao konstante: u y = u y = 4y3. Pri računanju parcijalne derivacije u z varijable x i y tretiramo kao konstante: u z = u z = 15z4. Primjer 30 Odredite parcijalne derivacije funkcije u = x 2 + y 3 + xyz 5. Pri računanju parcijalne derivacije u x varijable y i z tretiramo kao konstante: u x = 2x + yz 5 Pri računanju parcijalne derivacije u y varijable y i z tretiramo kao konstante: u y = 3y 2 + xz 5 Pri računanju parcijalne derivacije u z varijable x i y tretiramo kao konstante: u z = 5xyz 4. Ako je zadana funkcija y = f(x 1,..., x n ), onda se vektor čije su komponente upravo parcijalne derivacije navedene funkcije zove gradijent funkcije y; oznaka y (čitamo nabla y). 1.7.1 Parcijalne derivacije višeg reda Računajući parcijalne derivacije funkcije dviju varijabli z = f(x, y), vidjeli smo da su te funkcije z x i z y opet funkcije dvije varijable x i y. Dakle, općenito je z x = g(x, y), z y = h(x, y),
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 24 pa ima smisla računati parcijalne derivacije tih funkcija, odnosno ima smisla računati g x = h x, g y = g y, h x = h x, h y = h y. Dakle, imamo četiri parcijalne derivacije 2. reda: z xx = g x, z xy = g y, z yx = h x, z yy = h y. Funkcije z xy i z yx zovu se mješovite parcijalne derivacije 2. reda. Deriviranjem dobivenih funkcija, koje predstavljaju parcijalne derivacije drugog reda, dobivamo parcijalne derivacije 3. reda i tako dalje. Sada možemo reći da su z x i z y parcijalne derivacije 1. reda funkcije z = f(x, y). Primjer 31 Za funkciju z = f(x, y) imamo dvije parcijalne derivacije prvog reda: f ili f x x ili f x f y ili f y i 4 parcijalne derivacije drugog reda: 2 f x 2 ili f xx 2 f y 2 ili f yy 2 f x y ili f xy 2 f y x ili f yx ili ili ili ili ili f y f xx f yy f xy f yx Primjer 32 Odredite parcijalne z xxy i z yxx za funkciju z = y 2 e x + x 2 y 3 + 5. z x = y 2 e x + 2xy 3 z xx = y 2 e x + 2y 3 z xxy = 2ye x + 6y 2 z y = 2ye x + 3x 2 y 2 z yx = 2ye x + 6xy 2 z yxx = 2ye x + 6y 2
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 25 Dakle, za razmatranu funkciju je z xxy = z yxx, to znači (barem u ovom sluǎaju) da je bitno koliko puta deriviramo po kojoj varijabli, a pritom nije bitan redoslijed deriviranja. Može se dokazati da navedeni zaključak vrijedi i općenito. Naime, vrijedi sljedeći teorem: Teorem 1 (Scwarzov teorem): Ako su funkcija z = f(x, y) i njene parcijalne derivacije z x, z y, z xy i z yx definirane i neprekidne u točki T (x, y) i njenoj okolini, onda je u toj točki z xy = z yx, odnosno mješovite parcijalne derivacije su jednake. Općenito kod parcijalnih derivacija višeg reda nije bitan redoslijed deriviranja već samo izbor varijabli po kojima se derivira. Primjer 33 Koliko parcijalnih derivacija trećeg reda ima funkcija f(x, y)? Rješenje: f xxx, f yyy, f xxy = f xyx = f yxx, f xyy = f yxy = f yyx (ukupno 4). 1.7.2 Homogene funkcije Definicija 4 Funkcija y = f(x 1, x 2,..., x n ) je homogena stupnja homogenosti α R ako, za svaki α R za koji je λ α definirano, vrijedi y = f(λx 1, λx 2,..., λx n ) = λ α f(x 1, x 2,..., x n ) Ako vrijednost svih varijabli pomnožimo sa λ, vrijednost funkcije se pomnoži sa λ α. Ako je α = 1, funkcija je linearno homogena (množi se istim faktorom kao i varijable). Ako je α = 0, vrijednost funkcije se ne mijenja množenjem varijabli istim brojem λ.
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 26 Teorem 2 (Euler) Ako je y = f(x 1, x 2,..., x n ) je homogena stupnja homogenosti α, tada vrijedi f f f x 1 + x 2 +... + x n = α f(x 1, x 2,..., x n ). x 1 x 2 x n Primjer 34 Ispitajte homogenost funkcije Rješenje: f(λx 1, λx 2, λx 3 ) = f(x 1, x 2, x 3 ) = x 1 2 x2 + x 3 2 λx 1 = λ2 2 x 1 = λ 3 2 λx2 + λx 3 λ x2 + x 3 Funkcija je homogena stupnja α = 3 2. Primjer 35 Za funkciju iz prethodnog primjera odredite Rješenje: Koristimo Eulerov teorem, x 1 f x 1 + x 2 f x 2 + x 3 f x 3. x 1 f x 1 + x 2 f x 2 + x 3 f x 3 = 3 2 f(x 1, x 2, x 3 ). Primjer 36 Zadana je funkcija ukupnog prihoda R(Q 1, Q 2 ) = 25Q 1 0.2 Q 2 0.6 + 4Q 1 Q 2 0.2 gdje su Q 1, Q 2 količine proizvoda 1 i 2. Ako se planira povećanje proizvodnje svakog proizvoda za 10%, za koliko % možemo očekivati povećanje prihoda?
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 27 Rješenje: Odredimo stupanj homogenosti: f(λq 1, λq 2 ) = 25λ 0.2 Q 1 0.2 λ 0.6 Q 2 0.6 + 4λQ 1 λ 0.2 Q 2 0.2 = λ R(Q 1, Q 2 ) Funkcija je homogena stupnja α = 0.8. Imamo Q 1 +10% 1.1Q 1, Q 2 +10% 1.1Q 2, dakle λ = 1.1. Ako smo varijable pomnožili sa λ = 1.1, funkcija se pomnoži sa λ 0.8 = 1.1 0.8 = 1.079... = 107.9...% Možemo očekivati povećanje prihoda za približno 7.8%. 1.7.3 Totalni diferencijal drugog reda Totalni diferencijal drugog reda funkcije z = f(x, y) za koju vrijedi Schwarzov teorem definiramo s: d 2 z = z xx dx 2 + 2z xy dxdy + z yy dy 2 Primjer 37 Odredite totalni diferencijal drugog reda za funkciju z = x 2 + xy 2 2x + 5y = f(x, y). z = x 2 + xy 2 2x + 5y = f(x, y) z x = (y = konst) = 2x + y 2 2 z y = (x = konst) = 2xy + 5 z xx = (y = konst) = (2x + y 2 2) x = 2 z xy = (x = konst) = (2x + y 2 2) y = 2y z yx = (x = konst) = (2xy + 5) x = 2y z yy = (x = konst) = (2xy + 5) y = 2x Totalni diferencijal drugog reda navedene funkcije z = f(x, y) za koju vrijedi prethodni teorem je: d 2 z = z xx dx 2 + 2z xy dxdy + z yy dy 2 = 2dx 2 + 4ydxdy + 2xdy 2 Uz funkciju
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 28 z = f(x, y) vezana je Hesseova matrica (Hessian, oznaka H(x, y)), matrica čiji elementi su parcijalne derivacije 2. reda funkcije z: [ ] zxx z H(x, y) = xy. z yx z yy Budući da je z xy = z yx, riječ o simetričnoj matrici; [ ] [ ] zxx z H(x, y) = xy zxx z = xy. z yx Primjer 38 Odredite Hesseovu matricu za funkciju z = y 2 e x + x 2 y 3 + 5 z yy U prethodnom primjeru vidjeli smo da je z x = y 2 e x + 2xy 3 z xx = y 2 e x + 2y 3 z yx = z xy = 2ye x + 6xy 2 z yy = 2e x + 6x 2 y z xy z yy Dakle, [ ] y H(x, y) = 2 e x + 2y 3 2ye x + 6xy 2 2ye x + 6xy 2 2e x + 6x 2. y 1.8 Lokalni ekstremi funkcija više varijabli Kažemo da funkcija z = f(x, y) ima strogi lokalni maksimum f(a,b) u točki P (a, b) ako je za sve točke T (x, y) različite od P, u nekoj okolini točke P ispunjena nejednakost f(a, b) > f(x, y). Analogno, funkcija z = f(x, y) ima strogi lokalni minimum f(a,b) u točki P (a, b) ako je za sve točke T (x, y) različite od P, u nekoj okolini točke P ispunjena nejednakost f(a, b) < f(x, y). Strogi lokalni maksimum ili minimum funkcije zovemo strogim lokalnim ekstremima te funkcije. Ako umjesto znaka stroge nejednakosti (< ili >) imamo znak nejednakosti ( ili ), govorimo o lokalnim ekstremima funkcije. Analogno se definiraju lokalni ekstremi funkcija triju ili više varijabli. 1.8.1 Algoritam za odredivanje lokalnih ekstrema funkcije dviju varijabli (i) Nadu se stacionarne točke funkcije z = f(x, y), to jest svi uredeni parovi (x 0, y 0 ) D(f) takvi da je gradijent funkcije f jednak nuli, tj. točke (x 0, y 0 )
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 29 za koje je f(x 0, y 0 ) = 0, odnosno f x (x 0, y 0 ) = 0, f y (x 0, y 0 ) = 0. (ii) Nadu se parcijalne derivacije 2. reda z xx, z xy, z yy. (iii) Izračuna se vrijednost parcijalnih derivacija h 11 = z xx (x 0, y 0 ), h 12 = z xy (x 0, y 0 ), h 22 = z yy (x 0, y 0 ) u svakoj stacionarnoj točki. (iv) Formira se Hesseova matrica: [ ] h11 h H = 12 h 12 h 22 i računa vrijednost njene determinante deth = h 11 h 22 h 2 12. Zaključak : (a) Ako je deth > 0, onda funkcija f ima u promatranoj stacionarnoj točki strogi lokalni ekstrem i to: minimum ako je h 11 > 0, odnosno maksimum ako je h 11 < 0. (b) Ako je deth < 0, onda funkcija f nema u promatranoj stacionarnoj točki lokalni ekstrem, nego sedlastu točku, ako je h 11 h 22 h 2 12 < 0. (c) Ako je deth = 0, onda za odluku o postojanju ili ne postojanju lokalnog ekstrema u promatranoj točki valja izvršiti dodatna ispitivanja koja se provode pomoću parcijalnih derivacija višeg reda. Napomena: Korake (iii) i (iv) ponavljamo za svaku stacionarnu točku. Primjer 39 Odredite lokalne ekstreme funkcije z = x 2 + 2xy + 2y 2 4x 14y + 5. Na temelju nužnih uvjeta za postojanje lokalnih ekstrema: z x = 2x + 2y 4 = 0, z y = 2x + 4y 14 = 0
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 30 nalazimo da funkcija ima samo jednu stacionanu točku:(1,3). Da bismo utvrdili ima li u toj točki funkcija lokalni ekstrem, potrebno je ispitati zadovoljava li ona i dovoljne uvjete. Kako je z xx = 2, z xy = 2, z yy = 4, to je vrijednost determinante Hesseove matrice (neovisno o promatranoj točki deth = ( 2) 4 2 2 = 12 < 0, tj. u točki (1,3) funkcija nema lokalni ekstrem. Primjer 40 Odredite lokalne ekstreme funkcije z = 2x 3 + 2y 3 36xy + 430. Na temelju nužnih uvjeta za postojanje lokalnih ekstrema z x = 6x 2 36y = 0, z y = 6y 2 36x = 0 nalazimo da funkcija ima dvije stacionarne točke: (0, 0) i (6, 6). Sada nademo parcijalne derivacije 2. reda: z xx = 12x, z xy = 36, z yy = 12y. Sada je za stacionarnu točku (0, 0): odnosno h 11 = z xx (0, 0) = 0, h 12 = z xy (0, 0) = 36, h 22 = z yy (0, 0) = 0, deth = 0 0 ( 36) 2 < 0, pa navedena funkcija nema lokalni ekstrem u stacionarnoj točki (0, 0). Za stacionarnu točku (6,6) imamo: odnosno h 11 = z xx (6, 6) = 72, h 12 = z xy (6, 6) = 36, h 22 = z yy (6, 6) = 72, deth = 72 72 ( 36) 2 > 0. Budući da je h 11 = 72 > 0, navedena funkcija ima strogi lokalni minimum u stacionarnoj točki (6, 6) i taj minimum iznosi: z min = z(6, 6) = 2 6 3 + 2 6 3 36 6 6 + 430 = 2
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 31 Primjer 41 Poduzeće koje proizvodi dva proizvoda ima sljedeće funkcije potražnje i ukupnih troškova Q 1 = 40 2p 1 p 2, Q 2 = 35 p 1 p 2, T = Q 1 2 + 2Q 2 2 + 10. Odredite maksimalnu dobit D i cijene p 1, p 2 i razine proizvodnje Q 1, Q 2 kod kojih se ona ostvaruje. Rješenje: R = p 1 Q 1 + p 2 Q 2 = 40p 1 + 35p 2 2p1 2 p 2 2, T = 4060 + 6p 1 2 + 3p 2 2 + 8p 1 p 2 30p 1 220p 2, D = R T = 340p 1 + 255p 2 8p 1 2 4p 2 2 10p 1 p 2 4060. Nužni uvjeti ekstrema: D p 1 = 340 16p 1 10p 2 = 0 D p 2 = 255 8p 1 10p 2 = 0 1.8.2 Druga metoda odredivanja lokalnih ekstrema Lolalne ekstreme funkcije dviju varijabli z = f(x,y) možemo odrediti i na sljedeći način: I. (NUŽAN UVJET EKSTREMA): Točke u kojima diferencijabilna funkcija z = f(x, y) može imati ekstrem (stacionarne točke) nalazimo rješavanjem sustava: z x = 0, z y = 0.
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 32 II. (DOVOLJAN UVJET EKSTREMA): Neka je P (a, b) stacionarna točka funkcije z = f(x, y). Tada vrijede sljedeća svojstva: (a) Ako je d 2 f(a, b) < 0 za dx 2 + dy 2 > 0, onda je f(a, b) strogi lokalni maksimum fukcije f u točki (a, b), (b) Ako je d 2 f(a, b) > 0 za dx 2 + dy 2 > 0, onda je f(a, b) strogi lokalni minimum fukcije f u točki (a, b), (c) Ako je d 2 f(a, b) mijenja predznak za različiti izbor dx i dy,ali vrijedi dx 2 + dy 2 > 0, onda f(a, b) nije lokalni maksimum fukcije f u točki (a, b). Navedeni uvjeti su ekvivalentni ovima: Pretpostavimo da vrijedi z x (a, b) = 0, z y (a, b) = 0 i neka je: A = z xx (a, b), B = z xy (a, b), C = z yy (a, b), = A C B 2. Tada vrijede sljedeće tvrdnje: (1) Ako je > 0, onda funkcija ima strogi lokalni eksterm u točki P(a,b) i to: maksimum ako je A < 0 i minimum ako je A > 0. (2) Ako je < 0, onda funkcija nema strogi lokalni eksterm u točki P(a,b). (3) Ako je = 0, onda ne znamo ima li funkcija u točki P(a,b) ekstrem (potrebna su dodatna ispitivanja). Primjer 42 Odredite lokalne ekstreme funkcije z = x 3 + 3xy 15x 12y. Rješenje: Nalazimo parcijalne derivacije prvog reda: Iz sustava dobijemo 4 stacionarne točke: z x = 3x 2 + 3y 2 15, z y = 6xy 12. 3x 2 + 3y 2 15 = 0 6xy 12 = 0 P 1 (1, 2), P 2 (2, 1), P 3 ( 1, 2), P 1 ( 2, 1).
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 33 Nalazimo parcijalne derivacije drugog reda: z xx = 6x, z xy = 6y, z yy = 6x. Računamo = AC B 2 za svaku od dobivenih stacionarnih točaka: (1) Za točku P 1 (1, 2) : A = z xx (P 1 ) = 6 1 = 6, B = z xy (P 1 ) = 6 2 = 12, C = z yy (P 1 ) = 6 1 = 6, = AC B 2 = 6 6 12 2 = 36 144 < 0. Dakle, funkcija nema lokalni ekstrem u P 1. (2) Za točku P 2 (2, 1) : A = z xx (P 1 ) = 6 22 = 12, B = z xy (P 1 ) = 6 1 = 6, C = z yy (P 1 ) = 6 2 = 12, = AC B 2 = 12 12 6 2 = 144 36 < 0. Dakle, funkcija u točki P 2 ima lokalni ekstrem i to minimum jer je A > 0: z min = z(2, 1) = 8 + 6 30 12 = 28, pa u koordinate minimuma m(2, 1, 28).
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 34 (3) Za točku P 3 ( 1, 2) : A = z xx ( 1, 2) = 6 ( 1) = 6, B = z xy ( 1, 2) = 6 ( 2) = 12, C = z yy (P 1 ) = 6 ( 1) = 6, = AC B 2 = ( 6) ( 6) 12 2 = 36 144 < 0. Dakle, funkcija nema lokalni ekstrem u P 3. (4) Za točku P 4 ( 2, 1)je : A = z xx (P 4 ) = 6 ( 2) = 12, B = z xy (P 4 ) = 6 ( 1) = 6, C = z yy (P 4 ) = 6 ( 2) = 12, = AC B 2 = ( 12) ( 12) 6 2 = 144 36 > 0. Dakle, funkcija u točki P 4 ima lokalni ekstrem i to maksimum jer je A < 0: z max = z( 2, 1) = 8 6 + 30 + 12 = 28, pa su koordinate minimuma M( 2, 1, 28). Primjer 43 Pretpostavimo da je u području A analitički oblik funkcije potražnje za nekim proizvodom a u području B p A = x 5 + 100, p B = y 15 + 200, pri čemu je x količina potražnje (u komadima) u području A, y količina potražnje (u komadima) u području B, a p A i p B su jedinične cijene u navedenim područjima izražene u US dolarima. Izračunajte maksimalni ukupni prihod proizvodača u oba razmatrana područja.
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 35 Rješenje: Funkcija ukupnog prihoda je Budući da je R(x, y) = x p A + y p B = x ( x 5 + 100) + y ( y 15 + 200). R x = 2x 5 + 100, R y = 2y 15 + 200, to iz nužnog uvjeta za postojanje lokalnog ekstrema ( R = 0) dobivamo da je stacionarna točka x = 250 (komada), y = 1500 (komada). Kako su elementi Hesseove matrice: a 11 = 2 5, a 12 = 0, a 22 = 2 15 te i deth(250, 1500) = 4 75 > 0 a 11 (250, 1500) = 2 5 < 0 u stacionarnoj točki (250, 1500) funkcija ukupnog prihoda dostiže strogi lokalni maksimum koji iznosi: R max = R(250, 1500) = 162500. 1.9 Optimum funkcija više varijabli Općenito problem optimizacije je problem nalaženja ekstrema zadane funkcije uz neka ograničenja (uvjete) ili bez ograničenja. U ovoj točki razmatramo problem traženja ekstrema funkcije cilja z = f(x, y) uz ograničenje dano u obliku jednadžbe g(x, y) = 0. Ekonomski gledano, taj problem znači da tražimo najbolju raspoloživu alternativu (izraženu jednadžbom g(x, y) = 0) prema naznačenom kriteriju (tj. u skladu sa funkcijom cilja z = f(x, y). Primjerice, ako za funkciju cilja uzmemo funkciju ukupne dobiti poduzeća, onda razmatramo maksimizaciju te funkcije; ako za funkciju cilja izaberemo funkciju ukupnog troška, onda razmatramo minimizaciju te funkcije. U formuliranju problema optimizacije najprije valja opisati funkciju cilja u kojoj
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 36 ovisna varijabla prikazuje objekt maksimizacije ili minimizacije, a skup neovisnih varijabli označuje objekte čije se veličine u ekonomskim jedinicama u problemu mogu izabrati sa stajališta optimizacije. Dakle, ima smisla neovisne veličine tretirati kao varijable izbora. Možemo reći da proces optimizacije predstavlja nalaženje skupa vrijednosti varijabli izbora koji daje željeni ekstrem funkcije cilja. U nastavku ćemo izložiti dvije metode za traženje optimuma ako je funkcija cilja funkcija dviju varijabli, a ograničenje dano u obliku jednadžbe. Dakle, razmotrit ćemo sljedeći problem: max f(x, y) ili min f(x, y) uz ograničenje g(x, y) = 0. 1.9.1 Metoda supstitucije Iz ograničenja g(x, y) = 0 jedna se varijabla izrazi kao funkcija druge varijable i uvrsti (supstituira) u funkciju cilja. Na taj način funkcija cilja postaje funkcija jedne varijable i traži se ekstrem te funkcije. Ako smo iz g(x, y) = 0 izrazili varijablu y kao funkciju od x, uspjeli smo iz ograničenja definirati funkciju y = y(x), pa je sada potrebno odrediti ili max h(x)=max f(x, y(x)) ili min h(x)=min f(x, y(x)). Ako smo iz g(x, y) = 0 izrazili varijablu x kao funkciju od y, uspjeli smo iz ograničenja definirati funkciju x = x(y), pa je sada potrebno odrediti ili max h(y)=max f(x(y), y) ili min h(y)=min f(x(y), y). Primjer 44 Odredite optimum funkcije z = xy uz uvjet x 2 + y 2 = 2. Iz uvjeta x 2 + y 2 = 2 slijedi da je y(x) = 2 x 2. Uvrstimo li sada y u funkciju cilja z = xy, ona postaje funkcija jedne varijable: z(x) = x 2 x 2. Nužan uvjet za postojanje ekstrema funkcije jedne varijable jest da je prva derivacija jednaka nuli. Dakle, iz dz(x) dx = 2 2x2 2 x 2 slijedi da su kandidati za ekstrem funkcije z(x) = x 2 x 2 : x 1 = 1, x 2 = 1. Kako je y(x) = 2 x 2, to su pripadne vrijednosti varijable y: y 1 = 1, y 2 = 1.
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 37 Dakle, polazna funkcija cilja z = xy ima 4 kandidata za optimum: ( 1, 1), ( 1, 1), (1, 1), (1, 1). Koristeći se dovoljnim uvjetom za lokalni ekstrem funkcije jedne varijable i budući da je druga derivacija z (x) = 4x 2 x 2 (2 2x 2 2x ) 2 x 2 (2 x 2 ), 2 x 2 nalazimo za navedene stacionarne točke: ( 1, 1), y(x) = 2 x 2 = 1 : z ( 1, 1) = 4 < 0, ( 1, 1), y(x) = 2 x 2 = 1 : z ( 1, 1) = 4 > 0, (1, 1), y(x) = 2 x 2 = 1 : z (1, 1) = 4 > 0, (1, 1), y(x) = 2 x 2 = 1 : z (1, 1) = 4 < 0. Dakle, funkcija z(x, y) = xy ima dva stroga lokalna minimuma i dva lokalna maksimuma m 1 ( 1, 1, 1), m 2 (1, 1, 1) M 1 ( 1, 1, 1), M 2 (1, 1, 1). 1.9.2 Metoda Lagrangeovog množitelja (multiplikatora) Metoda Lagrangeovog množitelja sastoji se u uključivanju ograničenja u funkciju cilja sa jednim neodredenim ponderom (kojeg nazivamo Lagrangeov množitelj). Dakle, definira se Lagrangeova funkcija L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y), pri čemu ograničenje mora biti pisano u implicitnom obliku.lagrangeova funkcija predstavlja superpoziciju funkcije cilja i ograničenja, pri čemu nije odreden ponder λ kojim ograničenje ulazi u Lagrangeovu funkciju. Zbog toga možemo taj ponder tretirati kao novu varijablu, što znači da je Lagrangeova funkcija funkcija triju varijabli:x, y, λ. Dakle, početni problem traženja najboljeg rješenja (po danom kriteriju u skupu vrijednosti varijabli izbora) sveli
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 38 smo na ekvivalentni problem traženja ekstrema bez ograničenja ali funkcije koja ima jednu neovisnu varijablu više nego polazna funkcija cilja. U načelu se tada traže stacionarne točke Lagrangeove funkcije, a iz prirode problema zaključuje se o kojem je ekstremu riječ.naravno, može se primijeniti poopćenje izloženog algoritma za traženje lokalnih ekstrema funkcije više varijabli. Kao što smo već vidjeli, nužan uvjet za postojanje lokalnog ekstrema jest da je L = 0, odnosno stacionarne točke su rjesenje sustava L x (x, y, λ) = f x (x, y) + λg x (x, y) = 0 L y (x, y, λ) = f y (x, y) + λg y (x, y) = 0 L λ (x, y, λ) = g(x, y) = 0 s tri nepoznanice x, y i λ iz kojeg je općenito moguće odrediti te nepoznanice. Dakle, umjesto Lagrangeove funkcije L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y), možemo promatrati Lagrangeove funkciju F (x, y) = f(x, y) + λ g(x, y). Funkcije L i F razlikuju u tome što se F tretira kao funkcija dviju varijabli x i y a L se tretira kao funkcija triju varijabli x y i λ. Nužan uvjet ekstrema svodi se na rješavanje sustava od tri jednadžbe F x = z x + λg x = 0 F y = z y + λg y = 0 g(x, y) = 0 s s tri nepoznanice x, y i λ iz kojeg je općenito moguće odrediti te nepoznanice.primijetimo da je posljednja jednadžba upravo ograničenje iz polaznog problema. Postoji li uvjetni ekstrem i njegov karakter odredujemo na temelju predznaka diferencijala 2. reda Lagrangeovu funkciju F (x, y) = f(x, y) + λ g(x, y) :
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 39 uz uvjet da je d 2 L = F xx dx 2 + ff xy dxdy + F yy dy 2 dx 2 + dy 2 > 0, tj. ne mogu biti istodono i dx i dy jednaki nuli. Funkcija f(x, y) ima uvjetni maksimum ako je d 2 F < 0 a uvjetni minimum ako je d 2 F > 0. Specijalno, ako je determinanta Hesseove matrice za funkciju F (x, y) u stacionarnoj točki pozitivna, onda je u toj točki uvjetni maksimum ako je F xx < 0 a uvjetni minimum ako je F xx > 0. Analogno ćemo naći uvjetni ekstrem funkcije s tri li više varijabli ako postoji jedna ili še funkcija ograničenja (jednadžbi veze-broj jednadžbi veze mora biti mannji od broja varijabli). U tom slučaju uvodimo toliko neodredenih faktora u Lagrangeovu funkciju koliko ima jednadžbi veze. 1.9.3 Uvjetni ekstrem Uvjetni ekstrem funkcije z = f(x, y) je maksimum ili minimum te funkcije, dostignut uz neka ogranienja, koja su zadana u obliku jednadžbi li nejednadžbi. Ako je ograničenje zadano u obliku jednadžbe g(x, y) = 0 i ako je funkcija g(x, y) = 0 derivabilna, tada formiramo Lagrangeovu funkciju: L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y), gdje je λ neodreden konstantan faktor, te tražimo ekstreme te pomoćne funkcije Primjer 45 Odredite ekstreme funkcije z = 6 4x 3y = f(x, y) uz uvjet da varijable x i y zadovoljavaju jednadžbu x 2 + y 2 = 1. z = 6 4x 3y, x 2 + y 2 = 1 x 2 + y 2 1 = 0 g(x, y) = x 2 + y 2 1 Lagrangeova funcija: L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y) = 6 4x 3y + λ(x 2 + y 2 1) L x = 4 + 2λx, L y = 3 + 2λy, L λ = x 2 + y 2 1 Rješavamo sustav L x = 0, L y = 0, L λ = 0 : 4 2λx = 0 λ = 2 x 3 +2λy = 0 λ = 3 2y x 2 +y 2 1 = 0 Rješenje sustava: λ 1 = 5, x 2 1 = 4, y 5 1 = 3; λ 5 2 = 5, x 2 1 = 4, y 5 1 = 3 5 L xx = 2λ, L xy = 0, L yy = 2λ
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 40 Za λ 1 = 5 : L 2 xx = 2 5 4 = 4, L 2 5 xy = 0, L yy = 2 5 točku ( 4, 3 ) Hesseova matrica je 5 5 [ ] 4 0 H = 0 6 3 2 5 = 6 Za stacionarnu odnosno deth = 24 > 0. Budući da je h 11 = 4 > 0, navedena funkcija ima uvjetni minimum u stacionarnoj točki ( 4, 3 ) i taj minimum iznosi: 5 5 z min = z ( 4 5, 3 ) 4 = 6 4 5 5 3 3 5 = 1 Za stacionarnu točku ( 4, 3 ) Hesseova matrica je 5 5 [ ] 4 0 H = 0 6 odnosno deth = 24 > 0. Budući da je h 11 = 4 < 0, navedena funkcija ima uvjetni maksimum u stacionarnoj točki ( 4, 3 ) i taj minimum iznosi: 5 5 z max = z ( 4 5, 3 5 ) ( 4) ( 3) = 6 4 3 = 11 5 5 Za stacionarnu točku ( 4, 3 ) Hesseova matrica je 5 5 [ ] 4 0 H = 0 6 odnosno deth = 24 > 0. Budući da je h 11 = 4 > 0, navedena funkcija ima uvjetni minimum u stacionarnoj točki ( 4, 3 ) i taj minimum iznosi: 5 5 z min = z ( 4 5, 3 ) 4 = 6 4 5 5 3 3 5 = 1
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 41 Primjer 46 Odredite ekstreme funkcije z = x 2 + y 2 = f(x, y) uz uvjet da varijable x i y zadovoljavaju jednadžbu x + y 2 = 0. f(x, y) = x 2 + y 2, g(x, y) = x + y 2 Lagrangeova funcija: L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y) = x 2 + y 2 + λ(x + y 2) L x = 2x + λ, L y = 2y + λ, L λ = x + y 2 Rješavamo sustav L x = 0, L y = 0, L λ = 0 : 2x +λ = 0 λ = 2x 2y +λ = 0 λ = 2y x +y 2 = 0 Rješenje sustava: λ = 2, x = 1, y = 1 L xx = 2, L xy = 0, L yy = 2 Za stacionarnu točku (1, 1) Hesseova matrica je [ ] 2 0 H = 0 2 odnosno deth = 4 > 0. Budući da je h 11 = 2 > 0, navedena funkcija ima uvjetni minimum u stacionarnoj točki (1, 1) i taj minimum iznosi: z min = 1 2 + 1 2 = 2 Primjer 47 Odredite ekstreme funkcije z = 12 x 2 y 2 = f(x, y) uz uvjet da varijable x i y zadovoljavaju jednadžbu xy = 4. Rjeenje: M 1 (2, 2, 4), M 2 ( 2, 2, 4). Primjer 48 Dana je funkcija troškova nekog poduzeča koje proizvodi dva proizvoda: T = 10Q 1 + 20Q 2 + 10. 1. Izračunajte fiksne troškove. 2. Odredite funkciju graničnih troškova u odnosu na Q 1. 3. Odredite funkciju graničnih troškova u odnosu na Q 2.
POGLAVLJE 1. DIFERENCIJALNI RAČUN 42 1. Fiksni troškovi: T (0, 0) = 10. 2. T Q1 = T Q 1 = 10. Interpretacija: Povećanje količine prvog proizvoda za jednu jedinicu uzrokuje povećanje troškova za približno 10 jedinica. 3. T Q2 = T Q 2 = 20. Interpretacija: Povećanje količine drugog proizvoda za jednu jedinicu uzrokuje povećanje troškova za približno 20 jedinica.