Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011.
Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:, - definirati monotonost funkcije i povezati sa prvom derivacijom, - iskazati nužan i dovoljan uvjet za postojanje ekstrema, - definirati konkavnost i konveksnost funkcije i povezati sa drugom derivacijom, - iskazati nužan i dovoljan uvjet za postojanje točke infleksije.
Ishodi učenja - vježbe Na kraju pripadnih vježbi moći ćete: - odrediti intervale monotonosti, - izračunati ekstreme funkcije, - odrediti intervale konveksnosti i konkavnosti, - izračunati točke infleksije funkcije.
1. Monotonost funkcije Neka je funkcija derivabilna na intervalu. Tada vrijedi: 1. funkcija je strogo rastuća na intervalu ako i samo ako je za svaki ; 2. funkcija je strogo padajuća na intervalu ako i samo ako je za svaki ; 3. ako je za svaki, tada je funkcija rastuća na intervalu ; 4. ako je za svaki, tada je funkcija padajuća na intervalu.
2. Ekstremi funkcija Razlikujemo lokalne i globalne ekstreme. Za funkciju f : D f R f kažemo da u točki c I ima: lokalni maksimum ako postoji δ>0 takav da ( x I) x c <δ f(x) f(c) lokalni minimum ako postoji δ>0 takav da ( x I) x c <δ f(x) f(c) strogi lokalni maksimum ako postoji δ>0 takav da ( x I ) 0< x c <δ f(x)<f(c) strogi lokalni minimum ako postoji δ>0 takav da ( x I) 0< x c <δ f(x)>f(c). Najveći od svih lokalnih maksimuma nazivamo globalnim maksimumom; najmanji od svih lokalnih minimuma nazivamo globalnim minimumom.
3. Ekstremi funkcije (Nužan uvjet za ekstrem) Ako funkcija f ima lokalni ekstrem u točki c I i ako je derivabilna u točki c, tada je f (c)= 0. Točka c, za koju je f (c)=0 zove se stacionarna točka. Tangenta u stacionarnoj točki (c, f(c)) paralelna je s osi Ox. Dovoljni uvjeti za ekstrem (Prvi dovoljan uvjet za ekstrem) Ako pri prolazu kroz stacionarnu točku c derivacija neprekidne funkcije f mijenja predznak, tada je u točki c strogi ekstrem i to: - Ako se predznak mijenja od pozitivnog u negativni, u c je strogi lokalni maksimum. - Ako se predznak mijenja od negativnog u pozitivni, u c je strogi lokalni minimum. (Drugi dovoljan uvjet za ekstrem) Neka je y=f(x) derivabilna funkcija u intervalu (a,b) i neka je c (a,b) stacionarna točka. - Ako je f (c)<0, tada je c točka strogog lokalnog maksimuma funkcije; - Ako je f (c)>0, točka c je točka strogog lokalnog minimuma funkcije y=f(x).
3. Konkavnost i konveksnost Konkavnost i konveksnost funkcije mogu se opisati jednostavnim geometrijskim svojstvom: - Funkcija je strogo konveksna na intervalu I ako se njezin graf nalazi iznad tangente u proizvoljno odabranoj točki tog intervala. - Funkcija je strogo kokavna na intervalu I ako se njezin graf nalazi ispod tangente u proizvoljno odabranoj točki tog intervala Ako se ne radi o strogoj konkavnosti (strogoj konveksnosti) moguće je da se na dijelu intervala graf funkcije poklopi s tangentom. Ovo geometrijsko svojstvo možemo opisati drugom derivacijom funkcije u promatranoj točki c iz intervala I. Neka je je u svim točkama intervala I funkcija f dva puta derivabilna. - Ako je ( x I ) f "(x)>0, funkcija je na tom intervalu strogo konveksna. - Ako je ( x I ) f "(x)<0, funkcija je na tom intervalu strogo konkavna.
4. Točka infleksije Točka (c, f(c)) zove se točka infleksije grafa funkcije f ako postoji broj δ takav da je f strogo konveksna na intervalu (c δ, c)i strogo konkavna na intervalu (c, c+δ) ili obratno. (Nužan uvjet za infleksiju) Ako je (c, f(c)) točka infleksije grafa funkcije f i ako je f "(x) neprekidna funkcija u okolini točke c, tada je f "(c)=0. Dovoljni uvjeti za infleksiju (Prvi dovoljan uvjet za infleksiju) Neka je f neprekidna funkcija u okolini točke c. Ako je f (c)=0 i ako f (x) ima u okolinama (c δ, c) i (c, c+δ) suprotan predznak, tada je točka (c, f(c)) točka infleksije. (Drugi dovoljan uvjet za infleksiju) Neka je y=f(x) barem triput derivabilna funkcija u intervalu (a,b) i neka je uc (a,b) f (c)=0. Ako je tada je c točka infleksije funkcije y=f(x).