( pol funkcije), horizontalna ili kosa.

Transcript

1 4. ANALIZA TOKA FUNKCIJE, EKSTREMI 4. Opci pojmovi Nultocke funkcije - su tocke u kojima je funkcija jednak nula. Za razlomljenu racionalnu funkciju, je kada je brojnik nula. Polovi funkcije - su tocke u kojima je nazivnik razlomljene funkcije jednak nula. U tim tockama funkcija ima vertikalne pravce, okomite na os i dodiruju krivuju funkcije u beskonacnosti. Asimptota - je prvac koji se u beskonacnosti priblizava krivulji a moze biti vertikalna ( pol funkcije), horizontalna ili kosa. Horizontalna asimptota je pravac koji ima jednadzbu a: za f a lim. Vertikalna asimptota je pravac koji ima jednadzbu b: za funkciju f odnosno u inverznom obliku za g b b lim lim g Kosa asimptota je pravac koji ima jednadzbu k+ l : za f : k lim l lim f k Tocka infleksije - je tocka u kojoj funkcija mijenja zakrivljenost iz konkavnosti u konveksnost (ili obratno) ( ) Ako je f Nije definirano sto se f ( ) Kriticni broj - je broj, koji pripada domeni funkcije i za koji je f ili je nedefinirana. Uz predpostavku da f postoji, i da postoji i f tada: Ako je Funkcija ima relativni maimum u tocki. Ako je Funkcija ima relativni minimum u tocki. Funkcija ima apsolutni maimum u tocki zbiva sa funkcijom u tocki. f < f > f f. ako za sve vrijednosti od u intervalu I vrijedi: Funkcija ima apsolutni minimum u tocki ako za sve vrijednosti od u intervalu I vrijedi: f f. Ako funkcija ima, potrebno je definirati sto se desava u tocki : izracunamo :ako je funkcija ima tocku infleksije u izracunamo IV ako je racunamo derivaciju i uvrstimo. ( IV ) ( IV ) : ako je funkcija ima u toj tocki ekstrem. ( IV ) ( IV ) za <, maksimum, za >, minimum. ( IV ) ( V ) ako je moramo nastaviti derivirati i naci. Analiza toka kunkcije

2 ( III ) ( V ) ( VII ) U tocki za koju su derivcije neparnog reda,, razlicite od nule, funkcoija ima tocku infleksije. Tok funkcije i njene derivacije: Ako funkcija ima pozitivnu prvu derivaciju u, funkcija prolazi tom tockom rastuci. Ako funkcija ima negativnu prvu derivaciju u, funkcija prolazi tom padajuci. Ako funkcija ima prvu derivaciju u, u toj tocki je tangenta paralelna sa osi. U toj tocki funkcija ima ili ekstrem ili tocku infleksije. Ako je funkcija u nekom intervalu konveksna (oblik gljive), njena druga derivacija u negativna. Ako je funkcija u nekom intervalu konkavna (oblik slova U), njena druga derivacija u pozitivna. Funkcija ima u tocku infleksije, ako je u toj tocki druga derivacija nula. je je 4. Asimptote i polovi funkcije. Odredi asimptote zadane funkcije:. Jednadzba horizontalne asimptote, paralelne sa osi : a a lim a asimptota je os Jednadzba vertikalne asimptote, paralelne sa osi : b b lim izrazimo funkciju po : lim lim b asimptota je os. Odredi asimptote zadane razlomljene racionalne funkcije:. ( )( + ) ( ) Funkcija ima polove-vertikalne asimptote, u tockama za koje je nazivnik nula: + Funkcija ima nultocke za f, kada je brojnik nula: Analiza toka kunkcije

3 . Funkcija ima horizntalne asimptote, u tockama za koje vrijedi: a lim lim lim horizontalna asimptota je os Odredi asimptote razlomljene racionalne funkcije: +. Funkcija ima polove-vertikalne asimptote, u tockama za koje je nazivnik nula: ( ).Funkcija ima nultocke za f, kada je brojnik nula: Funkcija ima horizontalne asimptote, u tockama za koje vrijedi: a lim lim lim lim Horizontalna asimptota je pravac paralelan sa osi na. 4. Izracunaj jednadzbe kosih asimptota za funkciju: + + Koristeci gornja tumacenja imamo: F + + f + + : Analiza toka kunkcije

4 odnosno: f + Jednadzba kose asimptote je jednadzba pravca: k+ l Koeficijent smjera: k lim lim k Odsjecak na osi : l lim f k + l lim + + lim + Trazena asimptota ima jednadzbu: + 5. Izracunaj kose asimptote funkcije U funkciji se zamijeni sa k+ l i prva dva clana, sa najvisom potencijom se izjednace sa nulom: k+ l k+ l + k+ l k l k kl l k + k + kl + l + l ( k + k) k( k + ) k k kl+ l kl + l kl+ l l l+ l l Trazene jednadzbe jesu: k+ l k + l + k + l + Analiza toka kunkcije 4

5 4. Ekstremi i graficki prikaz toka funkcije U nastavku je dan postupak za graficko prikazivanje toka funkcije: Izracunaj i ako treba i. Koristi za ispitivanje kriticnih brojeva, kada je ili nedefiniran. Ispitaj moguce relativ ekstreme. Koristi za ispitivanje intervala u kojem funkcija raste ili pada. > < Koristi za ispitivanje da li je funkcija konkavna > ili konveksna <. Ispitaj za tocke infleksije, kada je. Izracunaj vertikalne asimptote. Za razlomljenu funkciju, to je, kada je nazivnik nula. Izracunaj horizontalne asimptote. Za lim f, je asimptota. Ispitaj limes za ±. + Ispitaj ponasanje funkcije u beskonacnosti: lim f i lim f +. Izracunaj nul tocke i polove funkcije, presjecista sa osi,. Ispitaj ponasanje funkcije ako se priblizava nekoj tocki sad s lijeva sad s desna, primjer je. Ispitaj ponasanje prve derivacije, njeno priblizavanje ka + ili, sa obje strane, primjer. Ispitaj i izracunaj kose asimptote k+ l tako da je lim f k+ l. Limes je za ±. ne 4 6. Ispitaj tok funkcije + 7 Izracunajmo derivacije: 4 + ; Izjednacimo i ispitajmo za moguce tocke infleksije: Za < smatramo pozitivnim krivulja je konkavna, gleda za gore, (oblik slova U) Za < < ( ) 6( ) 6( ) 4 4,negativna, krivulja je konveksna, gleda za dolje, (oblik gljive). Za > 6 6 4, pozitivna, krivulja je konkavna, gleda za gore, (oblik slova U). Analiza toka kunkcije 5

6 Tocke infleksije su za. Uvrstimo te vrijednosti u funkciju: 4 f + 7 f 7 4 Prva tocka infleksije: A(, ) f Druga tocka infleksije: B(, 6) +. Ispitaj funkciju 5 Izracunajmo derivacije: Izjednacimo : Funkcija ima ekstreme u ;. Izracunajmo : 4 < maksimum ( ) 4 > minimum Izracunajmo koordinate ekstrema: uvrstimo vrijednosti za u funkciju: f ma, 6.67 f min, 4 Za < < Funkcija raste do maksimuma. Krivulja prve derivacije je pozitivna, parabola. Za Funkcija ima maksimum.. < Za Funkcija pada do tocke infleksije, kada mijenja smjer iz konveksnog u konkavni oblik. Za Funkcija ima minimum,, >. Za < < + Funkcija raste >. Izracunajmo tocku infleksije i njene koordinate: ( ) Za U toj tocki je tocka infleksije: neparna derivacija je razlicita od nule. Uvrstimo u funkciju i dobiti cemo koordinatu, tocke infleksije: Analiza toka kunkcije 6

7 () () () Analiziraj funkciju Izracunajmo derivacije: ( ) 4 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 4) ( 4) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( )( + 4) ( 4) ( ) ( ) ( ) Izracunajmo ekstreme: kada je brojnik jednak nula: Ispitajmo : Za < relativni maksimum u ( ) 8 Za > relativni minimum u 4 4 ( 4 ) 4 Tocke ekstrema: f ( ) ; A(, ) f ( 4) 8; B 4,8 4 Funkcija nema tocke infleksije, jer je uvijek. Ispitajmo asimptote: Verikalna asimptota ili pol funkcije: Kosa asimptota: k+ l k+ l k k l l k + l k l k k + l k l k Jednadzba kose asimptote: + Analiza toka kunkcije 7

8 9. Analiziraj funkciju e sin Izracunajmo derivacije: sin e cos ( sin ) cos cos ( cos sin ) sin sin sin e e e sin Izracunajmo ekstreme: e cos e sin + sin e je uvijek pozitivna, nema nul tocke. cos π + kπ π, π tocke ekstrema funkcije Uvrstimo to u drugu derivaciju: π sin π π π e cos sin e e < za, maksimum π sin π π π e cos sin e + > za, minimum e π π sin sin Koordinate ekstrema: π e e.78.. π e e.7. e. Analiziraj funkciju ( )( 6) Analiza toka kunkcije 8 Polovi funkcije su za: ; 6 ; 6

9 Izracunajmo derivacije: ( ) ( 6) ( 4) 4 8 ( ) ( 6) ( ) ( 6) 4 8 ( ) ( 6) ( ) ( 6) Izracunajmo ekstreme: ( ) 6 ( ) ( 6) ( )( 6) ekstrem je u tocki A,, B, Ispitajmo vrijednost druge derivacije: ( ) > za imamominimum < za imamo maksimum ( ) ( 6) ( ) ( 6) Realno rjesenje kubne jednadzbe je za Pogledajmo za tocke infleksije: Funkcija ima tada vrijedost f To su ujedno koordinate tocke infleksije Pogledajmo za horizontalne asimptote: a lim lim lim lim ( )( 6) Jednadzba horizontalne asimptote: Prikaz funkcije je na donjoj slici u nastavku Analiza toka kunkcije 9

10 5. Izracunaj ekstreme funkcije Izracunajmo derivacije: 5 6,, 4 Ekstrem je za: 5 Vrsta ekstrema: 6 4,,,4 Funkcija ima ekstrem samo za. Ispitajmo sa trecom derivacijom: ( V) ( V) ( V) ( IV ) ( IV ) 8 8 nastavimo: 6 6 nastavimo: 6 6 imamo ekstrem: Derivacija koja je razlicita od nule, je neparna i funkcija ima tocku infleksije za. Funkcijska vrijednost je: f A, 5. Izracunaj koja je naj veca duzina grede, koja se moze prenijeti kroz uski hodnik, uz uvjet, da je kretanje grede paralelno sa podom (vidi sliku). Trazena duzina je minimum funkcije kojoj je izrazena duzina: secα AB BC a secα cscα AB bcscα b dd D BC + AB a secα + bcscα odredimo minimum funkcije dα dd ( a secα + bcscα) asecαtanα bcscαcotα dα Analiza toka kunkcije BC a

11 dd sinα cosα sinα cosα sinα cosα a b a b a b d α cosα cosα sinα sinα cos α sin α cos α sin α dd b b b asin α bcos α tan α tan α α tan dα a a a Minimum funkcije dobijemo iz druge derivacije : d D asin α ( bcos α ) asin αcosα + ccos αsinα dα asin αcosα + bcos αsinα b α α α α α a > jer su vrijednosto za i konacne i realne (dimenzije hodnika) i nas minimum asin cos bcos sin tan α b a je dokazan. Izracinajmo duzinu grede: D a secα + bcscα b a a + b + a + tan α a a a + b csc α... tanα b b b b a + b secα + tan α +.. a a >. a + b a + b a + b ab + ba D a secα + bcscα a + b D a + b a a + b a b a b Analiza toka kunkcije

12 . Izracunaj dimenzije drvene grede pravokutnog presjeka, koja se moze isjeci iz balvana promjera 6 cm tako, da njena cvrstoca bude najveca. Cvrstoca grede C jednaka je produktu sirine s i kvadrata visine v C ksv dijagonala grede jednaka je promjeru balvana: d 6 s + v d 6 56 s + v v 56 s ( 56 ) ( 56 ) ( 56 ) C ksv C ks s k s s f C s k s s dc Izracunajmo derivaciju: k 56s s k 56 s ds dc ds k 56 ( 56 s ) s 56 za k : s 9.4cm d 6 56 s + v v cm Trazena greda ima dimenzije 9.4cm.cm 4. Potrebno je napraviti reklamu povrsine 8 m. Rubovi na vrhu i dnu trebaju biti siroki.75 m a rubovi sa lijeva i desna,.5 m. Izracunaj dimenzije plakata tako, da povrsina korisnog dijela (unutar okvira) bude maksimalna. 8 Oznacimo jednu dimenziju sa mjerenu u m. Druga dimenzija je. 8 Korisna povrsina iznosi: P ( ) dp Derivacija ( ) ( ) d + ( ) dp dp d P d d d < funkcija ima maksimum za. 8 Korisna povrsina ima dimenzije: Analiza toka kunkcije

13 5. U kompaniji je utvrdjeno, da mogu prodati komada svojih proizvoda na mjesec ako bi cijena bila 5 kn po komadu. Isto tako, ako smanje cijenu za. kn, za tih komada, prodati ce komada vise. Izracunaj uz te uvjete, najveci dohodak i jedinicnu cijenu proizvoda koji stvara taj dohodak. Broj proizvoda preko oznacimo sa. Ukupno je prodano + komada. Cijena proizvoda za broj prodanih komada preko, tj., sa snizenom cijenom od. kn izrazimo kao: JC Dohodak D, dobijemo mnozenjem broja prodanih proizvoda i jedinicne cijene: D sada racunamo ekstrem: dd d izjednacili smo Za < > Za > < Za imamo maksimum funkcije. To znaci, da najveci dohodak ce se ostvariti ako se proda komada proizvoda preko, tj. komada. D kn ukupni dohodak ( ) JC 5. 5 kn jedinicna cijena proizvoda 6. Brod A, plovi brzinom cvorova (milja/sat) na istok i u 9: sati udaljen je od broda B, 65 milja. Brod B, plovi na jug, brzinom 5 cvorova. Izracunaj njihovu najkracu medjusobnu udaljenost vrijeme, (sati) kada ce se to desiti. Oznacimo pocetne polozaje brodova sa A i B, u 9: sati. ( ) Nakon t sati, brod B, proci ce 5 t milja a brod A, 65 t milja. ( t) +( t ) Razraljina izmedju brodova iznosi: R 5 65 dr Derivacija: Dt R() t R 5t 5 + ( )( 65 t) dt dr 5t 65 + t 5t 65 izjednacimo sa nulom: dt R ( 5t) + ( 65 t) Analiza toka kunkcije

14 dr 5t 65 t minimum funkcije dt ( 5t) + ( 65 t) D ( t ) D milja t trazeno vrijeme je sata nakon 9: sati, tj. u : sati. 7. Jakost svjetlosti je obrnuto proporcionalna kvadratu udaljenosti promatrane tocke od izvora svjetlosti. Promatrajmo dva izvora javne rasvjete udaljenih m, i sa ugradjenim izvorima svjetlosti od 8 odnosno jedinice jakosti svjetlosti. Izracunaj na kojoj udaljenosti je tocka, sa naj manjom osvjetljenoscu. Osvjetljenost svake tocke jednak je zbroju osvjetljenosti koja daju oba izvora. Oznacimo jakost svjetlosti sa I a sa, udaljenost od izvora sa armaturom od 8 svjetlosnih 8 jedinica. Postavimo jednadzbu: I + Trazimo minimum funkcije I. ( ) ( ) di d ( ) ( ) ( ) 6 + ( ) 4 di 6 + di izjednacimo sa nulom: d d odnosno: 6 8 ili: m Tocka sa naj manjom osvjetljeno 7. Izracunaj visinu stosca, koji ima maksimalni volumen a upisan je u kugli radijusa 8cm. Oznacimo radijus stosca sa r a visinu sa h. Iz slike izvodimo: r + h 8 8 r + h 6h r 6h h Analiza toka kunkcije 4

15 Volumen stosca : V ( 6h h ) h ( 6h h ) πh ( 6h h ) r π h derivirajmo: dv π π dv ( h h ) nadjimo ekstrem: dh dh π π ( h h ) h( h) h ; h dv π Ispitajmo vrstu ekstrema: ( 6h) dh dv π π 6 ( 96) < daje maksimum funkcije. dh Stozac visine h cm, ce imati naj veci volumen. π 8. Potrebno je izgraditi cjevovod od pumpne stanice do potrosaca na drugoj strani rijeke. Troskovi izgradnje cjevovoda polaganjem u zemlju iznose 5, kn/m a polaganje na dnu rijeke, 8 kn/m. Izracunaj na kojoj udaljenosti od pumpne stanice treba skrenuti trasu cjevovoda u rijeku, u smjeru potrosaca tako, da troskovi budu minimalni. Sirina rijeke je.5 km a vertikalna udaljenost stanice i potrosaca je km. Duzina trase u vodi: l +.5 l +.5 Troskovi iznose: Kopneni dio: T 5 ; Dio kroz rijeku: T 8l dt d ( ) 5 + k Ukupni troskovi: T Tk + Tr dt d 4 4 ( ) ( ) ( + 6.5) 4 r ( ) 8 ( + 6.5) Analiza toka kunkcije 5

16 dt d 5 ( ) sredimo i potom ( ) dt 4 Nadjimo ekstrem: 5 ( ) d odnosno : T 65.6 Na ~8 km od pumpne stanice, trasu treba skrenuti u rijeku u smjeru potrosaca Analiza toka kunkcije 6

17 9. Troskovi dnevne proizvodnje radio aparata jedne firme, dana je jednadzbom Cijena jednog radio aparata je 5 kn. Izracunaj: 4 a) Dnevnu proizodnju radio aparata, koja ce donijeti najveci dohodak. b) Dokazi da su troskovi proizvodnje jednog aparata, jednaki minimumu funkcije. a) Dnevni dohodak jednak je ukupnoj proizvodnji minus troskovi proizvodnje. D nadjimo ekstrem: 4 dd d 4 4 dd 5 kriticni broj je. d d D Ispitajmo vrstu ekstrema: 5 maksimum <. d To je ujedno i apsolutni maksimum, jer je jedini kriticni broj. Potrebno je proizvesti komada radio aparata za postici naj veci prihod. b) Cijena proizvodnje jednog radio aparata : C ra f f 5 C ra izracunajmo ekstrem: 4 dcra 5 dc 5 d 4 d 4 4 ra Cra d Cra d > za, minimum funkcije. d 4 d. Izracunaj dimenzije pravokutnika za maksimalnom povrsinom, koji se moze upisati u dio omedjenim sa parabolom 4 p i vertikalnim pravcem a. Vrh pravokutnika ima kordinate V,. Povrsina pravokutnika je: 4p 4p p 4p P ( a ) a a dp dp Trazimo ekstrem: a a odnosno: a d p p d p 4ap 4 Dimenzije pravokutnika su: ap Analiza toka kunkcije 7

18 4ap 4ap ap 4 4 ap a a a 4p p 4ap a a a a Potvrda, da imamo maksimum funkcije: p d P 6 a d maksimum p < p p Analiza toka kunkcije 8