Funkcije
Pojam unkcije Funkcija, preslikavanje, pridruživanje, transormacija Primjer.: a) Odredite površinu kvadrata kojem je stranica 5cm. b) Odredite površinu pravokutnika sa stranicama duljine 7 i 5. Deinicija Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu svakomelementu Xpridruženjedanisamojedanelementy Y kažemo da je na skupu X zadana unkcija sa vrijednostima u Y. Funkciju označavamo slovima:, g, h, Simbolički zapisujemo: : y y ( ) ( )
X područje deinicije ili domena unkcije Y područje vrijednosti ili kodomenaunkcije argument ili nezavisna varijabla, X y - vrijednost unkcije ili zavisna varijabla, y Y Funkcija je određena s: domenom, oznaka D kodomenom, oznaka K zakonom pridruživanja Primjer: ( ) : R R,
Funkcija je određena s: domenom, oznaka D kodomenom, oznaka K zakonom pridruživanja Tri slučaja kada domena nije skup R: A B razlomak ( ) B 0, D R \ { B 0 } razlomak korijen ( ) A A 0, D A 0 logaritam ( ) log A A > 0, D A > 0
Primjer: Odredite domenu unkcije: + ( ) + Primjer: Odredite domenu unkcije: ( )( 3 ) ( ) + Primjer3: Odredite domenu unkcije: ( ) ln 3 4 +
. Odredite domene unkcija: a) ( ) 9 D( ) (, 3] [ 3 + ), b) c) d) ( ) + 3 3 ( ) + 3 + D( ) D( ) ( ) + D( ) + +, (, 3] [ 3 + ), e) ( ) 5 D( ) (, 5] [ 3,4] [ 5 + ), ) 5 4 ( ) log 3 + D, { 4}
Načini zadavanja unkcija: analitički tablično graički
Analitički prikaz unkcije Ukoliko je unkcija zadana pomoću jedne ili nekoliko ormula, kažemo da je unkcija zadana analitički. Postoje tri osnovna oblika analitičkog prikaza: eksplicitni oblik y ( ) implicitni oblik F parametarski oblik (, y) 0 ( t) y ψ ( t) ϕ, Primjer: Mobilni operater Gulikoža obračunava prepaid tariu XYZ tako da uz pretplatu od 45,00kn obračunava svaku minutu po 0,99kn.
Tablični prikaz unkcije Ukoliko je unkcija zadana pomoću tablice, kažemo da je unkcija zadana tablično. Primjer: 4 6 8 y 46,98 48,96 50,94 5,9 Za argumente koji nisu dani u tablici vrijednost unkcije određuje se interpolacijom ili ekstrapolacijom.
Graički prikaz unkcije Gra unkcije : X Y je skup točaka ravnine: Primjer: G {(, ( ) ) X } :
Injekcija, surjekcija, bijekcija Funkcija : X Y je injekcija ako vrijedi: X, ( ) ( ), ( ) Y ( ) Funkcija : X Y je surjekcijaako je X, tj. ako vrijedi: y Y X : y Funkcija : X Y je bijekcija ako je i injekcija i surjekcija. Primjer: Ispitajte bijektivnost unkcije ( ) : R R,
Jednakost unkcija Neka su i dvije unkcije. Ako vrijedi: a)x W, imaju iste domene b)y Z, imaju iste kodomene c) : X Y g : W Z ( ) g ( ), X kažemo da su unkcije i g jednake. Primjer: ( ),, 0 < 0 g ( )
Monotonost i ograničenost unkcija Funkcija je rastuća ako vrijedi: : X R ( ) ( ), X <, Funkcija : X R je strogo rastuća ako vrijedi: <, ( ) ( ) X <, Funkcija : X R je padajuća ako vrijedi:, ( ) ( ) X <, Funkcija : X Rje strogo padajuća ako vrijedi: >, ( ) ( ) X <, Funkciju nazivamo monotonomako je rastuća ili padajuća, odnosno strogomonotonomako je strogo rastuća ili strogo padajuća.
Primjer: ( ) : R R +, Napomena: Svaka monotona unkcija je injektivna. Funkcija : X Rje ograničenaako postoje brojevi m i M za koje vrijedi: m M, X Primjer: ( ) : R R +, [,, ] ( ) sin( ) : R
Parne i neparne unkcije Funkcija je parna akko vrijedi: : X R ( ) ( ), X Gra parne unkcije simetričan je s obzirom na ordinatu. Primjer: ( ) : R R +, ( ) : R R +, +
Parne i neparne unkcije : X R ( ) ( ), X Funkcija je neparna akko vrijedi: Gra neparne unkcije simetričan je s obzirom na ishodište. Primjer: 3 ( ) : R R, +
. Odredite parnost unkcija: a) ( ) 4 + 6 P b) ( ) NP c) ( ) NPNN d) ( ) + 5 3 5 NP e) ( ) sin NP
Periodičnost Za unkcija : X Rkažemo da je periodičnaako postoji broj T > 0 takav da vrijedi: ( ) ( + T ), X Broj T naziva se periodunkcije. Najmanji pozitivni broj Tnaziva se temeljni period. Primjer: ( ) sin
Inverzna unkcija Deinicija: Neka je : X Y injektivnaunkcija. Svakom elementu y X pridružimo jednoznačno element X koji se s preslikava u yi označavamo ga. Ovako deiniranu unkciju : X ( y) nazivamo inverznom unkcijom unkcije. Napomena: Svaka bijektivna unkcija je inverzna. ( ) ( ) X Gra inverzneunkcije G - simetričan je grau unkcije G s obzirom na pravac y.
Primjer: ( ) ln ( ) e
Primjer: ( ) log +. Odredite inverznu unkciju: a) ( ) + ( ) b) ( 3) ( ) log ( ) + + 3 c) ( ) 0 ( ) ( ) ln ln 00 +
: X Y Slaganje unkcija Neka su i g : Y Zuz uvjet Y Y. Funkcija koja svakome elementu Xpridružuje element g( ( ) ) Z zove se kompozicija unkcija i g i označava se ( g o )( ) g( ( ) ). Primjer: Neka su ( ) i g( ) + 3. Odredite: o g, go
3. Odredite kompoziciju g te dobivenoj kompoziciji odredite domenu, parnost i inverz: ) (, ) ( + g ( ) + ( ) ) ( :. + g Rj o ] [ +,, : g ( ) D o NPNN ( ) 4 ) ( + g o
4. Odredite kompoziciju g te dobivenoj kompoziciji odredite domenu, parnost i inverz: ( ) ln 3 + 4 3, g ( ) 3 + 3 o g ( ) ln + 3 8 D o g ( ) NPNN : 8, 3 8e + e ( o g ) ( ) 3
Osnovne elementarne unkcije su: a) polinomi, b) racionalne unkcije, c) eksponencijalne unkcije, d) logaritamske unkcije, e) opća potencija, ) trigonometrijske unkcije, g) ciklometrijske unkcije.
Polinomi P n n n ( ) a + n an + L + a + a0 n i 0 a i i
Najjednostavnije i najvažnije unkcije. Ostale unkcije mogu se aproksimirati polinomima. Primjer: e +! +! + 3 3! +... sin 3 3! + 5 5! 7 7! +... Kriterij jednakosti: Dva polinoma po varijabli identično su jednaka akko su koeicijenti jednako visokih potencija međusobno jednaki. Primjer: P() ++ Q()(+)
Polinomi. stupnja (linearna unkcija) Linearna unkcija je unkcija oblika: ()a+ b, a 0. Svojstva: a) D R b) gra je pravac c) a koeicijent smjera: a > 0 unkcija raste a < 0 unkcija pada d) b odsječak na ordinati b e) nultočka: 0 a Primjer: () +
Kvadratna unkcija je unkcija oblika: ()a + b+ c, a 0. Svojstva: a) D R Polinomi. stupnja (kvadratna unkcija) b) a vodeći koe., b linearni koe., c slobodni koe. c) gra je parabola d) nultočke: e) tjeme b ± b 4ac a 4ac b, 4a ) diskriminanta: D b 4ac Primjer: () - + + T, b a
Racionalne unkcije Pn Funkcije oblika: ( ) ( ), Qm ( ) 0 Q ( ), pri čemu su P n i Q m polinomi m n-tog, odnosno m-tog stupnja koji nemaju zajedničkih nultočaka. Ukoliko je stupanj polinoma: m > n prava racionalna unkcija m n možemo podijeliti polinom P n s polinomom Q m i dobijemo unkciju: Tl ( ) ( ) Sk +, Qn ( ) 0 Q Svojstva: Domena: skup Rosim nultočakapolinoma nazivnika Kodomena: skup R, m ( ) ( ) 0 Nultočke polinoma u brojniku su ujedno i nultočke racionalne unkcije Q m P n ( ) 0 Primjer: Odredite domenu i nultočke: ( ) 5 0 + 4
Primjer: Odredite domenu i nultočke: ( ) 5 0 + 4
Primjer: Odredite domenu i nultočke: ( ) 5 0 + 4
Eksponencijalna unkcija Neka je a > 0, a, realan broj. Funkcija () a, R, naziva se eksponencijalna unkcija. Za eksponencijalnu unkciju vrijedi: a) D R b) K R + c) neomeđena, ni parna ni neparna, strogo monotona d) svojstva: a ( ) a a a 0 ako ako a je je a a 0 a > < a a + unkcija < raste unkcija pada
gra eksponencijalne unkcije
Logaritamska unkcija Funkcija () log a, R +, a>0,a ;naziva se logaritamska unkcija i to je inverzna unkcija eksponencijalne unkcije. Za logaritamsku unkciju vrijedi: a) D R + b) K R c) strogo monotone, ni parne ni neparne i neomeđene, d) svojstva: log( log log log log ako ako a a a y y r ( ) je je ) a 0 > < log log log log r a log a a < b + a log unkcija log log b y y unkcija raste pada
Dekadski logaritam je logaritam s bazom 0, () log 0 log Prirodni logaritam je logaritam s bazom e: () log e ln gra logaritamske unkcije:
Opća potencija Funkcija oblika c ln c cln e e, > 0, c naziva se opća potencija. Svojstva : Domena i kodomenar + ( ) ( ) R n ( ) Z ( ), > 0, n Z n Gra unkcija:, > 0, n i njezinog inverzna
Trigonometrijske unkcije sinus kosinus tangens kotangens
Trigonometrijska kružnica Trigonometrijska kružnica je kružnica sa središtem u ishodištu i radijusom. Početna točka odgovara točki (, 0). Puni krug ima π radijana.
Graički prikaz sinusa i kosinusa sinusoida kosinusoida
tangensoida
kotangensoida