Poglavlje 3. Kompleksni i frekventni lik izlaza idealnog odabiraqa

Poglavlje 3 Kompleksni i frekventni lik izlaza idealnog odabiraqa 3

3 Poglavlje 3. Kompleksni i frekventni lik izlaza idealnog odabiraqa 3. Laplasova i Furijeova transformacija izlaznog signala idealnog odabiraqa Definicija 3. Leva Laplasova transformacija izlaznog signala idealnog odabiraqa naziva se kompleksni lik izlaznog signala idealnog odabiraqa i oznaqava sa X (s) : X (s) = L {x (t)} = + x (t) e st dt Napomena 3. s = σ + jω, σ R, ω R, j =. Digresija 3.3 Zaxto leva Laplasova transformacija?! Vidi: Milojkovi, B., Gruji, Lj.: Automatsko upravljanje, str.6, 63. Definicija 3.4 Furijeova transformacija izlaznog signala idealnog odabiraqa naziva se frekventni lik izlaznog signala idealnog odabiraqa i oznaqava sa X (jω) : X (jω) = F {x (t)} = x (t) e jωt dt = Napomena 3.5 x (t) = x (t) =, t <. x (t) e jωt dt. 3.. Prvi oblik kompleksnog i frekventnog lika izlaznog signala idealnog odabiraqa Posmatra se idealni odabiraq prikazan na slici 3.. x( t) x*( t) Slika 3.: Idealni odabiraq Za dobijanje prvog oblika kompleksnog i frekventnog lika izlaznog signala idealnog odabiraqa prikazanog na slici 3. koristi se sledei oblik tog izlaznog signala: x (t) = x (t) δ (t k ). Prema definiciji primenjuje se Laplasova transformacija: k= { } { } X (s) = L {x (t)} = L x (t) δ (t k ) = L x (k ) δ (t k ). k= k=

3.. Laplasova i Furijeova transformacija 33 Koristei osobinu linearnosti Laplasove transformacije dobija se: X (s) = x (k ) L {δ (t k )} = x (k ) e k s. k= Konaqno, prvi oblik kompleksnog lika je: X (s) = k= x (k ) e k s. k= Formalnim zamenjivanjem s = jω u zadnjem izrazu dobija se prvi oblik frekventnog lika izlaznog signala idealnog odabiraqa: X (jω) = x (k ) e jk ω. k= 3.. Drugi oblik kompleksnog i frekventnog lika izlaznog signala idealnog odabiraqa Za dobijanje drugog oblika kompleksnog i frekventnog lika izlaznog signala idealnog odabiraqa koristi se sledei oblik tog izlaznog signala: x (t) = x (t) δ (t). Po definiciji primenjuje se Laplasova transformacija: X (s) = L {x (t)} = L {x (t) δ (t)} = x (t) δ (t) e st dt. Digresija 3.6 a) Laplasova transformacija funkcije δ (t) i b) Prikaz funkcije x (t) preko njenog p kompleksnog lika X (p) a) Laplasova transformacija funkcije δ (t) : L {δ (t)} = δ (t) e st dt = [ ] δ (t k ) e st dt = k= [ ] = δ (t k ) e st dt = δ (t k ) e st dt = k= k= = e k s = + e s + e s + + e k s + = e s k= Poslednji rezultat je suma geometrijskog reda ali samo pod uslovom da je njegov koliqnik q = e s takav da je: e s e < = (σ+jω) < = e σ e jω = e σ < =

34 Poglavlje 3. Kompleksni i frekventni lik izlaza idealnog odabiraqa e σ < = eσ >. Poxto je po svojoj prirodi pozitivno sledi da je funkcija e σ > za σ > odnosno Re s > xto je isti zakljuqak. Na slici 3. je prikazana funkcija e σ. e Slika 3.: Funkcija e σ Napomena 3.7 Suma geometrijskog niza Suma geometrijskog reda a + aq + aq + + aq n = a (qn ) q a + aq + aq + + aq k + = a q. q je koliqnik u jednom sluqaju geometriskog niza a u drugom sluqaju geometrijskog reda. b) Prikaz funkcije x (t) preko njenog p kompleksnog lika X (p) X (p) = L {x (t)} = + x (t) = L {X (p)} = πj Povratak na glavni tok izvođenja! = x (t) e pt dt = c+j c j X (p) e pt dp. X (s) = x (t) δ (t) e st dt = c+j X (p) e pt dp δ (t) e st dt = πj c j

3.. Laplasova i Furijeova transformacija 35 = πj = πj c+j c j = πj c+j c j X (p) c+j c j X (p) δ (t) e (s p)t dt dp = X (p) L {δ (t)} dp = e (s p) dp = X (s) Imajui u vidu digresiju 3.6, uslov da u zadnjem izrazu Laplasova transformacija funkcije δ (t) ima zatvoreni oblik je: e (s p) Re (s p) > = Re s Re p > = Re s > Re p! Dalje transformacije poslednjeg izraza zasnivaju se na Koxijevoj teoremi qija primena se bazira na pretpostavci 3.9. Napomena 3.8 Koxijeva teorema o ostacima glasi Γ f (z) dz = πi k ν= Res f (z) z=z ν. Pretpostavka 3.9 Kompleksni lik X (p) vremenski neprekidnog signala x (t) je realna racionalna funkcija kompleksne promenljive p tako da je:. stepen polinoma u imeniocu vei od stepena polinoma u brojiocu za ili vixe,. realni delovi svih polova funkcije X (p) su negativni. Posledica 3. Kao posledice pretpostavke 3.9 pojavljuje se sledee: funkcija x (t) je ograniqena i x (t) za t (vidi: Milojkovi, B., Gruji, Lj. Automatsko upravljanje, strana 75), mogue je razdvojiti polove funkcija X (p) i u ravni p pravom σ = c <, c ]γ, + [, γ apscisa konvergencije, kao xto je e (s p) pokazano na slici 3.3, vrednost integranda zadnjeg izraza se ne menja duж polukruga u beskonaqnosti prema slici 3.3. Digresija 3. Određivanje polova funkcije e (s p) e (s p) = = e (s p) =

36 Poglavlje 3. Kompleksni i frekventni lik izlaza idealnog odabiraqa j p - ravan c< j j j j j j R=+ Slika 3.3: Polovi funkcije e (s p) Neka je: w = s p = σ + jω = e σ e jω = = e σ (cos ω + j sin ω ) = = e σ cos ω + je σ sin ω = = e σ sin ω =, e σ, vidi sliku 6.4 e > Slika 3.4: Funkcija e σ sin ω = = ω = kπ, k =, ±, ±, ±3, e σ cos kπ = = e σ ( ) k = (3.) e σ = = σ = = σ = (3.)

3.. Laplasova i Furijeova transformacija 37 Na osnovu izraza 3. sledi: k = n, n =, ±, ±, ±3, = ω = nπ, n =, ±, ±, ±3, Na osnovu izraza 3. i 3.3 sledi: ω = kπ, k =, ±, ±, ±3, = ω = kπ (3.3) w = s p = σ = + jω = j kπ, k =, ±, ±, ±3, = p k = s j kπ, k =, ±, ±, ±3, p k = s + j kπ, k =, ±, ±, ±3, Povratak na glavni tok izvođenja! X (s) = πj = πj = πj Γ Γ c+j c j = { jπ Res πj = πj X (p) dp = e (s p) X (p) dp = e (s p) X (p) dp = e (s p) [ X (p) { jπ X (p) Res ] } = e (s p) Γ [ ] } e (s p) Digresija 3. Određivanje rezidijuma u polovima funkcije e (s p) Res e (s p) = e (s p) = = p=p k ( cos kπ = d dt p=s+j kπ Γ [ ] e (s p) p=p k = + jsin kπ = e jkπ = ) = =

38 Poglavlje 3. Kompleksni i frekventni lik izlaza idealnog odabiraqa Povratak na glavni tok izvođenja! = ( X (s) = ) + k= + k= X X (p) p=p kπ k =s+j s + jk π = L {x (t)} = L + {x (t)} =ω U sluqaju da deo. pretpostavke 3.9 nije ispunjen (stepen polinoma u imeniocu je vei od stepena polinoma u brojiocu za a ne za ili vixe) onda je: L + {x (t)} = x ( +) + L {x (t)} = = = x ( +) + + k= X s + jk π. =ω Drugi oblik frekventnog lika izlaznog signala idealnog odabiraqa se dobija formalnom zamenom s sa jω u prethodnom izrazu: X (jω) = + k= X [j (ω + kω )]. 3..3 rei oblik kompleksnog i frekventnog lika izlaznog signala idealnog odabiraqa X (s) = πj c+j c j X (p) e (s p) dp Za dobijanje treeg oblika kompleksnog i frekventnog lika izlaznog signala idealnog odabiraqa, za razliku od drugog oblika, integracija se vrxi duж konture koja je prikazana na slici 3.5. X (s) = X (p) dp = πj e (s p) Γ { = jπ [ ] } Res X (p) = πj e (s p) Γ { = jπ } X (p) Res = πj e (s p) Γ

3.. Periodiqnost komplesnog lika X (s) 39 Polovi funkcije X( p) j p - ravan R=+ c< j j j j j j Slika 3.5: Poloжaj polova funkcije X (p) i konture integracije Γ. Digresija 3.3 Određivanje rezidijuma funkcije X (p) u njenim polovima za sluqaj kada su ti polovi jednostruki X (p) = q (p) f (p) = Res X (p) p=p = q (p) i f (p) p=p i Napomena 3.4 p i = i ti pol funkcije X (p). Povratak na glavni tok izvođenja! X (s) = X (jω) = n i= n i= q (p i ) f (p i ) e p i e s q (p i ) f (p i ) e p i e jω. 3. Periodiqnost komplesnog lika X (s) Stav 3.5 Kompleksni lik X (s) je periodiqna funkcija u odnosu na imaginarni deo kompleksne promenljive s s periodom jednakom uqestanosti odabiranja ω : X (s) = X (s + jνω ), ν Z Napomena 3.6 Z je skup celih brojeva.

4 Poglavlje 3. Kompleksni i frekventni lik izlaza idealnog odabiraqa Dokaz. Neka je s proizvoljan kompleksni broj a ν proizvoljan ceo broj X (s + jνω ) = k= X (s + jνω + jkω ) = = X [s + j (k + ν) ω ] k= Uvodi se smena m = k + ν, k = m, k + = m + = X (s + jνω ) = X (s + jmω ) = X (s) m= Posledica 3.7 Posledica periodiqnosti kompleksnog lika X (s) ako je s (s ) nula (pol) funkcije X (s) onda je s = s + jkω (s = s + jkω ) takođe nula (pol) funkcije X (s), funkcija X (s) ili nema nulu (pol) ili ima beskonaqno mnogo nula (polova) sa istim realnim delom. Navedeno u posledici 3.7 je ilustrovano na slici 3.6. Otvoreni osnovni pojas je definisan sa: { P = s : s = σ + jω, σ R, ω < ω < ω } a zatvoreni osnovni pojas je definisan sa: { P = s : s = σ + jω, σ R, ω ω ω }. Dovoljno je odrediti sve nule i polove od X (s) u osnovnom pojasu P a ostale nule i polovi se dobijaju translacijom onih iz P za jνω, ν Z. 3.3 Periodiqnost frekventnog lika X (jω) Periodiqnost frekventnog lika izlaznog signala idealnog odabiraqa je ve implicitno istaknuta u ranijim odeljcima. 3.3. Pojava vixih uqestanosti u frekventnom liku X (jω) Neka ulazna veliqina idealnog odabiraqa ima frekventni lik X (jω) tako da je njen frekventni spektar kao xto je prikazano na slici 3.7. Imajui u vidu drugi oblik frekventnog lika izlaznog signala idealnog odabiraqa i njegovu periodiqnost, frekventni spektar signala x (t) je prikazan na slici 3.8.

3.3. Periodiqnost frekventnog lika X (jω) 4 j j j P j s * s s s s * P s * j s j P j Slika 3.6: Ilustracija periodiqnosti funkcije X (s) X( j) - Slika 3.7: Frekventni spektar ulaznog signala idealnog odabiraqa

4 Poglavlje 3. Kompleksni i frekventni lik izlaza idealnog odabiraqa X* ( j) - 3 - - 3 Slika 3.8: x (t) Frekventni spektar izlaznog signala idealnog odabiraqa Oqigledno da ovaj poslednji frekventni spektar sadrжi i vixe uqestanosti od uqestanosti odabiranja tj.: X (jω) za ω > ω. Odabiraq stvara vixe uqestanosti. pojavljuju vixi harmonici. U izlaznom signalu x (t) se 3.3. Nisko propusni priguxivaq (filter) Definicija 3.8 Nisko propusni priguxivaq (filter) je sistem koji ulazni periodiqni signal sa uqestanoxu do određene uqestanosti ω p propuxta bez promene amplitude a sa uqestanostima preko uqestanosti ω p potpuno priguxuje. Karakteristika niskopropusnog priguxivaqa (filtra) je prikazana na slici 3.9. A( ) - p p Slika 3.9: Karakteristika idealnog niskopropusnog priguxivaqa (filtra) Neka izlazni signal idealnog odabiraqa ulazi u niskopropusni priguxivaq kao xto pokazuje strukturni dijagram na slici 3.. a) U sluqaju kada je frekventni spektar signala x (t) kao xto je prikazano na slici 3.7, signal x p (t) ima jednak frekventni spektar sa signalom x (t), xto znaqi da se na osnovu signala x p (t) moжe verno reprodukovati signal x (t).

3.3. Periodiqnost frekventnog lika X (jω) 43 x( t) x *( t) X ( t) p Nisko propusni prigu{iva~ sa p = (propusni opseg je - ) Slika 3.: Redna veza idealnog odabiraqa i niskopropusnog filtra X( j) - * * - Slika 3.: Frekventni spektar ulaznog signala idealnog odabiraqa pri ω > ω b) Neka je frekventni spektar signala x (t) prikazan na slici 3.. ada su frekventni spektri signala x (t) i x p (t) prikazani na slikama 3. i 3.3, sledstveno. X* ( j) - - Slika 3.: Frekventni spektar izlaznog signala idealnog odabiraqa za sluqaj ω > ω Oqigledno frekventni spektar signala x (t) i x p (t) se razlikuju xto znaqi da se na osnovu signala x p (t) ne moжe reprodukovati signal x (t) jer se gubi mnogo informacija prilikom vremenske diskretizacije. Za reprodukciju ulaznog signala x (t) neophodno je da: ω ω } > ω < ω, ω je takvo da X (jω) = ω ω. 3.3.3 Xenonova teorema (eorema odabiranja) eorema 3.9 Ako frekventni spektar X (jω) ulaznog signala x (t) idealnog odabiraqa ne sadrжi uqestanosti vee po modulu od jedne polovine

44 Poglavlje 3. Kompleksni i frekventni lik izlaza idealnog odabiraqa X ( j) p - Slika 3.3: Frekventni spektar izlaznog signala nisko propusnog filtre x p (t) za sluqaj ω > ω uqestanosti odabiranja tj. X (jω) =, ω ω onda je taj signal potpuno određen izlaznim signalom tog odabiraqa. Svaki diskretan sistem treba da bude takav da je ispunjena Xenonova teorema, i ona je osnov za određivanje periode odabiranja. 3.3.4 Fiziqko tumaqenje Xenonove teoreme kroz primer Neka je ulazni signal idealnog odabiraqa x (t) = e αt h (t), α ], + [ = X (jω) = ω + α. Ulazni signal idealnog odabiraqa x (t) je prikazan na slici 3.4 x( t) t Slika 3.4: Funkcija x (t) = e αt h (t) Frekventni spektar ulaznog signala idealnog odabiraqa u ovom primeru je prikzan na slici 3.5 Oqigledno da frekventni spektar ovog ulaznog signala, kao xto je sluqaj i sa ostalim fiziqki ostvarljivim signalima, nema ograniqenu uqestanost ω.

3.3. Periodiqnost frekventnog lika X (jω) 45 X( j) Slika 3.5: Frekventni spektar ulaznog signala idealnog odabiraqa sa slike 3.4 Zbog toga se ovaj signal ne moжe taqno reprodukovati na osnovu izlaza iz idealnog odabiraqa. Da bi se postigla xto vea taqnost reprodukovanja potrebno je birati xto vee ω tako da: X (jω), ω ω. a) Sluqaj relativno velike uqestanosti odabiranja. Na slici 3.6 prikazan je frekventni spektar ulaznog signala za sluqaj relativno velike uqestanosti odabiranja. X( j) - Slika 3.6: Frekventni spektar ulaznog signala za sluqaj relativno velike uqestanosti odabiranja U tom sluqaju na slici 3.7 je prikazan ulazni signal a na slici 3.8 izlazni signal idealnog odabiraqa. b) Sluqaj male uqestanosti odabiranja Na slici 3.9 prikazan je frekventni spektar ulaznog signala za sluqaj male uqestanosti odabiranja. Na slici 3. prikazan je frekventni spektar izlaznog signala za sluqaj male uqestanosti odabiranja.

46 Poglavlje 3. Kompleksni i frekventni lik izlaza idealnog odabiraqa x( t) t Slika 3.7: Ulazni signal idealnog odabiraqa za sluqaj velike uqestanosti odabiranja x*( t) t Slika 3.8: Izlazni signal idealnog odabiraqa za sluqaj velike uqestanosti odabiranja X( j) - Slika 3.9: Frekventni spektar ulaznog signala idealnog odabiraqa za sluqaj male uqestanosti odabiranja

3.4. Jednostrukoprenosni i vixestrukoprenosni diskretni sistemi 47 X* ( j) - - Slika 3.: Frekventni spekatar izlaznog signala za sluqaj male uqestanosti odabiranja Na slici 3. prikazan je frekventni spektar izlaznog signala niskopropusnog filtera za sluqaj male uqestanosti odabiranja. X ( j) p - Slika 3.: Frekventni spektar izlaznog signala niskopropusnog filtra za sluqaj male uqestanosti odabiranja Na slici 3. ponovo se prikazuje ulazni signal idealnog odabiraqa radi lakxeg sagledavanja koji signal treba rekonstruisati na osnovu odgovarajueg vremenski diskretnog signala. Na slici 3.3 prikazan je odgovarajui vremenski diskretizovani signal. Napomena 3. Mala uqestanost odabiranja znaqi veliku periodu odabiranja. Na slici 3.4 prikazan je vremenski diskretizovan signal zajedno sa moguim rekonstruisanim signalom naznaqenim crtkasto.

48 Poglavlje 3. Kompleksni i frekventni lik izlaza idealnog odabiraqa x( t) e -t h( t) t Slika 3.: Ulazni signal idealnog odabiraqa x*( t) t Slika 3.3: Izlazni signal idealnog odabiraqa za sluqaj male uqestanosti odabiranja x*( t) t Slika 3.4: Vremenski diskretizovan signal sa crtkasto naznaqenim mogue rekonstruisanim signalom

3.4. JEDNOSRUKO PRENOSNI I VIXESRUKO PRENOSNI DISKRENI SISEMI49 3.4 Jednostruko prenosni i vixestruko prenosni diskretni sistemi Definicija 3. Sistem S je jednostruko prenosni sistem ima samo jednu ulaznu i jednu izlaznu veliqinu. Dijagram jednostruko prenosnog sistema je prikazan na slici 3.5. x u S x i Slika 3.5: Dijagram jednostruko prenosnog sistema S Definicija 3. Sistem S je vixestruko prenosni sistem je ukupan broj njegovih ulaznih i izlaznih veliqina vei od. Dijagram vixestruko prenosnog sistema je prikazan na slici 3.6. u x u x um S.. i x i x in Slika 3.6: Dijagram vixestruko prenosntog sistema S Posle uvođenja vektora ulaza x u = x u x u. x um i vektora izlaza x i = x i x i.. x in dijagram vixestruko prenosnog sistema je prikazan na slici 3.7. x u S x i Slika 3.7: Dijagram vixestruko prenosnog sistema S Dijagram diskretnog vixestruko prenosnog sistema je prikazan na slici 3.8

5 Poglavlje 3. Kompleksni i frekventni lik izlaza idealnog odabiraqa x u x u * S x i Slika 3.8: Dijagram diskretnog vixestruko prenosnog sistema S gde je x u = x u x u. x um.