5.1 Njutnov zakon univerzalne gravitacije

Glava 5 Gravitacija Orbitiranje prirodnih i veštačkih satelita oko Zemlje, planeta oko Sunca, fenomen plime i oseke, prenos toplote strujanjem fluida, visoka temperatura unutrašnjosti planeta, padanje tela koje ispustimo ka površini Zemlje,..., je prouzrokovano postojanjem sile gravitacije. Naime, naša stopala moraju da se napregnu da izdrže našu težinu - silu gravitacije kojom Zemlja deluje na naše telo. Vertikalan pad jabuke sa drveta je izazvan delovanjem iste sile. Mesec orbitira oko Zemlje pošto gravitaciona sila stvara centripetalnu silu na rastojanju od stotina miliona metara (rastojanje Zemlje i Meseca iznosi 3 10 8 m). Ista sila održava kretanja planeta oko Sunca, zvezda u galaksiji, i galaksija u klasteru galaksija. U tom smislu je reč o univerzalnoj sili koja deluje na isti način na veoma različitim rastojanjima i opisuje ogromana broj pojava. Moderna fizika opisuje gravitaciju Ajnštajnovom opštom teorijom relativnosti, mada mnogo prostiji Njutnov zakon univerzalne gravitacije nudi, mnogo prostije ali ipak dovoljno tačno, opisivanje istih fenomena. 5.1 Njutnov zakon univerzalne gravitacije Njutn je prvi precizno opisao gravitacionu silu i pokazao da ona može da objasni i padanje tela na Zemlju i kretanja nebeskih tela. On nije medjutim prvi koji je došao na takvu ideju. Njegov prethodnik je Galilej koji je tvrdio upravo to: da i jedna i druga vrsta kretanja imaju isti uzrok. Neki od Njutnovih savremenika, Robert Huk, Kristofer Vren i Edmund Halej, su takodje činili napore i imali odredjene rezultate u razumevanju gravitacije. Njutn je medjutim prvi koji je došao do tačnog matematičkog obrasca i iskoristio ga 127

128 GLAVA 5. GRAVITACIJA da pokaže da su putanje nebeskih tela oblika takozvanih konusnih preseka: kružnice, elipse, parabole i hiperbole. Ta teorijska predvidjanja predstavljaju veliki trijumf jer je već neko vreme bilo poznato da sateliti, planete i komete imaju baš takve putanje. Niko, medjutim nije znao da objasni mehanizam koji je dovodio do baš takvih putanja a ne nekih drugih. Izraz koji opisuje gravitacionu silu je relativno jednostavan. Ona je uvek privlačna i zavisi samo od masa koje deluju njome i njihovog rastojanja. Taj izraz se naziva Njutnov zakon univerzalne gravitacije i glasi izmedju svaka dva tela u vasioni postoji privlačna sila koja deluje duž prave linije koja ih spaja. Ta sila je direktno proporcionalna proizvodu njihovih masa a obrnuto proporcionalna kvadratu njihovog medjusobnog rastojanja. Za dva tela masa m i M, čiji se centri masa nalaze na Slika 5.1: Gravitaciono privlačenje duž linije koja spaja centre masa bilo koja dva tela. Intenzitet sile je ist za oba tela što je u skladu sa trećim Njutnovim zakonom medjusobnom rastojanju r (slika 5.1), ovaj izraz glasi F = γ mm r 2, (5.1) gde je F intenzitet gravitacione sile, γ je konstanta proporcionalnosti koja se naziva univerzalna gravitaciona konstanta. Ova konstanta se naziva univerzalnom jer ima istu vrednost svuda u univerzumu. Njena vrednost je odredjena eksperimentalno 1 i iznosi 1 Tekst o tome ko je i kada odredio. 11 N m2 γ = 6, 673 10 kg 2

5.1. NJUTNOV ZAKON UNIVERZALNE GRAVITACIJE 129 u SI jedinicama (to znači da, kada mase merimo u kilogramima a rastojanje u metrima, silu ćemo obavezno dobiti u njutnima). Ukoliko je reč o delovanje dva tela čije su mase po 1,000 kg i nalaze se na rastojanju od 1, 000 m, privlačna sila će biti jednaka 6,673 10 11 N. Ova vrednost je izuzetno mala što je u skladu sa svakodnevnim iskustvom. Naime mi ne osećamo delovanje čak ni veoma velikih objekata, kao što su planine, na nas. Kada je reč o težini naših tela na Zemlji, treba imati u vidu da je ona posledica delovanja cele Zemlje, čija je masa znatno veća od mase najvećih planina, na nas. Prisetimo smo da smo ranije naveli da je ubrzanje Zemljine teže, na njenoj površini i blizu nje, jednako 9,80 m/s 2. Kako sada znamo izraz koji opisuje silu koja izaziva to ubrzanje, da vidimo da li na osnovu toga možemo da odredimo teorijski vrednost navedenog ubrzanja. Težina tela mg, je u stvari gravitaciona sila izmedju tela i Zemlje. Ako zamenimo mg u izraz za Njutnov zakon univerzalne gravitacije dobija se mg = γ mm r 2, gde je m masa tela a M masa Zemlje, a r rastojanje do centra Zemlje (zapravo rastojanje centara masa tela i Zemlje). Nakon skraćivanja mase tela m, dobija se jednačina koja odredjuje vrednost ubrzanja g g = γ M r 2. (5.2) Ukoliko zamenimo poznate vrednosti za masu i poluprečnik Zemlje, dobija se ( ) 11 N m2 5, 98 10 24 kg g = 6, 67 10 kg 2 (6, 38 10 6 m) = 9, 80 2 m/s2. To je očekivana vrednost za ubrzanje Zemljine teže a veoma je važna činjenica da ono ne zavisi od mase tela koje se kreće u Zemljinom gravitacionom polju. 2 Njutnov zakon gravitacije, osim što u sebi sadrži Galilejevo tvrdjenje da sva tela padaju sa istim ubrzanjem, ide i korak dalje, objašnjavajući tu činjenicu silom koja izaziva taj pad za koju je utvrdio da je univerzalna i da deluje izmedju svih masivnih tela u vasioni. Pogrešno je misliti da je Zemlja stacionarna (ovde se ne misli na njenu rotaciju oko sopstvene ose i oko Sunca) dok se Mesec vrti oko nje. U stvari, i 2 U ovom izračunavanju g je zanemaren otpor koji vazduh pruža kretanju tela kroz njega kao i male varijacije poluprečnika Zemlje. Takodje postoje efekti koji su posledica rotacije Zemlje usled kojih je g manje na ekvatoru nego na polovima.

130 GLAVA 5. GRAVITACIJA Slika 5.2: Zemlja i Mesec se okrenu približno jednom za mesec dana oko njihovog centra masa Slika 5.3: Putanje centra masa sistema Zemlja-Mesec i same Zemlje oko Sunca (talasasta linija).

5.1. NJUTNOV ZAKON UNIVERZALNE GRAVITACIJE 131 prema Njutnovom zakonu univerzalne gravitacije i u skladu sa zakonom akcije i reakcije, jednakom silom deluje i Mesec na Zemlju i Zemlja na Mesec. Ove sile se razlikuju samo po smeru. U stvari, Mesec i Zemlja učestvuju u rotaciji oko zajedničkog centra masa kao što je to prikazano na slici 5.2. Koliki uticaj ima Mesec na kretanja Zemlje se vidi se i po tome što on svojim delovanjem deformiše eliptičnu putanju Zemlje oko Sunca čineći je talasastom. 5.1.1 Zavisnost ubrzanja Zemljine teže od visine Podsetimo se da smo ranije definisali mg kao težinu tela mase m, pri čemu je g ubrzanje Zemljine teže, odnosno ubrzanje tela koje slobodno pada u njenom gravitacionom polju (odredjeno jednačinom (5.2)). Ukoliko se, medjutim, telo nalazi na visini h iznad površine Zemlje, rastojanje od tela do centra mase Zemlje je r = R + h, tako da će intenzitet gravitacione sile prema (5.1) biti F = γ mm mm = γ r 2 (R + h). 2 Telo koje se nalazi na ovoj visini takodje pada sa nekim ubrzanjem koje se očigledno razlikuje od g odredjenog jednačinom (5.2). Ukoliko ga označimo sa g, izraz za drugi Njutnov zakon, u ovom slučaju, daje mg mm = γ (R + h), 2 što nakon skraćivanja mase tela m za ubrzanje koje tela imaju pri slobodnom padu sa visine h u polju Zemljine teže, daje g M = γ (R + h). (5.3) 2 Iz ove jednačine se vidi da ubrzanje opada sa visinom. Kako je težina tela mg, odavde sledi da će u slučaju kada visina tela h bude jako velika, težina tela biti veoma mala, pa će u nekom graničnom slučaju postati praktično jednaka nuli. 5.1.2 Plima i oseka Plima i oseka koje se javljaju na okeanima i morima su najvidljiviji rezultat delovanja gravitacione sile Meseca na Zemlju. Slika 5.4 predstavlja uprošćeni

132 GLAVA 5. GRAVITACIJA Visina h (km) g (m/s 2 ) 1 000 7,33 2 000 5,68 3 000 4,53 4 000 3,70 5 000 3,08 6 000 2,60 7 000 2,23 8 000 1,93 9 000 1,69 10 000 1,49 50 000 0,13 0 Tabela 5.1: Ubrzanja Zemljine teže za neke visine iznad površine Zemlje. Slika 5.4: Plima i oseka izazvane na Zemlji gravitacionim delovanjem Meseca. prikaz pozicije Meseca u odnosu na plimu koju je izazvao na vodenim masama na Zemlji. Kako voda može da teče, plima se dogadja na strani Zemlje koja je bliža Mesecu, jer je na tom mestu gravitaciono privlačenje od strane Meseca najveće. Poznata je činjenica da se plima pojavljuje i sa druge, dalje, strane Zemlje. Zašto? Odgovor se sastoji u tome da, Mesec privlači Zemlju jače nego vodu koja se nalazi na daljoj strani Zemlje, u odnosu na Mesec, iz prostog razloga jer je Zemlja bliža Mesecu. Iz tog razloga je voda sa strane koja je bliža Mesecu, pomerenja ka njemu, kao što je i Zemlja pomerena bliže od vode koja se nalazi na drugoj, daljoj strani Zemlje. Kako Zemlja rotira oko svoje ose, plima i oseka zadržavaju svoj položaj u odnosu na Mesec. Iz tog razloga se plima i oseka poljavljuju dva puta dnevno.

5.1. NJUTNOV ZAKON UNIVERZALNE GRAVITACIJE 133 Slika 5.5: (a, b) Najviše i (c) najniže plime. Sunce, kao najmasivnije telo u našem planetarnom sistemu, takodje utiče na pojavu plime i oseke, ali je njegov uticaj otprilike jednak polovini uticaja Meseca. Stoga se najveće plime, nazivaju se prolećnim, pojavljuju onda kada se Zemlja, Mesec i Sunce na jednoj liniji. Najniže plime se dogadjaju onda, kada se Sunce nalazi pod pravim uglom u odnosu na lliniju koja spaja položaj Zemlje i Meseca. Plima i oseka nisu pojave koje postoje samo na Zemlji već se dešavaju i u drugim astronomskim sistemima. Najekstremnije su tamo gde je i gravitaciona sila najveća i rapidno se menja, a to je u blizini crnih rupa 3 (slika 5.6). U našoj galaksiji je registrovano nekoliko objekata koji su kandidati za crne rupe. One imaju mase veće od mase Sunca, dok im je dijametar (usled veoma jake gravitacije) tek nekoliko kilometara. Na slici 5.6 je prikazana crna rupa koja se formirala u jednom binarnom sistemu (sistem koji se sastojao od dve zvede). Plimske sile koje stvara crna rupa su tako velike da prosto čupaju materiju sa druge zvezde i usisavaju u crnu rupu. Ta materija se pri tom jako komprimuje i zagreva, i pri tom kreira svetlost i X zrake koji mogu da 3 Crna rupa je objekat čija je gravitacija toliko jaka da sa nje ne može ništa da ode, čak ni svetlost.

134 GLAVA 5. GRAVITACIJA se registruju sa Zemlje. Slika 5.6: Crna rupa koja usisava materiju sa bliske zvezde. 5.2 Keplerovi zakoni Danas stotine veštačkih satelita orbitira oko Zemlje zajedno sa hiljadama komada raznog otpada. Po putanjam sličnog oblika se kreću Mesec oko Zemlje, planete oko Sunca kao i prirodni sateliti ostalih planeta Sunčevog sistema. Asteroidi, meteori i komete se takodje kreću oko Sunca ali po putanjama drugačijeg oblika. Ako bacimo pogled van našeg planetarnog sistema uočićemo ogroman broj zvezda, galaksija, i drugih nebeskih objekata koji orbitiraju jedni oko drugih usled interagovanja gravitacionim silama. Svim tim kretanjima upravlja gravitaciona sila, i uzimajući je u obzir moguće je manje ili više tačno opisati ih. Naravno, kada je reč o sistemima sa više objekata, jednačine postaju komplikovane pa se moraju rešavati uz pomoć kompjutera. Medjutim, za opisivanje orbita odredjene klase sistema, nisu potrebni kompjuteri, i mi ćemo se sada pozabaviti njima. Te orbite imaju sledeće karakteristike: Telo manje mase m orbitira oko tela mnogo veće mase M. Ovo znači da možemo da smatramo telo mase M praktično stacionarnim, odnosno za njega možemo da vežemo inercijalni sistem reference. Ukoliko je orbita zatvorena kriva, telo mase m se naziva satelitom većeg tela. Sistem je izolovan od drugih masivnih tela. Ovo nam dozvoljava da zanemarimo male efekte na putanje koji potiču od tela koja se nalaze van posmatranog sistema.

5.2. KEPLEROVI ZAKONI 135 Slika 5.7: Elipsa je zatvorena kriva kod koje je zbir rastojanja ma koje tačke na njoj od dva fokusa (f 1 i f 2 ) konstantan. Ove uslove zadovoljavaju, sa dovoljno velikom tačnošću, svi Zemljini sateliti (uključujući i prirodni satelit Mesec), tela koja orbitiraju oko Sunca, i sateliti ostalih planeta. Istorijski gledano, prvo su proučavane orbite planeta, za koje je Kepler 4 definisao tri zakona koji u potpunosti opisuju njihovo kretanje. Štaviše ovi zakoni važe za bilo koja tela koja zadovoljavaju navedene uslove, a ne samo za planete Sunčevog sistema. Keplerovi zakoni kretanja planeta glase: Prvi Keplerov zakon. Orbita svake planete oko Sunca je elipsa u čijem jednom fokusu se nalazi Sunce (slika 5.8). 5 Drugi Keplerov zakon. Svaka planeta se kreće tako da, zamišljenja linija koja spaja Sunce i planetu, prebriše jednake površine za jednake intervale vremena (slika 5.9). Treći Keplerov zakon. Odnos kvadrata perioda obilaska ma koje dve planete oko Sunca je jednak odnosu trećih stepena njihovog srednjeg 4 Johannes Kepler (1571-1630), nemački astronom koji je nakon pažljivog studiranja (preko 20 godina) velike količine podataka koje je sakupio danski astronom Tycho Brahe (Tiho Brahe) u vezi kretanja planeta, definisao tri zakona koji ih opisuju. 5 Putanja tela pod delovanjem gravitacione sile može u stvari da bude bilo koji takozvani konusni presek-kružnica, elipsa, parabola, hiperbola, pri čemu je telo veće mase u njegovog žiži, odnosno fokusu. Konusni preseci imaju fokuse, kod kružnice postoji jedan i nalazi se u njenom centru, dok elipsa ima dva. Većina tela u sunčevom sistemu ima eliptične orbite što znači da ne mogu da ga napuste.

136 GLAVA 5. GRAVITACIJA Slika 5.8: Ilustracija prvog Keplerovog zakona. Slika 5.9: Ilustracija drugog Keplerovog zakona. Osenčene oblasti imaju jednaku površinu. Planeti je potrebno jednako vreme da stigne od tačke A do B, od C do D i od E do F. Posledica toga je da se planeta brže kreće kada je bliža telu mase M.

5.3. BESTEŽINSKO STANJE I UTICAJ NA BIO SISTEME 137 rastojanja od Sunca. Jednačina koja izražava ovaj zakon glasi T1 2 T2 2 = r3 1, (5.4) r2 3 gde je T period (vreme obilaska orbite) a r je srednje rastojanje. Napomenimo još jednom da, iako su Keplerovi zakoni formulisani da bi objasnili kretanje planeta oko Sunca, oni važe za kretanje svih tela koja zadovoljavaju napred navedene uslove. Važno je takodje uočiti da Keplerovi zakoni govore o tome šta se dešava a ne zbog čega se to dešava. U tom smislu su Keplerovi zakoni kinematički, dok je Njutnov zakon univerzalne gravitacije, zakon koji je opisana dinamika Sunčevog sistema. 5.3 Bestežinsko stanje i uticaj na bio sisteme U poredjenju sa velikom ekonomskom i naučnom koristi koje imamo od postojanja veštačkih zemljinih satelita, boravak ljudi u kosmosu je zanemarljiv za oko četiri decenije od kako smo uspeli da savladamo zemljinu gravitaciju i otisnemo se u kosmos. Slanje ljudi u kosmos je još uvek veoma skupo a često i rizično. U jednom periodu je čak došlo do zastoja lansiranja ljudskih posada u orbitu oko Zemlje kao posledica dve velike katastrofe koje su se desile američkim šatlovima. U medjuvremenu je narastao interes za ponovno spuštanje na Mesec, a rate lagano i broj zemalja koje su spososbne da obavljaju svemirske letove, tako da se verovatno nalazimo na početku jednog novog perioda u kojem će biti puno novih izazova za čovečanstvo. U ovom trenutku se medjutim može reći da za sada postoji samo jedan vidljiv ekonomski rezon za obavljanje svemirskih letova, a to je - turizam! Naime, već postoje kompanije koje se bave prodajom vremena provedenog u kosmosu, a obavljen je i odredjen broj komercijalnih letova. Krstarenje kosmosom će, prema tome, biti izazov za dovoljno bogate, ali i hrabre. Kosmička bolest Osim što putnici u kosmos, moraju da budu bogati, hrabri, ispostavlja se da moraju da imaju i gvozdeni stomak. Boravak živih bića, koja su se evolucijom dizajnirala da žive na Zemlji gde je g = 9, 80 m/s 2, u uslovima nulte gravitacije (g = 0) je, u najmanju ruku, neugodan. U toku pripreme astronauta

138 GLAVA 5. GRAVITACIJA za prve kosmičke programa pažnja je bila fokusirana da oni budu u perfektnoj fizičkoj kondiciji, ali je ubrzo postalo jasno da to ne sprečava veoma neugodne osećaje u stomaku izazvane slabom gravitacijom. Naše unutrašnje uvo, preko koga inače imamo osećaj za gore i dole u ovoj situaciji ne može da uspostavi uobičajenu orijentaciju. Te kontradiktorne informacije koje dobija naše telo ga dovodi u posebno stanje koja se, po analogiji sa morskom, naziva kosmičkom bolešću. Efekti dugog boravka u kosmosu Postoji niz efekata dužeg boravka u kosmosu, pomenimo samo probleme sa krvotokom, mišićima i kostima. 6 Efekti na mišiće i kosti su slični onima koje imaju stari ljudi i ljudi koji su prinudjeni da, usled neke bolesti, budu vezani duže vreme za krevet. Dobro je poznato da mišići postaju čvršći, odnosno opušteniji, u zavisnosti od toga koliko ih koristimo onosno ne koristimo. Kada je reč o kostima, poznato je da se, stalno jedan deo njihove mase zamenjuje novim materijalom. Balans izmedju gubitka starog materijal kosti i novog materijala koji ga zamenjuje, se remeti u uslovima gravitacije različite od one na koja su naša tela navikla. Ovaj efekat je najizraženiji na kostima donjeg dela tela jer su one i najveće. Istraživanja još uvek nisu dala odgovor na pitanje da li je u uslovima male gravitacije ubrzan proces gubitka starog materijala ili je usporen proces stvaranja novog, 7 što usporava zamenu i održavanja kosti u konstantnom stanju. Takodje se vrše istraživanja i u smeru pokušaja da se ovaj efekat anulira dijetama i/lli lekovima. Druga grupa fizioloških problema se pojavljuje usled redistribucije fluida u telu. Vene i arterije u nogama su, u uslovima na Zemlji uobičajene gravitacije, napregnute na takav način da onemogućavaju gomilanje krvi u njima. Poznat je efekat, da kada sedimo na nogama duže vreme, gubimo osećaj u njima jer smo usled neuobičajenog položaja onemogućili krvne sudove da se kontrahuju na način kako to obično rade. U uslovima bestežinskog stanja, krvni sudovi koj se i dalje kontrahuju na način da sprečavaju gomilanje krvi u nogama, sada usled toga podižu krv ka gornjim delovima tela gde se ona gomila. Trenutna posledica toga je osećaj naduvenosti gornjih delova tela, ali na duže staze ovakva raspodela krvi može da izazove i značajnije zdravstvene 6 Ruski astronauti su, obzirom na mesece koje su provodili na svemirskoj stanici Mir postali specijalisti u treningu za duge boravke u kosmosu. 7 Ili je reč o interferenciji oba faktora.

5.3. BESTEŽINSKO STANJE I UTICAJ NA BIO SISTEME 139 probleme. Naime, uvećana količina krvi u glavi astonauta dovodi do toga da organizam ima utisak da je njena količina povećana u celom telu. Na ovakvuu informaciju, telo reaguje na taj načina što smanjuje ukupnu kollčinu krvi u organizmu a konsekvenca je povećanje koncentracije crvenih krvnih zrnaca. Na ovo pak povećanje organizam opet reaguje težeći da je svede na normalnu, ali to znači da će u ukupnom iznosu ovih zrnaca da bude manje, što nije dobro. U misijama koje su do sada izvedene, ovaj efekat nije izazivao takve probleme kao ranije opisan mišićno-skeletni, ali ga svakako treba imati u vidu u slučaju dužeg boravka u bestežinskom stanju. Reprodukcija u kosmosu Ukoliko se u budućnosti bude razmišljalo o kolonizaciji kosmosa, veoma će biti važno uzeti u obzir i pitanja vezana za razmnožavanje ljudske vrste u tim uslovima. Do sada je u kosmosu boravila jedna, već trudna, ruska astronautkinja, i nakon povratka rodila zdravo i normalno dete. Dosadašnja istraživanja su bila skoncentrisana uglavnom na reprodukciju biljnih i životinjskih vrsta u kosmosu. Zeljaste biljke, gljive, insekti, ribe i vodozemci su pokazali da u njihovom boravku i razmožavanju nije bilo problema, bar unutar jedne generacije. U mnogim slučajevima su životinjski embrioni, začeti u orbiti, počeli da se razvijaju abnormalno, ali su se u kasnijem razvoju korigovali i bili normalni. Medjutim, embrioni kokoši koji su bili oplodjeni na Zemlji manje od 24 sati pre poletanja u orbitu, nisu uspeli da prežive. Obzirom da su kokoši, od svih organizama na kojima su vršena istraživanja, najsličniji ljudima, nije sasvim sigurno da će ljudi moći da se razmnoažavaju uspešno u uslovima nulte gravitacije. Veštačka gravitacija Ukoliko bi ljudi morali da borave u kosmosu neki duži period (duže od godinu dana), zgodnije je konstruisati kosmičke stanice koje će, usled sopstvene rotacije, stvarati iluziju težine. Moguće je simulirati i uobičajenu gravitaciju na koju smo navikli na Zemlji, a za turiste bi mogla da se simulira gravitacija od 2 do 5 m/s 2. Naučna fantastika je obično fokusirana na kolonizaciju nebeskih tela koja imaju neke sličnosti sa Zemljom, kao što su to na primer Mesec, Mars, Jupiterov ledeni satelit Evropa, gde u principu nije moguće konstruisati

140 GLAVA 5. GRAVITACIJA rotirajuće strukture na površini koje bi stvarale utisak povećane gravitacije. Naime, gravitaciona ubrzanja na ovim nebeskim telima su izmedju 2 i 3 m/s 2, dakle na duže staze nisu pogodna za boravak ljudi. U tom smislu su realnije kolonije koje bi bile konstruisanje u medjuplanetarnom prostoru gde je moguće stvoriti veštačku gravitaciju. 5.4 Sile kod krivolinijskog kretanja Prema prvom Njutnovom zakonu, ako na telo ne deluje sila, ono je u stanju mirovanja ili uniformnog pravolinijskog kretanja. Ukoliko pak želimo da se telo kreće po kružnici, onda, kao što smo videli, mora da postoji centripetalno ubrzanje. Jasno je da to ubrzanje mora da bude izazvano nekom silom čiji se pravac i smer poklapaju sa njegovim, pa se prema tome ona naziva centripetalna. Primeri za ovakve sile su, sila zatezanja koja deluje na telo koje zakačeno za kanap rotira, gravitaciona sila Zemlje koja deluje na Mesec, sila trenja izmedju točkova automobila i kolovoza prilikom skretanja u krivini,... Prema drugom Njutnovom zakonu, centripetalna sila je jednaka proizvodu mase tela i centripetalnog ubrzanja, odnosno F c = m a c. Prema izrazu (2.25), intenzitet centripetalne sile možemo da zapišemo u dva oblika F c = m v2 r, Fc = mrω 2. (5.5) Ukoliko prvi izraz rešimo po poluprečniku kružnice r, dobijamo r = mv2 F c. Odavde se vidi da za, istu masu i linijsku brzinu, veća centripetalna sila dovodi do kretanja po kružnici manjeg poluprečnika. Centripetalna sila može biti različite prirode, u zavisnosti od toga šta prouzrokuje kretanje po kružnici. Tako, u slučaju kretanja Meseca oko Zemlje, kao što je već napomenuto, centripetalna sila je gravitaciona sila kojom Zemlja privlači Mesec, pri kretanju elektrona oko jezgra, centripetalna sila je električna privlačna sila, itd. Kada se automobil kreće u krivini, tada je centripetalna sila, sila trenja izmedju točkova i kolovoza. Ako to trenje nije

5.5. KOSMIČKE BRZINE 141 Slika 5.10: Za kretanje istog tela jednakom linijskom brzinom po kružnici manjeg poluprečnika, potrebna je veća centripetalna sila. dovoljno veliko (mokar asfalt, poledica, prevelika linijska brzina), automobil izleće iz krivine. Na osnovu ovoga možemo da zakljuučimo da, centripetalna sila nije nova vrsta sile, već samo poseban naziv za svaku silu koja menja pravac brzine i uzrokuje kretanje tela po kružnoj putanji. Prema trećem Njutnovom zakonu, centripetalna sila mora da ima i odgovarajuću silu reakcije. Ova sila deluje na centar oko koga se odvija kružno kretanje, istoj je intenziteta a suprotnog smera od centripetalne sile i naziva se centrifugalna sila. Centripetalna i centrifugalna sila deluju na različita tela, centripetalna na telo koje se kreće po krivini, a centrifugalna na telo koje je odgovorno za takav način kretanja. Na primer, za kretanje Meseca oko Zemlje, centripetalna sila deluje na Mesec, a centrifugalna na Zemlju. Pri rotaciji tela vezanog preko kanapa za ruku, ruka oseća dejstvo centrifugalne sile. U slučaju prekida veze (kidanje kanapa, hipotetički prestanka dejstva Zemljine gravitacije na Mesec, proklizavanje automobila u krivini,...), nestaju uslovi za postojanje centipetalne i centrifugalne sile, pa će telo produžiti pravolinijsko kretanje, po tangenti na putanju, konstantnom brzinom. 5.5 Kosmičke brzine Kosmičke brzine su karakteristične brzine u astronautici. Odnose se na dato nebesko telo, i za svako od njih su različite.

142 GLAVA 5. GRAVITACIJA 5.5.1 Prva kosmička brzina Prva kosmička brzina je brzina koju treba da ima veštački satelit neke planete, čiji je poluprečnik putanje jednak ili vrlo blizak poluprečniku te planete. Sateliti koji se kreću prvom kosmičkom brzinom, se kreću neposredno iznad površine planeta. Pošto Zemlja ima atmosferu, prva kosmička brzina se računa za visinu od oko 200 km gde vlada skoro idealni vakuum i nema otpora u toku kretanja satelita. 8 Prilikom kretanja satelita mase m, po kružnoj orbiti oko Zemlje poluprečnika R, ispunjen je uslov da je gravitaciona sila izmedju satelita i Zemlje jednaka takozvanoj centrifugalnoj sili koja deluje na satelit pri njegovom kretanju prvom kosmičkom brzinom v 1, odnosno mg = mv2 1 R. Odavde je prva kosmička brzina data izrazom v 1 = gr. Primetimo da u ovom izrazu ne figuriše masa tela m. Zamenom vrednosti za ubrzanje g = 9.80 m/s 2 i za poluprečnik Zemlje R = 6, 37 10 6 m, za vrednost prve kosmičke brzine, u odnosu na Zemlju, se dobija v 1 = 7, 91 km/s. Telo koje ima početnu brzinu jednaku prvoj kosmičkoj brzini, neće pasti na Zemlju i ostaće u njenoj sferi dejstva kao satelit, pod uslovom da na njega ne deluju druge spoljašnje sile. 5.5.2 Druga kosmička brzina Druga kosmička brzina je najmanja brzina kojom treba izbaciti telo sa neke planete da bi izašlo iz zone dejstva njenog gravitacionog polja. Ovakvo telo ulazi u zonu dejstva Sunca i postaje njegov novi satelit (kao što to već jesu planete). Kinetička energija tela mase m koje se izbacuje brzinom v 2 troši se na vršenje rada protiv gravitacione sile Zemlje. Rad se pri tome vrši na putanji 8 Ukoliko bi se telo kretalo prvom kosmičkom brzinom kroz atmosferu, toliko bi se (usled trenja) zagrejalo da bi izgorelo.

5.6. ZADACI 143 koja počinje na rastojanju R od centra Zemlje pa formalno do beskonačnosti, jer je na jako velikim rastojanjima od Zemlje, njeno polje praktično jednako nuli. Uslov iz koga se može dobiti tražena brzina je da kinetička energija izbačenog tela bude bar jednaka njegovoj potencijalnoj energiji u polju teže, jer jedino u tom slučaju može da je potpuno savlada. Drugim rečima, mora da važi uslov mv 2 2 = γ mm 2 R, iz koga se za traženu brzinu dobija v 2 = 2γM R. Kako je, prema formuli (5.2), ubrzanje Zemljine teže na površini Zemlje jednako γm/r, druga kosmička brzina je povezana sa prvom sledećom relacijom pa joj je vrednost v 2 = 11, 2 km/s. v 2 = 2v 1, 5.5.3 Ostale kosmičke brzina Osim pomenute dve postoje i treća i četvrta kosmička brzina. Treća je najmanja brzina koju treba saopštiti telu da bi izašlo iz zone dejstva Sunca a četvrta da bi otišlo izvan dejstva gravitacionog polja galaksije i otišlo u vasionu. Može da se pokaže da su njihove vrednosti v 3 = 42, 2 km/s, i v 4 290 km/s. 5.6 Zadaci 1. Medjunarodna svemirska stanica je konstruisana da funkcioniše na visini od 350 km iznad površine Zemlje. Kada je napravljena, njena težina na površini Zemlje je bila 4, 22 10 6 N. Kolika je njena težina kada se nalazi na orbiti? 2. Koristeći činjenicu da je ubrzanje Zemljine teže g = 9, 80 m/s 2, odrediti prosečnu gustinu Zemlje.

144 GLAVA 5. GRAVITACIJA 3. Smatrajući da Mesec obidje Zemlju, u proseku za 27,3 dana i da je njegova srednja udaljenost od centra Zemlje 3,84 10 8 m, odrediti period veštačkog Zemljinog satelita koji treba da orbitira na visini od 1500 km iznad površine Zemlje. 5.7 Rešenja 1. Težina stanice će biti jednaka proizvodu njene mase m i ubrznanja Zemljine teže g na toj visini. Masu stanice ćemo naći deljenjem njene težine i vrednosti ubrzanja g na površini Zemlje m = 4, 22 106 N 9, 80 m/s 2 = 4, 3 10 5 kg. Primenjujući jednačinu (5.3), za ubrzanje g na udaljenosti r = R+h = (6380 + 350) km = 6730 km, se dobija ( ) g M = γ (R + h) = 11 N m2 6, 67 10 2 kg 2 5, 98 1024 kg (6, 73 10 6 m) = 8, 83 2 m/s2. Na osnovu ovoga, težina stanice je Q = 4, 3 10 5 kg 8, 83 m/s 2 = 3, 80 10 6 N. 2. Iz jednačine (5.2), za masu Zemlje se dobija M = gr2 γ = 5, 96 1024 kg. Kako je prosečna gustina Zemlje odnos njene mase i zapremine, smatrajući da je Zemlja približno lopta, dobija se ρ = M V = M 4 3 πr3 = 5, 50 103 kg/m 3. Kako je ova gustina oko dva puta veća od gustine većine stena na površini Zemlje, zaključujemo da unutrašnjost Zemlje ima znatno veću gustinu od sredje vrednosti gustine.

5.7. REŠENJA 145 3. Na osnovu trećeg Keplerovog zakona, obeležavajući indeksom 1 veličine koje se odnose na Mesec a indeksom 2 one koje se odnose na veštački satelit, za period satelita se dobija T 2 = ( ) r2 3/2 T1. r 1 U ovaj izraz treba zameniti date vrednosti ali treba imati u vidu da prosečnu udaljenost veštačkog satelita treba računati od centra Zemlje a ne njene površine, odnosno r 2 = (1500 + 6380) km = 7880 km. Zamnena vrednosti sada daje T 2 = ( ) 3/2 7880 km 27, 3 dana 24, 0 h 3, 84 10 5 km dan = 1, 93 h.

146 GLAVA 5. GRAVITACIJA