Cp.. Introducere în Rezstenţ Mterlelor. Generltăţ Rezstenţ mterlelor este dscpln ngnerescă ce studză comportre mterlelor concretztă în elemente de construcţ supuse l dferte solctăr, stfel încât să se obţnă o sgurnţă mxmă în explotre l un preţ de cost cât m redus. Rezstenţ mterlelor se ocupă cu rezolvre următorelor tpur de probleme:. Determnre eforturlor nterore ş deformţlor ce u nştere într-un mterl sub cţune srcnlor exterore cunoscute;. Verfcre peselor une construcţ exstente, comprând vlorle mxme le tensunlor ş deformţlor cu numte lmte dmsble;. Dmensonre peselor une construcţ no, dcă legere mterlulu ş clculul dmensonl stfel încât să fe sgurtă funcţonre reproşblă cstor luând în clcul spectul economc l consumulu de mterle ş mnoperă. O dmensonre completă ş precsă presupune clculul dmensunlor respectând următorele condţ: condţ de rezstenţă; condţ de rgdtte (de deformţ); condţ de stbltte. Rezstenţ mterlelor s- desprns dn Mecncă cest fnd l rândul său o rmură fzc. Rezstenţ mterlelor se bzeză pe cunoştnţe de mtemtcă, fzcă, chme, tehnolog mterlelor, etc. Rezstenţ mterlelor se înrudeşte cu o sere de dscplne înglobte într-o dscplnă lrgă, numtă Mecnc plctă su Mecnc tehncă. ceste dscplne sunt: Teor elstctăţ, Teor plstctăţ, Teor vbrţlor mecnce, Teor stbltăţ elstce, Sttc ş Dnmc construcţlor, Încercărle mecnce le mterlelor. e bz rezstenţe mterlelor se studză: Orgnele de mşn, Teor mecnsmelor. entru rezolvre celor tre tpur de probleme, Rezstenţ mterlelor utlzeză prtul mtemtc ş deducţ logcă socte cu stud expermentle. Trebue specfct că prncplele leg le Rezstenţe mterlelor sunt leg stblte p cle expermentlă (chr Lege fundmentlă Rezstenţe mterlelor, Lege lu Hooke, este expermentlă). De semene, în clculele de rezstenţ mterlelor ntervn numte crcterstc cntttve le mterlelor cre sunt evlute dor pe cle expermentlă.. Noţun de Rezstenţ mterlelor..clsfcre mterlelor După ntur deformţlor căpătte: elstce - corpurle se deformeză sub cţune forţelor plcte, dr revn l form ş dmensunle nţle după îndepărtre cestor; plstce - corpurle se deformeză sub cţune forţelor plcte, dr nu m revn l form ş dmensunle nţle după îndepărtre cestor; elstoplstce - corpurle se deformeză sub cţune forţelor plcte, dr revn prţl (m mult su m puţn) l form ş dmensunle nţle după îndepărtre cestor; Observţe: Între numte lmte, tote mterlele prezntă o comportre elstcă încât clculul de rezstenţă se v fce în potez că tote mterlele sunt elstce în numte lmte preczte. După mărme deformţlor căpătte înnte de rupere: frgle su csnte - prezntă deformţ forte mc, negljble, înnte de rupere (font, stcl, etc.); tence su ductle - prezntă deformţ precble înnte de rupere (cuprul, plumbul, lumnul, etc.); După propretăţle mnfestte pe dverse drecţ în spţu, plecând dn celş punct:
zotrope - prezntă celeş propretăţ de- lungul tuturor drecţlor cre plecă dntr-un punct determnt (metlele turnte, etc.); nzotrope - prezntă propretăţ dferte de- lungul dfertelor drecţ cre plecă dntr-un punct determnt (lemnul, etc.). După propretăţle mnfestte în dverse regun le spţulu: omogene: prezntă celeş propretăţ în tot volumul ocupt (lumnul pur, etc.); neomogene: prezntă propretăţ dferte în dferte zone le volumulu ocupt (beton rmt)..clsfcre corpurlor Bre- corpur su elemente de construcţ l cre un dntre dmensun (lungme) este mult m mre decât celellte două c ordn de mărme. Ele pot f: după mărme xe longtudnle: bre scurte; bre lung; după form xe longtudnle: bre drepte; bre curbe: bre în pln; bre în spţu; după mărme secţun: bre subţr (fre); bre grose; după form secţun: bre cu secţune regultă; bre cu secţune constntă; bre cu secţune vrblă; bre cu secţune neregultă; bre cu secţune constntă; bre cu secţune vrblă; Observţe: Frele sunt bre cu secţune negljblă, flexble ş lucreză dor l întndere. lăc - corpur su elemente de construcţ l cre două dntre dmensun (lungme ş lăţme) sunt propte c ordn de mărme ş mult m mre decât ce de- tre (grosme). Ele pot f: după mărme suprfeţe medne: plăc mc; plăc mr; după form suprfeţe medne: plăc plne; plăc curbe; plăc cu curbură smplă; plăc cu curbură dublă; după mărme grosm suprfeţe medne: plăc subţr (membrne); plăc grose; după form grosm suprfeţe medne: plăc cu grosme constntă; plăc cu grosme regultă; plăc cu grosme neregultă; plăc cu grosme vrblă;
plăc cu grosme regultă; plăc cu grosme neregultă; Observţe: Membrnele sunt plăc cu grosme negljblă, flexble ş pot prelu num forţe stute în plnul propru. Blocur - corpur su elemente de construcţ l cre cele tre dmensun sunt propte c ordn de mărme... Clsfcre forţelor: După pozţ în spţu punctulu de plcţe: forţe de suprfţă - cţoneză pe numte părţ le suprfeţe exterore corpulu; forţe de volum - cţoneză în tote punctele corpulu exteror; După locul punctulu de plcţe: forţe exterore: forţe drect plcte (srcn); forţe de legătură (recţun); forţe nterore; După domenul de cţune: forţe concentrte - cţoneză pe un domenu tât de mc încât pote f consdert un punct; forţe dstrbute - cţoneză pe un domenu fnt; forţe unform dstrbute- ntenstte srcn dstrbute p este constntă; forţe lnr dstrbute - ntenstte srcn dstrbute p vrză de l l o vlore mxmă p mx dstrbute după o lege orecre p(x); După modul în cre vrză în tmp ntenstte lor: forţe sttce - sunt constnte în tmp c ntenstte, su plecă de l (zero) ş cresc până l o vlore fnlă după cre rămân constnte; forţe dnmce - ntenstte lor vrză în tmp: forţe de şoc - se plcă brusc stfel încât ntenstte lor vrză forte mult în tmp forte scurt; forţe vrble - l cre ntenstte vrză contnuu în tmp după o lege perodcă;.forţe nterore su efortur secţonle Forţele nterore se pun în evdenţă prn metod secţunlor. Fe un corp supus cţun sstemulu forţelor exterore:f, F, F,F, F 5 Se prctcă prn cest corp o secţune S ce împrte corpul în două părţ: prte I ş prte II-. Cele două părţ seprte nu se m găsesc în echlbru. Buct I stfel seprtă nu m este în echlbru. entru se păstr totus echlbrul, trebue c în secţune S să se ntroducă nşte elemente mecnce echvlente cu efectul pe cre buct II îl ve supr bucăţ I înnte de seprre. Convenm să plcăm ceste elemente în centrul de greutte l secţun S. entru buct II- stuţ este smlră. În cest cz, R ş M se numesc efortur în secţune S. ceste efortur reprezntă efectul rezultnt l tuturor forţelor cre cţoneză între perechle de puncte corespunzătore celor două feţe le secţun S. Dcă se în studu un dn părţ (de exemplu, prte II-), ce se rporteză l un sstem de xe ortogonle Oxz, se consttă că forţ R ş momentul M pot f descompuse după cele tre drecţ, deorece ele u drecţ orecre în spţu. Se observă că în czul cel m generl, în secţune une bre, unu corp, lucreză 6 mărm mecnce, numte forţe nterore su efortur secţonle:
N - forţ xlă; T (T Y,T Z ) - forţ tăetore (de forfecre); M (M Y,M Z ) - momentul încovoetor; M t - momentul de torsune. Dcă în secţune lucreză num un dn ceste mărm mecnce vem de- fce cu o solctre smplă, r dcă în secţune lucreză două su m multe mărm mecnce dferte vem de- fce cu o solctre compusă. Solctărle smple sunt: solctărle xle: întndere (în secţune exstă dor +N); compresune (în secţune exstă dor -N); forfecre su tăere (în secţune exstă dor T) torsune su răsucre (în secţune exstă dor M t ) încovoere (în secţune exstă dor M I ) Convenţ de semne: Forţele xle se consderă poztve dcă sunt de întndere ş negtve dcă sunt de compresune; Forţele tăetore se consderă poztve dcă produc rotre secţun în sens orr ş negtve dcă produc rotre secţun în sens nvers; Momentul încovoetor este poztv dcă deformeză br stfel încât să devnă convexă ş negtv dcă deformeză br stfel încât să devnă concvă; Momentul de torsune este poztv dcă este un moment motor ş negtv dcă este un moment rezstent..rezeme ş recţun În rport cu corpurle înconjurătore, elementele de construcţe pot ve m multe tpur de rezemăr (su legătur): rezemul smplu (rtculţ moblă); rezemul dublu (rtculţ); rezemul trplu (încstrre); legătur prn fre. Se şte că un corp lber în spţu posedă 6 grde de lbertte (6 posbltăţ de mşcre): trnslţ de- lungul sstemulu trortogonl Oxz ş rotţ în jurul celor tre xe. Dcă o legătură împedcă unu corp o trnslţe, tunc e ntervne cu o forţă de legătură (o recţune) vând drecţ mşcăr sustrse (împedcte) ş sensul - nvers ceste. Dcă o legătură împedcă unu corp o rotţe în jurul une xe, tunc e ntervne cu un cuplu de forţe (moment concentrt) vând drecţ mşcăr sustrse (împedcte) ş sensul - nvers ceste.
.Rezemul smplu (rtculţ moblă) Este rezemul cre împedcă o mşcre de trnslţe corpulu rezemt. C urmre, rezemul smplu ntroduce c necunoscută o forţă de legătură (o recţune) vând drecţ normle l suprfţ de contct în cel punct. In pln rezultă că celellte două posbltăţ de mşcre (celltă posbltte de trnslţe ş posbltte de rotţe în jurul punctulu de sprjn) exstă..rezemul dublu (rtculţ fxă) Este rezemul cre î permte corpulu să bă în permnenţă un punct fx. ote f de două felur: rtculţ spţlă (sfercă) - pre în czul unor solctăr în spţu l corpulu ş cre sgură tre posbltăţ de rotre în jurul celor tre xe le sstemulu trortogonl Oxz, ş împedcând cele tre trnslţ. E ntroduce c necunoscută o forţă de recţune cu drecţe orecre în spţu, prctc ntroducând tre necunoscute ş nume cele tre componente pe xe le cete forţe. rtculţ plnă (clndrcă) - ntervne când br este solcttă de un sstem de srcn în pln. E ntroduce c necunoscută o forţă de recţune în pln, dec prctc ntervne cu două necunoscute: componentele pe cele două xe le forţe. rtculţ plnă împedcă cele două trnslţ ş permte dor rotre în jurul cele de- tre xe..rezemul trplu (încstrre) Este rezemul cre se obţne prn pătrundere unu corp cu o porţune s într-un lt corp fx. Dcă supr unu corp cţoneză un sstem de forţe ş momente spţle, încstrre împedcă tote cele 6 posbltăţ de mşcre. rctc, încstrre ntroduce c necunoscute cele componente pe xe le forţe de recţune ş cele componente le momentulu concentrt dn încstrre. Dcă supr unu corp cţoneză un sstem de forţe ş momente în pln, încstrre împedcă tote cele posbltăţ de mşcre dn pln (două trnslţ în pln ş o rotţe în jurul xe perpendculre pe pln). rctc, încstrre plnă ntroduce c necunoscute cele componente pe xe le forţe de recţune ş momentul concentrt dn încstrre..legătur prn fre Este tpul de rezem prn ntermedul căru un corp este legt prn m multe fre cre sunt solctte l întndere. cest rezeme ntroduc c necunoscute tensunle dn fre, cre sunt forţele ce u drecţ frelor întnse, sensul orentt către nterorul frulu, r punctul de plcţe este punctul de legătură dntre fr ş corp. 5.Tensun ş deformţ 5..Tensun Se consderă un corp în echlbru sub cţune unu sstem de forţe exterore ş un dn cele două bucăţ obţnute prn secţonre corpulu cu o secţune orecre, S. În tote punctele elementulu de re cţoneză forţe nterore cre determnă o rezultntă F, numtă efort elementr ş cre re mărme, drecţe ş sens orecre. cest efort elementr se pote descompune în două elemente, N ş T, conform fgur. Tote componentele N însumte pe întreg secţune S vor determn o rezultntă xlă, numtă forţ xlă N, r tote componentele T însumte pe întrg secţune S vor determn o rezultntă pe drecţ normlă pe drecţ xlă, numtă forţ tăetore su forţ de forfecre T dn ce secţune. 5
Se consderă că se mcşoreză treptt, restrângându-se în jurul centrulu său de msă, l lmtă tnzând spre cest punct. C urmre, rezultnt F se modfcă ş, l lmtă, v tnde către forţ nteroră dn punctul ce mrcheză centrul elementulu de re. Tensune mede reprezntă rportul dntre rezultnt DF ş elementul de re D. Tensune efectvă F într-un punct reprezntă lmt rportulu dntre rezultnt F ş p elementul de re, când m tnde l. lm F df p d Component lu p drjtă după norml l secţune bre se numeşte tensune normlă ş se noteză cu s. Component lu p drjtă după drecţ tngente l secţune bre se numeşte tensune tngenţlă ş se noteză cu t. Tensune p ş cele două componente le sle, σ s τ sunt elemente mecnce de ordn superor vectorlor, numte tensor, între ele exstând următorele relţ de legătură: σ+τ p σ +τ p F,,p στ S.I. L 5..Deplsăr ş deformţ Sub cţune srcnlor (forţe ş momente) exterore, corpurle se deplseză ş, c urmre, prtculele lor componente cpătă deplsăr. Deformţle pot f:. elstce (reversble) - cele deformţ cre dspr complet după îndepărtre srcnlor exterore;. plstce (reversble) - cele deformţ cre nu dspr după îndepărtre srcnlor exterore;. elsto-plstce (rele) - cele deformţ cre dspr dor prţl după îndepărtre srcnlor exterore; În Rezstenţ mterlelor se consderă că între numte lmte deformţle corpurlor sunt perfect elstce. Se consderă un corp orecre ş puncte le sle stute l dstnţe forte mc, dr fnte. Cele puncte defnesc segmentele de dreptă B ş C ş unghul dn. Se noteză l B α (C, B) Se ntroduc următorele defnţ:. Deformţ lnră totlă su bsolută este dferenţ dntre lungme fnlă ş lungme nţlă unu segment de dreptă. l l l [ l] S. I m. Deformţ lnră specfcă su reltvă este rportul dntre deformţ lnră totlă ş lungme nţlă segmentulu de dreptă. l l l ε Deformţ lnră specfcă este o mărme dmensonlă. l l Când ) l > l ε > s l > b) l < l ε < s l < 6
In czul ) deformţle se numesc: lungre specfcă, respectv, lungre totlă, r în czul b) deformţle se numesc: scurtre specfcă, respectv, scurtre totlă.. Deformţ unghulră totlă (lunecre totlă) este dferenţ dntre mărme fnlă ş mărme nţlă unu ungh. [ ]. α α α α S.I. rd,. Deformţ unghulră specfcă (lunecre specfcă) este vlore cu cre se modfcă mărme unghulu drept. Deformţ unghulră specfcă este o mărme dmensonlă. π γ 6.Legătur între tensun ş deformţ 6..Curb crcterstcă mterlelor Legătur între tensun ş deformţle specfce se numeşte lege fundmentlă Rezstenţe Mterlelor ş se determnă exponenţl cu jutorul unor probe confecţonte dn mterlul cre ne ntereseză, probe denumte epruvete.form ş dmensunle epruvetelor depnd de tpul încercăr. În czul încercăr l întndere epruvet re form de bră cu secţune crculră ş prezntă două cpete de secţune m mr, necesre pentru prndere epruvete în dspoztvul mşn de încerct (Fg.). d F F l Fg. rte centrlă epruvete, vând dmetru d se numeşte porţune clbrtă ş e se clbreză l mbele cpete.e porţune clbrtă se trseză două repere l o dstnţă l numtă lungme nţlă. entru deducere leg fundmentle, epruvet se fxeză l o mşnă de întndere cre plcă l cpete forţe egle cu vlor cre cresc de l, treptt, l vlor dn ce în ce m mr. πd Secţune S porţun clbrte se clculeză cu relţ: S Forţ F se reprtzeză unform în punctele secţun trnsversle. F În orce moment se pote clcul tensune normlă σ cu formul: σ. S l l l De semene se pote clcul deformre specfcă: ε. l l Cu ceste elemente se întocmeşte următorul tbel: F l ε σ F l ε o σ F l l F ε o σ l S F > F l l F n l n l l ε ε o o l n l l l l F σ S σ F n S 7
Într-un sstem de xe ε,σ, ortogonl se reprezntă vlorle găste ş rezultă o curb ă contnuă, numtă curb crcterstcă mterlelor, cre exprmă legătură grfcă între tensune ş deformre specfcă. (Fg.). σ σ n σ σ α n ε ε ε n ε Fg. Se duce tngent l curbă într-un pun ct ( ) curbe ş se exprmă tngent unghulu α formt de tngent l grfc cu orzontl: dσ / tgα f () ε E. dε E modulul de elstctte longtudnl (Young). In czul încercăr de răsucre, se obţne o legătură grfcă smlră între tensune tngenţlă ş lunecărle specfce γ. (Fg.). τ τ g ( γ ) β Fg. γ / dτ tgβ g () γ G ; dγ G modul de elstctte trnsversl (Coulomb). După curb crcterstcă, mterlele se împrt în: - mterle cre scultă de lege lu Hooke ş l cre curb re o porţune nţlă rectlne. - mterle cre nu scultă de lege lu Hooke. 6..Curbe crcterstce le mterlelor cre scultă de lege lu Hooke În cestă ctegore ntră oţelurle, lemnul, etc. ceste curbe prezntă o porţune nţlă rectlne. Tpcă pentru cestă curbă este curb crcterstcă oţelulu mole. (Fg.). σ σ r σ σ σ B...C D α E F. Fg. ε 8
orţune O e un segment de dreptă puţn înclnt spre drept. Se noteză cu α unghul pe cre O îl fce cu bscs. dσ σ tg α E σ Eε () dε ε Relţ () exprmă lege lu Hooke su lege fundmentlă rezstenţe mterlelor pentru întndere. e totă zon rectlne tensunle σ sunt pro porţonle cu deformărle lnre specfce ε. Fctorul de 5 proporţonltte este egl cu modulul de elstctte longtudnl (Young). L oţelur: E, Mp. Tensune corespunzătore punctulu se noteză σp s se numeşte lmtă de proporţonltte. După punctul, curb nu m este o dreptă, c o curbă propru-zsă cre se plecă treptt spre drept. Tensune corespunzătore punctulu B se noteză σe s se numeşte lmtă de elstctte pentru că până l cest punct mterlul se comportă perfect elstc. În punctul C curb re o tngentă orzontlă. Tensune corespunzătore punctulu C se noteză σ c s se numeşte lmtă de curgere su lmt mrlor deformţ. ână în C, deformţle sunt mc, dr după C ele devn forte mr. După C pre o zonă CDE, unde σ oscleză c vlore (scde) dr deformărle cresc forte mult. E o zonă în cre mterlele îş perd rezstenţ. În M se observă o revenre rezstenţe mterlelor, încât pe EF se consttă dn nou o creştere tensun σ concomtent cu creştere deformăr ε. În F, tngent l curbă este orzontlă. Tensune corespunzătore lu F este σ r s se numeşte rezstenţ l rupere (tensune mxmă). e rmur FG, deformre contnuă să crescă, dr eforturle untre scd până când în G se produce rupe re. Deformre specfcă corespunzătore punctulu G este ε r lungre specfcă l rupere (lungre l rupere). Curb crcterstcă obţnută stfel este curbă crcterstcă convenţonlă (prentă). Dn curbă reese, prdoxl, că rupere re loc pentru o vlore efortulu untr m mcă decât o F vlore dej suporttă σ r. cest, pentru că în permnenţă σ fost clcultă cu formul: σ, unde S s- presupus constnt. În reltte S nu este constnt pentru că pe măsură ce epruvet se lungeşte, secţune se mcşoreză. F Dcă se clculeză vlore lu σ prn rportul dn fecre moment, tunc vlorle obţnute permt trsre une curbe crcterstce rele l cre ultmul punct corespunde efortulu untr mxm. ână în E, curb crcterstcă relă concde cu curb crcterstcă convenţonlă. După depăşre punctulu F, subţere epruvete se loclzeză în zon vtore secţun de rupere (pre un fenomen locl de gâture). Rportul dntre vlore secţun trnsversle ş secţune nţlă se numeşte gâture l rupere mterlulu ş exprmă deformbltte mterlulu pe drecţe trnsverslă. S Sr Ψ () S În procente: S Sr Z Ψ % () S Lmt de elstctte tehnologcă este eglă cu tensune corespunzătore une deformăr permnente de,% dn lungme nţlă epruvete (σ, ). Lmt de curgere tehnologcă este eglă cu tensune corespunzătore une deformăr de,% dn lungme nţlă epruvete (σ, ). Lege lu Hooke cre exprm legătur între tensune tngenţl (τ) ş lunecărle γ pote f găstă prn răsucre une epruvete. ( Fg.8). τ γ τ Gγ g( ) S rel 6..Curbe crcterstce pentru lte tpur de solctăr unde G este modulul de elstctte trnsversl, cre este o constnt de mterl. S 9
t. otel, G Ol 8, M Oţelurle se comportă în generl dentc l compresune ş l întndere. Sngur dferenţă pre în zon fnlă curbelor. L întnd ere, curb se ter mnă brusc, r l compresune e merge l, pentru că mterlul se deformeză orcât de mult, fără se rupe. (Fg.9). Font este un cz tpc de comportre dfertă l întndere fţă de compresune. (Fg.). σ σ întndere -ε ε Fg. 8 compresune - 7.Contrcţ trnsverslă Dn studul expermentl l întnder s- observt că în tmp ce epruvet se lungeşte pe drecţ solctăr, pe drecţ trnsverslă re loc un fenomen de mşcre sec ţun contrcţe trnsverslă. Consderând o bră în stuţ nţlă ş po în stuţ ulteroră după plcre forţe F l cpetele bre (Fg.). l o Fg. 9 d o F d l F l l l ε l εl l l + l l( +ε ) () l l Ş pe drecţ trnsverslă: d d d ε t < d d ε t d d d d + d d + ( εt) 7..Legătur dntre ε ş ε t S- găst că rportul dntre cele două deformţ lnre specfce e o constntă pentru un mterl dt. Modulul s- nott cu ν ş se numeşte coefcentul lu osson (coefcent de contrcţe trnsverslă). ε t υ ε t -υε (6) ε În generl [ ;,5] Fg. υ. Dn experenţe s- găst că pentru cele m multe mterle υ,5, 5. entru oţelur υ, ; entru lemn υ, 5 ; Vlorle lu ν s-u găst pe cle expermentlă ş se flă în tbele. În locul lu ν se m foloseşte m numtă constnt lu osson. υ (5)
7..Vrţ secţun trnsversle Secţune trnsverslă re r nţlă: Cd d unde d ş d sunt cele două dmensun le secţun trnsversle. Cele două dmensun se deformeză conform relţlor: df d ( +ε t ) d ( υε) (7) df d ( +ε t ) d ( υε) După deformre, r trnsverslă devne: dfdf Cdd( υε ) ( µε+µ ε ) (8) ( υε) S-u elmnt termen ce conţn nfnţ mc de ordnul l dole. entru determnre vrţe volumulu bre, în urm deformăr se porneşte de l relţ volumulu nţl V, ş po se exprmă volumul fnl V. V Cl (9) V C( νε ) l( +ε ) V +ε( µ ) L întndere, pentru ε>, volumul bre creşte. L compresune, volumul se mcşoreză. Vrţ volumulu este: V V V Vε( ν). () Deformţ volumcă specfcă este rportul dntre V ş volumul nţl. V ε V ε( ν ) () V entru o bră solcttă l întndere su compresune, ε ş ε V pote f nul num dcă ν ν,5, este czul lchdelor dele ş l cucuculu. Dcă ν (pentru plută), pre o vrţe mxmă volumulu. 8.Rezstenţe dmsble ş coefcenţ de sgurnţă Scopul prncpl l rezstenţe mterlelor este de evt prţ fenomenelor de rupere elementelor de construcţ. rncple econome de mterle mpun c tensunle rele să fe cât m propte de rezstenţele de rupere. cest lucru însă nu pote f relzt pentru că orce suprsolctre neprevăzută pote duce l depăşre rezstenţe de rupere ş dec l dstrugere construcţe. M mult, în dferte plcţ ş-n construcţ de mşn se mpune c deformţle căpătte-n funcţonre să nu depăşescă numte lmte. Rezultă că tensunle rele trebue să fe mult m mc decât rezstenţ de rupere su chr decât lmt de curgere. În generl, tensunle rele trebue să bă vlorle cuprnse în domenul elstc. Defnţe: Rezstenţ dmsblă reprezntă vlore mxmă tensunlor l cre pote f solctt cel mterl în deplnă sgurnţă. Se noteză: σ su τ. Defnţe: coefcentul de sgurnţă (c) reprezntă rportul dntre tensune lmtă ş rezstenţ dmsblă. σ r τ r c > su c > () σ τ În construcţ de mşn se preferă folosre unu coefcent de sgurnţă clcult în rport cu lmt de curgere: σ c τ c c c > su cc > () σ τ legere coefcentulu de sgurnţă, respectv rezstenţe dmsble este subordont unor numte cernţe legte de ntur mterlulu, tpul solctăr, destnţ construcţe, durt funcţonăr. Vlorle lu c ş σ su τ se găsesc în tbele în cărţle de specltte.
9.Ipoteze de bză în rezstenţ mterlelor entru stud reltte prn prtul mtemtc, rezstenţ mterlelor schemtzeză cestă reltte pe bz unor poteze smplfctore.. Ipotez medulu mterl contnuu consderă că mterlul umple contnuu volumul unu corp. C o consecnţă mportntă trebue precztă posbltte utlzăr comode clcululu dferenţl ş ntegrl.. Ipotez zotrope consderă că mterlul re celeş propretăţ în tote drecţle cre pornesc dn celş punct.. Ipotez omogentăţ perfecte consderă că mterlul re celeş propretăţ în tote punctele.. Ipotez mclor deformţ consderă că sub cţune srcnlor, corpurle cpătă deformţ forte mc comprtv cu dmensunle cestor, deformţ cre nu modfcă confgurţ generlă construcţe. 5. Ipotez vlbltăţ leg lu Hooke pentru tote mterlele se pote plc lege lu Hooke în domenle de solctre exstente. 6. Ipotez lu Bernoull (potez secţunlor plne) consderă că o secţune plnă ş normlă pe x bre înnte de deformţe rămâne tot plnă ş normlă pe x bre ş după deformre. C D B D C B F 7. Ipotez lu Snt-Vennt consderă că modul de dstrbu ţe loclă srcnlor nfluenţeză precbl modul de solctre în zon respectvă, dr devne negljbl în zone m depărtte. De exemplu, pentru o bră încstrtă, tensunle în cpătul lber depnd forte mult dcă srcn e concentrtă su dstrbută pe o numtă lungme. În schmb, în secţune dn încstrre, tensunle sunt celeş în cele două czur. Cp..Reprezentre dgrmelor de efortur Dgrmele de efortur sunt reprezentr grfce sugestve cre ndc modul de vrte l eforturlor de- lungul bre, fnd forte utle n clculele de verfcre su de dmensonre...etpele de lucru pentru reprezentre dgrmelor de efortur: ) Se fgureză br cu dmensunle ş modul de rezemre respectv ş cu tote srcnle ce sunt plcte. ) In funcţe de tpurle de rezeme, se fgureză necunoscutele (recţun ş cuplur). ) Se determnă necunoscutele dn rezeme, utlzând condţle de echlbru mecnc. entru problemele cu bre încărcte complex în spţu se pot scre 6 condţ sclre de echlbru: X Y Z Mx M Mz
entru problemele cu bre încărcte în pln, se pot scre tre condţ sclre de echlbru: X Z M Observţe: Sensurle nţle le necunoscutelor sunt rbtrre. Dcă în urm clculelor, rezultă vlor poztve pentru necunoscute, însemnă că sensurle rele de cţune le cestor concd cu sensurle rbtrre lese nţl. Dcă vlorle rezultă negtve, însemnă că sensurle rele sunt nverse celor lese nţl. )Se stblesc ntervlele de monotone le bre, dcă ntervlele pe cre nu se produc modfcăr în cee ce prveţte dstrbuţ forţelor exterore. 5)Se stbleşte un sens de prcurs l bre, de regulă de l stâng l drept, dr, după necestăţ, se pote lege ş sensul de prcurs de l drept l stâng (de obce sensul de l drept se lege pentru ultmele ntervle le bre, în vedere smplfcăr clculelor). 6)Se scru expresle nltce le eforturlor secţonle într-o secţune curentă de pe fecre ntervl monoton l bre, utlzând regulle de clcul. entru determnre corectă expreslor nltce le eforturlor se ţne cont că: )secţune curentă împrte br în părţ; b)se plcă metod secţunlor, dcă se elmnă o prte bre ş se păstreză celltă (de exemplu, dcă sensul de prcurs este de l stâng l drept, se elmnă prte dn stâng secţun ş se păstreză prte dn drept). c)tote forţele ş cuplurle de forţe plcte pe prte de bră îndrepttă se reduc l centrul de greutte l secţun consderte ţnând cont de regulle de reducere ş de convenţle de semne. 7)Se reprezntă grfc expresle nltce de m sus, vând în vedere următorele: -pentru fecre efort se lege o xă de refernţă (o orgnă) dgrme, cre respectă confgurţ ş dmensunle bre; -se stbleşte o scră de reprezentre; -în rport cu lnle de reper (xele de refernţă), se trseză dgrmele de efortur cu jutorul segmentelor perpendculre, proporţonle (l scr lesă) cu vlorle clculte; pe fecre câmp l dgrmelor de efortur se preczeză semnul cestor, închs într-un cerc; -prn convenţe, vlorle poztve pentru N, T, M t se reprezntă desupr lne de reper, r pentru M sub ln de reper. entru brele nesolctte de momente reprtzte cre să determne încovoere, construre dgrmelor T ş M, c de ltfel ş controlul corecttudn lor se efectueză cu jutorul relţlor dferenţle între N, T, M ş srcn dstrbută p. In czul brelor drepte, relţle dferentle ntre M, T s p sunt: dm dt T p dx dx Dn ceste relţ se pot formul câtev observţ necesre pentru reprezentre dgrmelor: )ntenstte srcn dstrbute, lută cu semn schmbt, este eglă cu pnt dgrme forţe tăetore dn secţune respectvă; b)pe ntervlele de bră nencărcte, dgrm T se prezntă vlor constnte; c)în secţunle în cre cţoneză forţe exterore, dgrm forţe tăetore prezntă sltur egle în v lore ş n celş sens de cţune cu cele forţe; d)ntenstte forţe tăetore dntr-o secţune este eglă cu pnt dgrme momentulu încovoetor dn ce secţune; e)pe ntervlele n cre: -forţ tăetore este poztvă, momentul încovoetor creşte; -forţ tăetore este negtvă, momentul încovoetor descreşte; -forţ tăetore este nulă, momentul încovoetor este constnt; f)în secţunle în cre forţ tăetore se nuleză, momentul încovoetor prezntă extrem;
g)dgrm momentulu încovoetor prezntă sltur num în secţunle în cre sunt plcte cuplur exterore, sltur egle în vlore ş n celş sens de cţune cu momentele cestor cuplur; h)pe fecre ntervl de bră, expres forţe tăetore este cu un grd superoră exprese funcţe de srcnă, r expres momentulu încovoetor este cu un grd superoră funcţe forţe tăetore (pentru leg polnomle le lu p). )dcă pe totă lungme bre su num pe un dn părţ, dgrm forţe tăetore este ntsmetrcă tunc pe celeş părţ, dgrm momentulu încovoetor este smetrcă ş nvers; f)în secţune dreptă cre concde cu x de smetre drectă bre, forţ tăetore este eglă cu zero ş în secţune dreptă, conczând cu x de smetre ndrectă, momentul încovoetor este nul. Dcă o forţă concentrtă exteroră cţoneză în secţune ce concde cu x de smetre drectă bre, vlorle numerce le forţe tăetore în secţunle dn stng ş dn drept xe de smetre sunt egle cu jumătte dn cestă forţă...regulle de clcul le eforturlor secţonle )Forţ xlă (N) într-o secţune curent une bre este eglă cu sum proecţlor pe x bre le tuturor forţelor stute în stâng secţun, su le celor dn drept, conform convenţlor de semne. B)Forţ tăetore(t) într-o secţune curent une bre este eglă cu sum proecţlor pe o perpendculră l x bre (T, T z) le tuturor forţelor dn stâng su le celor dn drept, conform convenţlor de semne. C)Momentul de torsune (M t ) într-o secţune curent une bre este egl cu sum proecţlor pe x bre le tuturor momentelor forţelor ş le cuplurlor dn stâng secţun su le celor dn drept, conform convenţlor de semne. D) Momentul încovoetor(m ) într-o secţune curent une bre este egl cu sum proecţlor pe o n ormlă l x bre (M, M z ) le tuturor momentelor forţelor ş le cuplurlor dn stâng secţun su le celor dn drept conform convenţlor de semne...regul de reducere încărcărlor Dn Mecncă se cunoşte că o forţă, plctă într-un punct, se reduce în lt punct O l o forţă prlelă, eglă ş de celş sens cu forţ dtă, precum ş l un cuplu l căru moment este egl cu momentul forţe dte fţă de punctul de reducere Momentul M este perpendculr pe plnul hşurt, defnt de forţ dtă ş de punctul de reducere. Czur prtculre de încărcăr: )Reducere în czul brelor drepte )Dcă în punctul O l une bre cţoneză forţ drjtă longtudnl, tunc într-o secţune orecre bre, pre o forţă xlă de întndere N+, ndferent de pozţ x secţun. b) Dcă forţ re sens nvers, rezultă o forţă xlă de compresune N-, ndferent de pozţ x secţun.
Reducere une forţe drjtă perpendculr pe bră fce să se obţn ă în secţune orecre o forţă tăetore T + ş un moment încovoetor M x Dcă forţ re sens nvers se obţne: T - s M - x c) Dcă pe ntervlul O l bre cţoneză srcn unform dstrbută p, cest se pote reduce l o rezultntă, plctă în punctul de l jumătte ntervlulu O. C urmre, în secţune orecre B se obţne o forţă tăetore T p/ s un moment ncovoetor M p (x-/) Dcă srcn dstrbută este orenttă nvers, se vor obţne, prn reducere, expres dentce, vând însă semnul mnus. d) Dcă pe ntervlul O cţoneză o srcnă lnr dstrbută cu ntenstte mxmă p, e pote f redusă l o rezultntă. Reducere l secţune B conduce l o forţă tăetore TT z + p/ ş l un moment încovoetor M (x-/) Dcă reducere se fce în rport cu un punct C flt în ntervlul O, tunc rezultă: p x px T px x px M 6 Dcă srcn dstrbută este orenttă nvers, se vor obţne, prn reducere, expres dentce vând semnul mnus. e) Dcă pe ntervlul O cţoneză o srcnă dstrbută după o lege orecre, stfel încât ntenstte s este pp(x), tunc srcn totlă este: p(x)dx ş trece prn punctul G ', căru pozţe este dtă de: 5
p(x)xdx OG ' x G p(x)dx tunc, în secţune orecre se obţne o forţă tăetore T+ ş un moment încovoetor M(x-x G ) f) Momentul unu cuplu de forţe, drjt în lungul bre se reduce într-o secţune orecre, l un moment de torsune M t +M. Dcă M re sens contrr, se obţne M t -M o. g) Momentul unu cuplu de forţe drjt perpendculr pe x bre, se reduce într-o secţune orecre l un moment încovoetor M M M. plct )Se cere s se repreznte dgrmele de efortur pentru br smplu rezemtă, încărctă cu forţ concentrtă dn fg.. Rezolvre: Dn ecuţle de echlbru sttc: Z V + V M V l () rezultă recţunle: b V ;V ; l l Fg. Forţ tăetore este constntă pe cele două porţun b T V ;T V ; l l În secţune, în dgrm T pre un slt egl cu. Momentul încovoetor re expresle pe cele dou ntervle: pt.x M b M V x x ; b l pt.x M l 6
M V x' l x' ; pt.x ' M ; pt.x ' b M b l Vlore mxmă momentulu ncovoetor este unde curb forţe tăetore ntersecteză x bscselor. M mx b ş se înregstreză în secţune l ) Se cere s se repreznte dgrmele de efortur pentru br smplu rezemtă, încărctă cu srcnă unform dstrbută (fg.) Rezolvre :Se înlocueşte srcn dstrbută cu o rezultntă cre e o forţă concentrtă egl cu 6ql plctă l mjlocul porţun -. Dn ecuţle de echlbru sttc: Z V + V 6ql M 6ql 7 l V l () se clculeză recţunle: V,8ql; V, ql; Expresle forţe tăetore pe ntervle sunt: T,8ql cst pt.x T,8ql T,8ql q x pt.x 6l T,ql Fg.. Forţ tăetore se nuleză ( ) în punctul, stut l dstnţ x,8l fţă de secţune. T Expresle momentulu încovoetor pe ntervle sunt: M pt.x M M V x x l pt.x l M 7, ql qx pt.x M 7, ql M V (l+ x) pt.x 6l M e porţune -, momentul încovoetor vrză prbolc. În secţune, pentru x,8 l, se obţne vlore mxmă: q Mmx,8ql 5,8l (,8l) 8,8ql ) Se cere s se repreznte dgrmele de efortur pentru br smplu rezemtă, solcttă de un cuplu concentrt (fg.). Rezolvre: Ecutle de echlbru sttc: Z V V M() V l M Recţunle sunt: M V V l Forţ tăetore este constntă în lungul bre: 7
M T T const l Momentul încovoetor: pt.x M M M V x x M l pt.x M l pt.x ' M M M V x' x' M l pt.x ' b M b l În punctul pre un slt egl cu M, vlorle în secţunle dcente fnd b Mstg M ; Mdr M ; l l ) Se cere s se repreznte dgrmele de efortur pentru br în consolă încărctă cu forţă concentrtă ql ş srcnă dstrbută q pe lungme egl cu 8l (fg.). Rezovre: Dn ecuţle de echlbru sttc: Z V+ ql 8ql V ql > sens corect M() M ql l + 8ql 6l M 8ql sens corect se clculeză recţunle dn încstrre: V ql; M 8ql Forţ tăetore re experesle: T V ql const. T V+ qx ql + ql qx pt.x T 8ql pt.x 8l T vând un slt egl cu ql în secţune. Momentul încovoetor re expresle pe ntervle: Fg.. pt.x M 8ql M 8ql ql x pt.x l M ql M 8ql ql(l + x) + ql x pt.x 8l M qx pt.x M ql 8
5)Se cere să se construscă dgrmele T ş M l br dn fgur 5. Se cunoste q N/m Rezolvre Dn ecuţle de echlbru sttc: Z V+ V V+ V M(),5 + V se clculeză recţunle: V N; V N Semnele sunt poztve, cee ce nsemnă că sensurle lese nţle sunt corecte. Expresle forţe tăetore pe ntervle sunt: pt.x T T qx pt.x m T N pt.x T 6N T q(+ x) + V pt.x m T N T V N cst Forţ tăetore se nuleză ( T ) în punctul stut l dstnţ x,5 m fţă de secţune. Expresle momentulu încovoetor pe ntervle sunt: qx pt.x M M pt.x m M Nm q( + x) pt.x M Nm M + V x pt.x m M Nm pt.x ' M T V x' pt.x ' m M Nm pt x,5 m se obţne vlore de extrem momentulu ncovoetor: M mx,5 Nm Fg.5. Cp..Crcterstc geometrce le sectunlor plne..defnt s formule generle de clcul Se consder o sectune pln orecre rportt l un sstem de xe Oz. Se delmtez un element de re nfnt mc d stut l dstntele z, s r de xele O, Oz s, respectv, de punctul O.. Momentul sttc S l une suprfete plne clcult n rport cu o x este egl cu sum produselor dntre elementele de re d s dstnt cestor l x consdert. S zd Sz d () 9
. Momentul de nerte xl l une suprfete plne clcult n rport cu o x este egl cu sum produselor dntre elementele de re d s ptrtele dstntelor cestor l x consdert. I z d Iz d (). Momentul de nerte centrfugl l une suprfete plne clcult n rport cu o pereche de xe O s Oz este egl cu sum produselor dntre elementele de re d s dstntele cestor l cele dou xe consderte. I zd () z. Momentul de nerte polr l une suprfete plne clcult n rport cu un pol este egl cu sum produselor dntre elementele de re d s ptrtele dstntelor cestor l polul consdert. I r d (z + )d I + I O z () Observt : Momentul de nerte polr este egl cu sum momentelor de nerte xle clculte n rport cu o pereche de xe perpendculre ce trec prn cel pol. Observt : [S] m, mm [I] m, mm 5. Rz de nerţe une fgur plne în rport cu o xă su cu un punct este rădăcn pătrtă rportulu dntre momentul de nerţe respectv ş r totlă fgur. Semnfcţ fzcă rzelor de nerţe este cee că rz de nerţe reprezntă dstnţ de l x su polul consdert până l un punct fctv în cre r f concentrtă ntreg re secţun. I I z Io z (5) 6.Modulul de rezstenţă l une secţun plne în rport cu o xă su cu un punct este egl cu rportul dntre momentul de nerţe respectv ş dstnţ de l x su polul consdert până l cel m îndepărtt punct l secţun. I Iz W W W O z O Zmx mx rmx..vrţ momentulu de nerţe cu trnslţ xelor de coordonte Consderăm o secţune plnă rporttă l două ssteme de xe prlele ZOY s Z'O'Y', stfel încât: z' z- ' -b (7) Momentul de nerţe xl I clcult cu relţ de defnţe, v f: I z d (z ) d ' ' O I zd zd+ d I I S + ' I I bs + b z' z z O z'' z z I I + e S bs I I bs S + b Relţle (8) se m numesc ş formulele lu Stener. Obs. Dc sstemul nţl este un sstem centrl de xe (dcă orgne O sstemulu concde cu centrul de greutte l secţun) tunc momentele sttce sunt nule, dcă SSz C urmre, formulele lu Stener se smplfcă ş devn: z (8) (6)
I I I I z O z I I I zg I G G + I + b I + e I GzG + b G zg G (9) Se observă că momentele de nerţe xle ş polre prezntă cele m mc vlor în rport cu sstemul centrl de xe. Regul ce decurg dn formul (9):. Momentul de nerţe xl l une secţun plne în rport cu o xă este egl cu momentul de nerţe xl clcult în rport cu x centrlă prllă l cre se dugă produsul dntre r secţun ş pătrtul dstnte dntre cele două xe.. Momentul de nerţe polr l une secţun plne în rport cu un pol orecre este momentul de nerţe polr în rport cu centrul de greutte l secţun l cre se dugă produsul dntre r secţun ş pătrtul dstnţe dntre cele două puncte.. Momentul de nerţe centrfugl l une secţun plne în rport cu două xe perpendculre este momentul de nerţe centrfugl în rport cu sstemul centrl de xe prlele cu prmele l cre se dugă produsul dntre ş dstnţele între xe..momentul de nerţe centrfugl l une secţun plne n rport cu două xe perpendculre este egl cu sum tuturor produselor dntre elemente de re ş dstnţele cestor l xele consderte. Se observă că momentele de nerţe xle ş polre sunt nşte sclr totdeun poztv, pe când momentele de nerţe centrfugle pot f poztve, negtve su nule. Dcă secţune plnă prezntă o xă de smetre, tunc momentul de nerţe I z în rport cu un sstem ce conţne x de smetre, e nul...vrţ momentelor de nerţe în rport cu rotţ xelor de coordonte Elementul de re d re coordontele ş z în rport cu sstemul Oz, r nole coordonte, ş z, în rport cu noul sstem de xe, O z, rott cu unghul fţă de vechul sstem, sunt: cosα+ zsnα z zcosα snα plcând relţle de defnţe pentru momentele de nerţe rezultă următorele expres le momentelor de nerţe în rport cu noul sstem: I + Iz I Iz I + cos α Izsn α I + Iz I Iz Iz cos α + Izsn α () I Iz I z sn α + Izcos α I I + I O z Vlor extreme le momentelor de nerţe entru determnre vlorlor extreme le momentelor de nerţe se clculeză dervt în rport cu unghul α ş se nuleză: di dα diz dα I Iz sn α I I Iz sn α + I z z cos α I cos α I z z ()
Vlorle extreme le momentelor de nerţe xle se numesc momente de nerţe prncple, r xele se numesc xe prncple de nerţe. Drecţle prncple de nerţe sunt dte de: Iz π tgα α şα α + () I I z Dn () rezultă că xele prncple de nerţe sunt perpendculre între ele. Fţă de un dn xe vem cel m mre moment de nerţe, r fţă de celltă, cel m mc. rn înlocure lu () în relţ () rezultă vlorle extreme: I + Iz Imx, mn ± ( I Iz) + I z () Momentul de nerţe este mxm fţă de x prncplă dn prmul cdrn dcă I z, < ş este mnm, dcă I z >. entru determnre vlorlor extreme le momentelor de nerţe centrfugle, se clculeză dervt de ordnul I n rport cu unghul dublu momentulu de nerţe centrfugl ş se nuleză: di z (I Iz ) I Iz cos α I z sn α tgα dα I z () π α α + Kπ α α + k Momentele de nerţe centrfugle u vlor extreme fţă de un sstem rott cu 5 în rport cu xele prncple centrle de nerţe. Vlorle momentelor de nerţe centrfugle extreme sunt: I ± ( I Iz) + I z (5) z, unde: Dcă se noteză cu u ş v xele prncple centrele de nerţe, ecuţ elpse centrle de nerţe este: u v + (6) v u Iv Iu ; u (7) v r I u, I v sunt respectv I mx, I mn. Dcă cel puţn un dn xele centrle este xă de smetre, tunc xele prncple centele de nerţe concd cu xele centrle...crcterstc geometrce le secţunlor plne smple. Dreptunghul Se consderă o secţune plnă în formă de dreptungh, cu lturle b ş h, rporttă l sstemul centrl de xe Oz. Un element de re l cestu dreptungh se pote consder c o fâşe îngustă, de lungme b ş înălţme d, stută l dstnţ de x Oz. Momentul de nerţe xl l secţun dreptunghulre, în rport cu x O, se pote scre:
h I z d z bdz Iz d hd bh l h rocedând în mod smlr, se găseşte momentul de nerţe xl l secţun dreptunghulre, în rport cu x O. b hb l b Momentul de nerţe polr, în rport cu punctul, se clculeză cu relţ: bh hb I O I + Iz + d l l l în cre: este r secţun dreptunghulu; d - dgonl dreptunghulu. I z. Dtortă smetre fţă de xele O ş Oz, momentul de nerţe centrfugl l dreptunghulu este nul, Rzele de nerţe se clculeză cu relţle: I bh l bh h O d l d O,89h;,89d; Iz hb l bh b z,89b; W respectv, modulele de rezstenţă: I z bh l h mx. ătrtul bh 6 ; W I hb l b z z mx hb 6 ; W I r d l d O mx d 6 Dcă secţune plnă re form de pătrt, formulele de clcul pentru crcterstcle sle geometrce se pot deduce, forte uşor, înlocund în formulele de l secţune dreptunghulră bh. Momentele de nerţe: I Iz ; IO ; Iz l Rzele de nerţe: z,89; O ; Modulele de rezstenţă: W Wz 6 ; W O 6 ;
. Cercul cerculu. Se consder un cerc de dmetru d rportt l sstemul de xe Oz vnd orgne n centrul πr πd IO Dn cuz smetre fgur fţă de cele două xe, exstă relţ: I I + I I I O z z de unde rezult expresle momentelor de nerţe xle: IO π r πd I Iz 6 Dtortă smetre, momentul de nerţe centrfugl este nul, I z. Rzele de nerţe le secţun crculre sunt: I πd d r IO πd d r z. ;. 6 O. πd πd Modulele de rezstenţă: I πd W Wz d 6 d πd ; W O IO d πd d πd 6.Semcercul In rport cu sstemul de xe ce trece prn centrul cerculu dn cre provne semcercul, momentele de nerţe vor ve expresle: πd πd πd I Iz IO I z 8 8 6 In rport cu xele ce trec prn centrul de greutte G l semcerculu, vem: πd πd d πd I G IzG 8 8 π 8 πd πd d IG I G + IzG I zgg 8 8 π 5.Trunghul dreptunghc Se consderă o secţune plnă în formă de trungh dreptunghc, cu lturle b ş h, rporttă l sstemul centrl de xe Oz, vnd orgne n centrul de greutte l trunghulu. Momentele de nerţe xle le secţun trunghulre în rport cu xele O ş Oz sunt: bh hb I ; Iz 6 6 Momentul de nerţe polr, în rport cu punctul, se clculeză cu relţ:
bh hb I O I + Iz + d ; 6 6 8 unde: este r secţun trunghulu; d - potenuz trunghulu dreptunghc. h b Momentul de nerţe centrfugl: Iz 7 Rzele de nerţe se clculeză cu relţle: bh hb d I 6 h Iz ; 6 b IO d z ; l8 O ; bh / bh / respectv, modulele de rezstenţă: bh hb I 6 bh Iz hb W ; W 6 z ; zmx h mx b unde r mx mx( d, d ) b h h b d + ; d + W O r I O mx.5.crcterstcle geometrce le secţunlor plne compuse În czul secţunlor plne compuse, pentru determnre crcterstclor geometrce, se procedeză stfel: )Se descompune fgur (secţune) dtă în fgur smple. )Se lege un sstem de xe convenbl. )În rport cu cest sstem se determnă coordontele z GI, GI, le centrelor de greutte G, le fgurlor smple componente. )Se clcuteză coordontele z G ş G le centrulu de greutte G l fgur cu formulele: zg zg,n () G G 5) Se fgureză sstemul centrl de xe G Gz G 6) Se clculeză momentele de nerţe le secţun compuse c fnd sume lgebrce le momentulu de nerţe le fgurlor componente (pentru momentele de nerţe le fgurlor suprfeţelor cre se extrg dn secţune se doptă semul (-) n I ZG I ZG n I YG I YG () n I + G I ZG I YG I G n I ZGYG I ZGYG 5
IZ I G Z + G d ; d dst(z G,zG) ' ' unde IY I () G Y + G d ; d dst( G,G) ' IZ GY I G ZG Y + G dd ;,n; n nr. fgurlor componente 7) Se clculeză modulele de rezstenţă le fgur compuse folosnd relţle de defnţe: I Z I G YG IG WZ ; WY ; WG ;unde, IZ, IY, I G G G G G sunt clculte cu () z r mx mx mx 8) Se clculeză rzele de nerţe cu relţle dn defnţe. 9) Crcterstcle geometrce le secţun compuse dte în rport cu orce lt sstem de xe trnsltt fţă de sstemul centrl de xe se clculeză plcând formulele lu Stener reltv l întreg fgură. plct. Să se clculeze crcterstcle geometrce le secţun dn fgură. Rezolvre Dtortă smetre fgur în rport cu cele două xe, centrul de greutte l ceste concde ş cu centrul cerculu ş cu cel l dreptunghulu. C urmre, sstemul centrl de xe re orgne în O Fgur se descompune în cercul de dmetru ş în dreptunghul cu dmensunle b ş h, cre se extrge dn suprfţ totlă. Momentele sttce în rport cu sstemul centrl de xe sunt nule. Momentul de nerţe centrfugl este nul pentru că cele două xe le sstemulu sunt xe de smetre. Momentele de nerţe xle ş momentul de nerţe polr sunt: () ( ) πd bh π( ) I I I, 6 6 () ( ) πd hb π( ) ( ) I z Iz Iz,9 6 6 O z (, +,9 ), I I + I Modulele de rezstenţă se clculeză cu formulele de defnţe: I, Iz,9 W 6, W z 5,95 z mx IO, W O,5 rmx Rzele de nerţe sunt: IO, o I, Iz,9, z,8,56,56 ( ) mx,5 π,56,56 Întrucât cele două xe le sstemulu centrl sunt xe de smetre, momentele de nerţe prncple centrle concd chr cu I z ş I, r xele centrle sunt ş xe prncple centrle de nerţe. Semxele elpse centrle de nerţe concd cu z ş. 6
. Să se clculeze momentele de nerţe xle ş modulele de rezstenţă pentru secţune dn fgură n rport cu sstemul z.. In rport cu x z, momentul de nerţe xl l întreg fgur se determnă c sumă lgebrcă momentelor de nerţe le fgurlor componente 7 () () ( ) () () (5) ( 6) ( 7 I I I + I + I + I + I + I + I ) () b h mm I ( ) ( ) b h 8 I I + d + b h d + 8 8 7mm ( ) ( I I ) 5 () b h b h 9 6 9 6 I + 6 + + 6 + 9mm 6 6 ( 5) ( 6) ( 7) ( I I I I ) I + 7 + 9 666mm I In rport cu x z, momentul de nerţe xl v f: () 7 z I z () h b I z mm ( ) ( ) h b 8 I z Iz 9mm 5 6 7 ( ) ( ) ( ) ( ) h b h b 6 9 9 6 Iz Iz Iz Iz + 9 +,5 + 6,5mm 6 6 I I I z z o W W W Rezultă: + 888 + 58 66mm Iz + I 666 + 66 96mm z O Modulele de rezstenţă xle ş polr sunt: I 666 66,5mm z 6 I r mx I z mx O mx 66 7,5mm 9 96 6mm 6 7
Cp.. Solctr xle smple..tensun l solctrle xle smple (trctune s compresune) O br drept este supus l o solctre xl smpl (l ntndere su compresune) dc br este solctt l cpete de dou forte xle, egle s de sens opus. Se consder o br drept solctt l trctune prn plcre l cpete dou forte egle s de sens opus, orentte ctre exterorul bre (dc fortele sunt orentte ctre nterorul bre re loc solctre de compresune). Dtort solctr exterore, n br pr tensun normle consderte constnte n orce punct l sectun trnsversle bre, vnd formul: σ () Relt () stbleste mrme tensun normle s l solctre xl de ntndere (su trctune) une bre cu r sectun trnsversle s solctt de fort. Condt de rezstent bre cere c vlore tensun efectve dezvoltt n br s fe m mc dect rezstent dmsbl mterlulu dn cre este confectont br. Cu relt () se pote clcul r sectun trnsversle, dc se cunoste fort de ntndere s se lege vlore rezstente dmsble. In cest cz, relt foloseste l dmensonre s se scre sub form: nec () σ tunc cnd sunt cunoscute fortele exterore cre ctonez supr bre s dmensunle ceste, relt () pote folos l verfcre eforturlor untre ce u nstere pe sectune s se scre sub form σ ef σ () ef Cnd se cunosc dmensunle sectun trnsversle s mterlul dn cre este executt pes, cu jutorul relte () se pote clcul srcn pe cre o pote suport. In cest cz, relt se scre sub form: mx cp ef σ () Observt.Reltle (), (), () s () sunt vlble s pentru solctre de compresune..entru o br supus smultn s l forte de ntndere s l forte de compresune, trebue s se dopte semnul + pentru ntndere s semnul pentru compresune. C urmre, s tensunle vor f poztve pentru ntndere s negtve pentru compresune...deformt s deplsr l brele drepte solctte l ntndere Dc tensunle ce se produc ntr-o br drept de sectune constnt de re s de lungme l, solctt l ntndere nu depsesc lmt de elstctte, ntre tensun s deformt exst relt: σ E ε (5) numt Lege lu Hooke. Inlocund n relt (5) relt () s, tnnd cont de relt de defnte deformtlor lnre specfce : l ε (6) l se obtne: l E (7) l de unde rezult c deformt bsolut totl bre: l l (8) E 8
Dn cest relte se observ c deformt totl bre este proportonl cu lungme ceste s nvers proportonl cu produsul E, cre port numele de rgdtte l solctre xl. cest relte, c s relt (), pote f scrs c relte de dmensonre, de verfcre su pentru determnre forte cpble, dup cum urmez: - pentru dmensonre, l nec E l (9) - pentru verfcre, l lef E ef l () n cre -pentru determnre forte cpble, l l cp E () l este deformt lnr bsolut dmsbl (lungre su scurtre). In czul n cre fort xl vrz n lungul grnz, sectune ceste rmnnd constnt, n reltle (), (), (9) s () se foloseste vlore mxm forte xle. Dc br este formt dn n tronsone, stfel nct tronsonul re lungme l, fort xl vrz n functe de x, r sectun trnsversle vrz n functe de x s mterlul dn cre este confectont tronsonul este E, tunc formul de clcul pentru deformt bsolut este: n (x) dx l () l E (x) De obce, cnd se mpune une pese s rspund s condte de rezstent s cele de rgdtte, pentru dmensonre se folosesc reltle () s (9), legndu-se, n fnl, solut ce m fvorbl, dc dmensune ce m mre...tensun ş deformţ l bre drepte ţnând cont de greutte propre L brele de lungme mre cre se flă în pozţe vertclă este necesr să se ţnă cont de greutte propre în clculul l întndere su compresune. Se consderă br dreptă vertclă de lungme l, cu sectune constt, cu rgdtte Ect. confecţontă dn mterl omogen cu greutte specfcă γ. Br este ncstrtă l cpătul superor ş solcttă l întndere de o forţă l cpătul lber, precum ş de greutte propre. Într-o secţune flt l dstnt x de cpătul lber, forţ xlă este eglă cu N x + γx r efortul untr N σ x x + γx (8) σ B C Dec, Nx ş σx vrză lnr de- lungul bre. L extremtăţle bre vlorle tensunlor normle sunt: σ σmn σ + γl σmx (9) secţune perculosă este l cpătul încstrt l bre. entru dmensonre se egleză σ σ ş se obţne nec σ γl () L bre cu lungm forte mr se pote produce rupere cestor sub greutte propre (; γ ). Lungme de rupere sub efectul greutăţ propr se clculeză cu relţ: r l r mx 9
σ l r r () γ ungre l întreg bre se obţne ntegrând pe lungme l : + γl l l γl l dx l dx +. l + γ E E E E Ţnând de greutete bre G γl, se obţne: l G l + E () Gl r pentru, l () E Br de lungme mre ş secţune constntă este o soluţe neeconomcă de utlzre mterlulu. Soluţ corectă o consttue br de eglă rezstenţă l întdere su compresune, l cre efortul untr norml este constnt în lungul bre. r secţun bre trebue să vreze de- lungul ceste după o lege exponenţlă. Lege exponeţlă de vrţe secţun bre este x γ x σ e (5) In czul bre de eglă rezstenţă, r secţun nferore este: ; σ (6) r r sectun superore: γl σ mx e (7) σ Greutte bre de eglă rezstenţă se determn dn condt de echlbru sttc tuturor fortelor xle cre solct br: G mx σ (8) r lungre totl este: l l σ σ l dx dx ε l (9) E E Constructv, o bră de eglă rezstenţă este dfcl de executt. E se înlocueste prntr-o bră cu vrţe în trepte secţun trnsversle, relzblă constructv m smplu. plcând succesv formul de dmensonre () pentru br dn fgur se obţne nec σ γl ; G γl ef ; () nec + G ; G γl ef ; () σ γl G... G + + + n n nec ; G n γlnn ef σ γln ; () lungre totlă se determnă prn însumre lungrlor tronsonelor componente le bre: l l + l +... + ln ()
unde: l l + G E. () l l + G+ G E (5) ln ln + G+ G +... + Gn En (6) Observţe Formulele de clcul stblte pentru brele vertcle lung solctte l întndere sunt vlble ş pentru brele vertcle solctte l compresune ţnând cont ş de greutte propre, cre este de semene o forţă de compresune dcă nu ntervn fenomene de perdere stbltăţ..5.ssteme sttc nedetermnte solctte xl Sstemele sttc nedetermnte solctte xl sunt ssteme de bre l cre numărul necunoscutelor depăşeşte numărul condţlor de echlbru mecnc (cel mult 6). Dferenţ dntre numărul totl de necunoscute ş numărul condţlor reprezntă grdul de nedetermnre l sstemulu. entru rezolvre unor semene probleme se completeză numărul condţlor de echlbru cu un număr corespunzător de ecuţ deduse dn nlz modulu de deformre sstemulu respectv, stfel ncât să se obţnă un sstem cu număr egl de ecuţ s necunoscute. În generl, pentru un sstem dt sttc nedetermnt, rezolvre problemelor presupune prcurgere următorelor etpe: ) se scru ecuţle de echlbru sttc; ) se stbleşte grdul de nedetermnre GN-n, unde: n numărul de ecuţ de echlbru sttc, N numărul de necunoscute; ) se stblesc condţle de comptbltte deformţlor, dcă relţle geometrce între deformţle dfertelor bre dn sstem; ) cu jutorul leg lu Hooke se explcă deformţle xle le brelor în funcţe de efortur ş se ntroduc în ecuţle deformţlor; 5) se rezolvă sstemul complet de ecuţ obţnut ş se determnă eforturle longtudnle dn tote brele sstemelor.. Bră dublu rtcultă solcttă xl Se consderă o bră dreptă rtcultă l mbele cpete ş cţontă pe deschdere de o forţă xlă. ΣX > H + H Dn condţle de echlbru sttc: ) ΣZ, ) ΣM rezultă recţunle vertcle dn rezeme: V V Condţ de echlbru sttc dn mecncă: Rezultă o ecuţe ş două necunoscute, dec problem este smplu sttc nedetermntă, întrucât grdul de nedetermnre este egl cu. Se completeză ecuţ () cu o ecuţe ce decurge dn nlz deformăr bre. Br, fnd rtcultă l mbele cpete, nu pote să-ş modfce lungme nţlă (nu re posbltăţ de deplsre pe orzontlă), dec: lf l ltot l tot l+ + l + b H + (H ) b H + H > > H ( + b) + b
> H H b H σ σ σ H σ σc t entru verfcre brelor se clculeză tensunle l trcţune ş compresune ş se compră cu rezstenţele dmsble le mterlulu l cele două solctăr: N σ mx t mx t σt Nmx c σmx c σc Obvervţe. L oţelur cre se comportă prope dentc l întndere fţă de compresune, dcă σ t σ c, se în clcul mx( σmx t, σmx c ) ş se fce verfcre pentru cestă vlore. L lte mterle, cum este, de exemplu, font, cre u comportăr dferte l întndere fţă de compresune, dcă σt σ c cele două condţ trebue stsfăcute smultn. B. Ssteme de bre prlele solctte xl Se consderă o bră forte rgdă (dec, prctc, nedeformblă) dspusă orzontl ş suspendtă prn bre vertcle su fre vând rgdtăţ mult m mc. Fecre bră e crcterztă prn mărmle: E,, I. Dstnţ de l br l br n se noteză: d, n. Dstnţ de l suportul forţe l br n se noteză: d, n. În bre se creeză tensun dtortă solctăr cu forţ. pr n necunoscute: N ; unde...n. ot f scrse două condţ de echlbru: n N () n Mn N d,n dp,n Se obtne un sstem de ecuţ cu n necunoscute, dc se obtne un sstem de (n-) or sttc nedetermnt. Br rgdă, vând rgdtte forte mre, nu se deformeză sub cţune sstemulu de forţe, dor brele se deformeză, suportând lungr, stfel încât br rgdă se deplseză N N N Nn pe vertclă în jos, putând f supusă une rotr cu un ungh α fţă de drecţ nţlă xe sle. Dec m pot f scrse următorele relţ dn trunghurle semene cre se formez: l l l l ln ln ln ln tgα... cst () d, d, d n,n d n, În relţle () pr n- egltăţ, dec rezultă în fnl un sstem formt dn ()+(), dn n egltăţ cu n necunoscute, dec un sstem determnt. În relţ () se înlocuesc cu deformţle bsolute prn expresle corespunzătore solctărlor xle:
Nl l (), unde, n E N În fnl, se verfcă brele rtculte: σ σ (), unde, n C. Bre cu secţun neomogene solctte xl Sunt brele l cre în secţune trnsverslă pr cel puţn su m multe mterle dferte. Se consderă o bră de construcţe smetrcă, l cre mterlele componente reprezntă clndrc concentrc. Br este supusă l compresune prn ntermedul plăc pentru c efectul compresun să pră l tote mterlele. Lungmle nţle le peselor nsmblulu sunt: l l Compresune, prn ntermedul plăclor, determnă c tote mterlele să se deformeze l fel, dcă cu ceeş cnttte stfel încât lungmle lor fnle: l f ct,,n f l l l ct,,n () l l ε ct () l l dcă, ε ε... εn () Dr: N ε E () Condţ de echlbru mecnc: n N (5) > ecuţe; n necunoscute, dc sstem de (n-) or sttc nedetermnt Dn () ş () > N E N E N n... E n n N n E n n E Eglând pe rând, fecre rport cu ultmul, se determnă necunoscutele: E N n E... > >, n E N n E... En N n n n E În fnl, se verfcă mterlele: N E σ σ,, n n E (6)