NDREESCU ŞT OCNU PROBLEE DE REZSTENŢ TERLELOR BUCUREŞT 00
PREFŢĂ Proiectre cu succes elementelor de construcţii de mşini este imposibilă fără o cunoştere profundă Reistenţei terilelor legere formei, dimensiunilor şi mterilului piesei, stfel c cest să preinte sigurnţă în explotre într-un mod cât mi economic, este posibilă numi pe b unor studii privind reistenţ, deformbilitte, stbilitte şi durbilitte l modul generl şi prticulr l problemei principiile cre stu l b reolvării cestor probleme constituie obiectul Reistenţei terilelor Lucrre de fţă preintă noţiunile, metodele şi procedeele de clcul sub o formă decvtă înţelegerii spectelor fiice şi plicării cestor în curi specifice din domeniul construcţiilor de mşini şi utiljelor din construcţii Fiecre cpitol cuprinde formulele de clcul necesre, urmte de probleme reolvte ce constituie exemple concrete de clcul de proiectre unor piese de mşini şi utilje, exemple ce sunt utile studenţilor c plicţii l cursul de Reistenţ terilelor, cât şi l elborre proiectelor de n şi diplomă UTOR
Cuprins Prefţă--------------------------------------------------------------------------- Digrme de eforturi pentru structuri sttic determinte lcătuite din bre drepte --------------------------------------------------------------------- Digrme de eforturi l bre drepte plne-------------------------------7 Digrme de eforturi pe grini cu console şi rticulţii-------------- Digrme de eforturi pe cdre plne ( sisteme de bre plne încărcte în plnul lor)---------------------------------------------------------9 Digrme de eforturi pentru sisteme spţile--------------------------9 5 Digrme de eforturi pe sisteme plne încărcte cu srcini normle pe pln----------------------------------------------------------------------------- Crcteristicile geometrice le suprfeţelor plne ----------------------50 Solicitre xilă centrică--------------------------------------------------6 Verificre, dimensionre, deplsări-------------------------------------6 Clculul îmbinărilor brelor solicitte xil---------------------------6 Îmbinări nituite------------------------------------------------------6 Îmbinări sudte------------------------------------------------------6 Sisteme sttic nedeterminte solicitte xil--------------------------66 nfluenţ vriţiei de tempertură l sisteme sttic nedeterminte--------------------------------------------------------------66 Încovoiere brelor drepte---------------------------------------------------8 Încovoiere pură-----------------------------------------------------------8 Încovoiere simplă--------------------------------------------------------8 Lunecre longitudinlă--------------------------------------------------85 Solidrire cu nituri l grinile metlice---------------------86 Solidrire prin sudură l grinile metlice------------------87 5 Deformre grinilor drepte solicitte l încovoiere-------------------0 5 Ecuţi diferenţilă fibrei medii deformte-----------------------0 5 etod integrării directe ecuţiei diferenţile-------------------- 5 Reemări idele Condiţii l limită--------------------------- 5 etod grinii conjugte---------------------------------------------- 5 Corespondenţ între reemele grinii rele şi conjugte--- 5 etod prmetrilor în origine--------------------------------------- 6 Vriţi tensiunilor în jurul unui punct----------------------------------- 6 Stre de tensiune spţilă--------------------------------------------- 6 Stre plnă de tensiuni------------------------------------------------5 7 Torsiune----------------------------------------------------------------------6 7 Torsiune brelor cu secţiune circulră------------------------------6
7 Torsiune brelor cu secţiune orecre------------------------------8 7 Sisteme sttic nedeterminte l torsiune-----------------------------5 7 rcuri elicoidle cu psul mic----------------------------------------5 8 Studiul deplsărilor prin metode energetice-----------------------------80 8 etod ohr xwell----------------------------------------------80 8 etod Veresceghin--------------------------------------------------8 8 Energi potenţilă de deformţie în funcţie de eforturi------------8 8 Energi potenţilă de deformţie totlă brelor------------8 9 Teorii de reistenţă----------------------------------------------------------96 9 Relţii între tensiuni şi deformţii------------------------------------96 9 Teorii de reistenţă-----------------------------------------------------97 0 Solicitări compuse----------------------------------------------------------0 0 Încovoiere dublă su oblică------------------------------------------0 0 Încovoiere simplă cu forţă xilă------------------------------------0 0 Încovoiere dublă cu forţă xilă-------------------------------------06 0 Încovoiere cu torsiune-------------------------------------------------09 Sisteme sttic nedeterminte-----------------------------------------------0 etod eforturilor-----------------------------------------------------0 Grini continue--------------------------------------------------------- Bre curbe plne-------------------------------------------------------------6 Flmbj-----------------------------------------------------------------------70 Flmbjul brei drepte solicittă l compresiune------------------70 Clculul prctic l flmbj--------------------------------------------7 Flmbjul brelor cu secţiune compusă-----------------------------7 Clculul brelor comprimte şi încovoite-------------------------76 Solicitări dinmice----------------------------------------------------------90 Solicitări dinmice prin şoc-------------------------------------------90 5 Solicitări vribile-----------------------------------------------------------98 5 Solicitări stţionre----------------------------------------------------98 5 Fctorii cre influenţeă reistenţ l oboselă-------------------99 5 Clculul coeficientului de sigurnţă l solicitări vribile-------00 Bibliogrfie-------------------------------------------------------------------05
CPTOLUL DGRE DE EFORTUR PENTRU STRUCTUR STTC DETERNTE LCĂTUTE DN BRE DREPTE Grficele cre se obţin prin repreentre vlorilor eforturilor prin ordonte în dreptul secţiunilor repreintă digrmele de eforturi Eforturile sunt forţele de legătură de pe feţele unei secţiuni, ce repreintă cţiune mecnică (efectul) părţii îndepărtte Structurile de bre sunt sttic determinte tunci când tât recţiunile cât şi eforturile pot fi determinte numi din ecuţii de echilibru sttic structurile pot fi plne su spţile Reemele sistemelor plne pot fi: reem simplu rticulţie plnă încstrre
Eforturile din secţiune unei bre plne, cu forţe cţionînd în plnul său, sunt în număr de trei: N-forţ xilă, repreintă sum proiecţiilor pe x brei din secţiune considertă tuturor forţelor de l stâng secţiunii (su celor de l drept) se consideră poitivă când, pe fţ din drept secţiunii, este de sens invers în rport cu x x (sens fiic-este de întindere) T-forţ tăietore, repreintă sum proiecţiilor pe norml l x brei în secţiune considertă tuturor forţelor de l stâng secţiunii (su celor de l drept) se consideră poitivă când, pe fţ din drept secţiunii, re sens invers în rport cu x (sens fiic-roteşte corpul pe cre se plică în sens orr) -moment încovoietor, repreintă sum momentelor în rport cu centrul de greutte l secţiunii considerte tuturor forţelor de l stâng secţiunii (su celor de l drept) se consideră poitiv dcă, în repreentre cu vector cu săgetă dublă, re celşi sens cu l xei ce serveşte drept suport(sens fiic-întinde fibr inferioră brei su întinde jos/comprimă sus) Ordont poitivă pentru momentul încovoietor se repreintă sub lini de referinţă,dică de prte fibrei întinse brei L trsre digrmelor de efort se ţine în permnenţă sem de relţiile diferenţile între eforturi: d dt p, dx dx în cre p repreintă intensitte srcinii distribuite, pe intervlul de trsre considert 5
Pornindu-se de l ceste relţii se stbilesc următorele reguli, utile în construire digrmelor de eforturi: ) În dreptul unei srcini concentrte, digrm forţei tăietore preintă un slt egl cu srcin normlă din punctul respectiv şi în sensul cestei, când sensul de prcurgere l brei este de l stâng l drept în cul srcinilor concentrte digrm forţei tăietore este constntă ir digrm de moment încovoietor este liniră, în plus, în dreptul srcinii concentrte digrm de moment încovoietor re un vârf în dreptul forţei concentrte ) Digrm de moment încovoietor preintă slt în dreptul unui cuplu concentrt cre cţioneă supr brei ) Pe un reem simplu su rticult de cpăt l brei, neîncărct cu moment concentrt, momentul încovoietor este nul ) Când pe bră cţioneă srcini uniform distribuite, forţ tăietore vriă linir, ir momentul încovoietor re vriţie prbolică 5) În secţiunile în cre forţ tăietore se nuleă, digrm de moment încovoietor preintă un punct de extrem, curb de vriţie digrmei (de moment) ţinând srcin 6
Digrme de eforturi l bre drepte plne Să se trsee digrmele de efort pentru următorele grini simplu reemte: Problem (fig) fig 7
Clculul recţiunilor: X 0 H 0, V V C B P / B C 0 Pl V 0 Pl V P / C C l Problem (fig) B l 0, 0, Verificre recţiunilor: Y 0 P P / P / 0 Clculul forţelor tăietore: T P T, dr Bst TBdr P P / P / TCst Clculul momentelor încovoietore: 0, B C Pl, 0 fig 8
Clculul recţiunilor: X 0 H 0, D 0 V 0 V D l Pl Pl l Pl Pl 0 V 0 V Verificre recţiunilor: Y 0 P P P P 0 Clculul forţelor tăietore: T P T, T T Bdr Cdr Bst P P 0 T Cst P P P P T Problem (fig), Dst D P, P Un lt mod de clcul l recţiunilor verticle: sistemul fiind simetric dpv geometric şi V mecnic, recţiunile sunt egle între ele şi egle cu jumătte din încărcre încărcre exterioră: P V V P / P D Clculul momentelor încovoietore: 0, B Pl, C Pl Pl Pl, 0 D fig 9
Clculul recţiunilor: 0 000 9 000 0, 6 0 000 9 000 0 0, 0 kn V V kn V V H X C C C C Clculul momentelor încovoietore: 0, 6 6000 000 6 0, C B knm knmm Clculul forţelor tăietore: 9 6, 6 Cst Bdr Bst T kn T T kn T Problem (fig) fig 0
Clculul recţiunilor: X 0 H C 0 V 0 V C 0, 000 9000 0 V 000 9000 0 V C kn, kn lt mod de clcul l recţiunilor se beă pe observţi că recţiunile formeă un cuplu egl şi de sens contrr cuplului extern (încărcre) de 9 knm, şdr: V VC V 000 9000 [ knmm] V VC kn Clculul forţei tăietore: T kn TCst Clculul momentelor încovoietore: 0 Problem 5 (fig 5) Bst Bdr C knm 9 6kNm 0 fig5
Clculul recţiunilor: X 0 H 0, V B 0 6 5 V 5kN, C B 0 6 05 V VC 5kN Verificre recţiunilor: 6 5 5 0 B C 0 0 Clculul forţei tăietore: T dr 0, T T Bst Bdr 6 6kN, 6 5 75kN, TCst 6 5 5kN Clculul mom încovoietore: 0, 6 05 knm, 0, 5 075 6 075 075 / 68kNm Digrm de forţă tăietore intersecteă x de referinţă l distnţ x fţă de extremitte din drept: T x 5 6 x 0 x 5/ 6 075m Problem 6 (fig6) B C mx mx fig 6
Clculul recţiunilor: 6 V VD 6kN Clculul forţei tăietore: T 6kN dr T B T 6 6 6kN C T Dst Clculul momentelor încovoietore: 0 Bst Bdr mx ( x 6m) Cst Cdr D 6 8kNm 8 6 knm 6 6 6 5 knm, 6 9 6 6 knm 6 8kNm 0 Problem 7 (fig7) fig7
Clculul recţiunilor: Verificre recţiunilor: Clculul forţei tăietore: Clculul momentelor încovoietore: 5 0, 05 5 0, 875 0, 5 5 0 q V q q q V q V q q V C C B B B C 0, 0 H X C 87 5 0 q Y 0 5 5 q q q 0, T 5 5, 5 875 5, 875 875, Dst Cdr Cst Bdr Bst T q q q T q q q T q q q T q T 0, ( ), 6 875 875 875 875, 875 0 875 0, 05 875 mx q q q q q q x q x q T q q C x X B
Problem 8 (fig8) fig8 Clculul recţiunilor: X 0 H B kn, V V V V F F 0 5 05 5 05 0 kn, F 0 5 5 05 5 0 kn Verificre recţiunilor: Y 0 05 0 Clculul forţei xile: 0 N E cos5 kn NF 5
Clculul forţei tăietore: roblem 9 (fig9) Clculul momentelor încovoietore:, B dr T kn T 05 05, 5 05 0 5, 5 05 05, 05 knm knm knm knm E D C B 0,, 0, 0 9, 9 05 Fst Edr Est D Cdr Cst T kn T T kn T kn T kn T P fig9 Clculul recţiunilor: H X 0 q q q 5 cosα, 95 0 5 5 55 8 sin 0 0 q V q q q q V F α tgα/ sinα/5 cosα/5 6
765 0 0 5 0 5 5 sin 0 q V V q q q q F F α Verificre recţiunilor: 0 5 sin 95 765 0 q q q q q Y α Clculul forţelor tăietore: 5 5, 07, 075 95, 95 q q T T q q q T T q q q T T q T Fdr Fst D C Bdr Bst Clculul momentelor încovoietore: ( ) 885 075 075 75 sin 075 9 075 / 075, 075 5 5, 57 57, 57 67, 67 5 07 857, 857 075 787, 787 95 0, mx q q q q q q x q q q q q q q q q q q q q q q q q V x F Edr Est D C B α 7
Problem 0 (fig0) fig0 Clculul forţei xile: 0 N F cos0 F N D Clculul forţei tăietore: T F T, T T dr Bdr Bdr F F F, T Dst Bst 8
Clculul momentelor încovoietore: 0,, sin0, sin0 0, 0 0 F F F F F F F F F F F D Cdr Cst B Problem (fig) fig 9
Clculul forţelor tăietore:, 0, Cst Cdr D E T q q q T T q T T Clculul momentelor încovoietore: 0,,, 0, q q q q q q q q q q q Bst Bdr D E 0
Digrme de eforturi pe grini cu console şi rticulţii Sunt sisteme de bre drepte fixte l teren printr-o rticulţie su încstrre şi reeme simple, brele sistemului fiind legte între ele prin rticulţii intermedire Se studiă dcă sistemul este su nu sttic determint se defineşte grdul de nedeterminre sttică l unui sistem c fiind: n L C (pentru sisteme de bre plne) în cre s-u nott: C-numărul de corpuri libere deschise, L-numărul de legături echivlente legăturilor simple cre trebuie suprimte pentru obţinere C corpuri pentru n 0 sistemul este sttic determint Ecuţiile de echilibru pentru sistem se pot scrie pentru tot sistemul în nsmblu su pentru fiecre corp în prte un sistem precum cel în discuţie este formt dintr-o prte independentă şi un su mi multe părţi fundmentle Părţile independente su corpurile de tip sunt corpuri le căror forţe de legătură pot fi determinte din ecuţiile de echilibru proprii Forţele de legătură le părţilor independente depind numi de forţele exteriore cre cţioneă supr lor Părţile fundmentle su corpurile de tip sunt elemente pentru cre nu se pot determin în mod direct recţiuni din ecuţii de echilibru forţele de legătură de pe părţile independente devin srcini ce cţioneă supr părţilor fundmentle
Problem (fig) fig Determinre grdului de nedeterminre sttică: n L C 6 0 prte independentă este BCD
Clculul recţiunilor:, / V V D VD devine încărcre (cţiune) pe prte fundmentlă DEF, / 5 0 5 6 0, / 6 0 0 V V V V E E F F F E Clculul forţelor tăietore: / 6, /, / V T T T T F Edr Est D Clculul momentelor încovoietore: ( ) 66,, 67, 0, E Cdr Cst Bdr Bst
Problem (fig) fig
Prte independentă este CD din rţiuni de simetrie se pote scrie: 0, 06 0, q V q V q V V E DEF F BC B D C Clculul momentelor încovoietore: 5 067,, 06, 6 q q q q q q q q q V Hdr Hst G C B Problem (fig) Prte independentă este CD5 clcul recţiunilor: 8 8 0 067 6 0, 067 6 0, 6 0 5 q q q q q V q q q V q H X B C C C D C Clculul forţelor tăietore şi l momentelor încovoietore:, 067, 0667, 06 66 9, 9 8,, 8 08,, 6 8 067 q q q q V q q q q q q q q q q q T q T q q q T D st C dr B dr st Bdr 5
fig 6
Problem fig 7
Prte independentă EFG clculul recţiunilor:, 07 5 05 05 5 0, 05 q q q q q V q q q V V B E D E Clculul forţelor tăietore şi l momentelor încovoietore: 0 05, 5 05, 05, 5 0, 07, 0 05, 5 05 mx 0 q q q q q q q q q q q q q q x x x q x q T q q q T J Fst D C x J 8
Digrme de eforturi pe cdre plne (sisteme de bre plne încărcte în plnul lor) ntersecţi două bre repreintă un nod dcă unghiul făcut de cele două bre rămâne constnt şi după deformre, nodul se consideră rigid Structurile (sistemele) de bre cre u cel puţin un nod rigid se numesc cdre cdrele pot fi plne su spţile În cul unui nod rigid (în pln), în cre se intersecteă numi două bre, momentele sunt egle şi întind ceeşi fibră Lini de referinţă pentru repreentre digrmelor este dtă chir de schem sistemului de bre pentru fiecre bră în prte trebuie les un sistem de referinţă propriu, în cre x x este intotdeun dtă de x longitudinlă brei în discuţie Dcă digrmele de efort sunt trste corect, nodurile sistemului trebuie să fie în echilibru Pentru verificre se sepră fiecre nod, prin secţionre brelor din nod şi se introduc pe feţele secţiunilor eforturile, ţinându-se sem de convenţi de semne şi de sensul de prcurgere 9
Problem (fig) Clculul recţiunilor: 0 0, 0 0, 0 P V V P P P V V P P P H X E E E E Verificre nodului C: Problem (fig) Corpul -C este prte independentăclcul recţiunilor şi eforturilor:, 7 0 6 05 875 0, 60 0 65 7 875 6 0, 875 0 5 5 0, 5 0 5 5 0 q V V q q q q q q V q q q q q V q V q V q V q V J J E E E EJ J C C C B B B C C ( ) 9, 059 07 008, 008 97, 97 07 75, 758 875, 75 05 875 07 60 875 mx q q q q q q q q q q q q q q q T q q q q q q T G Fdr Fst C C CD D DF D 0
Problem (fig) Clculul recţiunilor şi l eforturilor secţionle:, 8 5 6, 5 5, 6 0,, 5 cos 06 cos, 6 sin 08 sin, 58 0 5 0 0 0, 0, 5 0 0 0, 0 q q q q q q q q V T q V N q V q q q V q V q q V q H X CD D D D DE D CD D D D B B B B α α α α 88 8, 8, 58 7 7, sin cos, cos sin mx q q q q q T q q q q q q T T q N T T T q N T N N DE D DE D EB E DE D DE E D D D D CD D DE D D D D D CD D DE D α α α α
5
Problem (fig) Clculul recţiunilor: 8/ 0 0, 0 6 8 0 q H q q H q V q q V C C B q 8/q q 8/q Nodul D: Problem 5 (fig5) Clculul recţiunilor şi l eforturilor secţionle: 96,,, 78 5 0, 0 0 5 6 0 0 0 5 7 8 0 q q q q T q q q T q V q H q H H V H V q q H V EB E CE E EF E CE E C C B 6
7
8
Digrme de eforturi pentru sisteme spţile În cul unei structuri spţile, eforturile într-o secţiune sunt: N-efort xil, T, T forţe tăietore,, momente încovoietore, x t moment de torsiune ceste eforturi se pot clcul într-o secţiune curentă l fel c l sistemele plne, prin reducere forţelor fie de l stâng, fie de l drept Convenţi de semne pentru ceste eforturi: se consideră poitive dcă, pe fţ din drept unei secţiuni orecre, sunt dirijte c în figură: Pentru fiecre bră structurii se figureă un sistem (triedru) de xe de referinţă: x x prlelă cu x brei, orienttă în sensul de prcurgere, x orienttă pe verticlă în jos, în măsur în cre este posibil, ir x orienttă stfel încât, pentru un observtor situt pe x x şi privind către origine, x să se rotescă în sens orr cu 90 0 pentru se suprpune cu x 9
Problem Să se trsee digrmele de eforturi pentru cdrul spţil din figur Problem Să se trsee digrmele de eforturi pentru sistemul spţil din figur Clculul eforturilor secţionle: [ ] [ ] [ 0, 0, 0,,, 0,, 0,,, 0, 0,, 0,, 0, : 0, : 0, : ] F F x F x F F T x F T x F F T F T F T F T N F N F N x D C x C B x B x x x Problem Să se trsee digrmele de eforturi pentru cdrul din figur Clculul eforturilor secţionle: [ ] [ ],,,, 0,,,,, 0, 0, : 0, : x F x F F x F x F F F T F T F T F N F T N x C B x B x x [ ],,,,, 0, : x F F F T x F F F T F F F N x D C Y x 0
5 Digrme de eforturi pe sisteme plne încărcte cu srcini normle pe pln Din cele şse eforturi cre pr într-o secţiune curentă în cul structurilor spţile, pentru sistemele plne cu forţe normle pe pln vor rămâne un număr de trei eforturi, nume: forţ tăietore T, momentele şi x t Pentru determinre recţiunilor se pot scrie trei ecuţii de echilibru: o ecuţie de proiecţii după norml l pln şi două ecuţii de moment fţă de două drepte cuprinse în plnul sistemului Problem 5 Să se trsee digrmele de eforturi pentru cdrul din figur 5 Clculul recţiunilor: 0 V q 0, V q, CE CB Y 0 0 V C V E q 05 q 0, 5q V E 75q, Problem 5 Să se trsee digrmele de eforturi pentru sistemul de bre din figur 5 Clculul recţiunilor şi l eforturilor secţionle: 0 V q q 0, V q, V D 0 0 5q, G B B CD C D CDE D C V V D C q q sinα q cosα q sinα q cosα 0, q q 6q q q 6q q q q q q 0,,,, V C 5q,
5
6
Problem 5 Să se trsee digrmele de eforturi pentru cdrul din figur 5 Clculul recţiunilor: 0 V q 5 0, V 5q, DE DD Y 0 0 V D V E q V 075q 0, V E 5q, Problem 5 Să se trsee digrmele de eforturi pentru sistemul de bre din figur 5 Clculul recţiunilor: 0 q 05 V 0, V 075q, verificre BE C ED Y 0 0 0 V B V D V q V q V 0, 0, V q q 075q 075q 0 E D B D E 0, V E V 075q, B D q, 7
8
9
CPTOLUL CRCTERSTCLE GEOETRCE LE SUPRFEŢELOR PLNE Fie notţiile, le coordontelor centrului de greutte l elementului de suprfţă d din figură: omentele sttice le secţiunii plne, în rport cu xele de coordonte Y, Z sunt: S d S Z Y d În cul în cre momentele sttice sunt nule, S S 0, reultă fptul că xele Z şi Y sunt xe centrle (trec prin centrul de greutte l suprfeţei) Coordontele centrului de greutte vor ve expresiile: 50
i i i i i G i i i i i G d d d d b omentul de inerţie xil l secţiunii plne în rport cu x Z se defineşte c: Z d, ir momentul de inerţie xil l secţiunii plne în rport cu Y, respectiv: Y d momentele de inerţie xile geometrice sunt intotdeun poitive omentul de inerţie centrifugl l secţiunii plne în rport cu xele de referinţă le celuişi sistem se defineşte c: Y Z d ir momentul de inerţie polr l secţiunii plne: p d r în cre r repreintă vectorul de poiţie l centrului de greutte În plus: reultă că: Y Z p r Sistemul de xe cre trece prin centrul de greutte l suprfeţei este definit c un sistem de xe centrle xele fţă de cre momentul de inerţie centrifugl este nul sunt xe principle de inerţie dcă ceste xe trec şi prin centrul de greutte ceste se vor numi xe centrle principle de inerţie 5
Se definesc drept re de inerţie su girţie următorele crcteristici: i i i p p Y Y Z Z Clculul momentelor de inerţie l trnslţi xelor se fce cu jutorul relţiilor de form: b b ZY Y Z Y Z Z omentele de inerţie xile sunt mici pentru elementele de suprfţă din propiere centrului de greutte l întregii secţiuni cu cât ceste se depărteă de centru cu tât crcteristicile geometrice corespunătore se vor mări În cul în cre form suprfeţei în discuţie se compune din mi multe figuri geometrice simple, l cre se consideră cunoscute momentele de inerţie în rport cu xele centrle proprii, momentele de inerţie în rport cu sistemul generl centrl de xe se clculeă cu expresiile: ( ) ( ) ( ) i i i i ZiYi ZY i i i Yi Y i i i Zi Z b b Clculul momentelor de inerţie l rotţi xelor cu un unghi α se v efectu cu relţiile: cos sin sin cos sin cos α α α α α α ZY Y Z Y Z ZY Y Z Y Z Y ZY Y Z Y Z Z 5
Vlorile extreme le momentelor de inerţie xile, numite momente de inerţie principle, sunt dte de relţi: Z Y Z Y, ± ZY în cre, prin convenţie: > xele fţă de cre momentele de inerţie u vlori extreme se numesc xe principle de inerţie din condiţi: d Z 0, reultă: d( α ) ZY tg( α ) cu rădăcinile α şi απ/ Reultă că direcţiile şi sunt ortogonle, în plus, pentru precire direcţiei principle se foloseşte ineglitte: tgα < 0 ZY obţinută din condiţi de extrem, în form: d Z < 0 d α ( ) Y Z 5
Problem Să se clculee momentele de inerţie centrle principle pentru secţiune din figur 00 05 G 07mm, 600 00 0 600 00 0 Z 0 600 07 00 0 0 659 0 mm, Y 600 0 0 00 55 0 mm Problem Să se clculee momentele de inerţie centrle principle pentru secţiune din figur fig G 575 50 60060 50 000 600 mm, 505 000 Z 50 800 000 6007 8 80 mm, Y 550 000 6 50970 mm 080 5
Problem Să se clculee momentele de inerţie centrle principle pentru secţiune din figur fig ( ) ( ) ( ) 6 6 068, 0007 8 6, 00 8 00 00 8 π 8 Y Z Z Z G π π π π π π π π 55
Problem Să se clculee momentele de inerţie centrle principle pentru secţiune din figur fig Z Y ( 706 676 ) 5 8 976 0 mm 08 ( 6 06 ) ( 676 6 ) π 6 8 08 6 5 56
Problem 5 Să se clculee momentele de inerţie centrle principle pentru secţiune din figur 5 fig5 U0, din tbel: cm, 90 cm, Z Y 8cm e 0cm 00 06 G 8mm 0 00 0 Z 6 68 ( 90 8 ) 689cm 0 Y [ 8 ( 0 0) ] 8506cm Problem 6 Să se clculee momentele de inerţie centrle principle pentru secţiune din figur 6 0, din tbel: 5cm Z 0cm 7cm Y, fig6 G 00 0 0 mm 5 0 00 0 0 0 5 0 Z Y ( ) 66cm 0 7 867cm 57
Problem 7 Să se clculee momentele de inerţie centrle principle şi direcţiile principle pentru secţiune din figur 7 fig7 Z 0t i G G i i i i i i i i i i 6t 5t 0t 55t 6t t 0t 6t ( 5t ) 6t t 6t t ( d ) 6t ( 5t) Zi ( t) ZZ i 0t i ( 798t ) 966t 0t t 0t t 6t ( t) 0t t ( 0t) 58
Y i ( d ) ( 0t) Yi YY t 0t ZY ZiYi d i i ( 6t) t 6t ( 88t ) 65t t t ( 088t ) t ( 6t) ( d ) 0 ( 5t ) ( 088t ) ZZi YYi i 6t 0 ( 0t) ( 6t) t 0 ( 798t ) ( 88t ) 0t 5788t, Z Y ± Z Y ZY 966t 65t ± ± tg α tgα < 0, ZY ( 966t 65t ) ( 5788) 007t ZY Y Z tgα < 0, t 5788t 966t 65t α > π 07 ' 0 ' α 9 8 '' 0 ' α 88 5 Problem 8 Să se determine momentele de inerţie centrle principle şi direcţiile principle pentru secţiune din figur 8 fig8 59
6 9 9 5 5 6 9 9 5 i i i i i G i i i i i G ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 6 5 0 9 0 5 6 6 9 9 55 6 6 9 9 ZY Y Z ( ) 587 67 5 5 55 5 55, ± 6 9 0, 0, 70 5 6 9 6 9 55 5 5 '' ' 0 '' ' 0 '' ' 0 '' '' ' 0 ' > < > α π α α π α α α tg tg ZY 60
Problem 9 Dintr-o secţiune circulră cu dimetrul d se tie o figură dreptunghiulră de dimensiuni bxh (fig9) ce vlore v trebui să ibă prmetrul b pentru c momentul de inerţie să fie mxim şi ce vlore v ve pentru cest c fig9 b h fie h > b momentul de inerţie xil re expresi Z, ir între prmetrii b, h, d există relţi b h d su h d b omentul de b inerţie Z se mi pote scrie: ( d h ) Z condiţi de mxim (extrem) este: d Z b ( d b ) ( b)( d b ) 0, d b su Reultă: ( b ) ( d b ) 0 d d d d b Z mx d 007d 6
CPTOLUL SOLCTRE XLĂ CENTRCĂ Verificre, dimensionre, deplsări În secţiune trnsverslă unei bre solicittă l forţe xile pr tensiuni normle, distribuite uniform pe suprfţ secţiunii, de form: N În metod reistenţelor dmisibile, condiţi de reistenţă este: mx de unde reultă relţi de verificre: Nmx ef mx ef ef respectiv, formul de dimensionre, din condiţi de reistenţă: Nm x ef nec dim în cre dim repreintă ri secţiunii trnsversle în funcţie de dimensiuni şi ef net net brut slbiri în cul unei secţiuni cu slăbiri Deformţi liniră specifică, într-o secţiune curentă brei este: N ε x E E din cre, prin integrre, se obţine lungire totlă: l N dx Δl ε x dx E 0 6
Clculul îmbinărilor brelor solicitte xil Brele metlice solicitte xil se îmbină prin intermediul niturilor, bulonelor su l cordonelor de sudură Îmbinări nituite Tblele din figur sunt îmbinte cu un nit: fig Tblele din figur sunt îmbinte cu un nit nitul este solicitt l forfecre şi strivire Efortul cpbil l nitului l forfecre este dt de: f π d Rnit τ τ 08 Efortul cpbil (reistenţ) nitului l strivire este: str R d t nit min str în cre t min repreintă ce mi mică grosime pieselor su pchetului de piese cre lucreă în celşi sens: t min min(t, t ), pentru situţi din figur pentru figur, de exemplu, t min min(t t,t ): str 6
fig Se defineşte reistenţ unui nit c fiind: str f R nit min( Rnit Rnit ) Determinre numărului necesr de nituri se fce cu relţi: Ncp n unde N cp - efortul cpbil l brei Rnit Pentru cul din figur, reistenţ nitului l forfecre este dtă de relţi: f πd Rnit τ 6
Îmbinări sudte Sudur pote fi de tipul cp l cp (cordone de sudură frontle)su de colţ (cordone de sudură lterle) cordonele de sudură frontle sunt solicitte xil, pe când cele de tip lterl lucreă l forfecre Elementele de clcul le unui cordon de sudură de colţ sunt: grosime (), respectiv lungime (l s ) fig Fie cul prinderii pe guseu profilului cornier din figur cu jutorul două cordone lterle de sudură,de lungimi diferite (l s,l s ) şi grosimi respectiv În cul unei îmbinări centrte (forţ N trece prin centrul de greutte l profilului), forţele N şi N ce revin cordonelor de sudură sunt: b e e N N N N b b ceste vlori trebuiesc fi inferiore in rport cu efortul cpbil l cordonului: N l τ, s N l τ cu τ Lungimile rele le cordonelor sunt: ls l ls l 065 s s 65
Sisteme sttic nedeterminte solicitte xil Pentru reolvre, pe lângă ecuţiile de echilibru trebuie introduse relţii de comptibilitte geometrică deplsărilor, în număr egl cu grdul de nedeterminre sttică structurii ceste relţii se stbilesc în b prticulrităţilor sistemului, când se cunosc direcţiile deplsărilor nfluenţ vriţiei de tempertură l sisteme sttic nedeterminte Pentru un sistem sttic determint solicitt l o vriţie de tempertură Δt, lungire v fi: Δl α l Δt Δt t t 0 α coeficient de diltre termic, t 0 tempertur l cre br re lungime l În cul sistemului sttic nedetermint din figur, deformţi dtortă vriţiei de tempertură Δt>0 v fi eglă cu lungire brei dtorte încălirii minus scurtre dtortă forţei xile N de compresiune, reulttul fiind nul (schem de reemre nu permite deplsre pe direcţi xei longitudinle brei): N l Δl α l Δt 0 E 66
Problem Se consideră sistemul de bre, B,, rticult în punctele, B şi, vând geometri din figur se doreşte dimensionre brelor, ştiind că ceste sunt de secţiune trnsverslă circulră plină, precum şi determinre deplsării punctului B 5 Se cunosc: 50N /mm,e,0 N /mm Se ioleă nodul B: Σ X 0 N N, 0 Σ Y 0 N cos0 F N N 86,6kN dimensionre brelor: N 86,6 0 nec 577mm 50 πd ef, dnec 7,mm se lege def 7mm verificre : N 86,6 0 mx 5,6N /mm <,0 5N /mm ef π7 clculul deplsării punctului B: 67
/ Δl 0 BB, α 0 0 cos0 / N l Δ l BB, l,6m 0 E cos 0 BB N l 86,6 0, 6 0,058mm 0 5 0 E cos 0, 0 57,5 cos 0 / Problem Fie sistemul de bre rticulte B şi BC, vând geometri din figur, cu secţiune trnsverslă formtă din două corniere L 00x00x0 Să se determine forţ cpbilă P, cunoscându-se 60N /mm Se ioleă nodul B: stfel, se obţine: Σ X 0 N sin α N sinα 0, Σ Y 0 N cosα N cosα P 0, 68
sin α 0,69 N P P 0,6997P, sin 0,956 ( α α ) sinα 0,56 N P P 0,58P, sin 0,956 ( α α) ( ) sin α α sinα cosα sinα cosα 0,956 sin α 0,55 cosα 0,8575 sin α 0,669 cosα 0,7, N > N 0,6997 P 60 9, 0, P cp cp 87090N Problem Să se dimensionee br de secţiune circulră plină, solicittă c în figur să se determine lungire totlă brei, cunoscându-se: 5 50N /mm,e, 0 N /mm Dimensionre: N lim mx πd nec dim, dnec 00 5,96mm se lege def 6mm π50 69
lungire totlă: π6 ef 0,06mm, Ni li 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Δ l Δ l, 5 5 5 E,0 0,06,0 0,6,0 0,06 i i i Δ l 0,76mm Problem Pentru grind cu ăbrele din figur se cere dimensionre tronsonului -5, ştiind că cest este lcătuit din două corniere prinse cu nituri pe un singur rnd şi poi să se clculee prindere Niturile sunt de dimetru d 0mm, ir grosime guseului este de mm Se cunosc: str f 50N /mm τ 0,8 clculul recţiunilor şi eforturilor necesre: Σ 0 V 9 00 6 00 0 V,kN, 7 st Σ 0 N 00,5,5 0 N 75kN 5 5 5 N5 75 0 nec 500mm 5cm 50 pentru un cornier: 5 nec,5cm, 70
dr,unde slbiri repreintă 0% din ri brută: ef net brut slbiri,5,5 5,65cm ef Din stndrd se doptă profilul L 90x90x9, de rie 5,5cm Verificre: 5,5 0,9 7,cm > 5cm net ( ) Nmx 75 0 mx 6,86N /mm < 50N /mm 7, 0 ef Clculul prinderii: nit πd f π R f τ 0 0,8 50 7598N nit str R t d 0 50 7000N str ( ) t min 9 9 mm nit nit ( ) R min R R 7000N nit f str Ncp n nec R nit N 7, 0 50 0 N, 000 n 6nituri 7000 cp ef Problem 5 Se dă cdrul din figur 5 se cere trsre digrmelor de eforturi N, T şi, precum şi dimensionre brei -B vând secţiune c în figură, mterilul folosit l confecţionre cestei dmiţând 50N /mm 7
Clculul recţiunilor: Σ 0 H 80 8 0,5 0 H 75,5kN, E Σ X 0 75,5 80 H 0 H,5kN, Σ 0 8,5,5V 0 V 8kN B B Trsre digrmelor de eforturi: B B Br -B fiind solicittă numi xil: N B nec dim ( ) 0, 0,8, dim 75,5 0 0,8 50,7 0 nec 7,7mm ef 0mm 0,8 7
Problem 6 Se dă sistemul de două bre rticulte din figur 6 se cere trsre digrmelor de eforturi Dcă br B-C este lcătuită din două profile cornier tip L 65x80x8 şi prindere în nodul B este relită cu ptru nituri de dimetru de mm, se mi cere verificre cestei îmbinări cunoscându-se: str f 60N /mm, 80N /mm, τ 0N /mm Clculul recţiunilor: B 9 Σ B 0 V99 0 V 8kN, 9 Σ C 0 8 9 8 9 8 0 8 H 8 0 H 8kN, Σ X 0 H RC 0 RC 8 95,6kN Trsre digrmelor de eforturi: 7
Verificre îmbinării: ( ) 0,8, 8,65cm net 9560 mx 0,7 N /mm < 50N /mm, 86,5 f 9560 f τ 70,N /mm <τ 0N / mm, π str 9560 str,n /mm < 80N /mm 0 Problem 7 Se dă sistemul de pltbnde din OL7 prinse cu nituri pe două rânduri, supus unei solicitări xile de întindere (figur 7) cunoscându-se 5 dimetrul nitului de 6 mm, 0N /mm, E,0 N /mm, se cere efortul cpbil precum şi dimensionre îmbinării (determinre numărului necesr de nituri) 7
N cp ef ( ) min ef net net ( ) 00 6 0 60mm net 800 6 0 760mm net ef 60mm Ncp 60 0 70 00N, Ncp n nec Rnit min( R str R f ) Rnit πd π R f τ f 6 0,8 0 8867 N Rstr td str t min( 0 0) 0mm Rstr 0 6 0 5600N 70 00 Rnit 8867 N n nituri 8867 Problem 8 Pentru sistemul de bre din figur 8 se cer: trsre digrmelor de eforturi dimensionre brei -B lcătuită fiind din două tble bxt cu b t, prindere în nodul B fiind relită printr-un bulon de dimetru 0 mm verificre îmbinării între elementele -B şi B-C 50N /mm 75
Clculul recţiunilor: Trsre digrmelor de eforturi: Σ 0 V 5kN, E Σ X 0 H 0, E Σ 0 V 75kN E Dimensionre brei -B 5 0 nec mm ( b t 0t ) tnec 9, mm 50 t 0mm, b 0mm ef ef Verificre îmbinării f 5 0 f τ ef 85,5N / mm <τ 0,8 0 π str 5 0 str ef 68,75N /mm <, 0 0 îmbinre reistă 76
Problem 9 Să se determine P cp din condiţi de reistenţă, pentru br -B, lcătuită din două profile L 00x00x0, îmbinte cu nituri cu dimetrul de mm să se dimensionee îmbinre din, grosime guseului fiind de t mm, mterilul vând 50N /mm g Clculul efortului în br -B: Σ D 0 NB P 0 NB 0,9P Determinre forţei cpbile P cp : 90 0 80mm B cp ef ( ) N 80 50 507 000N P 58,kN, Dimensionre îmbinării în nodul : π R f 0 997N R 00 96600N str ( ) cp R min R,R 96,6kN n nit f str nec 507 6 nituri 96,6 77
Problem 0 Pentru sistemul de bre din figur 0 se cer: trsre digrmelor de eforturi verificre brei B-C, ştiind că prindere în B se fce prin cordone lterle de sudură, br B-C fiind lcătuită din două tble 80x, guseul vând grosime de 6 mm mterilul re 50N /mm Verificre brei B-C: N? mx mx ef 80 0mm ef 8,9 0 ef 66,8N /mm <, 0 br reistă Determinre lungimii cordonelor de sudură (dimensionre îmbinării): 78
N 0 50 6 0 N cp Ncp s τ s, s l N l τ cp s Ncp 6 0 l 5,65mm cu 0,7 t min, τ 0,65 50 0,7 s ef ( ) t min,6 mm min lim l ls 07,5mm 0mm Problem Pentru br din figur, dublu rticultă, lcătuită pe deschidere B-C-D din OL 7, ir pe D-E-G din luminiu (l), se cer: trsre digrmei de efort xil determinre deplsării punctului D forţ mximă suporttă de sistem, condiţiontă de tronsonul B-C-D, în situţi în cre nu sunt posibile pierderi de stbilitte 0 eforturile produse de creştere temperturii cu grdientul Δ t 60 C Sistemul fiind dublu rticult, este sttic nedetermint condiţi de comptibilitte geometrică este Δ l 0, ltfel: 79
( ) ( ) ( ) H B HB F HB F HB 6F Δ l 0 E E E E OL OL OL OL l l l l EOL OL 9 E l l HB F E OL OL El l π 500 600 87,mm OL ( ) ( ) l π00 80 09,7mm, în finl se obţine HB, F Deplsre punctului D este dtă de relţi:,f,f F ud, EOL OL EOL OL EOL OL Determinre forţei mxime în sistem: Nmx,F Ncp OL OL 50 87, Fmx 9779N,, Determinre efortului dtort vriţiei de tempertură: Δ Ni li l αi liδt 0 i Ei i HB HB αol Δt αl Δt 0 EOL OL El l HB 778 78N 778 78 Δt 75,N /mm > c 0N /mm, 87, sistemul flmbeă, prin urmre se distruge sub efectul vriţiei de tempertură Problem Să se dimensionee brele sistemului din figur, de secţiune circulră plină 5 Se cunosc P 8kN, 0N /mm, E,0 N /mm 80
S- nott cu poiţi iniţilă sistemului, îninte de solicitre din condiţi de echilibru de proiecţii de forţe pe direcţi verticlă, pentru poiţi deformtă sistemului, reultă: Ncosα P, () în cre: / BB cos α / B / NL B lδ l l l l E E / l BB l l l ( E ) E E ( E ) cos α E prin înlocuire în relţi (), se obţine: ( ) ( ) P su N ( ) N E P E E E Din condiţi de reistenţă l solicitre xil centrică, se obţine: N nec dim ( ) ( ) P E πd, E după înlocuiri: 5 8 0 (, 0 0 ) πd, d 8mm 5 0 0, 0 0 ( ) 8
CPTOLUL ÎNCOVOERE BRELOR DREPTE Încovoiere pură O bră este solicittă l încovoiere pură când eforturile secţionle se reduc l un vector moment dirijt după un din xele centrle principle de inerţie le secţiunii trnsversle în cest c, pe suprfţ secţiunii trnsversle pr tensiuni normle, c în figur x d x fig Tensiunile normle se determină cu formul lui Nvier: în cre s-u nott: momentul încovoietor după x momentul de inerţie l secţiunii după x ordont măsurtă de l x până în punctul în cre se clculeă x, xă cre coincide cu direcţi vectorului mome nt, se numeşte xă neutră 8
Tensiunile normle u semnul corespunător momentului încovoietor în secţiune, ir distribuţi de tensiuni în secţiune este liniră, conform figurii : - mx mx fig mx mx în cre mx repreintă distnţ de l x neutră l fibr ce mi îndepărttă de x neutră, ir: W mx cu W repreentînd modulul de reistenţă xil fţă de x, o crcteristică geometrică secţiunii trnsversle Condiţi de reistenţă l încovoiere este: mx mx W vlorile uule le modulelor de reistenţă, pentru secţiuni de formă simplă: -dreptunghi: bh W 6 -cerc: W π d -inel: W π ( D d ) D l secţiunile compuse, se clculeă pentru întreg secţiune, poi: 8
τ W mx Formul de dimensionre, pentru mterile cu ceeşi reistenţă dmisibilă l întindere şi compresiune, este: nec dim W W omentul încovoietor cpbil l secţiunii se v exprim prin: cp ef W mx Încovoiere simplă În secţiune, eforturile se reduc l un vector moment dirijt după un din xele centrle principle de inerţie şi l o forţă tăietore corespunătore (figur ) x T τ x x x x τ x τ x mx b x mx fig Pe secţiune trnsverslă pr tensiuni normle x şi tensiuni tngenţile τ x şi τ x tensiunile tngenţile τ x se determină cu formul lui Jurvski: T S τ x τ x b 8
în cre: T - forţ tăietore în secţiune trnsverslă brei - momentul de inerţie l întregii secţiuni, în rport cu x neutră b- lăţime secţiunii în punctul în cre se clculeă τ x S momentul sttic l părţii din secţiune trnsverslă cre tinde să lunece, în rport cu x neutră secţiunii Lunecre longitudinlă Grinile compuse sunt lcătuite din elemente solidrite între ele pentru împiedicre lunecării l grinile metlice elementele de solidrire sunt cordonele de sudură şi niturile, cre sigură conlucrre l încovoiere părţilor componente Tronsonul de bă din figur re digrmele T şi corespunătore încărcării: fig Forţ de lunecre se determină prin evlure reultntei tensiunilor τ x, obţinîndu-se: dl τ b dx x S T T L dω cu dω T dx 85
su: L L S Ω T S ( ) Solidrire cu nituri l grinile metlice În cest c, clculul se v fce numi pentru niturile de gât, mi puternic solicitte decât cele de cp (figur ): nit de cp nit de gt ^ e fig Forţ de lunecre pe intervlul dintre două nituri successive, e: nit Tmx S L mx e trebuie să îndeplinescă criteriul de reistenţă: nit L mx R nit de unde reultă distnţ dintre două nituri: R nit e în cre: S T mx S momentul sttic l suprfeţei ce tinde să lunece - momentul de inerţie l întregii secţiuni, brut R nit min (Rf,R str ) R str d t min str R f πd / τ f 86
Solidrire prin sudură l grinile metlice Solidrire tălpilor de inimă se fce cu cordone de sudură continue su întrerupte (fig): e l fig L cordonele continue, forţ de lunecre pe unitte de lungime: T mx S L mx este prelută de cordonele de sudură de grosime şi lungime eglă cu unitte condiţi de reistenţă v fi de form: L τ mx s de unde reultă grosime cordonului de sudură: S T mx τ s În cul în cre < min mm, se vor reli cordone întrerupte forţ de lunecre pe distnţ e trebuie să înd eplinescă criteriul de reistenţă: T mx S e τ s L e mx e l τ s ir l Tmx S în cre l repreintă lungime de clcul cordonului de sudură 87
Problem Se dă secţiune T din figur ce este supusă l încovoiere Se cere să se determine vlore momentului încovoietor cpbil şi flre tensiunii de l nivelul fibrelor superiore le secţiunii, 0N/mm fig Clculul poiţiei centrului de greutte: 00 06 00 900 0 mm 600 600 0 09 mm Din rportul de semănre l triunghiurilor formte în digrm, se obţine: 0 0 min min 506 N / mm 09 Clculul crcteristicilor geometrice le secţiunii şi l momentului cpbil: 00 9 00 600( 06 0) 600( 00 0) 80 mm cp mx W 8 0 W 065mm mx 0 0 065 5790 N mm cp 88
Problem Se cere verificre cdrului din figur, vînd secţiune compusă dintr-o tblă nituită pe un profil 0 Niturile sunt de dimetru d 0mm, ir mterilul utilit re 50N/mm fig Clculul recţiunilor: 5 V VE 867kN Conform digrmei de moment, secţiune ce mi solicittă este C dr ici se plică condiţi de reistenţă l încovoiere: mx mx ef W W G brut brut i net i i i brut slbiri 90 90 7 96 0 mm i mx 90 006 90 5 0 ( 006 5) 5mm 0 0 5 0 5 89
slbiri slbiri net 0 5 0 0 7 6 mm mm 7 0 5 W 9 0 mm 5 6 867 0 mx ef 75 N / mm 5 9 0 0 758 < 50 N / mm Problem Să se dimensionee br simplu reemtă, cu secţiune csettă c în figur Să se determine tensiune normlă în punctul J, secţiune ce mi solicittă Se du q 5kN/m, 0,6m, 50N/mm fig 90
Clculul recţiunilor: 0 V C 0 5 q q 0 q V C 5 q 6 0 V V C 08q, q Conform digrmei de moment secţiune ce mi solicittă este B ici se v fce dimensionre: 6 nec mx 5 06 0 W 86 0 mm 50 W dim mx 0t ( 6t) 8t ( t) 8t 867t dim nec W W t 67mm 7mm Verificre: 6 mx 5 06 0 mx ef 7 N / mm < 50 N / mm ef W 867 ( 7) Conform formulei lui Nvier: 6 5 06 0 J J 6 7 005 N / mm 6 ( 7) cu în secţiune ce mi solicittă egl cu mx Problem Să se dimensionee secţiune structurii din figur şi să se determine şi τ în punctul J din secţiune C stâng Se du: F 0kN, m, 50N/mm Clculul recţiunilor: D 0 V 0 VD F F F F F F 5F 5F 9
fig Clculul centrului de greutte l secţiunii: i i i t 0t G 0t t i i 6875t Clculul momentului de inerţie xil : ( 0t) t t ( ) ( t) 5t 0t ( 6875t ) t 56t Dimensionre se fce în secţiune ce mi solicittă,în cre momentul încovoietor re vlore mximă (C): 6 nec mx 5 0 0 5 W 0 mm 50 W W t ef dim mx dim W 8mm nec 56t 5t t 765mm 6t 9
Clculul tensiunii J din secţiune C st se v fce utiliînd formul lui Nvier: 6 C st 50 0 J J 5875 8 56 8 J 55N / mm () ( ) Clculul tensiunii τ x J din secţiune C st se v fce cu jutorul formulei Jurvski: T C st S τ x J b T S C st 5 0 8 N b 8 6mm τ x J 6 N / mm 6875 8 880mm Problem 5 Să se dimensionee secţiune de mi jos, ce corespunde structurii din figur 5 Să se determine x şi τ x în punctul J, secţiune ce mi solicittă Se du: 50N/mm, q 5kN/m fig5 9
Clculul recţiunilor: q 6 6q q D 0 VB q 5 q 6q q B 0 VD q 5 Clculul centrului de greutte l secţiunii: i i i 55t 5t t 0t 8t G 9t 5t t 5t t 0t i Clculul momentului de inerţie xil : i 5t ( t) ( 9) 0t ( 8t 9t ) 80t 9887t ( 5t ) t ( 9t 5t ) 5t 0t ( t) Dimensionre se v fce în secţiune ce mi solicittă, conform digrmei de moment încovoietor secţiune C, prin urmre: nec mx dim W W 6q 50 t 9887t 0t 6 6 0 05 50 9887 mx 85mm 9mm Verificre: mx mx W 6 6 50 mx 9887 9 br reistă 0 9 76 N / mm < 50 N / mm 9
Tensiune normlă J se clculeă utiliînd formul lui Nvier: J J J 5 0 9887 6 6 () ( 8 9) 8 69 N / mm ir tensiune tngenţilă τ J se v determin cu formul lui Jurvski: τ T Cdr S τ J x C J x C T Cdr S b q 5t t 9t 5 0 777 5 9887 () 9 57t 777mm 78 N / mm Problem 6 Pentru cdrul din figur 6, să se trsee digrmele de eforturi, să se determine q mx pe consol B-C şi să se determine x şi τ x în punctele P, Q şi S (punctul S prţine xei neutre), în secţiune C st Se du: 0,8m, 50N/mm fig6 95
Clculul recţiunilor: Y 0 VF 0q D st X 0 0 H F q 5 5 H 6q 8q F 0 F q q 5 5 Trsre digrmelor de eforturi: 7q Determinre srcinii cpbile q se fce în secţiune ce mi solicittă pe consol B-C: ( 75 0 ) G 0 08 W 8 87 87 mx BC ( 6 7) q ( 75 7 0) 997cm 05 0 086 7cm 0 08 87cm din condiţi de reistenţă l încovoiere, reultă cp : mx mx W q q cp mx W 50 997 0 70 N / mm 96
Tensiunile x şi τ x se determină folosind formulele lui Nvier respectiv Jurvski în secţiune C st, l nivelul punctelor P, Q şi S din secţiune: st P C 70 800 x P 0 5N / mm 870 P 0mm, P τ x 0 deorece în fibrele extreme tensiunile tngenţile τ x sunt nule st Q C 70 800 x Q 7 9 N / mm 870 τ Q x T C S b T C S Q 7mm, 70 800 00 8 7 8870 70 800, 00 8 7, 76 N / mm S x 0 deorece l nivelul xei neutre tensiunile normle x sunt nule 87 70 800 87 8 S τ x 5N / mm 8870 S S 87 87 Problem 7 Pentru grind simplu reemtă, cu secţiune din figur 7, se cer: verificre grinii clculul tensiunilor normlă mx, respectiv tngenţilă τ x mx secţiune C dr Se dă: 50N/mm în 97
fig7 Clculul recţiunilor: 0 C B 0 8 V 8 V B C 6 0, 6 0, V V B C 58kN 0kN Tronsonul de grindă cel mi solicitt este -B ir momentul încovoietor re vlote mximă 8kNm relţi de verificre este: mx G mx W i i 806 i i i W mx mx 8088 9009mm 806 808 8069009 8 80 6770 5 W 0 mm 80809 6 80 mx 0 N / mm < 5 0 8 80579 6770 mm 98
Tensiune normlă x în secţiune C drept se clculeă folosind formul lui Nvier, ştiind că vlore mximă cestei pre l nivelul celei mi depărtte fibre secţiunii în rport cu x neutră secţiunii: 6 C dr 6 0 mx 06 N / mm 5 0 tensiune tngenţilă τ x în secţiune C drept se clculeă folosind formul lui Jurvski, cunoscîndu-se fptul că vlore mximă se v obţine l nivelul punctelor situte pe x neutră secţiunii: C dr 60 0 τ x mx 75N / mm 66770 S ( 80 809) 8 0 Problem 8 Pentru grind simplu reemtă cu consolă, vînd secţiune lcătuită din două profile 8 solidrite cu nituri cu dimetrul de 0mm (fig8), se cer: determinre srcinii cpbile clculul distnţei între nituri Se du: 50N/mm, 0,8m mm, fig8 99
Clculul recţiunilor: 0 q 6 q 5 q 5q V B 5q 0 0 q q 5q q VB V VB 75q Din digrm de momente încovoietore reultă că secţiune ce mi solicittă este, în cre momentul re ce mi mre vlore, în modul, q ici se plică condiţi de reistenţă l încovoiere, de unde mx reultă q cp : mx q W cp W W q ( 50 799 ) 0 50 q cp N / mm 800 ( 0) mx 8 0 cm Distn ţ între nituri se clculeă cu relţi: Rnit e S T nituri brut ( 50 79 9 ) 798cm S 79 9 0 T q R R R R nit f nit str nit nit min f str ( R R ) nit π d π 0 τ f 08 50 7699 N d t 0 0 50 600 N str 7699 N 50 nit e 06 mm dr cu restricti constructi v: e se lege: e 60mm mm 8d 8 0 60 mm 00
Problem 9 Grind din figur 9 re secţiune lcătuită di două profile 0 prinse cu nituri de dimetrul de mm Se cere: determinre srcinii uniform distribuite mxime pe cre o pote suport grind simplu reemtă, R 0N/mm verificre niturilor de solidrire, τ f 70N/mm, str 0N/mm fig9 Determinre srcinii distribuite mxime: pl cp R W 8 ( ) ( 6) 90 05 8 0 W 805cm mx 0 8 0 p 8050 80N / mm ( 9 0 ) Condiţi de verificre niturilor este: Lnit R nit în cre /L nit forţ de lunecre prelută de unul din cele două nituri din secţiune Tmx Smx Lnit τ mx b e cu τ mx b cu e distnţ dintre două nituri succesive: e 8d 8 8mm 0
S R R R mx f str nit 058 0 L nit 5077 N R min nit ( R R ) π 70 7060 N d t 6 0 08660 N str 7060 N f str 0 6 0 5 mm reultă că: îmbinre reistă L nit < R nit 5077 N < 7060 N, Problem 0 Pentru consol vînd secţiune lcătuită din două profile 0, prinse cu cu nituri de dimetru 7mm (fig0), se cer: determinre forţei mxime suportte de sistem clculul numărului necesr de nituri ce împiedică lunecre, pe on -B se cunoşte 50N/mm fig0 0
Forţ mximă suporttă de sistem se determină din condiţi de reistenţă l solicitre de încovoiere simplă: mx mx W W W cp net mx mx ( 0 0 5) 0976 588cm 0 50 5880 80 cp net W ef 7 ( ) N m 9 Fm F cp 9kN Forţ de lunecre pe on -B se exprimă: S T LB Ω B S 5 0 5cm T Ω B ri digrmei conform digrm 6 mx 0976cm 9 Fm fortei tietore pe B mx 0cm T Ω B 7 9 67kNm din condiţi de împiedicre lunecării se obţine numărul de nituri corespunător intervlului -B: L n R R min R R B B nit ( ) π d π 7 R f τ f 08 50 77 N Rstr d t str 7 50 5760 N Rnit 77 N numărul necesr de nituri pe intervlul -B: nit f str n B L 9 7nituri 77 B R nit n 8nituri 0
Problem Se dă grind cu secţiune din figur Se cer: determinre forţei cpbile, P p m, 60N/mm c determinre tensiunilor x, τ x în punctul de coordonte x,7m, - 70mm verificre cordonelor de sudură continue dintre tălpi şi inimă τ s 5N/mm fig Clculul recţiunilor: P P P 05P 0 E V 89P 5 P P 5 P 5 05P 5 5 0 VE 6P 5 P cp reultă din eglre vlorii momentului mxim, obţinut în digrm de moment încovoietor, cu momentul cpbil din condiţi de reistenţă l încovoiere: W P cp ef mx 0
09 75 W mx P cp 797kN 8 ( 77 75 ) ( 798 77 ) 99 99cm Tensiune x în punctul de coordonte x,7m şi -70mm se clculeă cu jutorul formulei lui Nvier: ( x 7m) 889 7970 7 0 x 70 7596 0 5 N / mm x tensiune τ x în punctul de coordonte x,7m şi -70mm se clculeă cu jutorul formulei lui Jurvski: T ( x 7m) S τ x b T S S 889797 9 kn 8 8576 cm b 9 mm ( 75 06) ( 75 06) 0509 ( 7 05) 90 85760 τ x 7 N / mm 975960 Condiţi de verificre cordonelor de sudură continue este: L T S τ s τ s T T mx 9kN S momentul sttic l tălpii în rport cu x neutră S 8 ( 75 06) ( 75 06) 809cm 07t 07 09 06cm t grosime piesei cele mi subţiri cre se sudeă 90 8090 τ s 86 N / mm < τ 5 N / mm, s 75960 060 cordonele reistă 05
Problem Pentru grind cu secţiune din figur, se cer: dimensionre secţiunii grinii efecture clculului cordonelor de sudură determinre tensiunilor x şi τ x în secţiune ce mi solicittă, l nivelul îmbinării inimii cu tlp fig Relţi de dimensionre l încovoiere este: nec mx dim W W mx mx reultă din digrm de moment încovoietor: q ( t) 8t ( t) t 6 8t t ( 9t) 0t mx mx 6 0 0 990t 50 0t t 076mm mm 990t 06
Clculul cordonelor de sudură se reduce l determinre grosimii cordonelor continue, : T mx S τ s în cre S este momentul sttic l tălpii cre r tinde să lunece în bsenţ cordonelor de sudură S 8t t 9t 8 9 900 mm τ s 065 975 N / mm 0 0 900 mm < mm min 8 780 975 în cre min repreintă grosime minimă dmisă cordonelor de sudură în concluie nu pot fi folosite cordone continue Se vor execut cordone întrerupte de grosime mm şi lungime l 0mm se v determin distnţ e între două cordone succesive în ceste condiţii: e s τ l Tmx S e 68mm Tensiune x în secţiune ce mi solicittă, l nivelul punctului dorit, se determină cu jutorul formulei lui Nvier: x q 8t 6 0 0 x 8 66N / mm 8 87 0 tensiune τ x în secţiune ce mi solicittă, l îmbinre inimii cu tlp, se determină cu jutorul formulei lui Jurvski: T S τ x b T în secţiune ce mi solicittă se lege dintre cele două vlori, c ce mi mre vlore în modul în secţiune C, ce mi solicittă: 07
T τ mx [ q q ] x 00 89 8 780 5N / mm Problem Grind din figur este relită prin suprpunere două profile 0 solidrite cu nituri vînd dimetrul de mm Se cer: determinre srcinii uniform distribuite mxime pe cre o pote suport grind simplu reemtă, 0N/mm verificre niturilor ce lcătuiesc solidrire, τ f 70N/mm str 0N/ mm fig Secţiune ce mi solicittă este l mijlocul deschiderii grinii -B, momentul încovoietor mxim fiind: p l mx 8 din condiţi de reistenţă reultă: cp W din eglre expresiilor de mi sus, se obţine: W 8 8 0 8050 p 80N / mm l ( 9 0 ) în cre: ( ) ( 6) 90 8 0 W 805cm 0 mx 08
Condiţi de verificre niturilor este: L R nit în cre: Tmx S L e repreintă forţ de lunecre ce revine unui singur nit R min R R R f R nit str ( ) f str π 70 7060 N 6 0 08660 N 809 0 0580 00 L 8 5077 N 580 0 cu e 8 d 8 8mm Reultă că: L < R nit, şdr solidrire este dimensiontă corespunător 09
CPTOLUL 5 DEFORRE GRNZLOR DREPTE SOLCTTE L ÎNCOVOERE 5 Ecuţi diferenţilă fibrei medii deformte Grinile drepte solicitte l încovoiere se deformeă sub cţiune încărcărilor, x longitudinlă cestor fiind denumită după deformre, fibr medie deformtă grinii Studiul deformţiilor urmăreşte stbilire formei deformte grinii su determinre deplsărilor linire şi rotirilor produse l nivelul diverselor secţiuni le grinii Stre deformtă se crcterieă prin (fig5): fig5 - proiecţi pe verticlă deplsării secţiunii în discuţie (sitută l cot x), numită generic săgetă, nottă cu v - unghiul formt între tngent l fibr medie deformtă în secţiune în cuă şi x longitudinlă grinii, cntitte denumită rotire secţiunii, nottă cu ϕ Studiul deformţiilor constă în cunoşte funcţiile v f (x), ϕ f (x) în orice secţiune brei deformţiile se consideră poitive dcă u sensurile repreentte în figur 5 În ipote deformţiilor mici (deplsări şi rotiri): d v tg ϕ ϕ d x 0