Stalne jednosmerne struje

Električna struja

Električnom strujom se može nazvati svako ureñeno kretanje električnih naelektrisanja, bez obzira na uzroke ovog kretanja i na vrstu električnih naelektrisanja koja učestvuju u ovom kretanju. Električna struja se može obrazovati u čvrstim, tečnim i gasovitim sredinama, pa čak i u vakuumu. Pokretna naelektrisanja koja mogu izazvati struju su elektroni i joni (pozitivni i negativni). Čvrsta tela: slobodna pokretna naelektrisanja su elektroni. Tečne sredine: struja se može obrazovati u elektrolitskim sredinama, a pokretni nosioci naelektrisanja su joni, kako pozitivni tako i negativni. Gasovite sredine: po pravilu su dielektrici, ali može doći do pojave struje (neonske cevi i fluoroscentne svetiljke); nosioci mogu biti i elektroni i joni. Vakuum: elektronske cevi sa vakuumom; elektroni su nosioci (nastaju zagrevanjem katode). 3

S obzirom na vrstu pokretnih naelektrisanja koja učestvuju u pojavi električne struje, struje se mogu podeliti na: elektronske (ne dolazi do materijalne promene sredine) jonske (dolazi do hemijske promene sredine). Sem postojanja slobodnih nosilaca naelektrisanja, za pojavu i održavanje struje potreban je i neki agens: električno polje (najvažniji i najčešći) mehanički uzroci (pr. kaiš kod Van de Grafovog generatora) gravitacija azmatraćemo struje koje su nastale isključivo pod dejstvom električnog polja, a najviše pažnje posvetićemo strujama u čvrstim provodnicima, koje se još nazivaju i kondukcione struje. 4

Za uspostavljanje i održavanje kondukcione struje potrebno je električno polje; pod dejstvom sila električnog polja slobodna naelektrisanja se ureñeno kreću i obrazuju struju. Da bi ta struja imala stacionarni karakter, potrebno je i da polje bude stacionarno stacionarno električno polje. Osnovna razlika ovog polja u odnosu na elektrostatičko polje jeste u tome što stacionarno električno polje postoji u unutrašnjosti provodnika i za njegovo održavanje je potreban stalan utrošak energije. U prostoru oko elektroda postoji statičko električno polje; V V izmeñu elektroda je razlika potencijala U V V. ad koji je i Slika. izvršen prilikom naelektrisavanja elektroda transformisao se u energiju elektrostatičkog polja. Sistem je u stanju elektrostatičke ravnoteže. Meñutim, ako se unošenjem neke provodne materije formira provodan put, pod dejstvom električnog polja će se uspostaviti električna struja. Pomeranje naelektrisanja izazvano strujom dovodi do opšte preraspodele naelektrisanja i samim tim do promene strukture i jačine električnog polja (sve do neutralizacije opterećenja i iščezavanja električnog polja). Ova struja je kratkotrajna i promenljiva u vremenu. 5

U procesu rasterećivanja elektroda, potencijalna energija elektrostatičkog polja se prvo transformisala u rad sila polja koji su one izvršile pomerajući pokretna naelektrisanja, a zatim u toplotnu energiju zbog sudara pokretnih naelektrisanja sa nepokretnim česticama provodne supstance. Samo električno polje, koje potiče od proizvoljno razmeštenog naelektrisanja, ne može održavati stalnu stacionarnu struju u provodnoj sredini!!! - Slika. Struja u provodnoj vezi izmeñu elektroda može biti stacionarna samo ako su ispunjena sledeće dva uslova: sistem sa slike mora biti deo zatvorenog strujnog kola formiranog od provodnika (slika ) u kolu mora biti uključen električni ureñaj koji, nasuprot silama stacionarnog električnog polja, kontinuirano potiskuje prispele elektrone provodnosti sa pozitivne na negativnu elektrodu, održavajući pri tome stalnu potencijalnu razliku na svojim priključcima. Ovakvi ureñaji se nazivaju strujni izvori ili generatori. 6

Stacionarno električno i elektrostatičko polje Sličnost: Stacionarna naelektrisanja se razlikuju od statičkih po tome što se stalno pomeraju, ali im je zajedničko to što im je gustina u svakoj tački konstantna u vremenu. Električno polje stacionarnih naelektrisanja je istovetno sa poljem na isti način rasporeñenih nepokretnih elektrostatičkih naelektrisanja, zbog čega stacionarno električno polje, kao i elektrostatičko, pripada klasi konzervativnih polja. To znači da je linijski integral vektora jačine stacionarnog električnog polja po bilo kojoj zatvorenoj putanji jednak nuli, i da se za ovo polje može definisati i koristiti i funkcija potencijala. azlika: Stacionarno polje neprestano vrši rad pomerajući pokretna naelektrisanja pa je za njegovo održavanje neophodno dovoñenje energije sistemu u kome ono postoji. Za održavanje već uspostavljenog elektrostatičkog polja u idealnom dielektriku nije potreban nikakav utrošak energije. Prostor u kom se pokretna naelektrisanja kreću pod dejstvom električnog polja u provodniku je strujno polje. Ono je stacionarno ako je srednja makroskopska brzina pokretljivih nosilaca naelektrisanja u svim tačkama strujnog polja konstantna u vremenu. Linije kojima je vektor srednje makroskopske brzine u svakoj tački tangenta nazivaju se strujnice. 7

Prateći efekti električne struje Toplotni efekat: Poznat i kao Džulov efekat zagrevanje provodnika kad kroz njega protiče struja. Pokretna naelektrisanja krećući se kroz provodnik predaju svoju kinetičku energiju česticama provodnika i tako povećavaju njihovu termičku energiju. Ovaj efekat može imati značaj za mnogobrojne primene u elektrotehnici (elektrotermički ureñaji, sijalice sa užarenim vlaknom, topljenje metala,...). Meñutim, javlja se i kao neželjena propratna pojava (kod električnih mašina, transformatora, prenosnih vodova,...). Hemijski efekat: Dolazi do izražaja samo u elektrolitima (vodeni rastvori kiselina, baza i soli kao i rastopine nekih metala). Struju obrazuju pozitivni i negativni joni, pozitivni krećući se u smeru električnog polja, a negativni u suprotnom, što je povezano sa transportom supstance i razgrañivanjem elektrolita. Pri pristizanju jona na elektrode vrši se neutralizacija jona i izdvajanje supstance ceo proces je poznat pod imenom elektroliza. 8

Magnetni efekat: Ovo je najznačajniji efekat. Karakteriše se u okolini provodnika kroz koji protiče struja sledećim pojavama: gvozdeni, magnetni i feromagnetni predmeti su podvrgnuti dejstvu mehaničkih sila; magnetna igla ima tendenciju da se postavi u odreñeni položaj; provodnik sa strujom koji je u blizini drugog provodnika sa strujom biva podvrgnut dejstvu mehaničkih sila koje se nazivaju elektromagnetnim silama; u provodniku koji se kreće u blizini drugog provodnika sa strujom indukuje se elektromotorna sila; ako je električna struja promenljiva u vremenu, u bliskim nepokretnim i pokretnim zatvorenim konturama se indukuju vremenski promenljive elektromotorne sile i struje; Magnetno polje koje postoji u okolini provodnika kroz koji protiče struja je neodvojivo povezano sa pojavom električne struje. 9

Električna struja, prolazeći kroz telo ljudi ili životinja, može izazvati: Toplotno dejstvo, pri kojem se telo zageva, izazivajući nastajanje unutrašnjih i spoljašnih opekotina. Na mestima ulaska ili izlaska struje iz organizma nastaju opekotine koje mogu biti izuzetno teške. Ove opekotine su vidljive, mnogo lakše se leče nego unutrašnje opekotine, koje nastaju na organima sastavljenih od nežnih i finih tkiva. Unutrašnje opekotine su opasnije, ne vide se, oštećuju vitalne organe (bubrezi, pluća, jetra, creva), što je opasno po život. Mehaničko dejstvo, zbog kojeg pri strujama velikih jačina dolazi do razaranja tkiva na mestima ulaza i izlaza struje iz tela. Hemijsko dejstvo, koje se manifestuje kroz kidanje (razlaganje) veza među najsitnijim dijelovima ljudskog organizma - ćelijama. Električna struja prilikom prolaska kroz tijelo vrši razlaganje krvi, tj. izaziva ključanje krvi i vrši njenu elektrolizu. (np. krv snabdeva mozak kiseonikom, bez kojeg čovek ne može živeti duže od 9. min., a ako se mozak ne snabdijeva kiseonikom duže od 5. minuta nastaju trajna oštećenja mozga). 0

Jačina i smer električne struje Jačina stacionarne struje kroz poprečni presek nekog provodnika se definiše kao količnik protekle količine naelektrisanja i vremena za koje je ta količina protekla: U opštem slučaju, kada se struja menja u vremenu, njena jačina se definiše diferencijalnim količnikom i naziva se trenutna vrednost jačine struje: i q t dq dt U elektrolitima, iako se joni kreću u suprotnim smerovima, zbog njihovog različitog znaka, njihovi efekti se sabiraju: i dq dt dq dt

Jačina struje je skalarna veličina kojoj se pripisuje i odreñeni smer u odnosu na provodnik. Konvencijom je usvojeno da je fizički smer električne struje suprotan smeru kretanja elektrona kroz metalni provodnik. U elektrolitima ovaj smer odgovara kretanju pozitivnih jona. Jedinica jačine struje je, na osnovu definicije, kulon po sekundi, ali se u S označava sa A (amper). Jačina struje od A je kad kroz poprečni presek metalnog provodnika u jednoj sekundi prone 6,496 0 8 elektrona.

Apsolutni amper je jačina stalne električne struje koja, pri prolazu kroz dva paralelna pravolinijska provodnika neograničene dužine, kružnog preseka neznatne veličine, koji se nalazi u vakuumu na meñusobnom rastojanju od m, izaziva silu od 0 7 njutna po metru dužine provodnika. Za merenje jačine struje upotrebljavaju se instrumenti koji se nazivaju ampermetri. Za merenje vrlo malih vrednosti jačine struje koristi se specijalna vrsta vrlo osetljivih ampermetara koja se naziva galvanometri. A Na mestu gde se meri jačina struje, kolo treba prekinuti i na mesto prekida vezati ampermetar tako da struja koja se meri prolazi kroz njega. 3

Gustina struje Pravac vektora gustine struje J r je definisan makroskopski viñenim pravcem kretanja elektrona u posmatranoj tački, a smer mu je suprotan smeru kretanja elektrona. Kada je struja ravnomerno rasporeñena po površini poprečnog preseka provodnika, intenzitet vektora J r je definisan odnosom: J gde je jačina struje u provodniku, a S površina poprečnog preseka. U opštem slučaju, kada gustina struje nije homogena, intenzitet vektora J r se definiše količnikom: J gde je ds n elementarna površina normalna na pravac kretanja pokretnih naelektrisanja, a di jačina struje kroz tu površinu. S di ds n 4

Jačina struje kroz proizvoljnu površinu S u strujnom polju je jednaka fluksu vektora J r kroz tu površinu: i r r J ds Jedinica za gustinu struje je A/m (amper po metru kvadratnom). S S Q e J r v r v r dt Jačina i gustina struje se mogu izraziti pomoću zapreminske gustine pokretnih naelektrisanja N', njihovog električnog naelektrisanja Q e i njihove srednje makroskopske brzine v r. Neka u provoñenju struje učestvuje samo jedna vrsta naelektrisanja, npr. elektroni, čija je količina naelektrisanja Q e i koji se pod dejstvom električnog polja kreću srednjom brzinom v r. 5

Broj naelektrisanja koja u vremenu dt preñu put v dt kroz presek S jednak je njihovom broju u zapremini S v dt, a ukupna količina naelektrisanja koja se prenese kroz površinu S u vremenu dt je: dq N Q S v dt Jačina struje kroz poprečni presek S strujne tube je: dq / dt a intenzitet vektora gustine struje: J / S N Qe v Pošto pravac i smer vektora J r po definiciji odgovara pravcu i smeru kretanja pozitivnih naelektrisanja, to prethodni izraz može imati i vektorski oblik: r r J N Q v e N Q e e S v 6

Ako se radi o struji elektrona u metalnom provodniku, Q e e, pa je: r J r N ( e)v Smer vektora J r je suprotan smeru vektora srednje makroskopske brzine kretanja elektrona. U opštem slučaju, kada u provoñenju struje učestvuje više vrsta (elektroni i joni), čije su zapreminske gustine N, N,..., naelektrisanja Q, Q,..., a vektori srednjih brzina v r, v r,..., vektor gustine struje se može napisati u obliku: r J r r N v Qe v N Qe... 7

Jednačina kontinuiteta i prvi Kirhofov zakon Ako se unutar nekog domena V ograničenog površinom S nalazi količina slobodnih naelektrisanja q, ona se može izmeniti samo ako naelektrisanja napuštaju domen ili u njega ulaze kroz graničnu površinu S, obrazujući pri tome struju. Prema definiciji jačine struje mora biti: r r Q u S J ds dt S Znak minus je usled toga što pozitivnom fluksu odgovara negativan priraštaj količine naelektrisanja u domenu. zraz predstavlja jednačinu kontinuiteta u integralnom obliku koja je u stvari matematički iskaz zakona o konzervaciji elektriciteta. 8

U stacionarnom strujnom polju se ne menja ukupna količina naelektrisanja unutar domena, pa je izlazni fluks vektora gustine struje kroz zatvorenu površinu jednak nuli: S r J r ds 0 Ova jednačina koja predstavlja specijalni oblik jednačine kontinuiteta za slučaj stacionarnog strujnog polja se naziva prvi Kirhofov zakon. S n r 0 S n r S n r 0 S r J r ds S r J r ds Ako se prvi Kirhofov zakon primeni na zatvorenu površinu S koju obrazuju dva preseka jedne strujne tube, S i S, i omotača S 0, zaključuje se da je jačina struje u bilo kom preseku tube ista, bez obzira na oblik preseka: S 0 r r J ds S r J r ds 0 9

Pošto fluks kroz omotač mora biti jednak nuli, to je: r r J ds zrazi na obe strane ove jednačine predstavljaju struje kroz preseke S i S, računate u odnosu na suprotno orjentisane normale, što znači da su jačine struje u oba preseka iste. Prvi Kirhofov zakon ima posebno veliki značaj u analizi složenih električnih mreža, sačinjenih od kvazilineičnih provodnika (provodnici čije su poprečne dimenzije male u odnosu na podužne). U tom slučaju se umesto fluksa vektora gustine struje kroz neku zatvorenu površinu javljaju jačine struja kroz tu površinu. S S r J r ds 0

0 0 n i i A D C B D C B A Prvi Kirhofov zakon: algebarski zbir jačina struja u provodnicima koji imaju zajednički čvor neke električne mreže jednak je nuli. Pri tome se jačine struja čiji su referentni smerovi od čvora unose sa pozitivnim, a one čiji su referentni smerovi ka čvoru sa negativnim predznakom.

Omov i Džulov zakon; Električni rad i snaga u prijemniku

Omov zakon Pošto je električna struja u nekom provodniku posledica električnog polja u njemu, jačina struje u provodniku je u opštem slučaju nekakva funkcija napona U na njegovim krajevima f (U ). Ova karakteristika se zove strujno-naponska (ili -U, odnosno U- karakteristika) provodnika. Kod mnogih provodnika, ako je temperatura konstantna, jačina struje je direktno srazmerna naponu: GU Veličina G se naziva električna provodnost provodnika. Ova relacija predstavlja Omov zakon. ecipročna vrednost električne provodnosti G se naziva električna otpornost. 3

Uz pomoć električne otpornosti, Omov zakon se može pisati u uobičajenom obliku: U odnosno, u ekvivalentnim oblicima: U U Omov zakon se može primeniti samo na one vrste provodnika kod kojih otpornost ne zavisi od jačine struje. Takvi provodnici se nazivaju linearnim provodnicima. Jedinica otpornosti je V/A (volt po amperu), ali ima posebno ime, naziva se om, a obeležava sa Ω. Apsolutni om: otpornost od jednog oma ima onaj provodnik kod koga struja jačine jednog ampera stvara potencijalnu razliku izmeñu krajeva od jednog volta. 4

Jedinica električne provodnosti je A/V, odnosno naziva se simens, a obeležava sa S. Na konstantnoj temperaturi, otpornost provodnika zavisi od geometrijskih dimenzija i materijala od kog je provodnik. Za žičane provodnike kod kojih je površina poprečnog preseka S, a dužina l: l ρ S Koeficijent srazmernosti ρ zavisi od prirode provodnog materijala, naziva se specifična električna otpornost, a jedinica je Ωm (ommetar). ecipročna vrednost specifične otpornosti je specifična provodnost: a jedinica joj je S/m (simens po metru). σ ρ 5

Električna provodnost žičanog provodnika je: S G σ l U Važi Omov zakon U Ne važi Omov zakon 6

Omov zakon u lokalnom obliku V a S l J r E r V b Za teorijska razmatranja u vezi sa linearnim provodnim sredinama, praktično je da se Omov zakon dovede u tzv. lokalni oblik, koji daje vezu izmeñu gustine struje i jačine električnog polja u nekoj tački strujnog polja. Posmatramo odsečak dužine l jednog dugog homogenog provodnika konstantnog preseka S u kom je stacionarna struja jačine. Napon izmeñu krajeva ovog odsečka je: U b r r Va Vb E dl a E l 8

zmeñu jačine struje i napona na krajevima odsečka važi relacija: GU Ako je provodnik od homogenog materijala, onda je gustina struje po transverzalnom preseku konstantna J / S i tada su ekvipotencijalne površine normalne na njegovu osu. To znači da je polje vektora E r u provodniku homogeno i da su vektori E r i J r kolinearni i upravljeni u pravcu ose provodnika. Veza izmeñu ova dva vektora se može dobiti iz prethodne jednačine, zamenom za G: S S σ U l : S U σ l J Jednačina se može napisati i u vektorskoj formi r σ E i predstavlja Omov zakon u lokalnom obliku. r J σ E 9

Merenje napona Merenje napona pomoću konvencionalnih voltmetara se zasniva na Omovom zakonu. Uglavnom se koristi galvanometar kome je na red vezan otpornik velike otpornosti. Kada se krajevi ovog instrumenta priključe na tačke a i b, izmeñu kojih se želi izmeriti napon U, kroz galvanometar će proteći struja: V U gde je v ukupna otpornost dodatog otpornika i galvanometra. Skala ovog instrumenta je direktno baždarena po naponu U. U električnim šemama se voltmetar crta kao na slici (b). Voltmetar se vezuje paralelno u kolo. V V G V a b a b (a) (b) 30

Konvencija o obeležavanju napona Fizički smer struje: od kraja na višem potencijalu ka kraju na nižem potencijalu. Za složene mreže se unapred ne zna koji kraj elementa kola je na višem potencijalu, kao ni fizički smer struje. U takvim slučajevima se struji daje referentni smer; analogno se postupa sa naponom. U ab V a V Ako je napon pozitivan, tačka koja odgovara višem potencijalu je označena sa a. Ako je napon negativan, tačka a je na nižem potencijalu u odnosu na tačku b. Ovo je dvoindeksni način obeležavanja: U ab b 3

Jednostavniji način je izostavljanjem indeksa, ali obeležavanjem jednog kraja znakom. U Ovo je referentni smer napona. Ako je napon U pozitivan, kraj sa znakom odgovara višem potencijalu, a ako je napon U negativan kraj označen sa je na nižem potencijalu. U U Usaglašeni referentni smerovi napona i struje: U Neusaglašeni referentni smerovi napona i struje: U 3

Temperaturna zavisnost specifične električne otpornosti 33

z tabele se vidi da najmanju specifičnu otpornost ima srebro, zatim bakar i aluminijum. Zbog ovako dobre provodnosti, bakar i aluminijum se najčešće koriste za izradu električnih provodnika. Specifična otpornost metala po pravilu raste sa temperaturom i u vrlo širokom opsegu temperatura se može predstaviti redom: [ ( ) ( ) α T T β T... ] ρ ρ T 0 0 0 0 0 ρ 0 specifična otpornost na temperaturi T 0. Koeficijenti α 0, β 0,... vrlo brzo opadaju, pa je za umeren opseg temperatura dovoljno uzeti samo prva dva člana reda: ρ ρ α [ ( T ) ] 0 0 T0 o Obično se uzima da je T 0 C, pa je: 0 [ α ( 0) ] ρ ρ T 0 0 Koeficijent α se naziva temperaturni koeficijent otpornosti. 34

Otpornici Svi elementi od kojih se sastoji neko električno kolo imaju veću ili manju otpornost. Elementi konstruisani tako da u električno kolo unesu odreñenu otpornost, koja je velika u odnosu na otpornost veza i kontakata, nazivaju se otpornicima. Oni se u električnim šemama najčešće označavaju na sledeći način: Otpornici čija se otpornost može po volji menjati nazivaju se reostatima, a na šemama se obeležavaju na sledeći način: 35

eostati se najčešće prave od otporne žice koja je gusto namotana na cilindričnom telu od keramike. Jedan od priključaka ovakvog otpornika je jedan od krajeva otporne žice, a drugi se nalazi na pokretnom klizajućem kontaktu. Otpornik Potenciometar eostat 36

Vezivanje otpornika i ekvivalentna otpornost edno vezivanje otpornika Prema Omovom zakonu, izmeñu krajeva otpornika je napon: U U ; Ubc ab Pošto je napon izmeñu dve tačke jednak linijskom integralu vektora jačine električnog polja duž linije koja spaja te dve tačke i pošto je ovaj linijski integral jednak zbiru linijskih integrala duž delova te putanje, ukupan napon izmeñu krajeva redne veze mora biti jednak zbiru napona na otpornicima: U U U ( ) ab bc 39

Količnik napona i struje definiše otpornost ekvivalentnog otpornika koji, u odnosu na ostatak strujnog kola, zamenjuje redno vezane otpornike. Prema tome, ekvivalentna otpornost redne veze je: eq U U slučaju n redno vezanih otpornika ekvivalentna otpornost je: eq... n n i i 40

Paralelno vezivanje otpornika U Pri ovakvom vezivanju je napon na otpornicima isti. Struje u granama se odreñuju na osnovu Omovog zakona, pa su im jačine: U ; U Prema prvom Kirhofovom zakonu, ukupna jačina struje je jednaka zbiru jačina struja u paralelno vezanim otpornicima: U U U 4

Količnik struje i napona definiše recipročnu vrednost otpornosti /, odnosno provodnost G, ekvivalentnog otpornika koji u odnosu na strujno kolo zamenjuje paralelno vezane otpornike: eq eq U U slučaju n paralelno vezanih otpornika, ekvivalentna otpornost je:... eq n i n i 4

Mešovita veza otpornika AB AB eq eq AB 3 AB 3 3 43

AB CD 4 45 5 eq AB 3 CD 44

( ) 3 3 eq ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 eq eq 45

Merenje otpornosti Postoji nekoliko metoda za merenje otpornosti. V U V A Tačno se meri samo napon, a struja koja se meri jednaka je zbiru jačina struja kroz otpornik i kroz voltmetar. Greška je sistematska i može se računom korigovati ako se zna vrednost otpornosti voltmetra. Pogodno je za merenje malih vrednosti otpornosti, za koje je << V U V A U A Pri ovakvom načinu vezivanja tačno se meri struja, a izmereni napon je zbir napona na otporniku i ampermetru. Prednost je kod merenja velikih vrednosti otpornosti >> A U 46

Ommetar: nstrument se sastoji od strujnog izvora, otpornika promenljive otpornosti i ampermetra. Ako se pre merenja priključci kratko vežu, pomoću promenljivog otpornika se podešava da kazaljka ampermetra pokazuje maksimalni otklon. Kada se izvrši baždarenje skale merenjem otpornika poznate otpornosti, može se vršiti merenje otpornika nepoznate otpornosti (slika b). U kolu sa slike, nepoznata otpornost (otpornost koju treba izmeriti) je otpornost izmeñu priključaka a i b (otpornost redno vezanih otpornika i ). 47

Vitstonov most: 3 4 Otpornici,, 3 i 4 vezani su redno tako da obrazuju zatvoreno kolo u obliku kvadrata. U dijagonali kvadrata, izmeñu čvorova A i C vezan je izvor konstantnog napona U. U drugoj dijagonali, izmeñu čvorova B i D, vezan je galvanometar sa zaštitnim otpornikom 5. Ukoliko kroz galvanometar G protiče struja, most nije balansiran. Za merenje otpornosti je značajan slučaj kada su otpornici,, 3 i 4 odabrani tako da je jačina struje kroz galvanometar jednaka nuli. Tada se za most kaže da je balansiran, odnosno da je u ravnoteži. 48

Uslovi ravnoteže: Na osnovu prvog Kirhofovog zakona, primenjenog na čvorove B i D, mora biti: 3; 4 Da bi struja kroz galvanometar bila jednaka nuli, potencijali tačaka B i D moraju biti jednaki V B V D. Pošto je tačka A zajednička za grane i, proizlazi i da potencijalne razlike U V V i U V V moraju biti jednake: AB A B AD A D U AB U AD Prethodna jednačina se može napisati pomoću Omovog zakona: Kako je tačka C zajednička za grane 3 i 4, vodeći računa o uslovu V B V D, mora biti: U U BC DC 33 4 4 (**) S obzirom na (**), poslednja jednačina se može napisati i u sledećem obliku: 3 4 () () 49

Ako jednačinu () podelimo jednačinom (), može se dobiti uslov ravnoteže mosta u sledećem obliku: Odnosno: 3 4 4 3 Merenje otpornosti Vitstonovim mostom sastoji se u traženju ravnoteže mosta kada je jedna grana mosta nepoznate otpornosti, a ostale grane su poznatih promenljivih otpornosti. 50

Proširenje mernog opsega ampermetra i voltmetra max Amax A ( n ) Amax S Ampermetar, konstruisan za merenje struje male jačine, može se prilagoditi za merenje struje mnogo veće jačine. Paralelno ampermetru se veže otpornik male otpornosti S, koji se naziva šant (shunt). Ako je max maksimalna jačina struje koja se želi meriti modifikovanim ampermetrom, otpornost šanta treba izabrati tako da jačina struje kroz instrument bude Amax. z prvog Kirhofovog zakona je struja kroz otpornik: S max Amax 5

Ako se sa n obeleži odnos: tada je struja kroz šant: S n A max Naponi na šantu i ampermetru moraju biti jednaki, jer su vezani paralelno: ( n odakle se nalazi potrebna otpornost šanta: A S n Dodavanjem šanta se povećava merni opseg instrumenta i smanjuje njegova ekvivalentna otpornost. Primenjuje se za merenje struje u vrlo širokom opsegu. Ceo opseg se podeli na podopsege gde su maksimalne jačine struje koje se mere 0, 00, 000,... puta veće od maksimalne struje instrumenta Amax i za svaki od ovih podopsega se izračuna i ugradi šant. Ti šantovi se povežu tako da se po volji mogu birati pomoću preklopnika i vezivati paralelno instrumentu. max ( n ) Amax Amax A ) Amax S 53

r U max U V max V V Pomoću voltmetra datih karakteristika U Vmax i V mogu se meriti i veći naponi od U Vmax ako se na red sa voltmetrom doda otpornik odreñene otpornosti r. Ako je U max maksimalni napon koji se želi meriti modifikovanim voltmetrom, otpornost rednog otpornika treba odabrati tako da maksimalna struja kroz instrument pri naponu U max bude jednaka maksimalnoj struji pri naponu U Vmax bez uključenog rednog otpornika r : U max UV max V r V Ako se sa n obeleži odnos: U max n U V max Može se dobiti formula za odreñivanje potrebne redne otpornosti: ( n ) r V Dodavanjem otpornika se povećava merni opseg instrumenta i ekvivalentna otpornost. 54

Otpornost uzemljenja U praksi se na odreñenim mestima gde se koriste velike vrednosti napona ili se one na neki način mogu pojaviti, koriste provodne veze pomoću kojih se mreža ili delovi mreže spajaju sa zemljom. Taj sistem veza, uključujući i njegovu funkciju, predstavlja uzemljenje. Uloga uzemljenja je da: zaštiti od visokih napona koji se u incidentnim slučajevima mogu pojaviti; zaštiti ureñaje od havarije; poboljša kvalitet rada mreže ili sistema. Uzemljenja se dele na: zaštitna (izolovana od pogonskog strujnog kola, ali vezana za neizolovane delove postrojenja koji su dostupni dodiru i u normalnim uslovima nisu pod naponom); pogonska (ulaze u sastav mreže, odnosno kao povratni provodnik se koristi zemlja; primenjuju se za prenos energije, kod električne železnice,...). 55

Otpornost zaštitnog uzemljenja je otpornost izmeñu tačke postrojenja za koji je vezan uzemljivački provodnik, i vrlo udaljenih tačaka zemlje koje su na nultom potencijalu. U slučaju pogonskog uzemljenja, otpornost zaštitnog uzemljenja je otpornost povratnog provodnog puta izmeñu dva kraja mreže čiji je jedan deo zemlja. vazduh zemlja σ 0 E r a J r r A B σ e σ Jačina polja u tačkama polusfere S je: l k E S Kroz uzemljivač teče struja. S obzirom na simetriju, struja teče u radijalnim pravcima normalnim na površ uzemljivača. U svim tačkama zamišljene polusfere S poluprečnika r, gustina struje ima konstantnu vrednost: J ρ J σ J πσ r π r 56

Linije vektora gustine struje i vektora jačine polja su kolinearne. Prema tome, potencijal uzemljivača je: V r r dr E dr πσ r πσ a 0 Odavde sledi da je otpornost zemlje izmeñu uzemljivača i beskonačno udaljenih tačaka: z V a π σ a U tačkama koje su bliže granici sa vazduhom, linije vektora jačine polja i gustine struje su paralelne površini zemlje. Potencijal tačaka na površini zemlje opada srazmerno sa rastojanjem od centra uzemljivača. Tako je potencijal u tački A: V A πσ 57

dok je u tački B koja je od tačke A udaljena za dužinu jednog koraka l k : πσ ( lk azlika ovih potencijala se naziva napon koraka: U k V A V B V B l l πσ k πσ ) k Napon koraka je važan parametar za ocenu sigurnosti koju pruža zaštitno uzemljenje. Taj napon mora u najkritičnijim zonama da bude manji od propisane granice koja nije opasna po čoveka! 58

Omov i Džulov zakon; Električni rad i snaga u prijemniku 59

Džulov zakon Važna manifestacija električne struje je njen toplotni efekat, tj. zagrevanje provodnika. Ovaj efekat se naziva Džulov efekat: stavivši izolovan provodnik u kalorimetar i mereći količine toplote koje se oslobañaju pri različitim jačinama stalne jednosmerne struje i pri drugim različim okolnostima, Džul je ustanovio da je osloboñena toplotna energija srazmerna kvadratu jačine struje i vremenu. U nekom provodniku pri proticanju struje, rad sila polja se posredstvom elektrona u pokretu transformiše u toplotnu energiju provodnika. Va a U V b b Posmatramo deo stacionarnog strujnog kola koji može biti linearni ili nelinearni provodnik. Neka je V a > V b. 60

Ako u intervalu dt kroz kraj a u posmatrani element kola uñe količina naelektrisanja dq dt, u istom tom intervalu kroz kraj b mora izaći ista tolika količina naelektrisanja. To znači kao da se količina naelektrisanja dq pomerila iz tačke sa potencijalom V a u tačku sa potencijalom V b. Sile električnog polja su prilikom ovog pomeranja izvršile rad: da dq ( V V ) U dt a b Pošto je po pretpostavci element kola provodnik, odnosno otpornik, celokupan rad sila polja se transformiše u toplotnu energiju dw: dw da U dt Deobom ovog izraza sa dt, dobija se izraz za snagu P kojom se rad sila polja transformiše u toplotnu energiju: dw P U dt Džulov zakon Poslednja dva izraza važe kako za linearne tako i za nelinearne provodnike. 6

Ako je provodnik linearan i ima otpornost, za njega važi Omov zakon, pa je: P ad električne struje koji se u vremenu t transformiše u toplotu, a ujedno isti izraz važi za toplotnu energiju koja se za to vreme oslobodi u provodniku: A W P t Za dug cilindrični provodnik konstantnog preseka unutar koga je strujno polje homogeno: P l ρ S r r Zapreminska gustina snage transformacije električnog rada u toplotnu energiju: r U ( ) J S ρ J S l ρ J V E J V P V W m J E 3 i predstavlja Džulov zakon u lokalnom obliku. r r t r r r 6

Kada se uzme u obzir Omov zakon u lokalnom obliku, prethodni izraz može imati drugačiji oblik: P V r J r E ρ J J zraz ima opštu važnost. Važna činjenica je da gustina snage Džulovog efekta raste sa kvadratom gustine struje! σ Snaga Džulovog efekta se izražava jedinicom koja se naziva vat, a obeležava se sa W. Vatu je ekvivalentna jedinica VA (volt amper). Jedinica rada i energije je džul, obeležava se sa J. Džulu je ekvivalentna jedinica Ws (vat sekunda). U elektroprivredi je u upotrebi jedinica koja ne pripada S sistemu, a naziva se kilovatčas (kwh): kwh 3.6 0 6 J 63

Električni rad i snaga u prijemniku proizvoljnog tipa Termički prijemnici (transformacija električne energije u toplotnu) nisu jedina vrsta prijemnika; električna energija se može transformisati u mehanički rad (motori), ili u druge vidove energije (hemijsku ili svetlosnu). U ovim prijemnicima se može obavljati i parcijalna transformacija električne energije u toplotnu. Va a V b U Prijemnik proizvoljnog tipa b Ako su V a i V b <V a potencijali priključenih krajeva i ako u intervalu dt kroz prijemnik protekne količina naelektrisanja dq, sile električnog polja izvrše rad: da dq ( V V ) U dt a b bez obzira o kakvoj vrsti prijemnika je reč. 64

U slučaju stalne jednosmerne struje: A P U slučaju vremenski promenljive struje: da P da dt U t U i u dt Kada su napon i struja promenljivi u vremenu, električni rad u konačnom intervalu vremena je odreñen integralom: A t i u u i dt 0 t 0 P dt 65

Merenje električne snage Kako snaga predstavlja proizvod napona i jačine struje, to je snagu moguće odrediti indirektno, merenjem napona i struje: V V A A Snagu je moguće meriti i instrumentom koji se naziva vatmetar. A U Vatmetar ima dva kalema, od kojih se jedan može obrtati oko svoje ose i na njega je pričvršćena kazaljka instrumenta, a drugi je nepokretan. Kroz nepokretni kalem se propušta struja prijemnika, a kroz pokretni kalem struja koja je srazmerna naponu na prijemnika. Ugao zakretanja igle, koji je povezan sa obrtnim kalemom, je srazmeran snazi. Vatmetar ima dva para krajeva i mora se voditi računa da se priključci naponskog i strujnog kalema pravilno priključe. 66

Električno kolo stacionarne struje 67

Elektromotorna sila Skup tela i sredina koji obrazuju zatvoren put električne struje se zove električno kolo. Da bi se u kolu održavala stacionarna električna struja, mora postojati mehanizam koji je u stanju da u jednom delu kola pomera pokretna naelektrisanja nasuprot silama stacionarnog električnog polja (da pozitivna pokretna naelektrisanja pomeraju ka kraju na višem potencijalu, a negativna ka kraju sa nižim potencijalom). Takav mehanizam poseduju električni izvori, odnosno generatori. Ako je strujno kolo zatvoreno, u generatoru se vrši rad protiv sila stacionarnog električnog polja, pri čemu se drugi vidovi energije (hemijska, toplotna,..) ili rada (mehanički) transformišu u energiju električnog polja koja se posredstvom polja prenosi u druge delove strujnog kola i tamo pretvara u druge vidove energije ili rada. 68

U savladavanju sila stacionarnog polja, važnu ulogu imaju sile koje nisu kulonovskog karaktera (ne potiču od polja naelektrisanja), a zovu se stranim silama. Jačina polja stranih sila (strano polje) se definiše količnikom strane sile i elementarnog pokretnog naelektrisanja koje ova sila napada: r E str Strano električno polje je lokalizovano u odreñenom domenu u unutrašnjosti generatora i orjentisano je od priključka na nižem potencijalu (konvencionalno obeležen kao negativan) ka priključku na višem potencijalu (pozitivni priključak). r F Q str e E r G E r str E r Za generator G koji nije priključen u strujno kolo i ne odaje električnu struju kaže se da je u praznom hodu. 69

U praznom hodu, pokretna naelektrisanja miruju, što znači da su sile stacionarnog polja i strane sile u ravnoteži u celoj unutrašnjosti generatora: F str pa i jačine polja zadovoljavaju uslov: r r E str r F 0 r E 0 E r E r str E r Ako se priključci generatora spoje jednom otpornom žicom, ravnoteža se narušava i nagomilana opterećenja se kreću po spoljašnjem provodnom putu sa težnjom da se neutrališu. Kao posledica ovoga, dolazi do slabljenja stacionarnog polja unutar generatora i rezultujuće polje ( E str > E ) počinje da pomera pokretna opterećenja protiv sila stacionarnog polja (pozitivna ka, a negativna ka priključku generatora). Kao rezultat opisanih pojava uspostavlja se novo stanje dinamičke ravnoteže, pri kome se u kolu održava stacionarna električna struja. 70

Veličina kojom se na adekvatan način predstavlja generator kao element električnog kola i kvantitativno karakteriše njegova sposobnost da održava struju u kolu i da vrši konverziju drugih vidova energije u električnu, se naziva elektromotorna sila, ili ems, a obeležava se simbolom E. Elektromotorna sila nekog generatora se definiše kao količnik rada da koji izvrši generator kada kroz njega protekle količina naelektrisanja dq, i samog tog naelektrisanja: E da dq Pošto je rad da zapravo rad sila stranog polja koji one izvrše pomerajući naelektrisanje dq od negativnog do pozitivnog priključka, to je: r r da dq E dl pa se može dobiti alternativna definicija elektromotorne sile: E str r r E dl str 7

Prema poslednjoj jednačini, elektromotorna sila je jednaka linijskom integralu vektora jačine stranog polja računatog kroz generator od negativnog do pozitivnog priključka. Elektomotorna sila se izražava u voltima (V). Kako je u slučaju praznog hoda generatora u svakoj tački unutar generatora r E str r E 0, mora biti: Kako je, s druge strane: to se može pisati: r E r ( E ) str str r dl r r E dl p r r E dl r r Edl 0 V n V p E V V U n pn 0 7

Elektromotorna sila je po veličini jednaka razlici potencijala izmeñu pozitivnog i negativnog priključka generatora kada je ovaj u praznom hodu. Elektromotorna sila je usmerena skalarna veličina. Smer elektromotorne sile je orjentisan kroz generator od negativnog ka pozitivnom priključku, što odgovara smeru stranog polja u generatoru. Kada generator u kolu održava struju jačine čiji se smer poklapa sa smerom ems, onda generator u vremenu dt izvrši rad: da E dq E Snaga kojom sile stranog polja transformišu druge vidove energije ili rada u električni rad je: da P dt E dt 73

Kada se generator posmatra kao deo strujnog kola, njega tada ne karakteriše samo ems, već i unutrašnja otpornost g. Ova se otpornost izračunava na osnovu Džulovog efekta čija je snaga P J srazmerna kvadratu jačine struje : p g P J p p E, g n g E n E, g n p p p g E n E, g n g E n 74

Strujno kolo sa jednim generatorom i jednim otpornikom E, g p n U pn S obzirom da u kolu nema drugih generatora, fizički smer struje je isti kao i smer elektromotorne sile E, pa je tako odabran i smer struje. U intervalu t kroz generator u smeru ems protekne količina naelektrisanja t, pa je rad koji za to vreme izvrši generator: A E t U kolu se vrši preobražaj električnog rada u toplotu zbog Džulovog efekta u otporniku i samom generatoru. Pošto u kolu nema drugih preobražaja energije, na osnovu zakona o održanju energije mora biti: E t g t t 75

Posle deljenja jednačine sa t dobija se jednačina: odnosno, posle preureñenja: E g Ova relacija pomoću koje se odreñuje jačina struje u posmatranom kolu, često se naziva Omov zakon za prosto zatvoreno kolo. E g Jednačina se može rešiti i po g : g E g E pomoću koje se na osnovu merenja može odrediti unutrašnja otpornost generatora. Merenjem napona praznog hoda se odredi ems, odnosno E, a zatim se merenjem utvrdi jačina struje. 76

Napon na priključcima generatora u prostom kolu E, g p n U pn U posmatranom kolu, potencijalna razlika na krajevima generatora je jednaka naponu na otporniku : Vp Vn U pn Meñutim, kako je g to se potencijalna razlika U pn može napisati i u obliku: V p V n U pn E E g Ova dva rezultata su ekvivalentna. Potencijalna razlika U pn je jednaka linijskom integralu jačine električnog polja po bilo kojoj putanji koja povezuje tačke p i n, pa je svejedno po kojoj će se putanji računati, preko otpornika ili preko generatora. 77

Napon na priključcima izvora ems n E g Smer ems i referentni smer struje se podudaraju: p n E g p Smer ems i referentni smer struje su suprotni: U np g E U np g E U pn g E U pn g E 78

Stepen korisnog dejstva sistema generatorprijemnik i uslov maksimalne snage u prijemniku Ukupna snaga koju odaje generator je: P E, g p n U pn P E E E E E E g g Jedan deo te snage odlazi na pokrivanje Džulovih gubitaka u samom generatoru i može se smatrati da je taj deo snage nekoristan za sistem generatorprijemnik. Drugi deo snage se predaje prijemniku i to se smatra korisnom snagom. Pošto je prijemnik termička otpornost, to je: ( ) g g g P g 79

Stepen korisnog dejstva se definiše kao odnos korisne snage i ukupne snage koju odaje generator: η Stepen korisnog dejstva je veći kad je g manje i u graničnom slučaju on ima maksimalnu vrednost η. Uslov g 0 je teško ostvariti, ali je insistiranje na što većem stepenu korisnog dejstva od fundamentalnog značaja u elektrotehnici. 0 Pod ekstremnim uslovima i je što znači da postoji optimalna vrednost pri kojoj je snaga P maksimalna. Ova snaga se dobija ako se potraži maksimum funkcije: P smatrajući da su E i g konstante. P P g 0 E P ( ) g g 0 80

everzibilni preobražaji energije u izvorima ems zvesni generatori poseduju mogućnost konverzije energije u oba smera (elektrohemijski akumulatori, mnogi mašinski električni generatori i motori). Primer akumulatora u automobilu: za vreme paljenja, akumulator igra ulogu generatora jer snadbeva električnom energijom električni motor za pokretanje automobilskog motora. Za to vreme se hemijska energija supstanci u akumulatoru transformiše u električnu, a ova potom u mehanički rad. Kad automobilski motor samostalno krene, akumulator se automatski prekopčava i priključuje na poseban elektromašinski generator (dinamo) koji kroz akumulator šalje struju čiji je smer suprotan smeru ems. U ovoj fazi, akumulator igra ulogu prijemnika sa elektromotornom silom. Prema tome, akumulator se može ponašati i kao generator i kao prijemnik, pri čemu se odvija jedna od dve transformacije energije: hemijska energija električna energija električna energija hemijska energija 8

Za razliku od preobražaja električne energije u toplotnu, preobražaj električne energije u hemijsku je reverzibilan proces, što znači da se hemijska energija pod odreñenim uslovima može skoro potpuno preobratiti u električnu, i obrnuto. Preobražaj je praćen Džulovim efektom, pa se deo energije ne može povratiti. everzibilni preobražaj energije je moguć i u većini elektromašinskih generatora gde se vrši transformacija mehaničkog rada u električnu energiju i obrnuto. Kada se izvor ems ponaša kao prijemnik, fizički smer struje je suprotan smeru ems, pa je rad ems negativan i u vremenu dt iznosi: da E što je prirodno jer izvor ems uzima od kola energiju. Kada se unapred ne zna smer fizičke struje, usvaja se referentni. Tada se uslovno, do rešavanja kola, rad izvora smatra pozitivnim, ako su referentni smer struje i smer ems isti; negativnim, ako su ovi smerovi suprotni. dt 8

Prosto kolo sa više izvora ems i otpornika E g E g E 3 g3 Posmatramo kolo koje sadrži tri izvora ems i dva otpornika vezana na red. Na slici je prikazan i referentni smer struje. ad izvora E i E je pozitivan (zbog izabranog referentnog smera struje), dok je rad izvora E 3 negativan. U intervalu t ovi radovi iznose: E t, E t, E3 t. S druge strane, u svim otpornicima u kolu se za isto vreme transformiše rad: ( ) t g g g3 83

Pošto je rad trećeg izvora po apsolutnoj vrednosti jednak energiji koja se pretvorila iz električne u neku drugu formu energije, na osnovu zakona o održanju energije je: Posle deobe sa t i pregrupisavanja članova, dobija se: ( ) t t E t E t E g g g 3 3 ( ) 3 3 3 3 E E E E E E g g g g g g U opštem slučaju rednog kola sa više izvora ems i otpornika vezanih na red, može se, po analogiji sa gornjim izrazom, pisati: E 84

Kao i u slučaju kola sa jednim generatorom, ovaj izraz se naziva Omov zakon za prosto električno kolo. Elektromotorne sile treba uzimati algebarski!!! Algebarski predznak je pozitivan ako su smer ems i referentni smer struje isti, a negativan ako su ovi smerovi suprotni. Ako se dobije pozitivan algebarski znak za struju, to znači da se usvojeni referentni smer poklapa sa fizičkim smerom struje. Ako se dobije negativni znak, stvarni smer struje je suprotan od referentnog, a i pretpostavljene uloge izvora ems se menjaju. Ako se jednačina održanja energije u kolu podeli vremenom t, dobija se izraz za snagu: E ( ) E E3 g g g3 Zbir snaga svih generatora jednak je zbiru snaga svih prijemnika, kako termogenih, tako i onih sa elektromotornom silom. 85

Potencijalna razlika izmeñu dve tačke u kolu a E E g g zvori ems, E i E imaju suprotne smerove. Neka je ab a b potencijalna razlika izmeñu krajeva a i b. zjednačavajući energiju koja se dovodi odsečku a-b preko njegovih krajeva i generatora E, sa energijom koju odsečak odaje u vidu toplote i preko prijemnika ems E, dobija se jednačina: U V b V U ( ab dt Edt Edt g g )dt Posle deobe sa dt, dobija se: U ab ( ) ( E ) g g E U opštem slučaju, sa proizvoljnim brojem otpornika i izvora ems: U ab V a V b b a b a E b (, E) a 86

Prilikom primene formule, posebnu pažnju treba obratiti na algebarske znake!!! Najjednostavnije pravilo: referentni smer kretanja po odsečku se odabere od tačke a do tačke b, i u odnosu na njega se odreñuju algebarski predznaci elektromotornih sila i struje u odsečku. Elektromotorne sile i jačine struje se uzimaju sa pozitivnim predznakom ako im je referentni smer od a ka b; a sa negativnim predznakom ako im je referentni smer od b ka a. 87

Drugi Kirhofov zakon Mesta u mreži gde se sustiču najmanje tri provodnika nazivaju se čvorovi mreže, a serijska veza elemenata koja povezuje dva čvora naziva se grana mreže. zraz za potencijal izmeñu dve tačke u kolu se može primeniti na svaku granu l složene mreže. Tako je potencijalna razlika izmeñu čvorova i i j: k i j j U V V, ij i j ( E) Jačina struje i ems se uzimaju sa pozitivnim predznakom ako im je referentni smer od prvog (i) ka drugom (j) indeksu. Potencijalna razlika izmeñu čvorova i i k, na primer, se može računati odabirom prvo putanje integracije, tj. provodnog puta. Neka je to proizvoljan put i j k. Pošto za deonice puta i j i j k važi: i 88

V V i j V j V k i j (, E) k (, E) j Sabiranjem ovih jednačina se dobija: k U V V, ik i k i ( E) Algebarski predznaci za struje i ems su pozitivni ako su referentni smerovi orjentisani od prvog ka drugom indeksu!!! Ako se putanja integraljenja odabere tako da se njeni krajevi koindiciraju (spoje), dobija se zatvorena putanja. Leva strana prethodne jednačine je jednaka nuli, a članovi na desnoj se uzimaju po zatvorenoj putanji. Pošto zatvorena putanja nema početne i krajnje tačke, smer obilaženja po konturi je proizvoljan. 89

Za bilo koju zatvorenu konturu u mreži se može pisati: 0 ili, posle množenja sa, kao: 0 k i (, E) k i ( E, ) zraz predstavlja drugi Kirhofov zakon. Zajedno sa prvim, drugi Kirhofov zakon predstavlja osnovu za sistematsko rešavanje problema električnih mreža. Može se napisati i u sledećem ekvivalentnom obliku E Kada se odabere kontura na kojoj se primenjuje Kirhofov zakon, proizvoljno se odabere smer obilaženja po konturi i on se označi kao referentni. Jačine struje i ems se unose sa pozitivnim algebarskim predznakom ako im se referentni smerovi podudaraju sa smerom obilaženja po konturi. 90

Strujni generator p g E U Struja u kolu koje obrazuje generator i prijemnik ima jačinu: E g E n p U n dok je napon izmeñu priključaka p i n generatora: U Kad je unutrašnja otpornost generatora mnogo manja od otpornosti prijemnika, onda je: U E i g E E 9

U mnogim slučajevima je unutrašnja otpornost relativno velika i u radnim uslovima je veća od otpornosti prijemnika. Tada važi: E g S U pa je korisno uvesti pojam idealnog strujnog generatora čija je struja S konstantna i nezavisna od otpornosti prijemnika koji se vezuje na generator, kao ni od elektromotornih sila naponskih generatora koji su eventualno vezani na red sa strujnim generatorom. E g S p p S g E g >> U S U n n 9

U opštem slučaju, kada je odnos izmeñu unutrašnje otpornosti naponskog generatora i otpornosti prijemnika proizvoljan, moguće je naponski generator zameniti strujnim: n p E U g n p U S S S E U E g g S S S S S S U U 93

Ako se izjednače izrazi za struje, dobija se jednačina (potpuno ista jednačina se dobija kada se izjednače izrazi za napon): E S g S Jednačina će biti zadovoljena za svako ako je: S S Na osnovu ovih izraza se mogu odrediti elementi naponskog generatora koji je ekvivalentan strujnom. Karakteristike strujnog generatora koji je ekvivalentan naponskom se mogu dobiti iz: g S E g E S E Gg g Za idealan naponski generator ne postoji ekvivalentni strujni generator, i obrnuto!!! dealni naponski generator g 0 dealni strujni generator S S S 94

Omov Zakon U Prvi Kirhofov zakon c 0 Drugi Kirhofov zakon E 0

Metoda primene i Kirhofovog zakona Elementi topologije elektricnih kola Čvorovi Grane Konture 3

Zadato je električno kolo! ešiti kolo znači odrediti jačinu struje ili napon između priključaka svakog elementa Mreža se rešava pisanjem odgovarajućeg broja jednačina po i Kirhofovom zakonu. Broj nepoznatih koje teba odrediti jednak je broju grana mreže, ng. 4

GAF MEŽE struktura u kojoj su grane mreže prikazane linijama a čvorovi tačkama. STABLO GAFA čine grane grafa koje povezuju sve čvorove ali tako da se ne zatvori nijedna kontura. Stablo grafa se sastoji od nč- grane. SPOJNCE grane koje ne pripadaju stablu. Broj grana spojnica jednak je nkng (nč -). 7

Uz pomoć grafa se određuju opste osobine mreza (kao sto je broj nezavisnih jednačina po ili Kirhofovom zakonu) koje ne zavise od toga od kojih elemenata se sastoji mreža. Za svaku mrežu se može napisati (nč - ) nezavisna jednačina po Kirhofovom zakonu. Za svaku mrežu se može napisati nkng (nč -) nezavisna jednačina po Kirhofovom zakonu. 8

Od ng nepoznatih struja u granama, nezavisno je n k n g (n č ) struja. Ostale su zavisne od njih i ta se zavisnost iskazuje kroz (n č ) jednačinupo Kirhofovom zakonu. Od n g nepoznatih napona izmeđi priključaka grana, nezavisan je n n (n č ) napon. Ostali se mogu iskazati preko njih uz pomoć jednačina po Kirhofovom zakonu. 9

Postupak rešavanja Odaberemo ref. smer struja u granama mreže i označimo ih. Prebrojimo grane i čvorove i odredimo broj nezavisnih čvorova i kontura. Odaberemo (n č -) čvorn k kontura napišemo jednačine po i Kirhofovom zakonu. 0

ešavamo sistem jednačina Metoda zamene Metoda suprotnih koeficijenata Determinante

Kramerova pravila 3

Provera rezultata kroz proveru bilansa snage 4

Metoda nezavisnih konturnih struja Metoda omogućava lakše rešavanje mreža, pisanjem manjeg sistema od samo n k jednačina na jednostavan, šematski način. Sistem jedančina se dobija tako što se, iz jednačina po Kirhofovom zakonu, izrazi n č - struja u granama stabla preko stuja grana spojnica i zameni u n k jednačina po Kirhofovom zakonu. Tako se dobija sistem od n k jednačina sa n k nepoznatih struja grana spojnica konturnih struja. 5

Metoda je dobila ime po tome što (kad se izvrši napred opisana transformacija sistema jednačina) formalno izgleda kao da svaka nezavisna kontura ima svojukomponenetu struje, jednaku struji spojnice te konture. 6

Opšti oblik jednačina po metodi konturnih struja za mrežu koja ima n k n nezavisnih kontura. 9

Kada mreža sadrži grane sa idealnim strujnim generatorima metoda konturnih struja se primenjuje na sledećinačin: a) nezavisne konture se odaberu tako da su grane sa strujnim generatorima obavezno spojnice; b) strije strujnih generatora postaju konturne struje odgovarajućih kontura; c) pošto su konturne struje ovih kontura poznate iz gornjeg sistema se izbace njima odgovarajuće jednačine i zamene jednačinama oblika ki Si.

Metod potencijala čvorova Metoda omogućava lakše rešavanje mreža, pisanjem manjeg sistema od samo n n jednačina na jednostavan i šematski način. Sistem jedančina po metodi potencijala čvorova se dobija tako što se u jednačinama po Kirhofovom zakonu struje u granama izraze preko razlike potencijala (napona između) čvorova na koje je grana priključena. Tako se dobija sistem od n n n č - jednačinasan č nepoznatih potencijala čvorova.

Problem viška jedne nepoznate rešava se tako što se onaj čvor, za koji nije pisana jednačina po kirhofovom zakonu, proglasi referentnom tačkom. Potencijal tog (referentnog ) čvora postane jednak nuli. 3

Kada mreža sadrži veći broj idealnih naponskih generatora, raspoređenih na proizvoljan način, metoda potencijala čvorova se NE MOŽE direktno primeniti za rešavanje ovakve mreže. Od ovog pravila se odstupa u dva slučaja: a) kada u mreži postoji samo jedan idealni naponski generator; b) kada u mreži postoji više idealnih naponskih generatora koji su svi jednim krajem vezani za isti čvor. Uslučajua) jedanoddvačvorazakojijepriključen generator usvoji se za referentni. U slučaju b) zajednički čvor se proglasi referentnim. Pošto potencijal drugog čvorageneratoratadapostanejednak njegovoj ems za taj čvor ne pišemo jednačinu. 6

PME. ešiti zadatu električnu mrežu i rezultate proveriti primenom teoreme o održanju snaga. Br. vred.: E 4V; E 4 E 6 5V; E 7 V; S 3A; ; 3 6 7 ; 4 6 ; 5 3 7