Κεφάλαιο 3 Συστήματα διακριτού και συνεχούς χρόνου

Κεφάλαιο 3 Συστήματα διακριτού και συνεχούς χρόνου Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό δίνεται ένας ορισμός της έννοιας του συστήματος διακριτού και συνεχούςχρόνου Αναλύονται οι βασικές ιδιότητες των συστημάτων διακριτού χρόνου: αρχή της επαλληλίας, ομογένεια, γραμμικότητα, χρονική αμεταβλητότητα, γραμμικότητα και χρονική αμεταβλητότητα, αιτιότητα, ευστάθεια, αντιστρεψιμότητα Παρουσιάζονται τα γραμμικά χρονικά αμετάβλητα συστήματα διακριτού χρόνουκαι αναλύεται η έννοια της κρουστικής απόκρισης Αναλύεται η έννοια των συστημάτων πεπερασμένης και άπειρης κρουστικής απόκρισης και παρουσιάζεται η αναπαράστασή τους με χρήση εξισώσεων διαφορών με σταθερούς συντελεστές Παρουσιάζονται τα γραμμικά χρονικά αμετάβλητα συστήματα συνεχούς χρόνου και η έννοια της απόκρισης μοναδιαίου παλμού Παρουσιάζεται η αναπαράσταση των γραμμικών χρονικά αμετάβλητων συστημάτων συνεχούς χρόνου με χρήση διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές Προαπαιτούμενη γνώση Συνέλιξη, εξισώσεις διαφορών, διαφορικές εξισώσεις 3 Συστήματα διακριτού χρόνου --3-4-- 3 Ορισμός Ένα σύστημα διακριτού χρόνου (φίλτρο) είναι ένας μετασχηματισμός (trasform) του σήματος εισόδου σε ένα σήμα εξόδου, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3 Το σύστημα διακριτού χρόνου έχει είσοδο ένα σήμα διακριτού χρόνου ( ) και έξοδο ένα άλλο σήμα διακριτού χρόνου y( ) T x( ) όπου ο μετασχηματισμόςσυμβολίζεται με x T Η έξοδος του συστήματος ονομάζεται απόκριση του συστήματος Σχήμα 3 Σύστημα διακριτού χρόνου Χρήσιμη ξενόγλωσση βιβλιογραφία είναι τα βιβλία Damper, 995, Igle ad Proais, 3, Ly & Fuerst, 989, Oppeheim, Willsy, awab, 3, Proais & Maolais, 7, Strum & Kir, 988 Χρήσιμη ελληνόγλωσση βιβλιογραφία είναι τα βιβλία Hayes,, McClella, Schafer & Yoder, 6, Ασημάκης, 8, Θεοδωρίδης, Μπερμπερίδης, Κοφίδης, 3, Καλουπτσίδης, 994, Καραγιάννης & Μαραγκός,, Καραγιάννης & Τζιτζιράχου, 3, Καραμπογιάς, 9, Μάργαρης, 4, Μουστακίδης, 4, Παρασκευάς, 4, Σκόδρας & Αναστασόπουλος, 3, Φωτόπουλος & Βελώνη, 8 3 Ιδιότητες συστημάτων διακριτού χρόνου 3 Αρχή της επαλληλίας ή αρχή της υπέρθεσης Η αρχή της επαλληλίας ή αρχή της υπέρθεσης εκφράζεται με τον τύπο: T xi( ) T xi( ) (3) i i Η σημασία της αρχής της επαλληλίας είναι ότι αν στο σύστημα τεθεί ως είσοδος το άθροισμα επιμέρους εισόδων, τότε το σύστημα παράγει μία απόκριση, που είναι το άθροισμα των επί μέρους αποκρίσεων Σε ένα 8

σύστημα που υπακούει στην αρχή της επαλληλίας, η συνολική επίδραση στο σύστημα λόγω επί μέρους εισόδων που αθροίζονται είναι ίση με το άθροισμα των επιδράσεων στο σύστημα των επί μέρους εισόδων Για παράδειγμα, στο σύστημα y( ) T x( ) x( ) x( ) ισχύει η αρχή της επαλληλίας Πράγματι, αν στο σύστημα y( ) T x( ) x( ) x( ) τεθούν τα σήματα x ( ) και x ( ) ως είσοδοι, τότε το σύστημα παράγει τις εξόδους y ( ) T x ( ) x ( ) x ( ) και y ( ) T x ( ) x ( ) x ( ) Αν στο σύστημα τεθεί ως είσοδος το άθροισμα των δύο εισόδων x( ) x ( ) x ( ), τότε το σύστημα παράγει την έξοδο Επομένως, η έξοδος είναι το άθροισμα των επί μέρους εξόδων, οπότε ισχύει η αρχή της επαλληλίας 3 Ομογένεια Η ομογένεια εκφράζεται με τον τύπο: T c x( ) ct x( ) όπου c είναι πραγματικός αριθμός Η σημασία της ομογένειας είναι ότι αν στο σύστημα τεθεί ως είσοδος ένα πολλαπλάσιο ενός αρχικού σήματος, τότε το σύστημα παράγει μία απόκριση, που είναι το ίδιο πολλαπλάσιο της απόκρισης του συστήματος στην είσοδο του αρχικού σήματος Για παράδειγμα, το σύστημα x ( ) y( ) T x( ) x ( ) είναι ομογενές Πράγματι, αν στο σύστημα τεθεί το σήμα x ( ) ως είσοδος, τότε το σύστημα παράγει την έξοδο y( ) T x( ) Αν στο σύστημα τεθεί το σήμα x ( ) c x( ) ως είσοδος, δηλαδή ένα πολλαπλάσιο της αρχικής εισόδου, τότε το σύστημα παράγει την έξοδο y ( ) T x ( ) Τότε, η έξοδος γράφεται: Επομένως, η έξοδος είναι το ίδιο πολλαπλάσιο της αρχικής εξόδου, οπότε το σύστημα είναι ομογενές 33 Γραμμικότητα Η γραμμικότητα εκφράζεται με τον τύπο: T ci xi ( ) ci T xi ( ) (33) i i για οποιεσδήποτε σταθερές ci, i,,, Αν ένα σύστημα υπακούει στην αρχή της επαλληλίας και είναι ομογενές, τότε το σύστημα είναι γραμμικό (liear) Αυτό σημαίνει ότι σε ένα γραμμικό σύστημα, αν η είσοδος ενός συστήματος είναι ογραμμικός συνδυασμός σημάτων, τότε η έξοδος του συστήματος είναι ίση με τον αντίστοιχο γραμμικό συνδυασμό τωναποκρίσεων του συστήματος στις εισόδους Για παράδειγμα, το σύστημα y( ) T x( ) x( ) si( ) είναι γραμμικό Τότε, η έξοδος γράφεται: x ( ) x ( ) x ( ) x( ) T x T x y y y( ) T x( ) T x ( ) x ( ) y( ) T x( ) T x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c x( ) x ( ) c x ( ) x ( ) y( ) T x( ) c c T x( ) c y( ) x ( ) c x( ) c x( ) x( ) (3) 9

Πράγματι, αν στο σύστημα τεθούν τα σήματα x ( ) και x ( ) ως είσοδοι, τότε το σύστημα παράγει τις εξόδους y ( ) και y ( ) Αν στο σύστημα τεθεί ως είσοδος το σήμα x( ) c x ( ) c x( ), τότε το σύστημα παράγει την έξοδο y () Τότε, η έξοδος γράφεται: y( ) T x( ) x( ) si( ) c x ( ) c x ( ) si( ) Επομένως, το σύστημα είναι γραμμικό c x ( ) si( ) c x ( ) si( ) c T x ( ) c T x ( ) c y ( ) c y ( ) 34 Χρονική Αμεταβλητότητα Η χρονική αμεταβλητότητα εκφράζεται με τον τύπο: y( ) T x( ) y( ) T x( (34) Η σημασία της χρονικής αμεταβλητότητα είναι ότι αν στο σύστημα τεθεί ως είσοδος ένα σήμα μετατοπισμένο στον χρόνο (καθυστέρηση ή πρωτοπορία), τότε το σύστημα παράγει μία νέα απόκριση, που είναι η απόκριση του συστήματος στο αρχικό (μη μετατοπισμένο σήμα), το ίδιο μετατοπισμένη στον χρόνο Στην περίπτωση αυτή, το σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο (time ivariat) Για παράδειγμα, το σύστημα y( ) T x( ) x ( ) είναι χρονικά αμετάβλητο Πράγματι, αν στο σύστημα τεθεί το σήμα x ( ) ως είσοδος, τότε το σύστημα παράγει την έξοδο μετατοπισμένη κατά χρονικές στιγμές, τότε το σύστημα παράγει την έξοδο y ( ) T x ( ) Τότε, η έξοδος γράφεται: y( ) T x( ) Αν στο σύστημα τεθεί το σήμα x ( ) x( ) ως είσοδος, δηλαδή η αρχική είσοδος Επομένως, το σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο Σε ένα χρονικά αμετάβλητο σύστημα, η επίδραση στο σύστημα λόγω κάποιας εισόδου είναι ανεξάρτητη από τον χρόνο επίδρασης, δηλαδή το σύστημα έχει την ίδια συμπεριφορά στον χρόνο 35 Γραμμικότητα και Χρονική Αμεταβλητότητα Ένα σύστημα που συνδυάζει την ιδιότητα της γραμμικότητα ς και της χρονικής αμεταβλητότητας ονομάζεται γραμμικό χρονικά αμετάβλητο (Liear Time Ivariat LTI) σύστημα 36 Αιτιότητα Η αιτιότητα εκφράζεται με τον τύπο: y( ) f x( ) y ( ) T x ( ) x ( ) x( ) T x( ) y( ) που σημαίνει ότι η έξοδος σε κάθε χρονική στιγμή εξαρτάται από εισόδους της ίδιας χρονικής στιγμής ή προηγούμενων χρονικών στιγμών Όταν δεν συμβαίνει αυτό, τότε το σύστημα είναι μη αιτιατό ή αναιτιατό Για παράδειγμα, το σύστημα y( ) T x( ) x( ) x( ) είναι αιτιατό, γιατί η έξοδος σε κάθε χρονική στιγμή εξαρτάται την είσοδο της ίδιας χρονικής στιγμής και της προηγούμενης χρονικής στιγμής Αντίθετα, το σύστημα y( ) T x( ) x( ) x( ) είναι αναιτιατό,γιατί η έξοδος σε κάθε χρονική στιγμή εξαρτάται από την είσοδο της ίδιας χρονικής στιγμής και της επόμενης χρονικής στιγμής 37 Ευστάθεια Η ευστάθεια ενός συστήματος δίνει πληροφορίες σχετικά με τον τρόπο που ανταποκρίνεται η απόκριση του συστήματος σε μία διαταραχή πεπερασμένου πλάτους Ένα σύστημα είναι ευσταθές (stable), όταν κάθε φραγμένη είσοδος παράγει επίσης φραγμένη έξοδο Η ευστάθεια (stability) εκφράζεται με τον τύπο: (35)

x( ) L y( ) L (36) (όπου L και L θετικοί αριθμοί), που σημαίνει ότι όταν η είσοδος είναι φραγμένη, τότε και η έξοδος είναι φραγμένη Όταν συμβαίνει αυτό, τότε το σύστημα είναι ευσταθές (stable), ενώ όταν δεν συμβαίνει, τότε το σύστημα είναι ασταθές Αυτού του είδους η ευστάθεια ονομάζεται BIBOευστάθεια (BoudedIputBoudedOutput) Για παράδειγμα, αν ένασύστημα έχει είσοδο x( ) u( ) και απόκριση y( ) a u( ), a, τότε το σύστημα είναι ευσταθές Πράγματι, για κάθε ακέραιο αριθμό, έχουμε x( ) u( ), οπότε το σήμα εισόδου είναι φραγμένο Επίσης, για την απόκριση έχουμε: είναι φραγμένο x x y 38 Αντιστρεψιμότητα Η αντιστρεψιμότητα εκφράζεται με τον τύπο: x ( ) x ( ) y ( ) T x ( ) y ( ) T x ( ) y y( ) a u( ) a u( ) a u( ), οπότε το σήμα εξόδου Ένα σύστημα είναι αντιστρέψιμο, όταν η είσοδος μπορεί να προσδιοριστεί από την έξοδο με μοναδικό τρόπο Το αντιστρέψιμο σύστημα παράγει διαφορετικές εξόδους για διαφορετικές εισόδους Αν ένα σύστημα είναι αντιστρέψιμο (δηλαδή υπάρχει το αντίστροφο σύστημα) και συνδέσουμε σε σειρά το σύστημα και το αντίστροφο σύστημα, τότε η είσοδος του συστήματος είναι ίση με την έξοδο του αντίστροφου συστήματος 33 Γραμμικά Χρονικά Αμετάβλητα Συστήματα LTI Συστήματα (37) 33 Κρουστική απόκριση Κρουστική απόκριση(impulse respose), h ( ), ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος ονομάζεται η έξοδος (απόκριση) y( ) h( ) του συστήματος στην κρουστική είσοδο x( ) ( ), όπως φαίνεται στο Σχήμα 3Η κρουστική απόκριση ενός LTIσυστήματος εκφράζει τη συμπεριφορά του συστήματος όταν στην είσοδο συμβεί ένα μεμονωμένο ξαφνικό γεγονός (κρουστική είσοδος) Σχήμα 3Κρουστική απόκριση Από το Σχήμα 3 είναι φανερό ότι θεωρώντας το σήμα μοναδιαίου δείγματος () ως κρουστική είσοδο του LTIσυστήματος, δηλαδή x( ) ( ), τότε η απόκριση y () του συστήματος είναι ίση με την κρουστική απόκριση του συστήματος, δηλαδή y( ) h( ) και ταυτίζεται με τη γραμμική συνέλιξη της εισόδου με την κρουστική απόκριση, δηλαδή ισχύει: y( ) h( ) h( ) ( ) (38) ως άμεση συνέπεια της ιδιότητας του ταυτοτικού στοιχείου της γραμμικής συνέλιξης του προηγούμενου κεφαλαίου Παρατηρήσεις

Είναι φανερό ότι για την κρουστική απόκριση ισχύει η σχέση: h( ) h( ) ( ) (39) Επειδή το σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο, ισχύει η σχέση: y( ) h( ) x( ) (3) Γενικεύοντας, σε ένα γραμμικό αμετάβλητο κατά τη μετατόπισησύστημα(liear Time Ivariat LTI) με γνωστή κρουστική απόκριση, όπως φαίνεται στο Σχήμα 33, η είσοδος x ( ) και η έξοδος (απόκριση) y () συνδέονται με τη σχέση: y( ) h( ) x( ) (3) δηλαδή η απόκριση y () ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος είναι ίση με τη συνέλιξη της κρουστικής απόκρισης h ( ) με την είσοδο x ( ) Σχήμα 33LTI σύστημα διακριτού χρόνου Απόδειξη Σύμφωνα με τον τύπο της ανάλυσης σημάτων διακριτού χρόνου του προηγούμενου κεφαλαίου, η είσοδος του LTIσυστήματος γράφεται: x( ) x( ) ( ) και τότε η έξοδος (απόκριση) του LTIσυστήματος, που είναι y( ) T x( ) T x( ) ( ) T x( ) ( ), γράφεται: επειδή - το LTIσύστημα είναι γραμμικό, οπότε ισχύει η αρχή της επαλληλίας, με αποτέλεσμα ο μετασχηματισμός να μπορεί να αναλυθεί όπως στην (3), - το LTIσύστημα είναι γραμμικό, οπότε είναι ομογενές, με αποτέλεσμα οι συντελεστές x ( ) να συμπεριφέρονται όπως ο συντελεστής c στην (3) που δεν εξαρτώνται από τον χρόνο, επομένως μπορούν να τεθούν εκτός του μετασχηματισμού, - το LTIσύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο, οπότε από την (34) αυτό σημαίνει ότι y( ) h( ) T x( ) T ( ) y( ) h( ) T x( ) T ( ), - ισχύει ο ορισμός της γραμμικής συνέλιξης σημάτων διακριτού χρόνου του προηγούμενου κεφαλαίου, - ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα της γραμμικής συνέλιξης Επομένως, η σημασία της κρουστικής απόκρισης είναι τεράστια: Αν η κρουστική απόκριση είναι γνωστή, τότε για κάθε είσοδο στο LTIσύστημα είναι δυνατή η γνώση της εξόδου (με συνέλιξη της κρουστικής απόκρισης και της εισόδου) Άρα η κρουστική απόκριση χαρακτηρίζει τη συμπεριφορά του συστήματος και για το λόγο αυτό η γνώση της αρκεί για την περιγραφή του LTIσυστήματος y( ) T x( ) x( ) T ( ) x( ) h( ) x( ) h( ) h( ) x( ) Ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο(lti)σύστημα είναι αιτιατό, όταν

h( ), δηλαδή όταν η κρουστική απόκριση είναι ένα σήμα που αρχίζει τη χρονική στιγμή (3) είναι Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι ευσταθές ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο (LTI) σύστημα h( ) L (33) (όπου L θετικός αριθμός, που σημαίνει ότι το άθροισμα των πλατών της κρουστικής απόκρισης είναι φραγμένο Για παράδειγμα, το γραμμικό χρονικά αμετάβλητο(lti)σύστημα με κρουστική απόκριση h( ) a u( ), a είναι ευσταθές Πράγματι, h( ) a u( ) h( ) a u( ) a u( ) επειδή a a u( ) a u( ) a a a a 33 Σύνδεση συστημάτων σε σειρά Ένα LTI σύστημα με κρουστική απόκριση h ( ) συνδέεται σε σειρά με ένα LTI σύστημα με κρουστική απόκριση h ( ), όπως φαίνεται στο Σχήμα 34 Το πρώτο σύστημα έχει είσοδο x ( ) και έξοδο w ( ) Το δεύτερο σύστημα έχει είσοδο, την έξοδο του πρώτου συστήματος w ( ) και έξοδο y () Η σύνδεση σε σειρά των δύο συστημάτων είναι ισοδύναμη με ένα LTI σύστημα με κρουστική απόκριση h( ) h( ) h( ) (34) Απόδειξη Για τα δύο συστήματα που είναι συνδεδεμένα σε σειρά ισχύει: y( ) h ( ) w( ) w( ) h ( ) x( ) οπότε y( ) h ( ) w( ) h ( ) h ( ) x( ) h ( ) h ( ) x( ) επειδή ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα της γραμμικής συνέλιξης (όπως παρουσιάστηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο) Όμως, το σύστημα είναι LTI, οπότε από την (3) για την έξοδο έχουμε: y( ) h( ) x( ) Επομένως, επειδήισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα της συνέλιξης, έχουμε: h( ) h ( ) h ( ) h ( ) h ( ) Σχήμα 34Σύνδεση συστημάτων διακριτού χρόνου σε σειρά 3

Γενικεύοντας, αν συνδεθούν σε σειρά συστήματα διακριτού χρόνου, όπου ακέραιος με, τότε η συνολική κρουστική απόκριση είναι: h( ) h( ) h( ) h ( ), δηλαδή η συνολική κρουστική απόκριση ενός LTIσυστήματος,που αποτελείται από LTIσυστήματα συνδεδεμένα σε σειρά, είναι η συνέλιξη των κρουστικών αποκρίσεωντων επί μέρους συστημάτων 333 Σύνδεση συστημάτων παράλληλα Ένα LTI σύστημα με κρουστική απόκριση h ( ) συνδέεται παράλληλα με ένα LTI σύστημα με κρουστική απόκριση h ( ), όπως φαίνεται στο Σχήμα 35 Το πρώτο σύστημα έχει είσοδο x ( ) και έξοδο w ( ) Το δεύτερο σύστημα έχει είσοδο x ( ) και έξοδο v ( ) Οι έξοδοι w ( ) και v ( ) των δύο συστημάτων αθροίζονται και δίνουν την συνολική έξοδο y () Η παράλληλη σύνδεση των δύο συστημάτων είναι ισοδύναμη με ένα LTI σύστημα με κρουστική απόκριση h( ) h( ) h( ) (35) Απόδειξη Για τα δύο συστήματα που είναι συνδεδεμένα παράλληλα ισχύει: v( ) h ( ) x( ) w( ) h ( ) x( ) οπότε y( ) v( ) w( ) h ( ) x( ) h ( ) x( ) h ( ) h ( ) x( ) επειδή ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα της γραμμικής συνέλιξης (όπως παρουσιάστηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο) Όμως, το σύστημα είναι LTI, οπότε από την (3) για την έξοδο έχουμε: y( ) h( ) x( ) Συνδυάζοντας τις δύο τελευταίες εξισώσεις, καταλήγουμε: h( ) h ( ) h ( ) h ( ) h ( ) Σχήμα 35Σύνδεση συστημάτων διακριτού χρόνου παράλληλα Γενικεύοντας, αν συνδεθούν παράλληλα συστήματα διακριτού χρόνου, όπου ακέραιος με, τότε η συνολική κρουστική απόκριση είναι: h( ) h( ) h( ) h ( ), δηλαδή η συνολική κρουστική απόκριση ενός LTIσυστήματος,που αποτελείται από LTIσυστήματα συνδεδεμένα παράλληλα, είναι το άθροισμα των κρουστικών αποκρίσεωντων επί μέρους συστημάτων 4

34 Γραμμικές εξισώσεις διαφορών 34 Αναπαράσταση LTI συστημάτων με γραμμικές εξισώσεις διαφορών Κάθε γραμμικό χρονικά αμετάβλητοσύστημα περιγράφεται από μία γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: M y( ) b x( ) a y( ) (36) και αρχικές συνθήκες εξόδου y( ), y( ),, y( ) και αρχικές συνθήκες εισόδου x( ), x( ),, x( M) Οι σταθεροί (ανεξάρτητοι του χρόνου) συντελεστές είναι: a,,, και b,,,, M Η γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές είναι ένας ανοικτός τύπος υπολογισμού της απόκρισης του συστήματος, δεδομένων βέβαια των σταθερών συντελεστών Επομένως συνιστά έναν επαναληπτικό τρόπο υπολογισμού της εξόδου Όταν το σύστημα είναι αιτιατό, τότε οι αρχικές συνθήκες εισόδου είναι μηδενικές Στην περίπτωση αυτή, για να υπολογιστεί η έξοδος y() απαιτούνται μόνον οι αρχικές συνθήκες εξόδου y( ), y( ),, y( ) Για παράδειγμα, δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει ένα LTIσύστημα: y( ) x( ) 3 x( ) 4 y( ) 5 y( ) Η εξίσωση διαφορών γράφεται y( ) x( ) 3 x( ) 4 y( ) 5 y( ) οπότε είναι προφανές ότι M, και ότι οι σταθεροί συντελεστές είναι: b, b 3, a 4, a 5 Είναι φανερό ότι η γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές συνιστά έναν επαναληπτικό τρόπο υπολογισμού της εξόδου, γιατί για να υπολογιστεί η έξοδος σε μία χρονική στιγμή πρέπει να έχει υπολογιστεί η έξοδος τις δύο προηγούμενες χρονικές στιγμές Στη βιβλιογραφία, για παράδειγμα στο βιβλίο (Φωτόπουλος & Βελώνη, 8), η γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές εμφανίζεται και στη μορφή: M a y( ) b x( ) (37) Θεωρώντας ότι a, διαιρούμε και τα δύο μέλη με το συντελεστή a και προκύπτει μορφή αντίστοιχη της εξίσωσης διαφορών (36) Για παράδειγμα, δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει ένα LTIσύστημα: 4 y( ) 3 x( ) x( ) 4 y( ) 5 y( ) Διαιρώντας με το συντελεστή του y () η εξίσωση διαφορών γράφεται 3 5 y( ) x( ) x( ) 4 y ( ) y( ) 4 οπότε είναι προφανές ότι M, και ότι οι σταθεροί συντελεστές είναι: 3 5 b, b, b, a, a 4 4 Τα γραμμικά χρονικά αμετάβλητα (LTI) συστήματα (φίλτρα) διακρίνονται σε δύο κατηγορίες ανάλογα με τη διάρκεια της κρουστικής τους απόκρισης: τα φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης (Fiiteduratio Impulse Respose FIR) τα φίλτρα άπειρης κρουστικής απόκρισης (Ifiiteduratio Impulse Respose IIR) 34 Συστήματα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης FIR φίλτρα Τα φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης(fiiteduratio ImpulseRespose FIR) περιγράφονται από την εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: M y( ) b x( ) και ονομάζονται φίλτρα κινητού μέσου όρου (MovigAverage MA) τάξης M (38) 5

Η έξοδος σε κάθε χρονική στιγμή ενός FIRφίλτρου εξαρτάται από εισόδους του συστήματος την ίδια και προηγούμενες χρονικές στιγμές Είναι φανερό ότι η εξίσωση διαφορών των FIR φίλτρων αποτελεί ειδική περίπτωση της (γενικής) γραμμικής εξίσωσης διαφορών της προηγούμενης παραγράφου, όπου λείπει το δεύτερο άθροισμα σχέση: Η κρουστική απόκριση M h( ) b ( ) h ( ) (39) ενός φίλτρου πεπερασμένης κρουστικής απόκρισηςδίνεται από τη Είναι φανερό ότι η κρουστική απόκριση είναι ένα σήμα πεπερασμένης διάρκειας Αξίζει να σημειωθεί ότι οι συντελεστές της εξίσωσης διαφορών που περιγράφει ένα FIRφίλτρο είναι ίδιοι με τους συντελεστές της κρουστικής απόκρισης του FIRφίλτρου Μπορείτε να διερευνήσετε τα FIRφίλτρα με το Διαδραστικό πρόγραμμα 3 Διαδραστικό πρόγραμμα 3 FIRφίλτρa Η κρουστική απόκριση ενός FIRφίλτρου είναι ένα σήμα πεπερασμένης διάρκειας Όταν η είσοδος στο φίλτρο είναι άπειρης διάρκειας, τότε και η απόκριση του φίλτρου είναι άπειρης διάρκειας Παράδειγμα Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές y( ) 8 x( ) 3 x( ) x( 3), που περιγράφει ένα FIRφίλτρο με M 3 και σταθερούς συντελεστές: b 8, b 3, b, b 3 Παράδειγμα Φίλτρο πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης: FIR MA Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές, που περιγράφει έναfirφίλτρο y( ) x( ) x( ) Το φίλτρο είναι τάξης M και οι συντελεστές είναι: b, b, b Στο Σχήμα 36 παρουσιάζονται: - η κρουστική απόκριση h ( ) του φίλτρου, δηλαδή η έξοδος του συστήματος για είσοδο x( ) ( ) - η βηματική απόκριση s ( ) του φίλτρου, δηλαδή η έξοδος του συστήματος για είσοδο x( ) u( ) - η απόκριση y () του φίλτρου για είσοδο x( ) u( ) 6

h() h() impulse respose - - -8-6 -4-4 6 8 time s() 5 s() step respose - -8-6 -4-4 6 8 time y() y() respose to x()=u() - -8-6 -4-4 6 8 time Σχήμα 36FIRφίλτρο 343 Συστήματα άπειρης κρουστικής απόκρισης IIR φίλτρα Τα φίλτρα άπειρης κρουστικής απόκρισης(ifiiteduratioimpulserespose IIR)περιγράφονται από τη γενική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: M y( ) b x( ) a y( ) (3) καιονομάζονταιαυτοπαλινδρομούμενα φίλτρακινητού μέσου όρου (AutoRegressiveMovigAverage ARMA) τάξης ( M, ) Στην ειδική περίπτωση όπου M και b, τα IIRφίλτρα περιγράφονται από την (ειδική) εξίσωση διαφορών: y( ) x( ) a y( ) (3) και ονομάζονται αυτοπαλινδρομούμενα φίλτρα (AutoRegressive AR) τάξης Η έξοδος σε κάθε χρονική στιγμή ενός IIRφίλτρου εξαρτάται από τις εξόδους του συστήματος τις προηγούμενες χρονικές στιγμές, όταν πρόκειται για ARφίλτρα, ή τόσο από εισόδους του συστήματος την ίδια και προηγούμενες χρονικές στιγμές όσο και από τις εξόδους του συστήματος τις προηγούμενες χρονικές στιγμές, όταν πρόκειται για ARMAφίλτραΠάντως και στις δύο περιπτώσεις, η έξοδος σε κάθε χρονική στιγμή ενός IIR φίλτρου εξαρτάται από εξόδους του συστήματος τις προηγούμενες χρονικές στιγμέςεπίσης, αξίζει να σημειωθεί ότι η εξίσωση διαφορών παρέχει τη δυνατότητα να περιγραφεί ένα σύστημα με κρουστική απόκριση άπειρης διάρκειας χρησιμοποιώντας ένα πεπερασμένο πλήθος συντελεστών Παράδειγμα Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές y( ) x( ) 8 y( ) 3 y( ), που περιγράφει ένα IIRφίλτρο με και σταθερούς συντελεστές: 7

a 8, a 3 Πρόκειται για AR φίλτροτάξης, όπου η έξοδος σε κάθε χρονική στιγμή εξαρτάται από τις εξόδους τις δύο προηγούμενες χρονικές στιγμές Παράδειγμα Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές y( ) x( ) x( ) 8 y( ) 3 y( ) y( 3), που περιγράφει ένα IIRφίλτρο με M, 3 και σταθερούς συντελεστές: b, b, a 8, a 3, a3 Πρόκειται για ARΜΑ φίλτροτάξης ( M, ) (3,), όπου η έξοδος σε κάθε χρονική στιγμή εξαρτάται τόσο από τις εισόδους την ίδια και την προηγούμενη χρονική στιγμή, όσο και από τις από τις εξόδους τις τρεις προηγούμενες χρονικές στιγμές σχέση: Η κρουστική απόκριση M h ( ) h( ) b ( ) a h( ) (3) Θεωρώντας ότι h( ),, έχουμε: για M h() b h() a h() b ενός φίλτρου άπειρης κρουστικής απόκρισηςυπολογίζεται από τη h( M ) a h( M ) a h() bm από όπου υπολογίζονται οι πρώτες M τιμές της κρουστικής απόκρισης h ( ) : h() b h() b a h() h( M ) bm a h( M ) a h() Για M, έχουμε: h( ) a h( ) Παράδειγμα Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει έναiirφίλτρο: y( ) b x( ) b x( ) a y( ) Τότε, η κρουστική απόκριση h ( ) ικανοποιεί τη σχέση: h( ) b ( ) b ( ) a h( ), Επομένως για έχουμε h() b για έχουμε h() b a h() για έχουμε h( ) a h( ) Έτσι 8

h() b h(3) a h() a a b a b a b a b κοκ, οπότε καταλήγουμε στις σχέσεις h() b Άρα h() b a h() b a b() h() a h() a b a b a b a b 3 h( ) a b a b, h( ) a b u( ) a b u( ) Μπορείτε να διερευνήσετε τα IIR φίλτρα με και M με το Διαδραστικό πρόγραμμα 3 Διαδραστικό πρόγραμμα 3IIRφίλτρa Η κρουστική απόκριση ενός IIRφίλτρου είναι ένα σήμα άπειρης διάρκειας Όταν η είσοδος στο φίλτρο είναι άπειρης διάρκειας, τότε και η απόκριση του φίλτρου είναι άπειρης διάρκειας Παράδειγμα Φίλτρο πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης: IIR AR Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει έναiirφίλτρο: y( ) x( ) y( ) Το φίλτρο είναι τάξης a με συντελεστή Στο Σχήμα 37 παρουσιάζονται: - η κρουστική απόκριση h ( ) του φίλτρου, δηλαδή η έξοδος του συστήματος για είσοδο x( ) ( ) - η βηματική απόκριση s ( ) του φίλτρου, δηλαδή η έξοδος του συστήματος για είσοδο x( ) u( ) - η απόκριση y () του φίλτρου για είσοδο x( ) u( ) 9

h() 5 h() impulse respose s() - -8-6 -4-4 6 8 time s() impulse respose - -8-6 -4-4 6 8 time y() y() respose to x()=u() - -8-6 -4-4 6 8 time Σχήμα 37IIR-ARφίλτρο Παράδειγμα Φίλτρο πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης: IIR ARMA Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει έναiirφίλτρο: y( ) x( ) x( ) y( ) Το φίλτρο είναι τάξης ( M, ) (,) με συντελεστή: a Στο Σχήμα 38 παρουσιάζονται: - η κρουστική απόκριση h ( ) του φίλτρου, δηλαδή η έξοδος του συστήματος για είσοδο x( ) ( ) - η βηματική απόκριση s ( ) του φίλτρου, δηλαδή η έξοδος του συστήματος για είσοδο x( ) u( ) - η απόκριση y () του φίλτρου για είσοδο x( ) u( ) 3

h() h() impulse respose - - -8-6 -4-4 6 8 time s() 5 s() step respose - -8-6 -4-4 6 8 time y() y() respose to x()=u() - -8-6 -4-4 6 8 time Σχήμα 38IIR-ARMAφίλτρο 344 Επίλυση εξισώσεων διαφορών για IIR φίλτρα Κάθε IIR φίλτρο περιγράφεται από τη γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές y( ) x( ) a y( ) όταν πρόκειται για ARφίλτρο ή από τη γενικότερηγραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές M y( ) b x( ) a y( ) όταν πρόκειται για ARMAφίλτρο Η γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές συνιστά έναν επαναληπτικό τρόπο υπολογισμού της εξόδου, γιατί για να υπολογιστεί η έξοδος σε μία χρονική στιγμή πρέπει να έχει υπολογιστεί η έξοδος σε προηγούμενες χρονικές στιγμές Έτσι, η μορφή αυτή των IIRφίλτρων είναι ανοιχτή μορφή, γιατί η έξοδος υπολογίζεται επαναληπτικά Το γεγονός η έξοδος σε κάθε χρονική στιγμή ενός IIRφίλτρου εξαρτάται από εξόδους του συστήματος τις προηγούμενες χρονικές στιγμές οδηγεί στην αναγκαιότητα να υπάρχουν αρχικές συνθήκες Το πλήθος των αρχικών συνθηκών είναι ίσο με την τιμή του, δηλαδή της τάξης του IIR-ARφίλτρου ή του μέρους της τάξης ( M, ) του IIR-ARMAφίλτρου Έτσι, οι απαιτούμενες αρχικές συνθήκες είναι: y( ), y( ),, y( ) Για παράδειγμα, δίνεται η γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές y( ) x( ) y( ) που περιγράφει ένα IIR-ARφίλτρο Είναι προφανές ότι: για να υπολογιστεί η έξοδος y () απαιτείται η γνώση της προηγούμενης εξόδου y( ), 3

για να υπολογιστεί η έξοδος y () απαιτείται η γνώση της προηγούμενης εξόδου y(), για να υπολογιστεί η έξοδος y () απαιτείται η γνώση της προηγούμενης εξόδου y() κοκ Αν λοιπόν το φίλτρο «δουλεύει» για τις χρονικές στιγμές, τότε η έξοδος y( ) δεν είναι διαθέσιμη Επομένως, χρειάζεται μία αρχική συνθήκη, η τιμή y( ), για να «δουλέψει» το φίλτρο, δηλαδή για να αρχίσει να παράγει εξόδους Επίλυση των εξισώσεων διαφορών για IIRφίλτρα ονομάζεται ο υπολογισμός κλειστής μορφής των IIRφίλτρων, δηλαδή η εύρεση μη επαναληπτικών τύπων για τον υπολογισμό της εξόδου του φίλτρου, οπότε η έξοδος σε κάθε χρονική στιγμή υπολογίζεται απ ευθείας γνωρίζοντας μόνο τον χρόνο, χωρίς να απαιτείται η γνώση προηγούμενων εξόδων Μέθοδος επίλυσης των εξισώσεων διαφορών για IIR φίλτρα Η μέθοδος επίλυσης των εξισώσεων διαφορών για IIR φίλτρα προϋποθέτει τη γνώση της εξίσωσης διαφορών M y( ) b x( ) a y( ) με τις αρχικές συνθήκες y( ), y( ),, y( ) Η γενικήλύση της εξίσωσης διαφορών, δηλαδή η κλειστή μορφή της εξόδου, δίνεται από τη σχέση: y( ) y ( ) y ( ) p και είναι ίση με το άθροισμα της μερικής λύσης y ( p ) της ομογενούς λύσης yh ( ) (33) Η μερική λύση (partial solutio) y ( p ) αντιστοιχεί στην απόκριση του συστήματος για δεδομένη είσοδο και με μηδενικές αρχικές συνθήκες Στον Πίνακα 3 δίνεται η μερική λύση όταν είναι δεδομένη η είσοδος Όταν η είσοδος αποτελείται από άθροισμα τέτοιων εισόδων, τότε η μερική λύση αποτελείται από άθροισμα τέτοιων μερικών λύσεων Είσοδος h Μερική λύση c c c ( ) cu( ) c c c c c a c a ccos( ) c si( ) c cos( ) c a cos( ) c a si( ) c a cos( ) Πίνακας3Μερική λύση εξισώσεων διαφορών Παρατήρηση Όταν η είσοδος στο φίλτρο είναι η κρουστική συνάρτηση (), τότε η μερική λύση είναι y ( ) Ηομογενής λύση (homogeoussolutio) y ( h ) αντιστοιχεί στην απόκριση του συστήματος για μηδενική είσοδο και με δεδομένες αρχικές συνθήκες Στην περίπτωση αυτή, δηλαδή όταν x ( ), η εξίσωση διαφορών γράφεται: y( ) a y( ) και ονομάζεται ομογενής εξίσωση διαφορών Ηομογενήςλύση έχει τη μορφή h (34) 3

y ( ) z h Η αντικατάσταση της ομογενούς λύσης στην ομογενή εξίσωση διαφορών δίνει: z a z z z a z a z a (35) που οδηγεί στην χαρακτηριστικήεξίσωση z a z a z a (36) Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι βαθμού, όπως το αντίστοιχο χαρακτηριστικό πολυώνυμο ( ) f z z a z a z a και έχει ρίζες z,,,, Η μορφή της ομογενούς λύσης εξαρτάται από το είδος των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης Συγκεκριμένα, - αν η χαρακτηριστική εξίσωση έχει απλές(διακεκριμένες) ρίζες, τότε η ομογενής λύση δίνεται από τον τύπο: h y ( ) A z, (37) με προσδιοριστέους συντελεστές A,,,, - αν η χαρακτηριστική εξίσωση έχει κάποια πολλαπλή ρίζα, έστω z με πολλαπλότητα m, τότε η ομογενής λύση δίνεται από τον τύπο: m h( ) m m y A A A z A z (38) με προσδιοριστέους συντελεστές A,,,, Στις λύσεις (37) και (38) ο υπολογισμός (προσδιορισμός) των συντελεστών γίνεται λύνοντας ένα σύστημα εξισώσεων με αγνώστους (τους συντελεστές A,,,, ) Οι εξισώσεις του συστήματος προκύπτουν από την εξίσωση της αρχικής εξίσωσης διαφορών με τη γενική λύση, αντικαθιστώντας σε αυτή την ισότητα τις αρχικές συνθήκες για,,, Παράδειγμα Δίνεται η εξίσωση διαφορών y( ) x( ) y( ) με αρχική συνθήκη: y( ) Πρόκειται για IIR-ARφίλτρο τάξης Να υπολογίσετε την κρουστική απόκριση h ( ) του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) ( ) Η γενική λύση της εξίσωσης διαφορώνείναι: y( ) y ( ) y ( ) p h Επειδή η είσοδος είναι x( ) ( ), σύμφωνα με τον Πίνακα 3, η μερική λύση είναι: y ( p ) Ηομογενήςλύση έχει τη μορφή y ( ) z h Η αντικατάσταση της ομογενούς λύσης στην ομογενή εξίσωση διαφορών y( ) y( ) δίνει: z z z z που οδηγεί στην χαρακτηριστική εξίσωση z Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο f ( z) z είναι πρώτου βαθμού και έχει μία ρίζα z, οπότε η ομογενής λύση γράφεται: 33

y ( ) A z A h Έτσι, η γενική λύση της εξίσωσης διαφορών δίνεται από τον τύπο: y( ) y ( ) y ( ) A A p Για, από την αρχική εξίσωση διαφορών έχουμε: y() x() y( ) () και από τη γενική λύση έχουμε: y() A A A Επομένως ο συντελεστής είναι A Συνεπώς, η γενική λύση γράφεται y ( ), που έχει νόημα για Δηλαδή η κρουστική απόκριση του φίλτρου είναι h( ) u( ) Αξίζει να σημειωθεί ότι η ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου εμφανίζεται στη λύση Αν η αρχική συνθήκη μεταβληθεί σε y( ), τότε για, από την αρχική εξίσωση διαφορών έχουμε: y() x() y( ) () 4 5 και από τον κλειστό τύπο της λύσης έχουμε: y() A A A Επομένως ο συντελεστής είναι A 5 Η γενική λύση της εξίσωσης διαφορών γίνεται y ( ) 5, που έχει νόημα για Δηλαδή η κρουστική απόκριση του φίλτρου είναι h( ) 5 u( ) Αξίζει να σημειωθεί ότι η μεταβολή στην αρχική συνθήκη, δεν προκαλεί μεταβολή στη μορφή της λύσης (παραμένει εκθετική), αλλά προκαλεί μεταβολή μόνο στο πλάτος Παράδειγμα Δίνεται η εξίσωση διαφορών y( ) x( ) y( ) 9 με αρχικές συνθήκες: y( ), y( ) Πρόκειται για IIR-ARφίλτρο τάξης Να υπολογίσετε τη βηματική απόκριση s ( ) του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) u( ) Η γενική λύση της εξίσωσης διαφορώνείναι: y( ) y ( ) y ( ) p Από τον Πίνακα 3, η μερική λύση είναι: y ( ) p c γιατί η είσοδος είναι σταθερή: x( ) u( ) Αντικαθιστώντας τη μερική λύση στην εξίσωσης διαφορών έχουμε: 9 y ( ) x( ) y ( ) c c c p δηλαδή, η μερική λύση είναι: y ( ) p 9 8 Ηομογενήςλύση έχει τη μορφή y ( ) z h h h z 9 p 9 8 34

Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι: z 9 Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο z, z 3 3, οπότε η ομογενής λύση γράφεται Συνεπώς, η γενική λύση γράφεται: είναι δεύτερου βαθμού και έχει διακεκριμένες ρίζες Για, από την εξίσωση διαφορών, τη γενική λύση της και τις αρχικές συνθήκες, προκύπτει το ακόλουθο σύστημα: y() x() y( ) u() 9 9 9 8 A A A A 9 9 8 y () A 8 3 A 3 A 8 A Για, από την εξίσωση διαφορών, τη γενική λύση της και τις αρχικές συνθήκες, προκύπτει το ακόλουθο σύστημα: y() x() y( ) u() 9 9 9 9 9 8 A 3 A 3 A 3 A 3 8 y () A 8 3 A 3 A 8 3 A 3 Έτσι προκύπτει το σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους, τους συντελεστές A, A : A A 8 A 3 A 3 8 με λύση: A 4 A 8 Συνεπώς έχουμε: 9 y ( ),που έχει νόημα για Άρα, η γενική λύση είναι: Αξίζει να σημειωθεί ότι ρίζες f () z z 3 3 y ( ) A z A z A A h 9 8 3 3 y( ) A A 8 4 3 8 3 9 8 4 3 8 3 y( ) u( ) Παράδειγμα 3 Δίνεται η εξίσωση διαφορών 3 y( ) x( ) x( ) y( ) y( ) z 4 8, z 9 3 3 του χαρακτηριστικού πολυωνύμου εμφανίζονται στη λύση με αρχικές συνθήκες: y( ), y( ) Πρόκειται για IIR-ARMAφίλτρο τάξης ( M, ) (,) Να υπολογίσετε την κρουστική απόκριση h ( ) του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) ( ) Η γενική λύση της εξίσωσης διαφορώνείναι: y( ) y ( ) y ( ) p h Επειδή η είσοδος είναι x( ) ( ), σύμφωνα με τον Πίνακα 3, η μερική λύση είναι: y ( p ) Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι: 3 z z 4 8 35

Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο f () z z z z, z 4, οπότε η ομογενής λύση γράφεται: y ( ) A z A z A A h Συνεπώς, η γενική λύση γράφεται: είναι δεύτερου βαθμού και έχει δύο διακεκριμένες ρίζες Για, από την εξίσωση διαφορών, τη γενική λύση της και τις αρχικές συνθήκες, προκύπτει το ακόλουθο σύστημα: 3 3 y () x() x( ) y( ) y( ) () ( ) 4 8 4 8 A A y() A A 4 A A Για, από την εξίσωση διαφορών, τη γενική λύση της και τις αρχικές συνθήκες, προκύπτει το ακόλουθο σύστημα: 3 3 3 y () x() x() y() y( ) () () 4 8 4 8 4 4 A A 4 4 y() A A 4 A A 4 Έτσι προκύπτει το σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους, τους συντελεστές A, A : A A A A 4 4 με λύση: A A 3 Συνεπώς, η γενική λύση γράφεται: 4 y( ) A A 4 3 4 8 y ( ) 3, που έχει νόημαγια 4 Άρα η κρουστική απόκριση του φίλτρου είναι h( ) 3 u( ) 4 Παράδειγμα 4 Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: y( ) x( ) c y( ) με y( ), που περιγράφει ένα IIR-ARφίλτρο με και σταθερό συντελεστή: a() c Η κρουστική απόκριση του φίλτρου είναι η έξοδος y( ) h( ) του φίλτρου για είσοδο x( ) ( ) και υπολογίζεται ως εξής: y() ( ) c y( ) c y() () c y() c c y() () c y() c ( c) c y(3) (3) c y() c c c y( ) ( ) c ( c) 3 Επομένως, έχουμε: y( ) ( c), Άρα, η κρουστική απόκριση είναι: h( ) ( c) u( ) 36

Είναι προφανές ότι η κρουστική απόκριση είναι άπειρης διάρκειας 345 Φίλτρο μέσης τιμής Η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές M ym ( ) x( ) (39) M περιγράφει ένα FIRφίλτρο τάξης M με ίσους συντελεστές b b bm M Το φίλτρο αυτό παράγει στην έξοδο το μέσο όρο των M προηγούμενων εισόδων και ονομάζεται φίλτρο μέσης τιμής τάξης M Τα φίλτρα μέσης τιμής είναι χρήσιμα στην Επεξεργασία Σημάτων Εφαρμογή Απομάκρυνση ημιτονοειδούς θορύβου Τα φίλτρα μέσης τιμής μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την απομάκρυνση ανεπιθύμητου ημιτονοειδούς θορύβου Για παράδειγμα, αν ένα σήμα αποτελείται από ένα χρήσιμο περίπου σταθερό τμήμα x ( ) και από έναν ανεπιθύμητο ημιτονοειδή θόρυβο x ( ) cos, τότε το συνολικό σήμα είναι: 4 4 x( ) cos 4 4 Αν το σήμα x ( ) είναι είσοδος σε ένα φίλτρο μέσης τιμής τάξης M, τότε η έξοδος του φίλτρου υπολογίζει στην έξοδο το μέσο όρο των M προηγούμενων εισόδων και έτσι απαλείφει τον ανεπιθύμητο θόρυβο, αφού η έξοδος του φίλτρου μέσης τιμής προσεγγίζει τον χρήσιμο σήμα Στο Σχήμα 39 παρουσιάζεται η είσοδος x ( ) του φίλτρου μέσης τιμής και οι έξοδοι y ( ) του φίλτρου μέσης τιμής τάξης M και y ( ) 3 7 του φίλτρου μέσης τιμής τάξης M 6 Είναι φανερό ότι όσο η τάξη του φίλτρου αυξάνει, τόσο καλύτερα γίνεται η απομάκρυνση του θορύβου Το τίμημα είναι ότι το φίλτρο αργεί να παράγει αποτέλεσμα, γιατί όσο η τάξη του φίλτρου αυξάνει, τόσο η παραγωγή αποτελέσματος αργεί, επειδή ο υπολογισμός της εξόδου απαιτεί προηγούμενες εισόδους Αυτό αντιμετωπίζεται με τον υπολογισμό του μέσου όρου των διαθέσιμων εισόδων, μέχρι να είναι όλες (και οι M ) διαθέσιμες 37

x() 5 3 4 5 6 7 8 9 time y() M=3 y() M=7 5 3 4 5 6 7 8 9 time 5 3 4 5 6 7 8 9 time Σχήμα 39FIRφίλτρο μέσης τιμής 35 Συστήματα διακριτού χρόνου σε προγραμματιστικό περιβάλλον --3--- Χρήσιμη βιβλιογραφία για Matlabείναι το βιβλίο TheMathWorsIc, 5 Χρήσιμη ξενόγλωσση βιβλιογραφία γιασήματα σε Matlabείναι τα βιβλία IgleadProais, 3 καιleis, Χρήσιμη ελληνόγλωσση βιβλιογραφία γιασήματα σε Matlabείναι τα βιβλία Ασημάκης, 8 (για σήματα και συστήματα διακριτού χρόνου) και Παρασκευάς, 4(για σήματα και συστήματα συνεχούς χρόνου)χρήσιμη βιβλιογραφία για Octave είναι τα βιβλία Eato, Batema, Hauberg, Wehbrig, και Hase, Η συνάρτηση [y]=filter(b,a,x) χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της απόκρισης ενός LTI συστήματοςδιακριτού χρόνου Η συνάρτηση έχει εισόδους τους συντελεστές b καιaτης εξίσωσης διαφορών με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει το LTIσύστημα και την είσοδο x του συστήματος Η συνάρτηση έχει έξοδο την έξοδο y του συστήματος Για παράδειγμα, για να υπολογιστεί η κρουστική απόκριση του συστήματος y( ) x( ) 3 x( ) 4 y( ) δηλαδή η έξοδος του συστήματος για είσοδο x( ) ( ) απαιτείται η παραγωγή της εισόδου dκαι στη συνέχεια απαιτείται η κλήση b=[, 3]; a=[,, 4]; [y]=filter(b,a,d) 3 Συστήματα συνεχούς χρόνου ----5-6 3 Ορισμός Ένα σύστημα συνεχούς χρόνου (φίλτρο) είναι ένας μετασχηματισμός (trasform)του σήματος εισόδου σε ένα σήμα εξόδου, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3 Το σύστημα συνεχούς χρόνου έχει είσοδο ένα σήμα 38

συνεχούς χρόνου () και έξοδο ένα άλλο σήμα συνεχούς χρόνου y( t) T x( t), όπου ο μετασχηματισμόςσυμβολίζεται με xt T Η έξοδος του συστήματος ονομάζεται απόκριση του συστήματος Σχήμα 3Σύστημα συνεχούς χρόνου Χρήσιμη ελληνόγλωσση βιβλιογραφία είναι τα βιβλία Θεοδωρίδης, Μπερμπερίδης, Κοφίδης, 3, Καλουπτσίδης, 994, Καραγιάννης & Μαραγκός,, Καραγιάννης & Τζιτζιράχου, 3, Καραμπογιάς, 9, Μάργαρης, 4, Μουστακίδης, 4, Παρασκευάς, 4, Σκόδρας & Αναστασόπουλος, 3, Φωτόπουλος & Βελώνη, 8 3 Ιδιότητες συστημάτων συνεχούς χρόνου 3 Αρχή της επαλληλίας ή αρχή της υπέρθεσης Η αρχή της επαλληλίας ή αρχή της υπέρθεσης εκφράζεται με τον τύπο: T xi( t) T xi( t) (33) i i Η σημασία της αρχής της επαλληλίας είναι ότι αν στο σύστημα τεθεί ως είσοδος το άθροισμα επιμέρους εισόδων, τότε το σύστημα παράγει μία απόκριση, που είναι το άθροισμα των επί μέρους αποκρίσεων Σε ένα σύστημα που υπακούει στην αρχή της επαλληλίας, η συνολική επίδραση στο σύστημα λόγω επί μέρους εισόδων που αθροίζονται είναι ίση με το άθροισμα των επιδράσεων στο σύστημα των επί μέρους εισόδων 3 Ομογένεια Η ομογένεια εκφράζεται με τον τύπο: T c x( t) ct x( t) (33) όπου c είναι πραγματικός αριθμός Η σημασία της ομογένειας είναι ότι αν στο σύστημα τεθεί ως είσοδος ένα πολλαπλάσιο ενός αρχικού σήματος, τότε το σύστημα παράγει μία απόκριση, που είναι το ίδιο πολλαπλάσιο της απόκρισης του συστήματος στην είσοδο του αρχικού σήματος 33 Γραμμικότητα Η γραμμικότητα εκφράζεται με τον τύπο: T ci xi ( t) ci T xi ( t) (33) i i για οποιεσδήποτε σταθερές ci, i,,, Αν ένα σύστημα υπακούει στην αρχή της επαλληλίας και είναι ομογενές, τότε το σύστημα είναι γραμμικό (liear) Αυτό σημαίνει ότι σε ένα γραμμικό σύστημα, αν η είσοδος ενός συστήματος είναι ογραμμικός συνδυασμός σημάτων, τότε η έξοδος του συστήματος είναι ίση με τον αντίστοιχο γραμμικό συνδυασμό τωναποκρίσεων του συστήματος στις εισόδους 34 Χρονική Αμεταβλητότητα Η χρονική αμεταβλητότητα εκφράζεται με τον τύπο: 39

y( t) T x( t) y( t t ) T x( t t (333) Η σημασία της χρονικής αμεταβλητότητα είναι ότι αν στο σύστημα τεθεί ως είσοδος ένα σήμα μετατοπισμένο στον χρόνο (καθυστέρηση ή πρωτοπορία), τότε το σύστημα παράγει μία νέα απόκριση, που είναι η απόκριση του συστήματος στο αρχικό (μη μετατοπισμένο σήμα), το ίδιο μετατοπισμένη στον χρόνο Στην περίπτωση αυτή, το σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο (time ivariat) 35 Γραμμικότητα και Χρονική Αμεταβλητότητα Ένα σύστημα που συνδυάζει την ιδιότητα της γραμμικότητα ς και της χρονικής αμεταβλητότητας ονομάζεται γραμμικό χρονικά αμετάβλητο (Liear Time Ivariat LTI) σύστημα 36 Αιτιότητα Η αιτιότητα εκφράζεται με τον τύπο: y( t t ) f x( t t ) (334) που σημαίνει ότι η έξοδος σε κάθε χρονική στιγμή εξαρτάται από εισόδους της ίδιας χρονικής στιγμής ή προηγούμενων χρονικών στιγμών Επομένως, οι μεταβολές στην έξοδο του συστήματος, ποτέ δεν προηγούνται των μεταβολών στην είσοδο του συστήματος, δηλαδή η είσοδος αποτελεί την αιτία των μεταβολών στην έξοδο Όταν δεν συμβαίνει αυτό, τότε το σύστημα είναι μη αιτιατό ή αναιτιατό 37 Ευστάθεια Η ευστάθεια ενός συστήματος δίνει πληροφορίες σχετικά με τον τρόπο που ανταποκρίνεται η απόκριση του συστήματος σε μία διαταραχή πεπερασμένου πλάτους Ένα σύστημα είναι ευσταθές (stable), όταν κάθε φραγμένη είσοδος παράγει επίσης φραγμένη έξοδο Η ευστάθεια (stability) εκφράζεται με τον τύπο: x( t) L y( t) L (335) x (όπου L και L θετικοί αριθμοί), που σημαίνει ότι όταν η είσοδος είναι φραγμένη, τότε και η έξοδος είναι x y φραγμένη Όταν συμβαίνει αυτό, τότε το σύστημα είναι ευσταθές (stable), ενώ όταν δεν συμβαίνει, τότε το σύστημα είναι ασταθές Αυτού του είδους η ευστάθεια ονομάζεται BIBOευστάθεια (BoudedIputBoudedOutput) 38 Αντιστρεψιμότητα Η αντιστρεψιμότητα εκφράζεται με τον τύπο: x ( t) x ( t) y ( t) T x ( t) y ( t) T x ( t) y (336) Ένα σύστημα είναι αντιστρέψιμο, όταν η είσοδος μπορεί να προσδιοριστεί από την έξοδο με μοναδικό τρόπο Το αντιστρέψιμο σύστημα παράγει διαφορετικές εξόδους για διαφορετικές εισόδους Αν ένα σύστημα είναι αντιστρέψιμο (δηλαδή υπάρχει το αντίστροφο σύστημα) και συνδέσουμε σε σειρά το σύστημα και το αντίστροφο σύστημα, τότε η είσοδος του συστήματος είναι ίση με την έξοδο του αντίστροφου συστήματος 33 Γραμμικά Χρονικά Αμετάβλητα Συστήματα LTI Συστήματα 33 Απόκριση μοναδιαίου παλμού Απόκριση μοναδιαίου παλμού, ht (),ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος ονομάζεται η έξοδος (απόκριση) y( t) h( t) του συστήματος στην είσοδο μοναδιαίου παλμού x( t) ( t), όπως φαίνεται στο Σχήμα 3Η απόκριση μοναδιαίου παλμού ενός LTIσυστήματος εκφράζει τη συμπεριφορά του συστήματος όταν στην είσοδο συμβεί ένα μεμονωμένο ξαφνικό γεγονός (μοναδιαίος παλμός) 4

Σχήμα 3Απόκριση μοναδιαίου παλμού Από το Σχήμα 3 είναι φανερό ότι θεωρώντας το σήμα μοναδιαίου παλμού () t, ως είσοδο του LTIσυστήματος, δηλαδή x( t) ( t), τότε η απόκριση yt () του συστήματος είναι ίση με την απόκριση μοναδιαίου παλμού του συστήματος, δηλαδή y( t) h( t) και ταυτίζεται με τη συνέλιξη της εισόδου με την κρουστική απόκριση, δηλαδή ισχύει: y( t) h( t) h( t) ( t) (337) ως άμεση συνέπεια της ιδιότητας του ταυτοτικού στοιχείου της γραμμικής συνέλιξης του προηγούμενου κεφαλαίου Γενικεύοντας, σε ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα (LiearTimeIvariat LTI) με γνωστή απόκριση μοναδιαίου παλμού, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3, η είσοδος xt () και η έξοδος (απόκριση) yt () συνδέονται με τη σχέση: y( t) h( t) x( t) (338) δηλαδή η απόκριση y () ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος είναι ίση με τη συνέλιξη της κρουστικής απόκρισης h ( ) με την είσοδο x ( ) Σχήμα 3LTIσύστημα συνεχούς χρόνου Απόδειξη Σύμφωνα με τον τύπο της ανάλυσης σημάτων συνεχούς χρόνου του προηγούμενου κεφαλαίου, η είσοδος του LTIσυστήματος προσεγγίζεται με το κλιμακωτό σήμα: x( t) x( ) ( t ) και τότε η έξοδος (απόκριση) του LTIσυστήματος είναι: y( t) T x( t) Η έξοδος γράφεται: y( t) T x( t) T x( ) ( t ) T x( ) ( t ) επειδή - το LTIσύστημα είναι γραμμικό οπότε ισχύει η αρχή της επαλληλίας, με αποτέλεσμα ο μετασχηματισμός και το άθροισμα να μπορούν να αντιμετατεθούν - το LTIσύστημα είναι γραμμικό οπότε είναι ομογενές, με αποτέλεσμα οι συντελεστές x ( ) που δεν εξαρτώνται από τον χρόνο t να μπορούν πολλαπλασιαστούν με τον μετασχηματισμό - το LTIσύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο, γεγονός που σημαίνει ότι y( t ) T x( t ), οπότε και h( t ) T ( t ) για είσοδο ( t) x( ) T ( t ) x( ) h( t ) 4

Όταν, τότε ( t) ( t), x( t) x( t), y( t) y( t), h( t) h( t) Οπότε y( t) lim y( t) lim x( ) h( t ) Όταν, τότε d, και το άθροισμα γίνεται ολοκλήρωμα: Άρα y( t) lim x( ) h( t ) x( ) h( t ) d y( t) x( ) h( t ) d x( t) h( t) h( t) x( t) γιατί - ισχύει ο ορισμός της συνέλιξης σημάτων συνεχούς χρόνου του προηγούμενου κεφαλαίου, - ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα της συνέλιξης (339) Επομένως, η σημασία της απόκρισης μοναδιαίου παλμούείναι τεράστια: Αν η απόκριση μοναδιαίου παλμού είναι γνωστή, τότε για κάθε είσοδο στο LTIσύστημα είναι δυνατή η γνώση της εξόδου (με συνέλιξη της απόκρισης μοναδιαίου παλμούκαι της εισόδου) Άρα η απόκριση μοναδιαίου παλμούχαρακτηρίζει τη συμπεριφορά του συστήματος και για το λόγο αυτό η γνώση της αρκεί για την περιγραφή του LTIσυστήματος Ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο (LTI) σύστημα είναι αιτιατό, όταν h( t), t δηλαδή όταν η απόκριση μοναδιαίου παλμούείναι ένα σήμα που αρχίζει τη χρονική στιγμή t (34) είναι h() t dt (όπου L Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι ευσταθές ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο (LTI) σύστημα L θετικός αριθμός), που σημαίνει ηαπόκριση μοναδιαίου παλμούείναι απολύτως ολοκληρώσιμη (34) 33 Σύνδεση συστημάτων σε σειρά Αν ένα LTI σύστημα με απόκριση μοναδιαίου παλμού h () t συνδεθεί σε σειρά με ένα LTI σύστημα με απόκριση μοναδιαίου παλμού h () t, όπως φαίνεται στο Σχήμα 33, δηλαδή αν y( t) h ( t) w( t) w( t) h ( t) x( t) τότε το συνολικό σύστημα έχει είσοδο xt (), έξοδο yt () και απόκρισημοναδιαίου παλμού: h( t) h( t) h( t) Απόδειξη Από τα δύο συστήματα που είναι συνδεδεμένα σε σειρά ισχύει: y( t) h ( t) w( t) h ( t) h ( t) x( t) h ( t) h ( t) x( t) (34) επειδή η προσεταιριστική ιδιότητα της γραμμικής συνέλιξης (όπως παρουσιάστηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο) Όμως, το σύστημα είναι LTI, οπότε από την (338) για την έξοδο έχουμε: y( t) h( t) x( t) Επομένως, επειδήισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα της συνέλιξης, έχουμε: h( t) h ( t) h ( t) h ( t) h ( t) 4

Σχήμα 33Σύνδεση συστημάτων συνεχούς χρόνου σε σειρά Γενικεύοντας, αν συνδεθούν σε σειρά συστήματα συνεχούς χρόνου, όπου ακέραιος με, τότε η συνολική απόκριση μοναδιαίου παλμού είναι: h( t) h( t) h( t) h ( t), δηλαδή η συνολική απόκριση μοναδιαίου παλμού ενός LTIσυστήματος,που αποτελείται από LTIσυστήματα συνδεδεμένα σε σειρά, είναι η συνέλιξη των αποκρίσεων μοναδιαίου παλμού των επί μέρους συστημάτων 333 Σύνδεση συστημάτων παράλληλα Αν ένα LTI σύστημα με απόκριση μοναδιαίου παλμού απόκριση μοναδιαίου παλμού y( t) v( t) w( t) με v( t) h ( t) x( t) h () t h () t, όπως φαίνεται στο Σχήμα 34, δηλαδή αν συνδεθεί παράλληλα με ένα LTI σύστημα με w( t) h ( t) x( t) τότε το συνολικό σύστημα έχει είσοδο xt (), έξοδο yt () και απόκρισημοναδιαίου παλμού: h( t) h( t) h( t) (343) Απόδειξη Από τα δύο συστήματα που είναι συνδεδεμένα παράλληλα ισχύει: y( t) v( t) w( t) h ( t) x( t) h ( t) x( t) h ( t) h ( t) x( t) επειδή ισχύει η επιμεριστική ιδιότητα της γραμμικής συνέλιξης (όπως παρουσιάστηκε στο προηγούμενο κεφάλαιο) Όμως, το σύστημα είναι LTI, οπότε από την (338) για την έξοδο έχουμε: y( t) h( t) x( t) Συνδυάζοντας τις δύο τελευταίες σχέσεις καταλήγουμε: h( t) h ( t) h ( t) h ( t) h ( t) 43

Σχήμα 34Σύνδεση συστημάτων διακριτού χρόνου παράλληλα Γενικεύοντας, αν συνδεθούν παράλληλα συστήματα συνεχούς χρόνου, όπου ακέραιος με, τότε η συνολική απόκριση μοναδιαίου παλμού είναι: h( t) h( t) h( t) h ( t), δηλαδή η συνολική απόκριση μοναδιαίου παλμού ενός LTIσυστήματος,που αποτελείται από LTIσυστήματα συνδεδεμένα παράλληλα, είναι το άθροισμα των αποκρίσεων μοναδιαίου παλμού των επί μέρους συστημάτων 34 Αναπαράσταση LTI συστημάτων με διαφορικές εξισώσεις Κάθε γραμμικό χρονικά αμετάβλητοσύστημα περιγράφεται με μία διαφορική εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές: M d x( t) d y( t) b a dt dt και αρχικές συνθήκες ( y ) (),,,, ( όπου y ) () t συμβολίζει την τάξης παράγωγο του σήματος συνεχούς χρόνου yt () (344) Οι σταθεροί (ανεξάρτητοι του χρόνου) συντελεστές είναι: a,,, και b,,,, M Για παράδειγμα, η διαφορική εξίσωση y'( t) y( t) x( t) Περιγράφει ένα LTIσύστημα συνεχούς χρόνου Αν η είσοδος είναι x( t) u( t), τότε η έξοδος είναι y( t) e t Στο Σχήμα 35 παρουσιάζεται η είσοδος και η απόκριση του LTIσυστήματος συνεχούς χρόνου 44

5 x(t) 5 3 4 5 6 7 8 9 time t 5 y(t) 5 3 4 5 6 7 8 9 time t Σχήμα 35Είσοδος και απόκριση LTI συστήματος συνεχούς χρόνου 35 Συστήματα συνεχούς χρόνου σε προγραμματιστικό περιβάλλον ----5- Η συνάρτηση [y]=lsim(b,a,x,t) χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της απόκρισης ενός LTI συστήματοςσυνεχούς χρόνου Η συνάρτηση έχει εισόδους τους συντελεστές b καιaτης διαφορικήςεξίσωσης με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει το LTIσύστημα, την είσοδο x του συστήματος και τον χρόνο t Η συνάρτηση έχει έξοδο την έξοδο y του συστήματος Για παράδειγμα, για να υπολογιστεί η απόκριση του συστήματος y'( t) y( t) x( t) για είσοδο x( t) u( t) απαιτείται η παραγωγή της εισόδου dκαι στη συνέχεια απαιτείται η κλήση b=[]; a=[, /]; t=[::]; x=oes(,legth(t)); [y]=lsim(b,a,x,t) Παρατήρηση Για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων χρησιμοποιείται η συνάρτηση dsolve Η συνάρτηση dsolveμπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της απόκρισης ενός LTI συστήματοςσυνεχούς χρόνου, που περιγράφεται από μία διαφορική εξίσωση Για παράδειγμα, η απόκριση που υπολογίστηκε με τη συνάρτηση lsim μπορεί να υπολογιστεί με χρήση της συνάρτησης dsolve με την κλήση dsolve('dy=-5*y+','y()=') Η απόκριση είναι: - /exp(t/) Η συνάρτηση dsolve είναι διαθέσιμη σε Matlab και σε Octave (symbolic pacage) 45

33 Λυμένες Ασκήσεις Συστήματα διακριτού χρόνου --3-4-- Να εξετάσετε ως προς την ευστάθεια τα γραμμικά χρονικά αμετάβλητα(lti)συστήματα με κρουστική απόκριση α h( ) u( ) 8 β h( ) u( ) Λύση α Το LTIσύστημα είναι ευσταθές γιατί 8 8 8 h( ) u( ) h( ) u( ) u( ) β Το LTIσύστημα είναι ασταθές γιατί Ένα LTI σύστημα με κρουστική απόκριση h ( ) συνδέεται σε σειρά με ένα LTI σύστημα με κρουστική απόκριση h ( ) Το σύστημα που προκύπτει συνδέεται παράλληλα με ένα LTI σύστημα με κρουστική απόκριση h ( ) 3 Να υπολογίσετε την κρουστική απόκριση του συνολικού συστήματος Λύση Η κρουστική απόκριση του συστήματος που προκύπτει από σύνδεση συστημάτων σε σειρά είναι η συνέλιξη των επί μέρους κρουστικών αποκρίσεων Έτσι, η κρουστική απόκριση του συστήματος που προκύπτει από σύνδεση σε σειρά είναι: h( ) h ( ) h ( ) Η κρουστική απόκριση του συστήματος που προκύπτει από παράλληλη σύνδεση συστημάτων είναι το άθροισμα των επί μέρους κρουστικών αποκρίσεων Έτσι, η κρουστική απόκριση του συνολικού συστήματος είναι: h( ) h ( ) h ( ) Οπότε: h( ) [ h ( ) h ( )] h ( ) h( ) u( ) h( ) u( ) u( ) 3 3 8 u( ) u( ) 7 8 8 8 8 8 8 u( ) u( ) 3 Δίνεται ότι ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο(lti)σύστημα έχει βηματική απόκριση s( ) u( ) 3 Να υπολογίσετε την κρουστική απόκριση h ( ) Λύση Η είσοδος x ( ) και η έξοδος y () κάθε LTIσυστήματος με κρουστική απόκριση h ( ) συνδέονται με τη σχέση y( ) h( ) x( ) Η κρουστική απόκριση h ( ) του φίλτρου είναι η έξοδος για είσοδο x( ) ( ) Επομένως, έχουμε: h( ) h( ) ( ) Η βηματική απόκριση s ( ) του φίλτρου είναι η έξοδος για είσοδο x( ) u( ) Επομένως, έχουμε: s( ) h( ) u( ) Επειδή το σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο (αφού είναι LTI), έχουμε: s( ) h( ) u( ) Επίσης ισχύει: ( ) u( ) u( ), όπως είδαμε στο κεφάλαιο 46

Άρα h( ) h( ) ( ) h( ) [ u( ) u( )] h( ) u( ) h( ) u( ) s( ) s( ) Επομένως 4 Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: y( ) x( ) x( ) Να υπολογίσετε α την κρουστική απόκριση h ( ) για είσοδο x( ) ( ) β την απόκριση y () για είσοδο x( ) u( ) Λύση α Πρόκειται για FIRφίλτρο με M και σταθερούς συντελεστές: b, b Είναι γνωστό ότι η κρουστική απόκριση ενός φίλτρου πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης τη σχέση: οπότεη κρουστική απόκριση είναι: β Η απόκριση y () για είσοδο x( ) u( ) είναι: y( ) h( ) x( ) [ ( ) ( )] x( ) ( ) x( ) ( ) x( ) x( ) x( ) επειδή ισχύει x( ) ( ) x( ), όπως είδαμε στο κεφάλαιο Οπότε y( ) h( ) x( ) x( ) x( ) u( ) ( ) u( ) 5 Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: y( ) x( ) x( ) y( ) y( ) με αρχικές συνθήκες: y( ), y( ) Να υπολογίσετε την απόκριση Λύση Πρόκειται για IIR-ARMAφίλτρο τάξης για είσοδο Η γενική λύση της εξίσωσης διαφορώνείναι: y( ) y ( ) y ( ) Επειδή η είσοδος είναι Τότε Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι: z z h( ) s( ) s( ) u( ) ( ) u( ) M h( ) b ( ) h( ) ( ) ( ) 3 3 και σταθερούς συντελεστές: x( ) u( ), από τον Πίνακα 3, η μερική λύση είναι: Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο f () z z z είναι δεύτερου βαθμού και μία διπλή ρίζα z z h ( ) u( ) u( ) u( ) [ u( ) u( )] u( ) ( ) u( ) 4 4 b, b, a, a 4 4 p y ( ) c p 4 h y () 4 x( ) u( ) ( M, ) (,) c c c c δηλαδή c, επομένως y ( ) 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 p 4 4 δίνεται από 47

Τότε η ομογενής λύση γράφεται Έτσι, η λύση δίνεται από τον τύπο: Για, από την εξίσωση διαφορών, τη γενική λύση της και τις αρχικές συνθήκες, προκύπτει το ακόλουθο σύστημα: y() x() x( ) y( ) y( ) u() 4 4 4 4 y() A A A Για, από την εξίσωση διαφορών, τη γενική λύση της και τις αρχικές συνθήκες, προκύπτει το ακόλουθο σύστημα: y() x() x() y() y( ) 4 4 4 u() 4 4 u() 4 4 4 y() A A A A Οπότε A A A δηλαδή A A και y( ) A A, που έχει νόημα για Άρα η λύση γίνεται 6 Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: y( ) x( ) c y( ) Να υπολογίσετε το συντελεστή c και την αρχική συνθήκη y( ), ώστε η κρουστική απόκριση να είναι Λύση Hκρουστική απόκριση h ( ) είναι η έξοδος για είσοδο x( ) ( ) Η γενική λύση της εξίσωσης διαφορώνείναι: y( ) y ( ) y ( ) Επειδή η είσοδος είναι x( ) ( ), από τον Πίνακα 3, η μερική λύση είναι: y ( p ) Η χαρακτηριστική εξίσωση είναι: zc Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο f () z z c είναι πρώτου βαθμού και μία ρίζα z c Τότε η ομογενής λύση γράφεται yh( ) A z Ac Έτσι, η λύση δίνεται από τον τύπο: h( ) y( ) y ( ) y ( ) Ac Ac Αλλά είναι δεδομένο ότι Οπότε y ( ) A A z A A h y( ) y ( ) y ( ) A A A A p h y( ) u( ) h( ) 3 u( ) p h( ) 3 u( ) p h h 48

A 3 και c Για από την αρχική εξίσωση διαφορών έχουμε: h() x() c y( ) () y( ) y( ) και από τον τύπο της λύσης έχουμε: h() 3 u() 3 Οπότε y( ) 3 y( ) y( ) 4 Επομένως η αρχική συνθήκη είναι y( ) 4 Συστήματα συνεχούς χρόνου ----5-6 Το σύστημα πλήρους ανόρθωσης είναι το σύστημα συνεχούς χρόνουμε είσοδο xt () και έξοδο y( t) T x( t) x( t) Να εξετάσετε αν το σύστημα πλήρους ανόρθωσης είναι γραμμικόσύστημα Λύση Για οποιεσδήποτε σταθερές και c έχουμε: και c T x ( t) c T x ( t) c x ( t) c x ( t) Επομένως T c x ( t) c x ( t) c T x ( t) c T x ( t) Άρα τοσύστημα πλήρους ανόρθωσης δεν είναι γραμμικόσύστημα Το σύστημα μέσης τιμής είναι τοlti σύστημα συνεχούς χρόνουμε είσοδο και έξοδο y( t) T x( t) x( ) d Να υπολογίσετε την απόκριση μοναδιαίου παλμού του συστήματος T ht () μέσης τιμής Λύση Η απόκριση μοναδιαίου παλμού x( t) ( t) Τότε 34 Ασκήσεις c T c x ( t) c x ( t) c x ( t) c x ( t) c x ( t) c x ( t) c x ( t) c x ( t) t t tt t ht () du( ) y( t) ( ) d d u( t) u( t T) T T d T tt tt του συστήματος μέσης τιμής είναι η έξοδος του συστήματος για είσοδο Συστήματα διακριτού χρόνου --3-4-- Να εξετάσετε ως προς την ευστάθεια το γραμμικό χρονικά αμετάβλητο(lti)σύστημα με κρουστική απόκριση: 4 3 5 h( ) u( ) u( ) Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: y( ) x( ) x( ) Να υπολογίσετε α την κρουστική απόκριση h ( ) του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) ( ) β την απόκριση y () για είσοδο x( ) u( ) xt () 49

3 Δίνεται η εξίσωση διαφορών 5 y( ) x( ) y( ) με αρχική συνθήκη είναι: y( ) α Να υπολογίσετε την κρουστική απόκριση h ( ) του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) ( ) β Να υπολογίσετε τηβηματική απόκριση s ( ) του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) u( ) 4 Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: y( ) x( ) c y( ) Να υπολογίσετε το συντελεστή c και την αρχική συνθήκη y( ), ώστε η κρουστική απόκριση να είναι 5 h( ) 4 u( ) 6 Συστήματα συνεχούς χρόνου ----5-6 Να εξετάσετε ως προς τη γραμμικότητα το σύστημα συνεχούς χρόνου,που έχει είσοδο xt () και έξοδο y( t) T x( t) x ( t) 6 Ο ολοκληρωτής είναι το LTIσύστημα συνεχούς χρόνουμε είσοδο () και έξοδο y( t) T x( t) x( ) d Να εξετάσετε αν oολοκληρωτής είναι LTIσύστημα 3 Ο διαμορφωτής είναι το σύστημα συνεχούς χρόνουμε είσοδο xt () και έξοδο y( t) T x( t) x( t) cos( t) Να εξετάσετε αν oολοκληρωτής είναι LTIσύστημα 4 Το σύστημα μέσης τιμής είναι το σύστημα συνεχούς χρόνουμε είσοδο xt () και έξοδο yt ( t) T x( t) x( ) d Να εξετάσετε αν το σύστημα μέσης τιμής είναι LTIσύστημα T 5 Να εξετάσετε ως προς την ευστάθεια το LTIσύστημα συνεχούς χρόνου με απόκριση μοναδιαίου παλμού t h( t) e u( t) 6Ένα LTIσύστημα συνεχούς χρόνου έχει απόκριση μοναδιαίου παλμού την απόκριση yt () του συστήματος για είσοδο x( t) cos( t), t 35 Εργαστηριακές Ασκήσεις t tt 5 xt h( t) u( t) u( t ) Να υπολογίσετε Εργαστηριακή Άσκηση 7 LTIσυστήματαδιακριτού χρόνου --3--- Φίλτρο πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης: FIR - MA Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει έναfirφίλτρο: y( ) x( ) x( ) x( ) Να βρεθεί η τάξη του φίλτρου και οι συντελεστές Να μελετήσετε τη συνάρτηση filter Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση filter να υπολογίσετε και να σχεδιάσετε: - την κρουστική απόκριση h ( ) του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) ( ) t

- τηβηματική απόκριση s ( ) του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) u( ) - την απόκριση y () του φίλτρου για είσοδο x( ) u( ) Φίλτρο άπειρης κρουστικής απόκρισης: IIR AR Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει έναiir-arφίλτρο: y( ) x( ) y( ) y( ) Να βρεθεί η τάξη του φίλτρου και οι συντελεστές Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση filter να υπολογίσετε και να σχεδιάσετε: - την κρουστική απόκριση h ( ) του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) ( ) - τηβηματική απόκριση s ( ) του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) u( ) - την απόκριση y () του φίλτρου για είσοδο x( ) u( ) 3 Φίλτρο άπειρης κρουστικής απόκρισης: IIR ARMA Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει έναiir-arφίλτρο: y( ) x( ) x( ) y( ) y( ) Να βρεθεί η τάξη του φίλτρου και οι συντελεστές Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση filter να υπολογίσετε και να σχεδιάσετε: - την κρουστική απόκριση h ( ) του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) ( ) - τηβηματική απόκριση s ( ) του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) u( ) - την απόκριση y () του φίλτρου για είσοδο x( ) u( ) 4 Γραμμικό χρονικά αμετάβλητο (LTI) φίλτρο: συνέλιξη Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει έναltiφίλτρο: y( ) x( ) x( ) y( ) y( ) Να υπολογίσετεκαι να σχεδιάσετε: - την κρουστική απόκριση h ( ) του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) ( ) - την απόκριση y () του φίλτρου για είσοδο x( ) u( ) - τη συνέλιξη y( ) h( ) x( ) Τι παρατηρείτε; 5 Σύνδεση φίλτρων σε σειρά Δίνονται οι εξισώσεις διαφορών με σταθερούς συντελεστές που περιγράφουν δύο LTIφίλτρα συνδεδεμένα σε σειρά: y( ) w( ) y( ) w( ) x( ) w( ) 3 Το συνολικό φίλτρο έχει είσοδο x ( ) και έξοδο y () α υπολογίσετε και να σχεδιάσετε: - την κρουστική απόκριση h ( ) του πρώτου φίλτρου - την κρουστική απόκριση h ( ) του δεύτερου φίλτρου - τηβηματική απόκριση s ( ) του συνολικού φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) u( ) - τη συνέλιξη y( ) [ h( ) h( )] u( ) Τι παρατηρείτε; 6 Σύνδεση φίλτρων παράλληλα Δίνονται οι εξισώσεις διαφορών με σταθερούς συντελεστές που περιγράφουν δύο LTIφίλτρα συνδεδεμένα παράλληλα: v( ) x( ) v( ) 5

w( ) x( ) w( ) 3 Το συνολικό φίλτρο έχει είσοδο x ( ) και έξοδο y( ) v( ) w( ) α υπολογίσετε και να σχεδιάσετε: - την κρουστική απόκριση h ( ) του πρώτου φίλτρου - την κρουστική απόκριση h ( ) του δεύτερου φίλτρου - τηβηματική απόκριση s ( ) του συνολικού φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) u( ) - τη συνέλιξη y( ) [ h( ) h( )] u( ) Τι παρατηρείτε; 7 Γραμμικό χρονικά αμετάβλητο φίλτρο (LTI): μετατόπιση Δίνεται η εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει έναiirφίλτρο: y( ) x( ) x( ) 3 y( ) 4 y( ) α υπολογίσετε και να σχεδιάσετε: - τηβηματική απόκριση s ( ) του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( ) u( ) - την απόκριση y () του φίλτρουγια είσοδο x( ) u( ) Τι παρατηρείτε; 8 Φίλτρο μέσηςτιμής Να παράγετετοσήμα x( ) 4 si( ) 3 που αποτελείται από το χρήσιμο τμήμα 4 και τον ανεπιθύμητο ημιτονοειδή θόρυβο si( ) 3 Να θεωρήσετε το φίλτρο μέσης τιμής τάξης M που περιγράφεται από την εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές: M ym ( ) x( ) M Να βάλετε είσοδο το σήμα x ( ) σε ένα φίλτρο μέσης τιμής τάξης M με σκοπό να απομακρύνετε το θόρυβο Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση filter να υπολογίσετε και να σχεδιάσετε τις εξόδους y ( ) και y ( ) 3 7 των φίλτρων μέσης τιμής τάξης M 4 και M 8, αντίστοιχα Πώς επιδρά η τάξη του φίλτρου M στη μορφή της εξόδου; Εργαστηριακή Άσκηση 8 LTIσυστήματασυνεχούς χρόνου ----5- Επίλυση διαφορικών εξισώσεων Να μελετήσετε τη συνάρτηση dsolve Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση dsolve να επιλύσετε τις διαφορικές εξισώσεις: y'( t) y( t) si( t), y( ) y'''( t) y'( t) si( t), y(), y'(), y''() Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση pretty να εμφανίσετε τα αποτελέσματα Η συνάρτηση pretty είναι διαθέσιμη σε Matlab και σε Octave (symbolic pacage) LTI φίλτρο συνεχούς χρόνου Δίνεται η διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει ένα LTI φίλτρο συνεχούς χρόνου: y'( t) 5 y( t) 3 x( t) Να μελετήσετε τη συνάρτηση lsim Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση lsim να υπολογίσετε την απόκριση του συστήματος για είσοδο x( t) u( t) 3 LTI φίλτρο συνεχούς χρόνου 5

Δίνεται η διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει ένα LTI φίλτρο συνεχούς χρόνου: y'( t) 4 y( t) x( t) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση lsim να υπολογίσετε - την απόκριση μοναδιαίου παλμού ht () του φίλτρου, δηλαδή την έξοδο του συστήματος για είσοδο x( t) ( t) - την απόκριση y () του φίλτρου για είσοδο x( t) u( t ) 4 LTI φίλτρο συνεχούς χρόνου Δίνεται η διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές που περιγράφει ένα LTI φίλτρο συνεχούς χρόνου: y''( t) 5 y( t) x'( t) x( t) Χρησιμοποιώντας τη συνάρτηση lsim να υπολογίσετε την απόκριση του συστήματος για είσοδο x( t) u( t ) 5 Σύστημα μέσης τιμής t Το σύστημα μέσης τιμής είναι το σύστημα συνεχούς χρόνουμε είσοδο xt () και έξοδο yt ( t) x( ) d T Να υπολογίσετε την απόκριση y () t 5 του συστήματος για είσοδο x( t) u( t ) tt 53

36 Περίληψη (ηχογραφημένη) Μπορείτε να ακούσετε την περίληψη του Κεφαλαίου 3 με τον Ήχο 3 Ήχος 3Περίληψη Κεφαλαίου 3 Συστήματα διακριτού χρόνου --3-4-- Η κρουστική απόκριση (impulserespose) h ( ) ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος είναι η έξοδος (απόκριση) του συστήματος στην κρουστική είσοδο () Η απόκριση y () ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος είναι ίση με τη γραμμική συνέλιξη της κρουστικής απόκρισης h ( ) με την είσοδο x ( ) Η συνολική κρουστική απόκριση ενός LTI συστήματος, που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά, είναι η συνέλιξη των κρουστικών αποκρίσεων των επί μέρους συστημάτων Η συνολική κρουστική απόκριση ενός LTI συστήματος, που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα παράλληλα, είναι το άθροισμα των κρουστικών αποκρίσεων των επί μέρους συστημάτων Κάθε γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα περιγράφεται με μία γραμμική εξίσωση διαφορών με σταθερούς συντελεστές Τα γραμμικά χρονικά αμετάβλητα (LTI) συστήματα (φίλτρα) διακρίνονται σε δύο κατηγορίες ανάλογα με τη διάρκεια της κρουστικής τους απόκρισης: - τα φίλτρα πεπερασμένης κρουστικής απόκρισης (Fiiteduratio Impulse Respose FIR) - τα φίλτρα άπειρης κρουστικής απόκρισης (Ifiiteduratio Impulse Respose IIR) Συστήματα συνεχούς χρόνου ----5-6 Η απόκριση μοναδιαίου παλμού ht () ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος είναι η έξοδος (απόκριση) του συστήματος στην είσοδο μοναδιαίου παλμού () t Η απόκριση yt () ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου (LTI) συστήματος είναι ίση με τη συνέλιξη της απόκρισης μοναδιαίου παλμού ht () με την είσοδο xt () Η συνολική απόκριση μοναδιαίου παλμού ενός LTI συστήματος, που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά, είναι η συνέλιξη των αποκρίσεων μοναδιαίου παλμού των επί μέρους συστημάτων Η συνολική απόκριση μοναδιαίου παλμού ενός LTI συστήματος, που αποτελείται από LTI συστήματα συνδεδεμένα παράλληλα, είναι το άθροισμα των αποκρίσεων μοναδιαίου παλμού των επί μέρους συστημάτων Κάθε γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα περιγράφεται με μία διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές 54