ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 7η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΟΛΙΑ Επιμέλια : Γιάννης Κουκούλης, Υποψήιος Διδάκτορας ΕΜΠ ΑΣΚΗΣΗ 7. Απάντηση (α) Ζητίται η τιμή της σχτικής πυκνότητας D r σ δοκίμιο άμμου που υποβάλλται σ δοκιμή κυλινδρικής τριαξονικής συμπίσης, έχοντας σαν δδομένα τις παραμορώσις ( αξονική και πλυρική ) σ μία νδιάμση άση της δοκιμής, καθώς και την αξονική παραμόρωση κατά την στιγμή της αστοχίας. Αρχικά, υπολογίζται η ογκομτρική παραμόρωση l του δοκιμίου της άμμου κατά την νδιάμση άση της δοκιμής. Η ογκομτρική παραμόρωση l της άμμου δίνται από την σχέση: l + 3, όπου, 3 η αξονική και η πλυρική παραμόρωση του δοκιμίου της άμμου. Επομένως, προκύπτι για την νδιάμση άση της δοκιμής : l (.8% ) 5% 5.6% 0.6% + 3 5% + l ΔΙΟΓΚΩΣΗ Παρατηρίται ότι η ογκομτρική παραμόρωση ίναι αρνητική, το οποίο σημαίνι ότι το δαικό δοκίμιο διογκώνται { Σημ. : Σύμωνα μ την σύμβαση πρόσημων της Εδαομηχανικής, θτικές τάσις ίναι οι θλιπτικές τάσις }. Επιδή, η αξονική παραμόρωση στην νδιάμση άση (Σημίο Α) ίναι πολύ κοντά στην αντίστοιχη αξονική παραμόρωση κατά την αστοχία του δοκιμίου (,αστ. 5.5 % - Σημίο Β), προκύπτι το συμπέρασμα ότι το δαικό υλικό έχι μγάλη πυκνότητα ( από την θωρία ίναι γνωστό ότι υλικά μ μγάλη πυκνότητα μανίζουν διόγκωση ). σ σ 3 t (kpa) A B t ult t res 5 5.5 (%) l (%) -0.6 Α B (ΔΙΟΓΚΩΣΗ) 55.5 (ΣΥΜΠΙΕΣΗ) (%) --
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 Επομένως, η τιμή που αντιστοιχί στην σχτική πυκνότητα D r του δοκιμίου ίναι 80%. (β) Ζητίται η τιμή του πραγματικού δίκτη πόρων e του υλικού, μ βάση την τιμή της σχτικής πυκνότητας D r που πιλέχθηκ στο προηγούμνο ρώτημα. Δίδονται σαν δδομένα οι ργαστηριακές τιμές του λόγου των κνών e max και e min. Η σχτική πυκνότητα νός αμμώδους σχηματισμού δίνται από την σχέση : emax e D r 00% (*), όπου : e e max min e min ίναι ο δίκτης πόρων του αμμώδους υλικού που αντιστοιχί στην πλέον πυκνή διάταξη των κόκκων, δηλαδή την μέγιστη πυκνότητα ρ max, e max ίναι ο δίκτης πόρων του αμμώδους υλικού που αντιστοιχί στην πλέον χαλαρή διάταξη των κόκκων, δηλαδή την λάχιστη πυκνότητα ρ min, e ίναι ο δίκτης πόρων του αμμώδους υλικού στην πραγματική κατάσταση. Από την σχέση (*) μ αντικατάσταση των τιμών προκύπτι : emax e 0.70 e (*) D r 00% 80% 00% e 0.46 e e 0.70 0.40 max min ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ!!! Όσο μγαλύτρη ίναι η σχτική πυκνότητα D r νός αμμώδους υλικού, δηλαδή όσο πιο πυκνό ίναι το υλικό, τόσο μγαλύτρη αντοχή και τόσο μικρότρη συμπιστότητα μανίζι. Επομένως, μπορί να δχτί μγαλύτρα ορτία και να μανίζι μικρότρς καθιζήσις. ΑΣΚΗΣΗ 7. Απάντηση Για τις ανάγκς της πίλυσης της άσκησης, πρέπι να υιοθτηθί μία τιμή για τον συντλστή οριζοντίων τάσων Κ ο. Επομένως, γίνται η παραδοχή ότι ισχύι : K 0.40. Μ το πέρας της δοκιμής (α) της μονοαξονικής συμπίσης ασκίται στο δοκίμιο οριζόντια τάση : σ ' K σ ' 0.40 300 σ' 0 kpa Η παραπάνω οριζόντια τάση ασκίται στο δοκίμιο λόγω της παρμπόδισης της πλυρικής του παραμόρωσης κατά την διάρκια της δοκιμής. --
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 300 kpa 0 kpa 0 kpa 300 kpa Στην συνέχια, γίνται η δοκιμή (β) της μονοδιάστατης αποόρτισης της κατακόρυης τάσης από σ 300 kpa σ σ 50 kpa. Μ το πέρας της δοκιμής αυτής, η οριζόντια τάση παραμένι πρίπου σταθρή, δηλαδή ισχύι : σ' σ', ορτ.. 0 kpa 50 kpa 0 kpa 0 kpa 50 kpa Ο συντλστής οριζοντίων τάσων κατά την δοκιμή της αποόρτισης παίρνι την τιμή : K, απ. σ ' 0 K, απ..40 σ ' 50 Η αυξημένη τιμή του συντλστή οριζοντίων τάσων κατά την αποόρτιση του υλικού οίλται στο γγονός ότι η οριζόντια τάση δν ακολουθί την μίωση της κατακόρυης τάσης, αλλά μένι πρίπου σταθρή. Στην συνέχια, κτλίται δοκιμή απλής διάτμησης υπό κατακόρυη τάση μ σταθρή τιμή σ 50 kpa ( βλέπ πόμνο σχήμα Αρχική Κατάσταση ). Η τιμή της αντίστοιχης οριζόντιας τάσης σ που ασκίται στα πλυρικά τοιχώματα του δοκιμίου παραμένι σταθρή (δηλαδή σ 0 kpa). Ακολούθως πιβάλλται πρόσθτη διατμητική τάση τ μέχρις ότου το δοκίμιο αστοχήσι. Την στιγμή της αστοχίας του δαικού υλικού η διατμητική τάση έχι την τιμή τ,α ή τ,ult ( βλέπ πόμνο σχήμα Τλική Κατάσταση ). -3-
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 Η άργιλος κατά την διάρκια της δοκιμής απλής διάτμησης ίναι προορτισμένη, μ βαθμό προόρτισης : σ ',max 300 Βαθμός Προόρτισης 6 σ ' 50,υπ. Επομένως, αναμένται μτά την μάνιση της οριακής (ult) αντοχής του υλικού μία πτώση της διατμητικής του αντοχής και σ μγάλς παραμορώσις να καταλήγι στην απομένουσα (residual) διατμητική του αντοχή. Επομένως ίναι γνωστή η ντατική κατάσταση κατά την αστοχία του δοκιμίου στην δοκιμή της απλής διάτμησης { βλέπ σχτικό σχήμα στο ρώτημα (α) σημία (σ,τ ult ) και (σ,-τ ult ) στον χώρο των τάσων }. (α) Ζητούνται τα διαγράμματα σ - και τ - γ των τριών παραπάνω δοκιμών. Μ βάση τα όσα έχουν αναπτυχθί παραπάνω, τα ζητούμνα διαγράμματα ίναι τα ακόλουθα : ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ s σ σ (kpa) 0 00 00 300 400,ορ. (α) (β) (a) (β) -4-
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 τ τ ult ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ τ s γ τ res ( γ) γ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ!!! Στο διάγραμμα σ - αίνται ότι κατά την αποόρτιση του δοκιμίου δν αναιρίται όλη η παραμόρωση που συντλέστηκ κατά την διάρκια της όρτισης ( σύγκριση της παραμόρωσης,ορ. στο στάδιο της όρτισης για σ 50 kpa μ την παραμόρωση (β) στο στάδιο της αποόρτισης για την ίδια κατακόρυη τάση ). Το γγονός αυτό δίχνι την έντονα μη λαστική συμπριορά του υλικού, η οποία έχι σαν συνέπια την δημιουργία παραμνουσών μη αντιστρπτών παραμορώσων σ κύκλους όρτισης παναόρτισης. (β) Ζητούνται οι τλικοί κύκλοι Mr των ντατικών καταστάσων (α), (β), (γ). Μ βάση τα όσα έχουν αναπτυχθί παραπάνω, οι ζητούμνοι κύκλοι Mr ίναι οι ξής : 00 80 ΚΥΚΛΟΙ MOHR (α) τ (kpa) 60 40 0 0 (β) σ ν ' (αποορτ.) σ ' σ ν ' (ορτ.) 0 40 80 0 60 00 40 80 30 σ (kpa) -5-
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 80 60 ΚΥΚΛΟΙ MOHR (γ) (σ ', τ ult ) τ (kpa) 40 0 0-0 -40 (σ ν ', τ ) O 0 0 40 60 80 00 0 40 60 σ (kpa) (σ ', τ ) -60 (σ ', τ ult ) -80 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ!!! Στο παραπάνω σχήμα έχουν σχδιασθί οι κύκλοι που αναέρονται στην ντατική κατάσταση αστοχίας για την δοκιμή (γ) της απλής διάτμησης. Ειδικότρα, έχουν σχδιασθί ο σωτρικός κύκλος που ανaέρται στην αρχική ντατική κατάσταση της δοκιμής (πιβολή κατακόρυης τάσης σ ), ένας νδιάμσος κύκλος (ο οποίος αναέρται σ μία νδιάμση ντατική κατάσταση) και τέλος ο ξωτρικός κύκλος αστοχίας (γ) (ο οποίος και αναέρται στην αστοχία της δοκιμής). ΑΣΚΗΣΗ 7.4 Απάντηση (α) Ζητίται να προσδιορισθί η διατμητική τάση τ α κατά την αστοχία μίας αργίλου σ δοκιμή απυθίας διάτμησης υπό κατακόρυη τάση σ 00 kpa. Δίνονται σαν δδομένα τα αποτλέσματα δοκιμών της ίδια αργίλου σ μία δοκιμή κυλινδρικής τριαξονικής συμπίσης και σ μία δοκιμή απλής διάτμησης. Αρχικά, από τα αποτλέσματα των δοκιμών της κυλινδρικής τριαξονικής συμπίσης και της απλής διάτμησης, που κτλέστηκαν σ δίγματα της ίδιας αργίλου, θα προσδιορισθούν οι παράμτροι διατμητικής αντοχής (c,). Στην συνέχια μ βάση τις τιμές των παραπάνω παραμέτρων θα υπολογιστί η ζητούμνη διατμητική τάση τ α. -6-
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 Η δοκιμή της κυλινδρικής τριαξονικής συμπίσης πριλάμβαν στροποίηση κατά την πιβολή της πλυρικής τάσης σ c, και στη συνέχια πιβολή της πρόσθτης αξονικής πίσης Δσ α μ λύθρη στράγγιση του νρού των πόρων. Στην δοκιμή της απλής διάτμησης, ασκίται στο δοκίμιο η κατακόρυη τάση σ 00 kpa και ακολούθως πιβάλλται πρόσθτη διατμητική τάση τ μέχρις ότου το δοκίμιο αστοχήσι. Την στιγμή της αστοχίας του δαικού υλικού η διατμητική τάση έχι την τιμή τ,α 00 kpa. Από τις δύο παραπάνω δοκιμές προκύπτουν δύο ντατικές καταστάσις που αντιστοιχούν στην αστοχία του υλικού της αργίλου. Οι ντατικές καταστάσις μπορούν να απικονιστούν στον χώρο των τάσων (σ, τ) μέσω κύκλων του Mr. Οι δύο αυτοί κύκλοι άπτονται της πριβάλλουσας αστοχίας κατά Mr - Culmb της αργίλου. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ!!! Στην πριβάλλουσα αστοχίας του Κριτηρίου Mr Culmb άπτονται κύκλοι του Mr που αντιστοιχούν στις νργές τάσις που αναπτύσσονται κατά την αστοχία. Επομένως, για τον προσδιορισμό της πριβάλλουσας αστοχίας, δηλαδή για τον προσδιορισμό των παραμέτρων διατμητικής αντοχής (c,), απαιτίται η κτέλση τουλάχιστον δοκιμών. Στην πρίπτωση μη συνκτικού υλικού, c0, απαιτίται η κτέλση δοκιμής ( για τον προσδιορισμό της γωνίας σωτρικής τριβής ). Πράγματι, από τα αποτλέσματα των δύο δοκιμών ισχύουν τα ξής : Δοκιμή Κυλινδρικής Τριαξονικής Συμπίσης Οριζόντια Πλυρική Τάση : σ 3 σ c 50 kpa σ 3 50 kpa Κατακόρυη Αξονική Τάση : σ σ c + Δσ α 50 + 300 450 kpa σ 450 kpa Επομένως ίναι δυνατό να σχδιαστί για την τριαξονική δοκιμή ο αντίστοιχος κύκλος τάσων του Mr που θα αναέρται στην αστοχία του δίγματος. Το κέντρο Ο και η ακτίνα R του κύκλου δίνονται από τις σχέσις : O σ ' + σ 3 ' 50 + 450 O 300 kpa σ ' σ 3 450 50 R ' R 50 kpa -7-
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 Δοκιμή Απλής Διάτμησης Στην δοκιμή της απλής διάτμησης, αρχικά ασκίται στο δοκίμιο κατακόρυη τάση μ σταθρή τιμή σ 00 kpa ( βλέπ πόμνο σχήμα Αρχική Κατάσταση ). Από τον συντλστή οριζοντίων τάσων Κ ο μπορί να υπολογιστί η τιμή της αντίστοιχης οριζόντιας τάσης σ που ασκίται στα πλυρικά τοιχώματα του δοκιμίου. Ακολούθως πιβάλλται πρόσθτη διατμητική τάση τ μέχρις ότου το δοκίμιο αστοχήσι. Την στιγμή της αστοχίας του δαικού υλικού η διατμητική τάση έχι την τιμή τ,α 00 kpa ( βλέπ πόμνο σχήμα Τλική Κατάσταση ). Οριζόντια Πλυρική Τάση : σ K σ 0.50 00 σ 00 kpa Κατακόρυη Αξονική Τάση : σ 00 kpa σ 00 kpa Διατμητική Τάση κατά την Αστοχία : τ,α 00 kpa Επομένως ίναι γνωστή η ντατική κατάσταση κατά την αστοχία του δοκιμίου στην δοκιμή της απλής διάτμησης { βλέπ πόμνο σχήμα σημία Α(σ,τ,α ) και Β(σ,-τ,α ) στον χώρο των τάσων }. Άρα ίναι δυνατό να σχδιαστί και για την δύτρη δοκιμή ο αντίστοιχος νργός κύκλος τάσων του Mr που θα αναέρται στην αστοχία του δίγματος. Επιδή τα σημία Α και Β ίναι αντιδιαμτρικά σημία του κύκλου του Mr ( γιατί ; ), το κέντρο Ο και η ακτίνα R του κύκλου δίνονται από τις σχέσις : O σ + + ' σ ' 00 00 O 50 kpa σ ' σ 3 ' 00 00 R + τ, a + 00 R.80 kpa -8-
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 Στην συνέχια σχδιάζονται οι δύο νργοί κύκλοι των τάσων στον χώρο (σ,τ), όπως αίνται και στο πόμνο σχήμα. Η πριβάλλουσα αστοχίας του κριτηρίου Mr Culmb θα άπτται στους δύο παραπάνω κύκλους. Η πριβάλλουσα τέμνι τον άξονα των νργών τάσων σ στο σημίο t του αρνητικού ημιάξονα. T σημίο t ανρώνι την λκυστική αντοχή του δαικού υλικού. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ!!! Στο σχήμα της πόμνης σλίδας έχουν σχδιασθί οι κύκλοι που αναέρονται στην ντατική κατάσταση αστοχίας των δύο δοκιμών της αργίλου. Ιδιαίτρα στην δοκιμή (ΙΙ) της απλής διάτμησης έχουν σχδιασθί ο κύκλος (ΙΙ) που ανaέρται στην αρχική ντατική κατάσταση της δοκιμής (πιβολή κατακόρυης τάσης σ ), ένας διακκομμένος κύκλος (ο οποίος αναέρται σ μία νδιάμση ντατική κατάσταση) και τέλος ο κύκλος αστοχίας (ΙΙ ) (ο οποίος και αναέρται στην αστοχία της δοκιμής). Προσοχή, πιδή η δοκιμή της διάτμησης ίναι απλή, το σημίο που αναέρται στην αστοχία της δοκιμής δν ανήκι στην πριβάλλουσα αστοχίας του δαικού υλικού, αλλά ο κύκλος Mr της κατάστασης αστοχίας άπτται στην πριβάλλουσα αστοχίας του δαικού υλικού Mr Culmb. -9-
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004-0-
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 Από το παραπάνω σχήμα, μ βάση τα δύο ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζονται στα σημία παής των κύκλων μ την πριβάλλουσα ισχύι το ξής : R R R R S + t R 50 + t.80 t 89.06 S + t S + t S + t S + t S + t R 300 + t 50 Από την παραπάνω σχέση τα δύο πρώτα μέλη δίνουν : R 50.0 S + t 300.0 + 89.06 ο ο 4.75 5 Για τον υπολογισμό της συνοχής ισχύι η ακόλουθη σχέση από το σχηματιζόμνο ορθογώνιο τρίγωνο στον αρνητικό ημιάξονα σ : c tan c t tan 89.06 tan4.75 c t 76. kpa 76 kpa kpa Στην συνέχια μ βάση τις τιμές των παραπάνω παραμέτρων διατμητικής αντοχής θα υπολογιστί η ζητούμνη διατμητική τάση τ α κατά την αστοχία μίας αργίλου σ δοκιμή απυθίας διάτμησης υπό κατακόρυη τάση σ 00 kpa. Στην δοκιμή της απυθίας διάτμησης, αρχικά ασκίται στο δοκίμιο κατακόρυη τάση μ σταθρή τιμή σ 00 kpa. Ακολούθως πιβάλλται πρόσθτη διατμητική τάση τ μέχρις ότου το δοκίμιο αστοχήσι. Την στιγμή της αστοχίας του δαικού υλικού η διατμητική τάση έχι την τιμή τ α. Η διαορά της δοκιμής απυθίας διάτμησης από την δοκιμή απλής διάτμησης ίναι ότι στην πρώτη η αστοχία του δαικού δοκιμίου πιβάλλται να γίνι σ οριζόντιο πίπδο. Αυτός ίναι και ο λόγος για τον οποίο το σημίο της ντατικής κατάστασης σ δοκιμή απυθίας διάτμησης στον χώρο των τάσων ανήκι στην πριβάλλουσα του κριτηρίου Mr Culmb ( βλέπ πόμνο σχήμα ). --
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 Επομένως, γνικά ισχύι το ξής : Σ δοκιμές απυθίας διάτμησης, το σημίο της ντατικής κατάστασης στο χώρο των τάσων (σ,τ), κατά την στιγμή της αστοχίας, αποτλί ταυτόχρονα και σημίο της πριβάλλουσας διατμητικής αντοχής του Κριτηρίου Mr Culmb για το ίδιο δαικό υλικό Επομένως, η ζητούμνη διατμητική τάση τ α προκύπτι από την ακόλουθη ξίσωση του κριτηρίου Mr Culmb : τ a c + σ ' tan 76. + 00 tan4.75 τ 8.78 a kpa (β) Ζητίται να προσδιορισθί η τάση σ α κατά την δοκιμή της ίδιας αργίλου σ τριαξονική κυλινδρική δοκιμή συμπίσης μ σ c 0, καθώς και η διατμητική τάση τ max,α κατά την αστοχία. Η τριαξονική κυλινδρική δοκιμή συμπίσης στην οποία η πλυρική τάση σ c ίναι μηδνική ονομάζται δοκιμή μονοαξονικής θλίψης ( ή συμπίσης ). Στο πόμνο σχήμα αίνται ο κύκλος Mr της δοκιμής καθώς και η αντίστοιχη πριβάλλουσα αστοχίας του δαικού υλικού. Η μθοδολογία που ακολουθίται για τον προσδιορισμό της ζητούμνης τάσης σ α ίναι ίδια μ αυτήν του προηγούμνου ρωτήματος. Ειδικότρα, μ βάση το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζται στο σημίο παής του κύκλου αστοχίας μ την πριβάλλουσα ισχύουν τα ξής : R, όπου : S + t σ', α και R S c c tan t t tan --
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 { βλέπ το σχηματιζόμνο ορθογώνιο τρίγωνο στον αρνητικό ημιάξονα σ } Επομένως, από την παραπάνω σχέση προκύπτι : σ',α ccs σ', α σ',α c + tan Αποδικνύται μαθηματικά ότι ισχύι το ξής : σ', α ccs σ', α ctan45 + ( ), που ίναι η ζητούμνη αντοχή σ μονοαξονική θλίψη. Μ αντικατάσταση των παραμέτρων διατμητικής αντοχής προκύπτι η ζητούμνη τάση : σ', α 4.75 ctan45 + 76. tan45 + σ', α 97.50 kpa Από το προηγούμνο σχήμα προκύπτι ότι η μέγιστη διατμητική τάση τ max που ασκίται στο δοκίμιο κατά την αστοχία ίναι ίση μ την ακτίνα του αντίστοιχου κύκλου του Mr. Επομένως, ισχύι το ξής : τ max σ',α 97.50 R τ max R 98.75 kpa Kατά την αστοχία του δοκιμίου, το πίπδο αστοχίας παριστάνται στον κύκλο του Mr μ το σημίο Α (σ α, τ max,a ). Η διατμητική τάση τ max,a που αναπτύσσται στο πίπδο αστοχίας δίνται από την παρακάτω σχέση ( βλέπ προηγούμνο σχήμα ) : τ max, a ( ) 95.50 kpa τ max cs 98.75 cs 4.75 τ max, α ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ!!! Σχτικά μ την διύθυνση του πιπέδου αστοχίας στο δοκίμιο της μονοαξονικής θλίψης, ίναι γνωστό από την θωρία ότι γνικά σ τριαξονικές δοκιμές ( άρα και σ δοκιμές μ πλυρική μηδνική τάση σ c 0 ) αυτό βρίσκται σ γωνία θ 45 ο + ως προς το οριζόντιο πίπδο (γιατί;). Επομένως για την συγκκριμένη πρίπτωση ισχύι : θ 45 ο ο ο + 45 + 4.75 θ 5.38 5 Πράγματι, από το προηγούμνο σχήμα προκύπτι : ( ) 5.3 kpa σ', α τ max 98.75 4.75, S R S 98.75 kpa -3-
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004-4- Επομένως, ισχύι : kpa ' 73.6 5.3 98.75 ' ' S Άρα, προκύπτι : ο ο 5.37 5 θ 73.6 95.50 ' tan max,α τ θ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ!!! { Απόδιξη της σχέσης ( ) } Ορίζται ως Α η παρακάτω παράσταση : A cs (*) Ισχύουν τα ξής ( μτά από ύψωση και των δύο μλών στο ττράγωνο ) : ( ) ( ) + cs cs A + cs cs cs cs cs cs cs cs + + + + A Επιδή ισχύι ( ) ( ) 45 cs 45, πολλαπλασιάζται ο αριθμητής και ο παρονομαστής του κλάσματος κατά τον ακόλουθο τρόπο : ( ) ( ) ( ) ( ) + 45 cs 45 cs cs 45 45 cs A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + b a b a b a a b b a b a cs cs ) cs( cs cs ) ( + + + + + 45 tan cs A (*) 45 tan 45 tan 45 cs 45 A A Από την τλυταία σχέση για την παράσταση Α, μ αντικατάσταση της ισότητας, αποδικνύται και η ζητούμνη σχέση ( ).
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 ΑΣΚΗΣΗ 7.5 Απάντηση Ζητίται να προσδιορισθί άν το δαικό στοιχίο Μ του παρακάτω σχήματος έχι αστοχήσι μτά την πιβολή του λωριδωτού ορτίου p, καθώς και να σχδιασθί ο αντίστοιχος κύκλος Mr. p y Δσ 3 Μ Δσ z 3.0 m Πυκνή Άμμος Κ ο 0.50 z 36 ο Για τον υπολογισμό των τάσων στο σημίο Μ, θα πρέπι να προσδιοριστούν οι γωστατικές τάσις, καθώς και οι πιπρόσθτς τάσις από την όρτιση της απιρομήκους λωρίδας p (δν χριάζται ιδιαίτρος υπολογισμός μιας και δίνονται σαν δδομένα στην κώνηση της άσκησης). Η παλληλία των δύο παραπάνω καταστάσων δίνι και το ζητούμνο αποτέλσμα, δηλαδή την συνολική ντατική κατάσταση του δαικού στοιχίου M μτά την πιβολή της όρτισης. Τονίζται ότι ίναι πιτρπτή η χρήση της παλληλίας των δυο καταστάσων μιας και χρησιμοποιίται η θωρία της Γραμμικής Ισότροπης Ελαστικότητας (Γ.Ι.Ε.). Υπολογισμός γωστατικών τάσων στο σημίο Μ : Για τον υπολογισμό των γωστατικών τάσων ίναι απαραίτητο να γίνι μία παραδοχή ως προς την πυκνότητα της πυκνής άμμου. Συνπώς, στο υπόλοιπο μέρος της άσκησης, για απλοποίηση των αριθμητικών πράξων αλλά και για κπαιδυτικούς λόγους, θωρίται ότι η πυκνή άμμος έχι πυκνότητα ρ.0 Μgr/m 3. Συνπώς, οι γωστατικές τάσις υπολογίζονται ως ξής : Ολική κατακόρυη τάση : σ γ z ρ g z.0 0 3.0 σ σ 60 kpa A A z Ενργός κατακόρυη τάση : u γ z 0 kpa σ ' σ ' σ u 60 kpa (απουσία Υ.Ο.) w w z z -5-
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 Ενργός οριζόντια τάση : σ ' σ y ' K σ z ' 0.50 60 σ ' σ y ' 30 kpa Ολική οριζόντια τάση : σ σ σ ' + u 30 kpa (απουσία Υ.Ο.) y y Στην γωστατική κατάσταση δν αναπτύσσονται καθόλου διατμητικές τάσις. Υπολογισμός πιπρόσθτων τάσων λόγω όρτισης στο σημίο Μ : Από τα δδομένα της κώνησης ισχύουν τα ξής ( λόγω απουσίας Υ.Ο. ) : Δσ Δσ Δσ ' 60 kpa Δσ Δσ 3 Δσ 3 ' 40 kpa Στον άξονα της λωριδωτής όρτισης δν αναπτύσσονται διατμητικές τάσις λόγω συμμτρίας. Εαρμόζοντας παλληλία ανάμσα στις δύο καταστάσις προκύπτουν οι ζητούμνς τάσις : σ σ z + Δσ 60 + 60 σ z, f z, f 0 kpa σ σ y + Δσ 30 + 40 σ y, f y, f 70 kpa Στο πίπδο yz συνολικά αναπτύσσονται μόνο οι παραπάνω ορθές τάσις. Οι διατμητικές τάσις στο παραπάνω πίπδο ίναι μηδνικές, μ συνέπια οι προηγούμνς ορθές τάσις να ίναι και κύρις τάσις ταυτόχρονα. Άρα στην τλική κατάσταση ισχύι : σ, f σ z, f 0 kpa σ 3, f σ y, f 70 kpa Στην συνέχια, θα σχδιαστί ο αντίστοιχος ολικός κύκλος τάσων του Mr ( που ταυτίζται μ τον αντίστοιχο κύκλο των νργών τάσων λόγω απουσίας Υ.Ο. ) που αναέρται στην παραπάνω ντατική κατάσταση του δαικού στοιχίου Μ. Το κέντρο S και η ακτίνα R του κύκλου δίνονται από τις σχέσις : σ, f + σ 3, f 0 + 70 S S 45 kpa σ, f σ 3, f 0 70 R R 75 kpa Επομένως, λαμβάνοντας υπόψη όλς τις παραπάνω παρατηρήσις, χαράσσται ο κύκλος των νργών τάσων του Mr ( ο οποίος ταυτίζται μ τον κύκλο των ολικών τάσων λόγω απουσίας -6-
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 Υ.Ο. ), που αντιστοιχί στην ντατική κατάσταση της πιβολής του λωριδωτού ορτίου p ( βλέπ πόμνο σχήμα ). Για να προσδιοριστί αν αστοχί το δαικό στοιχίο Μ, προσδιορίζται η κινητοποιούμνη γωνία διατμητικής αντίστασης m. Η γωνία m αντιστοιχί για μη συνκτικά υλικά στον μέγιστο λόγο διατμητικής προς ορθής τάσης ( τ/σ ). Ειδικότρα, όπως αίνται και στο παραπάνω σχήμα, για μη συνκτικά δαικά υλικά, αντιστοιχί στην γωνία που σχηματίζι η απτομένη του κύκλου του Mr { που διέρχται από την αρχή των αξόνων του πιπέδου (σ, τ) }, μ τον άξονα των ορθών τάσων σ. Το γγονός άν αστοχί ή όχι το δαικό στοιχίο προκύπτι από την σύγκριση της γωνίας m μ την γωνία σωτρικής τριβής του δαικού υλικού. Ειδικότρα, συναντώνται οι παρακάτω τρις πριπτώσις : m < το δαικό στοιχίο δν αστοχί, m το δαικό στοιχίο βρίσκται σ κατάσταση αστοχίας μιας και το κριτήριο αστοχίας Mr Culmb ικανοποιίται, m > η ντατική κατάσταση που αντιστοιχί στο δαικό στοιχίο Μ δν ίναι δυνατόν να πραγματοποιηθί μιας και το δαικό στοιχίο έχι ήδη αστοχήσι. Για τον προσδιορισμό της γωνίας κινητοποιούμνης διατμητικής αντίστασης m, από το σχηματιζόμνο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΚΛ προκύπτι : m ( ΟΚ) ( ΟΛ) R 75 S 45 m m 3 0.57 < 36 m 3.5 3 Συνπώς, το δαικό στοιχίο Μ δν αστοχί μτά την πιβολή του λωριδωτού ορτίου p. -7-
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 ΑΣΚΗΣΗ 7.6 Απάντηση (α) Ζητίται να προσδιορισθί ο συντλστής οριζοντίων τάσων K για ένα αμμώδς δαικό υλικό, έχοντας σαν δδομένα τα αποτλέσματα δοκιμών της ίδια άμμου σ μία δοκιμή απυθίας διάτμησης και σ μία δοκιμή απλής διάτμησης. Αρχικά, από τα αποτλέσματα της δοκιμής της απυθίας διάτμησης θα προσδιορισθί η γωνία σωτρικής τριβής της άμμου. Ακολούθως, μ βάση τα αποτλέσματα της δοκιμής της απλής διάτμησης θα υπολογιστί ο ζητούμνος συντλστής οριζοντίων τάσων K. Στην δοκιμή της απυθίας διάτμησης, αρχικά ασκίται στο δοκίμιο κατακόρυη τάση μ σταθρή τιμή σ (α) 50 kpa. Ακολούθως πιβάλλται πρόσθτη διατμητική τάση τ μέχρις ότου το δοκίμιο αστοχήσι. Την στιγμή της αστοχίας του δαικού υλικού η διατμητική τάση έχι την τιμή τ,a(a) 45 kpa. Στην δοκιμή της απλής διάτμησης, ασκίται στο δοκίμιο η κατακόρυη τάση σ 350 kpa και ακολούθως πιβάλλται πρόσθτη διατμητική τάση τ μέχρις ότου το δοκίμιο αστοχήσι. Την στιγμή της αστοχίας του δαικού υλικού η διατμητική τάση έχι την τιμή τ,α 00 kpa. Από τις δύο παραπάνω δοκιμές προκύπτουν δύο ντατικές καταστάσις, που αντιστοιχούν στην αστοχία του υλικού της άμμου και μπορούν να απικονιστούν στον χώρο των τάσων (σ, τ). Πράγματι, από τα αποτλέσματα των δύο δοκιμών ισχύουν τα ξής : Δοκιμή Απυθίας Διάτμησης Στην δοκιμή της απυθίας διάτμησης, αρχικά ασκίται στο δοκίμιο κατακόρυη τάση μ σταθρή τιμή σ (α) 50 kpa. Ακολούθως πιβάλλται πρόσθτη διατμητική τάση τ μέχρις ότου το δοκίμιο αστοχήσι. Την στιγμή της αστοχίας του δαικού υλικού η διατμητική τάση έχι την τιμή τ,a(a) 45 kpa. Η διαορά της δοκιμής απυθίας διάτμησης από την δοκιμή απλής διάτμησης ίναι ότι στην πρώτη η αστοχία του δαικού δοκιμίου πιβάλλται να γίνι σ οριζόντιο πίπδο. Αυτός ίναι και ο λόγος για τον οποίο το σημίο της ντατικής κατάστασης σ δοκιμή απυθίας διάτμησης στον χώρο των τάσων ανήκι στην πριβάλλουσα του κριτηρίου Mr Culmb ( βλέπ πόμνο σχήμα ). -8-
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 Επομένως, γνικά ισχύι το ξής : Σ δοκιμές απυθίας διάτμησης, το σημίο της ντατικής κατάστασης στο χώρο των τάσων (σ,τ), κατά την στιγμή της αστοχίας, αποτλί ταυτόχρονα και σημίο της πριβάλλουσας διατμητικής αντοχής του Κριτηρίου Mr Culmb για το ίδιο δαικό υλικό Επομένως, κατά την αστοχία του αμμώδους ( μη συνκτικού c 0 kpa ) υλικού στην δοκιμή της απυθίας διάτμησης ισχύι η ακόλουθη ξίσωση του κριτηρίου Mr Culmb : τ,a(a) σ ' ( a) tan tan τ σ ',a(a) ( a) tan 45 50 ο ο 30. 30 Δοκιμή Απλής Διάτμησης Στην δοκιμή της απλής διάτμησης, αρχικά ασκίται στο δοκίμιο κατακόρυη τάση μ σταθρή τιμή σ 350 kpa ( βλέπ πόμνο σχήμα Αρχική Κατάσταση ). Από τον συντλστή οριζοντίων τάσων Κ ο μπορί να υπολογιστί η τιμή της αντίστοιχης οριζόντιας τάσης σ που ασκίται στα πλυρικά τοιχώματα του δοκιμίου. Ακολούθως πιβάλλται πρόσθτη διατμητική τάση τ μέχρις ότου το δοκίμιο αστοχήσι. Την στιγμή της αστοχίας του δαικού υλικού η διατμητική τάση έχι την τιμή τ,α 00 kpa ( βλέπ πόμνο σχήμα Τλική Κατάσταση ). Η άγνωστη τιμή του συντλστή οριζοντίων τάσων Κ ο ίναι το ζητούμνο του ρωτήματος. -9-
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 Οριζόντια Πλυρική Τάση : σ K σ 350 K σ (350K ) kpa Κατακόρυη Αξονική Τάση : σ 350 kpa σ 350 kpa Διατμητική Τάση κατά την Αστοχία : τ,α 00 kpa Η ντατική κατάσταση κατά την αστοχία του δοκιμίου στην δοκιμή της απλής διάτμησης παριστάνται στον χώρο των τάσων από τα σημία Α και Β { βλέπ πόμνο σχήμα σημία Α(σ,τ,α ) και Β(σ,-τ,α ) στον χώρο των τάσων }. Επομένως, ίναι δυνατό να σχδιαστί ο αντίστοιχος νργός κύκλος τάσων του Mr που θα αναέρται στην αστοχία του δίγματος στην δοκιμή της απλής διάτμησης. Επιδή τα σημία Α και Β ίναι αντιδιαμτρικά σημία του κύκλου του Mr ( γιατί ; ), το κέντρο Ο και η ακτίνα R του κύκλου δίνονται από τις σχέσις : σ ' + σ ' 350 + 350 K S O S { 75 ( + K )} kpa O () R σ ' σ ' + τ, a 350 350K + 00 R 0000 + 3065 ( - ) kpa K () Στην συνέχια σχδιάζται ο νργός κύκλος των τάσων στον χώρο (σ,τ), όπως αίνται στο πόμνο σχήμα. Η πριβάλλουσα αστοχίας του κριτηρίου Mr Culmb θα άπτται στον παραπάνω κύκλο αστοχίας. Επίσης, αίνται και το σημίο (Ι) της δοκιμής απυθίας διάτμησης, το οποίο ανήκι και στην πριβάλλουσα αστοχίας του κριτηρίου Mr Culmb. -0-
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ!!! Στο σχήμα της πόμνης σλίδας έχουν σχδιασθί ο κύκλος (ΙΙ) που ανaέρται στην αρχική ντατική κατάσταση της δοκιμής (πιβολή κατακόρυης τάσης σ 350 kpa), ένας διακκομμένος κύκλος (ΙΙ ) (ο οποίος αναέρται σ μία νδιάμση ντατική κατάσταση μ διατμητική τάση τ 50 kpa) και τέλος ο κύκλος αστοχίας (ΙΙ ) (ο οποίος και αναέρται στην αστοχία της δοκιμής μ διατμητική τάση τ,α 00 kpa). Προσοχή, πιδή η δοκιμή της διάτμησης ίναι απλή, το σημίο που αναέρται στην αστοχία της δοκιμής δν ανήκι στην πριβάλλουσα αστοχίας του δαικού υλικού, αλλά ο κύκλος Mr της κατάστασης αστοχίας άπτται στην πριβάλλουσα αστοχίας του δαικού υλικού Mr Culmb. --
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 --
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 Από το παραπάνω σχήμα, μ βάση τ ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζται στ σημίο παής του κύκλου αστοχίας μ την πριβάλλουσα ισχύι το ξής ( τρίγωνο μ σημία την αρχή των αξόνων, το κέντρο Ο του κύκλου αστοχίας της δοκιμής και το σημίο παής D του τλυταίου μ την πριβάλλουσα αστοχίας ) : R (3) S Μ αντικατάσταση των σχέσων () και () στην παραπάνω σχέση προκύπτι το ξής : R (3) S R S 96.04K (),() 76667.9K ( 30. ) 0000 + 3065 75 + 396.04 0 ( + K ) ( K ) Η πίλυση της παραπάνω δυτροβάθμιας ξίσωσης ως προς Κ ο δίνι τις ακόλουθς λύσις : K 0.5058 αποδκτή λύση.8398 απορριπτέα λύση ( μιας και πρόκιται για τριαξονική δοκιμή, όπου Κ ο ) Επομένως, η ζητούμνη τιμή του συντλστή οριζοντίων τάσων Κ ο ίναι ίση μ : K 0.5058 Η οριζόντια πλυρική τάση που ασκίται στο δοκίμιο της απλής διάτμησης ίναι ίση μ : σ K σ 350 0.5058 σ 77.03 kpa (β) Ζητίται να προσδιορισθί η διύθυνση του πιπέδου αστοχίας στην δοκιμή απλής διάτμησης. Για την απάντηση του ρωτήματος ίναι αναγκαίο να προσδιορισθί ο πόλος του κύκλου του Mr Ο p της δοκιμής της απλής διάτμησης. O πόλος Ο p προσδιορίζται ως ξής : Από το σημίο Α(σ,τ,α ) χαράσσται υθία παράλληλη στο πίπδο που ασκίται η τάση σ (δηλαδή χαράσσται οριζόντια υθία, μιας και η τάση σ ίναι η κατακόρυη σταθρή τάση που ασκίται στην δοκιμή απλής διάτμησης). Το σημίο τομής της παραπάνω υθίας μ τον κύκλο του Mr ορίζι και τον πόλο του κύκλου O p. Στο σχήμα της προηγούμνης σλίδας ικονίζται ο πόλος Ο p του κύκλου Mr. -3-
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 Σημ. : Στο ίδιο ακριβώς αποτέλσμα θα ίχαμ καταλήξι άν έρναμ υθία παράλληλη στο πίπδο που ασκίται η τάση σ από το σημίο B(σ,-τ,α ) του χώρου των τάσων (δηλαδή υθία κατακόρυη μιας και η τάση σ ίναι η πλυρική τάση της δοκιμής). Οι συντταγμένς του πόλου O p του κύκλου του Mr ίναι οι ξής ( βλέπ σχήμα άσκησης ) : O p (σ, τ,α ) ( 77.03, 00.00 ) Στην συνέχια προσδιορίζονται οι συντταγμένς του σημίου D (σ α,τ α ), που ίναι το σημίο παής του κύκλου του Mr της δοκιμής της απλής διάτμησης μ την πριβάλλουσα αστοχίας του αμμώδους δαικού υλικού. Από το προηγούμνο σχήμα προκύπτι ότι η μέγιστη διατμητική τάση τ max που ασκίται στο δοκίμιο κατά την αστοχία ίναι ίση μ την ακτίνα του αντίστοιχου κύκλου του Mr. Επομένως, ισχύι το ξής : K 0.5058 ( K ) τ R 3. kpa () τ R 0000 + 3065 max max Kατά την αστοχία του δοκιμίου, το πίπδο αστοχίας παριστάνται στον κύκλο του Mr μ το σημίο D (σ α,τ α ). Η διατμητική τάση τ a που αναπτύσσται στο πίπδο αστοχίας δίνται από την παρακάτω σχέση ( βλέπ σχήμα βλέπ σχηματιζόμνο τρίγωνο από το κέντρο του κύκλου ) : ( 30. ) τ 4.37 kpa τ a τ max cs 3. cs α Επιδή το σημίο D ανήκι και στην πριβάλλουσα αστοχίας του αμμώδους δαικού υλικού, ισχύι το ξής : τ a τ a 4.37 σ a' tan σ a' σ a ' 97.8 tan tan ( 30. ) Επομένως, οι συντταγμένς του σημίου D ίναι οι ξής ( βλέπ σχήμα άσκησης ) : D (σ a, τ α ) ( 97.8, 4.37 ) kpa Επομένως, η διύθυνση του πιπέδου αστοχίας στην δοκιμή της απλής διάτμησης, από τον ορισμό του πόλου O p του κύκλου του Mr, ίναι ίση μ την γωνία που σχηματίζι το υθύγραμμο τμήμα (O p D) μ τον οριζόντιο άξονα των ορθών τάσων σ. Άρα, ισχύι : tanθ Δτ (O D) τ (D) τ (O ) τ 4.37 00.00 p p α τ, a θ 35.49 Δσ ' σ ' σ ' σ ' σ ' 97.8 77.03 (O pd) (D) (O p ) α ο -4-
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 (γ) Ζητίται να προσδιορισθί η τιμή της μέγιστης διατμητικής τάσης τ max και η διύθυνση του πιπέδου στο οποίο ασκίται, κατά την νδιάμση άση της δοκιμής της απλής διάτμησης. Για την απάντηση του ρωτήματος ίναι αναγκαίο να προσδιορισθί ο πόλος Ο p του κύκλου του Mr (ΙΙ ) της νδιάμσης άσης για την δοκιμή της απλής διάτμησης. O πόλος Ο p προσδιορίζται ως ξής : Από το σημίο C(σ,τ ) χαράσσται υθία παράλληλη στο πίπδο που ασκίται η τάση σ (δηλαδή χαράσσται οριζόντια υθία, μιας και η τάση σ ίναι η κατακόρυη σταθρή τάση που ασκίται στην δοκιμή απλής διάτμησης). Το σημίο τομής της παραπάνω υθίας μ τον κύκλο του Mr (ΙΙ ) ορίζι και τον πόλο του κύκλου O p. Στο σχήμα της άσκησης ικονίζται ο πόλος Ο p του κύκλου Mr (ΙΙ ). Οι συντταγμένς του πόλου O p του κύκλου του Mr (ΙΙ ) ίναι οι ξής ( βλέπ σχήμα άσκησης ): O p (σ, τ ) ( 77.03, 50.00 ) Στην συνέχια προσδιορίζονται οι συντταγμένς του σημίου Ε (S, τ max ), που ίναι το σημίο του κύκλου του Mr (II ) για την νδιάμση άση της δοκιμής της απλής διάτμησης, το οποίο αντιστοιχί στην μέγιστη διατμητική τάση τ max. Από το σχήμα της άσκησης προκύπτι ότι η μέγιστη διατμητική τάση τ max που ασκίται στο δοκίμιο κατά την νδιάμση άση της δοκιμής ίναι ίση μ την ακτίνα του κύκλου του Mr (ΙΙ ). Επομένως, ισχύι το ξής { κατά αναλογία μ την σχέση () } : τ K 0.5058 ( K ) τ R 99.90 kpa max R 50 + 3065 max Η αντίστοιχη ορθή τάση S ίναι ίση μ την απόσταση από την αρχή των αξόνων του κέντρου των ομόκντρων κύκλων (ΙΙ), (ΙΙ ) και (ΙΙ ). Επομένως, ισχύι : () S O 75 K 0.5058 ( + K ) S O 63.5 kpa Επομένως, οι συντταγμένς του σημίου E ίναι οι ξής ( βλέπ σχήμα άσκησης ) : E (S, τ max ) ( 63.5, 99.90 ) Επομένως, η διύθυνση του πιπέδου για την μέγιστη διατμητική τάση τ max κατά την νδιάμση άση της δοκιμής της απλής διάτμησης, από τον ορισμό του πόλου O p του κύκλου του Mr, ίναι ίση μ την γωνία που σχηματίζι το υθύγραμμο τμήμα (O p Ε) μ τον οριζόντιο άξονα των ορθών τάσων σ. Άρα, ισχύι : tan θ Δτ (O E) τ (E) τ (O ) τ 99.90 50.00 max τ p p θ 9.98 Δσ ' σ ' σ ' S σ ' 63.5 77.03 (O p E) (E) (O p ) ο -5-
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 ΑΣΚΗΣΗ 7.7 Απάντηση (α) Ζητίται να προσδιορισθί η γωνία σωτρικής τριβής της άμμου, έχοντας σαν δδομένα τα αποτλέσματα, μ μορή διαγραμμάτων, της κυλινδρικής τριαξονικής δοκιμής που κτλέστηκ σ δοκίμιο της ίδιας άμμου. Η δοκιμή της κυλινδρικής τριαξονικής συμπίσης πριλάμβαν στροποίηση κατά την πιβολή της πλυρικής τάσης σ 3 σ c, και στη συνέχια πιβολή της πρόσθτης αξονικής πίσης Δσ α. Από την παραπάνω δοκιμή προκύπτι μία ντατική κατάσταση που αντιστοιχί στην αστοχία του αμμώδους υλικού. Η ντατική κατάσταση μπορί να απικονιστί στον χώρο των τάσων (σ, τ) μέσω κύκλων του Mr. Ο κύκλος του Mr άπτται της πριβάλλουσας αστοχίας κατά Mr - Culmb. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ!!! Στην πριβάλλουσα αστοχίας του Κριτηρίου Mr Culmb άπτονται κύκλοι του Mr που αντιστοιχούν στις νργές τάσις που αναπτύσσονται κατά την αστοχία. Επομένως, για τον προσδιορισμό της πριβάλλουσας αστοχίας, δηλαδή για τον προσδιορισμό των παραμέτρων διατμητικής αντοχής (c,), απαιτίται η κτέλση τουλάχιστον δοκιμών. Στην πρίπτωση μη συνκτικού υλικού, c0, απαιτίται η κτέλση δοκιμής ( για τον προσδιορισμό της γωνίας σωτρικής τριβής ), όπως ίναι και η πρίπτωση της παρούσας άσκησης. Πράγματι, από τα αποτλέσματα της δοκιμής ισχύουν τα ξής : Δοκιμή Κυλινδρικής Τριαξονικής Συμπίσης Από το διάγραμμα t { διάγραμμα (α) } της δοκιμής κυλινδρικής τριαξονικής συμπίσης προκύπτι ότι στην αστοχία του δοκιμίου ισχύι ( αντοχή του αμμώδους υλικού ) : ( σ σ ) ( σ σ ) ( σ σ ) 380 kpa 3 t 90 kpa 3 { βλέπ σημίο Ρ διαγράμματος (α) } Οριζόντια Πλυρική Τάση : σ 3 σ c 00 kpa σ 3 00 kpa Κατακόρυη Αξονική Τάση : σ σ c + Δσ α σ c + ( σ - σ 3 ) 00 + 380 σ 480 kpa Επομένως ίναι δυνατό να σχδιαστί για την τριαξονική δοκιμή ο αντίστοιχος κύκλος τάσων του Mr που θα αναέρται στην αστοχία του δίγματος. Το κέντρο Ο και η ακτίνα R του κύκλου δίνονται από τις σχέσις : -6-
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 σ + σ S 3 480 + 00 S 90 kpa σ σ 480 00 R 3 R t 90 kpa Στην συνέχια σχδιάζται ο κύκλος των τάσων στον χώρο (σ, τ), όπως αίνται και στο πόμνο σχήμα. Η πριβάλλουσα αστοχίας του κριτηρίου Mr Culmb άπτται στον κύκλο. τ ΤΡΙΑΞΟΝΙΚΗ ΔΟΚΙΜΗ σ τ max τ α σ 3 σ 3 R R σ O σ 3 S σ σ Από το παραπάνω σχήμα, μ βάση το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζται στ σημί παής τυ κύκλου μ την πριβάλλουσα αστοχίας ισχύι το ξής : R 90 ο 0. 655 40.93 4 S 90 ο (β) Ζητίται να υπολογιστί, κατά την στιγμή της αστοχίας, η διατμητική τάση στο πίπδο αστοχίας, καθώς και σ ένα πίπδο που σχηματίζι γωνία 40 ο μ το οριζόντιο πίπδο, έχοντας ως δδομένη την γωνία σωτρικής τριβής που προσδιορίστηκ στο προηγούμνο ρώτημα. Για την απάντηση του ρωτήματος ίναι αναγκαίο να προσδιορισθί ο πόλος του κύκλου του Mr Ο p. O πόλος του κύκλου των τάσων προσδιορίζται ως ξής : Από το σημίο (σ, 0) χαράσσται υθία παράλληλη στο πίπδο που ασκίται η τάση σ (δηλαδή χαράσσται οριζόντια υθία, μιας και η τάση σ ίναι η αξονική κατακόρυη τάση της τριαξονικής δοκιμής). Το σημίο τομής της παραπάνω υθίας μ τον κύκλο του Mr ορίζι και τον πόλο των τάσων O p. Στο σχήμα της πόμνης σλίδας ικονίζται ο πόλος των τάσων Ο p του κύκλου Mr. -7-
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 Σημ. : Στο ίδιο ακριβώς αποτέλσμα θα ίχαμ καταλήξι άν έρναμ υθία παράλληλη στο πίπδο που ασκίται η τάση σ 3 από το σημίο (σ 3, 0) του χώρου των τάσων (δηλαδή υθία κατακόρυη μιας και η τάση σ 3 ίναι η οριζόντια πλυρική τάση της τριαξονικής δοκιμής). τ σ θ τ θ σ σ 3 τ max τ α Α Β (σ θ, τ θ ) R R R O p θ O θ σ 3 S σ α σ σ Για τον υπολογισμό της διατμητικής τάσης, κατά την αστοχία της δοκιμής, στο πίπδο που σχηματίζι γωνία 40 ο μ το οριζόντιο πίπδο, χαράσσται υθία από το σημίο του πόλου των τάσων Ο p και μ γωνία θ 40 ο ως προς τον οριζόντιο άξονα των ορθών τάσων σ. Το σημίο τομής της νέας υθίας μ τον κύκλο του Mr απικονίζι την τασική κατάσταση του δαικού στοιχίου ως προς το ζητούμνο πίπδο. Η αντίστοιχη πίκντρη γωνία του κύκλου του Mr που σχηματίζται από το ίδιο σημίο τομής ίναι διπλάσια σ μέγθος (θ80 ο ). Από το προηγούμνο σχήμα προκύπτι ότι η μέγιστη διατμητική τάση τ max που ασκίται στο δοκίμιο κατά την αστοχία ίναι ίση μ την ακτίνα του αντίστοιχου κύκλου του Mr. Επομένως, ισχύι το ξής : τ max R 90 kpa ( βλέπ απάντηση ρωτήματος ). Kατά την αστοχία του δοκιμίου, το πίπδο αστοχίας παριστάνται στον κύκλο του Mr μ το σημίο Α(σ α,τ α ). Η διατμητική τάση τ α που αναπτύσσται στο πίπδο αστοχίας δίνται από την σχέση ( βλέπ προηγούμνο σχήμα βλέπ σχηματιζόμνο τρίγωνο από το κέντρο του κύκλου ) : ( 40. ) kpa τ τ 43.54 α τ max cs 90 cs 93 α Η διατμητική τάση τ α που αναπτύσσται στο πίπδο που σχηματίζι γωνία 40 ο μ το οριζόντιο πίπδο, προσδιορίζται από το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζται από το κέντρο του κύκλου μ το σημίο Β (σ θ, τ θ ) { βλέπ προηγούμνο σχήμα }. Επιδή η αντίστοιχη πίκντρη γωνία του κύκλου του Mr ίναι διπλάσια σ μέγθος ως προς την αρχική ( θ 80 ο ), προκύπτι το ξής : τ θ ( θ ) 90 ( ) τ 87.kPa τ max 80 θ -8-
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 (γ) Ζητίται να λγχθί άν τα σημία Α, Ρ και Ε στα διαγράμματα (β) και (γ) των αποτλσμάτων της τριαξονικής δοκιμής ίναι συμβιβαστά μταξύ τους. Ο έλγχος της συμβιβαστότητας των σημίων Α, Ρ και Ε στα διαγράμματα (β) και (γ), γίνται μ «χιρωνακτικό» τρόπο για κάθ σημίο. Ειδικότρα, η διαδικασία που ακολουθίται για κάθ ξταζόμνο σημίο ίναι η ξής : (π.χ. για το σημίο Α ) Από το διάγραμμα (β) l s προκύπτι για το σημίο A : l 0 %, 0.50 % Προσδιορίζται η γκάρσια παραμόρωση από την σχέση : l 0 % 0.50 % l + 0.5 % < 0 ΔΙΟΓΚΩΣΗ Υπολογισμός του λόγου του Pissn ν από την σχέση : ( 0.5 %) 0.50 0.50 % Από το διάγραμμα (γ) / s προκύπτι για το σημίο A : 0.50 ( ), το οποίο ταυτίζται μ την προηγούμνη υπολογισθίσα τιμή του λόγου Pissn. Επομένως, το σημίο Α ίναι συμβιβαστό στα διαγράμματα (β) και (γ). Στην συνέχια, παναλαμβάνοντας την παραπάνω διαδικασία για όλα τα ζητούμνα σημία, προκύπτι ο παρακάτω πίνακας : Σημίο l (%) (%) (%) - / {διάγραμμα (γ)} Συμβιβαστότητα Α 0 0.50-0.5 0.50 0.50 Ρ -.00 3.00 -.00 0.67 0.67 Ε -3.00.50-7.5 0.63 0.63 Επομένως, τα σημία Α, Ρ και Ε ίναι συμβιβαστά στα διαγράμματα (β) και (γ). (δ) Ζητίται να σχδιασθί η μταβολή του λόγου του Pissn ως προς την αξονική παραμόρωσης κατά την διάρκια κτέλσης της τριαξονικής δοκιμής συμπίσης. -9-
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 Ο λόγος του Pissn νός δαικού υλικού ορίζται ως η απόλυτη τιμή του λόγου της πλυρικής (γκάρσιας) παραμόρωσης προς την αντίστοιχη κατακόρυη (αξονική) παραμόρωσή του, οι οποίς προκύπτουν κατά την όρτιση νός δοκιμίου του παραπάνω υλικού. Μαθηματικά, ο λόγος του Pissn ορίζται ως ξής :, μ :, η πλυρική οριζόντια και η αξονική - κατακόρυη παραμόρωση. Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτι ότι η μταβολή του λόγου του Pissn ως προς την αντίστοιχη αξονική παραμόρωσης, κατά την διάρκια κτέλσης της τριαξονικής δοκιμής συμπίσης, ίναι ήδη γνωστή από το δδομένο ( από την κώνηση ) διάγραμμα (γ), μ την διαορά ότι η αρχική τιμή του λόγου του Pissn για μηδνική αξονική παραμόρωση ν ίναι ίση μ : αρχ. 0.333 /3 ( οίλται στην παραδοχή ότι ισχύι η θωρία της λαστικότητας - βλέπ και αντίστοιχη παρατήρηση στην άσκηση 5.8 ). Σημ. : Οι ορισμοί γκάρσιας και αξονικής παραμόρωσης μέσα στις παρνθέσις χρησιμοποιούνται ναλλακτικά στις συνήθις κτλούμνς δοκιμές τριαξονικής συμπίσης. Το αρνητικό πρόσημο στον παραπάνω ορισμό προκύπτι από το γγονός ότι η γκάρσια παραμόρωση έχι αντίθτο πρόσημο από την αντίστοιχη αξονική παραμόρωση { π.χ. στην συνήθη τριαξονική δοκιμή συμπίσης, η αξονική παραμόρωση ίναι θτική ( θλίψη ) νώ η αντίστοιχη πλυρική παραμόρωση ίναι αρνητική ( διόγκωση ) }. () Ζητίται να κτιμηθί το μέτρο Ελαστικότητας κατά Yung E του αμμώδους δαικού υλικού, που αντιστοιχί σ παραμόρωση 0.50 %, καθώς και το αντίστοιχο μέτρο μονοδιάστατης συμπίσης D. Για την απάντηση στο συγκκριμένο ρώτημα χρησιμοποιίται η θωρία της Γραμμικής Ισότροπης Ελαστικότητας (ΓΙΕ), και το έδαος προσομοιάζται ως λαστικό σώμα μ μέτρο Ελαστικότητας Ε και λόγο του Pissn ν. Ειδικότρα, από την ΓΙΕ ισχύι η σχέση : { Δσ σ } Δ E 3 (*) Σ κυλινδρική τριαξονική δοκιμή συμπίσης, που πριλαμβάνι στροποίηση μ την πιβολή πλυρικής τάσης σ 3 σ c και ακολούθως πιβολή της πρόσθτης αξονικής πίσης Δσ α, ισχύι : Δσ 3 Δσ c 0, Δσ Δσ a σ -σ c Δσ σ -σ 3 και. -30-
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 Μ αντικατάσταση στην σχέση (*) προκύπτι : Δσ Δσ Δσ (*) { } ( ) ( ) 3 3 3 E ( σ σ ) 3 E t E, αού E σ σ 3 t. Μ παραγώγιση της τλυταίας σχέσης προκύπτι : E σ σ E σ σ dt d d dt E d d E Από το διάγραμμα (α) στο σημίο Α ισχύι : ( σ - σ ) 0. 50%, t 40 kpa. 3 Επομένως, ισχύι προσγγιστικά ( ως προς την αρχή κτέλσης της δοκιμής ) : Δt Δ dt d E E Δt t t E Δ Από το διάγραμμα (γ) στο σημίο Α ισχύι : 0 50. %, 0.50 { βλέπ και σχτικό ρώτημα (γ) }. 40 E 56000 kpa 56 MPa 0.50% Επιδή για την απάντηση του ρωτήματος χρησιμοποιίται η θωρία της Γραμμικής Ισότροπης Ελαστικότητας (ΓΙΕ), η παραπάνω τιμή του λόγου του Pissn υποδηλώνι ότι το έδαος ίναι ασυμπίστο, δηλαδή μπορί να παραμορώνται υπό κάποια όρτιση, αλλά η συνολική ογκομτρική παραμόρωση θα ίναι μηδνική ( μηδνική μταβολή όγκου ). Επομένως, ισχύι : 0. l Στην πρίπτωση μονοδιάστατης συμπίσης, ισχύι : + 0 ( λόγω πλυρικής παρμπόδισης παραμόρωσης 0 ) l σ Επομένως, ισχύι : σ D D D, για παραμόρωση 0. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ!!! Σ πρίπτωση που η παραπάνω παρατήρηση δν γίνι αντιληπτή, το ίδιο συμπέρασμα μπορί να ξαχθί και μέσω της σχέσης ορισμού του μέτρου συμπίσης D στην θωρία λαστικότητας. ( ) D E D, για 0.50. ( + )( ) -3-
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 ΑΣΚΗΣΗ 7.8 Απάντηση (α) Ζητίται να υπολογιστί και να σχδιαστί η ξέλιξη του λόγου του Pissn συναρτήσι της αξονικής παραμόρωσης, έχοντας σαν δδομένα τα αποτλέσματα ( διαγράμματα : (α) (σ -σ 3 ) s, (β) l s ) που προέκυψαν από δοκιμή κυλινδρικής τριαξονικής συμπίσης σ δοκίμιο πυκνής άμμου. Ο προσδιορισμός του διαγράμματος της ξέλιξης του λόγου Pissn ως προς την αξονική παραμόρωση, γίνται μ «χιρωνακτικό» τρόπο. Αυτό σημαίνι ότι γίνται υπολογισμός του λόγου Pissn ν σ σημία του διαγράμματος l s, τα οποία έχουν ιδιαίτρο νδιαέρον ( π.χ. ακρότατα, σημίο καμπής, ακραία σημία ). Η διαδικασία που ακολουθίται ίναι η ξής : (π.χ. για το σημίο Β του διαγράμματος (β) l s ) Από το διάγραμμα (β) l s προκύπτι για το σημίο Β : l 0.50 %,.00 % Προσδιορίζται η γκάρσια παραμόρωση 3 από την σχέση : l 0.50 %.00 % l + 3 3 3 3 0.75 % < 0 ΔΙΟΓΚΩΣΗ ( ) 3 Υπολογισμός του λόγου του Pissn ν από την σχέση : 0.75 % 0.375.00 % Στην συνέχια, παναλαμβάνοντας την παραπάνω διαδικασία για όλα τα πιλγέντα σημία, προκύπτι ο παρακάτω πίνακας : Σημίο l (%) (%) 3 (%) - 3 / Α 0 0 0 0.333 (*) Β 0.50.00-0.75 0.375 Γ 0 4.00 -.00 0.50 Δ -.00 5.50-3.5 0.59 Ε -.70 7.50-4.60 0.63 ΣΤ -.0 0.00-6.0 0.6 Ζ -.45.00-7.3 0.603 (*) Παρατήρηση : Η αρχική τιμή του λόγου του Pissn για μηδνική αξονική παραμόρωση ( αρχ. 0.333 /3) οίλται στην παραδοχή ότι ισχύι η θωρία της λαστικότητας. Στην πόμνη σλίδα παρουσιάζται το ζητούμνο διάγραμμα μταβολής του λόγου Pissn ως προς την αξονική παραμόρωση της τριαξονικής δοκιμής. -3-
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ l s l (%) -3 -.5 - -.5 - -0.5 0 0.5 (ΔΙΟΓΚΩΣΗ) ΣΤ Ζ Ε Δ Α Γ Β (ΣΥΜΠΙΕΣΗ) 0 4 6 8 0 4 (%) ΔΙΑΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ν s 0.8 ν 0.6 0.4 0. Α Β Γ Δ Ε Ζ ΣΤ 0 0 4 6 8 0 4 (%) (β) Ζητίται να προσδιορισθί η γωνία διατμητικής αντοχής της άμμου, έχοντας σαν δδομένα τα αποτλέσματα της κυλινδρικής τριαξονικής δοκιμής που κτλέστηκ σ δοκίμιο της ίδιας πυκνής άμμου. Η δοκιμή της κυλινδρικής τριαξονικής συμπίσης πριλάμβαν στροποίηση κατά την πιβολή της πλυρικής τάσης σ 3 σ c, και στη συνέχια πιβολή της πρόσθτης αξονικής πίσης Δσ α. Από την παραπάνω δοκιμή προκύπτι μία ντατική κατάσταση που αντιστοιχί στην αστοχία του αμμώδους υλικού. Η ντατική κατάσταση μπορί να απικονιστί στον χώρο των τάσων (σ, τ) μέσω κύκλων του Mr. Ο κύκλος του Mr άπτται της πριβάλλουσας αστοχίας κατά Mr - Culmb. -33-
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ!!! Στην πριβάλλουσα αστοχίας του Κριτηρίου Mr Culmb άπτονται κύκλοι του Mr που αντιστοιχούν στις νργές τάσις που αναπτύσσονται κατά την αστοχία. Επομένως, για τον προσδιορισμό της πριβάλλουσας αστοχίας, δηλαδή για τον προσδιορισμό των παραμέτρων διατμητικής αντοχής (c,), απαιτίται η κτέλση τουλάχιστον δοκιμών. Στην πρίπτωση μη συνκτικού υλικού, c0, απαιτίται η κτέλση δοκιμής ( για τον προσδιορισμό της γωνίας σωτρικής τριβής ), όπως ίναι και η πρίπτωση της παρούσας άσκησης. Πράγματι, από τα αποτλέσματα της δοκιμής ισχύουν τα ξής : Δοκιμή Κυλινδρικής Τριαξονικής Συμπίσης Οριζόντια Πλυρική Τάση : σ 3 σ c 85 kpa σ 3 85 kpa Κατακόρυη Αξονική Τάση : σ σ c + Δσ α σ c + ( σ - σ 3 ) 85 + 0 σ 95 kpa Επομένως ίναι δυνατό να σχδιαστί για την τριαξονική δοκιμή ο αντίστοιχος κύκλος τάσων του Mr που θα αναέρται στην αστοχία του δίγματος. Το κέντρο Ο και η ακτίνα R του κύκλου δίνονται από τις σχέσις : σ + σ 3 O 95 + 85 O 90 kpa σ σ 3 95 85 R R 05 kpa Στην συνέχια σχδιάζται ο κύκλος των τάσων στον χώρο (σ, τ), όπως αίνται και στο πόμνο σχήμα. Η πριβάλλουσα αστοχίας του κριτηρίου Mr Culmb άπτται στον κύκλο. 0 ΤΡΙΑΞΟΝΙΚΗ ΔΟΚΙΜΗ σ 00 σ 3 σ 3 80 τ (kpa) 60 40 R σ 0 0 σ 3 0 40 80 0 60 00 40 80 30 S σ (kpa) O σ -34-
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 Από το παραπάνω σχήμα, μ βάση το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζται στ σημί παής τυ κύκλου μ την πριβάλλουσα αστοχίας ισχύι το ξής : R 05 ο 0. 553 33.55 34 S 90 ο ΑΣΚΗΣΗ 7.3 Απάντηση Ζητίται να προσδιορισθί η μέγιστη διαθέσιμη διατμητική αντίσταση σ απυθίας διάτμηση για το σημίο Μ του δαικού προίλ, που ικονίζται στο παρακάτω σχήμα, ως προς : (i) το οριζόντιο πίπδο και (ii) το πίπδο που κλίνι υπό γωνία 45 ο. Σ.Y. O. +.00 m (α) Σ.Y. O. 0.00 m (β) Άμμος ρ κορ..00 Mgr/m 3 Σ.Y. O. -4.00 m (γ) 45 ο Μ -6.00 m Ο υπολογισμός θα γίνι και για τις τρις πριπτώσις της στάθμης του Υδροόρου Ορίζοντα (Σ.Υ.Ο.) που ικονίζονται στο παραπάνω σχήμα. Μία παραδοχή, αναγκαία για την πίλυση της άσκησης, αορά το γγονός ότι η άμμος παραμένι κορσμένη και μτά τον καταβιβασμό της στάθμης του Υ.Ο. ( η παραδοχή αυτή ισχύι από την κώνηση ). Μία πίσης σημαντική παραδοχή αορά την τιμή του συντλστή οριζοντίων τάσων Κ ο, η οποία θα χρησιμοποιηθί στους υπολογισμούς. Για τις ανάγκς της άσκησης πιλέγται : K σ ' 0.40 σ ' Για τον προσδιορισμό της διατμητικής αντοχής του αμμώδους υλικού θα χρησιμοποιηθούν τα αποτλέσματα της δοκιμής απυθίας διάτμησης. -35-
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 Πράγματι, από τα αποτλέσματα της δοκιμής ισχύουν τα ξής : Δοκιμή Απυθίας Διάτμησης Στην δοκιμή της απυθίας διάτμησης, αρχικά ασκίται στο δοκίμιο κατακόρυη τάση μ σταθρή τιμή σ (α) 00 kpa. Ακολούθως πιβάλλται πρόσθτη διατμητική τάση τ μέχρις ότου το δοκίμιο αστοχήσι. Την στιγμή της αστοχίας του δαικού υλικού η διατμητική τάση έχι την τιμή τ,a(a) 58 kpa. Η διαορά της δοκιμής απυθίας διάτμησης από την δοκιμή απλής διάτμησης ίναι ότι στην πρώτη η αστοχία του δαικού δοκιμίου πιβάλλται να γίνι σ οριζόντιο πίπδο. Αυτός ίναι και ο λόγος για τον οποίο το σημίο της ντατικής κατάστασης σ δοκιμή απυθίας διάτμησης στον χώρο των τάσων ανήκι στην πριβάλλουσα του κριτηρίου Mr Culmb ( βλέπ πόμνο σχήμα ). Επομένως, γνικά ισχύι το ξής : Σ δοκιμές απυθίας διάτμησης, το σημίο της ντατικής κατάστασης στο χώρο των τάσων (σ,τ), κατά την στιγμή της αστοχίας, αποτλί ταυτόχρονα και σημίο της πριβάλλουσας διατμητικής αντοχής του Κριτηρίου Mr Culmb για το ίδιο δαικό υλικό Επομένως, κατά την αστοχία του αμμώδους ( μη συνκτικού c 0 kpa ) υλικού στην δοκιμή της απυθίας διάτμησης ισχύι η ακόλουθη ξίσωση του κριτηρίου Mr Culmb : τ σ ' tan, a tan τ σ tan ',a 58 00 ο ο 30. 30-36-
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 Ακολούθως, παρατίθται το σχήμα της άσκησης στο οποίο αίνονται ο κύκλος του Mr, οι πριβάλλουσς του κριτηρίου Mr Culmb, τα σημία Α και Β που αντιστοιχούν στο οριζόντιο πίπδο και στο πίπδο που κλίνι υπό γωνία 45 ο και διέρχται από το σημίο Μ. Στην πόμνη σλίδα παρατίθνται οι υπολογισμοί της διαθέσιμης διατμητικής αντίστασης υπό μορή πίνακα για τις παραπάνω ξταζόμνς πριπτώσις. Τα συμπράσματα που προκύπτουν από την μλέτη του παρακάτω πίνακα ίναι τα ξής : H ταπίνωση της στάθμης του υπόγιου ορίζοντα οδηγί σ αύξηση των νργών τάσων στο δαικό υλικό, όπως και η πιβολή νός ξωτρικού ορτίου. Οι μταβολές της στάθμης υδάτινων αποθέσων ( ανυψώσις ή καταβιβασμοί ) πάνω από την πιάνια του δάους δν οδηγούν σ μταβολές της νργού τάσης και κατά συνέπια της διατμητικής αντοχής ( σύγκριν αποτλέσματα πριπτώσων μ Σ.Υ.Ο. +.00 m και 0.00 m ). -37-
ΜΑΘΗΜΑ : ΕΔΑΦΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι - 5 ο Εξ. Πολιτικών Μηχανικών - Ακαδημαϊκό Έτος : 003 004 Υ.Ο. σ (kpa) u (kpa) σ (kpa) σ (kpa) σ σ (kpa) σ 3 σ (kpa) σ οριζ. σ (kpa) τ,διαθ. (kpa) σ θ (σ +σ 3 )/ (kpa) τ θ (σ -σ 3 )/ (kpa) τ θ,διαθ. (kpa) *0+6*040 8*080 40-8060 0.40*604 60 4 60 60*tan30 34.8 (60+4)/4 (60-4)/8 4*tan30 4.36 6*00 6*060 0-6060 0.40*604 60 4 60 60*tan30 34.8 (60+4)/4 (60-4)/8 4*tan30 4.36 3 6*00 *00 0-000 0.40*0040 00 40 00 00*tan30 58.0 (00+40)/70 (00-40)/30 70*tan30 40.60-38-