Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων Άσκηση η Να βρεθούν τα ολικά ακρότατα των συναρτήσεων ) x, 0, ) x x a x x x, x x x x Άσκηση η Αν : a, συνεχής στο, τέτοια ώστε x x και x x Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση παίρνει μεγίστη τιμή στο, Άσκηση η Αν, g: 0, 0, δύο συνεχείς συναρτήσεις τέτοιες ώστε g g και η συνάρτηση είναι φθίνουσα. Να αποδείξετε ότι υπάρχει 0, τέτοιο ώστε Άσκηση 4 η και g Αν : 0, συνεχής με 0. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν xy, 0, τέτοια ώστε Άσκηση 5 η x y και x y. Αν η συνάρτηση είναι - και συνεχής στο διάστημα, τότε η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη. Άσκηση 6 η x Να αποδείξετε ότι η εξίσωση πραγματική ρίζα μεγαλύτερη του - Άσκηση 7 η Αν η συνάρτηση : x έχει ακριβώς μία αρνητική συνεχής και τέτοια ώστε: x x i. Η συνάρτηση είναι περιοδική. τότε: Μανώλης Ψαρράς Συνέχεια συναρτήσεων Σελίδα
ii. Για κάθε υπάρχει, ώστε Άσκηση 8 η Αν, είναι ομόσημοι και η συνάρτηση είναι συνεχής στο διάστημα, να αποδείξετε ότι υπάρχει, ώστε Άσκηση 9 η Αν η συνάρτηση : ικανοποιεί τη σχέση x y x y συνεχής * στη θέση να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο Άσκηση 0 η Έστω η συνάρτηση :, είναι συνεχής και x 0 x, Αν, 0, να δείξετε ότι υπάρχει, Άσκηση η. τέτοιο ώστε : Έστω :, συνεχής και, ώστε 0 να δείξετε ότι η εξίσωση x x x Άσκηση η Αν : έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα,. συνεχής στο 0 και x y x y x y Να αποδείξετε ότι είναι συνεχής στο. Άσκηση η Αν,, 0 0. x x 4 x x, x 0,. Να δείξετε ότι υπάρχει x0 0, ώστε x Άσκηση 4 η 0 Αν η συνάρτηση g g : 0,, συνεχής να δείξετε ότι υπάρχει 0, ώστε Μανώλης Ψαρράς Συνέχεια συναρτήσεων Σελίδα
Άσκηση 5 η Αν για τις συνεχείς συναρτήσεις :, 0 g: 0, υπάρχουν, ώστε g να δείξετε ότι υπάρχει ώστε g Άσκηση 6 η Αν : 0, συνεχής με κάθε c 0 υπάρχει 0 ώ c. Άσκηση 7 η Αν : ώστε, είναι συνεχής στο R. 0 0 x x x 0 να δείξετε ότι για x y x y x y να δείξετε ότι η συνάρτηση Άσκηση 8 η x x Αν x, x 0 x στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. και τα σημεία,, ανήκουν Nα βρείτε τις τιμές των α, β και μετά να εξετάσετε τη συνέχεια της συνάρτησης Άσκηση 9 η g x, 0 x x, x 0 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση: :, με a a. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση,. x x έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα Άσκηση 0 η i. Κάθε συνεχής συνάρτηση : είναι σταθερή. Μανώλης Ψαρράς Συνέχεια συναρτήσεων Σελίδα
ii. Κάθε συνεχής συνάρτηση : είναι σταθερή Άσκηση η Για ποιες τιμές των, και η συνάρτηση με τύπο: x, x x x, x x 5, x ικανοποιεί τις συνθήκες του θεωρήματος BOLZANO στο διάστημα, Άσκηση η Αν : x x x x, x x συνεχής και * i. Να βρείτε το τύπο της συνάρτησης. ii. Δείξετε ότι x x iii. Η εξίσωση x Άσκηση η x x έχει μια τουλάχιστον θετική ρίζα. Έστω γνησίως αύξουσα και συνεχής στο διάστημα,. Να δείξετε ότι υπάρχει, ώστε Άσκηση 4 η i. Να αποδείξετε ότι: αν μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δεν μηδενίζεται σ αυτό το σημείο, τότε διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα Δ. ii. Να βρεθεί το πρόσημο της συνάρτησης τιμές x 0,. g x x x για τις διάφορες Μανώλης Ψαρράς Συνέχεια συναρτήσεων Σελίδα 4
Άσκηση 5 η x x x Δίνεται η συνάρτηση 5 i. Να δείξετε ότι η αντιστρέφεται και να δείξετε ότι η αύξουσα στο R. ii. Να λύσετε τις εξισώσεις x x 5, iii. Να λύσετε την ανίσωση Άσκηση 6 η x είναι γνησίως Δίνεται η συνεχής συνάρτηση στο διάστημα, 5 για την οποία ισχύουν 5 x x 7 i. Υπολογίστε το όριο x x x 5 x 4 x 5 ii. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση C διέρχεται από ένα σημείο με τεταγμένη. iii. Έστω η συνάρτηση g x x x x, x, 5 C g τέμνει σε ένα τουλάχιστον σημείο τον άξονα Άσκηση 7 η. Να αποδείξετε ότι η ' xx στο διάστημα 4, 5. Έστω η συνεχής συνάρτηση ορισμένη στο, και οι μιγαδικοί αριθμοί, z i w i ισχύει : w z w z. i. Να αποδείξετε ότι w z είναι φανταστικός. 0 0 για τους οποίους ii. Υπολογίστε το όριο x a x x 5 x x iii. Να αποδείξετε ότι η C τέμνει τον άξονα ' xx τουλάχιστον σε ένα σημείο. Μανώλης Ψαρράς Συνέχεια συναρτήσεων Σελίδα 5
Άσκηση 8 η Έστω μια συνάρτηση συνεχής στο, και οι μιγαδικοί z a i a w i, 0. Αν w z w z να αποδειχθεί ότι η εξίσωση x 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, Άσκηση 9 η. Έστω ο μιγαδικός αριθμός z i, 0. Θεωρήστε τη συνάρτηση. Να z :, με x 0, x,. Υποθέστε ότι z αποδείξετε ότι: i. z ii. Ο αριθμός i i z w i z iii. Η εξίσωση : x x διάστημα 0,. Άσκηση 0 η 0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : η οποία ικανοποιεί τη σχέση: x x x x 6 0, x Να βρείτε το 0 και να δείξετε ότι x 0 Άσκηση η Δίνεται η συνάρτηση : με x x x, i. Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο R.. Να δείξετε ότι: ii. Η εξίσωση x 0 δεν έχει θετική ρίζα αν και έχει μια ακριβώς ρίζα αν Άσκηση η Να μελετηθεί ως προς τη συνέχεια η συνάρτηση: x min x, x Μανώλης Ψαρράς Συνέχεια συναρτήσεων Σελίδα 6