wwwaskisopolisgr ΘΕΜΑ Α ο Διαγώνισμα στις παραγώγους Διάρκεια:,5 ώρες Α α) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε f στο Δ; Δώστε παράδειγμα β) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η f παρουσιάζει ακρότατο στο f που είναι εσωτερικό του πεδίου ορισμού της και ; Δώστε παράδειγμα Α Να διατυπώσετε το θεώρημα Μέσης τιμής και να δώσετε τη γεωμετρική του ερμηνεία Μονάδες 8 Μονάδες Α Ποια σημεία ονομάζονται κρίσιμα σε μια συνάρτηση; Α4 Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη α) Αν μια συνάρτηση f είναι περιοδική και παραγωγίσιμη, τότε η fείναι περιοδική με την ίδια περίοδο β) Αν για μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f ισχύει ότι f για κάθε σε ένα διάστημα Δ, τότε η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ γ) Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε f για κάθε δ) Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει ολικό ελάχιστο, τότε θα παρουσιάζει τουλάχιστον ένα τοπικό ελάχιστο ε) Miα συνάρτηση μπορεί να έχει τοπικό ακρότατο σε σημείο στο οποίο δεν είναι συνεχής ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση f ln, Β Να αποδείξετε ότι f για κάθε Β Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f Β Να βρείτε το πλήθος ριζών της εξίσωσης 6 6 ln για τις διάφορες τιμές του ln, Β4 Έστω η συνάρτηση g f k, α) Να βρείτε την τιμή του k ώστε η g να είναι συνεχής β) Αν k, να αποδείξετε ότι η g έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα,e ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f για την οποία ισχύει ότι: f h f h lim h h f 6 e για κάθε f και
wwwaskisopolisgr Γ Να αποδείξετε ότι f ln Μονάδες 7 Γ Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμνει την ευθεία y 8 μόνο σε ένα σημείο 4 8 ln ln 5 5 5 A,f,B,f,,f με δεν μπορούν να είναι συνευθειακά Γ Να μελετήσετε την f ως προς τη κυρτότητα και να αποδείξετε ότι Γ4 Να αποδείξετε ότι τα σημεία ΘΕΜΑ Δ Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f :,, f f f ln για κάθε και f Δ Να αποδείξετε ότι f, f Δ Αν Δ Να αποδείξετε ότι για την οποία ισχύει ότι για κάθε, να αποδείξετε ότι e Δ4 Έστω h ln ln ln για κάθε α) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των f,h έχουν κοινή εφαπτομένη στο β) Να αποδείξετε ότι f h για κάθε Δ5 Έστω g f f,, α) Να μελετήσετε τη g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και στη β) Να αποδείξετε ότι g g για κάθε,, Μονάδες Μονάδες Μονάδες Καλή τύχη στις εξετάσεις! Στέλιος Μιχαήλογλου
wwwaskisopolisgr ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α α) Δεν ισχύει Για παράδειγμαα ας δούμε τη συνάρτηση Είναι f, και f είναι γνησίως αύξουσα στο, χωρίς να είναι f f, Δηλαδή, βλέποντας το σχήμα, η f για κάθε β) Όχι η f δεν παρουσιάζει υποχρεωτικά ακρότατο στο Για τη συνάρτηση f Είναι f, και f, όμως η f δεν παρουσιάζει ακρότατο στο Α Αν μια συνάρτηση f είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [, ] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (,) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (,) τέτοιο, ώστε: f() f() f() Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (,) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο M(,f()) να είναι παράλληλη της ευθείας ΑΒ y Ο M(ξ,f(ξ)) A(a,f(a)) a ξ ξ Β(β,f(β)) β Α Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ Α4 α) Σ β) Σ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΘΕΜΑ Β B Η f είναι παραγωγίσιμη στο, με f Είναι f άρα Για κάθε, είναι f Για κάθε, είναι f Η f έχει ολικό ελάχιστο το f B Είναι B Είναι άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο,, οπότε f f για κάθε lim f lim ln, άρα η, δηλαδή ο άξονας y y είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C f f ln ln Είναι lim lim lim, γιατί ln lim = lim, οπότε η C f δεν έχει πλάγια ασύμπτωτη DLH ln Είναι lim f lim ln lim,,
wwwaskisopolisgr γιατί ln lim lim lim, οπότε η Cf δεν έχει οριζόντια ασύμπτωτη DLH B 6 6 ln 6 ln 6 () g 6 ln 6, g f g, Έστω Είναι ln lim ln lim lim lim, lim g DLH ln 6 ln γιατί lim lim lim DLH g A, Επειδή, η () είναι αδύνατη lim g lim 6 Είναι B4 i Η g είναι συνεχής στο, ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων Για να είναι η g συνεχής στο πεδίο ορισμού της, πρέπει: ln lim g g lim k f ln lim k lim k lim k ln ln ln ln k k ln ii g ln ln e ln Για κάθε, e g g, e και για κάθε e είναι Είναι g k, g e είναι g g e, και e ln ln lim g lim ln, γιατί lim lim lim και DLH ln lim lim DLH Για το σύνολο τιμών της g, έχουμε: g, e, e και g e,, e, οπότε: - Αν, τότε ga, οπότε η εξίσωση είναι αδύνατη - Αν, g, e, οπότε υπάρχει μοναδικό, e : g επειδή e,, τότε g e, η εξίσωση είναι αδύνατη στο και
wwwaskisopolisgr ΘΕΜΑ Γ - Αν, e, τότε η εξίσωση έχει δύο ρίζες, από μία σε καθένα από τα διαστήματα, e και e, - Τέλος αν η εξίσωση είναι αδύνατη e f h f h f h f f h f Γ Είναι lim lim h h h h h f f f f οπότε f 6e f kh u kh f f u f lim lim f kh h u u u f f f f Άρα για κάθε είναι f e f e, άρα e e c Για είναι c άρα Γ f f Για κάθε για κάθε e f ln, f f, και είναι f f, είναι Η f έχει μέγιστο το f Γ f ΣΚ τα A, ln και B, ln f f Γ4 Έστω ότι τα Α,Β,Γ είναι συνευθειακά, τότε f f f f Από το ΘΜΤ για την f υπάρχει, και, τέτοια, ώστε: f f f f f και f Επειδή f για κάθε, η f είναι, άρα και άτοπο ΘΕΜΑ Δ () Από την (), είναι: f f που είναι Δ f f f ln f f f ln f f ln f ln ln ln f ln f Για είναι ln f ln c c, άρα ln f ln ln f ln f ln c, c
wwwaskisopolisgr Δ f ln ln ln ln ln ln () Έστω h ln ln, Η () γράφεται: h h στο που είναι εσωτερικό του πεδίου ορισμού της Επειδή η h είναι παραγωγίσιμη στο, h ln ln, από το θεώρημα Fermat ισχύει ότι: ln ln Δ ln ln ln ln f f, οπότε η h παρουσιάζει μέγιστο με h ln ln e Είναι f e ln e ln ln ln και f e ln e ln για κάθε, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο, Επειδή είναι και f f Δ4α) Είναι h f και h f β) Είναι g ln ln ισχύει Άρα f g κοινή εφαπτομένη η y f ln ln ln ισχύει και, με g f f f f ln Δ5 i Η g είναι παραγωγίσιμη στο g ln ln g ln g ln ln ln ln ln ln Για κάθε, είναι g g, και για κάθε, είναι g g, Η g έχει ελάχιστο το g f f ii Επειδή η g έχει ελάχιστο στο, ισχύει ότι g g για κάθε, g g Άρα g, g και με πρόσθεση κατά μέλη, είναι