Ψηφιακές Επικοινωνίες

Ψηφιακές Επικοινωνίες Βασικές Έννοιες Θεωρία Σηµάτων: ανάλυση στο χρονικό και φασµατικό πεδίο Continuous Fourier Transform Σειρές Fourier Σήµατα βασικής ζώνης (Baseband) και ιέλευσης ζώνης (Bandpass) Θεωρία Γραµµικών Συστηµάτων Συνεχής συνέλιξη (Continuous convolution) ιακριτού χρόνου συνέλιξη (Discrete convolution) Επεξεργασία Ψηφιακού Σήµατος Θεωρία ειγµατοληψίας Page 9

Μιγαδικοί Αριθµοί Στην ανάλυση σηµάτων και συστηµάτων πολλές φορές χειριζόµαστε µιγαδικούς αριθµούς. Οι τρόποι µετουςοποίουςµπορούν να εκφραστούν είναι: X+jY Χ 2 +Υ 2 X+jY e jθ Πλάτος και φάση!! j Όπου το πλάτος του µιγαδικού είναι: 2 2 X + jy = X + Y Και η φάση του µιγαδικού θ = Χ+ ( jy ) : Y θ * X θ = tan 1 Υ Χ Μιγαδικό επίπεδο

Κατηγοριοποίηση Σηµάτων Σήµατα και Φάσµα Αιτιοκρατικά (Deterministic) και Τυχαία (Random) σήµατα Ητιµήτουσήµατος είναι ή δεν είναι γνωστή σε οποιαδήποτε χρονική στιγµή Περιοδικά (Periodic) και Μη Περιοδικά (Nonperiodic) σήµατα. Π.χ. x(t) είναι περιοδικό αν xt () = xt ( + T), < t< Analog (Continuous-Time) και Discrete Signals 0 x(t) υπάρχει συνέχεια στο συνεχές διάστηµα (a, b) ιακριτά ή Ψηφιακά σήµατα x[n] = x(nts), Ts είναι το χρονικό διάστηµα δειγµατοληψίας. Το σήµα υπάρχεισε συγκεκριµένες περιοδικές χρονικές στιγµές. Page 12

Ενέργεια και Ισχύς των Σηµάτων Η ενέργεια που καταναλώνει ένα σήµα στο χρονικό διάστηµα (-Τ/2, Τ/2) δίνεται από T /2 2 () T /2 και η µέση ισχύς κατανάλωσης είναι P T 1 T 1 T /2 2 x = E x = () T T x t dt T /2 Όταν Τ -> το σήµα είναιενεργειακό αν 0 < Ε x < όπου E T x = x t dt E = x t dt = x t dt X lim T /2 2 () 2 () T /2 T Σήµα είναιισχύος αν 0 < P x < όπου x 1 1 T T T P = x t dt = x t dt /2 2 2 lim T () () T /2 Page 13

Παλµός έλτα (Dirac) Συνάρτηση Μοναδιαίου Παλµού δ() tdt= 1, δ() t = 0 for t 0 xt () δτ ( t) dτ= xt ( ) o 0 δ(t) 1 0 t Page 13

Μετασχηµατισµός Fourier Ορισµός: για κάθε συχνότητα f δίνει τo βαθµό της συσχέτισης του σήµατος µε τοµιγαδικό ηµίτονο συχνότητας f: j2π ft X( f) = F[ x( t)] = x( t) e dt Ιδιότητες Γραµµικότητα ax( t) + ax( t) ax ( f ) + ax( f ) Χρονική Καθυστέρηση Μετατόπιση Συχνότητας 1 1 2 2 1 1 2 2 j2π f0t xte () X( f f0) Αλλαγή Χρονικής Κλίµακας 0 xt ( t) X( f) e f 1 xat ( ) a X a j2π ft 0

Παράδειγµα Μετασχηµατισµού Fourier Βρείτε το φασµατικό περιεχόµενο του παρακάτω ορθογώνιου παλµού X(t) 1 -τ/2 τ/2 t Ο µετασχηµατισµός Fourier του σήµατος x(t) είναι: j2π f t X( f) = F[ x( t)] = x( t) e dt τ /2 = 1 e dt = τ /2 j2π f t 1 j2 π f t t= τ /2 j2π f t= τ /2 e sin( π fτ) jθ jθ = τ = τsin c( fτ) αφου e e = 2 jsinθ π fτ

ΠαράδειγµαΜετασχηµατισµού Fourier (συν.) Η γραφική παράσταση του φάσµατος πλάτους Χ(f) = τ sinc(fτ) δίνεται παρακάτω Παρατηρήστε ότι η πρώτη συχνότητα µε πλάτος 0 είναι η 1/τ

Φασµατική Πυκνότητα (Spectral Density) H spectral density ενός σήµατος δίνει την κατανοµή της ενέργειας ή τηςισχύοςτουσήµατος στο πεδίο συχνοτήτων. Για σήµα ενεργειακό, το θεώρηµα Parseval διατήρησης της ενέργειας, δίνει 2 2 E X = x () t dt = X ( f ) df όπου X(f) είναι ο µετασχηµατισµός Fourier. Η ποσότητα Ψ ( f) = X( f) x 2 ονοµάζεται ενεργειακή φασµατική πυκνότητα (energy spectral density) του απεριοδικού ενεργειακού σήµατος x(t)

Φασµατική Πυκνότητα (Spectral Density) συν. Φασµατική Πυκνότητα Ισχύος (Power Spectral Density) Πολλά σήµατα δεν είναι ενεργειακά Για παράδειγµα, όλαταπεριοδικάσήµατα, τα οποία εξετάζονται ξεχωριστά στην επόµενη ενότητα, είναι σήµατα ισχύος. Τα µη περιοδικά σήµατα µε infinite energy δεν έχουν µετασχηµατισµό Fourier. Σε αυτή την περίπτωση παίρνουµε ένα µέρος του σήµατος στο διάστηµα (-Τ/2, Τ/2), τότε x T (t) έχει πεπερασµένη ενέργεια και εποµένως έχει Fourier Transform, X T (f) Μπορεί τότε να δειχτεί ότι η power spectral density για το µη περιοδικό σήµα είναι G f X f 1 2 ( ) = lim T ( ) x T T

Περιοδικά σήµατα Σειρές Fourier Ένα περιοδικό σήµα µε περίοδοt 0, έχει στο πεδίο συχνοτήτων µόνο συνιστώσες f 0, 2f 0, 3f 0, nf 0, n=1,2,.., όπου f 0 = 1/T 0, ονοµάζεται θεµελιώδης συχνότητα (fundamental frequency) και nf 0, n>1 ονοµάζονται αρµονικές συχνότητες (harmonics). Επίσης αναφερόµαστε στις συνιστώσες συχνότητας ω ο, 2ω ο, 3ω ο, όπου ω ο =2π/T 0 =2πf 0 ονοµάζεται θεµελιώδης γωνιακή (radian) συχνότητα. Εποµένως το σήµα µπορείνααναλυθείσεδιακριτές συχνότητες nf 0, µε την καθεµία να έχει πλάτος C x (nf 0 ) xt () C x = n = - ( nfo) = C x ( nfo) e 1 To /2 () -j2 xt e o To /2 T j2π nf t o π nfot dt Σειρά Fourier!! Σηµείωση: όρια ολοκλήρωσης αντιστοιχούν σε µία περίοδο!

Περιοδικά σήµατα Σειρές Fourier (συν.) Εποµένως το περιοδικό σήµα αποτελείται από συχνότητες nf o όπου n>0, µε την κάθε µία να έχει: Φάσµα πλάτους CX( nfo) Φασµατική πυκνότητα ισχύος (psd) CX( nfo) Τα φάσµατα περιοδικών σηµάτων λέγονται γραµµικά φάσµατα διότι έχουν διακριτές φασµατικές συνιστώσες. 2

Ανάλυση σήµατος σε Fourier Ένα σήµα µε κάποια κυµατοµορφή στο χρονικό πεδίο αναλύεται (αποτελείται από) κάποιες συχνότητες Για περιοδικά σήµατα οι συχνότητες είναι πολλαπλάσια του nf 0, n>1 µε πλάτος Cnfo ( )

Σύνθεση σήµατος από Fourier Ένα σήµα πεδίοµπορεί να προκύψει µε κάποιακυµατοµορφή στο χρονικό από το άθροισµα των προηγούµενων συχνοτήτων µετα συγκεκριµένα πλάτη!!! xt () = n = - Cx ( nfo) e j2π nf t o

Ιδιότητες της Σειράς Fourier Αν x(t) είναι πραγµατική, τότε φάσµα είναι συµµετρικό γύρω από µηδενική συχνότητα (βλέπε παρακάτω) C nf C nf * X( o) = X( o) Καιβέβαιαταπλάτηείναιίδια: Για x(t) πραγµατικό ή µιγαδικό η ενέργειά του είναι η ίδια είτε υπολογιστεί στο χρονικό πεδίο (αριστερό τµήµα) είτε στο φασµατικό πεδίο (δεξιό τµήµα της παρακάτω εξίσωσης, δίνεται από άθροισµα αντί για ολοκλήρωµα σε όλες τις συχνότητες γιατί όπως είδαµε ένα περιοδικό σήµα µε περίοδο Τ έχει διακριτές µόνο συχνότητες, που επιπλέον είναι και πολλαπλάσια της θεµελιώδους) 1 T CX( nfo) = CX( nfo) T 2 2 T x t dt Cx nf o 2 n= 2 () = ( ) ParsevalTheorem

Φάσµατα Περιοδικών Σηµάτων 1 T T 2 2 lim ( ) T T x t dt C ( ) x nf o 2 = n= Το αριστερό µέρος είναι η µέση ισχύς του πλάτους του σήµατος 2 C δίνουν την κατανοµήτηςφασµατικής ισχύος στις x( nfo) διάφορες φασµατικές συνιστώσες του σήµατος x(t) 2 Parseval Theorem Αν G X (f) ορίσουµετησυνάρτησηφασµατικής πυκνότητας ισχύος (psd) που δίνει την κατανοµή τηςισχύοςστοφασµατικό πεδίο, τότε για περιοδικά σήµατα ισχύος, έχουµε: G ( f) = C ( nf ) δ f nf X X o n= 2 ( ) 0

1o Παράδειγµα ΣειρώνFourier Να βρεθεί η σειρά Fourier ενός συρµού περιοδικών ωθήσεων, µε περίοδο Τ 0, που ορίζεται από την Λύση: k= st () = δ ( t kt) k= 0 C x ( nfo) 1 To /2 -j2 = st () e π nfot dt To To /2 1 To /2 = () t e -j2π nfot δ dt = To To /2 1 T o Εποµένως η σειρά Fourier είναι: 1 st () = j2 e n = - To π nf t o

2o Παράδειγµα ΣειρώνFourier Αν έχω ένα περιοδικό συρµό τετραγωνικών παλµών, το φάσµα του είναι γραµµικό, όπως δίνεται παρακάτω. X(t) A A A. -T -d d T t Σειρά Fourier:

Πραγµατικά σήµατα (Real signals) δεν µπορούν να διαχωρίσουν µεταξύ θετικών και αρνητικών συχνοτήτων, οπότε το φάσµα τους είναι συµµετρικό!!!

ηµιουργία Bandpass σήµατος

ηµιουργία Bandpass σήµατος (συν.) Πώς προκύπτει το φάσµα τουbandpass σήµατος? Στο Χρονικό πεδίο η πράξη είναι: Αντίστοιχα στο φασµατικό: yt () xt () cos( ω t) Στο φασµατικό πεδίο, έστω x(t) X(f) c = Y f = X f F { π f t} X(f) ( ) ( )* cos(2 c -B 0 Και βέβαια cos(ω c t) = cos(2πf c t) έχει σειρά Fourier ½ ½ B f -f c 0 f c f

ηµιουργία Bandpass σήµατος (συν.) Εποµένως µπορούµε ναβρούµετοy(f) ως συνέλιξη του X(f) µετο φάσµα τουcos() Γενικά η συνέλιξη υπολογίζεται σχετικά πολύπλοκα ΕΚΤΟΣ από τις περιπτώσεις που η µία τουλάχιστον γραφική παράσταση αποτελείται από συναρτήσεις δέλτα, όπως το φάσµα τουcos()!! Σε αυτή την περίπτωση µπορούµε εύκολαναδούµεότι εφαρµόζοντας το κανόνα της συνέλιξης το φάσµα Υ(f) δίνεται: Y(f) 0 -fc-b -f -fc +B fc +B c fc-b f c f ηλαδή το αρχικό επαναλαµβάνεται γύρω από κάθε δέλτα!!

Αναλογικά Γραµµικά Συστήµατα Input x(t) X(f) Linear System h(t) H(f) Output y(t) Y(f) Impulse Response είναι h(t) = y(t) όταν x(t) = δ(t). Για οποιαδήποτε σήµα εισόδου η έξοδος δίνεται από τη συνέλιξη: y() t = x() t h() t = x( τ ) h( t τ) dτ = h( τ) x( t τ) dτ Στο πεδίο συχνοτήτων έχουµε την συνάρτηση µεταφοράς (frequency transfer function ή frequency response) του συστήµατος Y ( f ) Y ( f ) = X ( f ) H ( f ) or H ( f ) = οπου H ( f ) = Fht { ()} X( f)

Γραφική Περιγραφή Συνέλιξης Έστω x(t) h(t) 0 Tο t 0 Τ1 t Για κάθε χρονική στιγµή t πρέπει να πραγµατοποιούµε τηνh(t-τ), δηλαδή να αντιστρέφουµε τη γραφική παράσταση της h(τ) και να την µετατοπίζουµε κατά t (τ είναιµία ενδιάµεση µεταβλητή) Μετά πρέπει να κάνουµετογινόµενο x(t) επί h(t-τ) σηµείο προς σηµείο και να αθροίζουµε, δηλαδή βρίσκουµε το σκιασµένο εµβαδό ή ισοδύναµα τοολοκλήρωµα x(t) επί h(t-τ) για το χρονικό διάστηµα πουσυµπίπτουν!!!!! Το ίδιο ακριβώς αποτέλεσµα παίρνουµε αναντιστρέφουµε τη γραφική παράσταση της x(τ) και να την µετατοπίζουµε κατά t ενώ αφήσουµε τηνh(t) αµετάβλητη!!!

Γραφική Περιγραφή Συνέλιξης (συν.) Έστω x(t) h(t) 0 Tο t 0 τ t h(t1-τ) t = t1 t = t2 h(t2-τ) t1-τ 0 t1 Tο τ 0 t2-τ Tο t2 τ 0 t1 t2 Tο +Τ1 t

Γραφική Περιγραφή Συνέλιξης (συν.) Το ίδιο αποτέλεσµα παίρνουµεκαιως yt () = h( τ ) xt ( τ) dτ 0 τ t 0 Τ1 t x(t1-τ) t = t1 t = t2 x(t2-τ) t1-τ 0 t1 Tο τ 0 t2-τ Tο t2 τ 0 t1 t2 To +T1 t

Γραµµικά Συστήµατα (συν.) Για κάθε γραµµικό σύστηµα, αν x(t) δίνεται από xt () = Acos(2 π f t) o Τότε yt () = A H( f) cos(2 π ft+ θ ( f)) 0 0 0 ηλαδή η ίδια συχνότητα είναι στην έξοδο αλλά µε διαφορετικό πλάτος και φάση!! Γενικά jθ ( f ) Η ( f) = H( f) e οπου Η( f ) is amplitude response και θ { H f } { H f } Im ( ) 1 ( f ) = tan Re ( ) is phaseresponse

Γραµµικά συστήµατα

Μη-Γραµµικά συστήµατα

Συνέλιξη αναλογικών σηµάτων xt () = x() t x() t = x( τ ) x( t τ) dτ 1 2 1 2 Θεώρηµα Συνέλιξης ή Θεώρηµα υικότητας (Duality Theorem) Μας επιτρέπει να εργαζόµαστε είτε στο χρονικό πεδίο είτε στο πεδίο συχνοτήτων και µε αντίστροφους µετασχηµατισµούς να περνάµε από το ένα πεδίο στο άλλο. ηλαδή, αν 1 2 1 2 x1() t X1( f) x2() t X2( f) Tοτε x1( t) x2( t) X1( f) X2( f) x ( t) x ( t) X ( f) X ( f)

ειγµατοληψία Sampling είναι µία διαδικασία µετατροπής Συνεχούς χρόνου αναλογικού σήµατος x a (t), σε ιακριτού χρόνου αναλογικές τιµές x(n) παίρνοντας τα samples σε περιοδικά χρονικά διαστήµατα!!

Sampling Theorem ειγµατοληψία (συν.) Έστω x(t) είναι ένα περιορισµένου φάσµατος σήµα (bandlimited signal) µε Fourier Transform X(f) και µε εύροςφάσµατος B. x(t) µπορεί να ανακατασκευαστεί τέλεια αν f s 2B 2B ονοµάζεται Nyquist δειγµατοληψία Αν f s < 2B, προκύπτει aliasing (αλληλοεπικάλυψη φάσµατος διότι η δειγµατοληψία προκαλεί επαναληπτικότητα φάσµατος [2.6]!!) Αν το σήµα δενείναιαυστηράbandlimited, τότε πρέπει να περάσει πρώτα από ένα LPF πριν τη δειγµατοληψία. X(f) -B 0 Σηµείωση: το εύρος φάσµατος ενός σήµατος είναι το εύρος των θετικών µόνο συχνοτήτων για τις οποίες το φάσµα είναιµη µηδενικό B f

Επαναληπτικότητα Φάσµατος λόγω ειγµατοληψίας Απόδειξη Εφαρµογή Θεωρήµατος υικότητας µεταξύ απεικόνισης στο χρονικό και φασµατικό πεδίο Το δειγµατοληπτηµένο σήµα προκύπτει: ΣτοΧρονικόπεδίοηπράξηείναι: στο Φασµατικό θα είναι: = Y ( f ) = X ( f )* F{ s( t) } yt () xt () st () Όπου s(t) είναι µία σειρά από δέλτα παλµούς µε απόστασητs, µε Τs το διάστηµα µεταξύ δειγµάτων (Τs = 1/fs µε fs τη συχνότητα δειγµατοληψίας) Όπως έχουµε υπολογίσει η περιοδική σειρά παλµών δέλτα µε περίοδο Τ έχει σειρά Fourier που αποτελείται από συναρτήσεις δέλτα (µε οριζόντιο βέβαια άξονα το f ) και περίοδο 1/Τ (γιατί?)

Επαναληπτικότητα Φάσµατος του δειγµατοληπτηµένου (ψηφιακού) σήµατος X(f) fs 2B!!!! fs = 1/Ts S(f) 1/Τs!!.. -2fs fs 0 fs 2fs X(f) * S(f).. -2fs fs 0 fs 2fs

Συνέλιξη διακριτών σηµάτων Input x(n) X(e j2πft ) Linear System h(n) Η(e j2πft ) Output y(n) Y(e j2πft ) Η συνέλιξη ακολουθεί την ίδια διαδικασία µε την συνεχή περίπτωση, δηλαδή ίπλωση της ακολουθίας x(n) ή h(n) περί τον κάθετο άξονα, δηµιουργώντας έτσι x(-k) ή h(-k) Μεταφορά προς τα δεξιά πάνω στον οριζόντιο άξονα για διάστηµα n, δηµιουργώντας έτσι x(n-k) ή h(n-k) Το άθροισµα τουγινοµένου των δύο ακολουθιών δίνει την απόκριση (έξοδο) στο σηµείο n, δηλαδή y(n).

Συνέλιξη διακριτών σηµάτων[1.2, σχήµα 17] Γενικά η έξοδος κάθε χρονική στιγµή n δίνεται από y( n) = x(0) hn ( ) + x(1) hn ( 1) + x(2) hn ( 2) +... = xkhn ( ) ( k) k= 0 ή ισοδύναµα y( n) = h(0) xn ( ) + h(1) xn ( 1) + h(2) xn ( 2) +... = hkxn ( ) ( k) Γενικά, αν x(n) έχει µήκος Ν και η h(n) έχει µήκος Μ τότε η y(n)=x(n)*h(n) θα έχει µήκος Ν+Μ-1 k= 0

Ανάκτηση αναλογικού σήµατος από ψηφιακό x(n) διακριτό h D/A (t) φίλτρο χαµηλών συχνοτήτων x(t) αναλογικό H D/A (f) Ιδανικό φίλτρο HD/A(f): Ts -fs/2 0 fs/2 f.. -2fs fs -fs/2 0 fs/2 fs 2fs Αναλογικό σήµα