Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών

Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 6 Μαθηματικά Γ λυκείου Θ ε τ ι κ ών και οικονομικών σπουδών Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι καθηγητές των Φροντιστηρίων «δυαδικό» Καλημέρης Π. Μουρατίδης Κ. Σωτηριάδης Σ. Θ Ε Μ Α Α A. Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α,β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f '( ) στο ( a, ) και '( ) f στο, τότε να αποδείξετε ότι το f είναι τοπικό μέγιστο της f. Μονάδες 7, A. Πότε δύο συναρτήσεις f, g λέγονται ίσες; Μονάδες 4 A. Να διατυπώσετε το θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού και να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά. Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Για κάθε συνεχή συνάρτηση f :,, αν G είναι μία παράγουσα της f στο,, τότε το f ( t) dt G( ) G. β) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο και ισχύει f ( ) g( ) lim f ( ) lim g( ). γ) Κάθε συνάρτηση f, για την οποία ισχύει '( ) είναι σταθερή στο a,,., τότε f για κάθε,,, δ) Μια συνάρτηση f είναι -, αν και μόνο αν, για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της, η εξίσωση y f () έχει ακριβώς μια λύση ως προς. ε) Αν η f είναι συνεχής στο, και μία ελάχιστη τιμή m., τότε η f παίρνει στο, μία μέγιστη τιμή Μ Μονάδες

Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό Α π ά ν τ η σ η Α. Απόδειξη σχολ. βιβλίο σελ. 6 Α. Ορισμός σχολ. βιβλίο σελ. 4 Α. Θεωρία σχολ. βιβλίο σελ. 46 Α4. α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε) Σωστό Θ Ε Μ Α Β Δίνεται η συνάρτηση f( ),. B. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως αύξουσα, τα διαστήματα στα οποία η f είναι γνησίως φθίνουσα και τα ακρότατα της f. Μονάδες 6 B. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f είναι κυρτή, τα διαστήματα στα οποία η f είναι κοίλη και να προσδιορίσετε τα σημεία καμπής της γραφικής της παράστασης. Μονάδες 9 Β. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. Μονάδες 7 Β4. Με βάση τις απαντήσεις σας στα ερωτήματα Β, Β, Β να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f. (Η γραφική παράσταση να σχεδιαστεί με στυλό) Μονάδες Α π ά ν τ η σ η B. Df Η f είναι συνεχής στο ως ρητή. f ' f ' f ' f ' f - + min Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Έχει για ελάχιστο στο f, και γνησίως αύξουσα στο,.

Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό B. f 4 ( ) 8 8 6 f 6 f 6 f - + - f ΣΚ ΣΚ Τα σημεία καμπής της C f είναι: A, f δηλαδή A, 4 B, f δηλαδή B, 4 B. f lim lim lim lim lim lim f lim lim Άρα οριζόντια ασύμπτωτη στο η y Ομοίως στο η y

4 Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό B4. 4 Θ Ε Μ Α Γ Γ. Να λύσετε την εξίσωση e,. Γ. Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f : που ικανοποιούν τη σχέση f ( ) ( e ) για κάθε και να αιτιολογήσετε την απάντηση σας. Μονάδες 4 Μονάδες 8 Γ. Αν ( ) f e,, να αποδειχθεί ότι η f είναι κυρτή. Γ4. Αν f είναι η συνάρτηση του ερωτήματος Γ, να λυθεί η εξίσωση: f f f ( ) f ( ),. όταν Μονάδες 4 Μονάδες 9 Α π ά ν τ η σ η Γ. e Έστω ( ) g e Είναι g δηλαδή το είναι ρίζα της g (). () e g '( ) e e g '( ) ( e ) ή - + g ( ) - + g () ελαχ. g() e

Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό 5 g( ) g() g( ) g( ) g() g( ) Άρα μοναδική ρίζα της g είναι το Γ. f ( ) ( e ) f ( ) f ( ) ( e ) e (ερώτημα Γ) Η f είναι συνεχής στο και έχει μοναδική ρίζα το άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο σε κάθε ένα από τα διαστήματα, και, - + f( ) - + f( ) e, e, - + f( ) + - f( ) e, e, - + f( ) + + f ( ) e - + f( ) - - f ( ) e

6 Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό Γ. ( ) f e f ( ) ( e ) f ( ) ( e ) e e 4 e ( e e ) ( ) ( 4 ) 4( ) f e e e e e e 4(e e ) 4 e ( ) f ( ) f ( ) - + f () - + f () Άρα η f έχει ελάχιστο το f (),, Οπότε f ( ) και αφού f συνεχής στο άρα η f κυρτή στο., Γ4. Έστω h( ) f ( ) f ( ) Οπότε η εξίσωση γίνεται: h h( ) () h'( ) f '( ) f '( ) Είναι:, οπότε: f '( ) f '( ) Επειδή η f ' είναι γνησίως αύξουσα διότι η f είναι κυρτή. Άρα h'( ) h, οπότε και η h είναι - () που ισχύει για. Θ Ε Μ Α Δ Δίνεται συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο παράγωγο, για την οποία ισχύει ότι: ( ) ( ) f f d f και f( ) lim, με συνεχή δεύτερη f ( ) e f ( f ( )) e για κάθε

Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό 7 Δ. Να δείξετε ότι f ( ) (μονάδες 4) και f () (μονάδες ) Δ. α) Να δείξετε ότι η f δεν παρουσιάζει ακρότατα στο (μονάδες 4) β) Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο (μονάδες ) Δ. Να βρείτε το lim. f( ) Δ4. Να δείξετε ότι (ln ) e f d. Μονάδες 7 Μονάδες 6 Μονάδες 6 Μονάδες 6 Α π ά ν τ η σ η Δ. f f d f d f d () Στο f d εφαρμόζοντας την παραγοντική ολοκλήρωση έχουμε: f d f d f f d f f f f d f f f d f f f d Οπότε η () δίνει: f d f f f d f f () f( ) Στο όριο lim θέτουμε f g ( ). Τότε: lim g και f ( ) g( ) Οπότε: f g lim lim ( ) Επομένως και f (), αφού η f είναι συνεχής στο ως παραγωγίσιμη. Η () λοιπόν δίνει f Για είναι: f ( ) f () f ( ) g( ) lim lim lim lim g ( ), Αφού: lim g ( ) και lim

8 Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό f ( ) Δ. α) Παραγωγίζοντας τα μέλη της σχέσης e f ( f ( )) e f ( ) Έχουμε: e f ( ) f ( f ( )) f ( ) e () Έστω ότι υπάρχει με f( ). Η () για δίνει: e f ( ) f ( f ( ) f ( ) e e f ( ) Επομένως: f (), που είναι άτοπο αφού f () Άρα η f δεν παρουσιάζει ακρότατα στο. β) Η f '( ) λοιπόν είναι συνεχής στο και δεν μηδενίζεται λόγω του (α). Επομένως διατηρεί πρόσημο στο. Είναι όμως f () άρα f '( ) για κάθε. Η f λοιπόν είναι γνησίως αύξουσα στο. Δ. Επειδή f συνεχής και γνησίως αύξουσα στο με f ( ) θα είναι: lim f( ) f ( ) f Είναι: ( f( ) κοντά στο αφού lim f( ) ) f( ) ( ) f( ) f( ) Επομένως: f ( ) f ( ) f ( ) Είναι όμως: lim lim f ( ) f ( ) Οπότε σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής είναι: lim f( )

Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό 9 Δ4. Είναι e ln ln ln e ln f () f (ln ) f ( ) αφού η f είναι γνησίως αύξουσα στο f(ln ) (>) f(ln ) (4) f(ln ) f(ln ) Από την (4) είναι: και η συνάρτηση g ( ) δεν μηδενίζεται παντού στο, e αφού f (ln e ) f ( ) ge ( ) e e e Επομένως: e f (ln ) d Επίσης από την (4) είναι: Και η συνάρτηση f(ln ) f(ln ) h ( ) δεν είναι παντού μηδέν στο, e αφού f (ln) h() Επομένως: e e e f (ln ) f (ln ) d d d e f (ln ) e e f (ln ) d ln d ln e ln e f(ln ) d e f(ln ) Άρα: d