. Uhl. Soňa si mslí, že uhol, to sú vlastne dve polpriamk so spoločným začiatkom, podľa Peťa je to však ten oblúčik medzi nimi. Hela nesúhlasí ani s jedným z nich a tvrdí, že uhol, to sú tie dve polpriamk spolu s oblúčikom medzi nimi. Kto z nich má pravdu? Ako b ste definovali uhol v?. Rozhodnite o pravdivosti nasledujúcich tvrdení: a) Každý uhol je prienik nejakých dvoch polrovín. b) Každý uhol je časť rovin, ktorá sa nachádza medzi nejakými dvoma polpriamkami s tým istým začiatkom. c) Každý uhol je časť rovin, ktorá sa nachádza medzi nejakými dvoma polpriamkami s tým istým začiatkom spolu s týmito polpriamkami. d) Každý uhol je množina všetkých bodov nejakých dvoch polpriamok so spoločným začiatkom spolu so všetkými bodmi, ktoré ležia medzi týmito dvoma polpriamkami. e) Každý uhol je polrovina. f) Každá polrovina je uhol. g) Ľubovoľné dve polpriamk so spoločným začiatkom rozdelia rovinu na dva uhl. h) Ľubovoľné dve polpriamk so spoločným začiatkom rozdelia rovinu na dva uhl, z ktorých jeden je konvený a druhý nekonvený. i) Ľubovoľné dva uhl, ktoré majú spoločný vrchol a sú zhodné, sú vrcholové. j) Ak je uhol α súhlasný s uhlom β, potom uhol β je striedavý s vrcholovým uhlom k uhlu α.. a) Koľko dvojíc vrcholových a koľko dvojíc susedných uhlov je znázornených na obrázku? (Uvažujte len uhl s vrcholom V.) V b) Koľko dvojíc striedavých a koľko dvojíc súhlasných uhlov je znázornených na obrázku?
. Určte veľkosť uhla α. a) b) 0 α 50 α 0 60 5 5. Rsujte podľa návodu:. AVB ; AVB 75. k; k (V; cm). X; X k VA. Y; Y k VB 5. o; o XY V o 6. S; S o XY Čo platí pre veľkosti konvených uhlov AVS a BVS? Prečo? 6. Bez použitia uhlomera narsujte uhl o veľkosti 75, 0, 5, 5, 57 0`. 7. Edita si oeroovala učebnicu matematik so zmenšením na 75 % pôvodnej veľkosti. V učebnici bol aj uhol α s veľkosťou 60. Akú veľkosť má uhol α na Editinej kópii? 8. Len pomocou kružidla zistite, či je trojuholník na obrázku rovnoramenný a či má jeho najmenší uhol veľkosť 0º. 9. Zistite, či sú priamk p a q rovnobežné. p 9 87 9 8 8 q
*0. Je pravda, že CAB DAC a CAB EAD? Vsvetlite. a) b) E E D D C E C A B A B *. Pravidelné -, -, 5-, 6- a 8-uholník sa dajú ( presne ) narsovať aj bez pomoci uhlomera, pravidelné 7- a 9-uholník nie. Zistite, ktoré z nasledujúcich mnohouholníkov sa nedajú ( presne ) narsovať bez pomoci uhlomera: 0-, -, -, 5-, 8-, 0-, 5-, 5-, 90-, 0-uholník. *. Pravouhlé trojuholník ABC, kde α je 0, 60, 5 alebo aj 7 vieme presne narsovať aj bez použitia uhlomera. Pre ktoré z nasledujúcich uhlov α taký trojuholník bez použitia uhlomera narsovať nevieme? a) 0 b) 0 c) 0 d) 9 e) 5 f) 6 g) h) 8 i) j) k) Vsvetlite prečo.
. Trojuholník. Ktoré z nasledujúcich tvrdení sú pravdivé? K nepravdivým nájdite kontrapríklad. a) Všetk vnútorné uhl ostrouhlého trojuholníka sú ostré. b) Všetk vnútorné uhl tupouhlého trojuholníka sú tupé. c) Tupouhlý trojuholník nemôže bť rovnoramenný. d) Rovnostranný trojuholník nemôže bť tupouhlý. e) Rovnoramenný trojuholník nemôže bť pravouhlý. f) Každý rovnoramenný trojuholník má práve dva ostré uhl. g) Každý tupouhlý trojuholník je rovnoramenný.. Dokončite nasledujúce tvrdenia: a) Ak sú v trojuholníku všetk výšk totožné s ťažnicami, potom je tento trojuholník... b) Ak je v trojuholníku aspoň jedna výška totožná s ťažnicou, potom je tento trojuholník... c) Ak sú dva vnútorné uhl v trojuholníku zhodné, potom je tento trojuholník... d) Ak v trojuholníku splýva os stran s osou uhla, potom je tento trojuholník... e) Ak v trojuholníku výška rozdeľuje stranu na dve zhodné časti, potom je tento trojuholník.... Zistite obvod trojuholníka, ak viete, že dve z jeho strán sú dlhé, cm a 8, cm a dĺžka tretej stran vjadrená v cm je nepárne číslo.. a) Trojuholník ABC znázornený na obrázku rozdeľte na štri zhodné trojuholník (AKM, BKL, CLM, KLM). b) Ukážte, že štvoruholník AKLM, BLMK a KLCM sú rovnobežník. c) Zistite súčet obvodov rovnobežníkov z úloh b) ak viete, že trojuholník ABC má obvod cm. d) Zistite obsah a obvod trojuholníka KLM ak viete, že obsah trojuholníka ABC je 8 cm a obvod 0cm. A C B 5. Rozhodnite o pravdivosti nasledujúcich tvrdení. V prípade, že nie sú pravdivé, opravte ich tak, ab boli: a) Stredná priečka trojuholníka je spojnica stredov dvoch strán trojuholníka. b) Stredná priečka trojuholníka delí trojuholník na dve časti, ktorých obsah sú v pomere :. c) Každá úsečka, ktorá delí trojuholník na dve časti, ktorých obsah sú v pomere :, je strednou priečkou tohto trojuholníka. d) Úsečka, ktorá delí trojuholník na trojuholník a lichobežník tak, že tieto sa zhodujú vo výške, je strednou priečkou trojuholníka. 6. a) Ktorý z nasledujúcich vzťahov platí v pravouhlom trojuholníku ABC s pravým uhlom pri vrchole C? c t c c t c tc c t c c
b) Pravouhlý trojuholník má preponu dlhú cm. Vpočítajte vzdialenosť ťažiska tohto trojuholníka od stredu kružnice opísanej tomuto trojuholníku a presne popíšte polohu ortocentra v tomto trojuholníku. 7. V situácii znázornenej na obrázku platí: AP je ťažnica trojuholníka ABC, PQ je ťažnica trojuholníka APB, QR je ťažnica trojuholníka APQ. Zistite obsah trojuholníka PQR ak viete, že obsah trojuholníka ABC je cm. C R P A Q B 8. V trojuholníku ABC je bod S stred kružnice opísanej tomuto trojuholníku. Platí: ASB 50, BSC 0, CSA 90. V akom pomere sú obsah trojuholníkov ABS, BSC, CAS? 9. Vjadrite obsah trojuholníka ABC znázorneného na obrázku, ak poznáte veľkosť uhla ACB (γ), dĺžku stran AC (b), dĺžku stran BC (a). B C γ A *0. Aké uhl má pravouhlý trojuholník, v ktorom sú dve ťažnice na seba kolmé? *. Zistite, či je trojuholník ABC s ťažnicami dĺžok,, 60 pravouhlý. *. Zistite, či eistujú dva nezhodné trojuholník, ktoré sa zhodujú vo všetkých uhloch a dvoch stranách. 5
. Mnohosten Voľné rovnobežné premietanie. Označme S počet stien mnohostena, V počet vrcholov mnohostena a H počet hrán mnohostena. Vplňte tabuľku: teleso S V H S V - H štvorsten 6 kocka kváder prav. -boký zrezaný ihlan prav. päťboký hranol trojboký ihlan 5-sten 6-sten 7-sten 8-sten. Koľko stien sa môže stretávať vo vrchole konveného mnohostena?. Koľko telies, zlepených zo zhodných kociek (Pri lepení telies dodržiavajte zásadu, že ak sa dve kock dotýkajú plochou, dotýkajú sa celou stenou.) je mnohostenmi? Načrtnite ich.. Znázornite aspoň dve rôzne telesá (iné ako v úlohe ), ktoré nie sú mnohosten. 5. Miška si vstrihla z papiera veľmi veľa zhodných pravidelných osemuholníkov a chcela z nich zlepiť teleso. Rýchlo však zistila, že sa to nedá. Skúste si to a pokúste sa vsvetliť prečo?. 6. Julka má voľným rovnobežným premietaním VRP so smerom s a dvojicou vzor-obraz AA zobraziť trojuholník ABC ležiaci v rovine α do rovin β ( A β ). Už sa jej podarilo urobiť bod B. Má ho dobre? Zdôvodni a zobraz celý trojuholník ABC. 6
7. Marta zobrazovala postupne vo VRP niekoľko štvoruholníkov a niekoľko päťuholníkov. Nájdi a zdôvodni, ktoré môžu bť obrazmi štvorca a ktoré môžu bť obrazmi pravidelného päťuholníka. a) b) c) d) g) e) f) 8. Rozhodnite, či platí: a) Ak sú dve rovin rovnobežné s tou istou rovinou, tak sú aj navzájom rovnobežné. b) Ak sú dve rovin rovnobežné s tou istou priamkou, tak sú aj navzájom rovnobežné. c) Ak je rovina rôznobežná s jednou z dvoch rovnobežných rovín, tak je rôznobežná aj s druhou a pretína ich v dvoch rovnobežných priamkach. 9. Bod M, sú stred hrán BC a EH kock ABCDEFGH. Zdôvodnite, že AM G. 0. Bod S je stred úsečk FC v kocke ABCDEFGH. Presvedčite sa, že ES ACH. *. Martin sa doma baví zlepovaním telies z papiera. Minule povedal, že celý týždeň vrábal telesá s hranami. Každý deň vrobil teleso, ktoré sa líšilo od tých predchádzajúcich aspoň jednou stenou. Teda aspoň jedna stena sa zmenila z n- uholníka na p-uholník a počas predchádzajúcich dní také teleso ešte nebolo vrobené ( n, p n p n p). Hovoril Martin pravdu? Koľko dní mohol vrábať takéto -hranové telesá? *. Aké útvar môžu bť rezom a) pravidelného osemstenu, b) pravidelného dvanásťstenu. c) pravidelného dvadsaťstenu? *. Vo VRP narsujte obraz pravidelného dvanásťstena. 7
. Stereometria I. Narsujte všetk možné obraz kock ABCDEFGH v rovnobežnom premietaní, ak poznáte obraz jej vrcholov B, C, E a G. B C G E. Ktoré z nasledujúcich tvrdení sú pravdivé? Vsvetlite. Obraz kock v rovnobežnom premietaní je jednoznačne určený obrazmi a) ľubovoľných jej štroch vrcholov b) ľubovoľných jej troch hrán c) troch vrcholov jednej sten a jedného vrchola z protiľahlej sten d) troch hrán so spoločným vrcholom.. Maťo, Fero, Emil a Jano mali narsovať sieť kock a potom z nej túto kocku zložiť. Na obrázku vidíte ich polotovar (všetk sa skladajú zo šiestich štvorcov). a) Pokúste sa zistiť, z akých mnohouholníkov boli zhotovené. b) Ktorí z nich sú na dobrej ceste úlohu správne vriešiť? obr. obr. obr. obr.. Koľko rôznch sietí má kocka s hranou cm? Načrtnite ich. 5. Zo sietí znázornených na obrázku zložíme kock. Zistite, čo je napísané na stene protiľahlej k stene a) s číslom b) s číslom c) s písmenom F d) s písmenom B VI e) s číslom V f) s číslom III F IV V 5 6 A B C D II III E I 6. Predstavte si, že sme poslednú sieť z úloh 5 prilepili stenou IV ku doske stola a zvšok zohli tak, ab vznikol model kock. Zistite, a) aké číslo bude na hornej stene tohto modelu, b) aké číslo bude na ľavej stene a aké na pravej stene, ak na zadnej je číslo II. 8
7. a) Na stenách kock z priehľadného skla je nakreslená čiara (pozri obrázok). Nakreslite, ako vidno túto čiaru pri pohľade na kocku spredu, zhora a sprava. b) Silvia si znázornila kocku vo voľnom rovnobežnom premietaní. Na obraz jej stien kreslila úsečk s krajnými bodmi vo vrcholoch kock. Zatiaľ má dve (Obrázok ). Do jej obrázka dokreslite čo najmenej (čo najviac) takýchto úsečiek tak, ab ste dostali nasledovné dva priemet výslednej čiar (Obrázok ). pôdors bokors Obrázok Obrázok 8. a) Nakreslite všetk navzájom nezhodné siete pravidelného štvorstena, ktorého hran majú dĺžku cm. b) Koľko rôznch sietí má každý pravidelný štvorboký ihlan? 9. Sherlock Holmes všetroval vlámanie do matematického kabinetu. Učiteľ matematik tvrdil, že zmizol model kock s hranou dĺžk cm, kvádra s rozmermi cm cm cm, valca s priemerom cm a výškou cm, ihlanu s podstavou tvaru obdĺžnika s rozmermi cm cm a výškou 5 cm, gule s polomerom cm a kužeľa s polomerom podstav cm a výškou 5 cm. Sherlock Holmes si pozorne preštudoval stop, ktoré ostali po telesách na zaprášenej polici a zistil, že v prípade jedného z modelov uviedol učiteľ nesprávne rozmer. O ktorý model šlo? 5 cm cm cm cm cm cm r cm 9
0. Máme dve škatule tvaru kvádra. Červená má rozmer cm, 5 cm a 0 cm, modrá má objem 000 cm. Ktoré z uvedených výrokov o krabiciach sú určite pravdivé? a) Modrá škatuľa sa určite vmestí do červenej. b) Modrá škatuľa sa určite nevmestí do červenej. c) Buď sa vmestí modrá škatuľa do červenej alebo červená do modrej. d) Červená škatuľa sa určite vmestí do modrej. e) Červená škatuľa sa určite nevmestí do modrej. *. Eistuje štvorsten, ktorého všetk sten sú navzájom zhodné, ale aspoň dve z jeho hrán majú rôznu dĺžku? *. Vo voľnom rovnobežnom premietaní znázornite teleso, ktorého sieťou bude štvorec. *. Z 7 rovnakých malých kociek chceme zlepiť jednu veľkú. Koľko najmenej stien musíme natrieť lepidlom, ab držala pokope? *. a) Peter nakreslil takúto sieť telesa z úloh B5: Zložte z papiera model telesa. Čo asi znamená čiara vznačená hrubo? b) Juro nakreslil takúto sieť toho istého telesa, zabudol však vznačiť, pozdĺž ktorých čiar ju treba rozrezať, ab sa z nej dal uvedený model poskladať. Pokúste sa odstrániť tento nedostatok. *5. Riešte úlohu 7 pre 5, resp. 6 hracích kociek. 0
5. Logika II. Pred vigvamom sedia dvaja indiáni, jeden veľký a jeden malý. Malý je sn veľkého, ale veľký nie je otec malého. Ako je to možné? V Shakespearovom Kupcovi Benátskom vstupuje dievča Porcia, a tá má tri skrink zlatú, striebornú a bronzovú. V jednej z nich je Porciin portrét. Kto sa uchádza o jej ruku, musí určiť, v ktorej skrinke portrét je. Ak má šťastie a uhádne, smie sa s ňou oženiť. a každej skrinke je nápis, ktorý má nápadníkovi pomôcť pri ťažkej skúške. Poďme sa pozrieť, ako to na takej skúške vzerá. Nápadník dostal informáciu, že najviac jeden z troch nápisov na skrinkách je pravdivý. Ktorú skrinku si má vbrať?. V Montreale vlúpili zlatníctvo a páchateľ alebo páchatelia si odviezli ukradnuté šperk autom. Na políciu priviedli troch podozrivých: M.B., J.V., I.Z., a vpočúvali ich. Zistilo sa toto: a) Do prípadu nebol zapletený nikto iný, ako M.B., J.V., I.Z. b) I.Z. sa nikd nepúšťa do akcie bez M.B. c) J.V. nevie šoférovať Možno niektorého z nich s istotou obviniť?. Pán McGregor, obchodník z Londýna, telefonoval do Scotland Yardu, že mu vkradli obchod. K výsluchu boli predvedení traja podozriví: A, B a C. Zistili sa tieto skutočnosti: a) Každý z týchto troch A, B i C bol v deň lúpeže v obchode a nikto iný už v ten deň v obchode nebol. b) Ak je vinný A, mal práve jedného spoločníka. c) Ak je B nevinný, je nevinný aj C. d) Ak sú vinní práve dvaja, tak jedným z nich je A. e) Ak je C nevinný, je nevinný aj B. Koho b ste z krádeže obvinili? 5. Miško si v duchu vbral jedno číslo z nasledujúcej tabuľk. Zuzka chvíľu hádala, ktoré to je. Potom povedala, že hľadané číslo - je v prvom riadku - je párne - nie je v druhom stĺpci - je väčšie ako Miško Zuzke povedal, že iba jedna zo štroch výpovedí je pravdivá a tri zvšné sú nepravdivé. Ktoré číslo si Miško vbral? 6. Traja pretekári súťažili každý v inej disciplíne a každý získal inú medailu. Miro nepretekal v behu na 00 metrov. Zlato získal bežec na 800 metrov. Jaro získal
bronzovú medailu, pretekár v behu na 00 metrov nezískal striebro. Rado nezískal zlato. Kto získal bronz? V akej disciplíne pretekal Rado? Akú medailu získal bežec v behu na 00 metrov? 7. Súťaže v jedení gumených medvedíkov sa zúčastnili súťažiaci. Označme ich A, B, C, D. Tu je záznam ich rozhovoru pred súťažou: A: Vhrám ja! B: Ja som chlapec, ja budem prvý C: Chlapci sa mýlia, D skončí o jedno miesto za mnou a za A už nebudú žiadni chlapci. D: C má pravdu a za A už nebudú žiadne dievčatá Po súťaži sa ukázalo, že práve dve z týchto štroch tvrdení boli pravdivé. Zistite, ako dopadla súťaž a aké sú pohlavia súťažiacich ak viete, že sú medzi nimi práve dvaja chlapci a že žiadni dvaja súťažiaci neskončili na rovnakom mieste. 8. Na trhu s papagájmi sa dajú spraviť dva tp obchodov. Červeného vám vmenia za 5 modrých, alebo modrého za 5 červených. Na trh ste došli s jedným červeným papagájom. Podarí sa vám po niekoľkých výmenách dosiahnuť rovnaký počet červených a modrých papagájov? V nasledujúcich úlohách vstupujú ľudia z ostrova Pravdoklam, kde žijú len dva druh ľudi poctivci (stále hovoria pravdu) alebo kramári (stále klamú) 9. Na ostrove Pravdoklam žije 999 domorodcov. Každý z domorodcov má práve jeden z týchto koníčkov: buď rád spieva alebo rád hrá futbal, alebo rád chtá rb. Káždému domorodcovi položili tri otázk: a) či rád spieva b) či rád hrá futbal c) či rád chtá rb Na prvú otázku odpovedalo áno 000 domorodcov, na druhú otázku 700 a na tretiu otázku 500 domorodcov. Koľko klamárov žije na ostrove Pravdoklam? 0. Majme tri osob A, B, C čo povedali: B: Všetci sme klamári C: Práve jeden z nás je poctivec Čo sú A, B, C zač?. A povedal: Ja som klamár ale B nie je. Čo sú obaja zač?. A povedal: Ak som poctivec, tak zjem svoj kobúk. Ukážte, že zje svoj kobúk.. A povedal: a) Ak som poctivec, tak. Znamená to, že je poctivec? b) Ak som poctivec, tak 5. Znamená to, že nie je poctivec?
*. Knieža Gvidon mal troch snov. 9 jeho potomkov mali po dvoch snoch, zvšok zomrel bezdetný. Koľko potomkov mal knieža Gvidon? *5. Do mesta prišiel kráľovský posol a povedal: V meste žije aspoň jedna neverná žena. Jej muž ju má vhnať z mesta v noci toho dňa, keď o jej nevere získa istotu. Každý muž vedel o každej cudzej žene, či je verná, alebo nie, avšak nevedel, či jeho vlastná mu je verná. Muži sa ráno schádzali na námestí a keď niektorý vhnal svoju ženu, správa sa rozniesla. V tretiu noc bola vhnaná richtárova žena. Koľko neverných žien bolo v meste? *6. Máme 0 vrecúšok s mincami. V jednom z nich sú mince falošné. Normálna minca váži 0 gramov, falošná. Ako b ste na jedno váženie pomocou presnej digitálnej váh zistili, v ktorom vrecúšku sú falošné mince?
6. Matematická indukcia. Na nasledujúcej úlohe demonštrujte princíp matematickej indukcie (s vsvetlením pre študentov na prvej hodine, kde sa s týmto tpom dôkazu stretnú): n :...... n( n ) n( n )( n ). Dokáže nasledujúce rovnosti: n n a) n : 6... ( n ) n( n )( n ) b) c) n :..... n ( n ) n n 5 n :.5.5....5. n :... n... n d) ( ). Nájdite najmenšie prirodzené číslo n pre ktoré platia nasledujúce nerovnosti a pre každú z nich dokážte jej platnosť (pre n, n n0 ): n n a) n > n b) n< c)... < n 0 n. Rozhodnite o platnosti nasledujúcich tvrdení (platné tvrdenia dokážte, pri neplatných nájdite kontrapríklad): n a) n : 8 ( 7 ) b) n 0 :... > n n n n n n : 7 c) ( ) 5. Zistite, na koľko maimálne častí delí n kružníc rovinu. Svoje tvrdenie dokážte. 6. Posúďte riešenia úloh: Dokážte, že n n n : > ( n ) n Silvia: n : 8, 6, 8> 6 5 n : 0, 5 65, 0> 65 Rozdiel sa zväčšujú, platí to pre všetk ďalšie Filip: n
n LS? n n : n k n : k čbtd. n k > > 8, PS? 6, LS > PS n n ( n ) ( n ) > ( n ) ( k ) k 7. Nájdite chbu v nasledujúcom dôkaze tvrdenia V(n): Pre ľubovoľných n reálnch čísel a, a,.., an, n platí a a... an. a a, a R platí V ( ) Zoberme ľubovoľných k reálnch čísel a, a,.., a k. Podľa indukčného predpokladu a a... ak a tiež a a... ak. Pretože rovnosť je tranzitívna, dostávame a a... a k ak, čiže V ( k) V( k). Teda V(n) platí pre všetk prirodzené čísla n. n *8. Dokážte, že ak prvočíslo p delí súčin prirodzených čísel a a... an, n, tak eistuje také i, n, že p delí a i. * 9. V priestore je daných 7 priamok. Dokážte, že sa medzi nimi dajú nájsť tri, ktoré sú navzájom rovnobežné, alebo sú rôznobežné alebo navzájom mimobežné. *0. Dokážte, že ak sa súčin n kladných reálnch čísel rovná, tak ich súčet je aspoň n. *. Dokážte vzťah medzi aritmetickým a geometrickým priemerom n kladných a a an reálnch čísel: n a. a.. an. n 5
7. Rovnice a nerovnice. Miško mal na domácu úlohu vmslieť rovnicu, ktorá má koreň, rovnicu, ktorá má koreň, rovnicu, ktorá má koreň -, rovnicu, ktorá má koreň 5 a rovnicu, ktorá má koreň 7. Tu sú jeho rovnice: 8 0, 0, 6 6 5, 5 0, 8. Zisti, ktorá je ktorá, ak vieš, že úlohu vriešil správne. Pre ktoré k Z má rovnica a) práve jedno riešenie b) práve dve riešenia c) maimáln počet riešení k v R. Nájdite všetk riešenia nasledujúcich rovníc ak viete, že: a) - a sú riešením rovnice 7 7 0 b) rovnica 6 9 0 má len dvojnásobné korene a jedným z nich je -.. Ktoré z čísel, -,, -,, -, 6, -6, 9, -9 sú riešením rovnice a) 6 7 5 b) 5 Skúste túto úlohu vriešiť bez kalkulačk 5. Pre ktoré a R je riešením nerovnice a) R b) {} c), ) a d), ) e) jednoprvková množina? 6. V nerovnici * 5 doplňte namiesto číslo a nahraďte jedným zo znakov <, > tak, ab jej riešením bolo a), ) b) (9, ) 7. Julka riešila nerovnicu: D, K 0, ) 0 Adam jej povedal, že urobila chbu, lebo zabudla na podmienku 0. Podľa neho je teda výsledkom,. Katka dosadila za nulu a zistila, že je riešením nerovnice. Preto tvrdila, že jej riešenie je správne. Kto z nich má pravdu? Tú istú nerovnicu ako Julka riešil Maťo takto: 6
D, ) 0 0 Podľa neho je riešením niektorý z intervalov,,, ). Viete ktorý? Viete prečo neuvažoval o intervaloch,0, 0,? 8. a) Akú chbu asi urobil Juro, ak mu pri riešení nerovnice > všiel, resp., )? Vriešte nerovnicu. interval (,) b) Má Juro pravdu, ak tvrdí, že riešením nerovnice < je,)? 9. Fero určoval definičný obor funkcie f: takto: 0 D 6 D f {} Je jeho výsledok správn? 0. Pre ktoré hodnot parametra m nemá rovnica ( m 5) m 0 korene? 5 5 *. Riešte rovnicu: 6 reálne *. Riešte rovnicu *. Riešte rovnicu 7 7 7 *. V nerovnici * > nahraďte * a číslami, ak viete, že riešením nerovnice je jeden z intervalov (,, 8, ) a rovnica nemá riešenie. * *5. Aké číslo má bť na mieste v nerovnici <, ak jej riešením sú niektoré z intervalov 0, ), (, 9), (9, )? Aké je riešenie nerovnice? *6. Riešte v R: 6 > *7. Riešte v R: < 7
8. Sústav rovníc II. Nájdite dve čísla, pre ktoré platí, že súčet ich prevrátených hodnôt je 5 a súčet druhých mocnín ich prevrátených hodnôt je.. Riešte v R: a) 5 b) c) 7 6 8. a) Obdĺžnik s obsahom cm má obvod 0 cm. Zistite dĺžk jeho uhlopriečok. b) Aký obsah má pravouhlý trojuholník s preponou dlhou 65 mm a obvodom mm? Riešte obe úloh bez toho, ab ste zisťovali dĺžk strán.. Matematikár raz pred Vianocami prekvapil svoju triedu súťažou v riešení sústav rovníc. Prvá bola táto sústava: 5 Eva najlepšia počtárka v triede si vjadrila z prvej rovnice a dosadila do druhej. Dostala síce správn výsledok, ale bola až druhá, predbehol ju figliar Fero. Ešte horšie pre Evu dopadla ďalšia sústava: 9 Keď Fero po chvíli zahlásil výsledok, ona ešte netušila, ako sa k nemu dopracuje. Tie odmocnin vzerali beznádejne... Na Ferov fígeľ však prišla hneď v ďalšej sústave: 7 6 9 0 Prišli ste naň aj v? Vriešte všetk tri sústav. 7 5. Fero si raz-dva poradil so sústavu, ale matikár mu riešenie neuznal. Tvrdil, že sústava má viac ako riešenia. a) Koľko riešení všlo Eve, ktorá úlohu vriešila správne? b) Kde urobil Fero chbu? 6. Juro riešil sústavu rovníc: 5 0 5 9 8
Z prvej rovnice si vjadril a dosadil do druhej rovnice. Všli mu dve riešenia: [ 5,] a 65,. Vriešil úlohu správne? 9 7. Laco a Maťo riešili sústavu rovníc: 6 Laco postupoval klasick : Z prvej rovnice vjadril a dosadil do druhej rovnice. Maťo obe rovnice sčítal. Ktorá metóda vedie k správnemu výsledku? 8. Lenka a Petra mali na domácu úlohu riešiť sústavu rovníc 6 6 5 Keďže sú dvojičk, nečudo, že začali rovnako: Upravili prvú rovnicu na tvar 6 6. Lenka na základe nej usúdila, že, dosadila do druhej rovnice a dostala 5, ± 5, ± 5. Petra však ešte nebola s prvou rovnicou celkom spokojná, preto ju napísala najprv ako 6 6 a 6. Ďalej usúdila, že 6 vjadrila potom ako ( )( ) ( ) 6 a dosadila do druhej rovnice: 6 5. Ďalej písala: 6 5 0 5 5 Ktoré z dievčat riešilo úlohu správne? 9. Posúďte riešenia nasledujúcich sústav rovníc: a) b) c) ( ) 0 ( ) ( )( ) 0. 0 ( )( ) 0 0 ( ) 0. ( )( ) 0 ( )( ) 0 K {[, ][,,] } 0 K [ 0, ],, K {[,0] } 9
0 *9. Riešte v R sústav rovníc: a) b) c) d) e) f) g) 0 5 ( )( ) 5 5 5 5 5 6 6 6 0 5 5 5... 9 9 8
9. Kombinatorika II. Koľkými spôsobmi môžeme rozsvietiť okná na priečelí tohto domu tak, ab na každom podlaží svietili práve a) dve okná a z každých dvoch okien nad sebou vžd len jedno, b) štri okná a z každých troch okien nad sebou vžd len dve?. Koľko obdĺžnikov rôznch rozmerov môžeme poskladať z 5 štvorcových dlaždíc, ak máme pri každom skladaní použiť všetk dlaždice?. V koľkých dvojciferných číslach je druhá číslica väčšia ako prvá?. Zuzka povedala, že ich auto má šťastné číslo, lebo všetk jeho cifr sú párne. Jej sestra Janka z toho usúdila, že každé druhé auto musí mať šťastné číslo. Mama protestovala, že šťastné čísla sú oveľa vzácnejšie, možno ak jedno zo sto áut má také. Oco to odhadol na zhruba každé dvadsiate. Kto z nich bol najbližšie k pravde? (Pomôcka: Koľko áut so značkami od BA 00 po BA 999 má šťastné číslo?) 5. V rovine je daných 5 bodov tak, že žiadne tri z nich neležia na jednej priamke. Koľko a) úsečiek, b) priamok, c) kružníc je týmito bodmi určených? 6. Do futbalového turnaja sa prihlásilo 8 družstiev. Koľko zápasov b sa odohralo, ak b sa turnaj hral a) sstémom každý s každým, b) vlučovacím sstémom, podobne ako tenisové turnaje? 7. Martin má na kartičkách napísané všetk štvorciferné čísla. Rozhodol sa, že kartičk roztriedi nasledovne: Na jednu kôpku uloží kartičk s číslami, v ktorých zápise sa nachádza aspoň jedna z číslic a 5. Ostatné kartičk uloží na druhú kôpku. a) Je pravda, že druhá kôpka je dvakrát väčšia ako prvá? b) Martin po čase niektoré kartičk postrácal. Kompletnú mal už len sadu od 000 po 6000 (vrátane). Ak ich aj teraz rozdelí rovnakým spôsobom, ktorá z kôpok bude obsahovať viac kartičiek? O koľko? 8. Narsujte päť priamok v rovine tak, ab mali práve 8 priesečníkov. 9. V rovine je daných 8 bodov, 5 z nich leží na jednej priamke. Žiadne iné tri bod na jednej priamke neležia. Koľko priamok dané bod určujú? *0. Žiadne tri uhlopriečk konveného n -uholníka A, A,..., An nemajú spoločný vnútorný bod. Koľko priesečníkov majú tieto uhlopriečk?
*. Koľko telesových uhlopriečok má pravidelný -sten? *. Skupina -tich stredoškolákov sa rozhodla usporiadať si cez prestávk turnaj v mariáši (V jednej partii mariáša súperia traja hráči s cieľom dosiahnuť čo najväčší zisk.). Pritom chcú, ab sa v žiadnej z partií nestretla dvojica, ktorá už predtým odohrala spoločne inú partiu. a) Koľko maimálne partií môžu odohrať, ak chcú dodržať stanovenú podmienku? b) Po odohraní 0-tich partií sa zistilo, že niektorí hráči už odohrali aj 5 partií, zatiaľ čo iní iba dve. (Ako sa mohlo niečo také stať? Nájdite taký rozpis zápasov.) Po odohraní celého turnaja pritom chceli stanoviť poradie tak, že spočítajú výsledné zisk z jednotlivých partií. Pri nerovnakom počte odohraných partií b im ale výsledok nič nepovedal. Pre nasledujúci turnaj pridali teda ďalšiu podmienku: Každý z hráčov musí odohrať rovnaký počet partií. Koľko najviac partií sa vám pre nich podarí naplánovať tentoraz?
0. Pravdepodobnosť I. Majme kocku s jednou červenou, dvoma bielmi a tromi zelenými stenami. Aká je pravdepodobnosť, že na nej padne (nepadne) a) červená b) biela c) zelená stena?. Aká je pravdepodobnosť, že pri hode kockou padne a) šestka b) štvorka alebo päťka c) prvočíslo?. a) Pri hode kockou padlo párne číslo. S akou pravdepodobnosťou to bola štvorka? b) Marek hádzal kockou a padla mu trojka. Julke povedal, že hodil nepárne číslo. Aká je pravdepodobnosť toho, že Julka uhádne aké číslo hodil?. Pri hádzaní kockou padla desaťkrát za sebou šestka. S akou pravdepodobnosťou padne aj pri jedenástom hode? 5. Kocku na obrázku vrobili zlepením 8 hracích kociek, pričom zliepali vžd iba sten s rovnakým číslom. Zistite, s akou pravdepodobnosťou nám na tejto kocke padne hodnota a) 9 b) c) 0? 6. Fero mal drevenú kocku s hranou dĺžk 5. Najprv nafarbil jej povrch na červeno, potom ju rozrezal na 5 malých kociek s hranou dĺžk. Aká je pravdepodobnosť, že náhodne vbraná malá kocka bude mať práve dve červené sten? 7. Zo sedmových kariet ( kariet) vberieme kartu. Aká je pravdepodobnosť, že to bude a) eso b) zeleň c) zelené eso d) sedmička alebo osmička? 8. Aká je pravdepodobnosť, že pri hode dvoma kockami bude súčet padnutých čísel a)5 b) najviac 5 c)aspoň 5 d) maimáln e) minimáln? 9. Hádžeme troma kockami. Aká je pravdepodobnosť, že padne a) aspoň jedna šestka b) najviac jedna šestka? 0. Majme kocku s jednou červenou, dvoma bielmi a tromi zelenými stenami. Hoďme ňou trikrát. Aká je pravdepodobnosť, že padla a) 5-krát zelená b) červená najviac 0-krát e) biela aspoň raz c) trikrát biela f) červená aspoň raz, ale najviac krát d) zelená ani raz g) zelená aspoň raz, ale najviac -krát?
. Janko a Marienka sa radi hrajú takúto ekonomickú hru: Každý hodí jednou kockou. Ak padne, tak Janko dostane korunu. Ak padne,, tak dostane korunu Marienka. Ak padne hocičo iné, tak dajú korunku do prasiatka. Skúste odhadnúť, koľko korún skončí v prasiatku, koľko u Janka a koľko u Marienk, ak viete, že na začiatku mali 60 Sk. *. Nájdite všetk prirodzené čísla n pre ktoré platí: pravdepodobnosť, že náhodne zvolené číslo prirodzené číslo m n je prvočíslo, je aspoň /? *. Na koľký pokus najčastejšie padá šestka? *. Koľkokrát treba v priemere hodiť kockou, ab padla šestka? *5. Stojíte pred troma dverami a viete, že za jednými z nich je poklad (ten chcete získať). Chstáte sa otvoriť jedn dvere, keď tu sa zrazu objaví kúzelná babička, otvorí jedn zo zvšných dvier a v vidíte, že za nimi poklad nie je. Čo urobíte zostanete pri dverách, pri ktorých ste boli, prejdete k tretím dverám alebo je to jedno?