ΤΡΙΩΡΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 01-ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Έστω μία συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα, Αν η f είναι συνεχής στο, και f f τότε να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό μεταξύ των f και f υπάρχει ένας, τουλάχιστον τέτοιος, ώστε 0, f. Β. Να δοθεί ο ορισμός της συνάρτησης 1-1. 0 Γ. Να δοθεί ο ορισμός του μέτρου ενός μιγαδικού αριθμού z yi. Δ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν,γράφοντας στο γραπτό σας. Μονάδες 4 Μονάδες 4 δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος,αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. z1 z z1 z, για οποιαδήποτε z1, z C. β. i 015 i. γ. iz iz, για κάθε z C. δ. f g g f, για οποιεσδήποτε συναρτήσεις f και g με πεδίο ορισμού R. ε. Το όριο μιας συνάρτησης f σε ένα σημείο 0 δεν εξαρτάται από την τιμή της f στο 0. Μονάδες 10 1
ΘΕΜΑ ο Α. Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: f ln α. ln 1 β. f e ln Μονάδες 6 Β. Δίνεται η συνάρτηση f μεf( ) = e + ln( 1),για κάθε (1, + ). Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο R, να υπολογίσετε το f (8). Μονάδες 6 Γ. Δίνονται οι συναρτήσεις f() = + και g() = + 1.Να βρείτε την g f. Δ. Αν για τους μιγαδικούς z και w ισχύουν: Μονάδες 6 + iz = 6 και w 1 + i = w + i να βρείτε: α. τον γεωμετρικό τόπο του z. β. τον γεωμετρικό τόπο του w. ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: R R με (f f)() + f() = 4, για κάθε R, και f() = 8. α. Να δείξετε ότι f(8) =. β. Να δείξετε ότι η f είναι συνάρτηση 1-1. γ. Να δείξετε ότι f () = 5 δ. Να λυθεί η εξίσωση f(f ( 4) ) =. Μονάδες Μονάδες 5 Μονάδες 5 Μονάδες 5
ε. Θεωρούμε τη συνάρτηση g: R R με g() = f() 0συν(π). Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της g τέμνει τον άξονα σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη στο διάστημα (,8). ΘΕΜΑ 4 ο Δίνεται η συνεχής και μη σταθερή συνάρτηση f :R R και ο μιγαδικός αριθμός z 4i 5 z f 1 ai,με a 0 για τον οποίο ισχύει lim.να αποδείξετε z i 7 ότι: α. z. Μονάδες 5 β. Υπάρχει τουλάχιστον ένα 0,1 τέτοιο ώστε f 6. γ. Δείξτε ότι υπάρχει 0 1,7 τέτοιο ώστε 10 f 0 f f 5 f 5 δ. Αν ισχύει f a f b 5 f a f b η εξίσωση 0 f έχει μία τουλάχιστον ρίζα στοa, b.. με a b,να αποδείξετε ότι Μονάδες 6 Καλή Επιτυχία! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΙΣΤΟΔΟΥΛΟΣ ΛΥΜΠΕΡΙΑΔΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΔΗΜΟΥ
Μαθηματικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Κατεύθυνσης (Τεχνολογική- Θετική) (01/1/01) ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο Α. Βιβλίο σελίδα 194. Β. Βιβλίο σελίδα 151. Γ. Βιβλίο σελίδα 97. Δ. α. Λάθος β. Σωστό γ. Λάθος δ. Λάθος ε. Σωστό ΘΕΜΑ ο Α. α. Το πεδίο ορισμού της f είναι το (0, + ),στο οποίο η f είναι παραγωγίσιμη με f () = ( ln) = ( ) ln + (ln) = ln + = ln + = = (ln + 1). β. Το πεδίο ορισμού της f είναι το (0, + ),στο οποίο η f είναι παραγωγίσιμη με ln 1 ln 1 1 f e ln e ln 1 1 1 ln 1 ln e e 1 4 ln 1 e 1 Β. Αφού και τα μέλη της δοθείσας παράστασης είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις ως πράξεις παραγωγίσιμων, μπορώ να παραγωγίσω ως προς την δοθείσα σχέση 1 οπότε,για κάθε > 1 θα έχω: f e 1 1 f e. 1 1 1 1 1 4
Θέτω στην τελευταία σχέση =,άρα : 4 f (8) = e + 1 e 1 f 8. 1 Γ. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f() είναι το A = [, + ) ενώ της g() θα είναι A = R. Για το πεδίο ορισμού της A ( )() = A () θα έχω: A () = A = [, + ) f() A + R = + R = [, + ) Επομένως gf() = f() + 1 = + + 1 = + + 1 = + 4. Δ. α. Έχουμε + iz = 6 + i z = 6 + 1 z = 6 9 z = 6 z =.Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ο κύκλος με κέντρο το O(0,0) και ακτίνα ρ =. β. Έχουμε w 1 + i = w + i w (1 i) = w ( i).άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του w είναι η μεσοκάθετος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ με άκρα τα Α(1, 1) και Β(, ). ΘΕΜΑ o α. Ισχύει ff() + f() = 4 (1) Θέτω στην (1), =.Άρα έχω: ff() + f() = 4 f(8) + 8 = 9 4 f(8) =. β. Για κάθε, R με f( ) = f( ) (), θα ισχύει για κάθε R και ff( ) = ff( ) (). Προσθέτοντας τις σχέσεις () και () κατά μέλη θα έχω: f( ) + ff( ) = f( ) + ff( ) () 4 = 4 =. Άρα η f είναι συνάρτηση 1-1. γ. Θέτω στη σχέση ff() + f() = 4, όπου το f ().Επομένως έχω : f ff () + ff () = f () 4 f() + = f () 4 5
15 = f (). Άρα f () = 5. δ. Ισχύουν οι ισοδυναμίες: f () = 5 f(5) = (4) και Θα ισχύει : f(8) = f ( ) = 8 (5). f(f ( 4) ) = (4) f(f ( 4) ) = f(5) : f ( 4) = 5 f ( 4) = 8 (5) f ( 4) = f ( ) ff ( 4) = ff ( ) 4 = 4 + = 0.Η τελευταία σχέση μας δίνει = 1 ή =. ε. Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει (,8) τέτοιο ώστε να είναι g( ) = 0. Η g είναι συνεχής στο [,8] ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. g() = f() 0συν(π) = 8 0 ( 1) = 54 > 0 g(8) = 8 f(8) 0συν(8π) = 8 ( ) 0 1 = 54 < 0 Άρα g() g(8) < 0. Οπότε σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον (,8) τέτοιο ώστε g( ) = 0. ΘΕΜΑ 4 ο α. z 4i 5 z 4i z 4i lim lim z i 7 z i z i z 4i 4 z i z 4i z 4i 4 z i z i zz 4zi 4zi 16i 4zz 4zi 4zi 4i zz 1i z 4i z i z 1 z 4 z. β. Έστω η συνάρτηση g f συνεχών συναρτήσεων. g 0 0 0 f 0 6 1 1 0 g 1 1f 1 6 f 1 4 6.Η g είναι συνεχής στο0,1 ως πράξεις 6
z f 1 a f 1 a 4 f 1 4 a Άρα g 1 f 1 4 4 a 4 a 0 αφού a 0. g 0 g 1 a 0 και από το θεώρημα Bolzanoυπάρχει τουλάχιστον ένα Άρα 0,1 τέτοιο ώστε g f f 0 6 0 6. γ. Η f είναι συνεχής στο 1,7, οπότε ισχύει το θεώρημα της Μέγιστης και της Ελάχιστης τιμής, δηλαδή η f έχει μέγιστη τιμή M και ελάχιστη τιμή m για τις οποίες για κάθε 1,7 ισχύει m f M m f M m f M (1) Άρα m f M m f M () m f 5 M 5m 5 f 5 5M ().(m M αφού f() μη σταθερή συνάρτηση ) Προσθέτουμε κατά μέλη τις σχέσεις (1),() και () και έχουμε f f 5 f 5 10m f f 5 f 5 10M m M. 10 Άρα από Θ.Ε.Τ υπάρχει 0 1,7 τέτοιος ώστε: f f 5 f 5 f 0 10 f 0 f f 5 f 5. 10 δ. f a f b 5 f a f b f a f b 5 f a 4 f b f a f b 5 f a 4 f b 0 f a f a 1 f b 4 f b 4 0 f a f b 1 0. Άρα f a 1 f b 0 f a 1 0 και 0 Τελικά f a 1και f b, οπότε f a f b 0 f b.. 7
Επειδή η f είναι επιπλέον συνεχής στοa, b από το θεώρημα Bolzano προκύπτει ότι η εξίσωση f 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στοa, b. 8