ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 8 Ιουνίου 005 Από τα κάτωι Θέµατα καλείσε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη του µαήµατος, ενώ από τα Θέµατα,, και 5 µπορείτε να επιλέξετε το πολύ τρία Προσοχή: Αν προσπαήσετε να επιλύσετε και τα τέσσερα Θέµατα,, και 5 πρέπει να µας υποδείξετε ποια τρία από αυτά έλετε να βαµολογήσουµε Θέµα (0 µονάδες) α) ( 5 µονάδες) y Να βρεεί ο πίνακας X = u v που ικανοποιεί τη σχέση: 0 X = 0 0 y 0 Εχουµε ότι η εξίσωση πινάκων = 0 u v 0 ισοδυναµεί µε την + u y+ v 0 = y 0 Εξισώνοντας τους συντελεστές, εύκολα έχουµε την µοναδική λύση 0 =0, y =, u=, v = -, δηλαδή X = (Επαλήευση: 0 0 = 0 0 ) β) ( 5 µονάδες) ίνεται το σύστηµα = Για ποιες τιµές των α, β, έχει το σύστηµα αυτό: (i) α y β µοναδική λύση (υπολογίστε την!), (ii) καµία λύση, (iii) άπειρες λύσεις Από την ορίζουσα του πίνακα συνάγεται αµέσως ότι: αν a /τότε το σύστηµα έχει a β β µοναδική λύση: =, y = Θεωρούµε τώρα οτι a = / Τότε, αν / a+ a+ β το σύστηµα δεν έχει καµία λύση, ενώ για β = /έχει άπειρες λύσεις γ) ( 5 µονάδες) Να βρεούν οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα A = 0 Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο ισουται πρός λ λi A = = λ( λ ) = λ λ = ( λ )( λ + ) λ Αρα οι ιδιοτιµές του πίνακα είναι λ= και λ= - Βρίσκούµε αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα: Για λ=: = αρα µία βαση ιδιοδιανυσµάτων για λ= 0 0 αποτελείται από το (Επαλήευση: A = )
Για λ= -: = αρα µία βαση ιδιοδιανυσµάτων για λ= - 0 0 αποτελείται από το (Επαλήευση: Επαλήευση: A = ) δ) ( 5 µονάδες) ώστε ένα παράδειγµα ακολουίας { a }, για την οποία ισχύει lim( a ) = 0, αλλά η αντίστοιχη σειρά + = a αποκλίνει Εξηγείστε την απάντησή σας Θεωρούµε την ακολουία µε γενικό ορο a = Η ακολουία αυτή τείνει στο µηδέν και η + + αντίστοιχη σειρά a είναι η η οποία δεν συγκλίνει ( αρµονική σειρά ) = = (Σηµείωση: κάε άλλη ακολουία a = p, 0 < p< / είναι δεκτή) ε) ( 5 µονάδες) ίδεται η συνάρτηση f( ) = + +, µε Βρείτε τα τοπικά ακρότατα της f ( ) και χαρακτηρίστε τα ως τοπικά µέγιστα ή τοπικά ελάχιστα Ποιο είναι το πεδίο τιµών της f ( ); Παραγωγίζοντας βρίσκουµε: f ( ) = + = ( )( ) και στον παρακάτω πίνακα παραέτουµε τα διαστήµατα µε το πρόσηµο της παραγώγου και την συµπεριφορά της συνάρτησης ως αύξουσας ή φίνουσας και τις τιµές της f: - 0 + Πρόσηµο f - 0 + 0-0 + Μονοτονία της f Τιµές f + 5/ + εδοµένης της µονοτονίας της f τα τοπικά ακρότατα αντιστοιχούν στις τιµές του = 0,,, µε το πρώτο και το τρίτο τοπικά ελάχιστα και το δεύτερο τοπικό µέγιστο Επειδή η f είναι συνεχής, η f λαµβάνει: για στο διάστηµα (-, 0] όλες τις τιµές του διαστήµατος [, +), για στο διάστηµα [0, ], όλες τις τιµές του διαστήµατος [, 5/], για στο διάστηµα [, ], όλες τις τιµές του διαστήµατος [, 5/] για στο διάστηµα [, +], όλες τις τιµές του διαστήµατος [, +) Αρα το σύνολο όλων των τιµών της f είναι το διάστηµα[, ) στ) ( 5 µονάδες) Βρείτε το ανάπτυγµα Taylor της συνάρτησης καώς η παρασταση e εκετικής συνάρτησης e = + + +,την!! 6! µεχρι ταξης : ( ) ( ) e = + + + =!!! f( ) =, στο = 0, µέχρι όρους τάξης στον µηδέν είναι µηδέν αντικαιστούµε στο ανάπτυγµα της και κάνουµε αναγωγή οµοίων όρων
( ) 8 + e = + + + +οροι ταξης µεγαλύτερης του!! 6 = + + + + οροι ταξης µεγαλύτερης του 6 = + + + οροι ταξης µεγαλύτερης του 8 ζ) ( 5 µονάδες) Υπολογίστε το ολοκλήρωµα d (Υπόδειξη: Χρησιµοποιήστε την ανάλυση σε επί µέρους κλάσµατα) A ( ) + B Κάνοντας τις πράξεις µε τα κλάσµατα βρίσκουµε: =, οπότε Α+Β = ( ) και Α= Άρα Α = ¾ και Β= ¼ Το ολοκλήρωµα λοιπόν δίνει: d = d d + = l + l + C η) ( 5 µονάδες) Υπολογίστε το ολοκλήρωµα si( d ) (Χρησιµοποιήστε παραγοντική ολοκλήρωση) Θέτουµε I = si( ) d Με παραγοντική ολοκλήρωση έχουµε: (cos( ))' = Με παραγοντική ολοκλήρωση έχουµε I = si( ) d = d = cos( ) + cos( ) d = cos( ) + I όπου I cos( ) d (si( ))' si( ) si( ) si( ) cos( ) I = cos( ) d = d = d C = + + Αρα si( ) cos( ) si( d ) = cos( ) + + + C Θέµα ( 0 µονάδες) ίνεται η απεικόνιση: f R R y z y z y z y z : : (,, ) ( +, +, + ) Αποδείξτε ότι είναι γραµµική και βρείτε τον πίνακά της ως προς την κανονική βάση του πεδίου ορισµού και του πεδίου τιµών της Βρείτε µια βάση και τη διάσταση του πυρήνα Kerf και της εικόνας Imf της f Λυση ) Σύµφωνα µε τον ορισµό αρκεί να δείξουµε ότι για κάε λ, µ και (,, ) (,, ) y z, y z έχουµε: f λ y z µ y z λ f y z µ f y z ( (,, ) + (,, )) = ( (,, )) + ( (,, )) Οντως f λ y z µ y z f λ µ λ y µ y λ z µ z ( (,, ) + (,, )) = ( ( +, +, + )) (πράξεις στον R )
= (( λ + µ ) + ( λ y + µ y ) ( λ z + µ z ), ( λ y + µ y ) + ( λ z + µ z ), ( λ + µ ) + ( λ y + µ y ) ( λ z + µ z )) (από τον ορισµό της f ) = ( λ [ + y z ] + µ [ + y z ], λ [ y + z ] + µ [ y + z ], λ [ + y z ] + µ [ + y z ]) λ( + y z, y + z, + y z) + = + µ ( + y z, y + z, + y z ) (πράξεις στον (πράξεις στις συνιστώσες) R ) = λ f y z µ f y z ((,, )) + ((,, )) (από τον ορισµό της f ) Το πεδίο ορισµού ( R ) και το πεδίο τιµών της (επίσης R ) έχουν την ίδια κανονική βάση Β = {e, e, e } όπου e = (,0,0), e = (0,,0), e = (0,0,) Υπολογίζουµε: f ( e) = f(,0,0) = (,0,) = e + e Παρόµοια f ( e) = (,,) = e + e + e, f( e) = (,, ) = e + e e Αρα [ f( e )] = 0, B [ f( e )] = B και [ f( e )] =, B οπότε ο πίνακας της f ως προς τις κανονικές βάσεις είναι ο Α= 0 β) Για να βρούµε µία βάση του πυρήνα Kerf και µία βάση της εικόνας Imf αρκεί να µετασχηµατίσουµε τον Α σε κλιµακωτή µορφή χρησιµοποιώντας πράξεις στις γραµµές: 0 Α 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Ετσι αφού ο πυρήνας της f είναι Kerf = {(, y, z) / f (, y, z) = 0 } αρκεί να λύσουµε το γραµµικό οµογενές σύστηµα AX = 0 Από την παραπάνω κλιµακωτή µορφή του Α έχουµε ότι όλες οι λύσεις δίνονται από a y = a = a, z a Συνεπώς µία βάση του Kerf είναι {(,-,)} Για την εικόνα Imf: από την κλιµακωτή µορφή του πίνακα Α έχουµε ότι οι δύο πρώτες στήλες του πίνακα Α είναι γραµµικά ανεξάρτητες και η τρίτη είναι γραµµικός συνδυασµός των δύο πρώτων στηλών ( τρίτη = (-) πρώτη + δεύτερη) Ετσι µία βάση της Imf δίνεται από το σύνολο {f(e ), f(e )} δηλαδή {(,0,), (,, )} Σηµείωση: Μία εναλλακτική απάντηση για βάση της εικόνας είναι η εξής: καώς ο πίνακας της απεικόνισης έχει µικρή διάσταση και έχουµε υπολογίσει την διάσταση του πυρήνα, έχοντας υπ
όψιν ότι dim Imf = dim R - dim Kerf =-= και ελέγχοντας ότι τα δύο διανύσµατα f(e ), f(e ) δεν είναι παράλληλα µεταξύ τους έχουµε ότι µία βάση είναι το σύνολο {f(e ), f(e )} Θέµα (0 µονάδες) (α) Να εξεταστούν ως προς τη σύγκλιση οι σειρές: (i) cos( π a), a (ii) = cos( π a) (i) = (iii) = + = + cos( π a) Επειδή και η γεωµετρική σειρά συγκλίνει απολύτως άρα και απλά (ii) = + συγκλίνει, έπεται ότι η δοείσα σειρά = Επειδή + + = =, έχουµε ότι + Όµως η σειρά = και η τελευταία σειρά δεν συγκλίνει (µη µηδενικό πολλαπλάσιο = = αρµονικής σειράς), οπότε από την προηγούµενη ανισότητα έχουµε ότι η σειρά συγκλίνει δεν = + (iii) = + Επειδή = και η σειρά = συγκλίνει ( πολλαπλάσιο p-σειράς + = = p>) έχουµε ότι και η αρχική σειρά συγκλίνει (β) Για ποιες τιµές του συγκλίνουν οι σειρές ( + ), = ; = ( + ) + Επειδή = = = + + συγκλίνει αν και µόνο άν < Η διπλή αυτή ανισότητα ισοδυναµεί µε < < δηλαδή < + < δηλαδή < < 0 Αρα < 0 και - > δηλαδή < -/ έχουµε από τις γνώσεις µας για τις γεωµετρικές σειρές ότι η σειρά Για την δυναµοσειρά = βρίσκουµε την ακτίνα σύγκλισης χρησιµοποιώντας το κριτήριο 5
λόγου: Επειδή + + ( + ) + =, έχουµε ότι η σειρά συγκλίνει για <δηλαδή για -/< </ και αποκλίνει για > Για την σύγκλιση στα άκρα αντικαιστούµε τις συγκεκριµένες τιµές: για =/ η σειρά γίνεται = = = που προφανώς δεν συγκλίνει καώς ο γενικός όρος δεν συγκλίνει στο µηδέν Παρόµοια για =-/ Αρα η σειρά συγκλινει µόνο για τις τιµές -/< </ Θέµα (0 µονάδες) (α) Βρείτε τα κ, λ ώστε η συνάρτηση si 0 f( ) = κ = 0 + λ e > 0 να είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο = 0 (Υπόδειξη: Χρησιµοποιείστε τα αναπτύγµατα Taylor των συναρτήσεων si, e στο = 0) Λύση α: Ο πιο εύκολος τρόπος λύσης είναι να ακολουήσουµε την υπόδειξη και να γράψουµε χρησιµοποιώντας τα αναπτύγµατα Taylor: 5 + si!! 5! = = ( + )!! 5! + λ e = + λ ( + + + ) = + ( λ )!! οπότε από την συνέχεια στο = 0 βρίσκουµε αµέσως κ = ½ Παραγωγίζοντας κατόπιν τις ως άνω παραστάσεις βρίσκουµε ότι στο = 0 η πρώτη παράγωγός είναι 0 από αριστερά (ο συντελεστής του είναι µηδέν, ενώ ισούται προς λ-/ από δεξιά Αρα για να είναι παραγωγίσιµη στο = 0 πρέπει και αρκεί λ=/ (β) Να βρεούν οι διαστάσεις ορογωνίου παραλληλογράµµου µε διαγώνιο µήκους το οποίο έχει το µεγαλύτερο δυνατό εµβαδόν Λύση β) Ονοµάζουµε τις πλευρές του παραλληλογράµµου και y Αφού η διαγώνιός του είναι ισχύει: + y = άρα y = µε 0 Το εµβαδόν του είναι εποµένως η ετική συνάρτηση E ( ) = y=, 0 Για να βρούµε τη µέγιστη τιµή της στο διάστηµα ( )( + ) 0, υπολογίζουµε την παράγωγο E ( ) = = = η οποία µηδενίζεται στο διάστηµα 0 για = Λόγω και του προσήµου της παραγώγου αριστερά και δεξια από το =, η συνάρτηση E( ) παίρνει την µέγιστη τιµή στο διάστηµα 0, για = Άρα το ζητούµενο ορογώνιο παραλληλόγραµµο είναι τετράγωνο πλευράς / 6
Θέµα 5 (0 µονάδες) (α) Να βρεεί το εµβαδόν της περιοχής που ευρίσκεται πάνω από την παραβολή y = και κάτω από τον κύκλο + y = 8 (Yπόδειξη: Ίσως χρειαστεί σε ένα ολοκλήρωµα η αντικατάσταση = 8si ) Πρώτα βρίσκουµε πού τέµνονται οι δύο καµπύλες στο y > 0 ηµιεπίπεδο: Απαλείφοντας το από τις εξισώσεις τους έχουµε: y+ y = 8 ( y )( y+ ) = 0 y =, αφού αρνητικές τιµές του y δεν γίνονται δεκτές Άρα τα σηµεία τοµής των καµπυλών είναι (, y)=( ±, ) Το ολοκλήρωµα που δίνει το ζητούµενο εµβαδόν είναι: E = ( 8 ) d= 8 8si 8cosd = 6 8 8 8 = 8 cos d = ( cos ) d ( ) (si si ) + = + όπου αντικαταστήσαµε στο πρώτο ολοκλήρωµα το µε = 8si και εποµένως: si = / 8 = /, cos = /, si = / 8 = cos = /, δηλαδή = -π/ και = π/ Άρα το ως άνω ολοκλήρωµα δίνει: E = π + 8/= π + / l (β) Υπολογίστε το ολοκλήρωµα: d χρησιµοποιώντας παραγοντική ολοκλήρωση και d την αντικατάσταση u = Θα σας χρειαστεί επίσης ο τύπος ta u = du u + ) Ακολουώντας τις υποδείξεις βρίσκουµε: l u du (u + ) du I = d= l d= l = l u + u + όπου κάναµε την αντικατάσταση u = Κάνοντας τις πράξεις στο τελευταίο ολοκλήρωµα βρίσκουµε τελικά: ( ) I l ta = + ( ) + C = l + ta ( ) + C ------------------------------------ 7