6 Magnetické pole Podivné chovanie niektorých látok si ľudia všimli už v staroveku Podľa niektorých prameňov sa orientácia magnetky na navigáciu využívala v Číne už pred 3000 rokmi a prvé dokumentované pozorovania zvláštneho chovania niektorých nerastov (oxidov železa FeO a Fe 2 O 3 ) pochádzajú od Thalesa z Milétu (600 rokov pred naším letopočtom) a Aristotela Nepozorovalo sa žiadne prepojenie medzi elektrickými javmi a prejavmi magnetizmu, čo viedlo k ich oddelenému skúmaniu a aj hľadaniu ich príčin Prvý, kto objavil vzájomný súvis medzi elektrickými javmi a magnetizmom, bol dánsky fyzik Hans Christian Oersted (1777-1851) V roku 1820 náhodne pozoroval, že v okolí vodiča pretekaného elektrickým prúdom dochádza k pohybu magnetky Objavil, že elektrický prúd spôsobuje vznik magnetického poľa Zanedlho po Oerstedovi Ampér pozoroval silové pôsobenie medzi vodičmi, ktorými preteká elektrický prúd Ďalší objav, ktorý viedol k poznaniu súvislostí medzi elektrickými a magnetickými prejavmi hmoty, bol v roku 1831 Faradayov objav zákona elektromagnetickej indukcie (Michael Faraday 1791-1867) Faraday dokázal, že ak sa mení magnetické pole (presnejšie magnetický tok), tak vzniká pole elektrické Teóriu elektromagnetizmu zavŕšil svojou sústavou rovníc popisujúcich elektrické a magnetické javy J C Maxwell v roku 1864 (James Clerk Maxwell 1831-1879) Od Maxwellovho formulovania teórie elektrických a magnetických javov už hovoríme o elektromagnetizme, lebo tieto javy sú vo svojej podstate neoddeliteľné Vždy, ak sa mení pole elektrické vzniká pole magnetické, ak sa mení pole magnetické vzniká pole elektrické Len vtedy, keď študujeme stacionárne polia, môžeme ich popisovať oddelene o stacionárnym magnetickým poľom sa budeme zaoberať v nasledujúcich kapitolách Magnetické javy sú buď dôsledkom pohybu elektrických nábojov, alebo sú prejavom magnetických momentov elementárnych častíc Elementárne častice, ktoré majú nenulový vlastný moment hybnosti - spin, majú aj vlastný magnetický moment Vytvárajú vo svojom okolí magnetické pole a chovajú sa v ňom ako elementárne prúdové závity 61 Magnetická indukcia Magnetické pole sa prejavuje silovým pôsobením na pohybujúce sa elektrické náboje, alebo elektrické prúdy Analogicky ako sme pomocou sily na elektrický náboj zaviedli intenzitu elektrického poľa, zavedieme veličinu charakterizujúcu magnetické pole - vektor magnetickej indukcie Z pozorovaní vyplýva, že sila na pohybujúci sa elektrický náboj závisí od náboja, vektora rýchlosti, veľkosti a orientácie magnetického poľa Ak magnetické pole charakterizujeme vektorovou veličinou, ktorú nazveme magnetická indukcia, potom pre silu na pohybujúci sa elektrický náboj platí F = Q ( v ) (61) a túto silu nazývame magnetická sila Ako vyplýva z definície vektorového súčinu, magnetická sila je vždy kolmá na vektor rýchlosti a vektor magnetickej indukcie Pri určení smeru sily nesmieme zabudnúť na polaritu náboja! Magnetická sila nemôže meniť veľkosť rýchlosti častice, iba jej smer Nemá totiž nenulovú zložku v smere rýchlosti Z rovnice (61) vyplýva rozmer magnetickej indukcie a jej jednotka: 85
F N Q v Cms 1 1 = = = NA m = 1 1 tesla = 1 T taršou jednotkou nepatriacou do sústavy bol 1 gauss = 10 4 T Ak sa elektrický náboj pohybuje v elektrickom aj magnetickom poli, potom celková sila pôsobiaca na elektrický náboj je F = Q( E+ v ), (62) kde E je intenzita elektrického poľa Výsledná sila pôsobiaca na elektrický náboj pohybujúci sa v elektrickom a magnetickom poli má názov Lorentzova sila Magnetickú indukciu zobrazujeme pomocou magnetických indukčných čiar Magnetické indukčné čiary sú orientované krivky, ktorých dotyčnica v každom bode má smer vektora magnetickej indukcie Základnou charakteristikou magnetických indukčných čiar je, že sú to vždy uzavreté krivky V elektrickom poli siločiary vychádzali, resp vchádzali do náboja, pretože máme elektrické náboje Magnetické náboje, alebo tiež magnetické monopóly neexistujú, iba magnetické dipóly Nejestvovanie magnetických nábojov spôsobuje, že magnetické indukčné čiary sú uzavreté krivky Podobne, ako pri elektrických siločiarach, aj pri zobrazovaní magnetického poľa indukčné čiary kreslíme tak, že hustota magnetických indukčných čiar (tj počet indukčných čiar prechádzajúcich jednotkovou plochou kolmou na indukčné čiary) je úmerná veľkosti vektora magnetickej indukcie 611 Pohyb nabitej častice v magnetickom poli Pozrime sa bližšie na pohyb nabitej častice v magnetickom poli Nech nabitá častica hmotnosti m vletí do magnetického poľa indukcie tak, že vektor rýchlosti v je kolmý na vektor Nech elektrický náboj častice je kladný a vektor magnetickej indukcie smeruje von z nákresne, ako je znázornené na obr 61 Pre veľkosť sily a zakrivenie dráhy bude platiť 2 mv mv Fm = Fdostr Qv = R= R Q m, Q v v F m F m Obr 61 Zakrivenie trajektórie elektricky nabitej častice R Častica sa bude pohybovať po kružnici (resp podľa experimentálnych podmienok iba po časti kružnice) Veľkosť rýchlosti častice sa nezmení! Konštantná bude aj uhlová rýchlosť v Q 2π m ω = = a perióda T = Všimnite si, že uhlová rýchlosť aj doba obehu častice R R Q nezávisia na rýchlosti, ktorou častica vletela do magnetického poľa v 86
Ak častica nevletí do magnetického poľa kolmo na smer indukčných čiar, ale vektor rýchlosti bude zvierať s vektorom magnetickej indukcie uhol α, potom vektor rýchlosti musíme rozložiť na zložku kolmú na magnetické pole v = v sinα a zložku rovnobežnú so smerom vektora magnetickej indukcie v = v cosα Pohyb častice bude zložitejší a bude sa skladať z dvoch pohybov ude to pohyb po kružnici spôsobený zložkou v a priamočiary pohyb rýchlosťou v v smere vektora Výsledkom bude pohyb po špirále Magnetická sila sa prejavuje napríklad zakrivením stopy elementárnej častice v bublinových komorách, používaných pri analýze zrážok elementárnych častíc urýchlených v urýchľovačoch častíc na vysoké energie V chemickej analýze sa táto sila uplatňuje v hmotnostných spektrometroch óny molekúl sa podľa hmotností pohybujú po kružniciach rôznych polomerov, čo umožňuje ich analýzu 612 Ampérova sila Elektrický prúd vo vodiči predstavuje usmernený pohyb elektrických nábojov Na vodič pretekaný elektrickým prúdom umiestnený v magnetickom poli preto musí pôsobiť sila Uvažujme nekonečne krátky úsek vodiča dĺžky dl Charakterizujme tento úsek vektorom dl, ktorého smer nech je totožný so smerom elektrického prúdu (Prísne vzaté smer má iba vektor hustoty elektrického prúdu Ak teda použijeme spojenie smer elektrického prúdu, tak budeme mať na mysli práve smer vektora prúdovej hustoty Nech vodičom preteká elektrický prúd Na elementárny náboj dq = dt pohybujúci d sa rýchlosťou v = na úseku vodiča dl potom bude v magnetickom poli indukcie dt pôsobiť sila d df = d Q( v ) = d t( ) = (d ) (63) dt Výslednú silu, pôsobiacu na vodič pretekaný elektrickým prúdom v magnetickom poli s magnetickou indukciou, dostaneme integráciou elementárnych síl df po celej časti vodiča nachádzajúcej sa v magnetickom poli F = (d ) (64) vodič vmagpoli Vektor dl je orientovaný v smere vektora hustoty elektrického prúdu J V ďalšom texte ak použijeme termín smer elektrického prúdu, bude to znamenať práve smer J V prípade, že vodič je priamy, má dĺžku l a smer elektrického prúdu zviera s vektorom uhol j platí: F =, (65) df F Obr 62 merovanie magnetickej sily v prípade priameho vodiča dl kde vektor l je orientovaný v smere elektrického prúdu Veľkosť sily bude F = l sinj mer vektora sily pre prípad priameho vodiča je zobrazený na obr 62 Jednoduchou pomôckou na určenie smeru pôsobiacej sily je pravidlo ľavej ruky Ak položíme otvorenú ľavú ruku na vodič tak, že indukčné čiary budú vstupovať do dlane a vystreté 87
prsty ukazujú smer elektrického prúdu, potom palec ukazuje smer pôsobiacej sily ilové pôsobenie medzi vodičmi prvý popísal André-Marie Ampère, a vzťah (64) pre silu pôsobiacu na vodič pretekaný elektrickým prúdom nachádzajúci sa v magnetickom poli, sa tiež nazýva Ampérov silový zákon 613 Prúdový závit v magnetickom poli Majme závit, pre jednoduchosť obdĺžnikového tvaru, ktorým preteká elektrický prúd a závit sa nachádza v magnetickom poli s magnetickou indukciou Ak je závit orientovaný tak, že vektor magnetickej indukcie je kolmý na rovinu závitu, potom ako je zrejmé z obr 63 Ampérova sila bude mať iba deformačné účinky ude mať tendenciu závit roztiahnuť Ak je pevný, a taký budeme predpokladať, Ampérova sila sa na závite neprejaví Zaujímavejší je prípad, keď vektor zviera s kolmicou na rovinu závitu uhol α 0, π F Podľa obr 64 dve sily F 1 a F 2 (smerom hore a dole v rovine nákresne) budú mať znovu iba deformačné účinky Zaujímavé chovanie takéhoto závitu však spôsobia dve sily F 3 a F 4 kolmé na nákresňu Tvoria dvojicu síl a pôsobia otáčavým momentom na závit Obr 63 Prúdový závit v magnetickom poli ch veľkosti sú F 3 = F 4 = b, ich kolmá vzdialenosť je d= a sinα a veľkosť otáčavého momentu dvojice síl je M = d F= absinα Definujme magnetický moment závitu vzťahom m= ab n0 =, (66) kde vektor n 0 a vektor sú vektory kolmé na rovinu závitu a orientované v pravotočivom zmysle vzhľadom na smer elektrického prúdu Vektor n 0 smeruje na tú stranu, z ktorej sa smer elektrického prúdu v závite javí proti smeru hodinových ručičiek Jednoduchou pomôckou na určenie smeru vektora n 0 je pravidlo pravej ruky Ak zahnuté prsty pravej ruky majú smer elektrického prúdu, potom smer palca ukazuje orientáciu vektora Moment sily pôsobiacej na prúdový závit nachádzajúci sa v magnetickom poli môžeme využitím magnetického momentu m vyjadriť jednoduchým vzťahom M = m (67) F 4 b a F 1 n o F 2 F 3 88 F 4 α a sinα a α (a) Pohľad z boku (b) Pohľad z hora Obr 64 Rôzne pohľady na prúdový závit v magnetickom poli Analogicky ako sme definovali potenciálnu energiu elektrického dipólu v homogénnom elektrickom poli, môžeme definovať potenciálnu energiu pre prúdový závit, n o F 3 M
teda magnetický dipól, nachádzajúci sa v magnetickom poli Ako vzťažnú polohu, tj orientáciu, ktorej potenciálna energia bude rovná nule, zvolíme polohu, v ktorej vektor magnetickej indukcie leží v rovine závitu a uhol medzi magnetickým momentom m a magnetickou indukciou je α =π/2 Potenciálnu energiu určíme podľa definície potenciálnej energie ako prácu, ktorú vykoná magnetická otáčavá sila pri otočení závitu z určitej orientácie danej uhlom ϕ do vzťažnej polohy Zohľadniť pritom musíme smer vektora momentu sily a vektora elementárneho otočenia Pre potenciálnu energiu prúdového závitu v magnetickom poli dostávame π /2 π /2 π /2 M α ( ) [ ] Ep = d = msinα cosπ dα = msinαdα = mcosα = mcosϕ = m ϕ ϕ ϕ (68) Otáčavý účinok magnetického poľa má mimoriadny praktický význam Na princípe otáčania prúdového závitu v magnetickom poli sú konštruované elektromotory aj niektoré meracie prístroje Orientácia elementárnych magnetických momentov v materiáloch ovplyvňuje magnetické vlastnosti látok Z pohľadu chemickej analýzy je orientácia magnetických momentov atómových jadier, alebo nespárených elektrónov v radikáloch fyzikálny jav, na ktorom sú založené dve mimoriadne dôležité spektrálne metódy a to jadrová magnetická rezonancia (NMR) a elektrónová paramagnetická rezonancia (EPR) Jadrová magnetická rezonancia využíva na chemickú analýzu zmeny magnetického poľa Magnetické pole, v ktorom sa nachádza napríklad jadro vodíka, alebo aj jadrá iných atómov s nenulovým magnetickým momentom, je súčtom "molekulového" magnetického poľa a vonkajšieho magnetického poľa Lokálne pole preto závisí od "chemického" okolia v molekule Zmena potenciálnej energie pri zmene orientácie jadier bude v každom rôznom "chemickom" okolí iná Energetické prechody sa dajú merať a sú podkladom pre analýzu štruktúry molekúl Uvedený výklad je samozrejme fyzikálne veľmi zjednodušený, ale princíp metódy vystihuje 62 Magnetické pole vodiča pretekaného elektrickým prúdom Už v úvode sme spomenuli, že Oersted pozoroval orientáciu magnetky v okolí vodiča pretekaného elektrickým prúdom pohybom elektrického náboja je vždy spojený vznik magnetického poľa, preto v okolí každého vodiča pretekaného elektrickým prúdom vzniká magnetické pole Výpočet magnetického poľa umožňuje zákon, ktorý je zovšeobecnením experimentálnych pozorovaní Jeana aptista iota (1774-1862) a Felixa avarta (1791-1841) Tento zákon vyjadruje aký je príspevok nekonečne malého úseku tenkého vodiča k magnetickej indukcii v určitom bode v okolí vodiča Polohu bodu vzhľadom k vybranému elementu vodiča určuje polohový vektor r, element vodiča charakterizuje vektor dl, ktorý je orientovaný v smere elektrického prúdu Orientácie vektorov sú zobrazené na obr65 iotov-avartov zákon má tvar μ 0 d r dl d = (69) r d Obr 65 Magnetické pole v okolí vodiča pretekaného elektrickým prúdom 3 4π r Matematicky tento zákon formuloval Pierre imon de Laplace (1749-1827) a niekedy sa tiež nazýva iotov-avartov- Laplaceov zákon Zaviedli sme novú konštantu μ 0, ktorá sa nazýva permeabilita vákua (tiež magnetická konštanta) Má presnú hodnotu a veľkosť tejto konštanty v sústave súvisí s definíciou ampéru a 89 π /2 ϕ
určitými racionálnymi dôvodmi Veľkosť permeability vákua je Rozmer tejto konštanty je 2 2 μ 0 [kg ms A ] μ 0 4 π10 7 = = Permeabilitu vákua môžeme vyjadriť aj pomocou jednotky indukčnosti 1 henry, potom jej rozmer je H m 1 permitivitou vákua a permeabilitou vákua súvisí rýchlosť svetla vo vákuu a to vzťahom 1 c = (610) ε μ 0 0 iotov-avartov zákon je zákon v diferenciálnom tvare Magnetickú indukciu v okolí určitého vodiča dostaneme integráciou elementárnych príspevkov d cez celý vodič μ 0 d r = d= (611) 3 4π r vodič vodič 621 Príklady magnetických polí vodičov pretekaných elektrickým prúdom iotov-avartov zákon umožňuje určiť magnetickú indukciu v okolí vodičov ľubovoľného tvaru (výnimkou sú elektrické obvody s kondenzátormi) Podstatné je, že pri výpočte magnetickej indukcie musíme vedieť integrovať elementárne príspevky k magnetickej indukcii od všetkých častí vodiča: = d Pri integrácii musíme zohľadniť vektorový charakter magnetickej indukcie Ukážeme si ako určiť magnetickú indukciu na dvoch príkladoch, a to pre nekonečný priamy vodič a v strede kruhového závitu celý vodič 6211 Magnetické pole priameho vodiča Majme priamy vodič zanedbateľného prierezu konečnej dĺžky a hľadáme magnetickú indukciu v bode P, ako je znázornené na obr 66a, 66b ϕ 2 r 2 a d A a P dϕ r ϕ 1 r 1 ϕ dl ϕ ds Obr 66a Určenie integračných hraníc - Obr 66b Magnetické pole priameho vodiča mer príspevku d k celkovej magnetickej indukcii od každého elementu vodiča d bude kolmý na rovinu nákresne a bude smerovať do nákresne To nám veľmi zjednodušuje problém, pretože celková indukcia bude smerovať tiež do nákresne tačí nám integrovať iba 90
veľkosti d a určiť tak veľkosť Podľa iotovho-avartovho zákona sa veľkosť elementárneho príspevku d rovná μ0 d sinϕ d = (612) 4π 2 r Takýto výraz pre d je však na integráciu nevhodný, pretože pre rôzne úseky vodiča sa mení element dĺžky vodiča dl, uhol ϕ a vzdialenosť r Pre ďalší výpočet musíme všetky tieto veličiny vyjadriť pomocou jednej premennej Vhodnou premennou je uhol medzi vektorom r a vodičom (obr 66b) Z elementárnej trigonometrie platí ds = d sinϕ a ak ds vyjadríme pomocou elementárneho uhla dϕ, tak súčasne platí ds= r dϕ Z týchto dvoch vzťahov potom vyplýva r dϕ d = (613) sinϕ a Pre vzdialenosť r platí r = a po dosadení do (612) postupne dostávame sinϕ r dϕ sin ϕ μ0 sinϕ μ0dϕ μ0 dϕ μ0 d = = = = sinϕ dϕ (614) 2 4π r 4π r 4π a 4πa sinϕ Na určenie magnetickej indukcie potrebujeme ešte poznať integračné hranice pre uhol ϕ V prípade vodiča konečnej dĺžky sú integračné hranice zrejmé z obr 66a, pre magnetickú indukciu dostávame ϕ2 μ0 μ0 ϕ2 μ0 = sin d [ cos ] ( cos 1 cos 2) 1 4πa ϕ ϕ = ϕ = ϕ ϕ (615) ϕ 4πa 4πa ϕ1 V prípade nekonečného priameho vodiča budú hraničné uhly ϕ 1 = 0aϕ 2 = π Pre veľkosť magnetickej indukcie vo vzdialenosti a od nekonečného priameho vodiča dostávame μ0 = (616) 2πa Veľkosť magnetickej indukcie klesá lineárne so vzdialenosťou od vodiča ndukčné čiary budú sústredné kružnice so stredom na vodiči a znázornené sú na obr 67 Obr 67 ndukčné čiary v okolí nekonečného priameho vodiča V našich úvahách sme pokladali vodič za dostatočne tenký a jeho prierez sme nebrali do úvahy Vzťah (616) však platí aj pre vodič s nenulovým prierezom, ak vzdialenosť a R Vo vnútri vodiča pretekaného elektrickým prúdom v prípade, že a< R je tiež magnetické pole Určené je však iba elektrickým prúdom, pretekajúcim prierezom vodiča ohraničeným 91
polomerom a Vo vnútri dutého vodiča pretekaného elektrickým prúdom nie je magnetické pole Praktická poznámka: Na určenie smeru indukčných čiar sa často používa pravidlo pravej ruky Ak uchopíme pravou rukou vodič tak, že palec ukazuje smer elektrického prúdu, potom prsty obopínajúce vodič majú smer indukčných čiar 6212 Magnetická indukcia v strede kruhového závitu Majme kruhový závit polomeru R, ktorým tečie prúd Podľa obr 68 príspevok k magnetickej indukcii od každého elementu dĺžky závitu bude smerovať do nákresne, sprievodič r od elementu vodiča do miesta, v ktorom určujeme magnetickú indukciu, tj do stredu závitu, bude kolmý na element dĺžky závitu ntegrácia iotovho-avartovho zákona je veľmi jednoduchá Pre veľkosť elementárneho príspevku k magnetickej indukcii platí d r dl μ0 d d = (617) 2 4π R a veľkosť magnetickej indukcie v strede závitu 2πR μ0 μ0 = d 2 4πR = (618) 2R 0 R Obr 68 Magnetické pole v strede závitu 622 ila medzi dvomi rovnobežnými vodičmi, definícia ampéru Majme dva rovnobežné vodiče, ktorými pretekajú elektrické prúdy 1 a 2 a kolmá vzdialenosť vodičov nech je d Vodiče nech majú zanedbateľný prierez a medzi vodičmi nech je vákuum Vodiče budú na seba pôsobiť silou Z toho, čo sme si dosiaľ uviedli o magnetickom poli, vieme túto silu medzi vodičmi jednoducho vysvetliť Na jeden z vodičov sa môžeme pozerať ako na vodič, ktorý vytvára magnetické pole a na druhý ako na vodič, nachádzajúci sa v magnetickom poli amozrejme platí to tiež naopak (obr 69) ila medzi vodičmi bude príťažlivá alebo odpudivá, a to podľa orientácie elektrických prúdov Ak majú elektrické prúdy 1 a 2 rovnaký smer sila je príťažlivá, ak majú elektrické prúdy 1 a 2 opačný smer sila je odpudivá Na čitateľa ponechávame, aby sa o tom sám presvedčil udeme sa teraz zaoberať veľkosťou tejto sily Vodič 1 vytvára magnetické pole a magnetická indukcia v každom mieste vodiča 2 μ01 podľa (616) má veľkosť 1 = Magnetická indukcia od magnetického poľa vodiča 1 je v 2π d každom mieste vodiča 2 na tento vodič kolmá Vodičom 2 preteká elektrický prúd 2 a podľa (65) sila pôsobiaca na úsek vodiča dĺžky sa rovná 92
μ 2π d 0 1 21 = 2 1 = 2 (619) F 1 2 1 F 21 F 12 F 21 F 12 1 1 1 1 2 2 2 2 d d (a) Elektrické prúdy majú rovnaký smer (b) Elektrické prúdy majú opačný smer Obr 69 Rozloženie magnetických polí a orientácia síl medzi dvoma vodičmi ila pôsobiaca medzi dvomi priamymi vodičmi zanedbateľného prierezu vo vákuu je základom pre definíciu jednotky elektrického prúdu v sústave 1 ampér je elektrický prúd, ktorý ak preteká v dvoch paralelných vodičoch zanedbateľného kruhového prierezu a umiestnených vo vákuu vo vzdialenosti 1m, vyvolá medzi vodičmi silu 2 10 7 N na 1 meter dĺžky 2 63 Ampérov zákon V elektrostatickom poli nám Gaussov zákon umožnil určiť intenzitu elektrického poľa v úlohách, ktoré sa vyznačovali vhodnou symetriou Gaussov zákon okrem tejto praktickej použiteľnosti mal aj hlboký fyzikálny význam pre pochopenie vlastností elektrostatického poľa Analogické postavenie má Ampérov zákon (tiež nazývaný zákon celkového prúdu) v magnetizme Ampérov zákon tvrdí: Cirkulácia vektora magnetickej indukcie po uzatvorenej krivke sa rovná celkovému elektrickému prúdu pretekajúcemu plochou, preloženou integračnou krivkou, vynásobenému permeabilitou vákua d = μ 0 (620) celk Krúžok na označení integrálu znamená, že integrácia sa koná po uzatvorenej krivke Element d má smer dotyčnice ku krivke a je orientovaný v smere obiehania krivky Takýto integrál sa volá cirkulácia vektora Vypočítať tento integrál vyžaduje poznať v každom bode integračnej krivky skalárny súčin vektora a elementu krivky d ntegrál potom znamená súčet všetkých takýchto súčinov Pod celkovým elektrickým prúdom celk rozumieme algebraický súčet elektrických prúdov prechádzajúcich ľubovoľnou plochou, preloženou integračnou krivkou (Plocha môže mať ľubovoľný tvar, len musí končiť na integračnej 93
krivke Podobne, ako na obruči končí sieťka na chytanie motýľov) Pre znamienko elektrických prúdov platí znamienková dohoda: elektrický prúd počítame kladne, ak elektrický prúd smeruje na tú stranu plochy, na ktorú smeruje zdvihnutý palec pravej ruky, ak zahnuté prsty pravej ruky ukazujú smer integrácie krivky, tj smer d Opačne orientovaný elektrický prúd počítame záporne Ampérov zákon si dokážeme pre jednoduchý prípad integračnej krivky na obr 610 Na rovinu krivky nech je kolmý nekonečný priamy vodič, ktorým tečie elektrický prúd Vektor magnetickej indukcie má v každom bode krivky smer dotyčnice ku kružnici, ktorej stred je na vodiči Dosaďme podľa obr610 do definície cirkulácie vektora a výraz postupne upravujme Dostávame μ0 μ0 d = d cosα = d = rdϕ= dϕ= μ0 2πr 2π (621) Podľa obrázka 610 sme využili skutočnosť, že súčin d cosα = d je vlastne element kružnice, a tento môžeme vyjadriť pomocou polomeru kružnice a elementárneho stredového uhla d =r d ϕ Zostal nám iba integrál po uzatvorenej krivke od elementov stredového uhla a ten sa rovná 2π Dokázali sme pre zvolenú krivku a jeden vtekajúci elektrický prúd Ampérov zákon Ak by vtekalo do plochy krivky viacej elektrických prúdov, potom magnetická indukcia by bola súčtom magnetických indukcií od jednotlivých vodičov Ak by elektrický prúd v niektorom vodiči mal opačný smer, potom skalárny súčin d by bol rovný ( d cosα ) a pri odpovedajúcom elektrickom prúde by sme mali záporné znamienko Dôkaz Ampérovho zákona po tejto úvahe teraz môžeme zovšeobecniť a platí = n i= 1 i n d = d = μ = μ i 0 i 0 celk i= 1 i= 1 (algeb) n (622) Znamienka elektrických prúdov v poslednej sumácii sú podľa predchádzajúcej znamienkovej dohody krivka dĺžky l d r dl d l α Or 610 Platnosť Ampérovho zákona pre prípad jednoduchej integračnej krivky 94
631 Diferenciálny tvarampérovho zákona * Vo výraze (620) môžeme elektrický prúd vyjadriť pomocou hustoty elektrického prúdu = J d Podľa tokesovej vety vektorovej analýzy d = rot d (623) pojením týchto vzťahov dostávame rot d= μ J d (624) 0 V poslednej rovnici sa musia rovnať integrované funkcie a platí rot= μ 0 J (625) Posledná rovnica je diferenciálnym tvarom Ampérovho zákonavyjadruje dôležitú lokálnu vlastnosť vírovosť magnetického poľa Všade, kde tečú elektrické prúdy vytvára magnetické pole víry V takomto poli nie je možné definovať potenciál, ani potenciálnu energiu 632 Aplikácia Ampérovho zákona na určenie magnetickej indukcie Ampérov zákon môžeme výhodne použiť na určenie magnetickej indukcie v okolí vodičov pretekaných elektrickým prúdom Podobne, ako tomu bolo v elektrostatike, musíme v úlohe vedieť využiť určité prvky symetrie 6321 Magnetické pole priameho vodiča Ako prvú úlohu určíme magnetickú indukciu vo vzdialenosti a od nekonečného priameho vodiča zanedbateľného prierezu ktorým tečie elektrický prúd Na určenie cirkulácie vektora, vystupujúcej v Ampérovom zákone d = μ0, potrebujeme poznať smer vektora Pomôže nám iotov avartov Laplaceov zákon, μ 0 d r podľa ktorého d =, elementárny príspevok d od každého prúdového elementu 3 4π r vodiča bude na vodič aj sprievodič r kolmý, z čoho vyplýva, že indukčné čiary musia byť sústredné kružnice so stredom na vodiči Zo symetrie úlohy vyplýva, že veľkosť magnetickej indukcie musí byť v každom bode takejto kružnice rovnaká Vhodnou integračnou krivkou bude preto kružnica, ktorej rovina je kolmá na vodič, jej polomer je a, stred kružnice - integračnej krivky je v strede vodiča a smer integrácie si zvolíme v smere, ktorý pre magnetickú indukciu vyplýva z iotovho-avartovho zákona (obr 611) Potom d = d = d = 2π a=μ0 (626) a pre magnetickú indukciu dostávame μ0 = (627) 2π a Magnetické pole vytvorené dlhým (nekonečným) priamym vodičom bude mať nasledovné charakteristiky: ndukčné čiary sú sústredné kružnice so stredom v strede vodiča 95
Magnetická indukcia klesá lineárne so vzdialenosťou od vodiča, najväčšia je na povrchu vodiča dl a Obr 611 Aplikácia Ampérovho zákona pre priamy vodič Obr 612 Magnetické pole nekonečného priameho vodiča pravidlo pravej ruky Orientáciu indukčných čiar môžeme ľahko určiť pomocou pravidla pravej ruky Ak uchopíme pravou rukou vodič tak, že palec ukazuje smer prúdu, potom zahnuté prsty určujú orientáciu indukčných čiar (Obr 612) 6322 Magnetické pole solenoidu olenoidom nazývame dlhú jednovrstvovú valcovú cievku s hustým vinutím závitov V blízkom okolí povrchu závitu má magnetické pole podobný priebeh ako u priameho vodiča ndukčné čiary od susedných závitov majú opačnú orientáciu, takže sa magnetické pole na povrchu solenoidu zoslabuje (v ideálnom prípade až zanikne) V bodoch dostatočne vzdialených od okrajov solenoidu je magnetické pole homogénne a magnetická indukcia je u dostatočne dlhého solenoidu prakticky rovnobežná s osou solenoidu Priebeh indukčných čiar je zobrazený v reze solenoidu na obr 613 Na určenie magnetickej indukcie v solenoide použijeme Ampérov zákon, pričom na základe predchádzajúcich úvah o magnetickom poli za integračnú krivku zvolíme pravouhlú krivku zobrazenú na obr 613a) ntegrál po uzatvorenej krivke rozdelíme na integrály po jednotlivých úsekoch krivky Nech dĺžka úsekov ab a cd je h b a c d a) b) b) Obr 613 Aplikácia Ampérovho zákona na solenoid (a), indukčné čiary solenoidu (b) 96
b c d a d = d + d + d + d (628) a b c d Prvý integrál sa rovná h, druhý a štvrtý integrál sa rovnajú nule, lebo vektor magnetickej indukcie je kolmý na element integračnej krivky d, resp je nulový, a napokon tretí integrál sa rovná nule, lebo integračná krivka siaha dostatočne ďaleko a tam magnetická indukcia je nulová Zvolenú krivku pretína N závitov a podľa Ampérovho zákona potom h= μ0n = μ0n, (629) N kde n = je počet závitov na jednotku dĺžky solenoidu Vzťah (629) platí presne pre ideálny h solenoid (nekonečne dlhý) Na okrajoch konečného solenoidu magnetické pole nie je homogénne, zoslabuje sa a indukčné čiary sa rozbiehajú 6323 Magnetické pole toroidu Toroid je cievka, ktorej rovnaké závity sú navinuté na prstenci Toroid si môžeme jednoducho predstaviť ako solenoid, stočený do tvaru prstenca (obr 614) (a) (b) Obr 614 Aplikácia Ampérovho zákona pre toroid (a), indukčné čiary pre toroid (b) Magnetickú indukciu v toroide určíme využitím Ampérovho zákona Zložením magnetických polí jednotlivých závitov ( zatočením magnetického poľa solenoidu) dostaneme magnetické pole, ktorého indukčné čiary vo vnútri toroidu budú mať tvar kružníc so stredom v strede prstenca Vyberme si za integračnú krivku jednu z takýchto kružníc s polomerom rzo symetrie úlohy vyplýva, že magnetická indukcia musí byť všade na tejto kružnici rovnaká Z Ampérovho zákona aplikovaného na kružnicu polomeru r dostávame μ0 N 2π r= μ0 N =, (630) 2π r kde N je počet závitov toroidu Vidíme, že magnetická indukcia vo vnútri toroidu nebude konštantná a magnetické pole ani v ideálnom toroide nebude homogénne Na rozdiel od solenoidu konečnej dĺžky v toroide nemáme žiadne okrajové efekty 97
64 Magnetický tok Dôležitou veličinou na charakterizovanie magnetického poľa je magnetický tok tokom vektora sme sa už stretli v elektrostatike a v magnetizme ho zavádzame analogicky Elementárny magnetický tok je definovaný ako skalárny súčin vektora magnetickej indukcie a vektora elementu plochy dφ = d Magnetický tok určitou plochou je integrálom elementárneho magnetického toku cez túto plochu Φ = d (631) Jednotkou magnetického toku je 1weber = Wb = Tm 2 641 Nežriedlovosť magnetického poľa Základnou charakteristickou vlastnosťou magnetického poľa je, že magnetické indukčné čiary sú uzatvorené krivky Pre tok vektora magnetickej indukcie z toho vyplýva dôležitý vzťah, vyjadrujúci túto vlastnosť magnetického poľa d = 0 (632) Magnetický tok cez uzavretú plochu sa rovná nule Táto vlastnosť magnetického poľa sa dá matematicky bezprostredne dokázať pre magnetické pole vytvorené pohybom elektrického náboja Tvrdenie však platí pre každé magnetické pole Dôkaz však prekračuje rámec nášho úvodného kurzu V elektrostatickom poli sa tok vektora elektrickej indukcie rovnal celkovému elektrickému náboju vo vnútri danej plochy Elektrostatické pole malo pôvod v elektrických nábojoch Magnetické náboje na rozdiel od elektrických nábojov ako sme už uviedli neexistujú 642 Nežriedlovosť magnetického poľa v diferenciálnom tvare* Účinným matematickým nástrojom na charakterizovanie vlastností vektorových polí je vektorová analýza Podľa Gaussovej vety vektorovej analýzy d = div d τ, (633) ( τ) τ kde objemový integrál je integrál cez celý objem ohraničený integračnou plochou na ľavej strane rovnice Magnetický tok uzavretou plochou (632) sa rovná nule a využitím Gaussovej vety túto vlastnosť magnetického poľa môžeme vyjadriť v diferenciálnom tvare Pravá strana rovnice (633) platí pre všetky plochy, preto pre integrovanú funkciu podľa (632) musí platiť div dτ = 0 div = 0 (634) τ Posledná rovnica vyjadruje v diferenciálnom tvare základnú vlastnosť magnetického poľa a tou je, že neexistujú magnetické náboje Ak divergencia vektorovej funkcie je nulová, hovoríme, že v danom mieste nie sú "žriedla" Rovnica 634 platí v každom bode magnetického poľa a o magnetickom poli hovoríme, že je nežriedlové 98
65 ntenzita magnetického poľa Vektor intenzity magnetického poľa je ďalšou veličinou, ktorá bola zavedená na charakterizovanie magnetického poľa Zavedenie tejto veličiny súviselo s historickým vývojom poznávania magnetických javov Ak Ampérov zákon upravíme vydelením rovnice s m 0 dostávame d = celk (635) μ0 Je účelné definovať novú veličinu - vektor intenzity magnetického poľa 1 H = [ H ] = Am, (636) μ0 pre ktorého cirkuláciu platí H d = (637) celk Elektrický prúd celk je algebraický súčet všetkých elektrických prúdov prechádzajúcich plochou preloženou integračnou krivkou Pokiaľ vyšetrujeme magnetické pole vo vákuu medzi vektormi a H je len formálny rozdiel ntenzitu magnetického poľa dostaneme jednoduchým delením magnetickej indukcie s μ 0 Rozdiely medzi vektormi a H sa prejavia pri štúdiu magnetického poľa v látkovom prostredí magnetiku Magnetické vlastnosti prostredia charakterizuje relatívna permeabilita μ r Pre intenzitu magnetického poľa v magnetiku potom platí H = = (638) μrμ0 μ Podrobnejšie sa s Ampérovým zákonom v látkovom prostredí budeme zaoberať v časti 82 66 Maxwellov posuvný prúd Ampérov zákon vyjadrený vo vákuu rovnicou (620), v ktorom celk je celkový elektrický prúd elektrických nábojov, nie je v prípade nestacionárnych elektrických polí v súlade so zákonom zachovania elektrického náboja vyjadreným rovnicou kontinuity Celkový elektrický prúd v rovnici (620) môžeme vyjadriť pomocou vektora hustoty elektrického prúdu a rovnicu zapísať v tvare H d = J d, (639) kde integračná plocha na pravej strane rovnice (639) je síce plocha ľubovoľného tvaru, ale ohraničená integračnou krivkou na ľavej strane tejto rovnice Predstavme si obvod, v ktorom je zapojený kondenzátor Pri zapnutí zdroja sa bude nabíjať kondenzátor a obvodom bude pretekať elektrický prúd, ktorý vytvorí magnetické pole Ak integračnú plochu zvolíme tak, ako je naznačená na obr615a, je všetko v poriadku Cirkulácia vektora intenzity magnetického poľa je nenulová, v okolí vodiča je elektrickým prúdom vytvorené magnetické pole, lebo J d 0 Ak však integračnú plochu zvolíme tak, ako je na obr 615b, tak J d = 0 Cirkulácia vektora intenzity sa bude v tomto prípade rovnať nule a v okolí vodiča pretekaného elektrickým prúdom by nemalo byť magnetické pole! 99
(K) (K) R R Obr 165 a Obr 165 b Tvorca teórie elektromagnetizmu J C Maxwell si uvedomil vyššie uvedený rozpor a odstránil ho tak, že v priestore, kde sa mení intenzita elektrického poľa zaviedol elektrický prúd, ktorý nazval posuvný prúd Tento elektrický prúd nepredstavuje žiaden pohyb elektrického náboja, ale rovnako ako pohyb elektrického náboja, vytvára magnetické pole Vektor hustoty posuvného prúdu je definovaný vzťahom D Jp = t (640) Maxwell pridal k hustote elektrického prúdu od pohybujúcich sa elektrických nábojov hustotu posuvného prúdu Takto doplnený Ampérov zákon bude vyhovovať pre každú integračnú plochu ohraničenú integračnou krivkou pre cirkuláciu intenzity magnetického poľa Ako je uvedené v nasledovnej časti, splnená je aj rovnica kontinuity elektrického prúdu Ampérov zákon doplnený o Maxwellov posuvný prúd má tvar d = D d = d d celk p D H J + J + = + (641) t t Elektrický prúd celk je celkový elektrický prúd od elektrických nábojov a p je posuvný prúd ntegrácia v obidvoch členoch prebieha cez plochu preloženú integračnou krivkou krivkového integrálu na ľavej strane Z rovnice (641) vidíme, že na tvorbe magnetického poľa sa môžu podieľať pohybujúce sa elektrické náboje, ale aj elektrické pole Vo vákuu, kde elektrické náboje nie sú, bude príčinou magnetického poľa iba premenlivé elektrické pole 661 Dôkaz súladu Ampérovho zákona so zákonom zachovania elektrického náboja* Rovnica kontinuity je matematickým vyjadrením zákona zachovania elektrického náboja V diferenciálnom tvare má rovnica kontinuity tvar ρ div J + = 0 t Ampérov zákon je v diferenciálnom tvare vyjadrený rovnicou (625) rot = μ 0 J Ak urobíme divergenciu tejto rovnice, tak podľa matematickej identity (pozri dotatok) div rot a 0 a platí 100
div rot= μ0 div J = 0 div J = 0 ρ Podľa rovnice kontinuity však div J = Je tu teda spor a ten je možné odstrániť tak, že t k hustote elektrického prúdu na pravej strane rovnice (625) sa pripočíta veličina, ktorej divergencia bude vyhovovať rovnici kontinuity Z elektrostatiky poznáme takúto veličinu Vieme, že platí div D = ρ, kde ρ je objemová hustota voľného elektrického náboja Ak teda k hustote elektrického prúdu tvorenej pohybujúcimi sa elektrickými nábojmi pripočítame D hustotu posuvného prúdu J p =, dostávame t D ρ div rot= μ0div( J+Jp) = μ0div J+ μ0div( ) = 0 div J+ = 0 t t Ampérov zákon, v ktorom je hustota elektrického prúdu od elektrických nábojov doplnená hustotou Maxwellovho posuvného prúdu je teraz v súlade so zákonom zachovania elektrického náboja Po aplikácii divergencie vyplýva z neho rovnica kontinuity, ktorá je vlastne matematickým vyjadrením tohoto zákona 101