Verovatoća i Statistika II deo. Osovi Statistike Beleške Prof. Aleksadra Ivića 0.1 Osove statističke veličie Osovi zadatak matematičke statistike sastoji se u tome da se iz jedog dela eke geerale kolekcije (skupa) predmeta zaključi o ekom kvatitativom svojstvu cele kolekcije. Deo koji se ispituje zove se uzorak, a aš cilj ovde je da se upozamo sa ekim osovim uzoračkim statistikama. Neka je izvršeo posmatraja uzoraka pri čemu je 1 puta registrovaa vredost x 1, puta vredost x,..., k puta vredost x k, pri čemu je 1 + + + k =. Ozačimo sa x broj posmatraja slučaje veličie X u kojima je zabeležea vredost maja od x. Fukcija F (x) = x / je empirijska fukcija raspodele X, a povezaa je sa teorijskom fukcijom raspodele F (x) preko relacije P { sup F (x) F (x) 0, x (, ) } = 1, (1) koja predstavlja jeda od oblika cetrale graiče teoreme. Iz (1) sledi da se za veliko fukcija raspodele F (x) može dobro aproksimirati sa empirijskom fukcijom F (x), u čemu se i ogleda jeda od osovih pricipa statistike, a utvr - divaje oblika fukcije raspodele ispitivae slučaje promeljive X je jeda od osovih problema statistike. Primer 4.1. Naći empirijsku fukciju raspodele za sledeći uzorak: x i -1 3 8 i 10 15 5 Ovde je obim uzoraka = 1 + + 3 = 50, a kako je x i 1 to je F (x) = x / = 0 za x 1. Izme - du x = 1 i x < 3 je samo vredost x = 1, te je F (x)/ = 10/50 = 0, za 1 < x 3. Nastavljajući tako dobija se F (x) = 0 x 1, 0, 1 < x 3, 0, 5 3 < x 8, 1 x > 8. Ukoliko je moguće sazati da se radi o ekoj raspodeli kao što je bioma, ormala, Puasoova itd., oda se kao važa problem javlja ocea pojediih parametara kao pr. parametra 1
λ u Puasoovoj raspodeli ili parametara µ i σ u ormaloj raspodeli. Ako se uočee vredosti x 1, x,..., x iterpretiraju kao vredosti slučajih promeljivih X 1, X,..., X, tada ćemo smatrati da su te slučaje promeljive ezavise i da sve imaju istu raspodelu, tj. da se radi o prostom slučajom uzorku. Da bi smo oceili parametar θ koji se pojavljuju u fukciji raspodele posmatraćemo fukciju θ = f(x 1, X,..., X ), koja služi kao tačkasta statistička ocea epozatog parametra. Ovde fukcija f treba da bude podeso izabraa tako da zadovoljava eka svojstva, kao što su: a) cetriraost: E(θ ) = θ, b) efikasost: σ (θ ) = mi σ (θ ), gde je θ bilo koja druga ocea parametra θ, c) stabilost: P (sup θ θ 0, ) = 1, pri čemu je θ vredost slučaje promeljive θ koja je registrovaa u uzorku, a σ je varijasa, kao što je uvedeo u glavi o verovatoći, dok je E matematičko očekivaje. Ovde ćemo pomeuti eke osove uzoračke sredie i statistike. Opet pretpostavimo da ima k veličia x 1, x,..., x k koje se javljaju 1,,..., odoso k puta, pri čemu je x 1 < x < < x k. Aritmetička sredia x 1, x,..., x k je A = x = x 1 + x + + x k, () k dok je aritmetička sredia sa težiama (tzv. poderisaa sredia) A = x = 1x 1 + x + + k x k 1 + + + k. (3) Geometrijska težia x 1, x,..., x k (x 1, x,..., x k 0) je G = k x 1 x x k, (4) dok je geometrijska sredia sa težiama (poderisaa geometrijska sredia) G = ( x 1 1 x x k Najzad, harmoijska sredia x 1, x,..., x k je k ) 1 1 + + + k (5) k H = 1 + 1 + + 1, (6) x 1 x x k dok je harmoijska sredia sa težiama (poderisaa harmoijska sredia)
Za odgovarajuće sredie (sa ili bez težia) važi uvek H = 1 + + + k 1 + + +. (7) k x 1 x x k x 1 < H < G < A < x k, (8) što zači da je svaka sredia veća od ajmajeg, a maja od ajvećeg me - du brojevima x 1, x,..., x k. Prva i posledja ejedakost u (8) su očiglede, a ostale ejedakosti slede iz A G, pri čemu zak jedakosti važi samo ako su svi brojevi x i jedaki. Da se to vidi, primetimo da za f(x) = e x x 1 važi f (x) = e x 1, f (x) = e x 0 ( x), pa za x = 0 fukcija f(x) dostiže miimum f(0) = 0. Stoga je f(x) = e x x 1 f(0) = 0, e x 1 x ( x), smeom x sa x 1 u prvoj ejedakosti. Ako se stavi x = x i /A i izmože astale ejedakosti za i = 1,..., k, dobiće se k k (x x e i/a 1) i A. No zbog A = (x 1 + x k )/k leva straa je jedaka e (x 1+...+x k )/A k = e 0 = 1, pa sledi 1 (x 1 x k )/A k, tj. A (x 1 x k ) 1/k = G, što je i trebalo pokazati. Pored avedeih sredia koriste se i druge sredje vredosti. Medijaa (cetrala vredost) je oa sredja vredost promeljive X koja deli celokupu masu raspodela a dva jedaka dela, tj. zadovoljava jedačiu F (x) = 1/, gde je F (x) fukcija raspodele X. Medijaa se obeležava sa µ e i uvek postoji. Ako F (x) ima gustiu f(x), oda je µ e f(x) dx = µ e f(x) dx. (9) Sredje apsoluto odstupaje slučaje promeljive X od očekivae vredosti µ = EX je e m = E( X µ ). Ukoliko je X eprekida slučaja promeljiva sa gustiom f(x), oda je e m = x µ f(x) dx, (10) a u slučaju diskrete slučaje promeljive običo sredje apsoluto odstupaje je e m = 1 k ( x 1 x + x x + + x k x ), (11) 3
dok je sredje apsoluto odstupaje sa težiom e m = 1 x 1 x + x x + + k x k x 1 + + + k, (1) pri čemu je x odgovarajuća aritmetička sredia. Ako su X 1, X,..., X ezavise slučaje promeljive sa istom raspodelom, oda su osove statističke sledeće: a) uzoračka sredia X b) uzoračka disperzija S c) korigovaa disperzija S 0. Neke raspodele statistike X = X 1 + X + + X, (13) ( S X1 = X ) ( + X X ) ( + + X X ), (14) S = S 1. (15) U delu ovoga teksta o verovatoći upozali smo se sa ekim od osovih raspodela slučajih promeljivih. Sem tih, postoji još i odre - de broj raspodela koje su od izuzetog začaja u statistici, te ćemo ovde dati pregled ekih od jih. 1. Log ormala raspodela. Fukcija gustie je 1 (l x b) ax π e a x > 0 (a > 0), f(x) = 0 x 0. (16) Da se pokaže da je ovo doista gustia primetimo da je, smeom l x b a = y, dx ax = dy, f(x) dx = Ovde je k ti momet EX k = e bk+ 1 a k, pa je 0 1 ax (l x b) π e a dx = 1 e y dy = 1. π ( ) µ = EX = e b+ 1 a, σ = VarX = µ e 1 a 1. 4
. Vejbulova raspodela (Weibull). Za x > x 0 fukcija gustie je ( ) ( ) b b x b 1 x x0 0 x θ x f(x) = e 0, (17) x x 0 θ x 0 gde su x 0, θ i b parametri raspodele, a za x x 0 ja f(x) = 0. 3. χ raspodela (hi-kvadrat). Neka su X 1, X,..., X ( ) ezavise slučaje promeljive sa ormalim raspodelama koje imaju parametre µ i i σ i (i = 1,,..., ) i eka je ( ) X1 µ ( ) 1 X µ ( X µ Z = + + + σ 1 ova slučaja promeljiva. Tada Z ima raspodelu sa gustiom σ σ ) ( 1 z f(z) = Γ( ) ) 1 e z z 0, 0 z < 0, (18) koja se zove χ raspodela. Broj aziva se broj stepea slobode i ukoliko izme - du slučajih promeljivih X 1, X,..., X postoji eka veza o se smajuje za ooliko koliko postoji veza. Za dato i α alazi se vredost χ α tako da je P {χ χ α} = α iz posebih tablica. Takve tablice se ajčešće prave do = 30, jer za > 30 promeljiva χ a ima približo ormalu raspodelu. Da se vidi da je (18) gustia, primetimo da je (z = x) f(z) dz = 1 Γ ( ) po defiiciji gama-fukcije. 0 ( z ) 1 e z 1 dz = Γ ( ) 0 x 1 e x dx = 1 4. Studetova raspodela. Dobila ime po hemičaru W.S. Gosset-u, koji je u svojim aučim radovima koristio pseudoim studet. Ako Y ima ormalu raspodelu sa parametrima µ = 0 i σ = 1, a Z ima χ raspodelu i Y i Z su ezavise promeljive, tada promeljiva t = Y/ Z/ ima Studetovu raspodelu sa gustiom ( +1 ) f(x) = 1 ( Γ π Γ ( ) 1 + x Da se vidi da je (19) gustia podimo - od ( ) f(x) dx = Γ +1 π Γ ( ) ) (+1) ( 0, < x <. (19) 1 + x ) (+1) jer je f(x) para fukcija. Ako se izvrši smea 1 + x = 1 u, x = ( ) 1 1/ u 1, dx = (1 u) 1/ u 3/ du, 5 dx,
sledi da je itegral a desoj strai jedak 1 0 u / 1 (1 u) 1/ 1 du = jer je po svojstvu tzv. beta-itegrala i gama-fukcije Γ( )Γ( 1 ) π Γ( +1 ) = Γ( ) Γ( +1 ), 1 0 x p 1 (1 x) q 1 dx = Γ(p)Γ(q) Γ(p + q) (p, q > 0) i Γ( 1 ) = π. Stoga je f(x) dx = 1, pa je (19) zaista gustia. Ovde je µ = EX = 0, σ = za >, a se zove stepe slobode. Kao i za χ raspodelu i za Studetovu raspodelu se koriste posebe tablice. 5. Fišerova raspodela (Fisher). Gustia raspodele je, za date brojeve m, N, >, f m, (x) = Γ ( ) m+ Γ ( ) ( m Γ ) x m 1 (1 + x) m+, x > 0, 0 x 0. (0) Ovde je σ = µ = m m(m + ) ( ) ( 4) (za > ), (za > 4). Promeljiva F m, koja ima gustiu (0) ima F -raspodelu sa (m, ) stepea slobode. Smeom X = m F m, dobija se promeljiva koja ima tzv. Sedecor-ovu F -raspodelu sa ν 1 i ν stepea slobode i gustiom ν 1 ν f(x) = ν1 ν Γ ( ν 1 +ν ) Γ ( ν 1 ) Γ ( ν )x ν1 1 (ν + ν 1 x) ν 1 +ν, (x > 0). (1) Da su fukcije u (0) i (1) zaista gustie, dokazuje se svo - dejem a beta-itegral kao u slučaju Studetove raspodele. 6
0.3 Itervali poveraja U primei statistike začaje su tzv. itervale ocee koje ćemo prikazati u ovom odeljku. Ako je θ epozati parametar raspodele, a θ jegova tačkasta ocea, oda je verovatoća P { θ θ < δ} = P {θ δ < θ < θ + δ} = α () pouzdaost ocee parametra θ pomoću θ, a iterval I = (θ δ, θ + δ) (3) je iterval povereja za parametar θ. Verovatoća α u () se često aziva koeficijet sigurosti, a suprota verovatoća 1 α se zove koeficijet rizika. U praksi se javlja više itervala povereja, od kojih ćemo spomeuti eke začajije. 1. Iterval povereja za matematičko očekivaje µ kada je pozata varijasa σ Koristi se čijeica da kod velikog uzorka statistika X (v. (13)) ima asimptotski ormalu σ raspodelu sa parametrima µ i, a kod malog broja uzoraka pretpostavlja se da promeljiva X ima ormalu raspodelu sa parametrima µ i σ. Tada važi gde se vredosti fukcije } σ σ P {X z α < µ < X + z α = Φ (z α ), Φ(z) = 1 π z 0 e x dx očitavaju iz posebih tablica. Ovde je zači iterval povereja oblika ) σ σ I = (X z α, X + z α. (4) Primer 4.. Pri aalizi materijala utvr - deo je da je stadaro odstupaje gvož - da u jemu 18 %. Naći 95 %-ti iterval povereja za taču vredost sadržie gvož - da u materijalu ako se a osovu 8 aaliza dobije sredja sadržaost gvož - da od 43, 18 %. U ovom primeru je α = 0, 95, = 8, σ = 0, 18, X = 43, 18, a potrebo je odrediti z 0,95. Iz relacije Φ(z 0,95 ) = 0, 95 i tablice alazi se z 0,95 = 1, 96, pa je a osovu (4) tražei iterval povereja [ ] 0, 18 0, 18 43, 18 1, 96 ; 43, 18 + 1, 96 = [43, 055; 43, 305]. 8 8 7
. Iterval povereja za matematičko očekivaje µ kada je varijasa σ epozata Pretpostavlja se da promeljiva X ima ormalu raspodelu sa parametrima µ i σ uvodi statistika t 1 = 1 X µ S, (5) koja ima Studetovu raspodelu sa gustiom (19) i 1 stepea slobode. Tada je { } X µ α = P 1 S t 1,α, gde je t 1,α = t 1,1 α veličia koja se odre - duje iz tablica za Studetovu raspodelu. Iterval povereja glasi ovde I = [ X t 1,α 1 S, ] X + t 1,α S. 1 3. Iterval povereja za epozatu varijasa σ Ako su X 1, X,..., X promeljive sa ormalom raspodelom koja ima parametre µ i σ, oda statistika S σ ima χ 1 raspodelu, te se iz tablica ove raspodele za dato i α alazi veličia χ 1,α za koju je α = P { S σ } { χ S 1,α = P χ 1,α σ }. Tada je tzv. jedostrai iterval povereja σ oblika [ 0, ] S χ 1,α. (6) Ako je dalje χ 1,α = χ 1, α 1, χ 1,α = χ 1, α+1, 8
oda je 1 α = P { S σ χ 1,α }, 1 α = P { S σ χ 1,α }, pa je tzv. dvostrai iterval povereja za σ oblika [ S, χ 1,α ] S. (7) χ 1,α 4. Iterval povereja za epozatu verovatoću p Neka je m broj realizacija doga - daja A u ezavisih opita, a p epozata verovatoća realizacije doga - daja A u samo jedom opitu. Tada važi { } m p α = P z α, p(1 p) gde se kao u itervalu pomeraja (4) vredost z α čita iz tablice za ormalu raspodelu, tj. Φ (z α ) = α, gde je isto kao i raije Iterval povereja za p glasi oda Φ(x) = 1 π I = m + z α + z α z α m + z α + z α + z α x 0 e y dy. (8) m( m) m( m) + ( ) zα +, ( ) zα. 0.4 Testiraje statističkih hipoteza Na osovu teorijskih ili ituitivih razliga često se u toku razih ispitivaja vrši testiraje hipoteze H da vredost parametra θ fukcije raspodele F (X, θ) promeljive X ima vredost θ 0, što se ozačava kao H(θ = θ 0 ). Drugi začaja problem je testiraje hipoteze θ 1 = θ, gde su θ 1 i θ parametri u fukcijama raspodele F 1 (X, θ 1 ) i F (Y, θ ) promeljive X odoso Y. Postupak testiraja se sastoji u formiraju statistike U = U (X 1, X,..., X ), gde je (X 1, X,..., X ) prost uzorak obeležja X i registrovaju vredosti statistike U iz dobijeog uzorka. Zatim se izračuava verovatoća odstupaja registrovae vredosti statistike U od očekivae vredosti (pod uslovom da je hipoteza H(θ = θ 0 ) tača), pa ako je ta verovatoća 9
maja od izabrae verovatoće (koja se aziva prag začajosti), oda se hipoteza H(θ = θ 0 ) odbacuje, a ako je veća ili jedaka α, može se kostatovati da uzorak e protivreči hipotezi H(θ = θ 0 ). Prag začajosti α se bira u zavisosti od prirode problema, a ajčešće se uzima α = 0, 01 ili α = 0, 05. Ovde će biti opisa postupak za testiraje ekoliko ajčešće statističkih hipoteza. Valja apomeuti da prilikom testiraja hipoteza dolazi do tzv. grešaka prve i druge vrste. Greške prve vrste astaju kada se odbacuje hipoteza iako je oa ustvari tača, a greške druge vrste astaju kada se prihvata hipoteza iako je oa pogreša. 1. Testiraje hipoteze H(µ = µ 0 ) ako je varijasa σ pozata Pretpostavimo da promeljiva X ima ormalu raspodelu sa parametrima µ i σ (ako je 30, tj. uzorak dovoljo veliki, oda ta pretpostavka ije potreba) i formirajmo statistiku X = 1 X i, gde je (X 1, X,..., X ) prost uzorak obeležja X, a x vredost statistike X koja je registrovaa u uzorku. Iz teorije verovatoće je pozato da tada važi { X P µ 0 x µ 0 } = 1 Φ x µ 0 σ, (9) gde je Φ dato preko (8). Ako desu strau (9) ozačimo sa α, oda je zaključak sledeći: ako je α α gde je α dati prag začajosti, oda se hipoteza H(µ = µ 0 ) odbacuje, a ako je α > α oda uzorak e protivreči hipotezi. Ovde je verovatoća astaka greške prve vrste jedaka izabraom pragu začajosti α. Što se tiče greške druge vrste, oa se ovde odre - duje a sledeći ači. Ako Z ima ormalu raspodelu sa parametrima 0 i 1, tada se za dato x iz tablica odre - duje broj z α tako da važi P { Z < z α } = α. Neka je sada tača hipoteza H(µ = µ 1 ), a mi smo prihvatili hipotezu H(µ = µ 0 ), pri čemu µ µ 1. Verovatoća da se ovo dogodi (tj. verovatoća greške druge vrste) izosi P { z α d Z 1 z α d }, gde je d = µ 1 µ 0, a Z 1 je slučaja promeljiva koja ima ormalu raspodelu sa parametrima σ 0 i 1. Primer 4.3. Pozato je da se proceat metala u rudi p dobija sa odstupajem σ = 0, 03. Ako su izmeree vredosti proceata jedake 7, 14; 7, 17; 7, 15; 7, 1; 7, 14; 7, 16; testirati, sa pragom začajosti α = 0, 05, hipotezu µ = 7, 15. 10
Ovde je = 6, µ 0 = 7, 15, σ = 0, 03, x = 7, 1467. Stoga je 1 Φ te stoga uzorak e protivreči hipotezi. ( ) x µ 0 σ/ = 1 Φ(0, 694) = 1 0, 106 = 0, 788,. Testiraje hipoteze H(µ = µ 0 ) ako je varijasa σ epozata Neka obeležje X ima ormalu raspodelu sa parametrima µ i σ i eka je t 1 = X µ 0, S 1 pri čemu je S dato preko (14), a sa t 1 će se ozačavati registrovaa vredost statistike t 1. Promeljiva t 1 ima Studetovu raspodelu, i za dato i α iz tablica se odreduje - veličia t 1,α za koju važi P { t 1 t 1,α } = α. Ako t 1 t 1,α, tada se hipoteza H(µ = µ 0 ) odbacuje, a ako je t 1 < t 1,α, oda uzorak e protivreči hipotezi H(µ = µ 0 ). 3. Testiraje hipoteze H(µ 1 = µ ) ako je σ 1 = σ Pretpostavimo da obeležje X ima ormalu raspodelu sa parametrima µ 1 i σ 1, a obeležje Y ormalu raspodelu sa parametrima µ i σ. Ako je σ1 = σ, tada statistika X 1 Y 1 S 1 (X) + S (Y ) 1 1 + ( 1 + ) ima raspodelu Studeta sa 1 + stepea slobode, tj. t 1 +. Ako se kao i malopre sa t 1 + ozači registrovaa vredost statistike t 1 +, oda važi sledeći zaključak: ako je t 1 + t 1 +,α tada se hipoteza H(µ 1 = µ ) odbacuje, a ako je t 1 + < t 1 +,α, oda uzorak e protivreči hipotezi H(µ 1 = µ ). 4. Testiraje hipoteze H(σ = σ 0 ) Neka je s registrovaa vredost statistike S, a α = P { } { S s = P χ 1 s } σ0. 11
Ako je α α, gde je α dati prag začajosti, hipoteza H ( σ = σ 0) se odbacuje, a ako je α > α oda uzorak e protivreči hipotezi H ( σ = σ 0). 5. Testiraje hipoteze H(σ 1 = σ ) Pretpostavimo da X i Y imaju ormalu raspodelu sa parametrima µ 1 i σ 1, odoso µ i σ. Tada statistika 1 S 1 (X) 1 1 S (Y ) 1 = F 1 1, 1 ima Sedekorovu F raspodelu sa parametrima ν 1 = 1 1, ν = 1. U tablicama F fukcije se za dato 1, i α alazi vredost F 1 1, 1,α tako da je P {F 1 1, 1 F 1 1, 1,α} = α. Ukoliko je F 1 1, 1 F 1 1, 1,α oda se hipoteza H(σ1 = σ ) odbacuje, a u protivom uzorak joj e protivreči. 6. Testiraje hipoteze H(µ 1 = µ ) ako je σ 1 σ Formira se statistika t X 1 Y = S 1 (X) + S (Y ) 1. Neka je 1 = = i t registrovaa vredost statistike t. Ako je t t 1,α (jer t ima Studetovu raspodelu) hipoteza H(µ 1 = µ ) se odbacuje, a u suprotom uzorak joj e protivreči. Ako je 1, vredost t statistike t se uporeduje - sa t α = S t 1 (X) S 1 1,α + t (Y ) 1,α 1 S 1 (X) + S (Y ) 1, i ako je t t α hipoteza H(µ 1 = µ ) se odbacuje, a u suprotom joj uzorak e protivreči. 1
7. Testiraje hipoteze H(p = p 0 ) Ovo je tzv. testiraje pomoću proporcije uzoraka. Iz osovog skupa se uzima uzorak od elemeata ( 30) i posmatra m od jih sa uočeim svojstvima. Ako se stavi p = m/, tada slučaja promeljiva t = p p 0 p(1 p) ima ormalu raspodelu sa parametrima 0 i 1. Ako je t registrovaa vredost statistike t i t > z α, gde je kao i raije Φ(z α ) = α, oda se hipoteza H(p = p 0 ) odbacuje, dok u suprotom uzorak e protivreči hipotezi H(p = p 0 ). 8. Testiraje hipoteze H(p 1 = p ) Postupak je sliča kao u prethodom slučaju. Neka su iz dva osova skupa sa epozatim proporcijama p 1 i p ekog svojstva uzeta dva velika uzorka sa statističkim verovatoćama p 1 i p. Ako je p = m 1+m 1 +, tada slučaja promeljiva t = p 1 p ( 1 p(1 p) + 1 ) 1 ima ormalu raspodelu sa parametrima 0 i 1. Ako je t z α hipoteza H(p 1 = p ) se odbacuje, a u protivom uzorak e protivreči hipotezi H(p 1 = p ). 9. Pearso-ov χ test Ovaj test se koristi za testiraje hipoteze o tome da li je F (x) fukcija raspodele obeležja X. Neka je (X 1, X,..., X ) uzorak obeležja X, S 1, S,..., S r disjukti podskupovi skupa realih brojeva R tako da je r S i = R, p i = P {X S i } (i = 1,..., r) pod pretpostavkom da je F (x) fukcija raspodele obeležja X. Dalje, eka je m i (i = 1,..., r) broj slučajih promeljivih iz uzorka (x 1,..., x ) čije su vredosti S i, r m i =. Tada je E(m i ) = pi, a r χ (m i pi ) = pi 13
Pearso ova statistika. Nje začaj je u tome što je, za veliko, χ χ r 1, tj. χ raspodela sa r 1 stepea slobode. Dalje se sa χ statistikom postupa kao sa običom χ r 1 promeljivom. Postoji jeda jedostava test (tzv. test Romaovskog) i hipoteza o raspodeli F (x) se prihvata ako je χ (r 1 k) 3 (r 1 k), a u protivom se odbacuje. Ovde se parametri θ 1, θ,..., θ k koji figurišu u fukciji raspodele F (x) zamejuju odgovarajućim uzoračkim oceama. 0.5 Aaliza varijase Ovde se javlja tzv. jedofaktorski, odoso dvofaktorski (ili čak višefaktorski) problem. Matematički model jedofaktorska problema je sledeći: jeda faktor ima k ivoa koji se mogu opisati kvatitativo ili kvalitativo. Neka je X obeležje koje ispitujemo, i u j-tom ivou biramo prost uzorak veličie j : (X j1, X j,..., X ji ) j = 1,,..., k. Ako se sa m j ozači matematičko očekivaje obeležja X u populaciji koja je pod dejstvom j-tog ivoa uočeog faktora, oda se µ j = m j EX aziva efekat j-tog ivoa. Pretpostavlja se da je X ji = m + µ + ε ij, (i = 1,..., j = 1,..., k) gde su ε ij ezavise slučaje veličie koje imaju ormalu raspodelu sa parametrima 0 σ. Ovde se pretpostavlja da je dejstvo faktora aditivo (dodavaje µ j pojediim ivoima), a da su slučaje veličie ε ij ormalo raspore - dee sa istom varijasom. Ovo posledje često ije ispujeo u praksi te su razra - dei razi postupci kojima se taj edostatak otklaja. U praksi se često postupa a sledeći ači: uvedu se ozake Dalje se formira statistika j X j = 1 X ji, j (j = 1,,..., k) X = 1 k j k X ji, = j j=1 j=1 k j ( ) B = X ji X, k C = j X j X. j=1 j=1 14
( k)c F k l, k = (k l)b i vrši upore - divaje registrovae vredosti F k l, k statistike F k l, k sa vredošću F k l, k,α iz tablica. Ako je F k l, k F k l, k,α, oda hipotezu H (µ 1 = µ = = µ k = 0) odbacujemo, a u suprotom uzorak e protivreči hipotezi. Kod dvofaktorskog problema imamo dva uzorka, recimo x 11, x 1,..., x 11 x 1, x,..., x, i a koje deluju faktori A 1, odoso A. Aritmetičke sredie i varijase posmatraih uzoraka su odoso x 1 = 1 1 x 1i, x = 1 x j, 1 j=1 s 1 = 1 1 (x 1i x 1 ), s = 1 (x j x ). 1 j=1 Ukupa aritmetička sredia uzorka će biti a totala disperzija S t će biti x = 1x 1 + x 1 +, što se može pisati kao 1 St = (x 1i x) + (x j x), j=1 gde smo stavili S t = S r + S A, 15
1 Sr = (x 1i x 1 ) + (x j x ) = 1 s 1 + s, j=1 SA = 1 (x 1 x) + (x x). Ako se još uvedu veličie W t = S r 1 1, W A = S A 1, W r = S r 1 + 1, oda je W t ocea varijase osovog skupa, W A je varijasa sredie dve grupe uzoraka i zove se faktorska varijasa, a W r je ocea varijase osovog skupa iz koga je elimiisa uticaj faktora A 1 i A, i zove se reziduala varijasa. Ako faktori A 1 i A emaju različita dejstva, tada varijase W A i W r treba da predstavljaju istu varijasu tj. da se malo razlikuju, te jihov količik treba da je blizak jediici. U praksi se formira statistika F 1,1 + = W A W r = ( 1 + ) S A S r koja ima F raspodelu sa parametrima 1 i 1 +. Dalji postupak je oda isti kao kod jedofaktorskog problema. 0.6 Korelacija i regresija Koeficijet korelacije dve slučaje promeljive X i Y defiisa je u poglavlju o verovatoći kao ϱ = E(X EX)(Y EY ) E(X EX) E(X EX)(Y EY ) =, E(Y EY ) σ x σ y gde je σx varijasa X, a σy varijasa Y. Za koeficijet korelacije važi uvek 1 ϱ 1. Dalje ϱ = 1 ako izmedu - X i Y postoji lieara zavisost, tj. Y = AX + B, dok je ϱ = 0 ako su X i Y dve ezavise slučaje promeljive. Ako je 0 < ϱ < 1, kažemo da izmedu - X i Y postoji delimiča ili stohastička lieara zavisost. Ako je ϱ blisko jediici, oda se kaže da postoji visoka korelacioa ili jaka stohastička veza izmedu - X i Y. Takode - valja reći da se koeficijet korelacije ϱ e meja ako se X i Y zamee proizvoljim liearim fukcijama, odoso ako se umesto X i Y posmatraju ove promeljive ξ = ax + b, η = cy + d. Ako želimo da proceimo ρ a osovu izmereog uzorka (x 1, y 1 ),..., (x, y ) oda se koriste uzoračke sredie σx (x i x) =, σ (y i ȳ) y =, 16
gde je x = (x 1 +... + x ), ȳ = (y 1 +... + y ). Za E(X EX)(Y EY ) = E(XY ) EX EY koristi se izraz (x i x)(y i ȳ), pa se oda dobija tzv. uzorački koeficijet korelacije ρ = (x i x)(y i ȳ). (x i x) (y i ȳ) Za gorji izraz ejedakost ρ 1 eposredo sledi iz ejedakosti Koši Švarca Naime, kvadrata fukcija ( ) a i b i a i b i (a i, b i 0, i = 1,..., ). f(x) = (a i xb i ) = b i x a i b i x + a i je eegativa, pa jea diskrimiata D = b 4ac mora biti epozitiva, tj. ( ) D = 4 a i b i 4 a i b i 0, odakle sledi ejedakost Koši Švarca. U praksi se često koristi tzv. Spearma-ov koeficijet korelacije raga. To je dosta jedostava postupak, koji se sastoji u sledećem. Pretpostavimo da smo za isti uzorak a dva ačia odredili dva rag mesta, tj. uzorak a i (i = 1,,..., N) ima u rag listi X rag (redi broj) x i (i = 1,,..., N), a u rag listi Y rag y i (i = 1,,..., N). Ako se stavi d i = x i y i, oda je Spearma-ov koeficijet korelacije raga dat preko formule ϱ = 1 6 N d i N 3 N. (30) Ako su rag liste idetiče x i = y i, pa je d i = 0, tj. (30) daje ϱ = 1, dok je ϱ = 1 ako su rag liste idetiče, ali iverze jeda drugoj. Primer 4.4. Neka X ozačava rag gradova po dohotku u privredi, a Y po dohotku u vaprivredim delatostima i eka je rag dat sledećom tabelom (1). 17
N Ovde je N = 8, d i = 10, pa je ϱ = 1 6 10 = 0, 8809.... 51 8 Spearma-ov koeficijet korelacije raga u ovom slučaju. Vidi se da postoji dosta visoka korelacija raga izmedu - obe rag liste, ali ipak e toliko da bismo jedu mogli zameiti drugom. Tabela 1 Rag po X Rag po Y d i d i Kruševac 1 1 0 0 Sombor 3-1 1 Niš 3 4-1 1 Beograd 4 4 Novi Sad 5 6-1 1 Leskovac 6 5 1 1 Zrejai 7 8-1 1 Negoti 8 7 1 1 Kod jedozače fukcioale zavisosti izme - du obeležja X i Y svakoj vredosti X = x odgovara jeda potpuo odre - dea vredost Y = y. Ukoliko je zavisost izme - du slučajih promeljivih X i Y samo delimiča, odre - deoj vredosti X = x odgovarajuće obeležje Y sa uslovom raspodelom za X = x. U slučaju eprekide raspodele Y će za X = x imati uslovu gustiu f(y x). Kako izme - du X i Y e postoji sada odre - dea fukcioala veza, to možemo uspostaviti izme - du jih jedio očekivau vezu, uzimajući da vredosti X = x odgovara uslova očekivaa vredost, tj. y = E(Y X = x) = y(x). tj. Obruto se kaže da vredosti Y = y odgovara očekivaa vredost obeležja X za Y = y, x = E(X Y = y) = x(y), a grafici krivih y = y(x) i x = x(y) se azivaju regresive krive, i oe se u opštem slučaju e poklapaju. U praksi se često javlja slučaj da je y(x) = ax + b, (31) pa se traži da se odrede parametri a i b. Ovo je tzv. model lieare regresije. Neka su y 1, y,..., y izmeree veličie skupa ezavisih promeljivih Y 1, Y,..., Y, od kojih svaka 18
ima ormalu raspodelu sa istom varijasom σ i parametrima µ i = E(Y i X i ) = ax i + b (i = 1,,..., ). Tada se a i b mogu odrediti iz sistema liearih jedačia Rešavajem sistema (3) i (33) dobija se b = b + a x i = y i, (3) b x i + a x i = x i y i. (33) a = x i y i ( x i x i y i x i y i x i ), (34) x i x i y i Ovaj izbor parametra a i b ima osobiu da je suma kvadrata ( ). (35) x i x i (y i b ax i ) miimala, pa se kaže da su a i b odredei - metodom ajmajih kvadrata. Primer 4.5. Neka su iz 13 mereja dobivee vredosti u zavisosti od x putem sledeće tabele : Tabela x 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 10 15 130 y 30 6 51 48 40 46 61 76 61 50 64 53 71 Odrediti liearu zavisost izme - du y i x. Ovde se koriste jedačie (34) i (35) te se dobija a 0, 56, b 3, 9, tj. y = 0, 56x 3, 9. Ilustraciju eliearog modela regresije imamo a sledećem primeru. Pretpostavimo da imamo regresivu fukciju y(x) = E(Y x) = a + be cx čije su vredosti izmeree a skupu tačaka (x i, y i ), i = 1,,...,. Metod ajmajih kvadrata kaže da se za a, b i c uzimaju oe vredosti za koje fukcija 19
G(a, b, c) = (y i a be cx i ) dostiže miimum. Tražejem parcijalih izvoda G po a, b i c i izjedačavajem sa ulom sledi da a, b i c treba da zadovoljavaju sistem jedačia a + b e cx i = y i, a e cx i + b e cx i = e cx i y i, a x i e cx i + b x i e cx i = x i y i e cx i. Za razliku od sistema (3) i (33) ovaj sistem ije lieara u odosu a parametre a, b i c i jegovo rešeje je dosta složeo; dobri približi rezultati se mogu dobiti iterativim metodama umeričke aalize. Valja apomeuti da se eki problemi elieare regresije mogu, podesim smeama, svesti a probleme lieare regresije, kao što ilustruju sledeći primeri. 1. Za y = a log x + b, smeom z = log x dobijamo y = az + b.. Za y = a x + b, smeom z = 1/x dobijamo y = az + b. 3. Za y = 1 ax+b, smeom z = 1/y dobijamo z = ax + b. 4. Za y = ax b logaritmovajem sledi log y = log a + b log x, pa smeama z = log y, a = log a, x = log x dobijamo z = bx + a. 5. Za y = ab x logaritmovajem sledi log y = log a + x log b, pa smeama z = log y, a = log a, b = log b sledi z = a x + b. Od eliearih metoda treba avesti često korišćeu kvadratu regresiju y = ax + bx + c (a 0). Ovde se parametri a, b, c, shodu Gausovom pricipu ajmajih kvadrata, odreduju - tako da se miimizira izraz F (a, b, c) := (y i ax i bx i c). Iz uslova F (a, b, c) F (a, b, c) = = a b dobija se sistem liearih jedačia po a, b, c: F (a, b, c) c a x i + b x i + c = y i, a x 3 i + b x i + c x i = x i y i, 0 = 0
a x 4 i + b x 3 i + c x i = x i y i, a sličim postupkom (svo - dejem a komplikovaiji sistem od sistema +1 liearih jedačia) odre - duje se polioma elieara regresija y = P (x), gde je P (x) poliom -tog stepea čije koeficijete treba odrediti. S druge strae, model lieare regresije se može bez većih teškoća upotrebiti za višestruku liearu regresiju, tj. recimo kada je regresioa fukcija E(Y x 1, x, x 3 ) = a 1 x 1 + a x + a 3 x 3 + x 4 lieara u odosu a promeljive x 1, x, x 3. Ako se zaju vredosti y i koje odgovaraju trojkama (x i1, x i, x i3 ) (i = 1,,..., ), oda se a 1, a, a 3, a 4 alaze kao vredosti za koje fukcija G(a 1, a, a 3, a 4 ) = (y i a 1 x i1 a x i a 3 x i3 a 4 ) dostiže miimum, što se svodi a rešavaje sistema liearih jedačia (y i a 1 x i1 a x i a 3 x i3 a 4 ) = 0, (y i a 1 x i1 a x i a 3 x i3 a 4 ) x i1 = 0, (y i a 1 x i1 a x i a 3 x i3 a 4 ) x i = 0, (y i a 1 x i1 a x i a 3 x i3 a 4 ) x i3 = 0. U opštem modelu lieare regresije traži se da je E(Y i ) = β i x i1 + + β k x ik, (i = 1,,..., ) što predstavlja liearu regresiou fukciju od k fiksih promeljivih. U matričom zapisu to postaje gde je Y = y 1. y, β = E(Y ) = Xβ, β 1. β, X = x 11... x 1k..... x 1... x k, 1
te se problem svodi a odre - divaje elemeata vektora koloe β, ako je pozata matrica X formata k. Ako su y i (i = 1,..., ) izmeree vredosti promeljivih Y i, oda treba da se odredi miimum fukcije (y i β 1 x i1 β k x ik ) da bi se dobilo β metodom ajmajih kvadrata. Ako je y vektor sa kompoetama y i (i = 1,..., ), oda je tražeo rešeje u matričom obliku β = (X X) 1 X y, pri čemu X ozačava traspoovau matricu X, tj. matricu koja se dobija iz X zameom vrsta sa koloama. Gorje rešeje u matričom obliku ima relativo jedostava zapis, o praktiča izračuavaja za veliko i k mogu biti praktičo komplikovaa. 1 Primea statistike U dvadesetim godiama ovoga veka pojavile su se prve precize formulacije osova matematičke statistike. Smatra se da su tvorci savremee statističke metodologije Nejma i Vold, koji u svojim radovima idetifikuju i razvijaju osove tri oblasti statistike: teoriju ocee, teoriju provere statističkih hipoteza i teoriju plairaja eksperimeata. Na kritici Fišerove teorije, Nejma je postavio osove savremee teorije ocee, zasivajući je a itervalima povereja (pouzdaosti). Začaja doprios dali su Kolmogorov i Smirov u istraživajima a ovom polju, aročito u oblasti eparametarske teorije ocee i izučavaja itervala povereja koji sa datom verovatoćom sadrže epozatu fukciju raspodele. Veliki doprios razvoju teorije provere statističkih parametarskih hipoteza pored Nejmaa dao je i Pirso. U oblasti eparametarskih hipoteza svojim radovima uticali su a razvoj teorije pored Kolmogorova i Smirova, Šefe, Stej, Lemo i drugi. Teorija plairaja eksperimeata je ajmlada - oblast statistike. Istraživaja u ovoj oblasti započeli su Fišer i Nejma, a Vold je svojim radovima začajo doprieo daljem razvoju. Začaje dopriose razvoju matematičke statistike dali su osim avedeih i mogi drugi matematičari. Matematička statistika je jeda od oblasti sa izuzeto velikim brojem primea. Broj primea teško je i pobrojati. Pored toga postoji ozbilja opasost od grešaka kod ocee jee primeljivosti u razim sferama društveih, biomediciskih, prirodomatematičkih, tehičkih, školskih, privredih, vojih i drugih delatosti. Savremei ivo rudarstva i geologije u aučom i privredom smislu, karakteriše eophodost postupe aalize velike mase podataka i iformacija i zahtev za pouzdaim, odoso, aučo zasovaim ulazima (iput - ima). Ispujeje ovih zahteva široko otvara vrata uvodeju - matematičke statistike u praksu geologije i rudarstva, a savremea račuarska tehika sa izvaredim mogućostima ovaj proces začajo podupire i pospešuje. Primea statistike u geologiji i rudarstvu ima slojevitost koja je posledica pre svega razudeosti - i različitosti uutar ovih oblasti.
Statistika se koristi od prelimiarih ocea i sagledavaja pa preko ižejerskih aaliza i viših ivoa projektovaja do operative primee u proizvodim i tehološkim procesima. Navešćemo samo začajije geološke i rudarske probleme i zadatke u čijem rešavaju statistika pruža adekvate alate. To su: Obrada podataka dobijeih geološkim istraživajima sa koačim produktima: matematičkostatistički opis geoloških objekata, pore - deje i klasifikacija geoloških objekata, opis zavisosti izme - du obeležja geoloških objekata i sličo. Itervalske ocee estabilosti promea geološko-istražih pokazatelja, obuhvataju: itervalsku oceu sredje vredosti slučajih veličia, itervalsku oceu sredje vredosti fukcija slučajih veličia - kompleksi modeli obeležja geoloških objekata itd. Obrada podataka geohemijskih istraživaja ležišta mieralih sirovia. Za defiisaje geohemijskih polja primejuju se sledeći matematičko-modelski pristupi: aditivi, multiplikativi i aditivo-multiplikativi. Kod formiraja ovih modela, a matematičkoj statistici počivaju postupci izdvajaja determiisaih kompoeata geohemijskih polja, zatim defiisaje geohemijskih specifičosti aomalih geohemijskih polja, ormiraje multiplikativih geohemijskih pokazatelja itd. Razgraičavaje geoloških objekata a osovu kompleksa geoloških obeležja. Jeda od osovih geoloških radji je kartiraje, odoso modeliraje izučavaog dela zemljie kore u zadatoj razmeri. Ovaj zadatak rešava se u svim stadijumima geoloških istraživaja. Daas aglo arasli zahtevi za pouzdaim kartirajem, u praksu kartiraja sve više uvode statističke metode. U ižejerskoj aalizi i projektovaju u rudarstvu i geologiji koriste se egzakti podaci iz proizvodje ili procejee iskustvee vredosti. I u jedom i u drugom slučaju statistički aparat pruža mogućost pouzdae procee sredje vredosti, mogućih odstupaja, raspoa odstupaja, grešaka i sličo. Operativo vo - deje teholoških procesa u eksploataciji čvrstih mieralih sirovia, afte i gasa podrazumeva i stalo praćeje, registrovaje, obradu i aalizu velikog broja podataka i iformacija vezaih za radu srediu, tehološki proces, tržišo - ekoomske i ekološke uslove. Zahtevi u pogledu ažurosti praćeja i registrovaja ovih podataka kao i u pogledu brzie i pouzdaosti aalitičkih procea, ameću potrebu za uvo - dejem statističkih metoda i račuarske tehike u adzor i upravljaje tehološkim procesima u mieraloj idustriji. Za laboratorijske opite u rudarstvu i geologiji (mehaika tla, mehaika stea, priprema mieralih sirovia, vetilacija,...) karakterističo je da se eksperimeti i mereja izvode sa mogostrukim poavljajima ili merejima a velikom broju uzoraka. Statistika se koristi u obradi eksperimetalih rezultata radi utvrdivaja - zakoitosti i veza, ali i kod plairaja eksperimeata. Pobrojae primee matematičke statistike e ome - duju prostore, već ilustruju širiu, mogućosti i začaj jee primee u rudarstvu i geologiji. Mogo je kokretih problema i zadataka različitih začaja i lokacija u geologiji i rudarstvu, za čije delimičo ili potpuo rešavaje 3
statistika udi alate. No primeljivost je jedo, a primea drugo. Za adekvatu primeu statističkih metoda potrebo je dobro pozavaje problema koji je predmet pažje, zatim brojost i kvalitet ulazih podataka kao i pozavaje matematičke filozofije statističkih pristupa koji se koriste. Ukoliko se e vodi račua o avedeim čiiocima greške su emiove. Savremea račuarska poslovica: U račuar uesi smeće iz račuara ćes dobiti smeće, lepo ilustruje zavisosti i upućuje a zaključak da je matematička statistika moćo i koriso oru - de u rukama ooga ko za da je koristi, ali je i vrlo opasa jea primea ukoliko se eadekvato koristi. Naredi iz kokretih primera čitaocu treba da pruži osova račuarsko-maipulativa zaja o praktičoj primei statistike ali i da ispiriše i pobudi razmišljaja o drugim primeama u geologiji i rudarstvu. S obzirom a prirodu, ciljeve i obim kjige, autori su ube - dei da je ovakav ači prezetacije matematičke statistike primere. Ukoliko zaiteresova čitalac želi više iformacija o ekom kokretom problemu iz statistike, odgovore može potražiti u vrlo bogatoj domaćoj i straoj literaturi iz statistike. 1.1 Izračuavaje sa malim brojem podataka Ležište polimetaliče sirovie istražuje se podzemim istražim radovima. U delu istražog hodika uzeto je 30 proba. Na slici 4.1 prikazai su položaji uzimaja proba sa kumulativim sadržajima metala po probama. Učestalosti pojediih kumulativih sadržaja metala dati su u tabeli 3. Tabela 3 Sadržaj Broj Učestalost metala [%] proba 1 4 0,13 3 0,10 3 3 0,10 4 3 0,10 5 5 0,17 6 3 0,10 7 4 0,13 8 0,07 9 3 0,10 30 1,00 Sredji aritmetički sadržaj metala u rudi izosi: x = x i p i x = 1 0, 13 + 0, 1 + 3 0, 1 + 4 0, 1 + 5 0, 17 + 6 0, 1 + 7 0, 13 + 8 0, 07 + 9 0, 1 = 4, 85[%]. Disperzija sadržaja metala odreduje - se: 4
x S i = x 1, S = [0, 13(1 4, 85) + 0, 1( 4, 85) + 0, 1(3 4, 85) + 0, 1(4 4, 85) + 0, 17(5 4, 85) + 0, 1(6 4, 85) + 0, 13(7 4, 85) + 0, 07(8 4, 85) + 0, 1(9 4, 85) ] 30 = 6, 55. 9 Stadardo ili sredje kvadrato odstupaje je: Koeficijet varijacije je: e = S = 6, 55 =, 554. V = e x, 554 100 = 100 = 5, 66 [%]. 4, 85 Za defiisaje osovih svojstava raspodela slučajih veličia koriste se mometi. Momet k-tog stepea je sredja vredost k-tog stepea odstupaja veličie x od eke stale vredosti C α k = (x i C) k. Ukoliko se pri izračuavaju mometa koristi učestalost ili frekveca, momeat se aziva empirijskim, a ukoliko se koristi verovatoća - aziva se teorijskim. Empirijski momet k-tog stepea račua se preko obarsca: a k = (x i C) k p i. p i Radi jedostavijeg račuaja uzećemo C = 5 (blisko vredosti x), tada uslovi 1 mometi prvog, drugog, trećeg i četvrtog stepea izose: α 1 = (1 5)0, 13 + ( 5)0, 1 + (3 5)0, 1 + (4 5)0, 1 + (5 5)0, 17 + + (6 5)0, 1 + (7 5)0, 13 + (8 5)0, 07 + (9 5)0, 1 = 0, 15 1 Momeat azivamo uslovim kada je vredost za C proizvolja, a kada je C = x momeat azivamo cetralim. 5
α = (1 5) 0, 13 + ( 5) 0, 1 + (3 5) 0, 1 + (4 5) 0, 1 + (5 5) 0, 17 + + (6 5) 0, 1 + (7 5) 0, 13 + (8 5) 0, 07 + (9 5) 0, 1 = 6, 33 α 3 = (1 5) 3 0, 13 + ( 5) 3 0, 1 + (3 5) 3 0, 1 + (4 5) 3 0, 1 + (5 5) 3 0, 17 + + (6 5) 3 0, 1 + (7 5) 3 0, 13 + (8 5) 3 0, 07 + (9 5) 3 0, 1 =, 49 α 4 = (1 5) 4 0, 13 + ( 5) 4 0, 1 + (3 5) 4 0, 1 + (4 5) 4 0, 1 + (5 5) 4 0, 17 + + (6 5) 4 0, 1 + (7 5) 4 0, 13 + (8 5) 4 0, 07 + (9 5) 4 0, 1 = 76, 43. Izme - du cetralih i uslovih momeata postoje sledeće veze: Za aš primer cetrali mometi su: α 0 = α α 1, α 0 3 = α 3 3α 1 α + α 3 1, α 0 = 6, 33 ( 0, 15) = 6, 3075, α 0 4 = α 4 4α 1 α 3 + 6α α 1 3α 4 1. α 0 3 =, 49 3( 0, 15)6, 33 + ( 0, 15) = 0, 3517, α 0 4 = 76, 43 4( 0, 15) (, 49) + 6 6, 33( 0, 15) 3(0, 15) 4 = 75, 789. Zajući cetrale momete, možemo izračuati karakter odstupaja raspodele sadržaja metala od simetriče ormale raspodele u 30 proba. Koeficijet simetrije izosi Ekces ili koeficijet spljošteosti K A = α0 3 0, 3517 = = 0, 011. e3 16, 659 K E = α0 4 75, 789 = = 1, 781. e4 4, 548 Na osovu vredosti za asimilaciju i ekces, može se zaključiti da raspodela učestalosti sadržaja metala u probama ema asimetrije i spoljašjost krive raspodele maju od ormale, odoso izraže vrh. Napomeimo ako je koeficijet asimetrije K A = 0, tada je raspodela frekvecije simetriča u odosu a pravu x = x. Ako je K A < 0 asimetrija je egativa - pomerea ulevo, a kada je K A > 0, asimetrija je pozitiva - pomerea udeso. Što je koeficijet asimetrije veći po apsolutoj vredosti, raspodela je više asimetriča. Ako je K A < 0, 1 smatra se da asimetrije ema, ako je 0, 1 < K A < 0, 5 asimetrija je mala. Kada je 0, 5 < K A < 0, 5 asimetrija je sredja, a ukoliko je K A > 0, 5 asimetrija je velika. 6
Ekces ili koeficijet spljošteosti K E jedak je uli za ormalu raspodelu. Ako je K E > 0, tada je spljošteost krive raspodele maja od ormale, a kada je K E < 0 spljošteost je veća od ormale. Ako koeficijeti asimetrije i ekcesa bito e odstupaju od ule, smatra se da postoji osov za pretpostavku da je uzorak deo celokuposti u kojoj obeležje x kao slučaja promeljiva ima ormalu raspodelu učestaosti. Prof. Aleksadar Ivić Katedra Matematike RGF-a Uiverzitet u Beogradu -Dušia 7, 11000 Beograd Tel: 319 147, ivic@rgf.bg.ac.yu 7