Επανάληψη Κώστας Γλυκός Συναρτήσεις Παράγωγοι Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 6 Ασκήσεις 7 Ερωτήσεις θεωρίας Σε 7 σελίδες Kglys.gr / 7 / 0 6 εκδόσεις Καλό πήξιμο
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 Τα πάντα είναι παράγωγοι Επανάληψη συναρτήσεων (καλορινά μαθήματα). Να βρεις τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων : h() ln( ) f (),() g 4. Να βρεις την τιμή του λ ώστε η συνάρτηση να έχει πεδίο ορισμού το R,() f. Δίνονται οι συναρτήσεις f (),() g.να βρεις τη συνάρτηση f g 4. Να εξετάσεις τις συναρτήσεις αν είναι άρτιες ή περιττές : 5. Ποια η σχετική θέση των συναρτήσεων : 6. Να βρεις για τις συναρτήσεις : f (),() g f (),() g,() h 4 7. Να βρεις την f όταν ()() f g4 6,() g 8. Να βρεις την g όταν ()() f g,() f 9. Να βρεις μονοτονία ακρότατα των συναρτήσεων : () e,() b ln,() c,() d 4 f (),() g,() h τη σύνθεση : f g, h g, h f f () 4,() g ln,() h 0. Να εξετάσεις αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι - να βρεις την αντίστροφή τους : f (),() g,() h,(),() ln( e ) b. Να βρεις την αντίστροφη της f () 6, [0,). Αν f συνάρτηση -, διέρχεται από τα σημεία Α(,),Β(,), να υπολογίσεις να λύσεις την εξίσωση f (( f 9) ) f (),(),(),() f f f www.glys.gr
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88. Να υπολογίσεις τα όρια με τρόπους : m 6,, n 4 8, 4 7 4, 8, 0 () 4. Να υπολογίσεις τα όρια :,, 4 0 6 5. Δίνεται f (),, 6. Αν για κάθε χεr ισχύει : 7. Αν ()() 4() 6() 0, να υπολογίσεις το όριο της συνάρτησης στο 0,, f (), να υπολογίσεις f (0),(), f 0 0 4,, 5 f g f g, να υπολογίσεις τα όρια : (),() f f () 0 0 5 5 8. Να υπολογίσεις τα όρια :,,,, 0 0 9 4 4 9. Να υπολογίσεις τα όρια :, b 0. Να υπολογίσεις τα α,β ώστε το. Να υπολογίσεις τα όρια : g,,, 4 4,, 4, 4. Να υπολογίσεις το. Να βρεις τα α,β ώστε 4. Να βρεις τα α,β ώστε 5. Δίνεται η συνάρτηση όριο στο. 6. Δίνεται συνάρτηση 7. Δίνεται 4 9 5 ( ) b 4 4 b f () b, b, 5 f () () f 4() f 0 6 7.Να βρεις τα α,β αν διέρχεται από το σημείο Α(0,) υπάρχει το, ν.δ.ο. είναι αντιστρέψιμη να βρεις την f () 4 f ;,( f) ;,( 7) f; 5 f 8. Δίνεται συνάρτηση f () () f, ν.δ.ο. αντιστρέφεται, να βρεις αντίστροφη, μονοτονία κοινά τους σημεία www.glys.gr
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 9. Έστω f : R R : 0. Έστω f : R R :. ν () f, να βρεις () f f ()() f ; 5 7. Αν, να βρεις () f () f () ; f 07 07 f ()(0) f 0, 0 0 5() f () () f 4 f. Αν ()() f f ; f () 5 4. Αν ()() f 4() g6() f g 0, να βρεις (),() f 0 0 g f ()() f 5 ; 5. Αν 6. Να υπολογίσεις τα όρια : 7 6 6 8,, 0 4 8 8 7. Να υπολογίσεις τα όρια : 5 7 8 7 6, 9 5, 5 4 6,, 4 4 5, 4, www.glys.gr, 5, 9, 4 5, 4, 9, 4, 4 6 6, 9 6 49 4 4 4 8. Να υπολογίσεις τα εκθετικά όρια :,, 5 6 5 6 9. Να υπολογίσεις τα όρια : 40. 4. 4. ln ln 5 ln 4,, ln e 0 ln ln 0 5
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 4. 0 44. e e 45. 46. 47. 48. 49. 50. 5. ln ln 0 ln 0 ln e 0 e e e 5. 5. 54. 55. 56. 57. 58. 59. e 0 e ln ln 0 e e 60. 6. 6. 0 6. Λύσε ξανά τις ασκήσεις του διαγωνίσματος του Ιουλίου. Μέχρι Αυγούστου θα προτιμούσα να κάνεις επανάληψη λύνοντας ασκήσεις που ήδη έχουμε κάνει. Με τις παραπάνω να ασχοληθείς τελευταία εβδομάδα πριν αρχίσουμε μάθημα. 4 www.glys.gr
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 ΑΚΟΛΟΥΘΕΙ ΘΕΩΡΙΑ. Να δοθεί ορισμός διαστήματος :, b : b,, b : b [α,β),(α,β] ομοίως για. Να δοθεί ορισμός συνάρτησης : Έστω Α υποσύνολο του. Η διαδικασία που αντιστοιχεί κάθε στοιχείο του Α σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό y, Α: πεδίο ορισμού, y:τιμή της f στο. Ορισμός γραφικής παράστασης : Το σύνολο Μ(,y) όπου y=f(), f η συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α 4. Να δοθεί ορισμός ίσων συναρτήσεων : f g έχουν ίδιο πεδίο ορισμού Α για κάθε χεα : f()=g() 5. Πράξεις συναρτήσεων : f g f ()() g, f g f ()() g, fg ()() f g f () g() 6. Σύνθεση συναρτήσεων : Σύνθεση της f με g συμβολίζω τη συνάρτηση g f πεδίο ορισμού Ag f Af /() f Ag 7. Ορισμός γνησίως αύξουσας : f στο D όταν, D : 8. Ορισμός γνησίως φθίνουσας : f στο D όταν f g, με τύπο g f ()() g f τότε f f, D : τότε f f 9. Ορισμός μεγίστου, ελαχίστου : συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α : ε Α είναι μέγιστο τότε A:()() f f & ε Α είναι ελάχιστο τότε A:()() f f 0. Ορισμός συνάρτησης - : Αν f : A,, A : αν f f ή αν f f. Ορισμός αντίστροφης συνάρτησης : Αν f αντιστοιχίζει το χ στο y τότε η αντιστρόφως : f ()() y f y f αντιστοιχίζει το y στο. Τι γνωρίζω για την αντίστροφη εξίσωση : πεδίο ορισμού της μίας είναι το σύνολο τιμών της άλλης αντίστροφα. Έχουν συμμετρία ως προς y=. τα κοινά σημεία των. Πότε υπάρχει το όριο στο : f, f :()() f f Αν f ορισμένη στο,, ή f (), f f f f y y. Αν f γνησίως αύξουσα τότε για ή f () U b τότε () f l () () f f l 4. Κριτήριο παρεμβολής : Αν συναρτήσεις f, g, h :()()() h f g κοντά στο χο () h () g l τότε () f l 5. Όριο πολυωνυμικής συνάρτησης : Αν P()... τότε () P 6. Όριο ρητής συνάρτησης : Αν f ()... b b b... 7. Όριο εκθετικής συνάρτησης - Λογαριθμικής συνάρτησης : τότε () f b, ομοίως, ομοίως 5 www.glys.gr
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 Για α> : Για 0<α< :, 0,lg, lg 0, 0,lg, lg 0 8. Ορισμός συνέχειας στο : η συνάρτηση f είναι συνεχής στο : ()() f 9. Θεώρημα μονοτονίας : Αν f συνεχής στο Δ, f '() 0 σε κάθε εσωτερικό του Δ τότε είναι γνησίως αύξουσα f f '() 0 σε κάθε εσωτερικό του Δ τότε είναι γνησίως φθίνουσα 0. Τοπικά ακρότατα : αν f έχει πεδίο ορισμού το Α, χο ε Α είναι τοπικό μέγιστο αν υπάρχει δ ώστε f ()(), f A,. Ομοίως για τοπικό ελάχιστο. Κυρτότητα : f συνεχής στο Δ παραγωγίσιμη στο Δ f στρέφει κοίλα άνω (κυρτή), αν f ' είναι γν. αύξουσα (δηλ. f ''() 0 ) f στρέφει κοίλα κάτω (κοίλη), αν f ' είναι γν. φθίνουσα (δηλ f ''() 0 ). Σημεία καμπής :f παραγωγίσιμη στο (α,β) f κυρτή (α,χο) κοίλη στο (χο,β), έχει εφαπτομένη στο χ=χο ή f ''() 0. Κατακόρυφη ασύμπτωτη χ=χο : ένα τουλάχιστο από (), f () 4. Οριζόντια ασύμπτωτη y=λ : αν ισχύει () f () ή f f είναι ή 5. Πλάγια ασύμπτωτη y=λχ+β : αν ισχύει () f 0 () ή f 0 6. Κανόνας De l Hspitl : Αν () f 0, () 0g υπάρχει το όριο f () f'(). Ομοίως για την περίπτωσης που () f, () g() g'() 7. Ορισμός εφαπτομένης : Έστω f συνάρτηση Α(,f( )) σημείο της, αν υπάρχει το f ()() f τότε εφαπτομένη είναι η ευθεία που διέρχεται από το Α έχει συντελεστή διεύθυνσης το λ : y y () Καλές διακοπές g f '() g '() τότε 6 www.glys.gr