ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μια συνάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το όριο : lim και είναι πραγματικός αριθμός Τότε συμβολίζουμε το όριο αυτό με και το ονομάζουμε παράγωγος της στο Γενικότερα ισχύει ότι μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχουν τα δυο πλευρικά όρια lim, lim και είναι ο ίδιος πραγματικός αριθμός Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της τότε είναι και συνεχής στο σημείο Αν μια συνάρτηση είναι δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της τότε δεν είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο Για μια συνάρτηση :, R ορίζεται η παράγωγος συνάρτηση :, R αν και μόνο αν η είναι παραγωγίσιμη για κάθε α, β Για μια συνάρτηση : [, ] R ορίζεται η παράγωγος συνάρτηση : [, ] R αν και μόνο αν : α η είναι παραγωγίσιμη για κάθε α, β και βυπάρχουν τα πλευρικά όρια lim, lim και είναι πραγματικοί αριθμοί Η παράγωγος της γράφεται και λέγεται δεύτερη παράγωγος της Η παράγωγος της γράφεται ή και λέγεται τρίτη παράγωγος της Με τον ίδιο τρόπο υπολογίζονται η τέταρτη, πέμπτη παράγωγος ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συνάρτηση Παράγωγος c σταθερά c = = v v v v, > ημ συν ημ = συν συν = ημ εφ, εφ = ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ g g c c g g 4 g g g g g ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω συναρτήσεις : A R και g : B R με A B Αν η είναι παραγωγίσιμη σε κάθε Α και η g είναι παραγωγίσιμη σε κάθε B, τότε και η σύνθεσή τους g : A R είναι παραγωγίσιμη στο Α και ισχύει : g g Δηλαδή : g g g Συνάρτηση Παράγωγος g v g v v v g g g g g g g g g g g ημg συνg εφg g g g ημg =συνg g συνg = ημg g εφg = g g ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 4
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΣΗΜΕΙΟ - ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μια συνάρτηση λέγεται παραγωγισιμη σε σημείο του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το όριο lim, και είναι πραγματικός αριθμός Το όριο αυτό συμβολίζεται με ' και ονομάζεται παράγωγος της στο Δηλ ' = lim Η παράγωγος της συνάρτησης στο σημείο εκφράζει : Το ρυθμό μεταβολής του y= ως προς, όταν Το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης ε της γραφικής παράστασης της, στο σημεία επαφής, δηλαδή Την ταχύτητα t ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα και η θέση του δίνεται από τη συνάρτηση t, τη χρονική στιγμή t Είναι t t Την επιτάχυνση t ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα με ταχύτητα t, τη χρονική στιγμή t Είναι t t ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Άσκηση σελ 6 Α ομάδας σχολικού βιβλίου Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης i στο ii στο iii στο 4 Λύση : 9 9 i Έχω : lim lim lim 9 ii Έχω : lim lim lim 4 4 4 4 lim lim 4 4 iii Έχω : 4 4 4 4 4 6 8 8 4 4 lim lim lim lim lim lim ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Δίνεται η συνάρτηση = Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε την Δίνεται η συνάρτηση = Να αποδείξετε ότι η είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε την Δίνεται η συνάρτηση = α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β Να αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη στο 4 και να βρείτε την 4 4 Δίνεται η συνάρτηση = α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β Να αποδείξετε ότι είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε την EXTRA ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αν να βρείτε το 6 Αν να εξετάσετε αν η είναι παραγωγίσιμη στο 7 Αν να εξετάσετε αν η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο 8 Αν να εξετάσετε αν η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο, 9 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο, σημείο = Υποδ Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο τότε είναι και συνεχής στο Αν όμως δεν είναι συνεχής στο τότε δεν είναι και παραγωγίσιμη Αν Αν Αν Να εξετάσετε αν η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο σημείο να εξετάσετε αν η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο να εξετάσετε αν η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο να εξετάσετε αν η είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο, είναι συνεχής και, 4 Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο =7 και 7=, να βρείτε το lim 7 Να βρείτε τα α,β ώστε η συνάρτηση στο σημείο =, να είναι παραγωγίσιμη, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 6
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 7 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 6 Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων i 4 ii iii 7 iv 9 v vi ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ c, c, c,,,,, Επίσης ισχύουν οι εξής κανόνες παραγώγισης : g g c c, c g g g g g g g
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 8 vii Λύση : i 4 4 4 4 4 ii iii 7 7 7 iv 9 9 v vi vii 7 Να βρείτε την παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων i ii 7 iii 4 iv v vi Λύση : i 6 6 ii 7 6 7 7 6 8 6 4 iii 4 4 ] [ 4 4 ] [6 4 8 6 4 8 6 4 8 iv v
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ vi ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 8 Να υπολογίσετε, με χρήση των κανόνων παραγώγισης, τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: α = β g = 7 γ = δ = ε g = στ = ζ = 6 η = 4 θ = ι = ια = ιβ = ιγ = ιδ = 4 a, με αr 9 Να υπολογίσετε, με χρήση των κανόνων παραγώγισης, τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: 4 α = β = γ = δ = 7 ε = στ = ζ = η = θ = 4 ι = 4 8 ια = Να υπολογίσετε, με χρήση των κανόνων παραγώγισης, τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: α = ημ β = γ = + δ = ημ ε = στ = ημ συν ζ = η = + + ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 9
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Να υπολογίσετε, με χρήση των κανόνων παραγώγισης, τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: α = β = γ = δ = ε = στ = ζ = η = Να υπολογίσετε, με χρήση των κανόνων παραγώγισης, τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: α = β = γ = 6 + δ = ε = στ = ζ = π + συν η = ημ συν θ = συν Να βρείτε τη δεύτερη παράγωγο των παρακάτω συναρτήσεων : α = 6 4 + 7 + β = γ = δ = + ε = + στ = 4 ζ = 4 Υπολογίστε, με χρήση των κανόνων παραγώγισης τους παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: α β 4 γ δ ε στ 4 ζ θ ι 7 6 4 η Σύμφωνα με τους κανόνες παραγώγισης υπολογίστε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: α β γ δ ε στ ζ η 8 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ θ ι ια ιβ ιγ ιδ 6 Υπολογίστε, με χρήση των κανόνων παραγώγισης τους παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων: α β γ g δ g ε ζ η θ 7 Να βρείτε την παράγωγο της στο σημείο στις παρακάτω περισπτώσεις: α στο = β στο = 4 γ στο = δ στο = - ε στο = στ στο = 8 Να βρείτε τις παραγώγους των συναρτήσεων: 4 α β 4 6 4 γ δ 6 6 4 9 Δίνεται η συνάρτηση = α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β Να λύσετε την εξίσωση = 7 Δίνεται η συνάρτηση = +, όπου πραγματικός αριθμός Να αποδείξετε ότι: = + Έστω η συνάρτηση = + Να βρείτε τις ρίζες της Δίνεται η συνάρτηση a a, με α R, για τη οποία ισχύει : 7 α Να βρείτε τον αριθμό α β Να αποδείξετε ότι, για κάθε R γ Να βρείτε το όριο lim ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : Να βρείτε τις παραγώγους των παρακάτω συναρτήσεων : i ii iii iv v vi vii viii i Λύση : i ii ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ισχύει : g g g
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα iii iv v vi vii viii i ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : Να υπολογίσετε τις παραγώγους των σύνθετων συναρτήσεων: α = 4 β = ημ + συν γ = εφ δ = ε = στ = 4 Να υπολογίσετε τις παραγώγους των σύνθετων συναρτήσεων: α = + 6 β = 4 γ = ημ δ = ημ συν ε = στ = ζ = + συν η = + θ = Να υπολογίσετε τις παραγώγους των σύνθετων συναρτήσεων: α = + β = συν + γ = δ = ε = συν στ = ζ = η = θ = + ι = ια = ιβ ημ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 4 : ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ Αν δυο μεγέθη και y συνδέονται με τη συνάρτηση, έτσι ώστε y = και η είναι παραγωγίσιμη στο, τότε η παράγωγος εκφράζει το ρυθμό μεταβολής του μεγέθους y ως πρός, για τη συγκεκριμένη τιμή Έστω ότι το μέγεθος St αποτελεί τη συνάρτηση θέσης ενός κινητού ως πρός το χρόνο t, τότε ισχύουν : η ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t είναι: υt = S t η επιτάχυνση του σώματος τη χρονική στιγμή t είναι: γt = υ t ή γt = S t t ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 4 : ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ t ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : 6 Η αξία ενός ηλεκτρονικός υπολογιστής, σε χιλιάδες ευρώ, t χρόνια μετά από την αγορά του δίνεται κατά προσέγγιση από τη συνάρτηση : t, με t t α Ποιά θα είναι η αξία του υπολογιστή σε χρόνο από την αγορά του; β Ποιά θα είναι η αξία του υπολογιστή σε χρόνια από την αγορά του; γ Ποιός είναι ο ρυθμός μεταβολής της αξίας του υπολογιστή μετά από χρόνια; 7 Το συνολικό κόστος κατασκευής, σε χιλιάδες ευρώ, προιόντων το μήνα από μια εταιρία δίνεται από τη συνάρτηση : K α Ποιός είναι ο ρυθμός μεταβολής του συνολικού κόστους αν η εταιρία κατασκευάζει προιόντα το μήνα; β Πόσα προιόντα το μήνα πρέπει να κατασκευάζει η εταιρία ώστε ο ρυθμός μεταβολής του κόστους να είναι ; 8 Ένα σώμα κινείται πάνω σε ευθύγραμμο άξονα και η θέση του τη χρονική στιγμή t σε sc δίνεται από τη δυνάρτηση: St t 6t 9t, με t [,] Να βρείτε: α την ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή t = β την επιτάχυνση του σώματος τη χρονική στιγμή t = 4 γ ποιές χρονικές στιγμές το σώμα είναι στιγμιαία ακίνητο δ ποιά χρονικά διαστήματα το σώμα κινείται πρός τη θετική φορά και ποιά πρός την αρνητική ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 4
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 9 Η θέση ενός υλικού σημείου, το οποίο εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση δίνεται από τον τύπο: St t t 6t όπου t μετριέται σε δευτερόλεπτα και το S σε μέτρα α Να βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σημείου για t = β Πότε το σημείο είναι στιγμιαία ακίνητο; γ Να βρείτε ποιά χρονικά διαστήματα το σημείο κινείται στη θετική κατεύθυνση και ποιά στην αρνητική 4 Ένα σώμα αφήνεται να πέσει από την κορυφή ενός κτηρίου ύψους 4m, τη χρονική στιγμή t = sc Αν θεωρήσουμε την αντίσταση του αέρα αμέλητέα, το διάστημα που διανύει το σώμα μετά από t sc πτώσης δίνεται σε m από τη συνάρτηση St t α Να υπολογίσετε τι διάστημα έχει διανύσει το σώμα σε χρόνο t = και πόσο απέχει από το έδαφος β Να βρείτε το χρόνο που χρειάζεται το σώμα για να φτάσει στο έδαφος γ Να βρείτε τη συνάρτηση που υπολογίζει την ταχύτητα του σώματος κάθε χρονική στιγμή t δ Να βρείτε την ταχύτητα του σώματος τη χρονική στιγμή που φτάνει στο έδαφος ε Να βρείτε την επιτάχυνση του σώματος τη χρονική στιγμή που φτάνει στο έδαφος ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΜΟΝΟΤΟΜΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση :, R Αν ισχύει για κάθε α, β, τότε η είναι γνησίως αύξουσα στο α, β Αν ισχύει για κάθε α, β, τότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο α, β Αν ισχύει για κάθε α, β, τότε η είναι σταθερή στο α, β ΑΚΡΟΤΑΤΑ Μια συνάρτηση έχει τοπικό μέγιστο στο σημείο, αν υπάρχει ανοιχτό διάστημα α, β που περιέχει το, τέτοιο ώστε για κάθε α, β Μια συνάρτηση έχει τοπικό ελάχιστο στο σημείο, αν υπάρχει ανοιχτό διάστημα α, β που περιέχει το, τέτοιο ώστε για κάθε α, β Κριτήριο της πρώτης παραγώγου Αν για μια συνάρτηση ισχύουν για,, στο, και στο, τότε το είναι τοπικό μέγιστο της Αν για μια συνάρτηση ισχύουν για,, στο, και στο, τότε το είναι τοπικό ελάχιστο της Αν για μια συνάρτηση ισχύει αλλά η δεν αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν του, τότε το δεν είναι τοπικό ακρότατο και η είναι γνησίως μονότονη στο α, β Θεώρημα Frmat Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγίσιμη στο τότε ισχύει : Πιθανές θέσεις Τοπικών Ακροτάτων Συνάρτησης Τα άκρα διαστημάτων που αποτελούν το πεδίο ορισμού της Τα εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της στα οποία δεν υπάρχει η παράγωγό της Τα σημεία αυτά καλούνται γωνιακά σημεία της Τα εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της στα οποία υπάρχει η παράγωγό της και είναι ίση με μηδέν Τα σημεία αυτά καλούνται στάσιμα σημεία της Τα γωνιακά σημεία και τα στάσιμα σημεία λέγονται κρίσιμα σημεία της ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 6
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Εύρεση Μονοτονίας Ακρότατων Για να εξετάσουμε μια συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, ακολουθούμε την εξής διαδικασία : i Αρχικά βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της D ii Βρίσκουμε την ' χρησιμοποιώντας τους κανόνες παραγώγισης iii Λύνουμε την εξίσωση ' iv Κατασκευάζουμε τον πίνακα μεταβολών της στον οποίο πρέπει να περιέχονται το ΠΟ της καθώς και οι ρίζες της v Βρίσκουμε το πρόσημο της ' είτε λύνοντας τις ανισώσεις ' και ' είτε βρίσκοντας το πρόσημο μιας τιμής της ' σε κάθε διάστημα που ορίζουν οι ρίζες της vi Συμπληρώνουμε το είδος της μονοτονίας της ανάλογα με το πρόσημο της ' Ισχύει : Αν ' τότε η γνησίως αύξουσα Αν ' τότε η γνησίως φθίνουσα i Αν η ' αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν σε μια ρίζα της ', τότε η παρουσιάζει ακρότατο ii Αν η ' δεν αλλάζει πρόσημο, δηλαδή η δεν αλλάζει μονοτονία, τότε η δεν έχει ακρότατα ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 4 Να μελετηθούν ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα οι παρακάτω συναρτήσεις : i 6 ii 9 7 iii iv Λύση : i 6, D, 6, 6 - + - + γν φθίνουσα ΟΕ γν αύξουσα Για τα πρόσημα ισχύει η θεωρία για τις πρωτοβάθμιες ανισώσεις, δηλ δεξιά του ομόσημο του α δηλ του συντελεστή του Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : για κάθε, άρα η γνησίως φθίνουσα για κάθε,] για κάθε, άρα η γνησίως αύξουσα για κάθε [, Η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο, το 6 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 7
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ii 9 7, D, 6 9, 6 9, ή, - - + + - + γν γν αύξουσα ΤΜ φθίνουσα ΤΕ γν αύξουσα Για τα πρόσημα ισχύει η θεωρία για τις δευτεροβάθμιες ανισώσεις, δηλ όταν Δ> και η εξίσωση έχει ρίζες, τότε για τα πρόσημα ισχύει ότι εντός των ριζών είναι ετερόσημο του α δηλ του συντελεστή του Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : για κάθε,, άρα η γνησίως αύξουσα για κάθε, ] και για κάθε [, για κάθε, άρα η γνησίως φθίνουσα για κάθε [, ] Η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο, το 4 Η παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο, το iii iv, D,, - + - + γν φθίνουσα ΟΕ γν αύξουσα Για το πρόσημο της δεν ισχύει κάποια θεωρία, άρα για να το υπολογίσω θα λύσω τις ανισώσεις και των ανισώσεων συμπληρώνουμε το παραπάνω πινακάκι Με τη βοήθεια αυτών Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : για κάθε, άρα η γνησίως φθίνουσα για κάθε, ] για κάθε, άρα η γνησίως αύξουσα για κάθε [, Η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο, το, D,,, + + - γν αύξουσα ΟΜ γν φθίνουσα Για το πρόσημο της δεν ισχύει κάποια θεωρία, άρα για να το υπολογίσω θα λύσω τις ανισώσεις και ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 8
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ά ά Με τη βοήθεια αυτών των ανισώσεων συμπληρώνουμε το παραπάνω πινακάκι Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : για κάθε, άρα η γνησίως αύξουσα για κάθε, ] για κάθε, άρα η γνησίως φθίνουσα για κάθε [, Η παρουσιάζει ολικό μέγιστο στο, το ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : Προσδιορισμός Παραμέτρων Όταν ο τύπος μιας συνάρτησης περιέχει παραμέτρους και γνωρίζουμε ότι η παρουσιάζει ακρότατο σε κάποιο σημείο του πεδίου ορισμού της, τότε για να βρούμε την παράμετρο Αφού στο η παρουσιάζει ακρότατο τότε ισχύει Με την επίλυση της συγκεκριμένης εξίσωσης βρίσκουμε την τιμή της παραμέτρου Επειδή η συνθήκη δεν είναι αρκετή για να παρουσιάζει η ακρότατο στο πρέπει επιπλέον η να αλλάζει πρόσημο εκατέρων του, πρέπει να εξετάσουμε αν οι τιμές των παραμέτρων είναι δεκτές Γι αυτό αντικαθιστούμε τις τιμές των παραμέτρων στον τύπο της και τη μελετάμε ως προς τα ακρότατα ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ : 4 Δίνετε η συνάρτηση,,, Να βρείτε τις τιμές των παραμέτρων α,β αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο το Λύση : D, 6 Για να παρουσιάζει η ακρότατο στο, πρέπει : 6 Επίσης το ακρότατο στο είναι το άρα 4 Από και έχω : 4 Άρα : 6 9, 9, 9 4, ή, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 9
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ - + + - + γν αύξουσα ΤΜ γν φθίνουσα ΤΕ Όπως βλέπουμε και από το πινακάκι : Η παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο, το Άρα οι λύσεις α= και β= είναι δεκτές ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ : γν αύξουσα 4 Να μελετήσετε ως πρός τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: α 6 β γ 4 δ 4 8 44 Να μελετήσετε ως πρός τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις: α β γ δ 4 Να μελετήσετε ως πρός τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: α 4 β γ 6 8 δ 9 4 ε 6 4 στ 46 Να μελετήσετε ως πρός τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: α 6 β 4 4 γ 8 6 δ 8 8 4 4 4 ε στ 8 7 4 47 Να εξετάσετε τη μονοτονία των παρακάτω συναρτήσεων και να βρεθούν όπου υπάρχουν τα πιθανά ακρότατα α β γ 7 δ 4 ε στ 6 48 Να εξετάσετε τη μονοτονία των παρακάτω συναρτήσεων και να βρεθούν όπου υπάρχουν τα πιθανά ακρότατα 4 α, β, 4 4 4 4 γ, δ, ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 9 ε, στ, 8 ζ,, η, 49 Να εξετάσετε τη μονοτονία των παρακάτω συναρτήσεων και να βρεθούν όπου υπάρχουν τα πιθανά ακρότατα α, β, γ, δ, ε, στ, Να εξετάσετε τη μονοτονία των παρακάτω συναρτήσεων και να βρεθούν όπου υπάρχουν τα πιθανά ακρότατα α β γ δ ε 6 6 στ ζ η Να εξετάσετε τη μονοτονία των παρακάτω συναρτήσεων και να βρεθούν όπου υπάρχουν τα πιθανά ακρότατα α, β, γ, δ, Δίνεται η συνάρτηση : R R με τύπο : α Να υπολογίσετε την παράγωγο της β Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία γ Να βρείτε τα σημεία στα οποία η συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατα δ Να υπολογίσετε τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης Να βρείτε για ποιες τιμές του R η συνάρτηση 4 παρουσιάζει ακρότατο στο Για την τιμή του α που υπολογίσατε να βρείτε το είδος του ακροτάτου και την τιμή του 4 Δίνεται η συνάρτηση : R R με παράγωγο : 6 6 α Να δείξετε ότι και β Να μελετήσετε τη συνάρτηση : ως προς τη μονοτονία γ Για ποιες τιμές του η παρουσιάζει ακρότατα και ποιο είναι το είδος των ακροτάτων αυτών; ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Να βρείτε για ποιες τιμές των, R η συνάρτηση παρουσιάζει ακρότατο στα σημεία και Στη συνέχεια να βρείτε το είδος των ακροτάτων αυτών και να υπολογίσετε τις τιμές τους 6 Δίνεται η συνάρτηση : 7, με, R Αν η παρουσιάζει στο τοπικό ακρότατο ίσο με να βρείτε : α τους αριθμούς λ,μ β το είδος και τις τιμές των ακροτάτων της 7 Δίνεται η συνάρτηση 6, με α,β R Αν η παρουσιάζει ακρότατο στο ίσο με 7, να βρείτε: α τους αριθμούς α και β β το είδος και τις τιμές των τοπικών ακροτάτων της ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα