MASARYKOVA UNIVERZITA Přírodovědecká fakulta Metóda dielčích aktivít Diplomová práca Brno 2009 Michal Belko
POĎAKOVANIE Ďakujem vedúcemu diplomovej práce doc. RNDr. Janovi Pasekovi, CSc. za cenné rady a pripomienky pri vedení mojej diplomovej práce.
PREHLÁSENIE Prehlasujem, že som celú diplomovú prácu vypracoval samostatne za použitia uvedenej literatúry....
Obsah 1 Alokácia nákladov 7 1.1 Manažérske účtovníctvo..................... 7 1.2 Nákladové účtovníctvo...................... 7 1.2.1 Kalkulácie......................... 8 1.2.2 Typy alokácie nákladov.................. 8 1.2.3 Postup alokácie priamych nákladov........... 9 1.2.4 Postup alokácie nepriamych nákladov.......... 9 1.2.5 Kalkulačný vzorec.................... 10 1.3 Metódy kalkulácie......................... 11 1.3.1 Kalkulácie delením.................... 11 1.3.2 Kalkulácia prirážková................... 12 1.3.3 Kalkulácie v združenej výrobe.............. 13 2 Metóda dielčích aktivít 14 2.1 Zdroje, aktivity a nosiče nákladov................ 15 2.2 Čo je Metóda dielčich aktivít?.................. 15 2.3 Dvojfázová procedúra určenia nákladov............. 16 3 Vytváranie ABC systému 18 3.1 Krok 1: Identifikácia zdrojových nákladov a aktivít........... 18 3.2 Úrovne aktivít........................... 21 3.3 Krok 2: Určenie zdrojových nákladov aktivitám............. 21 3.4 Krok 3: Priradenie nákladov aktivít nákladovým objektom....... 23 4 Výhody a nevýhody ABC 26 4.1 Výhody.............................. 26 4.2 Nevýhody............................. 27 4
OBSAH 5 5 Porovnanie určenia nákladov metódou založenou na objeme a metódou ABC 29 5.1 Objemové určenie nákladov................... 29 5.2 Metóda ABC........................... 30 6 Stochastické programovanie 33 6.1 Konštrukcia množiny prípustných riešení............ 34 6.1.1 Použitie stredných hodnôt................ 34 6.1.2 Použitie scenárov..................... 35 6.1.3 Použitie pravdepodobnostných obmedzení....... 35 6.2 Konštrukcia účelovej funkcie................... 40 6.3 Praktické aplikácie stochastického programovania....... 43 6.3.1 Konštrukcia množiny prípustných riešení........ 45 6.3.2 Konštrukcia účelovej funkcie............... 49 7 Záver 54 Použitá literatúra 55
Úvod V manažérskom účtovníctve veľmi záleží na presnosti výpočtu nákladov. Mať presné náklady je dôležité z mnohých dôvodov. Napríklad v ťažkých obdobiach spoločnosť vie, ktorý produkt je najziskovejší a môže presunúť zdroje na výrobu práve k takému typu výrobku. Alternatívne je možné zistiť prečo zisky firmy klesajú, i keď jej predaje rastú. Inokedy spoločnosť so svojou ponukou stráca konkurencieschopnosť a nevie prečo. V mnohých prípadoch zodpovedajú tieto otázky presné informácie o nákladoch. Dokonca môžu poskytnúť firme konkurenčnú výhodu. Metóda dielčich aktivít je metóda vyjadrujúca presné náklady. Tento spôsob účtovania je relatívnou inováciou v metódach účtovania nákladov, ktorú však využíva čoraz väčší počet organizácií z rôznych odvetví. U tejto metódy sa začíná rozložením podnikových procesov do dielčich aktivít, pričom sa zameriava predovšetkým na oblasti, v ktorých vznikajú réžijné náklady. Náklady zistené na aktivitu sa alokujú na výkony podľa objemu tzv. nosičov nákladov (cost driverov), ktoré udávajú, koľko ktorý výrobok spotreboval tej ktorej aktivity. Rozrátavanie nákladov podľa objemu dáva menšie stimuly ku kontrole nepriamych nákladov. Riešením v tomto prípade je použitie metódy ABC, ktorá priraďuje réžijné náklady k produktom použitím detailnejších informácii na základe aktivít, ktoré vytvárajú nepriame náklady. Pri získaní presnejších nákladov na daný produkt je potom jednoduchšie stanoviť tomuto výrobku cenu. Práve rozdiel medzi výdajmi a príjmami spoločnosti je predmetom najväčšieho záujmu. Na základe skúsenosti firmy z predošlých rokov alebo zo všeobecne známych princípov už spoločnosť dokáže približne určiť budúci vývoj. Využitie stochastického programovania nám umožní optimalizovať produkciu. Jeho prínosom je získanie optimálneho riešenia pri rôznych scenároch vývoja. Prvá kapitola tejto práce sa zaoberá manažérskym účtovníctvom a metódami alokácie nákladov. V ďalších kapitolách je teoreticky i prakticky popísaná metóda dielčích aktivít. Záverečná časť práce predstavuje možnosti stochastického programovania pri optimalizácii produkcie firiem. 6
Kapitola 1 Alokácia nákladov 1.1 Manažérske účtovníctvo Manažérske účtovníctvo slúži pre vnútorné riadenie podniku a je plne v právomoci manažmentu. Nie je obmedzované zákonnými predpismi a jeho zmyslom je poskytnúť manažérom súbor informácií potrebných pre efektívne riadenie. Všeobecne sa charakterizuje ako systém, ktorý zobrazuje a skúmá ekonomickú realitu tým, že triedi, zoskupuje, analyzuje informácie o podnikateľskej činnosti do prehľadov a výkazov, ktoré majú pomôcť riadicim pracovníkom pri ich rozhodovaní a riadení. Je vymedzené značne široko a to nielen v zmysle zobrazenia ekonomickej reality, tak aj z hľadiska použitých metód. Celkovo môžeme povedať, že manažérske účtovníctvo zahrňuje všetky funkcie nákladového účtovníctva, z ktorého sa postupne vyvinulo, ale naviac vypracováva analýzy a ďalšie podklady pre rozhodovanie manažmentu podniku vrátane návrhov na opatrenia zamerané do budúcnosti. 1.2 Nákladové účtovníctvo Nákladové účtovníctvo je chápané užšie. Jeho predmet zobrazenia sa zameriava predovšetkým na náklady a až odvodene na výnosy a zisk. Zmyslom nákladového účtovníctva je poskytnúť informácie o skutočnom vývoji prijatého variantu a o súlade tohoto vývoja s predpokladmi učinenými v predbežných kalkuláciach a rozpočtoch. Nákladové účtovníctvo zisťuje, aké sú skutočné náklady prevádzaných výkonov, aké boli dopredu uvažované stanovené náklady na ich výrobu či prevedenie a ako sa tieto náklady menia. Nákladové účtovníctvo je úzko spojené s kalkuláciami, rozpočtami, hmotnou stránkou procesov a finančnou kontrolou. Môže byť zamerané na výkony alebo na strediská, prípadne i na procesy. Využíva údaje finančného 7
1. Alokácia nákladov 8 účtovníctva, kalkulácií, operatívnej evidencie. Používa štatistické, matematické metódy a postupy. Zaisťuje sústavnú kontrolu hospodárenia podniku a poskytuje podklady pre manažérske rozhodnutia. 1.2.1 Kalkulácie Kalkulácie predstavujú prostriedok, s pomocou ktorého sa v danej aktivite vyčísluje efektívnosť dosiahnutia určitého ekonomického prospechu. Náklady sa všeobecne definujú ako v dôchodkoch vyjadrené vynaloženie ekonomických zdrojov, uskutočnené za určitým dopredu vymedzeným účelom. Náklady majú vždy svoj konkrétny objekt, s ktorým sa príčinne spojujú. Môže to byť napr. vyrábaný produkt, poskytovaná služba, prevedená práca atď. K riadeniu nákladov je nevyhnutné ich priraďovanie k jednotlivým výkonom. To je práve úlohou kalkulácií, ktoré sa v podniku používajú k stanoveniu vnútropodnikových cien výkonov, k zostavovaniu rozpočtov, ku kontrole a rozboru hospodárnosti výroby a rentability finálnych výkonov. Pre potreby kalkulácie členíme náklady na priame a nepriame. Prvý typ nákladov súvisí priamo s konkrétnym druhom výkonov. Nepriame náklady sú také, ktoré nemôžeme jednoznačne priradiť, pretože súvisia s väčším množstvom výkonov. Kalkulácie spoločne s normami, štandardami a limitami sú nástrojom určenia predovšetkým priamych nákladov na jednotlivé výrobky. Rozbor kalkulácií vedie k odhaľovaniu nedostatkov v riadení. Základným postupom je porovnávanie, kde porovnávame výsledné kalkulácie s plánovanými. Ďalej môžeme skontrolovať výsledné kalkulácie rovnakých výrobkov vyrábaných v rôznych závodoch a podobne. Porovnanie kalkulácií poskytuje informácie o zmene celkových nákladov i o zmenách ich štruktúry. Nepriaznivé odchýlky ukazujú na nedostatky v organizácií výroby a práce, na neplnenie noriem spotreby výrobných činiteľov, prípadne na nedodržovanie limitov réžijných nákladov. Výsledkom analýzy príčin rozdielov by mal byť návrh opatrení k odstráneniu nedostatkov, ktoré vyplynuli z rozborov. 1.2.2 Typy alokácie nákladov Alokáciou nákladov je proces priraďovania nákladov konečným výkonom, ktorého cieľom je vyjadriť mieru príčinnej súvislosti medzi alokovanými nákladmi a finálnym výkonom. Môžeme rozlišiť tri základné princípy, z ktorých alokácia nákladov vychádza:
1. Alokácia nákladov 9 1. Princíp príčinnej súvislosti, ktorý vychádza z úvahy, že každý objekt alokácie má byť zaťažený takými nákladmi, ktoré príčinne vyvolal. 2. Princíp únosnosti nákladov, ktorý udáva akú výšku nákladov je schopný objekt alokáce uniesť. 3. Princíp priemerovania, o ktorom by sme však mali uvažovať až v prípade, kedy nemôžeme uplatniť princíp príčinnosti. 1.2.3 Postup alokácie priamych nákladov Priraďovanie nákladov prebieha v troch fázach: V prvej fáze alokácie sa priraďujú priame náklady takému objektu alokácie, ktorý príčinne vyvolal ich vznik. Takým objektom alokácie môže byť konkrétne stredisko, ktoré zaisťuje konkrétnu činnost. U spotreby jednicového materiálu alebo miezd je týmto objektom alokácie priamo finálny výkon, čiže produkt. V prvej fáze sa jedná o rozdelenie prvotných nákladov. Účelom druhej fázy je čo najpresnejšie vyjádriť vzťah nákladov, ktoré sú nepriame k finálnemu výkonu, k takému objektu, ktorý vyvolal ich vznik a alokovať ich na princípe príčinnej súvislosti. V podstate prebieha prerozdelenie nákladov z jedného objektu na druhý. Toto prerozdelenie nákladov môže prebiehať zúčtováním druhotných nákladov medzi strediskami. Cieľom poslednej fázy je čo nejpresnejšie vyjadrenie podielu nepriamych nákladov pripadajúcich na druh vyrábaného alebo vykonávaného výkonu, tj. na finálny výkon. 1.2.4 Postup alokácie nepriamych nákladov Nepriame náklady sa na jednotlivé výkony účtujú pomocou vhodne zvolených nosičov nákladov (nákladových kľúčov). Nosič nákladov prepojuje nepriame nákladoy a objekt alokácie. Nákladové kľúče pre rozvrhovanie režijných nákladov by mali byť zvolené tak, aby režijné náklady k nej boli v príčinnej závislosti, boli dostatečne veľké, ľahko zistitelné a tvorili podstatný podiel v štruktúre nákladov. Nosiče nákladov môžeme rozdeliť na naturálne a peňažné.
1. Alokácia nákladov 10 Peňažné nákladové kľúče, z ktorých najrozšírenjšími sú priame mzdy a priamy materiál, sa zisťuje percento prirážky réžijných nákladov. Prednosťou peňažných nosičov nákladov je ich ľahké a presné zišťovanie z účtovníctva pre výslednú kalkuláciu. Naturálne nákladové kľúče, kde je vypočítaná sadzba nepriamych nákladov v peňažných jednotkách na jednu naturálnu jednotku nosiču nákladu. Hľadanie naturálných nosičov nákladov je zložitejšie a ich výber je uskutočnený na základe skúseností alebo konkrétnych hospodárskych rozborov. Ako nákladové kľúče sa doporučuje používať naturálne ukazovatele, ako napríklad hmotnostné jednotky, objemové jednotky, hodiny práce, strojové hodiny apod.. 1.2.5 Kalkulačný vzorec Kalkuláciou sa v najvšeobecnejšom poňatí rozumie prepočet nákladov, marže, zisku, ceny alebo inej hodnotovej veličiny na výrobok, prácu alebo službu. Predmet kalkulácie je daný jednak kalkulačnou jednicou a ďalej kalkulovaným množstvom. Kalkulačná jednica predstavuje konkrétny výkon (výrobok, polotovar, prácu alebo službu), ktorý je vymedzený mernou jednotkou, napr. jednotkou množstva (kusy), hmotnosti (kg), dĺžky (m), plochy (m2), času (h)... Štruktúra nákladových položiek, v ktorých sa stanovujú a zisťujú náklady výkonov, je vyjadrená v tzv. kalkulačnom vzorci. Štruktúra kalkuláce, ktorá je historicky najstaršia a typická je tzv. kalkulácia plných nákladov. Táto kalkulácia priraďuje konkrétnemu výkonu všetky náklady, ktoré boli v podniku vynaložené od vytvorenia výkonu, cez jeho dokončenie až po jeho predaj na trhu. V tomto prípade sú kalkulované na jednotku výkonu náklady vyvolané konkrétnym výkonom aj podiel spoločných režijných nákladov strediska, popr. podniku. U kalkulácie plných nákladov je venovaná hlavná pozornosť spôsobu priraďovania jednotlivých nákladových položiek, tzn. rozlíšenie nákladov na priame a nepriame (réžijné). Kalkulačný vzorec plných nákladov: 1. priamy materiál 2. priame mzdy 3. ostatné priame náklady 4. výrobná réžia 5. správna réžia
1. Alokácia nákladov 11 6. odbytové náklady Prvé štyri položky v kalkulačnom vzorci predstavujú vlastné náklady výroby. Vlastné náklady výkonu reprezentujú záznamy jedna až päť. Všetky zložky kalkulačného vzorca plných nákladov sú úplnými vlastnými nákladmi výkonu. Priame náklady sa priamo priraďujú jednotlivým druhom výrobkov. Do položky priamy materiál patria najmä suroviny, základný materiál, polotovary, pomocný a ostatný materiál. Ide o materiál, ktorý sa spravidla stáva trvalou súčásťou výrobkov alebo prispieva k vytvoreniu jeho potrebných vlastností. Položka priame mzdy spravidla obsahuje základné mzdy, príplatky a doplatky ku mzde a odmeny výrobných pracovníkov priamo súvisiace s kalkulovanými výkonmi. Do položky ostatné priame náklady sa spravidla zahrňuje technologické palivo a energie, odpisy, opravy a udržovanie a iné. Nepriame náklady sú náklady vynakladané spoločne na celé kalkulované množstvo výrobkov, viac druhov výrobkov alebo na zaistenie chodu celého podniku. Jedná sa o náklady, ktoré nie je možné stanoviť na kalkulačnú jednicu priamo alebo ich priame priraďovanie by bylo nehospodárne. Hranica mezi priamymi a nepriamymi nákladmi je relatívna a záleží vždy na konkrétnom druhu výroby. Platí všeobecné pravidlo, že čým viac nákladov môžeme priradiť priamo na kalkulačnú jednicu, tým je kvalita kalkulácie väčšia, má väčšiu vypovedaciu schopnosť. Nepriame náklady sa na jednotlivé výkony účtujú nepriamo za pomoci vhodne zvolených rozvrhových základní. 1.3 Metódy kalkulácie Metódou kalkulácie sa rozumie spôsob stanovenia jednotlivých zložiek nákladov na kalkulačnú jednicu. Metódy sú závislé na predmete kalkulácie, teda či je predmetom jednoduchý alebo zložitý výrobok. Rovnako závisia na spôsobe pričítania nákladov výkonom, čo značí priraďovanie nákladov na kalkulačnú jednicu a ďalej na požiadavkoch na štruktúru a podrobnosť členenia nákladov. 1.3.1 Kalkulácie delením Prostá kalkulácia delením Náklady na kalkulačnú jednicu sa zisťujú delením úhrnných nákladov počtom kalkulačných jedníc. Metóda sa najčastejšie používa v hromadnej výrobe (ťažba uhlia a rúd, výroba nápojov apod.)
1. Alokácia nákladov 12 Stupňovitá kalkulácia delením Metóda sa používá pri oddelení výrobných, správnych alebo odbytových nákladov, keď sa líši počet vyrobených a predaných výrobkov. Uplatňuje sa vo fázovej výrobe, kde výrobok postupne prechádza niekoľkými výrobnými stupňami. V tomto prípade zostavujeme kalkulácie pre jednotlivé výrobné stupne, čo znamená, že meriame objem produkcie a zisťujeme náklady zvlášť pre každý výrobný stupeň. Kalkulácie delením s pomerovými číslami Kalkulácia sa používa pri výrobe takých druhov výrobkov, ktoré sa líšia len veľkosťou, tvarom, hmotnosťou, pracnosťou alebo akosťou a u ktorých by sa výrobné náklady podľa jednotlivých druhov výrobkov zisťovali obtiažne. Pomerové čísla sa volia napr. podľa pomeru spotreby času na výrobu, hmotnosti, priamych miezd apod. Objem výroby v pomerových jednotkách vypočítame násobením pomerových čísiel a príslušného objemu výroby a ich sčítaním. Celkové náklady delíme súčtom pomerových jednotiek, čím dostaneme náklady na jednu jednotku základného výrobku. Náklady ostatných výrobkov dostaneme vynásobením nákladov základného výrobku pomerovými číslami. 1.3.2 Kalkulácia prirážková Táto metóda sa používa pre kalkulovanie réžijných nákladov pri výrobe rôznorodých výrobkov, najmä v sériovej a hromadnej výrobe. Náklady je nutné rozdeliť do dvoch skupín: náklady priame a réžijné. Priame náklady sa zistia priamo na kalkulačnú jednicu, kdežto réžijné náklady sa vypočítajú pomocou zvoleného nákladového kľúča a zúčtovacej prirážky ako prirážka k priamym nákladom. Prirážka je stanovená buď percentom, ktoré zistíme ako podiel réžijných nákladov na nákladový druh zvolený za nosič nákladov, alebo sadzbou, ktorú vypočítame ako podiel réžijných nákladov na jednotku naturálneho nákladového kľúča. Je vhodné, aby sa čo najviac nákladov vykazovalo vo forme priamych nákladov. Jednou z variant tejto metódy je kalkulácia strojových prirážok. Náklady zisťujeme pre každý stroj a ich súčet za zúčtovacie obdobie delíme počtom hodín prevádzky stroja. Tým dostaneme prirážku réžie na jednu hodinu príslušného stroja. Podľa spotreby strojového času na jednotlivé výrobky premietneme tieto náklady do kalkulácií výrobkov.
1. Alokácia nákladov 13 1.3.3 Kalkulácie v združenej výrobe Odčítacia metóda Metóda sa používa v združenej výrobe, t.j. vo výrobe, kde v dôsledku technologického postupu nevyhnutne vzniká viac výrobkov a to pokiaľ môžeme jeden považovat za hlavní a ostatné výrobky za vedľajšie. Metóda spočívá v tom, že od celkových nákladov za zúčtovacie obdobie sa odpočítajú vedľajšie výrobky ocenené predajnými cenami (popr. cenami podľa plánovaných kalkulácií apod.) a zostatok sa považuje za náklady hlavného výrobku. Náklady na kalkulačnú jednicu hlavného výrobku zistíme delením týchto zostávajúcích nákladov počtom kalkulačných jedníc hlavného výrobku. Rozpočítavacia metóda Metóda sa používa rovnako v združenej výrobe za situácie, ak nemôžeme združené výrobky rozdeliť na hlavné a vedľajšie. Celkové náklady sa rozpočítajú na jednotlivé výrobky podľa pomerových čísel vypočítaných z množstva získaných výrobkov alebo podľa množstva suroviny vstupujúcej do jednotlivých výrobkov alebo podľa pomeru technických vlastností či cien jednotlivých výrobkov.
Kapitola 2 Metóda dielčích aktivít Ukážme si jednoduchý príklad, v čom je táto metóda odlišná. Predstavte si seba a vašich dvoch kamarátov v reštaurácii. Všetci traja si objednáte rovnaké denné menu a dezert k tomu. Jeden z vašich priateľov má však veľký apetít a objedná si dodatočne ešte jeden dezert navyše. Keď sú už všetci nasýtení, nastane čas platenia. Vtedy váš kamarát navrhne, že si účet rozdelíte na tretiny. Je to fér? Asi by mal váš známy navrhnúť, že zaplatí za dva dezerty. Jednotlivé menu sú priamym nákladom pre každého z vás a rovnaký podiel je férový, ale rozdelenie nákladov za dezerty rovnako by zvýhodňovalo vášho nenásytného kamaráta na váš úkor. Podobný príklad si môžeme uviesť z výrobného prostredia. Predpokladajme, že vy a vaši dvaja kamaráti ste produktový manažéri v továrni na výrobu nábytku. Jeden z vašich kamarátov má na starosti výrobu sedacích súprav, druhý sa zaoberá kuchyňskými kútmi a vy sa staráte o výrobu nábytku do spální. Každý z vašich produktov má určité priame materiálové náklady a mzdové náklady. Do nákladov týchto produktov však musíte zarátať aj nepriame náklady, ako napríklad získanie materiálov, ich skladovanie, kontrola produktov, údržba prístrojov, rozvrhnutie smien, dozor nad pracovníkmi a mnoho ďalších. Povedzme, že sa firma rozhodne rozdeliť nepriame náklady jednotlivých produktových manažérov poďla počtu ich vyrobených produktov k celkovému počtu výrobkov. Je však veľmi pravdepodobné, že použitie týchto aktivít nie je proporcionálne k počtu vyprodukovaných jednotiek. To znamená, že niektorý z manažérov je nadhodnotený a iný podhodnotený pri takomto rozdelení nákladov. Predstavte si, že napríklad vy oveľa častejšie musíte kontrolovať produkty ako vaši kolegovia. Vtedy by bolo správne, keby sa väčšia časť réžijných nákladov súvisiacich s inšpekciou presunula k vám. Rovnako tak by ste vy nemali platiť za pracovný dozor, keď takúto činnosť pre vašu časť výroby vôbec nevykonávate. Pre rozvoj tohoto nákladového sytému potrebujeme pochopiť vzťah medzi 14
2. Metóda dielčích aktivít 15 zdrojmi, aktivitami a produktami alebo službami. Zdroje sú spotrebovávané činnosťami a produkty a služby sú výsledkom aktivít. Mnohé z používaných zdrojov prechádzajú k jednotlivým výrobkom a službám ako priame materiálne alebo priame náklady na prácu. Avšak réžijné náklady sú priradené zo zdrojov cez firemné aktivity k výrobe produktov a poskytnutiu služieb. 2.1 Zdroje, aktivity a nosiče nákladov Predtým ako prejdeme k podrobnejšiemu popisu metódy dielčích aktivít zadefinujme si najskôr pár dôležitých pojmov. Zdroj (Resource) je ekonomická zložka potrebná k vykonaniu činnosti alebo spotrebovaná pri výkone aktivity. Mzdy a zásoby sú zdroje potrebné k vykonávaniu činností spojených s výrobou. Aktivita (Activity) je špecifická úloha alebo vykonaná práca. Aktivitou môže byť jedna činnosť, alebo agregácia viacerých činností. Napríklad presťahovanie kancelárie z miesta A do miesta B je jednou činnosťou, zatiaľčo nastavenie produkcie je aktivitou zahŕňajúcou viacero činností. Nákladový objekt, predmet alokácie (Cost object) je výsledný náklad na produkt spoločnosti alebo službu, ktorú firma poskytuje, prípadne náklad na konkrétneho zákazníka spoločnosti. Nosič nákladov, nákladový kľúč, vzťahová veličina (Cost driver) je faktor, ktorý zapríčiňuje alebo súvisí so zmenami v nákladoch aktivít. Nosiče nákladov sú základom pre určenie nákladov zo zdrojov k aktivitám a pre určenie nákladov aktivít k nákladovým objektom. Nosič nákladov spotreby zdrojov (Resource consumption cost driver) je miera množstva zdrojov spotrebovaných aktivitou. Nosič nákladov spotreby aktivít (Activity consumption cost driver) je miera množstva činností vykonaných pre nákladový objekt. 2.2 Čo je Metóda dielčich aktivít? Keď už poznáme základné pojmy, ktoré táto metóda využíva, môžeme si tento prístup k alokácii nákladov predstaviť. Metóda dielčích aktivít ABC (Activity-based costing) je nákladová metóda, ktorá určuje náklady zdrojov k nákladovým objektom na základe aktivít vykonaných počas výroby daného produktu alebo prípravy určitej služby. ABC využíva vzťahy medzi nákladmi zdrojov, nákladovými kľúčmi, aktivitami a nákladovými objektami.
2. Metóda dielčích aktivít 16 2.3 Dvojfázová procedúra určenia nákladov Štandardný prístup určenia nákladov v prvom kroku rozdelí réžijné náklady k jednotlivým nákladovým prevádzkam alebo nákladovým oddeleniam. Tento prístup je vhodný a jednoduchý, pretože mnohé účtovné systémy kumulujú náklady na oddelenia firmy. V druhom kroku je prevádzková réžia pridelená k nákladovým objektom. Metóda priradenia nákladov podľa objemu pravdepodobne skreslí náklady na daný produkt alebo službu. Odchýlka nastáva hlavne v druhom kroku tohoto prístupu, kde sú väčšinou použité ako nosiče nákladov napríklad odpracované hodiny alebo počet jednotiek výstupu. Toto skreslenie nastane, pretože nie vždy všetky produkty spotrebujú náklady zo zdrojov v takomto pomere. Najčastejšou príčinou je veľká diverzifikácia produkcie spoločnosti, či už v dôsledku rôzneho objemu alebo rôznej veľkosti. Metóda dielčích aktivít v prvom kroku určí firemné režijné náklady k aktivitám alebo nákladovým centrám aktivít použitím vhodných zdrojových nosičov nákladov. V druhom kroku priradí náklady aktivít alebo nákladových centier aktivít k nákladovým objektom s využitím nosičov nákladov spotreby aktivít. Použitím oboch nákladových kľúčov v prvom aj druhom kroku poskytuje metóda ABC presnejšiu mieru nákladov výrobkov a služieb.
2. Metóda dielčích aktivít 17 Keď si to zhrnieme, tak metóda dielčích aktivít sa odlišuje od objemového prístupu. Poprvé, ABC systém definuje aktivity skôr ako prevádzkové nákladové centrá. Po druhé, nákladové kľúče, ktoré používa ABC systém pre priradenie nákladov aktivít k nákladovým objektom sú nosiče nákladov založené na aktivitách vykonaných pre nákladový objekt. Štandardný prístup používa nákladové kľúče založené na objeme, ktoré často súvisia len okrajovo alebo vôbec so spotrebou zdrojových nákladov nákladovými objektami.
Kapitola 3 Vytváranie ABC systému Vytvorenie modelu ABC sa skladá z troch častí: 1. Identifikovanie zdrojových nákladov a aktivít 2. Priradenie zdrojov k aktivitám 3. Určenie nákladov aktivít nákladovým objektom Pre lepšiu predstavu si vytvoríme model banky ABC, kde si popíšeme všetky tri časti. Modelová banka sa skladá z centrály a zo vzorovej pobočky. Naúčtované náklady sú len fiktívne a slúžia pre znázornenie toku nákladov od zdrojov cez aktivity k nákladovým objektom. Pracovníci banky postupovali pri vytváraní modelu podľa nasledujúcich krokov. 3.1 Krok 1: Identifikácia zdrojových nákladov a aktivít Navrhnutie ABC systému je sprevádzané analýzou aktivít, konkrétne identifikáciou zdrojových nákladov a aktivít. Väčšina firiem využíva ako nákladové zdroje hlavné účty v účtovnom systéme. Pracovníci v banke ABC zotriedili náklady do troch skupín. V skupine centrála sú účtované náklady na jednotlivé oddelenia. V rámci pobočky sú výdaje priradené podľa segmentov, do ktorých sú zaradení klienti. Poslednou skupinou sú spoločné náklady. V praxi býva často štruktúra zdrojov podrobnejšia. Na oddeleniach centrály bývajú napríklad podzložkami mzdové náklady, spotreba materiálu,... Vzorová banka pre zjednodušenie má niektoré z týchto podzložiek naúčtované v časti zdrojov s názvom spoločné. 18
3. Vytváranie ABC systému 19 Prostredníctvom analýzy aktivít firma identifikuje prácu, ktorú vykonáva. Táto analýza zahŕňa zbieranie dát z existujúcich dokumentov a záznamov, rovnako tak zozbieravanie dát používaním dotazníkov alebo pozorovaní. Otázky, ktoré sa väčšinou pýta tím pracovníkov zamestnancov alebo manažérov jednotlivých oddelení pri zozbieravaní dát sú: Akú prácu alebo aktivitu vykonávate? Koľko času strávite vykonávaním týchto aktivít? Aké zdroje sú požadované pre výkon týchto aktivít?
3. Vytváranie ABC systému 20 Akú hodnotu má aktivita pre produkt, službu, zákazníka alebo organizáciu? Pracovná skupina taktiež zoskupuje dáta pre aktivity pozorovaním vykonávania práce. Ďalej produkujú zoznam všetkých činností. Znova si ukážme aké aktivity centrály a pobočiek identifikovali pracovníci banky ABC.
3. Vytváranie ABC systému 21 3.2 Úrovne aktivít podľa spôsobu, v akom aktivity spotre- Firma klasifikuje všetky aktivity bovávajú zdroje. 1. Jednotková úroveň aktivít je vykonávaná pre každú jednotku produktu alebo službu spoločnosti. Napr.: Priamy materiál (jednicový materiál), priamo spotrebované hodiny (jednicové hodiny). Jednotková úroveň aktivít je založená na objeme. Požadovaná činnosť kolíše proporcionálne s množstvom nákladového objektu. Nosič nákladov spotreby zdrojov a nákladový kľúč spotreby aktivít sú väčšinou rovnaké pre každú jednotku aktivít. 2. Skupinová úroveň aktivít je vykonávaná pre každú skupinu výrobkov alebo služieb. Napr.: Nastavenie strojov, umiestnenie nákupných objednávok, vytvorenie rozvrhu produkcie, priebežné inšpekcie skupín, skladovanie materiálov a expedícia produkcie. 3. Produktová úroveň aktivít podporuje produkciu špecifických produktov a služieb. Napr.: činnosti súvisiace s údržbou produktov vrátane navrhovania výrobkov, požadované administratívne časti. 4. Úroveň aktivít podľa príslušenstva podporuje operácie vo všeobecnosti. Tieto aktivity nie sú zapríčinené produktami alebo službami pre klientov. Napr.: Poskytovanie ochrany a bezpečnosti, manažovanie prevádzky, vykonávanie povinností pre daňové a sociálne úrady, uzatváranie mesačných kníh. 3.3 Krok 2: Určenie zdrojových nákladov aktivitám Metóda dielčích aktivít používa nosiče nákladov spotreby zdrojov pre priradenie nákladov zdrojov k aktivitám. Firma by pritom mala vyberať nákladové kľúče spotreby zdrojov podľa vzťahu príčina a následok. Typický nosič nákladov spotreby zdrojov je: počet odpracovaných hodín pre činnosti, ktoré sú náročné na ľudskú prácu, počet zamestnancov pre aktivity, ktoré vykonávajú zamestnanci s pevnou pracovnou dobou,
3. Vytváranie ABC systému 22 počet nastavení vykonaných pre skupinu produktov, počet zmien súvisiacich s nadobudnutím materiálu, počet strojových hodín pre opravu a údržbu strojov, štvorcové metre pre všeobecnú údržbu a upratovanie priestorov. Náklady zdrojov môžu byť určené aktivitám presným určením alebo odhadom. Priame priradenie si vyžaduje poznať aktuálnu spotrebu zdrojov aktivitami. Napríklad elektrická energia použitá k pohonu určitého stroja môže byť priamo zistená z počítadla spotreby daného prístroja. Keď presné určenie nie je možné, tak potom zodpovedný manažér daného oddelenia potrebuje odhadnúť, koľko percent z času strávi zamestnanec s aktivitami, ktoré dané oddelenie vykonáva. Príklad aktivít a úrovne aktivít: Aktivita Jednicové materiály Jednicové odpracované hodiny Strojové hodiny Počet výrobných objednávok Počet špeciálnych komponent Úroveň aktivity Jednotka Jednotka Jednotka Skupina Skupina Príklad zdrojov a nákladových kľúčov spotreby zdrojov: Zdroj Personál Sklad Inžinieri, technici Materíalové hospodárstvo Účtovníctvo Výskum a vývoj Kvalita Technické vybavenie Nákladový kľúč spotreby zdrojov Počet zamestnancov Počet položiek vybraných pre objednávku Odpracovaný čas Odpracovaný čas Odpracovaný čas Počet novo vyvinutých kódov Odpracovaný čas Metre štvorcové Tím pracovníkov v bankovej inštitúcii ABC využil tieto postupy. Nákladové zdroje centrály priradil na základe výsledkov pozorovania časovej náročnosti jednotlivých úkonov každého z oddelení. Výdaje pobočiek a spoločné náklady boli rozdelené na základe monitorovania času venovania sa klientovi, spotreby materiálov pre danú operáciu, atď.
3. Vytváranie ABC systému 23 3.4 Krok 3: Priradenie nákladov aktivít nákladovým objektom Posledným krokom je priradenie nákladov aktivít nákladovým objektom na základe vhodného nosiča nákladov spotreby aktivity. Výstupmi sú nákladové objekty, pre ktoré spoločnosť vykonáva aktivity. Typickými výstupmi pre nákladový systém sú produkty a služby, avšak výstupom môžu byť aj klienti alebo projekty. Napríklad nákladovým objektom u poisťovacej spoločnosti môžu byť individuálne poistenia jednotlivých zákazníkov, typy ponúkaných
3. Vytváranie ABC systému 24 poistiek, poisťovací agenti, divízie alebo časti spoločnosti. Firmy používajú nákladový kľúč spotreby aktivít pre určenie nákladov aktivít nákladovým objektom. Tento nákladový kľúč by mal vysvetľovať, prečo náklady nákladových objektov rastú alebo klesajú. Typickými nosičmi nákladov spotreby aktivít sú objednávky, prijímacie protokoly, záznamy o kontrole, platby, jednicové hodiny, strojové hodiny, nastavenia a výrobná doba cyklu. Nákladovými objektami v banke ABC sú produkty pre segmenty banky. Retailový, privátny a korporátny segment ponúka bežný účet, spotrebný úver, kreditnú kartu, investičné produkty a internetbanking. Náklad sa z aktivít presunie na nákladový objekt poďla toho, pre ktorú časť klientely bola aktivita vykonaná. Ako nosiče nákladov spotreby aktivít boli použité odpracovaný čas, počet novo vyvinutých produktov, počet klientov, počet zamestnancov, metre štvorcové, atď. Niektoré zdrojové náklady sú priame, a preto sú určené bez použitia aktivít nákladovým objektom. Napríklad oddelenie informačných technológií zabezpečuje okrem iného aj aktiváciu kreditných kariet. Výdaje na túto
3. Vytváranie ABC systému 25 prácu sú potom priamo určené nákladovým objektom. Na nasledujúcom obrázku je znázornený tok nákladov od zdrojov cez aktivity k nákladovým objektom. Môžeme napríklad vidieť, že na činnosť súvisiacu s vytvorením úverového účtu prichádzajú náklady z pobočiek. Konkrétne z podzložiek retail, private, corporate, kde sú naúčtované mzdové náklady na pracovníkov jednotlivých segmentov. Banka ABC využila percentuálny nosič nákladov spotreby zdrojov. Príslušné percento priradené tejto aktivite sa rovná času venovanému vytváraniu úverových účtov z celkovej pracovnej doby pracovníkov pobočiek. Pri tvorbe úverového účtu sa spotrebujú nejaké kancelárske potreby a taktiež sa použije aj výpočtová technika. Ďalej sa tieto náklady prerozdelia na nákladové objekty, pre ktoré je aktivita vytvárania úverového účtu vykonávaná. Týmito objektami sú spotrebné úvery jednotlivých segmentov. Toto bola len ukážka jedného z mnohých tokov v modeli ABC. Napríklad na finálny produkt s názvom spotrebný úver prídu náklady z činností pobočiek: konzultácie, príprava podkladov na schválenie úveru a z centrály: overenie a sledovanie úverových zmlúv, vymáhanie a právne záležitosti, vývoj a správa produktov pre retail,...
Kapitola 4 Výhody a nevýhody ABC 4.1 Výhody Od roku 1980 narastá počet firiem využívajúcich ABC systém. Na začiatku bolo hlavným motívom prijatia metódy dielčích aktivít pre mnohé spoločnosti, zredukovanie skreslenia v produktových nákladoch spôsobené štandardným prístupom. Systém rozrátavania nákladov podľa objemu nemá žiadny vzťah s aktivitami a so zdrojmi spotrebovanými v procese výroby. Systém ABC jasne poukazuje na efekt odlišnosti v nákladoch na produkty a služby použitím aktivít. Medzi hlavné výhody metódy ABC patrí: 1. Lepšia miera ziskovosti Metóda dielčích aktivít poskytuje náklady s lepšou informáciou. Následne je možné presnejšie zistiť mieru ziskovosti a prevádzať lepšie strategické rozhodnutia o cenách, sortimente a tržných segmentoch (Optimalizácia štruktúry produktov, zákazníkov, fixných nákladov súvisiacich so zmenou štruktúry produktov a zákazníkov, zobrazením ich skutočných tokov). 2. Prevádzanie lepších rozhodnutí Systém ABC poskytuje presnejšie miery nákladov aktivít, ktoré pomáhajú manažérom zdokonaliť produkčnú a procesnú hodnotu (Vykonanie lepších rozhodnutí pri navrhovaní procesu výroby, vylepšenie rozhodnutí o zákazníckych službách, rozhodovanie o investíciách, či odpredaji aktív). 3. Zdokonalenie procesov Metóda ABC identifikuje oblasti, kde sú potrebné reštrukturalizácie podnikových procesov. 26
4. Výhody a nevýhody ABC 27 4. Odhad nákladov Zlepšené produktové náklady vedú k dokonalejším odhadom pracovných nákladov slúžiacich pre stanovenie ceny, rozpočtu a plánu. 5. Zlepšenie trhového postavenia Koncentrovanie sa na ziskové produkty, či služby. Získanie konkurenčnej výhody z pohľadu nákladov a technológií. Zameranie sa na ziskových klientov. Presnejšie podklady pre regulačné orgány. 6. Náklady nevyužitých kapacít Firmy mávajú sezónne a cyklické výkyvy v predajoch a v produkcii, preto vznikajú nevyužité kapacity. Toto môže znamenať, že náklady sú započítané v skupinovej úrovni, v produktovej úrovni, v úrovni podľa príslušenstva, ale nie sú použité. Metóda dielčích aktivít poskytuje lepšiu informáciu o identifikácii nákladov nevyužitej kapacity a udržuje samostatné účtovanie pre takýto náklad. Napríklad niektorá zákaznícka objednávka požaduje navýšenie istého typu kapacít v prevádzke, potom zákazníkovi môže byť naúčtovaná dodatočná kapacita. Alternatívne, ak sa prevádzkový manažér rozhodne rozšíriť kapacitu v očakávaní budúceho rastu predaja a produkcie, potom by náklady dodatočnej kapacity nemali byť zahrnuté v nákladoch súčasnej produkcie, ale účtované ako celková čiastka v prevádzkových nákladoch. Súhrnne môžeme povedať, že cieľom manažovania úrovne kapacít je zníženie nákladov nedostatočného využívania kapacít a samozrejme cien produktov a služieb. 4.2 Nevýhody Hoci ABC poskytuje lepšie náklady produktov a služieb ako štandardný prístup, manažéri by mali brať na ohľad: 1. Alokáciu Nie všetky náklady majú vhodné alebo jednoznačné činnosti alebo nosiče nákladov spotreby zdrojov. Niektoré náklady vyžadujú alokáciu na oddelenia a produkty, založenú na ľubovoľných mierach, pretože nájdenie aktivít zapríčiňujúcich náklady je nepraktické. Napr.: náklady informačného systému, poistenie firmy, majetková daň, atď. 2. Prehliadnutie nákladov V nákladoch na produkt alebo službu identifikovaných systémom ABC, nie sú pravdepodobne zahrnuté všetky náklady spojené s daným výrobkom alebo službou. Niekedy sa nezahŕňajú náklady na také aktivity
4. Výhody a nevýhody ABC 28 ako sú marketing, reklama, výskum a vývoj. Produktové náklady v niektorých spoločnostiach neobsahujú tieto náklady, pretože všeobecne akceptované účtovné princípy pre finančné výkazy ich považujú za náklady určitého obdobia. 3. Výdavky a čas Systém ABC nie je zadarmo. Naopak jeho príprava a zavedenie je časovo náročná. Pre firmy a organizácie, ktoré využívajú systém založený na objeme, môže byť inštalácia nového ABC systému veľmi drahá. Okrem toho, ABC si obyčajne vyžaduje rok a viac úspešného vývoja a implementácie.
Kapitola 5 Porovnanie určenia nákladov metódou založenou na objeme a metódou ABC Nasledujúci príklad porovnáva druhý a tretí krok prístupu založeného na objeme a metódy dielčích aktivít. V uvedenom príklade používa prvý prístup ako nosič nákladov priame odpracované hodiny a metóda ABC, ktorá používa nákladový kľúč z prvej metódy a ešte ďalšie iné. Pre znázornenie obidvoch prístupov si predstavme imaginárnu firmu, ktorá vyrába externé disky. Produkuje dva varianty výrobku. Prvým produktom je disk, ktorý má kapacitu 320GB a 7200 otáčok za minútu. Druhý typ je vyrábaný podobnou technológiou, ale má kapacitu len 250GB a 5400 otáčok za minútu. V nasledujúcej tabuľke je prehľad nákladov, predajných cien a objemu produkcie: 1. variant 2. variant Objem produkcie 10 000 50 000 Predajná cena 4 000 Kč 2 000 Kč Jednotkové náklady práce a materiálu 1 500 Kč 750 Kč Priame odpracované hodiny 25 000 75 000 Priame odpracované hodiny na jednotku 2.5 1.5 5.1 Objemové určenie nákladov Ukážeme si najskôr príklad priradenia nákladov k produktom založenom na objeme. Firma používa ako nosič nákladov priame odpracované hodiny. Ročné réžijné náklady firmy sú 50 000 000 Kč. Celkový ročný počet odpracovaných hodín bol 100 000. To znamená, že réžijné náklady na jednu odpracovanú hodiny sú 500 Kč. 29
5. Porovnanie určenia nákladov metódou založenou na objeme a metódou ABC 30 Celkové réžijné náklady 50 000 000 Kč Celkové priame odpracované hodiny 100 000 Réžijné náklady/odpracovaná hodina 500 Kč Naša spoločnosť použije 25 000 hodín ľudskej práce na výrobu 10 000 kusov produktu prvého typu. Réžijné náklady prislúchajúce prvému variantu výrobku sú 12 500 000 Kč. Na jednu jednotku disku s vyššou kapacitou sú potom réžijné náklady rovné 1 250 Kč. Celkové réžijné náklady pre 1. variant 12 500 000 Kč Počet jednotiek 1. variantu 10 000 Réžijné náklady/odpracovaná hodina 1. variantu 1 250 Kč Na výrobu 50 000 kusov druhého typu výrobku firma použije 75 000 hodín ľudskej práce. Réžijné náklady prislúchajúce jednej jednotke druhého variantu výrobku sú v tomto prípade 750 Kč. Celkové réžijné náklady pre 2. variant 37 500 000 Kč Počet jednotiek 2. variantu 50 000 Réžijné náklady/odpracovaná hodina 2. variantu 750 Kč Ďalšia tabuľka opisuje ziskovosť jednotlivých variantov produktu pre našu spoločnosť pri objemovom určení nákladov. 1. variant 2. variant Predajná cena +4 000 Kč +2 000 Kč Priame materiály a práca -1 500 Kč -750 Kč Prevádzková réžia -1 250 Kč -750 Kč Celkové náklady 2 750 Kč 1 500 Kč Marža +1 250 Kč +500 Kč 5.2 Metóda ABC Teraz si priblížime priradenie nákladov pomocou metódy dielčích aktivít. Zadefinujeme si najskôr použité aktivity a nosiče nákladov.
5. Porovnanie určenia nákladov metódou založenou na objeme a metódou ABC 31 Aktivita Náklady Nosič nákladov spotreby aktivít Vývoj technológie 15 000 000 Kč Počet hodín Nastavenia 7 500 000 Kč Počet nastavení Prevádzka strojov 25 000 000 Kč Počet strojových hodín Balenie 2 500 000 Kč Počet objednávok Celkom 50 000 000 Kč Firma zozbierala dáta o počte hodín riadenia, počte nastavení, počte strojových hodín, počte objednávok pre jednotlivé výrobky. Tieto údaje firma využíva ako nosiče nákladov spotreby aktivít. 1.variant 2.variant Celkom Počet hodín práce na vývoji 10 000 5 000 15 000 Počet nastavení 200 100 300 Počet strojových hodín 50 000 200 000 250 000 Počet objednávok 7 500 42 500 50 000 Použitím zozbieraných dát si môžeme vypočítať miery nákladových kľúčov pre každú aktivitu. Nosič nákladov Náklad Spotreba aktivít Miera aktivít Počet hodín vývoja 15 000 000 Kč 15 000 1 000 Počet nastavení 7 500 000 Kč 300 25 000 Počet stroj. hodín 25 000 000 Kč 250 000 100 Počet objednávok 2 500 000 Kč 50 000 50 Réžijné náklady sú určené pre prvý variant z produktov výpočtami: Nosič nákladov Miera aktivít Aktivity Celková réžia Počet hodín vývoja 1 000 10 000 10 000 000 Kč Počet nastavení 25 000 200 5 000 000 Kč Počet stroj. hodín 100 50 000 5 000 000 Kč Počet objednávok 50 7 500 375 000 Kč Nosič nákladov Celk. réžia Výrobky(ks) Jednotk. réžia Počet hodín vývoja 10 000 000 Kč 10 000 1 000 Kč Počet nastavení 5 000 000 Kč 10 000 500 Kč Počet stroj. hodín 5 000 000 Kč 10 000 500 Kč Počet objednávok 375 000 Kč 10 000 37.5 Kč Celkom 20 375 000 2037.5 Kč
5. Porovnanie určenia nákladov metódou založenou na objeme a metódou ABC 32 Réžijné náklady sú určené pre druhý variant z produktov nasledujúcimi výpočtami: Nosič nákladov Miera aktivít Aktivity Celk. réžia Počet hodín vývoja 1 000 5 000 5 000 000 Kč Počet nastavení 25 000 100 2 500 000 Kč Počet stroj. hodín 100 200 000 20 000 000 Kč Počet objednávok 50 42 500 2 125 000 Kč Nosič nákladov Celk. réžia Výrobky(ks) Jednotk. réžia Počet hodín vývoja 5 000 000 Kč 50 000 100 Kč Počet nastavení 2 500 000 Kč 50 000 50 Kč Počet stroj. hodín 20 000 000 Kč 50 000 400 Kč Počet objednávok 2 125 000 Kč 50 000 42.5 Kč Celkom 29 625 000 592.5 Kč Ďalšia tabuľka popisuje ziskovosť jednotlivých variantov produktu pre našu spoločnosť pri využití metódy ABC. 1. variant 2. variant Predajná cena 4 000 Kč 2 000 Kč Priame materiály a práca 1 500 Kč 750 Kč Prevádzková réžia 2 037.5 Kč 592.5 Kč Celkové náklady 3 537.5 Kč 1 342.5 Kč Marža 462.5 Kč 657.5 Kč Na záver si porovnajme nákladovosť a ziskovosť jednotlivých produktov použitím obidvoch metód. 1.variant 2.variant Jednotkové réžijné náklady Metóda založená na objeme 1 250 Kč 750 Kč Metóda dielčích aktivít 2037.5 Kč 592.5 Kč Rozdiel +787.5 Kč -157.5 Kč Jednotková marža Metóda založená na objeme 1250 Kč 500 Kč Metóda dielčích aktivít 462.5 Kč 657.5 Kč Rozdiel -787.5 Kč +157.5 Kč
Kapitola 6 Stochastické programovanie Stochastické programovanie sa zaoberá teóriou a metódami riešenia úloh matematického programovania obsahujúcich náhodné veličiny. Úlohu stochastického programovania môžeme formulovať takto: min{f(x, ξ) g(x, ξ) 0, x X}, (6.1) kde ξ je náhodny vektor definovaný na pravdepodobnost. priestore (Ξ, Σ, P ). Predpokladáme pritom, že rozdelenie pravdepodobnosti náhodneho vektoru ξ nezávisí na rozhodnutí x, a že funkcie f : R n Ξ R a g : R n Ξ R m sú merateľné pre každé x Rn. Podľa charakteru funkcií f a g a množiny X môžeme úlohy stochastického programovania rozdeliť na lineárne, nelineárne a celočíselné. Za riešenie úlohy stochastického programovania (6.1) sa považuje riešenie deterministického ekvivalentu tejto úlohy, ktorý je definovaný tak, aby bola z pôvodnej úlohy korektne odstránená náhodnosť. Pri konštrukcii deterministického ekvivalentu je nutné stanoviť, čo budeme považovať za prípustné riešenie a čo budeme považovať za optimálne riešenie. Ak je možné rozhodnutie x odložiť až do chvíle, kedy bude známa realizácia náhodného vektoru ξ potom sa takéto rozhodovanie označuje ako WS rozhodovanie (wait and see). Rozhodnutie reaguje na pozorovanie ξ a je teda funkciou x(ξ) náhodného vektoru ξ. Ak je ξ 0 pozorovaná realizácia náhodneho vektoru ξ, je deterministickým ekvivalentom úlohy (6.1) úloha: min{f(x, ξ 0 ) g(x, ξ 0 ) 0, x X}. (6.2) Teoreticky je možné určiť distribučnú funkciu optimálneho riešenia alebo optimálnej hodnoty f(x min (ξ), ξ) účelovej funkcie. Všeobecne sa jedná však o veľmi zložitý problém, ktorého riešenie je numericky náročné alebo dokonca nemožné. V takýchto prípadoch sa snažíme získať aspoň nejaké štatistické 33
6. Stochastické programovanie 34 charakteristiky týchto veličín. Väčšinou je však potrebné prijať rozhodnutie x ešte predtým, než je známa realizácia náhodného vektoru ξ. Takáto situácia sa označuje ako HN rozhodovanie (here-and-now). Stochastické programovanie sa zaoberá najmä HN rozhodovaním. Pokiaľ musíme určiť jednorázove riešenie (rozhodnutie), ktoré sa po získaní novších informácií nemôže meniť, hovoríme o jednostupňových úlohách stochastického programovania. Ak riešenie môžeme upravovať na základe postupne sa objavujúcich nových informácií, ide o viacstupňové úlohy stochastického programovania. V takýchto úlohach sa proces rozhodovania môže rozvíjať podľa jedného z dvoch nasledujúcich reťazcov: rozhodnutie - pozorovanie - rozhodnutie -... - rozhodnutie pozorovanie - rozhodnutie - pozorovanie -... - rozhodnutie Špeciálnym prípadom viacstupňových úloh sú dvojstupňové HN úlohy s kompenzáciou, ktoré sú založené na postupnosti: rozhodnutie x - pozorovanie ξ - kompenzačné rozhodnutie y(ξ) 6.1 Konštrukcia množiny prípustných riešení 6.1.1 Použitie stredných hodnôt Najjednoduchším spôsobom odstránenia náhodností z obmedzujúcich podmienok je nahradenie náhodneho vektoru ξ nejakou jeho typickou realizáciou alebo charakteristikou. Najčastejšie sa k tomuto účelu používa stredná hodnota. Ak je náhodná veličina X diskrétna a má pravdepodobnostnú funkciu π(x), nazývame jej strednou hodnotou číslo: E(X) = x= x π(x), za predpokladu, že prípadná nekonečná rada vpravo absolútne konverguje. Ak je náhodná veličina X spojitá a má hustotu pravdepodobnosti ϕ(x), nazývame jej strednú hodnotu číslo: E(X) = x ϕ(x),
6. Stochastické programovanie 35 za predpokladu, že nevlastný Riemannov integrál vpravo absolútne konverguje. Potom je množina prípustných riešení zadefinovaná nasledovne: M = {x X g(x; E(ξ)) 0}. (6.3) Druhou možnosťou použitia strednej hodnoty je definícia množiny prípustných riešení vzťahom: M = {x X E ξ (g(x; ξ)) 0}. (6.4) Prístup založený na použití stredných hodnôt je však dosť problematický, pretože takto získané riešenie obvykle nie je optimálne pre žiadnu realizáciu náhodneho vektoru a pre niektoré z nich nemusí byť dokonca ani prípustné. 6.1.2 Použitie scenárov S cieľom zvýšiť spoľahlivosť získaných riešení môžeme za prípustné riešenia považovať tie riešenia, ktoré vyhovujú všetkým realizáciám (jedná sa o tzv. permanentné prípustné riešenia): M = {x X g(x; ξ s ) 0} (6.5) ξ s Ξ Nevýhodou tejto definície je to, že počet obmedzujúcich podmienok môže byť veľmi veľký alebo dokonca nekonečný a že množina M môže byť prázdna. Preto sa obvykle obmedzujeme na konečnú množinu S Ξ významných realizácií náhodného vektoru ξ nazývaných scenáre. 6.1.3 Použitie pravdepodobnostných obmedzení Ďalšou možnosťou konštrukcie deterministického ekvivalentu je považovať za prípustné riešenia tie vektory x, ktoré vyhovujú obmedzujúcim podmienkam s pravdepodobnosťou väčšou alebo rovnou danej hodnote (týmto spôsobom definujeme požiadavku na spoľahlivosť riešenia dopredu): M = {x X P (g(x; ξ) 0) α}. (6.6) Jedná sa o tzv. združené pravdepodobnostné obmedzenie. Problémom tohoto prístupu je náročnosť na teoretický rozbor i na numerické riešenie. Prekážkou môže byť nekonvexnosť množiny M. Namiesto združeného pravdepodobnostného obmedzenia môžeme tiež konštruovať deterministický ekvivalent pomocou individuálnych pravdepodobnostných obmezení: M = {x X P (g i (x; ξ) 0) α i, i = 1,..., m}. (6.7)
6. Stochastické programovanie 36 Tento prístup je jednoduchší, ale ani v tomto prípade nemusí byť množina M konvexná. Nevýhodou je, že vo vzťahu (6.7) nie sú zachytené prípadné informácie o stochastickej závislosti náhodných veličín, vyskytujúcich sa v rôznych obmedzeniach. Uvažujme úlohu stochastického LP: f(x) = n c j x j max (6.8) j=1 n a ij x j b i, i = 1, 2,..., m (6.9) j=1 x j 0, j = 1, 2,..., n (6.10) Pravé strany b i sú náhodnými veličinami. Túto úlohu môžeme interpretovať napríklad ako úlohu optimalizácie výrobného programu, kde kapacity zdrojov sú náhodné veličiny. Pri použití individuálnych združených obmedzení (6.7) je deterministickým ekvivalentom tejto úlohy úloha: P ( f(x) = n c j x j max (6.11) j=1 n a ij x j b i ) α i, i = 1, 2,..., m (6.12) j=1 x j 0, j = 1, 2,..., n (6.13) Po úprave dostávame nasledujúcu úlohu lineárneho programovania: f(x) = n c j x j max (6.14) j=1 n a ij x j ˆb i, i = 1, 2,..., m (6.15) j=1 x j 0, j = 1, 2,..., n (6.16) kde Funkcia Φ bi ˆb i = Φ 1 b i (1 α i ). (6.17) je distribučnou funkciou náhodnej premennej b i danej vzťahom: Φ bi (y) = P (b i < y) (6.18)
6. Stochastické programovanie 37 a pre 0 < t < 1 Φ 1 b i (t) = sup{y Φ bi (y) t} (6.19) je to kvantilová funkcia. Obmedzenia (6.15) získame nasledujúcim spôsobom: n n n P ( a ij x j b i ) = 1 P ( a ij x j > b i ) = 1 Φ bi ( a ij x j ). (6.20) j=1 j=1 Podmienky (6.12) teraz už môžeme prepísať na tvar: Φ bi ( j=1 n a ij x j ) 1 α i. (6.21) j=1 Z tohoto výrazu a z kvantilovej funkcie (6.19) dostávame podmienky (6.15). Pokiaľ chceme odvodiť obdobný vzťah ako (6.15) pre obmedzujúcu podmienku n a ij x j b i, (6.22) j=1 musíme kvantilovú a distribučnú funkciu definovať nasledovne: Φ bi (y) = P (b i y), (6.23) Φ 1 b i (t) = inf{y Φ bi (y) t} pre 0 < t < 1. (6.24) Môžeme si ešte prepísať obmedzenie pomocou (6.23) na tvar P ( n a ij x j b i ) α i (6.25) j=1 Φ bi ( n a ij x j ) α i. (6.26) j=1 Ďalej s využitím (6.24) získame podmienku n a ij x j ˆb i, (6.27) j=1 kde ˆb i = Φ 1 b i (α i ) = inf{y Φ bi (y) α i }. (6.28)
6. Stochastické programovanie 38 Doteraz sme sa zaoberali diskrétnymi náhodnými veličinami. Uvažujme tentokrát prípad náhodných veličín so spojitým rozdelením. Ak je distribučná funkcia Φ(x) spojitej náhodnej veličiny X rastúca, tak kvantilová funkcia Φ 1 je inverznou funkciou k funkcii Φ. Vráťme sa opäť k úlohe lineárneho programovania (6.8-6.10), kde sú pravé strany obmedzení b i náhodnými veličinami. Nech tieto náhodné veličiny majú spojité rovnomerné rozdelenie určené distribučnými funkciami. Potom je pre 0 < t < 1 Φ bi (y) = 0 pre y < d i, y d i h i d i pre d i y < h i, 1 pre h i y. Pre veličiny ˆb i zo vzťahu (6.15) následne platí: Φ 1 b i (t) = (h i d i )t + d i. (6.29) ˆb i = Φ 1 b i (1 α i ) = (h i d i )(1 α i ) + d i = (d i h i )(α i ) + h i (6.30) a veličiny ˆb i z obmedzenia (6.27) vytvoreného k pravdepobnostnému obmedzeniu (6.26) sú dané vzťahom ˆb i = Φ 1 b i (α i ) = (h i d i )α i + d i. (6.31) Uvažujme opäť úlohu (6.8-6.10), kde náhodnými veličinami sú pravé strany b i. Predpokladajme, že tieto náhodné veličiny majú normálne rozloženie so strednou hodnotou µ i a rozptylom σ 2 i. Potom náhodné veličiny u i = b iµ i σ i (6.32) majú normálne rozloženie, ktoré je normované so strednou hodnotou 0 a rozptylom 1. Pravdepodobnosť n P ( a ij x j b i ) (6.33) j=1
6. Stochastické programovanie 39 môžeme vyjadriť nasledovne: ( n ) ( P a ij x j b i = 1 P b i < j=1 ) n a ij x j = j=1 ( n b i µ i j=1 = 1 P < a ) ijx j µ i = σ i σ i ( n j=1 = 1 P µ i < a ) ijx j µ i = σ i ( n = 1 ˆΦ j=1 a ) ijx j µ i, kde ˆΦ(t) je distribučná funkcia normovaného normálneho rozdelenia. Teraz môžeme obmedzenie (6.25) prepísať do tvaru ( n 1 ˆΦ j=1 a ) ijx j µ i α i, (6.34) odkiaľ po úprave pre σ i > 0 dostávame σ i σ i n a ij x j µ i + σ ˆΦ 1 i (1 α i ). (6.35) j=1 Na základe platnosti vzťahu ˆΦ 1 (1 α i ) = ˆΦ 1 (α i ) (6.36) môžeme veličiny ˆb i z obmedzení (6.15), ktoré zodpovedajú pravdepodobnostným obmedzeniam (6.12), vyjadriť takto: ˆb i = µ i σ i u αi, (6.37) kde u αi = ˆΦ 1 (α i ) je α i -tý kvantil normovaného normálneho rozloženia. Ak vyjdeme z pravdepodobnostných obmedzení (6.25) môžeme podobne odvodiť vyjadrenie veličín ˆb i z obmedzení (6.27): ˆb i = µ i + σ i u αi. (6.38)