ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΟΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΩΣ ΔΕΔΟΜΕΝΟ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Είναι γνωστό ότι η απόδειξη ανισοτήτων είναι ένα ζήτημα που παρουσιάζει ιδιαίτερες δυσκολίες για τους μαθητές. Οι δυσκολίες αυτές συνδέονται τόσο με το χειρισμό των ιδιοτήτων της διάταξης των πραγματικών αριθμών όσο και με το χειρισμό των ανισοτικών σχέσεων που υπεισέρχονται σε διάφορες έννοιες των συναρτήσεων (μονοτονία, ακρότατα κ.λπ). Για το λόγο αυτό πιστεύω ότι είναι διδακτικά χρήσιμη μια συστηματοποίηση του υλικού που αφορά την απόδειξη ανισοτήτων στα διδακτικά βιβλία και τα θέματα των εξετάσεων. Στην Μαθηματική Εβδομάδα τον Μάρτιο του 7 παρουσίασα το πρώτο μέρος της εργασίας μου για τις ανισότητες. Πώς οι μαθητές της Γ Λυκείου Κατεύθυνσης μπορούν να αποδείξουν ανισότητες με την βοήθεια της Ανάλυσης και όχι μόνο με τις ιδιότητες της διάταξης που είχαν μάθει στην Άλγεβρα της α και β λυκείου. Το 7 η παρουσίαση αναφερόταν στις ανισότητες ως ζητούμενο. Σήμερα θα κάνω μια προσπάθεια να συμπεριλάβω στην παρουσίαση, όσο είναι δυνατό, τις περιπτώσεις εκείνες που ανισότητα ή ανισο-ισότητα είναι δεδομένο για να λύσουμε διάφορα προβλήματα ανάλυσης. ΣΤΟΧΟΙ Να βρεθούν μέσα στα σχολικά βιβλία οι διάφορες μορφές ανισοτήτων. Να προταθούν τρόποι επίλυσης και να ομαδοποιηθούν όσο είναι δυνατόν. Να δοθούν παραδείγματα για κάθε περίπτωση. ΑΤΜΑΤΖΙΔΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ Διακρίνουμε Δώδεκα () περιπτώσεις κατά τις οποίες με δεδομένη ανισότητα ή ανισο-ισότητα μπορούμε να λύσουμε προβλήματα ανάλυσης.. ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ 3. ΟΡΙΑ ΜΕ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ 4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΜΕ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ 5. ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ 6. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ ΘΕΩΡΗΜΑ 7. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ ΣΤΟ 8. ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ 9. ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ BOLZANO Θ.Μ.Τ.. ΑΝΙΣΟ-ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΙ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ. Τα περισσότερα παραδείγματα είναι : από το βιβλίο Ανάλυση ης Δέσμης, έκδοση Ο.Ε.Δ.Β. (99-998) από το βιβλίο Μαθηματικά Θετικής κατεύθυνσης, έκδοση. () από το βιβλίο Αξιολόγηση των μαθητών της Γ Λυκείου (Κ.Ε.Ε.) από τα θέματα των πανελλαδικών ης, 4 ης Δέσμης και από τα θέματα των πανελλαδικών Θετ. Τεχν. κατεύθυνσης. ΑΤΜΑΤΖΙΔΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

. ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Στην δεδομένη συναρτησιακή σχέση αντικαθιστούμε κατάλληλα τις μεταβλητές για να έχουμε το επιθυμητό αποτέλεσμα με την βοήθεια της ιδιότητας. ( Αν και τότε ) Εφαρμογή η Αν η συνάρτηση f : R R είναι περιττή και ισχύει R, να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης. ( 3)f () 7 για κάθε 7 Η ( 3)f () 7 f () 3, () 7( ) 7 θέτουμε όπου το και έχουμε f ( ) f ( ) ( ) 3 3 και επειδή η f είναι περιττή έχουμε f ( ) f () 7( ) 7 7 έχουμε f ( ) f () f () ( ) 3 3 3, () 7 από () και () f () 3 Εφαρμογή η Αν η συνάρτηση f : R R είναι γνησίως αύξουσα και g : R R για τις όποιες ισχύει f g ( ) f () f g() για κάθε R, να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης. f () f g() g() g() () Η f - άρα Στην f g ( ) f () θέτουμε όπου το και έχουμε f g () f ( ) f g() f ( ) g() () Από () και () έχουμε g() ΑΤΜΑΤΖΙΔΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 3

Εφαρμογή 3 η Δίνεται συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύουν o f () για κάθε R () o f ( y) f () f (y), () α) να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f διέρχεται από Ο(.) β) να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή γ) να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης. α) Η () για γίνεται f () και () για y έχουμε f() f() f() f() Άρα f () β) η () για y, f() f() f( ) f ( ) f () η () στην θέση του θέτουμε τότε f ( ) και () f () προσθέτοντας έχουμε f ( ) f () γ) η () στην θέση του θέτουμε έχουμε f ( ) επειδή είναι περιττή f ( ) f () αντικαθιστούμε f () f () και () f () Άρα f () ΑΤΜΑΤΖΙΔΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 4

. ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ Με την μέθοδο συμπληρώσεις τετραγώνων τροποποιούμε την ανισο-ισότητα ώστε να έχουμε το επιθυμητό αποτέλεσμα. (α+β) = α +αβ+ β Εφαρμογή η (Ανάλυση ης Δέσμης, έκδοση Ο.Ε.Δ.Β. 99-998) Αν για τις συναρτήσεις που έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α και ισχύει f g () f g () f g () για κάθε, να δειχτεί ότι οι συναρτήσεις είναι ίσες. Η δεδομένη ανισι-ισότητα μετασχηματίζεται f g () f g () f g () f g () f g () f g () f () f ()g() g () f () g() f ()g() f () g () f () g() f () g() f () και g() Εφαρμογή η Αν για τις συναρτήσεις f,g : R R ισχύει 4 f () g () 98 4 f () g() να δειχτεί ότι οι συναρτήσεις είναι ίσες. Η σχέση γράφεται για κάθε R, f () g () 98 4 f () g() f () 7 g() 7 f () g() 7 4 Εφαρμογή 3 η (και κριτήριο παρεμβολής) Για κάθε R με, να βρεθεί η τιμή του R Η σχέση γράφεται lim ΑΤΜΑΤΖΙΔΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 5

3. ΟΡΙΑ ΜΕ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ. Έστω οι συναρτήσεις f,g,h. Aν h() f () g() κοντά στο και lim h() lim g() o Τότε lim f () o o Από μια απλή ανισο-ισότητα και με το κριτήριο παρεμβολής μπορούμε να υπολογίσουμε το lim f (), την τιμή f ( ) ή f ( ). o Εφαρμογή η (από το βιβλίο Μαθηματικά Θετικής κατεύθυνσης ) Αν για την συνάρτηση f : R R ισχύει f () για κάθε R, να βρεθεί το limf () Το lim( ) και lim( ), () f () και λόγω κριτηρίου παρεμβολής limf () Εφαρμογή η (από το βιβλίο Μαθηματικά Θετικής κατεύθυνσης ) Αν η συνάρτηση f : R R είναι συνεχής στο σημείο και για κάθε 4 4 R, ισχύει f () να αποδείξετε ότι i) f () ii) f () ΑΤΜΑΤΖΙΔΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 6

Εφαρμογή 3 η Δίνεται συνάρτηση f,g,h : R R για τις οποίες ισχύουν o h() f () g(), για κάθε R () o h() f () g(), () o h () g (), (3) να αποδείξετε ότι f () Η () h() f() g() h() h() f() f() g() g() h() h() f () f () g() g() Αν, h() h() g() g() lim h () lim g () f () f () Άρα λόγο κριτηρίου παρεμβολής lim (4) h() h() f () f () g() g() Αν, h() h() g() g() lim h () lim g () f () f () Άρα λόγο κριτηρίου παρεμβολής lim (5) f () f () f () f () Από (4) και (5) lim lim f () ΑΤΜΑΤΖΙΔΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 7

4. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΜΕ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ Σε τριγωνομετρικά όρια με το κριτήριο παρεμβολής και με την βοήθεια των απολύτων τιμών και, > καθώς και με την σχέση, για κάθε R, μπορούμε να υπολογίσουμε το lim f (). o Εφαρμογή η (από το βιβλίο Μαθηματικά Θετικής κατεύθυνσης ) Δίνεται συνάρτηση f (), με R να δειχτεί ότι limf () f () f () Το lim( ) lim και λόγω κριτηρίου παρεμβολής limf () Εφαρμογή η (από το βιβλίο Μαθηματικά Θετικής κατεύθυνσης ) α) Δίνεται συνάρτηση f (), με R να δειχτεί ότι lim f () ( 3) β) Δίνεται συνάρτηση g() 7, να δειχτεί ότι lim g() Εφαρμογή 3 η (και ταυτότητα (α β) = α αβ+ β ) Δίνεται συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει f () 4f () 4 για κάθε R, να αποδείξετε ότι η f είναι συνεχής στο Η σχέση γίνεται f () 4f () 4 f () 4f () 4 4 4 f () 4 f () f () Για = έχουμε f () f () f () lim( ) lim και λόγω κριτηρίου παρεμβολής limf () Άρα limf () f () η f είναι συνεχής στο ΑΤΜΑΤΖΙΔΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 8

5. ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΣΧΕΣΗ Στην δεδομένη ανισότητα αντικαθιστούμε κατάλληλα τις μεταβλητές και με την βοήθεια του κριτήριου παρεμβολής μπορούμε να υπολογίσουμε το lim f () ή την τιμή f ( ) o Εφαρμογή η (από το βιβλίο Μαθηματικά Θετικής κατεύθυνσης ) Δίνεται συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει 3 f () f (y) y, για κάθε,y R, να δειχτεί ότι η f είναι συνεχής Στην σχέση 3 f () f (y) y θέτουμε όπου y 3 f () f ( ) f () f ( ) f () f ( ) 3 3 3 Το lim lim 3 3 lim f () f ( ) lim f () f ( ) και λόγω κριτηρίου παρεμβολής άρα η f συνεχής για κάθε R Εφαρμογή η (από το βιβλίο Μαθηματικά Θετικής κατεύθυνσης ) Αν για μία συνάρτηση f που είναι ορισμένη σε όλο το R ισχύει f () f (y) y για όλα τα,y R, να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή. Στην σχέση θέτουμε όπου y f () f ( ) f () f ( ) f () f ( ) Το lim lim, λόγω κριτηρίου παρεμβολής Δηλαδή f ( ) για κάθε R άρα η f σταθερή για κάθε f () f ( ) lim R ΑΤΜΑΤΖΙΔΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 9

Εφαρμογή 3 η (Ανάλυση ης Δέσμης, έκδοση Ο.Ε.Δ.Β. 99-998) Αν για μία συνάρτηση f που είναι ορισμένη σε όλο το R ισχύει f ( ) f ( ) για κάθε, R με, να αποδείξετε ότι η g() f () είναι φθίνουσα στο R. Για κάθε η σχέση f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) έχουμε f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) άρα η g() f () είναι φθίνουσα στο R. και ΑΤΜΑΤΖΙΔΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

6. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΕΩΡΗΜΑ. Αν το Αν το lim f () τότε f () κοντά στο o o lim f () τότε f () κοντά στο o o Μπορεί να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα για απλοποιήσουμε όρια που έχουν απόλυτα. Εφαρμογή η Να υπολογιστεί το Το όριο 9 lim 7 5 8 5 8 9 lim είναι άρα πρέπει να βγουν τα απόλυτα 7 lim 4 οπότε κοντά στο 7 το 7 lim 9 7 9 οπότε κοντά στο 7 το 9 7 Άρα το 9 9 3( 7) lim lim lim 7 7 7 5 8 5 8 5 8 3( 7) 5 8 3( 7) 5 8 3 5 8 48 4 lim lim lim 7 7 5 64 49 7 7 4 7 ΑΤΜΑΤΖΙΔΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

Εφαρμογή η Αν για την συνάρτηση f : R R ισχύει f () f () 5 lim f () 3 Το όριο lim f () 7, να βρεθεί το f () f () 5 lim είναι άρα πρέπει να βγουν τα απόλυτα f () 3 lim f () 3 οπότε κοντά στο το f () lim f () 5 7 5 οπότε κοντά στο το f () 5 Άρα το f () f () 5 f () f () 5 lim lim f () 3 f () 3 f () 4 f () 7 f () 3 lim lim 9 3 f () 3 f () 9 ΑΤΜΑΤΖΙΔΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

7. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ ΣΤΟ ΠΡΟΤΑΣΗ. Αν το Αν το lim f () και f () o lim f () και f () o g() τότε g() τότε lim g() o lim g() o ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν το lim f () τότε κοντά στο, f () και lim o f () η σχέση γράφεται f () g() f () g() και λόγο κριτηρίου παρεμβολής lim επίσης f () g() g() Άρα το lim g() Ομοίως η άλλη πρόταση Εφαρμογή η Αν για την συνάρτηση f : R για κάθε R, να βρεθεί το R ισχύει f () 7 lim f () Στην σχέση f () 7 f () lim lim 7 7 6 Άρα το 7 lim Εφαρμογή η Αν για την συνάρτηση g : R R ισχύει να βρεθεί το limg() Στην σχέση 4 lim 7 4 4 g() 7 g() lim 7 7 7 και λόγω της πρότασης lim f () 4 g() 7 για κάθε R, 7 Άρα το lim 4 και λόγω της πρότασης lim g() ΑΤΜΑΤΖΙΔΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 3

8. ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ Είναι γνωστό ότι μια συνάρτηση f λέγεται : γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, που ανήκουν στο Δ με < ισχύει : f( ) < f( ). γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε, που ανήκουν στο Δ με < ισχύει : f( ) > f( ). Εκμεταλλευόμαστε την απόδειξη της μονοτονίας με παράγωγο και τις ανισότητες του ορισμού για να αποδείξουμε ανισοτικές σχέσεις. Εφαρμογή η (Θέμα η Δέσμης 3 Ιουνίου997) Δίνεται πραγματική συνάρτηση g, δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, τέτοια ώστε g() και g () g() g () για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα g Έστω g () h(), R g() και g () g() g (). g ()g() (g ()) Έχουμε h () > για κάθε R (ως πηλίκο θετικών αριθμών ). (g()) g Άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο R. g Εφαρμογή η (από το βιβλίο Μαθηματικά Θετικής κατεύθυνσης ) Αν f, g είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο R με f () g() και f () g () για κάθε R, να αποδείξετε ότι f () g(), και f () g(), στο στο Εφαρμογή 3 η Αν f () f () για κάθε R και f () e, να δειχτεί ότι f () Έστω h() e f (), R και f () f (). Έχουμε h () e f () e f () e f () f () για κάθε R (ως πηλίκο θετικών αριθμών ). Άρα η h() e f () είναι γνησίως φθίνουσα στο R. h() h() e f () e f () f () e e f () ΑΤΜΑΤΖΙΔΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 4

9. ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ Στην περίπτωση αυτή μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ανισότητα για να προσδιορίσουμε αν μια συνάρτηση είναι κυρτή ή κοίλη Εφαρμογή η (Αξιολόγηση των μαθητών της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Κέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας - Θέμα η Δέσμης 99) Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη και δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα Δ με τιμές στο (, ) και ισχύει f () f () f (). Να δεχθεί ότι η συνάρτηση g με g() ln f () στρέφει τα κοίλα άνω Έχουμε g() ln f () άρα : f () g () και f () f ()f () [f ()] g (), για κάθε Δ. [f ()] από την υπόθεση έχουμε f () f () f () Άρα για κάθε Δ : f ()f () [f ()] g () [f ()] Εφαρμογή η (Ανάλυση ης Δέσμης, έκδοση Ο.Ε.Δ.Β. 99-998) (3) Αν για την συνάρτηση f ισχύει f () R και f (), να αποδείξετε ότι f στρέφει τα κοίλα κάτω στο, και στρέφει τα κοίλα άνω στο, Έχουμε (3) f () άρα : f () γνησίως αύξουσα. Αν f () f () f () για κάθε, η f στρέφει τα κοίλα άνω στο,, η f στρέφει τα κοίλα κάτω στο, Αν f () f () f () ΑΤΜΑΤΖΙΔΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 5

Εφαρμογή 3 η (Θέμα η Δέσμης 6 Ιουλίου999) Δίνεται η συνάρτηση f : R R, δύο φορές παραγωγίσιμη, η οποία σε σημείο o Rπαρουσιάζει τοπικό ακρότατο το και ικανοποιεί τη σχέση : f () 4 f () f (), για κάθε R. α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() f () e είναι κυρτή στο R. β) Να αποδείξετε ότι είναι f (), για κάθε R. α) Για κάθε Rέχουμε : g () = f ()e f()e, g () = f ()e f ()e f ()e + 4f()e = e ( f () 4f () +4f() ). Από την υπόθεση για κάθε R είναι f () > 4(f () f()) f () 4f () +4f() > και επειδή e > θα είναι g () > για κάθε R, συνεπώς η g είναι κυρτή στο R. β) Ισχύουν f ( ο ) = ( θεώρημα Fermat ) και f( ο ) =. Επειδή g() = f()e και e > αρκεί να δείξουμε ότι g(), για κάθε R. Η g είναι κυρτή στο R άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο R. Έτσι έχουμε : Για > ο g () > g ( ο ) g () > f ( ο ) e f( ο ) e g () >. Για < ο g () < g ( ο ) g () < f ( ο ) e f( ο ) e g () <. g ( ο ) = f ( ο ) e f( ο ) e =, η g έχει ολικό Ελάχιστο g() g( ο ) g() ΑΤΜΑΤΖΙΔΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 6

. ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ BOLZANO Θ.Μ.Τ. Μια ανισότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί μαζί με τα θεωρήματα της ανάλυσης για την επίλυση ασκήσεων (Bolzano Rolle Θ.Μ.Τ ) Εφαρμογή η (Θέμα η Δέσμης 994) Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα,e με f () και f (),e, να αποδειχθεί ότι υπάρχει μόνο ένας αριθμός για κάθε,e τέτοιος ώστε f ( ) ln Θεωρούμε τη συνάρτηση g() f () ln,,e και αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση g()= έχει μία ακριβώς ρίζα στο (, e). Η g συνεχής στο,e άθροισμα συνεχών συναρτήσεων αφού η f είναι συνεχής ( παραγωγίσιμη) στο [, e] g()g(e) f () ln f (e) eln e e f () f (e),αφού f () Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano η εξίσωση g() έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο,e. Έχουμε g() f () ln παραγωγίζουμε g () f () ln f () ln για κάθε,e, αφού για τις τιμές αυτές του είναι f () και ln > ln =. H g είναι γνησίως αύξουσα στο,e επομένως η εξίσωση g()= έχει το πολύ μία ρίζα. Τελικά υπάρχει μόνο ένας αριθμός o (, e) τέτοιος ώστε g( ) f ( ) ln Εφαρμογήη (από το βιβλίο Μαθηματικά Θετικής κατεύθυνσης ) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες και συνεχείς στο [,] και πληρούν τις σχέσεις f () g() και f()>g() να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον (,) τέτοιο ώστε f ( ) g( ) ΑΤΜΑΤΖΙΔΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 7

Εφαρμογή 3 η (Ανάλυση ης Δέσμης, έκδοση Ο.Ε.Δ.Β. 99-998) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα,4, f () και f () 5 για κάθε,4, να αποδείξετε ότι 9 f (4) Η f συνεχής στο,4 η f είναι παραγωγίσιμη στο,4 λόγο Θ.Μ.Τ. υπάρχει ένα τουλάχιστον,4 τέτοιο ώστε αντικαθιστούμε στην f () 5 και έχουμε f (4) f () f ( ). 4 f (4) f () 5 8 f (4) 9 f (4) 4 Εφαρμογή 4 η (Ανάλυση ης Δέσμης, έκδοση Ο.Ε.Δ.Β. 99-998) Αν για κάθε, είναι f () και ισχύει F() F () κάθε, η η F() F() f (t)dt συνεχής στο, f (t)dt είναι παραγωγίσιμη στο F() f (t)dt, να αποδείξετε ότι για, αφού f () λόγο Θ.Μ.Τ. υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε η F() F() F() F ( ). F() f (t)dt, F () f () και F () f () άρα η F () f () γνησίως αύξουσα αντικαθιστούμε στην F() F () F ( ) F () F () F ( ) F () F () ΑΤΜΑΤΖΙΔΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 8

. ΑΝΙΣΟ-ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT Εκμεταλλευόμαστε την ανισο-ισότητα της υπόθεσης,την ανισο-ισότητα του ορισμού των ακρότατων και την ισότητα του θεωρήματος του Fermat για να αποδείξουμε συνήθως ισότητες. Εφαρμογή η (Μαθηματικά θετικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου, Ο.Ε.Δ.Β. ) α) Αν α,β > και για κάθε R ισχύει a, να αποδείξετε ότι αβ= β) ) Αν α > και για κάθε R ισχύει a, να αποδείξετε ότι α = e. α) Ορίζουμε συνάρτηση f() = α + β και f() = α + β = οπότε και από την υπόθεση έχουμε f() f() δηλαδή η συνάρτηση έχει ολικό ελάχιστο και λόγω θεωρήματος Fermat f () = Παραγωγίζουμε την συνάρτηση f () = α lnα+ β lnβ f () = α lnα+ β lnβ = lnα+ lnβ = ln α β = ln α β = ln α β = β) ) Ορίζουμε συνάρτηση g() = α και g() = α = = οπότε και από την υπόθεση έχουμε g() g () δηλαδή η συνάρτηση έχει ολικό ελάχιστο και λόγω θεωρήματος Fermat g () = Παραγωγίζουμε την συνάρτηση g () = α lnα g () = α lnα = lnα = lnα = lne α = e ΑΤΜΑΤΖΙΔΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 9

Εφαρμογή η (Θέμα των πανελλαδικών εξετάσεων ης Δέσμης ) Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R με f () = και τέτοια ώστε να ισχύει f (t)dt e για κάθε R. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(,f()). Ορίζουμε συνάρτηση και επειδή με F ( ) F( ) f ( t) dt e f t dt έχουμε ότι F( ) F() F() ( ) Άρα λόγω Fermat η συνάρτηση έχει ολικό ελάχιστο στο οπότε η F ()= Παραγωγίζουμε την συνάρτηση και έχουμε F( ) f ( ) e e F() f () e f () Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(,f()) δίνετε από τον τύπο y f () = f () ( ) y = ( ) y = + Εφαρμογή 3 η (Αξιολόγηση των μαθητών της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά.Κέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας.) Έστω ότι α α (α > ), για κάθε >. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Fermat, να αποδείξετε ότι α = e. H ανισωτική σχέση γράφετε α α α α, για κάθε > Ορίζουμε συνάρτηση f() = α α, όπου >, η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο (, + ) με f () = α α- α lnα. Η f παρουσιάζει ελάχιστο για = α αφού ισχύει f() = α α = f(α), >. οπότε σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat, έχουμε : f (α) = α α α- α α lnα = α α ( lnα) = lnα = α = e. ΑΤΜΑΤΖΙΔΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

Εφαρμογή 4 η (Θέμα 7 Μαΐου 4) Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R R τέτοια ώστε f() =. Αν για κάθε R, ισχύει 3 g() z f (t)dt 3 z ( ), όπου z = α + βi C, z με α, β R, τότε : α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο R και να βρείτε τη g. β) Να αποδείξετε ότι z z. z α) Η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη στο R ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων διότι η f είναι συνεχής στο R και η 3 z ( ) παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική. z Άρα g () = 3 3 3 3 ( z f (t)dt) 3 z ( ) z f ( )( ) 3 z z f ( )3 3 z. z z z β) Παρατηρούμε ότι g() z f (t)dt 3 z ( ), άρα για κάθε R z ισχύει g() g(), δηλαδή το g() = είναι ολικό ελάχιστο της g. Επιπλέον το είναι εσωτερικό σημείο του R και η g είναι παραγωγίσιμη στο, οπότε σύμφωνα με το θεώρημα του Fermat 3 3 g () z f ( )3 3 z 3 z 3 z z z z z z γ) Έχουμε : z z z z z z z z, αν z z z z z w w w w ww w w ww ww w w w w Re(w) Re(z ). δ) Έχουμε Re(z ) = < και z = (α + βi ) = α β +αβi, άρα α β < (α β)(α + β) < και α > β τότε α + β < β < α, δηλαδή ο β είναι μικρότερος του αρνητικού α άρα β <. Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Bolzano για την f στο [, 3] η f είναι συνεχής στο [, 3] και f() f(3) <. z w ΑΤΜΑΤΖΙΔΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

. ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Εκμεταλλευόμαστε την βασική ανισότητα για να αποδείξουμε ανισότητες Αν f () τότε f () d Εφαρμογή η (Μαθηματικά θετικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου, Ο.Ε.Δ.Β. και θέμα εξετάσεων κατεύθυνσης Γ Λυκείου, 3 Μαΐου, το ερώτημα i ) Έστω f, g δύο συναρτήσεις συνεχείς στο [α,β]. Να αποδείξετε ότι: i ) Aν f () g() για κάθε που ανήκει στο [α, β], τότε f () d g() d ii) Aν m η ελάχιστη και Μ μέγιστη τιμή της f στο [α, β], τότε m( ) f () d M( ). i) Aν f ( ) g( ) ισχύει f ( ) g( ) για κάθε που ανήκει στο [α,β], οπότε έχουμε διαδοχικά : f ( ) g( ) d f ( ) d g( ) d f ( ) d g( ) d ii) Για κάθε που ανήκει στο [α, β] ισχύει m f ( ) M, οπότε έχουμε διαδοχικά: md f ( ) d Md m( ) f ( ) M ( ΑΤΜΑΤΖΙΔΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ

Εφαρμογή η (Θέμα 6 Ιουλίου 5) Δίνεται η συνάρτηση f : R R η οποία είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο στο R και f () f () για κάθε R και για την οποία ισχύει f () να δείξετε ότι: i. f () για κάθε. ii. f()d f(). f () i) Η συνάρτηση h() είναι γνησίως αύξουσα e f ()e f ()e e f () f () διότι h () από υπόθεση f () f () e e f () f () f () αν h() h() f (), άρα f () e e e f () f () f () αν h() h() f (), άρα f () e e e ii) Aν f () f () τότε f ()d f ()d f () f ()d f () f ()d Εφαρμογή 3 η (Θέμα 3 Μαΐου ) Α) Έστω δύο συναρτήσεις h, g συνεχείς στο [α, β]. Να αποδείξετε ότι αν h() > g() για κάθε [α, β], τότε και h ) d ( > g ( ) d. Β) Δίνεται η παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση f, που ικανοποιεί τις σχέσεις : f() e f() =, R και f() =. i) Να εκφραστεί η f ως συνάρτηση της f. ii) Να δείξετε ότι < f() < f (), για κάθε >. iii) Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τις ευθείες =, = και τον άξονα, να δείξετε ότι 4 < Ε < f(). ΑΤΜΑΤΖΙΔΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 3

α) Επειδή η συνάρτηση h() g() είναι συνεχής στο [α, β] ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων και για κάθε [α, β] είναι h() > g() h() g() > έχουμε : (h() g())d h()d g()d h()d h()d. β)i) Παραγωγίζουμε τα δύο μέλη της f() e f() = και παίρνουμε : f () + f () e f() = f ()(+ e f() ) = f () = (), R. f () e ii) Για κάθε > έχουμε f ( ) < f() < f () < f() f() < f () f () f () f () (). Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε την (). Η f είναι συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιμη στο (, ) αφού είναι παραγωγίσιμη στο R. Σύμφωνα με το θεώρημα μέσης τιμής υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ(, ) τέτοιο ώστε f () f () f ( ). Όμως < ξ < f () < f (ξ) < f () (3), αφού από την () για κάθε R : f () e f () f () f () ( e ) (f () > από την ()) οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα Όμως f (). Έτσι από την (3) προκύπτει η (). f () e e iii) Η f είναι συνεχής στο [, ] (ως παραγωγίσιμη στο R ) και για κάθε [, ] είναι f() (f() = και για κάθε > είναι < < f(). Επομένως E f ()d. Επειδή το συμπέρασμα του ερωτήματος (α) εξακολουθεί να ισχύει και όταν h() g() για κάθε [α, β] με το = να μην ισχύει παντού στο [α, β] ( η απόδειξη όμοια ) θα έχουμε : f() f () ( για κάθε [, ] με το = να ισχύει μόνο για = ) d f ()d f ()d E f () () f ()d 4 E E E 4 4 4 E f () E f () E f () Άρα 4 < Ε < f(). ΑΤΜΑΤΖΙΔΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 4

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Κατσαργύρης Β.Μέντης Κ. Παντελίδης Γ.Σούρλας Κ. Μαθηματικά Γ Λυκείου Ανάλυση, έκδοση Ο.Ε.Δ.Β.(99-) Ανδρεαδάκης Σ. Κατσαργύρης Β.Μέτης Σ. Μπρουχούτας Κ Παπασταυρίδης Σ. Πολύζος Γ. Μαθηματικά Γ ενιαίου Λυκείου θετική Κατεύθυνση έκδοση Ο.Ε.Δ.Β.(999- ). Αξιολόγηση των μαθητών της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Θετικής Κατεύθυνσης Κέντρο Εκπαιδευτικής Έρευνας (Αθήνα ). Θέματα των πανελλαδικών εξετάσεων ης, 4 ης Δέσμης 983- και Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Ενιαίου Λυκείου -. Ατματζίδης Αθανάσιος. Ζητήματα Ανάλυσης Γ Λυκείου. Η βοηθητική συνάρτηση και οι ανισοτικές σχέσεις. Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία Θεσσαλονίκης. Μαθηματική εβδομάδα 5-9 Μαΐου 7. Γιαννακόπουλος Σπ. Γενικά θέματα στην Ανάλυση περιοδικό Ευκλείδης Β (τεύχος 44) Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία Χριστόπουλος Θανάσης και Παναγιώτης. Μαθηματικά Γ Λυκείου περιοδικό Ευκλείδης Β (τεύχος 83) Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία () Παπαδάκης Βασίλης Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Γ - Γ Εκδόσεις Σαββάλας (9) Ξένος Θ. Ανάλυση Α Δέσμης Διαφορικός Ολοκληρωτικός 3 λογισμός Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Εκδόσεις Ζήτη (Θεσσαλονίκη 993). Στεργίου Χαρ.- Νάκης Χρ. - Στεργίου Ιωαν Μαθηματικά Γ Λυκείου Ανάλυση Εκδόσεις Σαββάλας () Μπάρλας Αναστάσιος Μαθηματικά Γ Ενιαίου Λυκείου, Εκδόσεις ελληνοεκδοτική (9) Γ.Λ. Μαυρίδης Μαθηματικά Γ Λυκείου Ανάλυση Εκδόσεις Μαυρίδη (7) Κολομητσίνης Σπ, Επιλογή ασκήσεων(από την διεθνή βιβλιογραφία )Μαθηματικά Γ Ενιαίου Λυκείου, Εκδόσεις ελληνικά γράμματα () ΑΤΜΑΤΖΙΔΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ 5