UVOD Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima u svrhu lakšeg praćenja i boljeg razumijevanja predavanja iz kolegija matematika. Ovi materijali čine suštinu nastavnog gradiva pa, uz obaveznu literaturu, mogu poslužiti studentima za pripremu ispita iz ovog kolegija. Svaka konstruktivna sugestija u svrhu poboljšanja ovih materijala, je dobrodošla. Želim vam što uspješnije savladavanje izloženog gradiva!! dr. sc. Josip Matejaš, EFZG
SADRŽAJ Matrice... 1 Klasifikacija matrica... 2 Računske operacije sa matricama... 8 Vektorski prostor R n... 17 Linearna (ne)zavisnost vektora... 22 Rang matrice... 25 Sustavi linearnih jednadžbi... 31 Determinanta kvadratne matrice... 44 Input output analiza... 57
MATRICE Definicija: Neka su m i n prirodni brojevi. Matrica A reda (formata) m n je svaka pravokutna tablica elemenata (brojeva) poredanih u m redaka i n stupaca. Simbolički ili kraće A = a 11 a 12 a 13... a 1n a 21. a 22. a 23.... a 2n. a m1 a m2 a m3... a mn A = [a ij ], i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. Oznake: A, B, C,... za matrice; a ij, b kl, c ir,... za matrične elemente, npr. a 42, b 15,12, c 11, d 25,7,... Promatrat ćemo samo realne matrice (matrični elementi su realni brojevi). Skup svih matrica istog reda m n označavamo sa M mn (ili M m n ili R m n ), npr. R 10 20, M 14 4, M 23, M 15, M 51,... + 1
Ako je m = n matricu nazivamo kvadratna matrica reda n. Skup svih kvadratnih matrica istog reda označavamo sa M n, npr. M 2, M 4, M 8,... KLASIFIKACIJA MATRICA Pravokutna (m n) i kvadratna (m = n). Nul matrica (oznaka O ili O mn ) je matrica čiji su svi elementi jednaki nuli. Glavna dijagonala kvadratne matrice A M n je ureden skup {a 11, a 22, a 33,..., a nn }. Trag kvadratne matrice A je broj tr(a) = a 11 + a 22 + a 33 +... + a nn. + 2
Klasifikacija kvadratnih matrica Kvadratna matrica A M n može biti: gornja trokutasta: a ij = 0 za i > j; donja trokutasta: a ij = 0 za i < j; dijagonalna: a ij = 0 za i j; skalarna: dijagonalna i a 11 = a 22 =... = a nn ; jedinična (oznaka I ili I n ): dijagonalna i a 11 = a 22 =... = a nn = 1. + 3
Jednakost matrica Matrice A i B su jednake ako i samo ako su istog reda i svi odgovarajući elementi su im medusobno jednali. Simbolički A = B A, B M mn Transponirana matrica a ij = b ij, i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n. Ako u matrici A M mn zamijenimo retke i stupce (prvi redak pišemo kao prvi stupac, drugi redak kao drugi stupac, itd.) dobijemo transponiranu matricu A T (ili A ) M nm. A A T a ij a ji. Kvadratna matrica A je: simetrična: A T = A, tj. a ji = a ij za sve i, j; antisimetrična: A T = A, tj. a ji = a ij za sve i, j; (tada je i a ii = a ii, tj. a ii = 0 za sve i). + 4
PRIMJERI 1. Zadane su matrice A = 4 1/2 x 3 3 1 0 x, B = 0 1 0.7 25 Odredite a 21, a 12, a 42, b 13, b 31.. 2. Napišite matricu A M 23 ako je a ij = i 2 j 2. 3. Napišite matricu X M 4 ako je x ij = 1 za i < j 1 za i > j 0 za i = j. + 5
[ 0 x/y 4. Zadane su matrice A = x y 2 [ ] [ ] 0 2 x 2 B =, C =. x 9 x 3x Odredite parametre x i y tako da je: (a) A = B, (b) B = C. ], 5. Zadana je matrica T = 1 4 x x 2 0 x 3 x 8 5. Za koju vrijednost parametra x je matrica T simetrična? 6. Odredite trag matrice T iz primjera 5. + 6
7. Klasificirajte slijedeće matrice A = [ 0 1 7 0.4 2 1 0 3 C = [6 2 0], D = F = H = 1 2 3 0 0 1 0 0 5 8 0 0 0 8 0 0 0 8 ], B = [ 0 1, G =, K = ] 0 0 0 0 0 0,, E = [ 7 ], 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1,. 8. Odredite tr(k) iz primjera 7 te zaključite koliki je tr(i n )? + 7
RAČUNSKE OPERACIJE SA MATRICAMA Zbrajanje matrica Matrice možemo zbrajati samo ako su istog reda i to tako da zbrajamo odgovarajuće elemente. Simbolički A = [a ij ], B = [b ij ] M mn A + B = [a ij + b ij ] M mn. Množenje matrica brojem (skalarom) Matricu množimo brojem tako da njime pomnožimo svaki njezin elemenat. Simbolički A = [a ij ] M mn, λ R λa = [λa ij ] M mn. Za λ = 0 je 0 A = O (nul-matrica). Za λ = 1 je ( 1) A = A (suprotna matrica). Oduzimanje matrica je zbrajanje sa suprotnom matricom: A B = A + ( B). Očito je: A A = A + ( A) = O. + 8
Linearna kombinacija matrica Definicija: Neka su dane matrice i brojevi Tada matricu A 1, A 2,..., A k M mn λ 1, λ 2,..., λ k R. A = λ 1 A 1 + λ 2 A 2 +... + λ k A k M mn nazivamo linearna kombinacija danih matrica. Pri tome brojeve λ 1, λ 2,..., λ k nazivamo koeficijenti linearne kombinacije. Linearna kombinacija je trivijalna ako su svi koeficijenti jednaki nuli (ona je tada jednaka nul-matrici). U protivnom (barem jedan koeficijent je različit od nule) linearna kombinaciju nazivamo netrivijalna. + 9
PRIMJER Zadane su matrice [ y x 2 A = 9 y ], B = [ 1 6 2x Odredite parametre x i y tako da matrica 2A 3B bude: (a) donja trokutasta; (b) dijagonalna; (c) skalarna. y ]. RJEŠENJE: 2A 3B = [ 2y 3 2x 2 18 18 6x y ]. (a) 2x 2 18 = 0 x { 3, 3}, y R; (b) 2x 2 18 = 0 i 18 6x = 0 x = 3, y R; (c) uvjeti pod (b) i 2y 3 = y x = 3, y = 1. + 10
SVOJSTVA ZBRAJANJA MATRICA I MNOŽENJA MATRICA BROJEM Za sve A, B, C M mn i λ, µ R vrijedi 1. (A+B)+C = A+(B+C) (asocijativnost) 2. A + B = B + A (komutativnost) 3. λ(a + B) = λa + λb, (λ + µ)a = λa + µa (distributivnost) 4. λ(µa) = (λµ)a (asocijativnost) + 11
MNOŽENJE MATRICA Dvije matrice možemo pomnožiti medusobno samo ako su ulančane (prva matrica ima toliko stupaca koliko druga redaka). Produkt je matrica sa toliko redaka kao prva, a stupaca kao druga matrica u umnošku. Simbolički A(m n) B(n p) = C(m p). Pri tome elemenat umnoška na mjestu (i, j) dobijemo skalarnim množenjem i-tog retka prve matrice sa j-tim stupcem druge matrice (prvi elemenat i-tog retka množimo sa prvim elementom j-tog stupca, drugi sa drugim, itd. te tako dobivene produkte zbrojimo). Simbolički c ij = a i1 b 1j + a i2 b 2j + a i3 b 3j +... + a in b nj. PRIMJERI 1. Ako imamo matrice A(3 3), B(4 3) i C(3 1), koje umnoške od dva člana možemo sastaviti? + 12
2. Za matrice A = [ 1 0 1 0 2 1 ], B = odredite A B i B A. RJEŠENJE: 2 0 1 1 0 1, Imamo A(2 3) B(3 2) = AB(2 2), (AB) 11 = 1 ( 2) + 0 1 + ( 1) 0 = 2, (AB) 12 = 1 0 + 0 1 + ( 1) ( 1) = 1, (AB) 21 = 0 ( 2) + 2 1 + 1 0 = 2, (AB) 22 = 0 0 + 2 1 + 1 ( 1) = 1, pa je [ ] 2 1 AB =. 2 1 Slično je B(3 2) A(2 3) = BA(3 3) i BA = Uočimo da je općenito 2 0 2 1 2 0 0 2 1 A B B A.. + 13
3. Ako su definirani matrični produkti AB i BA, tada vrijedi tr(ab) = tr(ba). Provjerite to na matricama iz primjera 2. 4. Primijetimo da su potencije A 2, A 3, A 4,... dobro definirane samo ako je A kvadratna matrica. Tada je: A 2 = A A, A 3 = A A A = A A 2 = A 2 A,... A n = A n 1 A = A A n 1. 5. Neka je A M n proizvoljna matrica te O, I M n. Provjerite da vrijedi AO = OA = O, AI = IA = A. + 14
SVOJSTVA Za matrice A, B, C odgovarajućih formata i λ R vrijede: Svojstva matričnog množenja 1. (AB)C = A(BC) 2. A(B+C) = AB+AC, (A+B)C = AC+BC 3. λ(ab) = (λa)b = A(λB) Za kvadratnu matricu A vrijedi i 4. AI = IA = A 5. AO = OA = O Svojstva transponiranja 1. (A + B) T = A T + B T 2. (λa) T = λa T 3. (A T ) T = A 4. (AB) T = B T A T + 15
INVERZNA MATRICA Definicija: Ako za matricu A M n postoji matrica A 1 takva da vrijedi A A 1 = A 1 A = I, tada je A 1 inverzna matrica matrice A. Uočimo da se inverzna matrica definira samo za (neke) kvadratne matrice i pri tome vrijedi A M n A 1 M n. Ako kvadratna matrica ima inverz, nazivamo je regularna. U protivnom je singularna. Inverzna matrica, ako postoji, je jedinstvena. Naime ako su B i C inverzne matrice od A tada je B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C. Svojstva invertiranja 1. (A 1 ) 1 = A 2. (λa) 1 = 1 λ A 1 3. (A T ) 1 = (A 1 ) T 4. (AB) 1 = B 1 A 1 + 16
VEKTORSKI PROSTOR R n Skup R n = x 1 x 2. x n : x 1, x 2,..., x n R sa definiranim matričnim operacijama (zbrajanje matrica i množenje matrica skalarom) nazivamo realni vektorski prostor. Imamo R 1 = R, R 2, R 3, R 4,... Primijetimo da je R n = M n1 (ili M 1n ). Elemente vektorskog prostora nazivamo vektori. Svaki vektor ima n komponenti. Nul-vektor (O) ima sve komponente nule. + 17
Skalarni produkt u R n je preslikavanje koje svakom paru vektora x, y R n pridružuje realni broj x T y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 +... + x n y n. Svojstva skalarnog produkta Za sve x, y, z R n i λ R vrijedi: 1. x T x 0, x T x = 0 x = O (pozitivna definitnost) 2. x T y = y T x (simetrija) 3. (x + y) T z = x T z + y T z (aditivnost) 4. (λx) T y = λ(x T y) (homogenost) Okomitost vektora Ako je skalarni produkt dvaju vektora nula, kažemo da su vektori medusobno okomiti ili ortogonalni, i obratno. Simbolički x T y = 0 x y. + 18
Euklidska norma u R n je preslikavanje koje svakom vektoru x R n pridružuje realni (nenegativni) broj x = x T x = x 2 1 + x2 2 + x2 3 +... + x2 n koji nazivamo euklidska norma (ili duljina) vektora x. Napomenimo da se norma može definirati općenitije kao svako preslikavanje x x koje zadovoljava sljedeća svojstva. Svojstva norme Za sve x, y R n i λ R vrijedi: 1. x 0, 2. x = 0 x = O 3. λx = λ x 4. x + y x + y (nejednakost trokuta) Udaljenost vektora x i y u zadanoj normi definiramo kao d(x, y) = x y. + 19
PRIMJERI 1. Zadani su vektori [ ] 1 x =, y = 3 [ 3 1 ], z = [ 4 0 ]. Odredite x T y, x T z i y T z. Kakvi su vektori x i y? 2. Zadani su vektori A = t 1 0, B = 1 2 3. Za koju vrijednost parametra t su vektori A + B i A B medusobno okomiti? RJEŠENJE: t = ± 13. + 20
3. Primjeri normi. Za svaki prirodni broj p, x p = ( x 1 p + x 2 p +... x n p ) 1/p je norma (norma p). Takoder x = max { x 1, x 2,..., x n } je norma (norma ). Odredite x 1, x 2 i x ako je x = 1 2 3 4. RJEŠENJE: x 1 = 10, x 2 = 30, x = 4. Primijetimo da je x 2 euklidska norma. + 21
LINEARNA (NE)ZAVISNOST VEKTORA Definicija: Skup vektora {A 1, A 2,..., A k } R n je linearno nezavisan ako je samo trivijalna linearna kombinacija tih vektora jednaka nul-vektoru, tj. ako vrijedi λ 1 A 1 + λ 2 A 2 +... + λ k A k = O λ 1 = λ 2 =... = λ k = 0. Skup vektora {A 1, A 2,..., A k } R n je linearno zavisan ako postoji i netrivijalna linearna kombinacija tih vektora jednaka nul-vektoru, tj. ako vrijedi λ 1 A 1 + λ 2 A 2 +... + λ k A k = O λ i 0 bar za jedan i {1, 2,..., k}. Iz definicije slijedi da je skup vektora linearno zavisan ako se bar jedan vektor iz tog skupa može prikazati pomoću preostalih (kao njihova linearna kombinacija). Ako to nije moguće, skup je linearno nezavisan. + 22
PRIMJER Ispitajte linearnu (ne)zavisnost skupa: 1. {[ 1 ], 2 [ 1 λ 1 2 [ 1 ] 1 ]} + λ 2 R 2 [ 1 1 ] = [ 0 0 ] λ 1 + λ 2 = 0 2λ 1 + λ 2 = 0 λ 1 = 0, λ 2 = 0. Skup vektora je linearno nezavisan. 2. {[ 2 ], 2 [ 2 λ 1 2 [ 1 ] 1 ]} + λ 2 R 2 [ 1 1 ] = [ 0 0 ] 2λ 1 + λ 2 = 0 2λ 1 + λ 2 = 0 λ 2 = 2λ 1, λ 1 R. npr. λ 1 = 1, λ 2 = 2 ili λ 1 = 3, λ 2 = 6, itd. Skup vektora je linearno zavisan. + 23
Skup vektora generira ili razapinje vektorski prostor R n ako se svaki vektor iz R n može prikazati pomoću vektora iz tog skupa (kao njihova linearna kombinacija). Skup vektora je baza prostora R n ako: je linearno nezavisan; razapinje prostor R n. Broj vektora u bazi ne ovisi o izboru baze i naziva se dimenzija vektorskog prostora. PRIMJER: Kanonska baza prostora R n. B = 1 0 0. 0, 0 1 0. 0, 0 0 1. 0,..., 0 0 0. 1 Uočimo da su vektori kanonske baze stupci jedinične matrice reda n. Dimenzija prostora R n : dim(r n ) = n. + 24
RANG MATRICE Rang matrice je najveći broj linearno nezavisnih redaka (ili stupaca) te matrice. Može se pokazati da je rang po recima jednak kao i rang po stupcima, pa je A M mn r(a) min{m, n}. Rang odredujemo primjenom elementarnih transformacija na retke ili stupce matrice. Elementarne transformacije su: zamjena dvaju redaka (stupaca); množenje retka (stupca) brojem različitim od nule; zbrajanje dvaju redaka (stupaca). Primjenom elementarnih transformacija rang matrice se ne mijenja. Cilj je pomoću elementarnih transformacija svesti polaznu matricu na matricu iz koje je rang očigledan. + 25
PRIMJERI Odredite rang slijedećih matrica 1. A = 1 1 1 1 1 2 3 4 4 3 2 1 2. M = 3 3 3 t 1 1 1 2 2 2 1 1 4 4 4 8 3. A M 4 : a ii = b, a ij = 1 za i j. Rješenje: b 1 1 1 1 b 1 1 A = 1 1 b 1 1 1 1 b b = 1 r(a) = 1, b = 3 r(a) = 3, b 1, b 3 r(a) = 4. + 26
RJEŠENJA 1. A 1 1 1 1 1 2 3 4 4 3 2 1 ( 1) ( 4) 1 1 1 1 0 1 2 3 0 1 2 3 1 1 1 1 1 0 1 2 3 0 0 0 0 r(a) = 2. Nakon provedenih transformacija rang je jednak broju neponištenih redaka ili broju stepenica. Pri tome u svakom retku treba biti nova stepenica. + 27
2. M 1 1 1 2 2 2 1 1 4 4 4 8 3 3 3 t ( 2) ( 4) ( 3) 1 1 1 2 0 0 3 5 0 0 0 0 0 0 0 t 6 1 1 1 2 0 0 3 5 0 0 0 t 6 0 0 0 0 t 6 = 0 t = 6 r(m) = 2, t 6 0 t 6 r(m) = 3. + 28
Skup vektora {A 1, A 2,..., A k } R n je linearno nezavisan ako je r(a) = k (broju vektora); je linearno zavisan ako je r(a) < k (broja vektora); razapinje prostor R n ako je r(a) = n; baza prostora R n ako je r(a) = n = k (broju vektora). Pri tome je A matrica čiji su stupci (ili reci) vektori A 1, A 2,..., A k. + 29
PRIMJER Za koju vrijednost parametra t R skup vektora 1 0 t, 0 t 0, t 0 1, čini bazu vektorskog prostora R 3? RJEŠENJE A = 1 0 t 0 t 0 t 0 1 ( t) 1 0 t 0 t 0 0 0 1 t 2 t = 0 r(a) = 2, 1 t 2 = 0 t = ±1 r(a) = 2, t 0 i t ±1 r(a) = 3. Skup vektora je baza za t R \ { 1, 0, 1}. Postaviti i ostala pitanja za ovaj i prethodne primjere! + 30
SUSTAVI LINEARNIH JEDNADŽBI Sustav od m jednadžbi sa n nepoznanica: a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 +... + a 2n x n = b 2 a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 +... + a 3n x n = b 3 a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x 3 +... + a mn x n = b m Uvedemo li matrice A = a 11. a 1n. a m1 a mn, X = x 1. x n, B = b 1. b m, A(m n), X(n 1), B(m 1), sustav možemo pisati u matričnom obliku A X = B. Pri tome su: A - matrica sustava; X - matrica nepoznanica; B - matrica slobodnih članova; A B - proširena matrica sustava. + 31
Ako je B = O = 0., imamo homogen 0 sustav, u protivnom (B O) nehomogen. Svaku matricu X koja zadovoljava jednadžbu AX = B, nazivamo rješenje sustava. Sustav koji ima rješenje nazivamo rješiv, moguć, konzistentan ili kompatibilan. Teorem (Kronecker-Capelli): Sustav linearnih jednadžbi ima rješenje ako i samo ako je r(a) = r(a B) (rang matrice sustava jednak rangu proširene matrice sustava). Dokaz: Neka su A 1, A 2,..., A n R m stupci matrice A. Sustav AX = B sada možemo pisati u obliku x 1 A 1 + x 2 A 2 +... + x n A n = B. Ako sustav ima rješenje, tada je B linearna kombinacija vektora A 1,..., A n. To znači da dodavanje linearno zavisnog vektora B, skupu stupaca matrice A, neće promijeniti rang. Ako je r(a) = r(a B), tada je B linearno zavisan u odnosu na stupce matrice A, pa se može napisati kao njihova linearna kombinacija. Koeficijenti te kombinacije su rješenje sustava, dakle, sustav ima rješenje. + 32
Homogeni sustav AX = O uvijek ima bar jedno rješenje i to trivijalno X = O (x 1 = x 2 =... = x n = 0), jer je r(a) = r(a O). Općenito za sustav AX = B vrijedi: 1. r(a) = r(a B) ima rješenje i to: jedinstveno ako je r(a) jednak broju nepoznanica, beskonačno mnogo rješenja ako je r(a) manji od broja nepoznanica; 2. r(a) r(a B) nema rješenje. + 33
U slučaju beskonačno mnogo rješenja sustav ima toliko slobodnih parametara (nepoznanica) za koliko je r(a) manji od broja nepoznanica. Za homogeni sustav slučaj 2. ne može nastupiti. Sustav rješavamo Gauss Jordanovom metodom. Ona se sastoji u primjeni elementarnih transformacija na retke proširene matrice sustava. Kako elementarne transformacije ne mijenjaju rješenje sustava, pomoću njih sustav prevodimo u ekvivalentni iz kojeg se rješenje može direktno očitati. + 34
Riješite sustav PRVI PRIMJER 2x y + 3z = 12 x + y z = 1 3x + 2y + 2z = 5. Sastavimo proširenu matricu sustava A B: 1 1 1 1 2 1 3 12 3 2 2 5 ( 2) 1 1 1 1 0 3 5 14 0 1 5 8 1 1 1 1 0 1 5 8 0 3 5 14 ( 3) ( 3) 1 1 1 1 0 1 5 8 0 0 10 10 r(a) = 3 = r(a B) = broju nepoznanica, sustav ima jedinstveno rješenje; + 35
unutar matrice A formiramo jediničnu matricu reda 3: 1 1 1 1 0 1 5 8 0 0 10 10 1 1 1 1 0 1 5 8 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 3 0 0 1 1 1 0 0 3 0 1 0 3 0 0 1 1 1 0 0 3 0 1 0 3 0 0 1 1 x = 3 y = 3 z = 1. ( 5) : ( 10) 1 ( 1) 1 + 36
DRUGI PRIMJER Riješite sustav 3x 1 x 2 + 4x 3 5x 4 = 1 x 1 + 3x 2 x 3 + 2x 4 = 0 2x 1 + 2x 2 + 3x 3 3x 4 = 3. Sastavimo proširenu matricu sustava A B: 1 3 1 2 0 3 1 4 5 1 2 2 3 3 3 1 3 1 2 0 0 8 1 1 1 0 8 1 1 3 1 3 1 2 0 0 8 1 1 1 0 0 0 0 4 3 ( 1) 2 r(a) = 2, r(a B) = 3 sustav nema rješenje. Zadnja jednadžba glasi 0 = 4!? + 37
TREĆI PRIMJER Riješite sustav x + y + z = 2 2x y + z = 3 3x + 2z = 5. Sastavimo proširenu matricu sustava A B: 1 1 1 2 2 1 1 3 3 0 2 5 ( 2) 1 1 1 2 0 3 1 1 0 3 1 1 1 1 1 2 0 3 1 1 0 0 0 0 ( 3) ( 1) r(a) = 2 = r(a B) < 3 = broj nepoznanica, sustav ima beskonačno mnogo rješenja sa jednim slobodnim parametrom; + 38
unutar matrice A formiramo jediničnu matricu reda 2: 1 1 1 2 0 3 1 1 0 0 0 0 : ( 3) 1 1 1 2 0 1 1/3 1/3 0 0 0 0 ( 1) 1 0 2/3 5/3 0 1 1/3 1/3 0 0 0 0 x + 2 3 z = 5 3 y + 1 3 z = 1 3 x = 5 3 2 3 z y = 1 3 1 3 z z R Ovo je opće rješenje sustava u parametarskom obliku (z je slobodni parametar sustava). + 39
ČETVRTI PRIMJER Četiri trgovačke firme A, B, C i D naručuju robu od istog dobavljača, dakle, svaku vrstu robe po jednakoj cijeni. Firma A je naručila 5t brašna (t = tona), 3t šećera i 1t kave za što je platila 110 000 kuna. Firma B je za 3t brašna, 2t šećera i 2t kave platila 179 000 kuna. Firma C za 4t brašna, 4t šećera i 3t kave plaća 272 000 kuna. Koliko će platiti firma D za svoju narudžbu od 1t brašna, 1t šećera i 1t kave? Zadatak riješite matričnim računom. RJEŠENJE: Označimo cijene za 1t brašna, šećera i kave sa x, y i z. Imamo sustav 5x + 3y + z = 110 000 3x + 2y + 2z = 179 000 4x + 4y + 3z = 272 000, koji riješimo matrično (najbolje je uzeti redosljed nepoznanica z, y, x). Dobijemo x = 3 000, y = 5 000 i z = 80 000. Rješenje zadatka je x + y + z = 88 000 kuna. Napomena: zadatak možemo riješiti i tako da vektor [1, 1, 1] prikažemo kao linearnu kombinaciju vektora [5, 3, 1], [3, 2, 2] i [4, 4, 3]. + 40
PETI PRIMJER Kako broj rješenja sustava tx + ty + 4z = 2 x + y + tz = 1 3y tz = 3 ovisi o vrijednosti realnog parametra t? Imamo: 1 1 t 1 0 3 t 3 t t 4 2 1 1 t 1 0 3 t 3 0 0 4 t 2 2 + t ( t) t = 2 r(a) = 2, r(a B) = 3 sustav nema rješenja, t = 2 r(a) = 2 = r(a B) < 3 sustav ima beskonačno mnogo rješenja, t ±2 r(a) = 3 = r(a B) sustav ima jedinstveno rješenje. + 41
PRIMJENA GAUSS-JORDANOVE METODE NA RAČUNANJE INVERZNE MATRICE A 1 =? za zadanu A M n A 1 [A I] = [ A 1 A A 1 I ] = [ I A 1] Dakle: [A I] el. transformacije [ I A 1] PRIMJER Invertirajte matricu A = RJEŠENJE: [A I] = 1 0 1 1 0 0 3 1 0 0 1 0 1 1 3 0 0 1 1 0 1 3 1 0 1 1 3 ( 3) 1. + 42
1 0 1 1 0 0 0 1 3 3 1 0 0 1 4 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 3 3 1 0 0 0 1 2 1 1 Dakle, A 1 = 1 0 0 3 1 1 0 1 0 9 4 3 0 0 1 2 1 1 1 0 0 3 1 1 0 1 0 9 4 3 0 0 1 2 1 1 3 1 1 9 4 3 2 1 1. 3 Provjera: A A 1 = A 1 A = I. 1 ( 1) ( 1) ( 1) = [ I A 1] + 43
DETERMINANTA KVADRATNE MATRICE Svakoj kvadratnoj matrici A pridružen je jedinstveni realni broj koji nazivamo determinanta i označavamo sa A ili det(a). Determinantu definiramo na slijedeći način: Determinanta reda 2: [ 4 1 A = 3 2 det(a) = 4 1 3 2 ] = 4 2 ( 1) 3 = 11 Determinanta reda 3 (Sarrussovo pravilo): B = B = 2 1 0 3 2 1 4 0 5 2 1 0 3 2 1 4 0 5 2 1 3 2 4 0 = 2 2 5 + ( 1) 1 4 + 0 ( 3) 0 0 2 4 2 1 0 ( 1) ( 3) 5 = 20 4 + 0 0 0 15 = 1 + 44
Determinante višeg reda (n > 3): A M n, A =? Ako u matrici A izostavimo (izbrišemo) i-ti redak i j-ti stupac dobivamo novu matricu A ij M n 1. Njena determinanta naziva se subdeterminanta ili minora A ij. Kofaktor ili algebarski komplement A ij elementa a ij definiramo kao A ij = ( 1) i+j A ij. A dobijemo Laplaceovim razvojem po jednom (proizvoljnom) retku ili stupcu: A = n j=1 a ij A ij (razvoj po i-tom retku) A = n i=1 a ij A ij (razvoj po j-tom stupcu) PRIMJER: Provjerite da je determinanta trokutaste (dijagonalne) matrice jednaka umnošku njenih dijagonalnih elemenata. + 45
SVOJSTVA DETERMINANTI 1. Zamjenom dvaju redaka ili stupaca determinanta mijenja predznak. 2. Determinantu množimo brojem tako da njime pomnožimo samo jedan (bilo koji) redak ili stupac. 3. Determinanta se ne mijenja ako jednom retku ili stupcu dodamo linearnu kombinaciju preostalih redaka ili stupaca. 4. Determinanta koja ima nul-redak ili nulstupac jednaka je nuli. 5. Determinanta koja ima dva ista retka ili stupca jednaka je nuli. 6. Determinanta čiji su reci (stupci) linearno zavisni jednaka je nuli. 7. Determinanta čiji su reci (stupci) linearno nezavisni različita je od nule. + 46
PRIMJER 1 3 1 0 2 2 2 1 3 0 3 1 3 0 0 5 = razvoj po četvrtom retku = = ( 3) ( 1) 4+1 + 0 3 1 0 2 2 1 0 3 1 + 0 + 5 ( 1) 4+4 = 3 1 + 5 0 = 3 1 3 1 2 2 2 3 0 3 + 47
Napomena: prije razvijanja determinante neke elemente možemo poništiti, npr. 1 3 1 0 2 2 2 1 3 0 3 1 3 0 0 5 = 1 1 3 1 0 2 2 2 1 1 2 1 0 7 10 10 0 ( 5) = razvoj po četvrtom stupcu = = 1 ( 1) 2+4 1 3 1 1 2 1 7 10 10 =... = 3 + 48
Još neka svojstva determinanti Za A, B M n i λ R vrijedi 1. A T = A 2. A B = A B (Binet-Cauchyjev teorem) 3. A k = A k 4. A 1 = A 1 = 1 A 5. λ A = λ n A (uočimo da je n red matrice) PRIMJERI 1. Za matrice [ 4 3 A = 2 2 ], B = [ 3 1 4 4 ] izračunajte det ( 5A 4 B 1 A 3). RJEŠENJE: 5A 4 B 1 A 3 = 52 A 4 B 1 A 3 = 25 A 4 B 1 A 3 = 25 2 4 ( 16) 1 2 3 = 200. + 49
2. Za matricu odredite K = 2 0 0 0 3 1 0 0 4 7 1 0 8 6 4 2 K 1 =? i 2K 3 =? RJEŠENJE: Kako je K donja trokutasta matrica imamo K = 2 ( 1) 1 2 = 4, pa je K 1 = 1 K 2K 3 = 24 = 1 4, K 3 = 24 K 3 = 2 4 ( 4) 3 = 1024. + 50
DETERMINANTA, RANG I REGULARNOST MATRICE Rang matrice jednak je najvećem redu minore te matrice koja je različita od nule. Za matricu A M n slijedeće tvrdnje su ekvivalentne: A je regularna rang(a) = n (najveći mogući rang) det(a) 0 stupci (reci) od A su linearno nezavisni Za matricu A M n slijedeće tvrdnje su ekvivalentne: A je singularna rang(a) < n det(a) = 0 stupci (reci) od A su linearno zavisni + 51
PRIMJER Ispitajte regularnost matrice RJEŠENJE: Prvi način: A = A = 1 0 1 x 2 3 3 x 2 1 0 1 x 2 3 3 x 2 1 0 x 2 3 x = 4 x 2 + 6 3x A = x 2 3x + 10 = 0 x { 5, 2} Za x { 5, 2} matrica A je singularna, za x R \ { 5, 2} matrica A je regularna. + 52
Drugi način: A 1 0 1 3 2 x 2 x 3 3 2 1 0 1 0 2 x + 3 0 x 5 2 1 0 1 0 2 x + 3 0 2x 10 ( x) 1 0 1 0 2 x + 3 0 0 x 2 3x + 10 Ako je x 2 3x + 10 = 0 tj. x { 5, 2} tada je r(a) = 2 < 3 pa je A singularna. Ako je x 2 3x + 10 0 tj. x R \ { 5, 2} tada je r(a) = 3 pa je A regularna. + 53
PRIMJENA DETERMINANTI NA RAČUNANJE INVERZNE MATRICE Ako u matrici A M n sve matrične elemente a ij zamijenimo sa njihovim kofaktorima A ij, dobijemo matricu kofaktora. Transponiranu matricu kofaktora nazivamo adjungirana matrica ili adjunkta adj(a). Može se pokazati da vrijedi adj(a) A = A adj(a) = A I. Ako je A regularna (AA 1 = A 1 A = I) tada, usporedbom ovih jednakosti, slijedi A 1 = 1 A adj(a). + 54
PRIMJER A = RJEŠENJE: [ a b c d ], A 1 =? Matrica kofaktora [ ( 1) 1+1 d ( 1) 1+2 c ( 1) 2+1 b ( 1) 2+2 a adj(a) = ] [ d b c a = ] [ d c b a Adjungirana matrica matrice reda 2 2 dobije se tako da dijagonalnim elementima zamijenimo mjesta a izvandijagonalnim predznake. A 1 = 1 A adj(a) = 1 ad bc [ d b c a ] ] + 55
CRAMEROV SUSTAV LINEARNIH JEDNADŽBI Ako je u sustavu AX = B broj jednadžbi jednak broju nepoznanica (= n) tada je A kvadratna matrica (reda n). Ako je matrica sustava A regularna ( A = 0) tada je X = A 1 B, pa sustav ima jedinstveno rješenje (homogeni sustav trivijalno a nehomogeni netrivijalno). Takav sustav nazivamo Cramerov. Rješenje Cramerovog sustava možemo izraziti i pomoću determinanti, x i = A i / A, i = 1, 2,..., n, gdje se A i dobije iz A zamjenom i-tog stupca vektorom B. Ako je matrica sustava A singularna ( A = 0) tada homogeni sustav ima beskonačno mnogo rješenja (dakle osim trivijalnog i beskonačno mnogo netrivijalnih) a nehomogeni sustav može ili imati beskonačno mnogo rješenja ili biti nemoguć. + 56
INPUT-OUTPUT ANALIZA (Leontiefov medusektorski model) Wassily W. Leontief: The Structure of American Economy 1919-1939 (1950), Oxford University Press. U ovom modelu promatramo ekonomiju nekog mjesta (kraja ili regije) kao cjelinu sastavljenu od n industrija (grana ili sektora). Ti sektori su medusobno zavisni. Proizvodnja svakog sektora potrebna je kao utrošak u procesu proizvodnje ostalih sektora ali i njega samog. I-O analiza je analiza kvantitativnih zavisnosti izmedu proizvodnji pojedinih sektora promatrane ekonomije. Osnovno pitanje koje postavljamo je: Koju razinu proizvodnje svaki od n sektora treba ostvariti pa da se zadovolji potražnja za tim proizvodom? + 57
Pretpostavke modela: 1. Proizvodnja svakog sektora je homogena (povećamo li ili smanjimo sve faktore proizvodnje jednak broj puta, proizvodnja se takoder poveća ili smanji toliko puta). 2. Svaki sektor za proizvodnju koristi fiksni odnos utroška (fiksnu kombinaciju faktora). Osnovne oznake i relacije: Ukupni output (izlaz) iz i-tog sektora označavamo sa Q i. To je sve što taj sektor daje (proizvodi). Neki sektori za svoj input (ulaz) koriste dio outputa drugih sektora. Te veličine označavamo sa Q ij (dio outputa i-tog sektora koji prelazi u j-ti sektor). Nakon što se zadovolji ovakva medusektorska potražnja, ostaje q i - dio outputa i-tog sektora namjenjen finalnoj potražnji (potrošnja, prodaja, izvoz). Sve ove veličine mogu biti izražene u vrijednosnim (novčanim) ili količinskim jedinicama. Iz navedenih veličina sastavljamo I-O tabelu. + 58
INPUT-OUTPUT TABELA Q i Q ij q i Q 1 Q 11 Q 12... Q 1n q 1 Q 2 Q 21 Q 22... Q 2n q 2...... Q n Q n1 Q n2... Q nn q n ukupni medusektorska finalna outputi potražnja potražnja Osnovna relacija I-O tabele: Q i = n j=1 Q ij + q i, i = 1, 2,..., n. Dio proizvoda i-tog sektora koji koristi j-ti sektor za proizvodnju jedne jedinice svog proizvoda je konstantan i nazivamo ga tehnički koeficijent proizvodnje a ij. a ij = Q ij Q j, i, j = 1, 2,..., n. + 59
Sada je Q ij = a ij Q j, pa osnovna relacija glasi Q i = n j=1 a ij Q j + q i, i = 1, 2,..., n. Uvedemo li matrice: ukupnih outputa Q, finalne potražnje q i tehničkih koeficijenata A, Q = Q 1 Q 2. Q n, q = q 1 q 2. q n, A = a 11... a 1n a 21.... a 2n. a n1... a nn osnovnu relaciju možemo pisati u matričnom obliku Q = AQ + q ili Q AQ = q, odnosno (I A)Q = q. Uvedemo li matricu tehnologije T = I A, imamo T Q = q ili Q = T 1 q. Primijetimo da su u ovom modelu matrice A, T i T 1 konstantne. To znači da, kad ih jednom izračunamo, možemo ih primijeniti na različite vrijednosti ukupnih outputa i finalne potražnje. + 60,
APROKSIMATIVNO IZRAČUNAVANJE MATRICE T 1 Osnovne karakteristike matrice A: 1. a ij 0, i, j = 1, 2,..., n 2. n i=1 a ij < 1, T = I A j = 1, 2,..., n T 1 = (I A) 1 Za proizvoljni prirodni broj k je (I A) (I + A + A 2 +... + A k 1 + A k ) = I + A + A 2 +... + A k A A 2 +... A k A k+1 = I A k+1 Ako k tada A k+1 O, tj. (I A) (I + A + A 2 +... + A k +...) }{{} (I A) 1 = I Dakle, (I A) 1 I + A + A 2 +... + A k. Aproksimacija je to bolja što je k veći. + 61
PRIMJERI 1. Zadana je input output tabela neke dvosektorske privrede Q i Q ij q i 1000 250 600 150 1200 250 300 650. Odredite pripadne matrice A, T i T 1. RJEŠENJE: T = A = [ 1 0 0 1 250 1000 250 1000 ] 600 1200 300 1200 [ 1/4 1/2 1/4 1/4 = ] [ 1/4 1/2 = T 1 = 1 T adj(t ) = 1 9 16 1 8 [ 12/7 8/7 = 4/7 12/7 1/4 1/4 ] [ 3/4 1/2 ] 1/4 3/4 [ 3/4 1/2 1/4 3/4 ] ] + 62
2. Zadana je input output tabela neke trosektorske privrede Q i Q ij q i 100 10 30 40 20 150 20 30 60 40 200 30 60 80 30. Napišite novu I O tabelu ako se ukupni outputi prvog i drugog sektora povećaju za 20% a finalna potražnja trećeg sektora smanji za 80%. + 63
RJEŠENJE: A = tabela A nova tabela 0.1 0.2 0.2 0.2 0.2 0.3 0.3 0.4 0.4 Q i Q ij q i 120 12 36 0.2Q 3 q 1 180 24 36 0.3Q 3 q 2 Q 3 36 72 0.4Q 3 6 120 = 12 + 36 + 0.2Q 3 + q 1 180 = 24 + 36 + 0.3Q 3 + q 2 Q 3 = 36 + 72 + 0.4Q 3 + 6 Q 3 = 190, q 1 = 34, q 2 = 63 Q i Q ij q i 120 12 36 38 34 180 24 36 57 63 190 36 72 76 6 + 64