Κφάλαιο 9 ΑΣΤΑΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΣΧΕΤΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΤΟΥ ΜΟΧΛΟΒΡΑΧΙΟΝΑ ΕΠΑΝΑΦΟΡΑΣ ΣΕ ΚΥΜΑΤΙΣΜΟ Σύνοψη Αναλύονται δυναμικά φαινόμνα που προκαλούνται όταν ο μοχλοβραχίονας παναφοράς μταβάλλται σημαντικά κατά την κίνηση του πλοίου. Τέτοια φαινόμνα συμβαίνουν, ιδιαίτρα, κατά τη λιτουργία σ διαμήκις κυματισμούς, όπου η ίσαλος πιφάνια παρουσιάζι αυξομοιώσις, καθώς το πλοίο κινίται από κορυφή σ κοιλάδα. Επξηγίται λπτομρώς, μέσ μαθηματικού μοντέλου, το φαινόμνο της «παραμτρικής αστάθιας» το οποίο ανήκι στην κατηγορία φαινομένν τύπου «Mahiu» (ταλανττής μ έναν τουλάχιστον χρονικά μταβαλλόμνο όρο, στη πρίπτσή μας τον όρο παναφοράς). Εξάγονται απλές αναλυτικές σχέσις που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη σχδίαση. Επξηγίται, πίσης, το φαινόμνο της «αυθντικής απώλιας υστάθιας», το οποίο συμβαίνι αποκλιστικά σ ακολουθούντς κυματισμούς, όταν η ταχύτητα του πλοίου πλησιάζι την ταχύτητα φάσης του κύματος. 9.. Πρώτς μλέτς της αυξομίσης του μοχλοβραχίονα σ κυματισμούς Ήδη από τον 9ο αιώνα, ρυνητές όπς ο Froud και ο Rd στην Αγγλία, στους οποίους αναφρθήκαμ και νρίτρα, ίχαν παρατηρήσι ότι, ο μοχλοβραχίονας παναφοράς νός πλοίου μπορί να μταβληθί σημαντικά, σ σύγκριση μ την κατάσταση ήρμου νρού, όταν το πλοίο αυτό ταξιδύι σ υψηλούς διαμήκις κυματισμούς. Στη Γρμανία, λίγο πριν τον Β Παγκόσμιο Πόλμο, ο Kmpf έκαν τη σημαντική παρατήρηση ότι, όταν ένα πλοίο κινίται στη διύθυνση τν κυμάτν, η υστάθια του μιώνται όταν το μέσο του υρίσκται κοντά σ κορυφή του κύματος και αυξάνται όταν υρίσκται κοντά σ κοιλάδα (Kmpf, 938). Αυτό πιββαιώθηκ μ πιράματα, στην ίδια χώρα, από τους Graff και Hkshr το 94. Οι καθηγητές Wndl στη Γρμανία και Paulling στις ΗΠΑ κατά τη δκατία του 50 απέδσαν κάποια ατυχήματα σ αυτό το φαινόμνο της μταβολής του μοχλοβραχίονα, σημιώνοντας ότι υπάρχι πρίπτση να υπάρξι πολύ έντονη μίση της ροπής παναφοράς στις μγάλς γνίς κλίσης. Την ίδια πρίπου ποχή, ο καθηγητής Grim (95) στη Γρμανία και ο καθηγητής του MIT Krwin (95) (κατά τη διάρκια παραμονής του στην Ολλανδία) παρατήρησαν ότι η πριοδική μταβολή του μτακντρικού ύψους σ ακολουθούντς κυματισμούς διαμορφώνι διαφορική ξίσση κίνησης διατοιχισμού «τύπου Mahiu» (ή «παραμτρικού τύπου» όπς πίσης συνηθίζται να ονομάζται για τη σχτική θρία τν λγομένν συναρτήσν Mahiu δς για παράδιγμα MLahlan, 964). Όπς θα δούμ παρακάτ, αυτό έχι ς αποτέλσμα σ κάποις πριοχές συχνοτήτν συνάντησης, να συμβαίνουν φαινόμνα συντονισμού, παρά το γγονός ότι το πλοίο δν υπόκιται σ άμση ξτρική διέγρση στη διύθυνση του διατοιχισμού. Στο σχήμα 9., φαίνται η μταβολή του μοχλοβραχίονα παναφοράς για ένα από τα δύo πλοία τα οποία ίχ ξτάσι κτταμένα, μέσ πιραμάτν λύθρν μοντέλν, του 70 ο Καθ. Paulling μ τους συνργάτς του, για το Πανπιστήμιο του Brkly, στις αρχές της δκατίας του 70 (Chou al., 974). 9.. Ποιοτική πριγραφή του μηχανισμού μταβολής του μοχλοβραχίονα Γνικά, η πίδραση του κυματισμού στην υστάθια προκύπτι μέσ διαφορτικών πιδράσν: Η πρώτη έχι να κάνι μ τη μταβολή του βυθισμένου μέρους της γάστρας, ίναι δηλαδή καθαρά υδροστατικής φύσης. Η δύτρη πίδραση, προκύπτι από τις ταχύτητς τν μορίν του νρού λόγ του κυματισμού. Άλλη πίδραση έχι να κάνι μ τη διαταραχή του πδίου πιέσν λόγ τν κίνησν pih, hav κλπ του πλοίου. Υπάρχι, πίσης, πίδραση λόγ της πρίθλασης του προσπίπτοντος κυματισμού που προκαλίται από την την γάστρα. Στο παρόν το κφάλαιο θα πικντρώσουμ την προσοχή μας μόνο σ πίδραση υδροστατικού τύπου, η οποία ίναι συνήθς και η πιο σημαντική. Ας σημιθί ότι, ιδικά σ ακολουθούντς κυματισμούς, η συχνότητα συνάντησης λαμβάνι χαμηλές τιμές. Αυτό μας πιτρέπι να υποθέτουμ πς, σ μια τέτοια πρίπτση, το πλοίο διαγράφι το προφίλ του κύματος ( wav onouring ) διατηρώντας κατάσταση «πρίπου» ισορροπίας ς προς την κατακόρυφη διύθυνση. 04
Σχήμα 9. Το ένα από τα δύο σκάφη τν πιραμάτν του καθηγητή Paulling (αριστρά). Δξιά, φαίνται η πολύ έντονη μταβολή του μοχλοβραχίονα παναφοράς από κορυφή σ κοιλάδα κύματος (Chou al 974). Ως γνστόν, ισχύι η παρακάτ σχέση για το μτακντρικό ύψος: GM I KB KG (9.) Ας υποθέσουμ ότι ένα πλοίο βρίσκται στην κορυφή κύματος (σχήμα 9.), και ότι ο βυθισμένος όγκος της γάστρας παραμένι αμτάβλητος (ς αποτέλσμα της κατακόρυφης ισορροπίας που προαναφέραμ). Είναι μφανές ότι, τόσο η απώλια όγκου κάτ από την ίσαλο προς τα άκρα του πλοίου, όσο και η ταυτόχρονη αύξηση του βυθισμένου όγκου στο μέσο, θα πιφέρουν μτατόπιση του κέντρου άντσης προς τα πάν. Ως κ τούτου, θα έχουμ αύξηση (συνήθς ασθνή) του KB. Κάτι τέτοιο ίναι βἐβαια θτικό για την υστάθια. Όμς παράλληλα, σημαντική πιφάνια ισάλου, κοντά στα άκρα, θ απλσθί, καθώς στις πριοχές αυτές αναμένται να μιθί σημαντικά το τοπικό βύθισμα. Αυτό ίναι αποτέλσμα του γγονότος ότι, οι νομίς νός πλοίου αλλάζουν έντονα την κλίση τους κοντά στα άκρα του πλοίου (πρισσότρο στην πλώρη). Προς το μέσο και γύρ από την ίσαλο, οι νομίς ίναι, συνήθς, σχδόν κατακόρυφοι. Επομένς, το αυξημένο βύθισμα δν θα πιφέρι ουσιαστικό κέρδος στην πιφάνια ισάλου. Αναφορικά μ την (9.), συμπραίνουμ λοιπόν ότι, θα έχουμ αύξηση του KB, μίση του BM IT νώ βέβαια το KG δν αλλάζι. Ας σημιθί ότι, στις πρισσότρς πριπτώσις, η απώλια BM ίναι ντονότρη απ ότι το κέρδος KB και, ς κ τούτου, πέρχται απώλια GM. 05
Σχήμα 9. Μοντέλο πλοίου μ το μέσο του κοντά σ κορυφή αρμονικού κύματος (προσομοίση). 9.3. Η ξίσση Mahiu για την κίνηση διατοιχισμού - παραμτρική αστάθια Είναι αρκτά συνηθισμένο να θρούμ ότι, κατά προσέγγιση, άν τοποθτηθί ένα πλοίο σ ένα αρμονικό κύμα, η μταβολή του μτακντικού του ύψους, GM, θα ίναι πίσης αρμονικής μορφής. Αυτό βέβαια δν ίναι αναγκαίο να συμβαίνι καθώς,κάθ συγκκριμένη μορφή γάστρας αλλοιώνι (μ τον δικό της τρόπο) τον χαρακτήρα μταβολής του GM, σ σχέση μ το αίτιο που προκαλί αυτή τη μταβολή. Γνικά, θα ήταν πιο ακριβές να κφράζαμ αυτή τη μταβολή ς μια πριοδική, αλλά όχι αναγκαία αρμονική, συνάρτηση. Όμς, δδομένου ότι αυτή η (άγνστη καταρχάς) πριοδική συνάρτηση μπορί να αναπτυχθί κατά Fourir σ άθροισμα αρμονικών, αυτό που μπορούμ να πιλέξουμ, ς πρώτο βήμα, ίναι, να χρησιμοποιήσουμ μόνο την πρώτη αρμονική συνιστώσα του αναπτύγματος. Σ μια τέτοια πρίπτση, μπορούμ να γράψουμ ότι ισχύι κατά προσέγγιση: GM ( ) GM GM os (9.) 0 Έστ ότι μ GM 0 συμβολίζουμ το μτακντρικό ύψος όταν το πλοίο βρίσκται στο σημίο μέγιστης κλίσης του κύματος (η θέση του πλοίου καθορίζται από τη θέση του μέσου νομέα). Συνηθίζται να υποθέτουμ ότι, η τιμή του μτακντρικού ύψους κί ισούται μ το μτακντρικό ύψος σ ήρμο νρό αν και αυτό δν ίναι συνήθς πολύ ακριβές. Η γραμμική ξίσση διατοιχισμού γίνται μ τα παραπάν: ( I I ) ϕ B ϕ mg GM [ h os( ) ] ϕ 0 και ισοδύναμα: (9.3) 0 [ h os( ) ] 0 ϕ b ϕ (9.4) ϕ 0 μ b B ( I I). Άρα, ο συντλστής h δίχνι το πλάτος της μταβολής του GM στο αρμονικό κύμα το οποίο έχουμ θρήσι. Η μορφή (9.4), δίχς την απόσβση, ίναι η ξίσση Mahiu. Η γνική μορφή μ την οποία συναντάται η ξίσση Mahiu στη βιβλιογραφία ίναι: ( ) y a q os z y 0 (9.5) Η ξίσση Mahiu, παρά την απλότητα της, δν πιδέχται ακριβή αναλυτική λύση αν και ίναι, κατά βάση, μία γραμμική διαφορική ξίσση. Το χαρακτηριστικό της ξίσσης Mahiu ίναι ότι, για 40 n, όπου n οποιοσδήποτ φυσικός αριθμός, υπάρχουν λύσις που αντιπροσπύουν «ασταθίς» καταστάσις. Στο σχήμα (9.3) δίχνονται οι πριοχές αστάθιας της ξίσσης Mahiu (σύμφνα μ το συμβολισμό του καθηγητή Paulling), όταν η απόσβση ίναι μηδνική. Το δ [α στη μορφή (9.5)] αντιπροσπύι το λόγο 06
0 νώ το [ -q στην (9.5)] την ποσότητα ( 0 ) h. Οι πριοχές αστάθιας δίχνονται γραμμοσκιασμένς (διαπιστώστ ότι τα αρνητικά δ δν έχουν νόημα στην πρίπτση μας καθώς το δ ίναι, για μάς, ο λόγος ττραγώνν τν συχνοτήτν - σημιώστ ότι υπάρχι μία ακόμα πριοχή που ίναι αμιγώς στα αρνητικά δ και έχι παραληφθί από το διάγραμμα ς ανυ σημασίας για το πρόβλημά μας)). Σχήμα 9.3 Πριοχές ασταθούς συμπριφοράς (δηλαδή μφάνισης ταλανττικής κίνησης μ μονοτονικά αυξανόμνο πλάτος) για σύστημα που διέπται απ την ξίσση Mahiu (σημιώνονται μ γκρι χρώμα). Για να γίνι ο μηχανισμός της αστάθιας κατανοητός, θα ξτάσουμ προσγγιστικά την υστάθια κάποιας λύσης της (9.5), όταν το h ίναι κοντά στο μηδέν και η ίναι κοντά στο διπλάσιο της ιδιοσυχνότητας (Brg al., 987). Επιπλέον, σ πρώτο στάδιο, για ν απλοποιήσουμ τους υπολογισμούς και ν αναδίξουμ καλύτρα τη μέθοδο πίλυσης, θα παραλίψουμ την απόσβση. Θέτοντας λαμβάνουμ από την (9.5): [ h os( )] 0 ϕ ϕ (9.6) 0 Γνρίζουμ ότι η λύση της (9.6), για h 0, ίναι ϕ ϕ 0 ( 0 ϑ) η λύση της (9.6) θα ίναι κατά προσέγγιση ϕ ϕ os( ϑ) os. Μπορί να υποτθί πς, για μικρό h, 0, φόσον το ίναι μικρό και το ίναι πολύ κοντά στο 0. Μ αντικατάσταση αυτής της λύσης στην (9.6) προκύπτι η ξίσση: d d 0 0 ϑ [ hos( )] ϕ os( ) 0 (9.7) Η μέθοδος προσέγγισης της λύσης που ακολουθούμ ονομάζται μέθοδος «αρμονικής ξισορρόπισης» (harmoni balan) και τη χρησιμοποιήσαμ ήδη στο κφάλαιο 8. Μτά από πξργασία, η (9.7) οδηγί στη σχέση: h h ( ) os( ϑ) sin( ϑ) os( ϑ) os( 3 ϑ) 0 0 0 0 (9.8) Παραλίποντας τον όρο os ( 3 ϑ), καθώς αντιπροσπύι ανώτρη αρμονική από αυτή που θρούμ ότι μπριέχται στη λύση, ας ξτάσουμ τις συνθήκς υπό τις οποίς, η παραπάν ισότητα, ισχύι για όλς τις τιμές του χρόνου. Για να ικανοποιίται αυτή η απαίτηση, θα πρέπι οι συντλστές που πολλαπλασιάζουν τους όρους os, καθώς πίσης και τους όρους sin, να μηδνίζονται. Παρατηρώντας την (9.8), αυτό συμβαίνι μόνο φόσον: h 0 0 osϑ sinϑ 0 (9.9) 07
και συγχρόνς πίσης: h osϑ 0 0 sinϑ 0 (9.0) Το σύστημα τν δύο αυτών ομογνών γραμμικών ξισώσν ς προς φόσον η ορίζουσα λαμβάνι την τιμή μηδέν. Επομένς: os ϑ και sin ϑ, δέχται λύση μόνο h 4 ( ) 4 0 0 0 4 (9.) Η κρίσιμη κατάσταση προκύπτι όταν το μ μταβάλλται από αρνητικό σ θτικό. H συνθήκη μ0 θα δίνι, προφανώς, το όριο της πριοχής αστάθιας. Αντικαθιστντας πομένς την τιμή μ0 στη (9.0) παίρνουμ: ( ) h 4 0 0 (9.) 4 H (9.) οδηγί πραιτέρ στη σχέση: h (9.3) 0 Η πριοχή της αστάθιας ( h > ) φαίνται μ γκρι χρώμα στο παρακάτ σχήμα 9.4. 0 Σχήμα 9.4 Το αποτέλσμα του αναλυτικού υπολογισμού για την κύρια πριοχή αστάθιας. Ας δούμ τώρα τι συμβαίνι όταν ισάγουμ την απόσβση. Ακολουθώντας ακριβώς την ίδια διαδικασία, αυτή τη φορά όμς για την πλήρη μορφή της ξίσσης (9.4), οδηγούμαστ τλικά [σ αντιστοιχία μ τη (9.)] στην παρακάτ σχέση: h 0 (9.4) 4 4 ( 0 b ) 0 ( b) H οριακή πρίπτση υστάθιας προκύπτι για 0 οπότ η (9.4) γίνται: 08
h 4 b 4 (9.5) 0 0 Επομένς, μ 0, η κατάσταση ισορροπίας (ς προς το roll) γίνται ασταθής φόσον: Σχήμα 9.5 Επίδραση της απόσβσης στην κύρια πριοχή αστάθιας. b h > (9.6) 0 Όπς δίχνται στο σχήμα 9.5, η πίδραση της απόσβσης μιώνι την πριοχή της αστάθιας και πομένς, ένας από τους αποτλσματικότρους τρόπους για να μιώσουμ την πιθανότητα παραμτρικής αστάθιας ίναι μ κατάλληλη πιλογή της απόσβσης. Η σχέση (9.5) αποτλί χρήσιμο βοήθημα κατά το αρχικό στάδιο της σχδίασης. Δν πρέπι να ξχνάμ ότι, παραμτρικού τύπου συντονισμός συμβαίνι όταν ικανοποιίται η σχέση 40 n, νώ η παραπάν ανάλυση καλύπτι μόνο την πρίπτση n, η οποία ονομάζται πρίπτση κύριου συντονισμού ( prinipal rsonan ). Παρόμοια ανάλυση μπορί να γίνι και για μγαλύτρς τιμές του n. Πιστύται όμς ότι, τιμές μγαλύτρς του δν έχουν ιδιαίτρη φαρμογή στα πλοία. Για n έχουμ τη λγόμνη θμλιώδη ( fundamnal ) πρίπτση συντονισμού. Μία άλλη μέθοδος που μπορούμ ν ακολουθήσουμ για την πίλυση της (9.4), ίναι η αριθμητική μέθοδος. Το μγάλο πλονέκτημα της αριθμητικής μθόδου ίναι ότι ίναι ακριβής και για μγάλς τιμές τόσο της απόσβσης όσο και του πλάτους μταβολής h. Βέβαια, στα πλοία η τιμή του συντλστή απόσβσης για την κίνηση roll ίναι πάντα αρκτά μικρή. Από την άλλη μριά, οι μταβολές που μπορί να υφίσταται o μοχλοβραχίονας σ μγάλα κύματα μπορί να ίναι πολύ μγάλς, φόσον αυτό το στοιχίο δν έχι ληφθί υπόψη κατά τη σχδίαση, η φόσον δν μπόρσ ν αποφυχθί μορφή νομέν μ σημαντική μταβολή κοντά στην ίσαλο. Σ αυτές τις πριπτώσις, αριθμητική πίλυση και σ βάθος διρύνηση ίναι απαραίτητη. Στο σχήμα 9.6 δίχνται τυπική μορφή ασταθούς κίνησης διατοιχισμού, βάσι αριθμητικής ολοκλήρσης της ξίσσης κίνησης. Παρουσιάζονται οι πριπτώσις κύριου (αριστρά) και θμλιώδους (δξιά) συντονισμού. Μ m συμβολίζουμ τον αριθμό πριόδν συνάντησης (δηλαδή, για παράδιγμα, m σημαίνι ότι το πλοίο έχι προχρήσι ς προς το κύμα κατά δύο πλήρη μήκη κύματος). 09
Σχήμα 9.6 Εκδήλση παραμτρικής αστάθιας στην κύρια (αριστρά) και στην θμλιώδη (δξιά) πριοχή. Παρατηρήστ ότι, κατά την κδήλση παραμτρικής αστάθιας για γραμμικό σύστημα τύπου Mahiu, η απόκριση αυξάνται σταδιακά και τλικά απιρίζται! Στην πραγματικότητα όμς, για ένα πλοίο που κδηλώνι τέτοια συμπριφορά, η παραμτρική αστάθια μφανίζται ς διατοιχισμός ππρασμένου πλάτους. Αυτό συμβαίνι γιατί οι μη γραμμικοί όροι της ροπής παναφοράς πιδρούν πριοριστικά στο φαινόμνο. Άσκηση 9. Μ χρήση προγράμματος όπς το Mahmaia, να κάντ διαγράμματα του ορίου της κύριας πριοχής υστάθιας για διαφορτικές τιμές της απόσβσης (τύπος 9.4). Ακολούθς, να πιββαιώστ την ακρίβια αυτών τν διαγραμμάτν διξάγοντας προσομοίση. 9.4. Η «αυθντική απώλια υστάθιας» ( pur-loss of sabiliy ) Σ μγάλα κύματα, η παράμτρος h μπορί, για κάποια πλοία (μάλλον όχι καλής σχδίασης) να λαμβάνι τιμές μγαλύτρς ακόμα και από.0. Αυτό σημαίνι ότι, για κάποις θέσις του πλοίου πάν στο κύμα (συνήθς γύρ απ την κορυφή του κύματος), ο μοχλοβραχίονας, καθίσταται αρνητικός. Υπ αυτές τις συνθήκς, το πλοίο θα παρουσιάσι την τάση να αποκλίνι από την όρθια θέση. Το αν θ ανατραπί θα ξαρτηθί όμς πίσης από το χρονικό διάστημα για τον οποίο το πλοίο παραμένι σ κατάσταση αρνητικού (ή μ πολύ χαμηλές τιμές) μοχλοβραχίονα, πράγμα που ίναι συνάρτηση της ταχύτητας του πλοίου σ σχέση μ την ταχύτητα φάσης του κύματος. Αυτή ίναι η πρίπτση της «αυθντικής απώλιας υστάθιας». Σ αντιδιαστολή προς την παραμτρική αστάθια όπου απαιτούνται αρκτά μήκη κύματος για να συμβί ανατροπή (αν τλικά συμβί), η αυθντική απώλια συμβαίνι πολύ γρήγορα και αρκί γι αυτό μόνο μισό μήκος κύματος, συχνά μάλιστα αρκί και ακόμα λιγότρο (σχήμα 9.7). Η πλέον πικίνδυνη κατάσταση προκύπτι όταν η συχνότητα συνάντησης ίναι κοντά στο μηδέν, οπότ το πλοίο διέρχται πολύ αργά από την κορυφή του κύματος και άρα, υπόκιται πι μακρόν στην αρνητική πίδραση που έχι το κύμα (στη συγκκριμένη πριοχή) πάν στον μοχλοβραχίονα παναφοράς. Επομένς, το πλοίο διαθέτι όλο το χρόνο για ν αναπτύξι μγάλη κλίση και τλικά ν ανατραπί. Η βασική δυναμική συμπριφορά του συστήματος πριγράφται και πάλι από ξίσση όπς η (9.4) του προηγουμένου δαφίου. Όμς, στην παρούσα πρίπτση, προσγγιστική αναλυτική λύση όπς ίναι αυτή που βρέθηκ προηγουμένς, δν ίναι δυνατή, λόγ της μγάλης τιμής του h. Μια άλλη διαφορά από την παραμτρική αστάθια ίναι ότι, δώ η απόσβση παίζι πριορισμένο ρόλο. Οι καθοριστικότρος παράγοντας ίναι η μορφή της γάστρας και το ύψος ξάλν. 0
Σχήμα 9.7 Ενδικτική ξέλιξη της γνίας κλίσης μ τον χρόνο (άν) και θέση του μέσου του πλοίου στο κύμα (κάτ) στη διάρκια κδήλσης αυθντικής απώλιας υστάθιας. Δίχνται και η πριοχή του κύματος όπου μφανίζται αρνητική τιμή μτακντρικού ύψους. Μπορούμ να ξτάσουμ την ποιοτική συμπριφορά του συστήματός μας, για χρονικό διάστημα ντός του οποίου παρουσιάζι αρνητική ικανότητα παναφοράς μ σταθρή κλίση. Θα θρήσουμ, για τον σκοπό αυτό, τη γραμμική ξίσση λύθρου διατοιχισμού (σ κανονικοποιημένη μορφή), τοποθτώντας όμς αρνητικό συντλστή παναφοράς: d z dz z 0 (9.7) d d 0 μ B 0 να ίναι ο γραμμικός (διαστατός) συντλστής απόσβσης, Ι η ροπή αδράνιας διατοιχισμού και δι η πρόσθτη (υδροδυναμική) ροπή αδράνιας διατοιχισμού. Επίσης, mg GM ( I δ I ) μ m τη μάζα του πλοίου, GM το μτακντρικό ύψος και g την πιτάχυνση της βαρύτητας. Ακόμη, z φφv όπου φ ίναι η στιγμιαία γνία διατοιχισμού και φ v ίναι η γνία απώλιας υστάθιας του πλοίου (σ ήρμο νρό). Η λύση της (9.7) ίναι (να το αποδίξτ ς άσκηση): όπου B ( I δi) z a a (9.8) z z Για αρνητικό συντλστή παναφοράς, ο δύτρος όρος της λύσης (9.8) τίνι στο άπιρο. Έστ ότι οι αρχικές συνθήκς ίναι 0 and z 0. Τότ οι συντλστές τν δύο όρν της λύσης ίναι: z ( ) ( )
, (9.9) Μία διαφορική ξίσση δυτέρου βαθμού μ αρνητικό συντλστή παναφοράς λαμβάνι μη ταλανττικές λύσις που βασίζονται σ υπρβολικές τριγνομτρικές συναρτήσις. Μ χρήση τν γνστών σχέσν και, προκύπτι, μτά από πράξις, ότι η λύση z γράφται ς ακολούθς: (9.0) όπου:. Σχήμα 9.8 Παράδιγμα όπου φαίνται η σχτική συμβολή τν δύο όρν της λύσης. Είναι φανρό ότι η συμπριφορά καθορίζται κυρίς απ τον μη πριορισμένο όρο z. Ο απαιτούμνος χρόνος,, για να λάβι η γκάρσια κλίση του πλοίου την οριακή τιμή για ανατροπή, ας την ονομάσουμ, μπορί να βρθί από την (9.0). Όμς, η σχτική ξίσση ίναι υπρβατικού τύπου, ς προς τη μταβλητή, και πομένς, ίναι δυνατό να λυθί μόνο μ αριθμητική μέθοδο. Μπορούμ όμς να έχουμ μια προσγγιστική αναλυτική λύση, σκπτόμνοι ς ξής: Από το σχήμα 9.8 διαπιστώνται ότι, ο πριορισμένος όρος της λύσης έχι πολύ μικρότρη συμβολή στη λύση σ σχέση τον μη πριορισμένο όρο. Θα μπορούσαμ πομένς, σ πρώτη προσέγγιση, να αγνοήσουμ τον όρο στη λύση (9.8), οπότ, θέτοντας μπορούμ να λύσουμ ς προς ap : a a osh sinh δ A z osh sinh osh ( ) π δ δ 0, aros, A A ap z ap z z z z z z ap z z
ap ln z ap ln (9.) 9.5. Σχδιαστική οδηγία Τόσο για την παραμτρική αστάθια όσο και για την αυθντική, μία απλή σχδιαστική οδηγία που μπορί να δοθί ίναι η ακόλουθη: O ναυπηγός πρέπι να πιλέγι τέτοιου ίδους γραμμές ώστ το h (δηλαδή η μταβολή του GM) να μη λαμβάνι τιμές που απομακρύνονται πολύ από τη μηδνική τιμή, ακόμη και για το δυσμνέστρο προφίλ κύματος που μπορί να συναντήσι το πλοίο στη διάρκια λιτουργίας του. Ανυψμένη πίπδη πρύμνη καθώς και το έντονο flar που κυρίς παρατηρίται στην πλώρη, συμβάλλουν καθοριστικά σ ισχυρές μταβολές τoυ GM. Είναι γνστό ότι, γάστρς μ έντονο flar κοντά στα πλώρη και πίπδη πρύμνη, οι οποίς μπορί να συνδυάζονται μ μικρό ύψος ξάλν, τίνουν να δίνουν μγάλς μταβολές του μοχλοβραχίονα για διαμήκη κύματα. Δύτρη πιλογή, που ίναι αποτλσματική για την αποφυγή της παραμτρικής αστάθιας αλλά όχι για την αποφυγή της αυθντικής απώλιας υστάθιας, ίναι η αυξημένη τιμή της απόσβσης διατοιχισμού (π.χ. μέσ αποφυγής στρογγυλμένης γάστρας, μ τοποθέτηση παρατροπιδίν κά). Η πιλογή ιδιοσυχνότητας διατοιχισμού μακρυά από τιμές που συμβάλλουν σ κύριο και θμλιώδη συντονισμό ίναι συνήθς μόνο θρητικής αξίας, καθώς οι συχνότητς συνάντησης πλοίου - κυμάτν (λόγ της ξάρτησής τους από την ταχύτητα αλλά και από τη γνία συνάντησης του πλοίου μ τα κύματα) κυμαίνονται σ πολύ υρία πριοχή τιμών. Βιβλιογραφία/Αναφορές Brg, P., Y. Pomau, and C. Vidal (987) Ordr wihin Chaos. Wily-VCH. ISBN: 978047849674. Chou, S.J., Oakly, O.H., Paulling, J.R., Van Slyk, R., Wood, P.D. & Zink (974) Ship moions and apsizing in asrn sas. Final Rpor, Dparmn of Naval Arhiur, Univrsiy of California, Brkly, Dmbr. Graff, W. & Hkshr, E. (94) Widrsands und Sabiliäs vrsuh mi dri Fishdampfrmodlln, Wrf- Rdri-Hafn, (also English ranslaion David Taylor Modl Basin 75, Jun 94). Grim, O. (95) Rollshwingungn, Sabiliä und Sihrhi im Sgang. Shiffshnik, (), pp. 0-. Krwin, J.E. (955) Nos on h rolling in longiudinal wavs. Inrnaional Shipbuilding Progrss, (6), pp. 597-64. Kmpf, G. (938) Di Sabiliä banspruhung dr Shiff durh Wlln und Shwinungn, Wrfrdri- Hafn, 9, p. 0. MLahlan, N.W. (964) Thory and Appliaion of Mahiu Funions. Dovr Publiaions, Nw York,64-6333. 3