Κ Ω Ν Ι Κ Ε Σ Τ Ο Μ Ε Σ

Κ Ω Ν Ι Κ Ε Σ Τ Ο Μ Ε Σ T Α Ξ Η Β Θετική-Τενική κτεύθυνση Ε Ν Ο Τ Η Τ Α η: Πρσέιση σικών θεµάτων Θέµ : Πές φρές συνντάµε θέµτ πυ έυν ν κάνυν µε την ευθεί κ ν τέµνει κωνικές τµές κύκ-πρή-έειη-υπερή στ σηµεί ΑΒ κι ρειζόµστε ν ερστύµε µε τις συντετµένες των ΑΒΒσική σκέη είνι ν θεωρήσυµε τ σύστηµ των εξισώσεων της ευθείς κι της κωνικής τµής κι ν δηηθύµε σε µι δευτεράθµι εξίσωσηοι ρίζες της εξίσωσης µς δίνυν τις τετµηµένες ή τις τετµένες των ΑΒ νά µε τν άνωστ πυ έυµε στην εξίσωσηγι ν πφύυµε τις πράξεις ενδέετι ν έυµε εύκ υτό πυ ζητάµε κάνντς ρήση των τύπων Vieta ι τις ρίζες της εξίσωσης Σηµείωση: Αν δευτεράθµι εξίσωση µε ρίζες ρ ρ τότε ι τύπι Vieta είνι: ρ ρ κι ρ ρ Πρδείµτ : Θεωρύµε τν κύκ c : x ρ κι την ευθεί ε : κ i Ν ρείτε τη συνθήκη µετξύ των κρ ώστε η ε ν τέµνει τν κύκ στ σηµεί ΑΒ ii Αν η ε τέµνει τν κύκ στ ΑΒν ρείτε τ ΑΒ ρ i Θεωρύµε τ σύστηµ Aντικθιστύµε τ πό την στην κι κ πίρνυµε κ ρ κ κ ρ Ε Η Ε είνι εξίσωση υ θµύ µε άνωστ τν κι δικρίνυσ κ κ ρ ρ ρ κ Η ευθεί ε τέµνει τν κύκ ν κι µόν ν > ρ ρ κ > πυ είνι η ζητύµενη συνθήκη ii Έστω Α Β Τ είνι ρίζες της Επότε πό τυς τύπυς Vieta έυµε κ κ ρ Επίσης έυµε κ κι κ πότε κ κ κ κ Σπύρς Γιννκόπυς Σείδ

Σπύρς Γιννκόπυς Σείδ ΑΒ ] [ ρ κ κ κ ρ ρ ρ κ κ : ίνετι η έειη : c κι η ευθεί ε: i είξτε ότι ι κάθε R η ε τέµνει την c σε δύ σηµεί ii Αν ΚΛ τ κινά σηµεί της ε µε την cν ρείτε την εξίσωση της εότν 9 ΚΟΛ i Θεωρύµε τ σύστηµ των εξισώσεων κι Αντικθιστύµε τ πό την στην κι πίρνυµε E Η δικρίνυσ της Ε είνι > ι κάθε RΑυτό σηµίνει ότι η ε τέµνει την c σε δύ σηµεί ii Έστω ότι Κ Λ τ κινά σηµεί της ε µε την cτότε τ είνι ρίζες της Επότε κι Λ ε Κ Ο Έυµε ΟΛ ΟΚ Είνι 9 ΟΚΟΛ ΚΟΛ

± Άρ ε : ή ε: Πρτήρηση Η έειη έει τις εστίες της στν άξν µε κι πότε Άρ ι εστίες της έειης είνι Ε Ε Η ευθεί ε διέρετι πό την εστί Ε Θέµ : Μι ευθεί ε µη πράηη στν άξν τέµνει µι κωνική τµή c στ σηµεί ΑΒ ίνετι τ σηµεί Μκ εσωτερικό της κωνικής τµής κι ζητάµε ν ρύµε την εξίσωση της ε έτσιώστε τ Μ ν είνι µέσ τυ τµήµτς ΑΒ Βήµ : Έστω Α Β Οι συντετµένες των ΑΒ επηθεύυν την εξίσωση της cπότε έυµε δύ σέσεις µε τ κι ντίστι Βήµ : Αφιρύµε κτά µέη τις σέσεις πυ δηµιυρήσµε στ ήµ µε στό ν πρυσιάσυµε τν ό πυ είνι συντεεστής διεύθυνσης της ε Σηµείωση: Στ κύκ τ πρπάνω θέµ ντιµετωπίζετι πι εύκιτί ν Κ τ κέντρ τυ κύκυ τότε είνι ΚΜ ΑΒ πότε ΚΜ Ο συντεεστής ΑΒ διεύθυνσης ρίσκετι εύκπότε πό την ρίσκυµε τν συντεεστή ΚΜ διεύθυνσης της ΑΒ κι έτσι ρίσκυµε την εξίσωση της ε Α Μ Β K Ο Σπύρς Γιννκόπυς Σείδ

Πράδειµ Θεωρύµε την πρή c: κι τ σηµεί Μ- i είξτε ότι τ Μ είνι εσωτερικό σηµεί της c ii Ν ρείτε την εξίσωση της ευθείς ε πυ τέµνει την πρή στ ΑΒ κι τ Μ είνι µέσ τυ ΑΒ i Έυµε p πότε Ο είνι άξνς συµµετρίς της c Από τ Μ φέρνυµε πράη πρς τν άξν πυ τέµνει τ τµήµ της c πυ ρίσκετι στην η ωνί των ξόνων στ Ντότε Ν Ν c Από την πρκύπτει ότι τ Μ είνι εσωτερικό σηµεί της c Ο Α Μ Ν Β Έστω Α Β Πρέπει κι Αφιρύµε τις κτά µέη κι πίρνυµε Επειδή τ Μ είνι µέσ τυ ΑΒ έυµε 6 πότε πό την έυµε 6 Είνι ιτί ν ήτν τότε ΑΒ// εδµένυ ότι Ο είνι άξνς συµµετρίς της πρής θ είµε τ Μ πάνω στν Άτπ Άρ 6 ΑΒ 6 Έτσι η εξίσωση της ε είνι 6 8 6 Σπύρς Γιννκόπυς Σείδ

Ε Ν Ο Τ Η Τ Α η: Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ η: Θεωρύµε τ σηµεί Α Β κι Μ µ ν τ µέσ τυ ΑΒ i Ν ρείτε τ συνρτήσει των µν ν ii Αν Κ Λ µ δείξτε ότι ΟΚ ΟΛ iii Ν ρείτε την εξίσωση της ρµµής πυ διράφυν τ σηµεί P µ µ i Αφύ τ Μ είνι µέσ τυ ΑΒ πρέπει µ µ ν κι ν ν ν ν Πρσθέτυµε τις κτά µέη κι πίρνυµε µ µ Αφιρύµε πό ν ν την την κι έυµε µ µ ii ΟΚ i ν ν ν ν µ µ µ µ ΟΛ iii Είνι µ ν ν ν ν κι µ άρ P ν ν Έστω τυί σηµεί πό τ Pτότε ι κάπι ν έυµε κι ν Απίφυµε πό τις τ κι ρίσκυµε Ε Άρ τ σηµεί P διράφυν την ευθεί µε εξίσωση την Ε η: Θεωρύµε ρθκννικό σύστηµ ξόνων ΟΣτ Ο έυµε τπθετήσει έν πρέ κι στ σηµεί Α έν εµπόδιφωτίζυµε τ Α κι τ φως νκώµεν τέµνει τν στ Β κι σηµτίζει µε τν ωνί Ν ρείτε: i Τ σηµεί Β ii Τ σηµεί Μ της ΑΒ πυ δέετι τν ισυρότερ φωτισµό iii Τν περιερµµέν κύκ τυ τριώνυ ΟΜΒ i Αφύ η ΑΒ σηµτίζει µε τν ωνί συντεεστής διεύθυνσής της είνι εφ εφ Άρ ΑΒ : ΑΒ Γι πό την πίρνυµε Άρ Β Σπύρς Γιννκόπυς Σείδ

6 ii Τ σηµεί της ΑΒ πυ θ δετεί τν ισυρότερ φωτισµό είνι υτό πυ θ είνι πι κντά στ ΟΤ πι κντινό όµως σηµεί της ΑΒ πό τ Ο είνι η πρή τυ Ο στην ΑΒΗ πρή ιπόν τυ Ο στην ΑΒ είνι τ ζητύµεν σηµεί Μ ΟΜ ΑΒ Άρ ΟΜ : ΟΜ ΑΒ ΟΜ Από τη ύση τυ συστήµτς των εξισώσεων θ ρύµε τις συντετµένες τυ Μ Άρ Μ ii Επειδή τ τρίων είνι ρθώνι στ Μ περιερµµένς κύκς τυ θ έει κέντρ τ ΟΒ µέσ Κ τυ ΟΒ δηδή Κ κι κτίν ρ 9 Άρ η εξίσωση τυ ζητύµενυ κύκυ είνι η: Θεωρύµε τ σηµεί µ Μ κι τις ευθείες ε : µ µ ε : µ µ Αν ι ευθείες είνι κάθετες ν ρείτε τ εωµετρικό τόπ των σηµείων Μ ε ντίστιτότε δ µ Έστω δ δ τ πράη δινύσµτ στις ευθείες ε κι δ µ Είνι ε ε δ δ δ δ µ µ µ Η είνι εξίσωση κύκυστις εξισώσεις των ευθειών ε ε ι συντεεστές των δεν µπρεί ν είνι τυτόρν µηδένάρ µ κι µ Τ σηµεί Α Β είνι σηµεί τυ κύκυ µε εξίσωση την Άρ ζητύµενς εωµετρικός τόπς είνι κύκς µε εξίσωση την εκτός των σηµείων ΑΒ Σπύρς Γιννκόπυς Σείδ 6

7 η: ίνετι η εξίσωση 6 Γι πι R η είνι εξίσωση κύκυ; Θεωρύµε την εξίσωση m m m m R είξτε ότι : i Γι κάθε m R η είνι εξίσωση κύκυ ii Οι κύκι µε εξίσωση την διέρντι πό δύ στθερά σηµεί πό τ πί τ έν είνι τ κέντρ τυ κύκυ τυ ερωτήµτς Ν ρείτε τη ωνί πυ σηµτίζει µε τν η κινή ρδή των κύκων τυ ερωτήµτς Θ νζητήσυµε τέτι ώστε η ν ράφετι στη µρφή Α Β Γ µε Α Β Γ> Απιτύµε ή Γι η ράφετι 6 6 Α Β Γ Άρ ι η δεν είνι εξίσωση κύκυ Γι η ράφετι 6 6 6 8 7 Α Β Γ > Άρ ι η είνι εξίσωση κύκυ µε κέντρ Κ κι κτίν ρ 6 i m Α Β Γ m m m > ι κάθε m RΆρ η είνι εξίσωση κύκυ ι κάθε τιµή τυ m ii m Οι κύκι µε εξίσωση την θ διέρντι πό στθερά σηµεί ότν η ισύει ι κάθε τιµή τυ mαυτό συµίνει ότν Άρ ι κύκι µε εξίσωση την ή διέρντι πό τ στθερά σηµεί Λ Κ Τ Κ είνι τ κέντρ τυ κύκυ τυ ερωτήµτς Η κινή ρδή των κύκων τυ ερωτήµτς είνι η ΚΛΈστω ω η ωνί πυ σηµτίζει η π π ω < π ΚΛ µε τν Πρέπει εφω εφω εφω εφ π εφω εφ ΚΛ π ω Σπύρς Γιννκόπυς Σείδ 7

8 η: Θεωρύµε τ κύκ µε κέντρ Κ- πυ διέρετι πό τ σηµεί Α Ν ρείτε: i Tην εξίσωση τυ κύκυ ii Την εφπτµένη ε τυ κύκυ στ Α Αν η ε διέρετι πό την εστί της πρής πυ έει κρυφή την ρή των ξόνων κι άξν συµµετρίς τν θετικό ηµιάξν Ο τότε: i ν ρείτε την εξίσωση της πρής ii Αν η διευθετύσ της πρής τέµνει τν κύκ στ σηµεί ΜΝν ρείτε τ εµδόν τυ τριώνυ ΑΜΝ i Έστω ρ η κτίν τυ ζητύµενυ κύκυτότε η εξίσωσή τυ είνι ρ Επειδή κύκς διέρετι πό τ σηµεί Α πρέπει ρ ρ ρ Άρ ii Έστω Μ τυί σηµεί της ζητύµενης εφπτµένηςέυµε ΑΜ κι ΑΚ Πρέπει ΑΜ ΑΚ ΑΜΑΚ i Η πρή έει εξίσωση p p > εστί p p Ε κι διευθετύσ δ : Μ δ K Ο Ε Ν Α p Επειδή η ε διέρετι πό την εστί της πρής πρέπει p Άρ η εξίσωση της πρής είνι κι της διευθετύσς δ : ii Πρτηρύµε ότι η δ διέρετι πό τ κέντρ τυ κύκυπότε τ τρίων ΑΜΝ είνι ρθώνι στ ΑΗ πόστση τυ Α πό τη δ είνι d Αδ Άρ Ε ΜΝ d Α δ τετρµνάδες ΑΜΝ Σπύρς Γιννκόπυς Σείδ 8

9 6η: ίνετι η πρή c : p p θετικός κέρις i είξτε ότι ι ευθείες ε κι ι ευθείες ε : ε : όπυ ε τέµνυν την πρή σε σηµεί ΑΒ συµµετρικά ως πρς τν άξν ii Ν ρείτε τν ότν η ΑΒ διέρετι πό την εστί της c iii Ότν τ εµδόν τυ τριώνυ ΟΑΒ ίνετι µέιστόπυ Ο η ρή των ξόνωνδείξτε ότι ι ευθείες ε ε είνι κάθετες iαπό τ σύστηµ των εξισώσεων της c κι τηςε πρκύπτει η εξίσωση p p Επειδή µς ενδιφέρει τ σηµεί τµής της είνι διφρετικό της ρής των ξόνων πρέπει p p p κι πό την εξίσωση της ε ρίσκυµε Άρ ε µε την c πυ πότε πό την πίρνυµε p p Α Όµι p p p p πό τ σύστηµ των εξισώσεων της c µε την ε ρίσκυµε Άρ Β Τ σηµεί ΑΒ έυν ίδι τετµηµένη κι ντίθετες τετµένεςάρ είνι συµµετρικά ως πρς τν άξν Α Ο Κ Β p ii Η εστί της πρής είνι Ε Επειδή ηµιάξνς Ο είνι άξνς συµµετρίς της p πρής κι ΑΒ// τ µέσ Κ της ΑΒ είνι σηµεί τυ ΟΈυµε Κ p p Η ΑΒ διέρετι πό την εστί Ε ότν > Σπύρς Γιννκόπυς Σείδ 9

p p iii Είνι ΑΒ Αν Ε τ εµδόν τυ τριώνυ ΟΑΒτότε Ε ΑΒ ΟΚ Τ εµδόν Ε ίνετι µέιστ ότν τ πάρει την εάιστή τυ τιµήεπειδή είνι θετικός κέρις η εάιστη τιµή τυ ίνετι ότν Άρ πυ σηµίνει ότι ι ε ε ευθείες ε ε είνι κάθετες 7η: ίνετι η έειη c : µε >> κι η ευθεί ε : i είξτε ότι η ε δεν έει κινά σηµεί µε την c ii Ευθεί ε µε συντεεστή διεύθυνσης διέρετι πό την εστί Ε της έειης κι τέµνει την ε στ σηµεί ΜΗ Β είνι µι κρυφή της cν ρείτε τ ότν: Ο κύκς µε διάµετρ τ ΒΜ διέρετι πό τ Ε Ο κύκς µε διάµετρ τ ΕΜ διέρετι πό τ Β Ν ρείτε τη σέση πυ συνδέει τ των πρπάνω ερωτηµάτων iii Αν η ευθεί ε τυ ii τέµνει την εστην περίπτωση στ Μ κι στην περίπτωση στ Μ ν ρείτε τ εµδόν τυ τριώνυ ΕΜ Μ i Έυµε > > > Από την συµπερίνυµε ότι η ε δεν έει κινά σηµεί µε την cφύ είνι πράηη στν άξν κι ρίσκετι πι δεξιά πό την κρυφή Α της έειης ii Η ε έει εξίσωση Από τη ύση τυ συστήµτς των εξισώσεων των ευθειών ε κι ε ρίσκυµε πότε Μ Έυµε ΕΒ ΕΜ Β ε Μ O Ε Α Σπύρς Γιννκόπυς Σείδ

Σπύρς Γιννκόπυς Σείδ Ο κύκς µε διάµετρ την ΒΜ διέρετι πό τ Ε ότν η 9 ΒΕΜ ΕΒΕΜ Είνι ΒΕ κι ΒΜ Ο κύκς µε διάµετρ την ΕΜ διέρετι πό τ B ότν ΕΒΜ ΒΜ ΒΕ Έστω κι iii Αν τότε Μ κι ν τότε Μ ε Μ Β Μ O E Α

Έυµε ΕΜ κι ΕΜ det ΕΜ ΕΜ Ε ΕΜ Μ ii det ΕΜ ΕΜ c µε >> 8η: Θεωρύµε την έειη : i Αν Μ τυί σηµεί της έειης κιε Ει εστίες τηςν ρείτε τ Μ Ε ΜΕ ii Εξετάστε ν υπάρυν σηµεί Μ της έειης έτσι ώστε Ε ΜΕ 9 i Έστω Ε Ε κι Μ Β M Ε O E Β Μ Ε ΜΕ Έυµε Μ Ε ΜΕ ΜΕ ΜΕ [ ΜΕ ΜΕ][ ΜΕ ΜΕ] [ Μ Ε ΜΕ] ΜΕ ΜΕ Πρσθέτυµε τις κτά µέη κι πίρνυµε ΜΕ ΜΕ Μ Ε Από την φιρύµε τη κι πίρνυµε ΜΕ Σπύρς Γιννκόπυς Σείδ

ii Μ Ε ΜΕ Επειδή τ Μ είνι σηµεί της έειης έυµε Άρ η ράφετι ΜΕ ΜΕ Μ Ε ΜΕ 9 Ε ΜΕ ΜΕ ΜΕ Είνι > Αν < < τότε η είνι δύντηπότε δεν υπάρυν στην έειη σηµεί Μ τέτι πυ ζητάµε Αν > > τότε υπάρυν σηµεί Μ κι µάιστ τέσσερ Αν τότε υπάρυν σηµεί Μ ι κρυφές Β κι Β 9η: Τ στθερά σηµεί Ε Ε είνι σηµεί τυ συµµετρικά ως πρς την ρή των ξόνων µε Ε Ε Σηµεί Μ τ επιπέδυ ικνπιύν τις σέσεις [ Μ Ε ΜΕ] κι Μ Ε ΜΕ i είξτε ότι τ σηµεί Μ νήκυν σε δυ κωνικές τµές των πίων ν ρείτε τις εξισώσεις ii Αν Μ δείξτε ότι 9 i ΜΕ ΜΕ Άρ τ σηµεί Μ είνι σηµεί υπερής c µε εστίες Ε Ε κι Επίσης Είνι Άρ c : ΜΕ ΜΕ [ ΜΕ ΜΕ][ ΜΕ ΜΕ] ΜΕ ΜΕ[ ΜΕ ΜΕ] [ ΜΕ ΜΕ] ΜΕ ΜΕ 6 Άρ τ σηµεί Μ είνι σηµεί έειης c µε εστίες Ε Ε Άρ c : Σπύρς Γιννκόπυς Σείδ

6 κι > Άρ c : 9 ii Τ σηµεί Μ είνι κινά σηµεί των c c άρ πρέπει κι πότε 9 9 9 η: Κύκς c έει τ κέντρ τυ στ θετικό ηµιάξν Ο κι η κτίν τυ είνι ρ Η ευθεί ε: είνι σύµπτωτη της υπερής c : κι εφάπτετι τυ κύκυ ρ 6 cν ρείτε τις εξισώσεις των c c κι τ κινά τυς σηµεί Η ε είνι η σύµπτωτη της c µε εξίσωση Άρ πρέπει ρ ρ ρ Άρ c : Τ κέντρ τυ κύκυ είνι Κ µε > 6 ε:-η ε είνι εφπτµένη τυ κύκυ ν κι µόν ν d Κ ε ρ Άρ η εξίσωση τυ κύκυ είνι 6 Πρσθέτυµε τις κτά µέη κι πίρνυµε ή Γι πό την πίρνυµε ± Γι πό την πίρνυµε δύντ Άρ τ κινά σηµεί των cc είνι Σηµείωση: Η τιµή µπρύσε ν πρριφθεί µέσως δεδµένυ ότι κύκς ρίσκετι δεξιά τυ η: ίνετι η εξίσωση R Γι τις διάφρες τιµές τυ ν ρείτε τ είδς της ρµµής πυ εκφράζει η Στην περίπτωση πυ η είνι εξίσωση υπερής ν ρείτε την εξίσωσή της κι τ εµδόν τυ ρθωνίυ της άσης ότν ι σύµπτωτες σηµτίζυν ωνί 6 o ικρίνυµε τις περιπτώσεις: i Αν πό την πίρνυµε Στην περίπτωση υτή η πριστάνει ευθεί κι µάιστ τν Σπύρς Γιννκόπυς Σείδ

ii Αν τότε Αν < < τότε κι η ράφετι Στην περίπτωση υτή η εξίσωση εκφράζει υπερή µε εστίες στν άξν Αν > > τότε κι η ράφετι Στην περίπτωση υτή η εξίσωση εκφράζει έειη Έυµε την υπερή µε εξίσωση κι < Είνι κι Οι εξισώσεις των σύµπτωτων της υπερής είνι ε : ε : Έστω δ δ τ πράη δινύσµτ στις ευθείες ε ε ντίστιτότε δ κι δ δ δ Έυµε συν 6 δ δ Άρ η ζητύµενη εξίσωση της υπερής είνι Έυµε κι Τ ζητύµεν εµδόν είνι Ε τετρµνάδες Σπύρς Γιννκόπυς Σείδ