Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 1
Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής Με λόγια, η f ( x, y) δίνει την πιθανότητα να εμφανισθεί αποτέλεσμα για το οποίο η τυχαία μεταβλητή X παίρνει την τιμή x και συγχρόνως η τυχαία μεταβλητή Y παίρνει την τιμή y. 2 Το σύνολο των τιμών που μπορεί να πάρει το ζεύγος ( X, Y) θα συμβολίζεται με R,. X Y Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Ιδιότητες της από κοινού συνάρτησης πιθανότητας 3 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας 4 Από κοινού αθροιστική συνάρτηση κατανομής Η από κοινού (αθροιστική) συνάρτηση κατανομής της δισδιάστατης τυχαίας μεταβλητής ), ( Y X δίνεται από τον τύπο y t x s t s f y Y x X P y x F και ), ( ), ( ), ( και ορίζεται για κάθε ζεύγος ), ( y x πραγματικών αριθμών. ), ( ), ( ) ), (( y x A y x f A Y X P
Περιθώριες κατανομές 5 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Άσκηση 0.18 0.30 0.52 0.26 0.34 0.40 1?? Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας 6
Η μέση τιμή συνάρτησης μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής 'Οταν έχουμε μια δισδιάστατη τυχαία μεταβλητή ( X, Y), για κάθε πραγματική συνάρτηση δύο μεταβλητών h ( x, y) μπορούμε να θεωρήσουμε την ποσότητα Z h( X, Y) η οποία προφανώς αποτελεί (μονοδιάστατη) τυχαία μεταβλητή. 7 Για παράδειγμα ας θεωρήσουμε ένα εμπορικό κατάστημα που διαθέτει δύο ταμεία. Ας συμβολίσουμε με X το πλήθος των ατόμων που περιμένουν για εξυπηρέτηση στο πρώτο ταμείο στις 11.00 π.μ. και Y το πλήθος των ατόμων που περιμένουν στο δεύτερο ταμείο την ίδια χρονική στιγμή. Τότε η Z X Y εκφράζει το συνολικό αριθμό ατόμων στα δύο ταμεία η Z max( X, Y) δίνει τον αριθμό ατόμων του ταμείου με τη μεγαλύτερη ουρά, ενώ η Z min( X, Y) δίνει τον αριθμό ατόμων του ταμείου με τη μικρότερη ουρά Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας 8 Η μέση τιμή συνάρτησης μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής Η μέση τιμή μιας συνάρτησης ), ( Y X h της δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής ), ( Y X δίνεται από τον τύπο ), ( ), (,, ), ( ), ( ), ( ), ( )], ( [ y x R R y x Y X Y X y x f y x h y Y x X P y x h Y X h E.
Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας 9 Η μέση τιμή συνάρτησης μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( )], ( [ y x Y X R Y X R y x y x f y x h y Y x X P y x h Y X h E
Δεσμευμένες κατανομές για μια δισδιάστατη διακριτή τυχαία μεταβλητή 'Εστω ( X, Y) μία διακριτή δισδιάστατη τυχαία μεταβλητή με από κοινού συνάρτηση πιθανότητας f ( x, y) και περιθώριες συναρτήσεις πιθανότητας f ( x), f ( y). Η δεσμευμένη συνάρτηση πιθανότητας του X δοθέντος ότι Y y ( y μια συγκεκριμένη τιμή με P ( Y y) 0 ) ορίζεται από τον τύπο X Y f X Y ( x y) P( X x Y y) P( X x, Y P( Y y) y) f ( x, y) f ( y) Y όπου το x διατρέχει όλες τις τιμές για τις οποίες ισχύει (. 'Ομοια η x, y) R X, Y δεσμευμένη κατανομή του X δοθέντος ότι X x ( x μια συγκεκριμένη τιμή με P ( X x) 0 ) είναι f Y X P( X x, Y y) f ( x, y) ( y x) P( Y y X x). P( X x) f ( x) X 10 οπου το y διατρέχει όλες τις τιμές για τις οποίες ισχύει ( x, y) R X, Y E( h( Y) X x) h( Πιθανότητες ΙΙ - Μ. yκούτρας :( x, y) R X, Y y) f ( y x)
Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας 11 Άσκηση (συνέχεια)?? 0.26 0.34 0.40 0.18 0.30 0.52 1 ) ( ), ( ) ( ) ( y f y x f y Y x X P y x f Y Y X ) ( ), ( ) ( ) ( x f y x f x X y P Y x y f X X Y
Για διακριτή τ.μ. P(( X, Y) ) ( x, y) Από κοινού συνάρτηση πυκνότητας μιας δισδιάστατης συνεχούς τυχαίας μεταβλητής f ( x, y) ΟΡΙΣΜΟΣ 12
P [( X, Y) ] f ( x, y) dxdy Υπολογισμός πιθανοτήτων με χρήση της από κοινού συνάρτησης πυκνότητας μιας δισδιάστατης συνεχούς τυχαίας μεταβλητής 13 f ( x, y) dxdy 1
Για διακριτή τ.μ. α. f ( x, y) 0 β. f ( x, y) 1 ( X, Y ) R Ιδιότητες της από κοινού X, Y συνάρτησης πυκνότητας μιας δισδιάστατης συνεχούς τυχαίας μεταβλητής 'Οπως και στη διακριτή περίπτωση, για την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας μιας διδιάστατης συνεχούς τυχαίας μεταβλητής ισχύει ότι α. ( x, y) 0 f β. f ( x, y) dxdy 1. 14
Άσκηση 1/Σελίδα 59 15
P [ X, ] f ( x, y) dxdy Μηδενικές πιθανότητες Ανισοισότητες για διαστήματα 16
P [( X, Y) ] f ( x, y) dxdy Από κοινού συνάρτηση κατανομής μιας δισδιάστατης συνεχούς τυχαίας μεταβλητής ΟΡΙΣΜΟΣ 17
Ερμηνεία της από κοινού συνάρτησης συνάρτησης πυκνότητας 18
19 Περιθώριες κατανομές μιας δισδιάστατης συνεχούς τυχαίας μεταβλητής
20 Η μέση τιμή συνάρτησης μιας δισδιάστατης συνεχούς τυχαίας μεταβλητής ), ( ), (,, ), ( ), ( ), ( ), ( )], ( [ y x R R y x Y X Y X y x f y x h y Y x X P y x h Y X h E Για διακριτή τ.μ.
21 Ιδιότητες της μέσης τιμής για δισδιάστατες συνεχείς τυχαίες μεταβλητές
Ορισμός Δεσμευμένες κατανομές μιας δισδιάστατης συνεχούς τυχαίας μεταβλητής 22
23 Μια χρήσιμη σχέση μεταξύ περιθώριων και δεσμευμένων κατανομών
Ανεξαρτησία δυο τυχαίων μεταβλητών ΟΡΙΣΜΟΣ 24
25 Έλεγχος της Ανεξαρτησίας δυο τ.μ. (διακριτών ή συνεχών)
26 Μια ακόμη συνθήκη ανεξαρτησίας τ.μ.
27 Περιπτώσεις όπου γνωρίζουμε ότι οι τ.μ. είναι ανεξάρτητες (και το εκμεταλλευόμαστε φυσικά)
Ευτυχείς συνέπειες Ιδιότητες των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών 28
Ευτυχείς συνέπειες Ιδιότητες των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών Χ, Υ ανεξάρτητες 29 Z, W ανεξάρτητες
30 Ιδιότητες των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών
Άσκηση 31
Αν Χ, Υ ανεξάρτητες Ανεξαρτησία και δεσμευμένες κατανομές 32
ν-διάστατες διακριτές τυχαίες μεταβλητές - Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας ΟΡΙΣΜΟΣ Σύνολο τιμών ή πεδίο τιμών 33
Ιδιότητες της από κοινού συνάρτησης πιθανότητας Υπολογισμός πιθανοτήτων για ν-διάστατες τ.μ 34
35 Περιθώριες κατανομές
ν-διάστατες συνεχείς τυχαίες μεταβλητές - Από κοινού συνάρτηση πιυκνότητας ΟΡΙΣΜΟΣ 36
Ιδιότητες της από κοινού συνάρτησης πυκνότητας Υπολογισμός πιθανοτήτων για ν-διάστατες τ.μ 37
38 Περιθώριες κατανομές
Ανεξαρτησία ν τυχαίων μεταβλητών ΟΡΙΣΜΟΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑΣ α. β. 39
Τυχαίο δείγμα ΟΡΙΣΜΟΣ 40
41 Τυχαίο δείγμα και στατιστικές συναρτήσεις
42 Κατανομή της μέγιστης από ν ανεξάρτητες παρατηρήσεις
43 Κατανομή της ελάχιστης από ν ανεξάρτητες παρατηρήσεις
Κατανομή της μέγιστης και της ελάχιστης παρατήρησης ενός τυχαίου δείγματος Για συνεχείς τ.μ 44
Η από κοινού κατανομή δύο συναρτήσεων δύο (συνεχών) τυχαίων μεταβλητών Ερωτήματα fu, V v ; Πως μπορούμε να βρούμε την από κοινού συνάρτηση πυκνότητας ( u, ) Πως μπορούμε να βρούμε τη συνάρτηση πυκνότητας f U (u) ; Πως μπορούμε να βρούμε τη συνάρτηση πυκνότητας f V (v) ; 45
Η από κοινού κατανομή δύο συναρτήσεων δύο (συνεχών) τυχαίων μεταβλητών Ιακωβιανή (του μετασχηματισμού των μεταβλητών) 46
Η περιθώρια κατανομή καθεμιάς από τις δύο συναρτήσεις των δύο (συνεχών) τυχαίων μεταβλητών f U u) fu V ( u, v) (, dv f V ( v) fu, V ( u, v) du Έλεγχος ανεξαρτησίας f ( u, v) f ( u) f ( )? U, V U V v 47
Κατανομή μιας συνάρτησης U=g(X,Y) δύο (συνεχών) τυχαίων μεταβλητών Λύνουμε την εξίσωση (ως προς x) και στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τον τύπο 48
Κατανομή του αθροίσματος δύο ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών ΠΡΟΤΑΣΗ ΠΡΟΤΑΣΗ 49
Παράδειγμα 50
Παράδειγμα 51
Παράδειγμα 52
Παράδειγμα (συνέχεια) 53
Κατανομή του γινόμενου και του λόγου δύο ανεξάρτητων (συνεχών) τυχαίων μεταβλητών ΠΡΟΤΑΣΗ ΠΡΟΤΑΣΗ 54
55 Η από κοινού κατανομή ν συναρτήσεων ν (συνεχών) τυχαίων μεταβλητών
Η κατανομή χ 2 ΟΡΙΣΜΟΣ 56
Η συνάρτηση πυκνότητας της κατανομής χ 2 Γάμμα με παραμέτρους λ=1/2 και α=ν/2 Γάμμα με παραμέτρους λ=1/2 και α i =1/2 57 2 2 ( ), V( ) 2
58 Η συνάρτηση πυκνότητας της κατανομής χ 2
59 Η συνάρτηση πυκνότητας της κατανομής χ 2
Η κατανομή Student (Gosset) ή κατανομή t ΟΡΙΣΜΟΣ 60
61 Η συνάρτηση πυκνότητας της κατανομής t
62 Η συνάρτηση πυκνότητας της κατανομής t
Η κατανομή Snedecor ή κατανομή F ΟΡΙΣΜΟΣ 63
64 Η συνάρτηση πυκνότητας της κατανομής F
65 Η συνάρτηση πυκνότητας της κατανομής F
66 Η συνάρτηση πυκνότητας της κατανομής F
Η συνδιακύμανση δύο τυχαίων μεταβλητών ΟΡΙΣΜΟΣ 67
Ιδιότητες της συνδιακύμανσης δύο τυχαίων μεταβλητών Ορισμός Cov(X,Y) = Ε [(Χμ Χ )(Υ μ Y )] 68 Βασικός τύπος υπολογισμού της συνδιακύμανσης Cov( X, Y) E( XY) E( X ) E( Y) Cov( X, X ) E( XX) E( X ) E( X ) V ( X ) E( X 2 ) [ E( X )] Γνωστό (από Πιθανότητες Ι) 2
69 Πρακτική ερμηνεία της συνδιακύμανσης
Ασυσχέτιστες τυχαίες μεταβλητές ΟΡΙΣΜΟΣ Δύο τυχαίες μεταβλητές λέγονται ασυσχέτιστες, αν και μόνο αν Cov ( X,Y ) = 0 Δοθέντος ότι για δύο ανεξάρτητες. τυχαίες μεταβλητές E( XY) E( X ) E( Y) μπορούμε να ισχυριστούμε ότι ισχύει η επόμενη συνεπαγωγή X, Y έχουμε X, Y ανεξάρτητες Cov( X, Y) 0 X, Y ασυσχέτιστες 70 Το αντίστροφο της προηγούμενης πρότασης δεν αληθεύει πάντα.
71 Ιδιότητες της συνδιακύμανσης δύο τυχαίων μεταβλητών Cov(X,Y) = Ε [(Χμ Χ )(Υ μ Y )] ), ( 2 ) ( ) ( ) ( Y X Cov Y V X V Y X V ), ( 2 ) ( ) ( ) ( Y X Cov Y V X V Y X V α=1, β=1 α=1, β=1
V ( X Y) V ( X ) V ( Y) 2Cov( X, Y) V ( X Y) V( X ) V ( Y) 2Cov( X, Y) Cov ( X,Y ) = 0 Ασυσχέτιστες τυχαίες μεταβλητές Συνέπεια του ορισμού Αν οι τυχαίες μεταβλητές Χ, Υ είναι ασυσχέτιστες τότε. V(X+Y)=V(X)+V(Y) V(XY)=V(X)+V(Y) ΠΡΟΣΟΧΗ! Είναι + (και όχι πλην) 72
Ιδιότητες της συνδιακύμανσης δύο τυχαίων μεταβλητών Cov(X,Y) = Ε [(Χμ Χ )(Υ μ Y )] Βασικός τύπος υπολογισμού της συνδιακύμανση ς Cov( X, Y ) Cov( X, ) Cov( X, Y) E( XY) E( X ) E( Y) Cov( X Cov( X, Y Y, Z) Z) Cov( X, Z) Cov( Y, Z) Cov( X, Y) Cov( X, Z) 73
Άσκηση 74
75 Μερικά γενικά αποτελέσματα (Διακύμανση και συνδιακύμανση γραμμικών συνδυασμών)
76 Μερικά γενικά αποτελέσματα (Διακύμανση και συνδιακύμανση γραμμικών συνδυασμών)
Ο συντελεστής συσχέτισης δύο τυχαίων μεταβλητών X και Y 77 'Οταν για δύο τυχαίες μεταβλητές X και Y διαπιστώνουμε ότι ισχύει Cov ( X, Y) 0 τότε είναι βέβαιο ότι αυτές δεν είναι ανεξάρτητες. Συνήθως για να αποδώσουμε ποσοτικά το βαθμό εξάρτησής τους χρησιμοποιούμε ένα δείκτη που δεν επηρεάζεται καθόλου από τη μονάδα μέτρησης της X και της Y: το συντελεστή συσχέτισης. Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Ο συντελεστής συσχέτισης δύο τυχαίων μεταβλητών X και Y 78 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
X, Y X XY Y Cov( X, Y) V ( X ) V ( Y) Ιδιότητες του συντελεστή συσχέτισης ΠΡΟΤΑΣΗ 79 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
X, Y X XY Y Cov( X, Y) V ( X ) V ( Y) Ιδιότητες του συντελεστή συσχέτισης ΠΡΟΤΑΣΗ δηλαδή 80 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Άσκηση Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας 81
Δεσμευμένη μέση τιμή (υπενθύμιση) 82 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Η δεσμευμένη μέση τιμή ως τυχαία μεταβλητή m( Y ) = Ε(X Y ) 83 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Η δεσμευμένη μέση τιμή ως τυχαία μεταβλητή n( Χ ) = Ε(Υ Χ ) 84 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Η δεσμευμένη μέση τιμή ως τυχαία μεταβλητή (διακριτή περίπτωση) m( Y ) = Ε(X Y ) n( Χ ) = Ε(Υ Χ ) 85 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Η μέση τιμή της μέσης τιμής!!! 86 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Η μέση τιμή της μέσης τιμής: δύο σημαντικοί τύποι Πρόταση 87 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Υπολογισμός πιθανοτήτων με δέσμευση ως προς την τιμή κάποιας τμ Πρόταση 88 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Μέση τιμή και διακύμανση αθροίσματος τυχαίου αριθμού τυχαίων μεταβλητών Πρόταση 89 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Η πολυωνυμική κατανομή ΟΡΙΣΜΟΣ 90 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Η πολυωνυμική κατανομή: ένα παράδειγμα Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας 91
Η πολυωνυμική κατανομή: ένα παράδειγμα Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας 92
Η από κοινού συνάρτηση πιθανότητας της τριωνυμικής κατανομής ΠΡΟΤΑΣΗ 93 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Η από κοινού συνάρτηση πιθανότητας της πολυωνυμικής κατανομής ΠΡΟΤΑΣΗ 94 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Διπλή υπεργεωμετρική κατανομή ΠΡΟΤΑΣΗ 95 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Η από κοινού συνάρτηση πυκνότητας μιας δισδιάστατης κανονικής κατανομής 96 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Ιδιότητες της δισδιάστατης κανονικής κατανομής Αν η τυχαία μεταβλητή ( X, Y) ακολουθεί τη δισδιάστατη κανονική κατανομή με παραμέτρους 2 2 X E( X ), E( Y ), X V ( X ), Y V ( Y ) και X, Y τότε α. Η περιθώρια κατανομή της τυχαίας μεταβλητής Χ είναι κανονική με παραμέτρους β. Η περιθώρια κατανομή της τυχαίας μεταβλητής Y είναι κανονική με παραμέτρους 2 X, X 2 Y, Y γ. δεσμευμένη κατανομή της Χ δοθέντος ότι Y y είναι κανονική δ. Η δεσμευμένη κατανομή της Υ δοθέντος ότι X x είναι κανονική 97 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Ιδιότητες της δισδιάστατης κανονικής κατανομής ΠΡΟΤΑΣΗ X, 0 Y 98 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Ιδιότητες της δισδιάστατης κανονικής κατανομής ΠΡΟΤΑΣΗ 99 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Ιδιότητες της δισδιάστατης κανονικής κατανομής ΠΟΡΙΣΜΑ 10 0 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα ΠΡΟΤΑΣΗ 10 1 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Μόνο για όσους τους αρέσει ο Απειροστικός Λογισμός (!) Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα: άλλες διατυπώσεις 10 2 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Διόρθωση συνέχειας για την κανονική προσέγγιση διακριτών τμ Προσέγγιση μέσω του ΚΟΘ 10 3 Προσέγγιση μέσω του ΚΟΘ με διόρθωση συνέχειας i = j Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Άσκηση Άσκηση Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας 104
Άσκηση Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας 105
Η κατανομή του δειγματικού μέσου ανεξάρτητων κανονικών τυχαίων μεταβλητών 10 6 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Η Ροπογεννήτρια μιας τυχαίας μεταβλητής ΟΡΙΣΜΟΣ Χ διακριτή Χ συνεχής 10 7 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Σχέση της ροπογεννήτριας και των ροπών μιας τυχαίας μεταβλητής ΠΡΟΤΑΣΗ ΠΡΟΤΑΣΗ 10 8 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Ροπογεννήτρια γραμμικού συνδυασμού ΠΡΟΤΑΣΗ 10 9 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Ροπογεννήτριες γνωστών (διακριτών) κατανομών 11 0 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Ροπογεννήτριες γνωστών (συνεχών) κατανομών 11 1 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Η Ροπογεννήτρια του αθροίσματος ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών ΠΡΟΤΑΣΗ 11 2 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Η Πιθανογεννήτρια μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής ΟΡΙΣΜΟΣ Χ διακριτή 11 3 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Πιθανογεννήτρια,συνάρτηση πιθανότητας και παραγοντικές ροπές ΠΡΟΤΑΣΗ 11 4 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Πιθανογεννήτρια γραμμικού συνδυασμού και αθροίσματος τ.μ. ΠΡΟΤΑΣΗ 11 5 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Η Πιθανογεννήτρια του αθροίσματος τυχαίου αριθμού τυχαίων μεταβλητών ΠΡΟΤΑΣΗ 11 6 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Η χαρακτηριστική συνάρτηση μιας τυχαίας μεταβλητής ΟΡΙΣΜΟΣ 11 7 Η χαρακτηριστική συνάρτηση μιας τυχαίας μεταβλητής υπάρχει για κάθε πραγματικό αριθμό t Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας
Σχέση Ροπογεννήτριας, Πιθανογεννήτριας και Χαρακτηριστικής συνάρτησης μιας τυχαίας μεταβλητής 11 8 Πιθανότητες ΙΙ - Μ. Κούτρας