ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)

Σχετικά έγγραφα
Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γιάνναρος Μιχάλης. 9x 2 t 2 7dx 3) 1 x 3. x 4 1 x 2 dx. 10x. x 2 x dx. 1 + x 2. cos 2 xdx. 1) tan xdx 2) cot xdx 3) cos 3 xdx.


Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 13: Ακτίνα Σύγκλισης, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2x 2 + x + 1 (x + 3)(x 1) 2 dx, 2x (x + 1) dx. b x 1 + x dx x x 2 1, 6u 5 u 3 + u 2 du = 6u 3 u + 1 du. = u du.

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος Ι. Λυχναρόπουλος

Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 4ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διπλά Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

2 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ολοκληρώματα. τεχνικές. 108 ασκήσεις. εκδόσεις.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής

Ολοκληρώματα. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ. Kglykos.gr. σε Ολοκληρώματα. τεχνικές. 108 ασκήσεις. εκδόσεις.

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Λύσεις στο επαναληπτικό διαγώνισμα 3

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 14: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ) dx. 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω αόριστα ολοκληρώματα. 2. Να υπολογίσετε τα παρακάτω αόριστα ολοκληρώματα.

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 17: Αριθμητική Ολοκλήρωση, Υπολογισμός Μήκους Καμπύλης Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ

Παραδείγματα διπλών oλοκληρωμάτων Γ. Λυχναρόπουλος

Μέθοδοι ολοκλήρωσης. Ολοκληρωτικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

r (t) dt f ds r (t) = (x (t)) 2 + (y (t)) 2 + (z (t)) 2.

Ανασκόπηση-Μάθημα 29 Σφαιρικές συντεταγμένες- Εφαρμογές διπλού και τριπλού ολοκληρώματος- -Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα α είδους

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος 18/4/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ- ΦΥΛΛΑΔΙΟ 1(ΑΝΑΛΥΣΗ)

6. Ορισμένο Ολοκλήρωμα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ Οι συντεταγμένες ενός σημείου Απόλυτη τιμή...14

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΜΑΣ 203: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις, Εαρινό Εξάμηνο 2017 ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Βιομαθηματικά BIO-156. Ολοκλήρωση. Ντίνα Λύκα. Εαρινό Εξάμηνο, 2017

Αόριστο Ολοκλήρωμα Μέθοδοι Ολοκλήρωσης

Αόριστο ολοκλήρωμα. επαληθεύει την παραπάνω ισότητα.

40 Ασκήσεις στον ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ( Επεξεργασία του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ)

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις)

f (x) dx = f (x) + c a f (x) f (x) cos 2 (f (x)) f (x) dx = tan(f (x)) + c 1 sin 2 (f (x)) f (x) dx = cot(f (x)) + c e f (x) f (x) dx = e f (x) + c

ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. Α.Προσπαθείστε και απομνημονεύστε τον παρακάτω πίνακα βασικών ολοκληρωμάτων: v x

1 3 (a2 ρ 2 ) 3/2 ] b V = [(a 2 b 2 ) 3/2 a 3 ] 3 (1) V total = 2V V total = 4π 3 (2)

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 25/9/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. z x y 2xyi. Re z x y. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι. z z zz. zz zz z z 1 0 z z 1 (1)

Ολοκληρώματα. ΗΥ111 Απειροστικός Λογισμός ΙΙ

Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των ακόλουθων συναρτήσεων σε χαρτί µιλιµετρέ αφού πρώτα φτιάξετε τους πίνακες των τιµών τους.

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

Βιομαθηματικά BIO-156

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πρόοδος (Λύσεις) Ι. Λυχναρόπουλος

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

APEIROSTIKOS LOGISMOS I

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ- ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ- ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΚΛΑΣΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι(ΤΜΗΜΑ ΑΡΤΙΩΝ) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Αν. Καθηγητής Ι.

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2017 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ.

x + ax x x 4 να είναι παραγωγίσιμη στο x Υπόδειξη: Μπορείτε να εφαρμόσετε κανόνα L Hospital ή μπορεί σας χρειαστεί η sin sin = 2sin cos

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

Ο ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ

Κεφάλαιο 8 Το αόριστο ολοκλήρωµα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 19: Υπολογισμός Εμβαδού και Όγκου Από Περιστροφή (2 ο Μέρος) Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΧΗΜΕΙΑ Ι ΘΕΜΑΤΑ B Σεπτέμβριος 2008

Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις ενδέκατου φυλλαδίου ασκήσεων.

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Ολοκληρωτικός Λογισμός

dy df(x) y= f(x) y = f (x), = dx dx θ x m= 1

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑ ΑΣ

Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ασκήσεις - 09/11/2017. Άσκηση 1. Να βρεθεί η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης. dy dx = 2y + x 2 y 2 2x

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. ΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ)

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 2ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικές Συναρτήσεις Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ- ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΦΥΛΛΑΔΙΟ 2/2012

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 4.2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες

Review Exercises for Chapter 7

z k z + n N f(z n ) + K z n = z n 1 2N

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. α) Το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνεχούς συνάρτησης f σε ένα διάστημα [a, b] είναι όριο?

Άσκηση 1. (15 μονάδες) Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: (ii) (i)

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9

Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ

DIPLA KAI TRIPLA OLOKLHRWMATA

( () () ()) () () ()

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ , Β= 1 y, όπου y 0. , όπου y 0.

Ολοκλήρωση. Ολοκληρωτικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι

< F ( σ(h(t))), σ (h(t)) > h (t)dt.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ) dx. 1. Να υπολογίσετε τα παρακάτω αόριστα ολοκληρώματα. 2. Να υπολογίσετε τα παρακάτω ορισμένα ολοκληρώματα I 1

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

k ) 2 P = a2 x 2 P = 2a 2 x y 2 Q = b2 y 2 Q = 2b 2 y z 2 R = c2 z 2 R = 2c 2 z P x = 2a 2 Q y = 2b 2 R z = 2c 2 3 (a2 +b 2 +c 2 ) I = 64π

Ασκήσεις Διανυσματικής Ανάλυσης

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Ι. Λυχναρόπουλος

Transcript:

ΜΑΣ: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση) ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ:. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: 5 d d csc cot d (β) Απάντησεις: C (β) ln C C. Να υπολογιστούν τα ορισμένα ολοκληρώματα: d csc( ) C C d d (β) /5 d cosd / sc tdt u du Απάντησεις: (β) 5/9. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: d (β) d sc tan d d ln d Απάντησεις: 6 C (β) ( ) C sc ( ) C ln( ) C ln( ) C. Να υπολογιστούν τα ορισμένα ολοκληρώματα: 5 d (β) 5 d d ln /6 tan tdt /6 u u du Απάντησεις: 6 6 5 (β) 6 6 arctan().7975. Να υπολογιστούν τα πιο κάτω: cos(5 ) d (β) d cos ln d ln d ln du Απάντησεις: (/ 5) cos(5 ) (/ 5) sin(5 ) C (β)

C cos ln( ) sin ln( ) 6 /5 ( / 5)ln() (6 / 5)ln() ln( ) C 9. Να υπολογιστούν τα πιο κάτω: (θ) Λύσεις: 5 cos ( )sin ( ) d (β) cos 6 sc ( ) tan( ) d (ζ) cos( ) sin( ) d (ι) sin( ) d tan d cos ( )sin( ) d (η) 9 d (κ) tan ( ) sc ( ) d (λ) 9 d tan ( )sc ( ) 5 5 5 cos ( )sin ( ) cos ( )sin ( )cos( ) sin ( ) sin ( )cos( ) d d d Θέτουμε u = sin() du = cos()d και έχουμε ή στην αρχική μεταβλητή, 6 u u u u du u u du C 6 5 5 7 6 sin ( ) sin ( ) (β) cos cos cos C. 6 6 cos( ) cos( ) d d d cos( ) cos ( ) cos( ) d cos( ) cos( ) cos ( ) cos ( ) cos ( ) d cos( ) cos ( ) cos ( ) d sin( ) cos ( ) d cos ( ) d sin( ) cos( ) d cos 6 ( )cos( ) d sin( ) sin( ) sin ( ) cos( ) 6 d 5 sin( ) sin( ) sin ( ) cos( ) d 6 6 Απομένει το τελευταίο ολοκλήρωμα, στο οποίο κάνουμε την αντικατάσταση u = sin() d d du = cos() και έτσι sin ( ) cos( ) d u du u u C ή

6 5 cos d sin( ) sin( ) sin( ) sin ( ) C 6 6 5 sin( ) sin( ) sin ( ) C 6 6 sin cos tan d d d d sc ( ) d cos cos cos tan( ) C tan ( )sc ( ) tan ( )sc ( )sc ( ) tan ( ) tan ( ) sc ( ) d d d Θέτουμε u = tan() du = sc ()d και έχουμε u u d u u du u u du C C 7 5 7 5 7 5 7 5 6 tan ( ) tan ( ) tan ( )sc ( ) Θέτουμε u = tan() du = sc ()d και έχουμε u sc ( ) tan( ) d udu C tan ( ) C (ζ) Χρησιμοποιούμε την τριγωνομετρική ταυτότητα sin() = sin()cos() και έχουμε cos ( )sin( ) d cos ( )sin( )cos( ) d cos ( )sin( ) d. Στη συνέχεια κάνουμε την αντικατάσταση u = cos() du = sin()d και έχουμε u cos ( )sin( ) d cos ( )sin( ) d u du C cos ( ) C. sin ( ) cos ( ) sin ( ) tan ( ) cos ( ) cos ( ) d d d d sc ( ) (η) cos ( ) sin ( ) cos ( ) cos ( ) Χρησιμοποιούμε την τριγωνομετρική ταυτότητα cos ( ) sin ( ) cos( ) και έχουμε tan ( ) sin( ) d cos ( ) sin ( ) d cos( ) d C. sc ( ) (θ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) d d d sin( ) sin( )cos( ) sin( )cos( ) sin( )cos( ) cos( ) sin( ) d d csc( ) sc( ) d sin( )cos( ) sin( )cos( ) sin( ) cos( )

ln csc( ) cot( ) ln sc( ) tan( ) C. (ι) Θέτουμε = sin(θ) d = cos()dθ και έχουμε 9 9 9sin ( ) sin ( ) cos( ) d cos( ) cos( ) cos( ) d d d sin ( ) sin ( ) sin ( ) cos ( ) sin ( ) d d d csc ( ) d sin ( ) sin ( ) sin ( ) cot( ) C. Τώρα, = sin(θ) arcsin και από το τριγωνάκι βρίσκουμε ότι 9 cos( ), άρα cot( ) 9. Επομένως, 9 9 d arcsin C. (κ) Θέτουμε = tan(θ) d sc ( ) d και έχουμε tan ( ) tan ( ) tan ( ) d sc ( ) d sc ( ) d sc ( ) d sc( ) 9 9 9 tan ( ) tan ( ) tan ( )sc( ) d tan ( ) tan( )sc( ) d sc ( ) tan( )sc( ) d. Τώρα, θέτουμε u = sc(θ) du sc( ) tan( ) d και έχουμε u u sc ( ) sc( ) sc ( ) tan( )sc( ) d u du C C. 9 9 Τέλος, μια και = tan(θ) έχουμε tan( ) sc( ) tan ( ) / / d C 9 9. (λ) Θέτουμε = tan(θ) d sc ( ) d και έχουμε tan( ) tan( ) d sc ( ) d sc ( ) d tan ( ) tan ( ) tan( ) d d C sc( ). sc ( ) tan( )sc( ) sc( )

5 Μια και = tan(θ), έχουμε tan( ) sc( ) tan ( ) και έτσι d C.. Να βρεθεί η μορφή των μερικών κλασμάτων (χωρίς να υπολογίσετε τους αριθμητές) ( )() (β) Απάντησεις: A B ( )( ) (β) A B C A B C A B C A B C D. Να υπολογιστούν τα ολοκληρώματα: r dr (β) r ( t)( t) dt d ( )( ) d ( )( 9) d (ζ) d (η) r dr (θ) r s ( s) ds Απάντησεις: r r 6 ln( r ) C (β) ln( t ) ln( t ) C 5 5 ln( ) ln( ) C 6 ln( ) 9 ln( ) C 5 5 5( ) C (ζ) ln( ) ln( ) C ln( ) ln( 9) arctan( / ) r ln( r ) ln r r arctan (r ) C 6 (η) (θ) ln( s ) ln s C s s. Να υπολογιστούν τα γενικευμένα ολοκληρώματα:

( ) d (β) 5 d d d arctan( ) d 6 (ζ) d (η) sc( ) d Απάντησεις: Συγκλίνει στο / (β) Αποκλίνει Αποκλίνει Συγκλίνει στο π/ Συγκλίνει στο π/ (ζ) Αποκλίνει (η) Αποκλίνει. Να αποφασίσετε αν τα γενικευμένα ολοκληρώματα συγκλίνουν ή αποκλίνουν (χωρίς κατ ανάγκη να βρείτε την τιμή στην οποία συγκλίνουν, αν συγκλίνουν). d (β) d 6 d Λύσεις: Έχουμε ότι για, d d. Τώρα, το ολοκλήρωμα d μπορεί να δειχτεί ότι συγκλίνει (κάντε το!) στο /, άρα το δοθέν ολοκλήρωμα επίσης συγκλίνει (αλλά όχι κατ ανάγκη στο /). 6 6 6 6 (β) Για, ισχύει 6 6 d d 6 άρα και το δοθέν ολοκλήρωμα συγκλίνει. ί ) Για, ισχύει d d d άρα το ί δοθέν ολοκλήρωμα επίσης αποκλίνει.. Να βρείτε το εμβαδό που σχηματίζουν οι πιο κάτω καμπύλες. y sin( ), y,, / (β) y y /, /, Απαντήσεις: / (β) / ln() 5. Να βρεθεί ο όγκος του στερεού που σχηματίζεται αν περιστρέψουμε το εμβαδό κάτω από τη καμπύλη y, από = μέχρι =, γύρω από τον άξονα των. Απάντηση: /5

6. Να βρεθεί ο όγκος του στερεού που σχηματίζεται αν περιστρέψουμε το εμβαδό μεταξύ 7 των καμπυλών y y,, γύρω από τον άξονα των. Απάντηση: /5 7. Αν η f είναι συνεχής και μία φορά στο διάστημα [, ]. f ( ) d, να δείξετε ότι η f παίρνει την τιμή τουλάχιστον Λύση: Η μέση τιμή c της f() στο διάστημα [, ] δίδεται από c f ( ) d f ( ) d. Μια και f ( ) d έχουμε ότι c (). Αφού η f είναι συνεχής με μέση τιμή c τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα [, ] τέτοιο ώστε f( ).